Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvbdfbdioolem2 Structured version   Unicode version

Theorem dvbdfbdioolem2 31929
Description: A function on an open interval, with bounded derivative, is bounded. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dvbdfbdioolem2.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
dvbdfbdioolem2.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
dvbdfbdioolem2.altb  |-  ( ph  ->  A  <  B )
dvbdfbdioolem2.f  |-  ( ph  ->  F : ( A (,) B ) --> RR )
dvbdfbdioolem2.dmdv  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  F )  =  ( A (,) B ) )
dvbdfbdioolem2.k  |-  ( ph  ->  K  e.  RR )
dvbdfbdioolem2.dvbd  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( A (,) B ) ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  x )
)  <_  K )
dvbdfbdioolem2.m  |-  M  =  ( ( abs `  ( F `  ( ( A  +  B )  /  2 ) ) )  +  ( K  x.  ( B  -  A ) ) )
Assertion
Ref Expression
dvbdfbdioolem2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( F `  x )
)  <_  M )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, F    x, K    ph, x
Allowed substitution hint:    M( x)

Proof of Theorem dvbdfbdioolem2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvbdfbdioolem2.f . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : ( A (,) B ) --> RR )
21ffvelrnda 6032 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
32recnd 9639 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
43abscld 13279 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( abs `  ( F `  x
) )  e.  RR )
5 dvbdfbdioolem2.a . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
65rexrd 9660 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
7 dvbdfbdioolem2.b . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
87rexrd 9660 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
95, 7readdcld 9640 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A  +  B
)  e.  RR )
109rehalfcld 10806 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  /  2
)  e.  RR )
11 dvbdfbdioolem2.altb . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  <  B )
12 avglt1 10797 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  <->  A  <  ( ( A  +  B )  / 
2 ) ) )
135, 7, 12syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  <->  A  <  ( ( A  +  B )  / 
2 ) ) )
1411, 13mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  <  ( ( A  +  B )  /  2 ) )
15 avglt2 10798 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  <->  ( ( A  +  B
)  /  2 )  <  B ) )
165, 7, 15syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  <->  ( ( A  +  B
)  /  2 )  <  B ) )
1711, 16mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  /  2
)  <  B )
186, 8, 10, 14, 17eliood 31734 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  /  2
)  e.  ( A (,) B ) )
191, 18ffvelrnd 6033 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  e.  RR )
2019recnd 9639 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  e.  CC )
2120abscld 13279 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  ( ( A  +  B )  /  2 ) ) )  e.  RR )
2221adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( abs `  ( F `  (
( A  +  B
)  /  2 ) ) )  e.  RR )
234, 22resubcld 10008 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( abs `  ( F `  x ) )  -  ( abs `  ( F `
 ( ( A  +  B )  / 
2 ) ) ) )  e.  RR )
24 dvbdfbdioolem2.k . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  RR )
2524adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  K  e.  RR )
267adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  B  e.  RR )
275adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  A  e.  RR )
2826, 27resubcld 10008 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( B  -  A )  e.  RR )
2925, 28remulcld 9641 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( K  x.  ( B  -  A
) )  e.  RR )
3020adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  ( ( A  +  B )  /  2
) )  e.  CC )
313, 30subcld 9950 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( F `  x )  -  ( F `  ( ( A  +  B )  /  2
) ) )  e.  CC )
3231abscld 13279 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  ( F `  ( ( A  +  B )  /  2 ) ) ) )  e.  RR )
333, 30abs2difd 13300 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( abs `  ( F `  x ) )  -  ( abs `  ( F `
 ( ( A  +  B )  / 
2 ) ) ) )  <_  ( abs `  ( ( F `  x )  -  ( F `  ( ( A  +  B )  /  2 ) ) ) ) )
34 simpll 753 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A (,) B
) )  /\  (
( A  +  B
)  /  2 )  <  x )  ->  ph )
3510rexrd 9660 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  /  2
)  e.  RR* )
3635ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A (,) B
