Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvbdfbdioolem1 Structured version   Unicode version

Theorem dvbdfbdioolem1 37375
 Description: Given a function with bounded derivative, on an open interval, here is an absolute bound to the difference of the image of two points in the interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dvbdfbdioolem1.a
dvbdfbdioolem1.b
dvbdfbdioolem1.f
dvbdfbdioolem1.dmdv
dvbdfbdioolem1.k
dvbdfbdioolem1.dvbd
dvbdfbdioolem1.c
dvbdfbdioolem1.d
Assertion
Ref Expression
dvbdfbdioolem1
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem dvbdfbdioolem1
StepHypRef Expression
1 ioossre 11696 . . . 4
2 dvbdfbdioolem1.c . . . 4
31, 2sseldi 3468 . . 3
4 ioossre 11696 . . . 4
5 dvbdfbdioolem1.d . . . 4
64, 5sseldi 3468 . . 3
73rexrd 9689 . . . 4
8 dvbdfbdioolem1.b . . . . 5
98rexrd 9689 . . . 4
10 ioogtlb 37180 . . . 4
117, 9, 5, 10syl3anc 1264 . . 3
12 dvbdfbdioolem1.a . . . . . 6
1312rexrd 9689 . . . . 5
14 ioogtlb 37180 . . . . . 6
1513, 9, 2, 14syl3anc 1264 . . . . 5
16 iooltub 37198 . . . . . 6
177, 9, 5, 16syl3anc 1264 . . . . 5
18 iccssioo 11703 . . . . 5
1913, 9, 15, 17, 18syl22anc 1265 . . . 4
20 dvbdfbdioolem1.f . . . . 5
21 ax-resscn 9595 . . . . . . 7
2221a1i 11 . . . . . 6
2320, 22fssd 5755 . . . . . . 7
241a1i 11 . . . . . . 7
25 dvbdfbdioolem1.dmdv . . . . . . 7
26 dvcn 22752 . . . . . . 7
2722, 23, 24, 25, 26syl31anc 1267 . . . . . 6
28 cncffvrn 21826 . . . . . 6
2922, 27, 28syl2anc 665 . . . . 5
3020, 29mpbird 235 . . . 4
31 rescncf 21825 . . . 4
3219, 30, 31sylc 62 . . 3
3319, 24sstrd 3480 . . . . . . 7
34 eqid 2429 . . . . . . . 8 fld fld
3534tgioo2 21732 . . . . . . . 8 fldt
3634, 35dvres 22743 . . . . . . 7
3722, 23, 24, 33, 36syl22anc 1265 . . . . . 6
38 iccntr 21750 . . . . . . . 8
393, 6, 38syl2anc 665 . . . . . . 7
4039reseq2d 5125 . . . . . 6
4137, 40eqtrd 2470 . . . . 5
4241dmeqd 5057 . . . 4
4312, 3, 15ltled 9782 . . . . . . 7
446, 8, 17ltled 9782 . . . . . . 7
45 ioossioo 11726 . . . . . . 7
4613, 9, 43, 44, 45syl22anc 1265 . . . . . 6
4746, 25sseqtr4d 3507 . . . . 5
48 ssdmres 5146 . . . . 5
4947, 48sylib 199 . . . 4
5042, 49eqtrd 2470 . . 3
513, 6, 11, 32, 50mvth 22821 . 2
5241fveq1d 5883 . . . . . . . . 9
53 fvres 5895 . . . . . . . . 9
5452, 53sylan9eq 2490 . . . . . . . 8
5554eqcomd 2437 . . . . . . 7
56553adant3 1025 . . . . . 6
57 simp3 1007 . . . . . 6
586rexrd 9689 . . . . . . . . . . 11
593, 6, 11ltled 9782 . . . . . . . . . . 11
60 ubicc2 11747 . . . . . . . . . . 11
617, 58, 59, 60syl3anc 1264 . . . . . . . . . 10
62 fvres 5895 . . . . . . . . . 10
6361, 62syl 17 . . . . . . . . 9
64 lbicc2 11746 . . . . . . . . . . 11
657, 58, 59, 64syl3anc 1264 . . . . . . . . . 10
66 fvres 5895 . . . . . . . . . 10
6765, 66syl 17 . . . . . . . . 9
6863, 67oveq12d 6323 . . . . . . . 8
6968oveq1d 6320 . . . . . . 7
70693ad2ant1 1026 . . . . . 6
7156, 57, 703eqtrd 2474 . . . . 5
72 simp3 1007 . . . . . . . . . . 11
7372eqcomd 2437 . . . . . . . . . 10
7419, 61sseldd 3471 . . . . . . . . . . . . . . 15
7520, 74ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . . 14
7620, 2ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . . 14
7775, 76resubcld 10046 . . . . . . . . . . . . 13
7877recnd 9668 . . . . . . . . . . . 12
79783ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . 11
80 dvfre 22782 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8120, 24, 80syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8225feq2d 5733 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8381, 82mpbid 213 . . . . . . . . . . . . . . 15
8483adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14
8546sselda 3470 . . . . . . . . . . . . . 14
8684, 85ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . 13
8786recnd 9668 . . . . . . . . . . . 12
