Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvbdfbdioolem1 Structured version   Unicode version

Theorem dvbdfbdioolem1 31581
 Description: Given a function with bounded derivative, on an open interval, here is an absolute bound to the difference of the image of two points in the interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dvbdfbdioolem1.a
dvbdfbdioolem1.b
dvbdfbdioolem1.f
dvbdfbdioolem1.dmdv
dvbdfbdioolem1.k
dvbdfbdioolem1.dvbd
dvbdfbdioolem1.c
dvbdfbdioolem1.d
Assertion
Ref Expression
dvbdfbdioolem1
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem dvbdfbdioolem1
StepHypRef Expression
1 ioossre 11598 . . . 4
2 dvbdfbdioolem1.c . . . 4
31, 2sseldi 3507 . . 3
4 ioossre 11598 . . . 4
5 dvbdfbdioolem1.d . . . 4
64, 5sseldi 3507 . . 3
73rexrd 9655 . . . 4
8 dvbdfbdioolem1.b . . . . 5
98rexrd 9655 . . . 4
10 ioogtlb 31415 . . . 4
117, 9, 5, 10syl3anc 1228 . . 3
12 dvbdfbdioolem1.a . . . . . 6
1312rexrd 9655 . . . . 5
14 ioogtlb 31415 . . . . . 6
1513, 9, 2, 14syl3anc 1228 . . . . 5
16 iooltub 31435 . . . . . 6
177, 9, 5, 16syl3anc 1228 . . . . 5
18 iccssioo 11605 . . . . 5
1913, 9, 15, 17, 18syl22anc 1229 . . . 4
20 dvbdfbdioolem1.f . . . . 5
21 ax-resscn 9561 . . . . . . 7
2221a1i 11 . . . . . 6
2320, 22fssd 5746 . . . . . . 7
241a1i 11 . . . . . . 7
25 dvbdfbdioolem1.dmdv . . . . . . 7
26 dvcn 22192 . . . . . . 7
2722, 23, 24, 25, 26syl31anc 1231 . . . . . 6
28 cncffvrn 21270 . . . . . 6
2922, 27, 28syl2anc 661 . . . . 5
3020, 29mpbird 232 . . . 4
31 rescncf 21269 . . . 4
3219, 30, 31sylc 60 . . 3
3319, 24sstrd 3519 . . . . . . 7
34 eqid 2467 . . . . . . . 8 fld fld
3534tgioo2 21176 . . . . . . . 8 fldt
3634, 35dvres 22183 . . . . . . 7
3722, 23, 24, 33, 36syl22anc 1229 . . . . . 6
38 iccntr 21194 . . . . . . . 8
393, 6, 38syl2anc 661 . . . . . . 7
4039reseq2d 5279 . . . . . 6
4137, 40eqtrd 2508 . . . . 5
4241dmeqd 5211 . . . 4
4312, 3, 15ltled 9744 . . . . . . 7
446, 8, 17ltled 9744 . . . . . . 7
45 ioossioo 11628 . . . . . . 7
4613, 9, 43, 44, 45syl22anc 1229 . . . . . 6
4725eqcomd 2475 . . . . . 6
4846, 47sseqtrd 3545 . . . . 5
49 ssdmres 5301 . . . . 5
5048, 49sylib 196 . . . 4
51 eqidd 2468 . . . 4
5242, 50, 513eqtrd 2512 . . 3
533, 6, 11, 32, 52mvth 22261 . 2
54 nfv 1683 . . 3
55 nfv 1683 . . . 4
56 nfv 1683 . . . 4
5755, 56nfan 1875 . . 3
58 simp1 996 . . . . . 6
59 simp2 997 . . . . . 6
6041fveq1d 5874 . . . . . . . . . . 11
6160adantr 465 . . . . . . . . . 10
62 fvres 5886 . . . . . . . . . . 11
6362adantl 466 . . . . . . . . . 10
6461, 63eqtrd 2508 . . . . . . . . 9
6564eqcomd 2475 . . . . . . . 8
66653adant3 1016 . . . . . . 7
67 simp3 998 . . . . . . 7
686rexrd 9655 . . . . . . . . . . . 12
693, 6, 11ltled 9744 . . . . . . . . . . . 12
70 ubicc2 11649 . . . . . . . . . . . 12
717, 68, 69, 70syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11
72 fvres 5886 . . . . . . . . . . 11
7371, 72syl 16 . . . . . . . . . 10
74 lbicc2 11648 . . . . . . . . . . . 12
757, 68, 69, 74syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11
76 fvres 5886 . . . . . . . . . . 11
7775, 76syl 16 . . . . . . . . . 10
7873, 77oveq12d 6313 . . . . . . . . 9
7978oveq1d 6310 . . . . . . . 8
80793ad2ant1 1017 . . . . . . 7
8166, 67, 803eqtrd 2512 . . . . . 6
82 simp3 998 . . . . . . . . . . . . . 14
8382eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . . 13
8419, 71sseldd 3510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8520, 84ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8620, 2ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8785, 86resubcld 9999 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8887recnd 9634 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8988adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15
90893adant3 1016 . . . . . . . . . . . . . 14
91 dvfre 22222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9220, 24, 91syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9325feq2d 5724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9492, 93mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9594adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9646sselda 3509 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9795, 96ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9897recnd 9634 . . . . . . . . . . . . . . 15