) )  /\  (
( A  +  B
)  /  2 )  <  x )  -> 
( ( A  +  B )  /  2
)  e.  RR* )
378ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A (,) B
) )  /\  (
( A  +  B
)  /  2 )  <  x )  ->  B  e.  RR* )
38 elioore 11584 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  ->  x  e.  RR )
3938adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  x  e.  RR )
4039adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A (,) B
) )  /\  (
( A  +  B
)  /  2 )  <  x )  ->  x  e.  RR )
41 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A (,) B
) )  /\  (
( A  +  B
)  /  2 )  <  x )  -> 
( ( A  +  B )  /  2
)  <  x )
426adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  A  e.  RR* )
438adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  B  e.  RR* )
44 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  x  e.  ( A (,) B ) )
45 iooltub 31751 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  x  e.  ( A (,) B
) )  ->  x  <  B )
4642, 43, 44, 45syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  x  <  B )
4746adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A (,) B
) )  /\  (
( A  +  B
)  /  2 )  <  x )  ->  x  <  B )
4836, 37, 40, 41, 47eliood 31734 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A (,) B
) )  /\  (
( A  +  B
)  /  2 )  <  x )  ->  x  e.  ( (
( A  +  B
)  /  2 ) (,) B ) )
495adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( ( A  +  B )  / 
2 ) (,) B
) )  ->  A  e.  RR )
507adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( ( A  +  B )  / 
2 ) (,) B
) )  ->  B  e.  RR )
511adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( ( A  +  B )  / 
2 ) (,) B
) )  ->  F : ( A (,) B ) --> RR )
52 dvbdfbdioolem2.dmdv . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  F )  =  ( A (,) B ) )
5352adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( ( A  +  B )  / 
2 ) (,) B
) )  ->  dom  ( RR  _D  F
)  =  ( A (,) B ) )
5424adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( ( A  +  B )  / 
2 ) (,) B
) )  ->  K  e.  RR )
55 dvbdfbdioolem2.dvbd . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( A (,) B ) ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  x )
)  <_  K )
56 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  (
( RR  _D  F
) `  x )  =  ( ( RR 
_D  F ) `  y ) )
5756fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  ( abs `  ( ( RR 
_D  F ) `  x ) )  =  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  y )
) )
5857breq1d 4466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
( abs `  (
( RR  _D  F
) `  x )
)  <_  K  <->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  y
) )  <_  K
) )
5958cbvralv 3084 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  x
) )  <_  K  <->  A. y  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `
 y ) )  <_  K )
6055, 59sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( A (,) B ) ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  y )
)  <_  K )
6160adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( ( A  +  B )  / 
2 ) (,) B
) )  ->  A. y  e.  ( A (,) B
) ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  y )
)  <_  K )
6218adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( ( A  +  B )  / 
2 ) (,) B
) )  ->  (
( A  +  B
)  /  2 )  e.  ( A (,) B ) )
63 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( ( A  +  B )  / 
2 ) (,) B
) )  ->  x  e.  ( ( ( A  +  B )  / 
2 ) (,) B
) )
6449, 50, 51, 53, 54, 61, 62, 63dvbdfbdioolem1 31928 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( ( A  +  B )  / 
2 ) (,) B
) )  ->  (
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 ( ( A  +  B )  / 
2 ) ) ) )  <_  ( K  x.  ( x  -  (
( A  +  B
)  /  2 ) ) )  /\  ( abs `  ( ( F `
 x )  -  ( F `  ( ( A  +  B )  /  2 ) ) ) )  <_  ( K  x.  ( B  -  A ) ) ) )
6564simprd 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( ( A  +  B )  / 
2 ) (,) B
) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 x )  -  ( F `  ( ( A  +  B )  /  2 ) ) ) )  <_  ( K  x.  ( B  -  A ) ) )
6634, 48, 65syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A (,) B
) )  /\  (
( A  +  B
)  /  2 )  <  x )  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 ( ( A  +  B )  / 
2 ) ) ) )  <_  ( K  x.  ( B  -  A
) ) )
67 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  +  B
)  /  2 )  =  x  ->  ( F `  ( ( A  +  B )  /  2 ) )  =  ( F `  x ) )
6867eqcomd 2465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  +  B
)  /  2 )  =  x  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( ( A  +  B )  /  2
) ) )
6968adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( ( A  +  B )  /  2 )  =  x )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( ( A  +  B )  /  2
