Theorem dvatan 22289

Description: The derivative of the arctangent. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
atansopn.d	|- D = ( CC \ ( -oo (,] 0 ) )
atansopn.s	|- S = { y e. CC | ( 1 + ( y ^ 2 ) ) e. D }

Assertion

Ref	Expression
dvatan	|- ( CC _D (arctan |` S ) ) = ( x e. S |-> ( 1 / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, D   x, S

Allowed substitution hint:   S( y)

Proof of Theorem dvatan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnelprrecn 9371	. . . . 5 |- CC e. { RR , CC }
2	1	a1i 11	. . . 4 |- ( T. -> CC e. { RR , CC } )
3		ax-1cn 9336	. . . . . . 7 |- 1 e. CC
4		ax-icn 9337	. . . . . . . 8 |- _i e. CC
5		atansopn.d	. . . . . . . . . . . 12 |- D = ( CC \ ( -oo (,] 0 ) )
6		atansopn.s	. . . . . . . . . . . 12 |- S = { y e. CC | ( 1 + ( y ^ 2 ) ) e. D }
7	5, 6	atansssdm 22287	. . . . . . . . . . 11 |- S C_ dom arctan
8		simpr 458	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> x e. S )
9	7, 8	sseldi 3351	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> x e. dom arctan )
10		atandm2 22231	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. dom arctan <-> ( x e. CC /\ ( 1 - ( _i x. x ) ) =/= 0 /\ ( 1 + ( _i x. x ) ) =/= 0 ) )
11	9, 10	sylib 196	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( x e. CC /\ ( 1 - ( _i x. x ) ) =/= 0 /\ ( 1 + ( _i x. x ) ) =/= 0 ) )
12	11	simp1d 995	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> x e. CC )
13		mulcl 9362	. . . . . . . 8 |- ( ( _i e. CC /\ x e. CC ) -> ( _i x. x ) e. CC )
14	4, 12, 13	sylancr 658	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( _i x. x ) e. CC )
15		subcl 9605	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. CC /\ ( _i x. x ) e. CC ) -> ( 1 - ( _i x. x ) ) e. CC )
16	3, 14, 15	sylancr 658	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( 1 - ( _i x. x ) ) e. CC )
17	11	simp2d 996	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( 1 - ( _i x. x ) ) =/= 0 )
18	16, 17	logcld 21981	. . . . 5 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( log ` ( 1 - ( _i x. x ) ) ) e. CC )
19		addcl 9360	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. CC /\ ( _i x. x ) e. CC ) -> ( 1 + ( _i x. x ) ) e. CC )
20	3, 14, 19	sylancr 658	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( 1 + ( _i x. x ) ) e. CC )
21	11	simp3d 997	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( 1 + ( _i x. x ) ) =/= 0 )
22	20, 21	logcld 21981	. . . . 5 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( log ` ( 1 + ( _i x. x ) ) ) e. CC )
23	18, 22	subcld 9715	. . . 4 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( log ` ( 1 - ( _i x. x ) ) ) - ( log ` ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) e. CC )
24		ovex 6115	. . . . 5 |- ( ( 2 / _i ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) e. _V
25	24	a1i 11	. . . 4 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( 2 / _i ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) e. _V )
26		ovex 6115	. . . . . . 7 |- ( 1 / ( x + _i ) ) e. _V
27	26	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( 1 / ( x + _i ) ) e. _V )
28	5, 6	atans2 22285	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. S <-> ( x e. CC /\ ( 1 - ( _i x. x ) ) e. D /\ ( 1 + ( _i x. x ) ) e. D ) )
29	28	simp2bi 999	. . . . . . . . 9 |- ( x e. S -> ( 1 - ( _i x. x ) ) e. D )
30	29	adantl 463	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( 1 - ( _i x. x ) ) e. D )
31		negex 9604	. . . . . . . . 9 |- -u _i e. _V
32	31	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> -u _i e. _V )
33	5	logdmss 22046	. . . . . . . . . 10 |- D C_ ( CC \ { 0 } )
34		simpr 458	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ y e. D ) -> y e. D )
35	33, 34	sseldi 3351	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ y e. D ) -> y e. ( CC \ { 0 } ) )
36		logf1o 21975	. . . . . . . . . . 11 |- log : ( CC \ { 0 } ) -1-1-onto-> ran log
37		f1of 5638	. . . . . . . . . . 11 |- ( log : ( CC \ { 0 } ) -1-1-onto-> ran log -> log : ( CC \ { 0 } ) --> ran log )
