Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvavsca Structured version   Unicode version

Theorem dvavsca 35690
Description: Ring addition operation for the constructed partial vector space A. (Contributed by NM, 11-Oct-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
dvafvsca.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dvafvsca.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
dvafvsca.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
dvafvsca.u  |-  U  =  ( ( DVecA `  K
) `  W )
dvafvsca.s  |-  .x.  =  ( .s `  U )
Assertion
Ref Expression
dvavsca  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  ( R  e.  E  /\  F  e.  T ) )  -> 
( R  .x.  F
)  =  ( R `
 F ) )

Proof of Theorem dvavsca
Dummy variables  f 
s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvafvsca.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 dvafvsca.t . . . 4  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
3 dvafvsca.e . . . 4  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
4 dvafvsca.u . . . 4  |-  U  =  ( ( DVecA `  K
) `  W )
5 dvafvsca.s . . . 4  |-  .x.  =  ( .s `  U )
61, 2, 3, 4, 5dvafvsca 35689 . . 3  |-  ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  ->  .x.  =  ( s  e.  E ,  f  e.  T  |->  ( s `
 f ) ) )
76oveqd 6294 . 2  |-  ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  ->  ( R  .x.  F
)  =  ( R ( s  e.  E ,  f  e.  T  |->  ( s `  f
) ) F ) )
8 fveq1 5858 . . 3  |-  ( s  =  R  ->  (
s `  f )  =  ( R `  f ) )
9 fveq2 5859 . . 3  |-  ( f  =  F  ->  ( R `  f )  =  ( R `  F ) )
10 eqid 2462 . . 3  |-  ( s  e.  E ,  f  e.  T  |->  ( s `
 f ) )  =  ( s  e.  E ,  f  e.  T  |->  ( s `  f ) )
11 fvex 5869 . . 3  |-  ( R `
 F )  e. 
_V
128, 9, 10, 11ovmpt2 6415 . 2  |-  ( ( R  e.  E  /\  F  e.  T )  ->  ( R ( s  e.  E ,  f  e.  T  |->  ( s `
 f ) ) F )  =  ( R `  F ) )
137, 12sylan9eq 2523 1  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  ( R  e.  E  /\  F  e.  T ) )  -> 
( R  .x.  F
)  =  ( R `
 F ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   ` cfv 5581  (class class class)co 6277    |-> cmpt2 6279   .scvsca 14550   LHypclh 34657   LTrncltrn 34774   TEndoctendo 35425   DVecAcdveca 35675
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-4 10587  df-5 10588  df-6 10589  df-n0 10787  df-z 10856  df-uz 11074  df-fz 11664  df-struct 14483  df-ndx 14484  df-slot 14485  df-base 14486  df-plusg 14559  df-sca 14562  df-vsca 14563  df-dveca 35676
This theorem is referenced by:  dvalveclem  35699  dialss  35720  dia1dim2  35736
  Copyright terms: Public domain W3C validator