) ) )
7020adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( ( A  +  B )  /  2 )  =  x )  ->  ( F `  ( ( A  +  B )  /  2 ) )  e.  CC )
7169, 70eqeltrd 2545 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( A  +  B )  /  2 )  =  x )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
7271, 69subeq0bd 10006 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( A  +  B )  /  2 )  =  x )  ->  (
( F `  x
)  -  ( F `
 ( ( A  +  B )  / 
2 ) ) )  =  0 )
7372abs00bd 13136 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( A  +  B )  /  2 )  =  x )  ->  ( abs `  ( ( F `
 x )  -  ( F `  ( ( A  +  B )  /  2 ) ) ) )  =  0 )
7424adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( A  +  B )  /  2 )  =  x )  ->  K  e.  RR )
757adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( A  +  B )  /  2 )  =  x )  ->  B  e.  RR )
765adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( A  +  B )  /  2 )  =  x )  ->  A  e.  RR )
7775, 76resubcld 10008 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( A  +  B )  /  2 )  =  x )  ->  ( B  -  A )  e.  RR )
78 0red 9614 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
79 ioossre 11611 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A (,) B )  C_  RR
80 dvfre 22480 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : ( A (,) B ) --> RR 
/\  ( A (,) B )  C_  RR )  ->  ( RR  _D  F ) : dom  ( RR  _D  F
) --> RR )
811, 79, 80sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  F
) : dom  ( RR  _D  F ) --> RR )
8218, 52eleqtrrd 2548 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  /  2
)  e.  dom  ( RR  _D  F ) )
8381, 82ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  F ) `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  e.  RR )
8483recnd 9639 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  F ) `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  e.  CC )
8584abscld 13279 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  ( ( A  +  B )  /  2 ) ) )  e.  RR )
8684absge0d 13287 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  (
( A  +  B
)  /  2 ) ) ) )
87 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( ( A  +  B )  / 
2 )  ->  (
( RR  _D  F
) `  x )  =  ( ( RR 
_D  F ) `  ( ( A  +  B )  /  2
) ) )
8887fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( ( A  +  B )  / 
2 )  ->  ( abs `  ( ( RR 
_D  F ) `  x ) )  =  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  ( ( A  +  B )  /  2 ) ) ) )
8988breq1d 4466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( ( A  +  B )  / 
2 )  ->  (
( abs `  (
( RR  _D  F
) `  x )
)  <_  K  <->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  (
( A  +  B
)  /  2 ) ) )  <_  K
) )
9089rspccva 3209 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. x  e.  ( A (,) B ) ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  x )
)  <_  K  /\  ( ( A  +  B )  /  2
)  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  ( ( A  +  B )  /  2 ) ) )  <_  K )
9155, 18, 90syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  ( ( A  +  B )  /  2 ) ) )  <_  K )
9278, 85, 24, 86, 91letrd 9756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <_  K )
9392adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( A  +  B )  /  2 )  =  x )  ->  0  <_  K )
947, 5resubcld 10008 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( B  -  A
)  e.  RR )
955, 7posdifd 10160 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  <->  0  <  ( B  -  A ) ) )
9611, 95mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <  ( B  -  A ) )
9778, 94, 96ltled 9750 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <_  ( B  -  A ) )
9897adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( A  +  B )  /  2 )  =  x )  ->  0  <_  ( B  -  A
) )
9974, 77, 93, 98mulge0d 10150 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( A  +  B )  /  2 )  =  x )  ->  0  <_  ( K  x.  ( B  -  A )
) )
10073, 99eqbrtrd 4476 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( A  +  B )  /  2 )  =  x )  ->  ( abs `  ( ( F `
 x )  -  ( F `  ( ( A  +  B )  /  2 ) ) ) )  <_  ( K  x.  ( B  -  A ) ) )
101100adant423 31628 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  /\  -.  ( ( A  +  B )  /  2
)  <  x )  /\  ( ( A  +  B )  /  2
)  =  x )  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 ( ( A  +  B )  / 
2 ) ) ) )  <_  ( K  x.  ( B  -  A
) ) )
102 simpll 753 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  /\  -.  ( ( A  +  B )  /  2
)  <  x )  /\  -.  ( ( A  +  B )  / 
2 )  =  x )  ->  ( ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) ) )
10339ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  /\  -.  ( ( A  +  B )  /  2