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- log : ( CC \ { 0 } ) --> ran log
39	38	ffvelrni 5839	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( CC \ { 0 } ) -> ( log ` y ) e. ran log )
40		logrncn 21973	. . . . . . . . 9 |- ( ( log ` y ) e. ran log -> ( log ` y ) e. CC )
41	35, 39, 40	3syl 20	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ y e. D ) -> ( log ` y ) e. CC )
42		ovex 6115	. . . . . . . . 9 |- ( 1 / y ) e. _V
43	42	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ y e. D ) -> ( 1 / y ) e. _V )
44	4	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( T. -> _i e. CC )
45	44, 13	sylan 468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. CC ) -> ( _i x. x ) e. CC )
46	3, 45, 15	sylancr 658	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. CC ) -> ( 1 - ( _i x. x ) ) e. CC )
47	31	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. CC ) -> -u _i e. _V )
48		1cnd 9398	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. CC ) -> 1 e. CC )
49		0cnd 9375	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. CC ) -> 0 e. CC )
50		1cnd 9398	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T. -> 1 e. CC )
51	2, 50	dvmptc 21391	. . . . . . . . . . 11 |- ( T. -> ( CC _D ( x e. CC |-> 1 ) ) = ( x e. CC |-> 0 ) )
52	4	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. CC ) -> _i e. CC )
53		simpr 458	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T. /\ x e. CC ) -> x e. CC )
54	2	dvmptid 21390	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( T. -> ( CC _D ( x e. CC |-> x ) ) = ( x e. CC |-> 1 ) )
55	2, 53, 48, 54, 44	dvmptcmul 21397	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T. -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( _i x. x ) ) ) = ( x e. CC |-> ( _i x. 1 ) ) )
56	4	mulid1i 9384	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( _i x. 1 ) = _i
57	56	mpteq2i 4372	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. CC |-> ( _i x. 1 ) ) = ( x e. CC |-> _i )
58	55, 57	syl6eq 2489	. . . . . . . . . . 11 |- ( T. -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( _i x. x ) ) ) = ( x e. CC |-> _i ) )
59	2, 48, 49, 51, 45, 52, 58	dvmptsub 21400	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( 1 - ( _i x. x ) ) ) ) = ( x e. CC |-> ( 0 - _i ) ) )
60		df-neg 9594	. . . . . . . . . . 11 |- -u _i = ( 0 - _i )
61	60	mpteq2i 4372	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC |-> -u _i ) = ( x e. CC |-> ( 0 - _i ) )
62	59, 61	syl6eqr 2491	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( 1 - ( _i x. x ) ) ) ) = ( x e. CC |-> -u _i ) )
63		eqid 2441	. . . . . . . . . . . 12 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
64	63	cnfldtopon 20321	. . . . . . . . . . 11 |- ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC )
65	5, 6	atansopn 22286	. . . . . . . . . . 11 |- S e. ( TopOpen ` ℂfld )
66		toponss 18493	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC ) /\ S e. ( TopOpen ` ℂfld ) ) -> S C_ CC )
67	64, 65, 66	mp2an 667	. . . . . . . . . 10 |- S C_ CC
68	67	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> S C_ CC )
69	63	cnfldtop 20322	. . . . . . . . . . 11 |- ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top
70	64	toponunii 18496	. . . . . . . . . . . 12 |- CC = U. ( TopOpen ` ℂfld )
71	70	restid 14368	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t CC ) = ( TopOpen ` ℂfld ) )
72	69, 71	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t CC ) = ( TopOpen ` ℂfld )
73	72	eqcomi 2445	. . . . . . . . 9 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t CC )
74	65	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> S e. ( TopOpen ` ℂfld ) )
75	2, 46, 47, 62, 68, 73, 63, 74	dvmptres 21396	. . . . . . . 8 |- ( T. -> ( CC _D ( x e. S |-> ( 1 - ( _i x. x ) ) ) ) = ( x e. S |-> -u _i ) )
76		fssres 5575	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( log : ( CC \ { 0 } ) --> ran log /\ D C_ ( CC \ { 0 } ) ) -> ( log |` D ) : D --> ran log )
77	38, 33, 76	mp2an 667	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( log |` D ) : D --> ran log
