Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvbdfbdioo Structured version   Unicode version

Theorem dvbdfbdioo 31969
Description: A function on an open interval, with bounded derivative, is bounded. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dvbdfbdioo.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
dvbdfbdioo.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
dvbdfbdioo.altb  |-  ( ph  ->  A  <  B )
dvbdfbdioo.f  |-  ( ph  ->  F : ( A (,) B ) --> RR )
dvbdfbdioo.dmdv  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  F )  =  ( A (,) B ) )
dvbdfbdioo.dvbd  |-  ( ph  ->  E. a  e.  RR  A. x  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `
 x ) )  <_  a )
Assertion
Ref Expression
dvbdfbdioo  |-  ( ph  ->  E. b  e.  RR  A. x  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  b )
Distinct variable groups:    A, a,
b, x    B, a,
b, x    F, a,
b, x    ph, a
Allowed substitution hints:    ph( x, b)

Proof of Theorem dvbdfbdioo
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvbdfbdioo.f . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : ( A (,) B ) --> RR )
2 dvbdfbdioo.a . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
32rexrd 9632 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
4 dvbdfbdioo.b . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
54rexrd 9632 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
62, 4readdcld 9612 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  +  B
)  e.  RR )
76rehalfcld 10781 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  /  2
)  e.  RR )
8 dvbdfbdioo.altb . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  <  B )
9 avglt1 10772 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  <->  A  <  ( ( A  +  B )  / 
2 ) ) )
102, 4, 9syl2anc 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  <->  A  <  ( ( A  +  B )  / 
2 ) ) )
118, 10mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  <  ( ( A  +  B )  /  2 ) )
12 avglt2 10773 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  <->  ( ( A  +  B
)  /  2 )  <  B ) )
132, 4, 12syl2anc 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  <->  ( ( A  +  B
)  /  2 )  <  B ) )
148, 13mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  /  2
)  <  B )
153, 5, 7, 11, 14eliood 31773 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  /  2
)  e.  ( A (,) B ) )
161, 15ffvelrnd 6008 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  e.  RR )
1716recnd 9611 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  e.  CC )
1817abscld 13352 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  ( ( A  +  B )  /  2 ) ) )  e.  RR )
1918ad2antrr 723 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. x  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  x
) )  <_  a
)  ->  ( abs `  ( F `  (
( A  +  B
)  /  2 ) ) )  e.  RR )
20 simplr 753 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. x  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  x
) )  <_  a
)  ->  a  e.  RR )
214ad2antrr 723 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. x  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  x
) )  <_  a
)  ->  B  e.  RR )
222ad2antrr 723 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. x  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  x
) )  <_  a
)  ->  A  e.  RR )
2321, 22resubcld 9983 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. x  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  x
) )  <_  a
)  ->  ( B  -  A )  e.  RR )
2420, 23remulcld 9613 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. x  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  x
) )  <_  a
)  ->  ( a  x.  ( B  -  A
) )  e.  RR )
2519, 24readdcld 9612 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. x  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  x
) )  <_  a
)  ->  ( ( abs `  ( F `  ( ( A  +  B )  /  2
) ) )  +  ( a  x.  ( B  -  A )
) )  e.  RR )
268ad2antrr 723 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. x  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  x
) )  <_  a
)  ->  A  <  B )
271ad2antrr 723 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. x  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  x
) )  <_  a
)  ->  F :
( A (,) B
) --> RR )
28 dvbdfbdioo.dmdv . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  F )  =  ( A (,) B ) )
2928ad2antrr 723 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. x  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  x
) )  <_  a
)  ->  dom  ( RR 
_D  F )  =  ( A (,) B
) )
30 fveq2 5848 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( RR  _D  F
) `  x )  =  ( ( RR 
_D  F ) `  y ) )
3130fveq2d 5852 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  ( abs `  ( ( RR 
_D  F ) `  x ) )  =  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  y )
) )
3231breq1d 4449 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
( abs `  (
( RR  _D  F
) `  x )
)  <_  a  <->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  y
) )  <_  a
) )
3332cbvralv 3081 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  x