)  <  x )  /\  -.  ( ( A  +  B )  / 
2 )  =  x )  ->  x  e.  RR )
10410ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  /\  -.  ( ( A  +  B )  /  2
)  <  x )  /\  -.  ( ( A  +  B )  / 
2 )  =  x )  ->  ( ( A  +  B )  /  2 )  e.  RR )
10539adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A (,) B
) )  /\  -.  ( ( A  +  B )  /  2
)  <  x )  ->  x  e.  RR )
10610ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A (,) B
) )  /\  -.  ( ( A  +  B )  /  2
)  <  x )  ->  ( ( A  +  B )  /  2
)  e.  RR )
107 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A (,) B
) )  /\  -.  ( ( A  +  B )  /  2
)  <  x )  ->  -.  ( ( A  +  B )  / 
2 )  <  x
)
108105, 106, 107nltled 31680 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A (,) B
) )  /\  -.  ( ( A  +  B )  /  2
)  <  x )  ->  x  <_  ( ( A  +  B )  /  2 ) )
109108adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  /\  -.  ( ( A  +  B )  /  2
)  <  x )  /\  -.  ( ( A  +  B )  / 
2 )  =  x )  ->  x  <_  ( ( A  +  B
)  /  2 ) )
110 neqne 31637 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( ( A  +  B )  /  2
)  =  x  -> 
( ( A  +  B )  /  2
)  =/=  x )
111110adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  /\  -.  ( ( A  +  B )  /  2
)  <  x )  /\  -.  ( ( A  +  B )  / 
2 )  =  x )  ->  ( ( A  +  B )  /  2 )  =/=  x )
112103, 104, 109, 111leneltd 31697 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  /\  -.  ( ( A  +  B )  /  2
)  <  x )  /\  -.  ( ( A  +  B )  / 
2 )  =  x )  ->  x  <  ( ( A  +  B
)  /  2 ) )
1133, 30abssubd 13296 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  ( F `  ( ( A  +  B )  /  2 ) ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  ( ( A  +  B )  /  2 ) )  -  ( F `  x ) ) ) )
114113adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A (,) B
) )  /\  x  <  ( ( A  +  B )  /  2
) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 x )  -  ( F `  ( ( A  +  B )  /  2 ) ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  ( ( A  +  B )  /  2 ) )  -  ( F `  x ) ) ) )
1155ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A (,) B
) )  /\  x  <  ( ( A  +  B )  /  2
) )  ->  A  e.  RR )
1167ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A (,) B
) )  /\  x  <  ( ( A  +  B )  /  2
) )  ->  B  e.  RR )
1171ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A (,) B
) )  /\  x  <  ( ( A  +  B )  /  2
) )  ->  F : ( A (,) B ) --> RR )
11852ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A (,) B
) )  /\  x  <  ( ( A  +  B )  /  2
) )  ->  dom  ( RR  _D  F
)  =  ( A (,) B ) )
11924ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A (,) B
) )  /\  x  <  ( ( A  +  B )  /  2
) )  ->  K  e.  RR )
12060ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A (,) B
) )  /\  x  <  ( ( A  +  B )  /  2
) )  ->  A. y  e.  ( A (,) B
) ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  y )
)  <_  K )
12144adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A (,) B
) )  /\  x  <  ( ( A  +  B )  /  2
) )  ->  x  e.  ( A (,) B
) )
12238rexrd 9660 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  ->  x  e.  RR* )
123122ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A (,) B
) )  /\  x  <  ( ( A  +  B )  /  2
) )  ->  x  e.  RR* )
1248ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A (,) B
) )  /\  x  <  ( ( A  +  B )  /  2
) )  ->  B  e.  RR* )
12510ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A (,) B
) )  /\  x  <  ( ( A  +  B )  /  2
) )  ->  (
( A  +  B
)  /  2 )  e.  RR )
126 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A (,) B
) )  /\  x  <  ( ( A  +  B )  /  2
) )  ->  x  <  ( ( A  +  B )  /  2
) )
12717ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A (,) B
) )  /\  x  <  ( ( A  +  B )  /  2
) )  ->  (
( A  +  B
)  /  2 )  <  B )
128123, 124, 125, 126, 127eliood 31734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A (,) B
) )  /\  x  <  ( ( A  +  B )  /  2
) )  ->  (
( A  +  B
)  /  2 )  e.  ( x (,) B ) )
129115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 128dvbdfbdioolem1 31928 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A (,) B
) )  /\  x  <  ( ( A  +  B )  /  2
) )  ->  (
( abs `  (
( F `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( K  x.  ( ( ( A  +  B )  / 
2 )  -  x
) )  /\  ( abs `  ( ( F `
 ( ( A  +  B )  / 
2 ) )  -  ( F `  x ) ) )  <_  ( K  x.  ( B  -  A ) ) ) )
130129simprd 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A (,) B
) )  /\  x  <  ( ( A  +  B )  /  2
) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 ( ( A  +  B )  / 
2 ) )  -  ( F `  x ) ) )  <_  ( K  x.  ( B  -  A ) ) )
131114, 130eqbrtrd 4476 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A (,) B