78	77	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T. -> ( log |` D ) : D --> ran log )
79	78	feqmptd 5741	. . . . . . . . . . 11 |- ( T. -> ( log |` D ) = ( y e. D |-> ( ( log |` D ) ` y ) ) )
80		fvres 5701	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. D -> ( ( log |` D ) ` y ) = ( log ` y ) )
81	80	mpteq2ia 4371	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. D |-> ( ( log |` D ) ` y ) ) = ( y e. D |-> ( log ` y ) )
82	79, 81	syl6req 2490	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> ( y e. D |-> ( log ` y ) ) = ( log |` D ) )
83	82	oveq2d 6106	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> ( CC _D ( y e. D |-> ( log ` y ) ) ) = ( CC _D ( log |` D ) ) )
84	5	dvlog 22055	. . . . . . . . 9 |- ( CC _D ( log |` D ) ) = ( y e. D |-> ( 1 / y ) )
85	83, 84	syl6eq 2489	. . . . . . . 8 |- ( T. -> ( CC _D ( y e. D |-> ( log ` y ) ) ) = ( y e. D |-> ( 1 / y ) ) )
86		fveq2 5688	. . . . . . . 8 |- ( y = ( 1 - ( _i x. x ) ) -> ( log ` y ) = ( log ` ( 1 - ( _i x. x ) ) ) )
87		oveq2 6098	. . . . . . . 8 |- ( y = ( 1 - ( _i x. x ) ) -> ( 1 / y ) = ( 1 / ( 1 - ( _i x. x ) ) ) )
88	2, 2, 30, 32, 41, 43, 75, 85, 86, 87	dvmptco 21405	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( CC _D ( x e. S |-> ( log ` ( 1 - ( _i x. x ) ) ) ) ) = ( x e. S |-> ( ( 1 / ( 1 - ( _i x. x ) ) ) x. -u _i ) ) )
89		irec 11961	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 / _i ) = -u _i
90	89	oveq2i 6101	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 / ( 1 - ( _i x. x ) ) ) x. ( 1 / _i ) ) = ( ( 1 / ( 1 - ( _i x. x ) ) ) x. -u _i )
91	4	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> _i e. CC )
92		ine0 9776	. . . . . . . . . . . 12 |- _i =/= 0
93	92	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> _i =/= 0 )
94	16, 91, 17, 93	recdiv2d 10121	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( 1 / ( 1 - ( _i x. x ) ) ) / _i ) = ( 1 / ( ( 1 - ( _i x. x ) ) x. _i ) ) )
95	16, 17	reccld 10096	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( 1 / ( 1 - ( _i x. x ) ) ) e. CC )
96	95, 91, 93	divrecd 10106	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( 1 / ( 1 - ( _i x. x ) ) ) / _i ) = ( ( 1 / ( 1 - ( _i x. x ) ) ) x. ( 1 / _i ) ) )
97		1cnd 9398	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> 1 e. CC )
98	97, 14, 91	subdird 9797	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( 1 - ( _i x. x ) ) x. _i ) = ( ( 1 x. _i ) - ( ( _i x. x ) x. _i ) ) )
99	4	mulid2i 9385	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1 x. _i ) = _i
100	99	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( 1 x. _i ) = _i )
101	91, 12, 91	mul32d 9575	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( _i x. x ) x. _i ) = ( ( _i x. _i ) x. x ) )
102		ixi 9961	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( _i x. _i ) = -u 1
103	102	oveq1i 6100	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( _i x. _i ) x. x ) = ( -u 1 x. x )
104	12	mulm1d 9792	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( -u 1 x. x ) = -u x )
105	103, 104	syl5eq 2485	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( _i x. _i ) x. x ) = -u x )
106	101, 105	eqtrd 2473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( _i x. x ) x. _i ) = -u x )
107	100, 106	oveq12d 6108	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( 1 x. _i ) - ( ( _i x. x ) x. _i ) ) = ( _i - -u x ) )
108		subneg 9654	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( _i e. CC /\ x e. CC ) -> ( _i - -u x ) = ( _i + x ) )
109	4, 12, 108	sylancr 658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( _i - -u x ) = ( _i + x ) )
110	98, 107, 109	3eqtrd 2477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( 1 - ( _i x. x ) ) x. _i ) = ( _i + x ) )
111		addcom 9551	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( _i e. CC /\ x e. CC ) -> ( _i + x ) = ( x + _i ) )
112	4, 12, 111	sylancr 658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( _i + x ) = ( x + _i ) )