99983adant3 1016 . . . . . . . . . . . . . 14
1006, 3resubcld 9999 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
101100recnd 9634 . . . . . . . . . . . . . . . 16
102101adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15
1031023adant3 1016 . . . . . . . . . . . . . 14
104 0red 9609 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1053, 6posdifd 10151 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10611, 105mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
107104, 106gtned 9731 . . . . . . . . . . . . . . . 16
108107adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15
1091083adant3 1016 . . . . . . . . . . . . . 14
11090, 99, 103, 109divmul3d 10366 . . . . . . . . . . . . 13
11183, 110mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12
112111eqcomd 2475 . . . . . . . . . . 11
113112eqcomd 2475 . . . . . . . . . 10
114113fveq2d 5876 . . . . . . . . 9
11598, 102absmuld 13265 . . . . . . . . . 10
1161153adant3 1016 . . . . . . . . 9
117114, 116eqtrd 2508 . . . . . . . 8
1183, 6, 69abssubge0d 13243 . . . . . . . . . 10
119118oveq2d 6311 . . . . . . . . 9
1201193ad2ant1 1017 . . . . . . . 8
121117, 120eqtrd 2508 . . . . . . 7
12298abscld 13247 . . . . . . . . 9
123 dvbdfbdioolem1.k . . . . . . . . . 10
124123adantr 465 . . . . . . . . 9
125100adantr 465 . . . . . . . . 9
126104, 100, 106ltled 9744 . . . . . . . . . 10
127126adantr 465 . . . . . . . . 9
128 dvbdfbdioolem1.dvbd . . . . . . . . . . 11
129128adantr 465 . . . . . . . . . 10
130 rspa 2834 . . . . . . . . . 10
131129, 96, 130syl2anc 661 . . . . . . . . 9
132122, 124, 125, 127, 131lemul1ad 10497 . . . . . . . 8
1331323adant3 1016 . . . . . . 7
134121, 133eqbrtrd 4473 . . . . . 6
13558, 59, 81, 134syl3anc 1228 . . . . 5
136102abscld 13247 . . . . . . . . 9
1378, 12resubcld 9999 . . . . . . . . . 10
138137adantr 465 . . . . . . . . 9
13998absge0d 13255 . . . . . . . . 9
140102absge0d 13255 . . . . . . . . 9
1416, 12, 8, 3, 44, 43le2subd 10183 . . . . . . . . . . 11
142118, 141eqbrtrd 4473 . . . . . . . . . 10
143142adantr 465 . . . . . . . . 9
144122, 124, 136, 138, 139, 140, 131, 143lemul12ad 10500 . . . . . . . 8
1451443adant3 1016 . . . . . . 7
146117, 145eqbrtrd 4473 . . . . . 6
14758, 59, 81, 146syl3anc 1228 . . . . 5
148135, 147jca 532 . . . 4
1491483exp 1195 . . 3
15054, 57, 149rexlimd 2951 . 2
15153, 150mpd 15 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 973   wceq 1379   wcel 1767   wne 2662  wral 2817  wrex 2818   wss 3481   class class class wbr 4453   cdm 5005   crn 5006   cres 5007  wf 5590  cfv 5594  (class class class)co 6295  cc 9502  cr 9503  cc0 9504   cmul 9509  cxr 9639   clt 9640   cle 9641   cmin 9817   cdiv 10218  cioo 11541  cicc 11544  cabs 13047  ctopn 14694  ctg 14710  ℂfldccnfld 18290  cnt 19386  ccncf 21248   cdv 22135 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583  ax-mulf 9584 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-fi 7883  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-ioo 11545  df-ico 11547  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-seq 12088  df-exp 12147  df-hash 12386  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-starv 14587  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-unif 14595  df-hom 14596  df-cco 14597  df-rest 14695  df-topn 14696  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-topgen 14716  df-pt 14717  df-prds 14720  df-xrs 14774  df-qtop 14779  df-imas 14780  df-xps 14782  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15840  df-mulg 15932  df-cntz 16227  df-cmn 16673  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-met 18283  df-bl 18284  df-mopn 18285  df-fbas 18286  df-fg 18287  df-cnfld 18291  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-topsp 19272  df-cld 19388  df-ntr 19389  df-cls 19390  df-nei 19467  df-lp 19505  df-perf 19506  df-cn 19596  df-cnp 19597  df-haus 19684  df-cmp 19755  df-tx 19931  df-hmeo 20124  df-fil 20215  df-fm 20307  df-flim 20308  df-flf 20309  df-xms 20691  df-ms 20692  df-tms 20693  df-cncf 21250  df-limc 22138  df-dv 22139 This theorem is referenced by:  dvbdfbdioolem2  31582  ioodvbdlimc1lem1  31584  ioodvbdlimc1lem2  31585  ioodvbdlimc2lem  31587  fourierdlem45  31775
 Copyright terms: Public domain W3C validator