) )  <_  a  <->  A. y  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `
 y ) )  <_  a )
3433biimpi 194 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  x
) )  <_  a  ->  A. y  e.  ( A (,) B ) ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  y )
)  <_  a )
3534adantl 464 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. x  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  x
) )  <_  a
)  ->  A. y  e.  ( A (,) B
) ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  y )
)  <_  a )
36 eqid 2454 . . . 4  |-  ( ( abs `  ( F `
 ( ( A  +  B )  / 
2 ) ) )  +  ( a  x.  ( B  -  A
) ) )  =  ( ( abs `  ( F `  ( ( A  +  B )  /  2 ) ) )  +  ( a  x.  ( B  -  A ) ) )
3722, 21, 26, 27, 29, 20, 35, 36dvbdfbdioolem2 31968 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. x  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  x
) )  <_  a
)  ->  A. y  e.  ( A (,) B
) ( abs `  ( F `  y )
)  <_  ( ( abs `  ( F `  ( ( A  +  B )  /  2
) ) )  +  ( a  x.  ( B  -  A )
) ) )
38 fveq2 5848 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )
3938fveq2d 5852 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  =  ( abs `  ( F `  y )
) )
4039breq1d 4449 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( abs `  ( F `  x )
)  <_  b  <->  ( abs `  ( F `  y
) )  <_  b
) )
4140cbvralv 3081 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( F `  x
) )  <_  b  <->  A. y  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  b )
42 breq2 4443 . . . . . 6  |-  ( b  =  ( ( abs `  ( F `  (
( A  +  B
)  /  2 ) ) )  +  ( a  x.  ( B  -  A ) ) )  ->  ( ( abs `  ( F `  y ) )  <_ 
b  <->  ( abs `  ( F `  y )
)  <_  ( ( abs `  ( F `  ( ( A  +  B )  /  2
) ) )  +  ( a  x.  ( B  -  A )
) ) ) )
4342ralbidv 2893 . . . . 5  |-  ( b  =  ( ( abs `  ( F `  (
( A  +  B
)  /  2 ) ) )  +  ( a  x.  ( B  -  A ) ) )  ->  ( A. y  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( F `  y
) )  <_  b  <->  A. y  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  ( ( abs `  ( F `  (
( A  +  B
)  /  2 ) ) )  +  ( a  x.  ( B  -  A ) ) ) ) )
4441, 43syl5bb 257 . . . 4  |-  ( b  =  ( ( abs `  ( F `  (
( A  +  B
)  /  2 ) ) )  +  ( a  x.  ( B  -  A ) ) )  ->  ( A. x  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( F `  x
) )  <_  b  <->  A. y  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  ( ( abs `  ( F `  (
( A  +  B
)  /  2 ) ) )  +  ( a  x.  ( B  -  A ) ) ) ) )
4544rspcev 3207 . . 3  |-  ( ( ( ( abs `  ( F `  ( ( A  +  B )  /  2 ) ) )  +  ( a  x.  ( B  -  A ) ) )  e.  RR  /\  A. y  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( F `  y
) )  <_  (
( abs `  ( F `  ( ( A  +  B )  /  2 ) ) )  +  ( a  x.  ( B  -  A ) ) ) )  ->  E. b  e.  RR  A. x  e.  ( A (,) B
) ( abs `  ( F `  x )
)  <_  b )
4625, 37, 45syl2anc 659 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. x  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  x
) )  <_  a
)  ->  E. b  e.  RR  A. x  e.  ( A (,) B
) ( abs `  ( F `  x )
)  <_  b )
47 dvbdfbdioo.dvbd . 2  |-  ( ph  ->  E. a  e.  RR  A. x  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `
 x ) )  <_  a )
4846, 47r19.29a 2996 1  |-  ( ph  ->  E. b  e.  RR  A. x  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  b )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804   E.wrex 2805   class class class wbr 4439   dom cdm 4988   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   RRcr 9480    + caddc 9484    x. cmul 9486    < clt 9617    <_ cle 9618    - cmin 9796    / cdiv 10202   2c2 10581   (,)cioo 11532   abscabs 13152    _D cdv 22436
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-fi 7863  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-ioo 11536  df-ico 11538  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-seq 12093  df-exp 12152  df-hash 12391  df-cj 13017  df-re 13018  df-im 13019  df-sqrt 13153  df-abs 13154  df-struct 14721  df-ndx 14722  df-slot 14723  df-base 14724  df-sets 14725  df-ress 14726  df-plusg 14800  df-mulr 14801  df-starv 14802  df-sca 14803  df-vsca 14804  df-ip 14805  df-tset 14806  df-ple 14807  df-ds 14809  df-unif 14810  df-hom 14811  df-cco 14812  df-rest 14915  df-topn 14916  df-0g 14934  df-gsum 14935  df-topgen 14936  df-pt 14937  df-prds 14940  df-xrs 14994  df-qtop 14999  df-imas 15000  df-xps 15002  df-mre 15078  df-mrc 15079  df-acs 15081  df-mgm 16074  df-sgrp 16113  df-mnd 16123  df-submnd 16169  df-mulg 16262  df-cntz 16557  df-cmn 17002  df-psmet 18609  df-xmet 18610  df-met 18611  df-bl 18612  df-mopn 18613  df-fbas 18614  df-fg 18615  df-cnfld 18619  df-top 19569  df-bases 19571  df-topon 19572  df-topsp 19573  df-cld 19690  df-ntr 19691  df-cls 19692  df-nei 19769  df-lp 19807  df-perf 19808  df-cn 19898  df-cnp 19899  df-haus 19986  df-cmp 20057  df-tx 20232  df-hmeo 20425  df-fil 20516  df-fm 20608  df-flim 20609  df-flf 20610  df-xms 20992  df-ms 20993  df-tms 20994  df-cncf 21551  df-limc 22439  df-dv 22440
This theorem is referenced by:  ioodvbdlimc1lem2  31971  ioodvbdlimc2lem  31973
  Copyright terms: Public domain W3C validator