113	110, 112	eqtrd 2473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( 1 - ( _i x. x ) ) x. _i ) = ( x + _i ) )
114	113	oveq2d 6106	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( 1 / ( ( 1 - ( _i x. x ) ) x. _i ) ) = ( 1 / ( x + _i ) ) )
115	94, 96, 114	3eqtr3d 2481	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( 1 / ( 1 - ( _i x. x ) ) ) x. ( 1 / _i ) ) = ( 1 / ( x + _i ) ) )
116	90, 115	syl5eqr 2487	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( 1 / ( 1 - ( _i x. x ) ) ) x. -u _i ) = ( 1 / ( x + _i ) ) )
117	116	mpteq2dva 4375	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( x e. S |-> ( ( 1 / ( 1 - ( _i x. x ) ) ) x. -u _i ) ) = ( x e. S |-> ( 1 / ( x + _i ) ) ) )
118	88, 117	eqtrd 2473	. . . . . 6 |- ( T. -> ( CC _D ( x e. S |-> ( log ` ( 1 - ( _i x. x ) ) ) ) ) = ( x e. S |-> ( 1 / ( x + _i ) ) ) )
119		ovex 6115	. . . . . . 7 |- ( 1 / ( x - _i ) ) e. _V
120	119	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( 1 / ( x - _i ) ) e. _V )
121	28	simp3bi 1000	. . . . . . . . 9 |- ( x e. S -> ( 1 + ( _i x. x ) ) e. D )
122	121	adantl 463	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( 1 + ( _i x. x ) ) e. D )
123	3, 45, 19	sylancr 658	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. CC ) -> ( 1 + ( _i x. x ) ) e. CC )
124	2, 48, 49, 51, 45, 52, 58	dvmptadd 21393	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) = ( x e. CC |-> ( 0 + _i ) ) )
125	4	addid2i 9553	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 + _i ) = _i
126	125	mpteq2i 4372	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC |-> ( 0 + _i ) ) = ( x e. CC |-> _i )
127	124, 126	syl6eq 2489	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) = ( x e. CC |-> _i ) )
128	2, 123, 52, 127, 68, 73, 63, 74	dvmptres 21396	. . . . . . . 8 |- ( T. -> ( CC _D ( x e. S |-> ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) = ( x e. S |-> _i ) )
129		fveq2 5688	. . . . . . . 8 |- ( y = ( 1 + ( _i x. x ) ) -> ( log ` y ) = ( log ` ( 1 + ( _i x. x ) ) ) )
130		oveq2 6098	. . . . . . . 8 |- ( y = ( 1 + ( _i x. x ) ) -> ( 1 / y ) = ( 1 / ( 1 + ( _i x. x ) ) ) )
131	2, 2, 122, 91, 41, 43, 128, 85, 129, 130	dvmptco 21405	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( CC _D ( x e. S |-> ( log ` ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) ) = ( x e. S |-> ( ( 1 / ( 1 + ( _i x. x ) ) ) x. _i ) ) )
132	97, 20, 91, 21, 93	divdiv2d 10135	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( 1 / ( ( 1 + ( _i x. x ) ) / _i ) ) = ( ( 1 x. _i ) / ( 1 + ( _i x. x ) ) ) )
133	97, 14, 91, 93	divdird 10141	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( 1 + ( _i x. x ) ) / _i ) = ( ( 1 / _i ) + ( ( _i x. x ) / _i ) ) )
134	89	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( 1 / _i ) = -u _i )
135	12, 91, 93	divcan3d 10108	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( _i x. x ) / _i ) = x )
136	134, 135	oveq12d 6108	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( 1 / _i ) + ( ( _i x. x ) / _i ) ) = ( -u _i + x ) )
137		negicn 9607	. . . . . . . . . . . . 13 |- -u _i e. CC
138		addcom 9551	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -u _i e. CC /\ x e. CC ) -> ( -u _i + x ) = ( x + -u _i ) )
139	137, 12, 138	sylancr 658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( -u _i + x ) = ( x + -u _i ) )
140		negsub 9653	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. CC /\ _i e. CC ) -> ( x + -u _i ) = ( x - _i ) )
141	12, 4, 140	sylancl 657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( x + -u _i ) = ( x - _i ) )
142	139, 141	eqtrd 2473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( -u _i + x ) = ( x - _i ) )
143	133, 136, 142	3eqtrd 2477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( 1 + ( _i x. x ) ) / _i ) = ( x - _i ) )
144	143	oveq2d 6106	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( 1 / ( ( 1 + ( _i x. x ) ) / _i ) ) = ( 1 / ( x - _i ) ) )
145	97, 91, 20, 21	div23d 10140	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( 1 x. _i ) / ( 1 + ( _i x. x ) ) ) = ( ( 1 / ( 1 + ( _i x. x ) ) ) x. _i ) )