) )  /\  x  <  ( ( A  +  B )  /  2
) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 x )  -  ( F `  ( ( A  +  B )  /  2 ) ) ) )  <_  ( K  x.  ( B  -  A ) ) )
132102, 112, 131syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  /\  -.  ( ( A  +  B )  /  2
)  <  x )  /\  -.  ( ( A  +  B )  / 
2 )  =  x )  ->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  ( F `  ( ( A  +  B )  /  2 ) ) ) )  <_  ( K  x.  ( B  -  A ) ) )
133101, 132pm2.61dan 791 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A (,) B
) )  /\  -.  ( ( A  +  B )  /  2
)  <  x )  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 ( ( A  +  B )  / 
2 ) ) ) )  <_  ( K  x.  ( B  -  A
) ) )
13466, 133pm2.61dan 791 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  ( F `  ( ( A  +  B )  /  2 ) ) ) )  <_  ( K  x.  ( B  -  A ) ) )
13523, 32, 29, 33, 134letrd 9756 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( abs `  ( F `  x ) )  -  ( abs `  ( F `
 ( ( A  +  B )  / 
2 ) ) ) )  <_  ( K  x.  ( B  -  A
) ) )
13623, 29, 22, 135leadd1dd 10187 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
( abs `  ( F `  x )
)  -  ( abs `  ( F `  (
( A  +  B
)  /  2 ) ) ) )  +  ( abs `  ( F `  ( ( A  +  B )  /  2 ) ) ) )  <_  (
( K  x.  ( B  -  A )
)  +  ( abs `  ( F `  (
( A  +  B
)  /  2 ) ) ) ) )
1374recnd 9639 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( abs `  ( F `  x
) )  e.  CC )
13822recnd 9639 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( abs `  ( F `  (
( A  +  B
)  /  2 ) ) )  e.  CC )
139137, 138npcand 9954 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
( abs `  ( F `  x )
)  -  ( abs `  ( F `  (
( A  +  B
)  /  2 ) ) ) )  +  ( abs `  ( F `  ( ( A  +  B )  /  2 ) ) ) )  =  ( abs `  ( F `
 x ) ) )
140139eqcomd 2465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( abs `  ( F `  x
) )  =  ( ( ( abs `  ( F `  x )
)  -  ( abs `  ( F `  (
( A  +  B
)  /  2 ) ) ) )  +  ( abs `  ( F `  ( ( A  +  B )  /  2 ) ) ) ) )
141 dvbdfbdioolem2.m . . . . 5  |-  M  =  ( ( abs `  ( F `  ( ( A  +  B )  /  2 ) ) )  +  ( K  x.  ( B  -  A ) ) )
14221recnd 9639 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  ( ( A  +  B )  /  2 ) ) )  e.  CC )
14324recnd 9639 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  CC )
1447recnd 9639 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
1455recnd 9639 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
146144, 145subcld 9950 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B  -  A
)  e.  CC )
147143, 146mulcld 9633 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( K  x.  ( B  -  A )
)  e.  CC )
148142, 147addcomd 9799 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( F `  ( ( A  +  B )  /  2 ) ) )  +  ( K  x.  ( B  -  A ) ) )  =  ( ( K  x.  ( B  -  A ) )  +  ( abs `  ( F `  ( ( A  +  B )  /  2 ) ) ) ) )
149141, 148syl5eq 2510 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  =  ( ( K  x.  ( B  -  A ) )  +  ( abs `  ( F `  ( ( A  +  B )  /  2 ) ) ) ) )
150149adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  M  =  ( ( K  x.  ( B  -  A
) )  +  ( abs `  ( F `
 ( ( A  +  B )  / 
2 ) ) ) ) )
151136, 140, 1503brtr4d 4486 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( abs `  ( F `  x
) )  <_  M
)
152151ralrimiva 2871 1  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( F `  x )
)  <_  M )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807    C_ wss 3471   class class class wbr 4456   dom cdm 5008   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509    + caddc 9512    x. cmul 9514   RR*cxr 9644    < clt 9645    <_ cle 9646    - cmin 9824    / cdiv 10227   2c2 10606   (,)cioo 11554   abscabs 13079    _D cdv 22393
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-seq 12111  df-exp 12170  df-hash 12409  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-hom 14736  df-cco 14737  df-rest 14840  df-topn 14841  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-topgen 14861  df-pt 14862  df-prds 14865  df-xrs 14919  df-qtop 14924  df-imas 14925  df-xps 14927  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-mulg 16187  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-fbas 18543  df-fg 18544  df-cnfld 18548  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-cld 19647  df-ntr 19648  df-cls 19649  df-nei 19726  df-lp 19764  df-perf 19765  df-cn 19855  df-cnp 19856  df-haus 19943  df-cmp 20014  df-tx 20189  df-hmeo 20382  df-fil 20473  df-fm 20565  df-flim 20566  df-flf 20567  df-xms 20949  df-ms 20950  df-tms 20951  df-cncf 21508  df-limc 22396  df-dv 22397
This theorem is referenced by:  dvbdfbdioo  31930
  Copyright terms: Public domain W3C validator