88873adant3 1025 . . . . . . . . . . 11
896, 3resubcld 10046 . . . . . . . . . . . . 13
9089recnd 9668 . . . . . . . . . . . 12
91903ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . 11
923, 6posdifd 10199 . . . . . . . . . . . . . 14
9311, 92mpbid 213 . . . . . . . . . . . . 13
9493gt0ne0d 10177 . . . . . . . . . . . 12
95943ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . 11
9679, 88, 91, 95divmul3d 10416 . . . . . . . . . 10
9773, 96mpbid 213 . . . . . . . . 9
9897fveq2d 5885 . . . . . . . 8
9990adantr 466 . . . . . . . . . 10
10087, 99absmuld 13494 . . . . . . . . 9
1011003adant3 1025 . . . . . . . 8
10298, 101eqtrd 2470 . . . . . . 7
1033, 6, 59abssubge0d 13472 . . . . . . . . 9
104103oveq2d 6321 . . . . . . . 8
1051043ad2ant1 1026 . . . . . . 7
106102, 105eqtrd 2470 . . . . . 6
10787abscld 13476 . . . . . . . 8
108 dvbdfbdioolem1.k . . . . . . . . 9
109108adantr 466 . . . . . . . 8
11089adantr 466 . . . . . . . 8
111 0red 9643 . . . . . . . . . 10
112111, 89, 93ltled 9782 . . . . . . . . 9
113112adantr 466 . . . . . . . 8
114 dvbdfbdioolem1.dvbd . . . . . . . . . 10
115114adantr 466 . . . . . . . . 9
116 rspa 2799 . . . . . . . . 9
117115, 85, 116syl2anc 665 . . . . . . . 8
118107, 109, 110, 113, 117lemul1ad 10546 . . . . . . 7
1191183adant3 1025 . . . . . 6
120106, 119eqbrtrd 4446 . . . . 5
12171, 120syld3an3 1309 . . . 4
12299abscld 13476 . . . . . . . 8
1238, 12resubcld 10046 . . . . . . . . 9
124123adantr 466 . . . . . . . 8
12587absge0d 13484 . . . . . . . 8
12699absge0d 13484 . . . . . . . 8
1276, 12, 8, 3, 44, 43le2subd 10232 . . . . . . . . . 10
128103, 127eqbrtrd 4446 . . . . . . . . 9
129128adantr 466 . . . . . . . 8
130107, 109, 122, 124, 125, 126, 117, 129lemul12ad 10549 . . . . . . 7
1311303adant3 1025 . . . . . 6
132102, 131eqbrtrd 4446 . . . . 5
13371, 132syld3an3 1309 . . . 4
134121, 133jca 534 . . 3
135134rexlimdv3a 2926 . 2
13651, 135mpd 15 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wa 370   w3a 982   wceq 1437   wcel 1870   wne 2625  wral 2782  wrex 2783   wss 3442   class class class wbr 4426   cdm 4854   crn 4855   cres 4856  wf 5597  cfv 5601  (class class class)co 6305  cc 9536  cr 9537  cc0 9538   cmul 9543  cxr 9673   clt 9674   cle 9675   cmin 9859   cdiv 10268  cioo 11635  cicc 11638  cabs 13276  ctopn 15279  ctg 15295  ℂfldccnfld 18905  cnt 19963  ccncf 21804   cdv 22695 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-addf 9617  ax-mulf 9618 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-fi 7931  df-sup 7962  df-oi 8025  df-card 8372  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-starv 15167  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-ip 15170  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-unif 15175  df-hom 15176  df-cco 15177  df-rest 15280  df-topn 15281  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-topgen 15301  df-pt 15302  df-prds 15305  df-xrs 15359  df-qtop 15364  df-imas 15365  df-xps 15367  df-mre 15443  df-mrc 15444  df-acs 15446  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-submnd 16534  df-mulg 16627  df-cntz 16922  df-cmn 17367  df-psmet 18897  df-xmet 18898  df-met 18899  df-bl 18900  df-mopn 18901  df-fbas 18902  df-fg 18903  df-cnfld 18906  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-topsp 19855  df-cld 19965  df-ntr 19966  df-cls 19967  df-nei 20045  df-lp 20083  df-perf 20084  df-cn 20174  df-cnp 20175  df-haus 20262  df-cmp 20333  df-tx 20508  df-hmeo 20701  df-fil 20792  df-fm 20884  df-flim 20885  df-flf 20886  df-xms 21266  df-ms 21267  df-tms 21268  df-cncf 21806  df-limc 22698  df-dv 22699 This theorem is referenced by:  dvbdfbdioolem2  37376  ioodvbdlimc1lem1  37378  ioodvbdlimc1lem2  37379  ioodvbdlimc2lem  37381
 Copyright terms: Public domain W3C validator