146	132, 144, 145	3eqtr3rd 2482	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( 1 / ( 1 + ( _i x. x ) ) ) x. _i ) = ( 1 / ( x - _i ) ) )
147	146	mpteq2dva 4375	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( x e. S |-> ( ( 1 / ( 1 + ( _i x. x ) ) ) x. _i ) ) = ( x e. S |-> ( 1 / ( x - _i ) ) ) )
148	131, 147	eqtrd 2473	. . . . . 6 |- ( T. -> ( CC _D ( x e. S |-> ( log ` ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) ) = ( x e. S |-> ( 1 / ( x - _i ) ) ) )
149	2, 18, 27, 118, 22, 120, 148	dvmptsub 21400	. . . . 5 |- ( T. -> ( CC _D ( x e. S |-> ( ( log ` ( 1 - ( _i x. x ) ) ) - ( log ` ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) ) ) = ( x e. S |-> ( ( 1 / ( x + _i ) ) - ( 1 / ( x - _i ) ) ) ) )
150		subcl 9605	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ _i e. CC ) -> ( x - _i ) e. CC )
151	12, 4, 150	sylancl 657	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( x - _i ) e. CC )
152		addcl 9360	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ _i e. CC ) -> ( x + _i ) e. CC )
153	12, 4, 152	sylancl 657	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( x + _i ) e. CC )
154	12	sqcld 12002	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( x ^ 2 ) e. CC )
155		addcl 9360	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 e. CC /\ ( x ^ 2 ) e. CC ) -> ( 1 + ( x ^ 2 ) ) e. CC )
156	3, 154, 155	sylancr 658	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( 1 + ( x ^ 2 ) ) e. CC )
157		atandm4 22233	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. dom arctan <-> ( x e. CC /\ ( 1 + ( x ^ 2 ) ) =/= 0 ) )
158	157	simprbi 461	. . . . . . . . 9 |- ( x e. dom arctan -> ( 1 + ( x ^ 2 ) ) =/= 0 )
159	9, 158	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( 1 + ( x ^ 2 ) ) =/= 0 )
160	151, 153, 156, 159	divsubdird 10142	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( ( x - _i ) - ( x + _i ) ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) = ( ( ( x - _i ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) - ( ( x + _i ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) ) )
161	141	oveq1d 6105	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( x + -u _i ) - ( x + _i ) ) = ( ( x - _i ) - ( x + _i ) ) )
162	137	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> -u _i e. CC )
163	12, 162, 91	pnpcand 9752	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( x + -u _i ) - ( x + _i ) ) = ( -u _i - _i ) )
164	161, 163	eqtr3d 2475	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( x - _i ) - ( x + _i ) ) = ( -u _i - _i ) )
165		2cn 10388	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. CC
166	165, 4, 92	divreci 10072	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 / _i ) = ( 2 x. ( 1 / _i ) )
167	89	oveq2i 6101	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 x. ( 1 / _i ) ) = ( 2 x. -u _i )
168	166, 167	eqtri 2461	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 / _i ) = ( 2 x. -u _i )
169	137	2timesi 10438	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 x. -u _i ) = ( -u _i + -u _i )
170	137, 4	negsubi 9682	. . . . . . . . . 10 |- ( -u _i + -u _i ) = ( -u _i - _i )
171	168, 169, 170	3eqtri 2465	. . . . . . . . 9 |- ( 2 / _i ) = ( -u _i - _i )
172	164, 171	syl6eqr 2491	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( x - _i ) - ( x + _i ) ) = ( 2 / _i ) )
173	172	oveq1d 6105	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( ( x - _i ) - ( x + _i ) ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) = ( ( 2 / _i ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) )
174	151	mulid1d 9399	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( x - _i ) x. 1 ) = ( x - _i ) )
175	151, 153	mulcomd 9403	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( x - _i ) x. ( x + _i ) ) = ( ( x + _i ) x. ( x - _i ) ) )
176		i2 11962	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( _i ^ 2 ) = -u 1
177	176	oveq2i 6101	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x ^ 2 ) - ( _i ^ 2 ) ) = ( ( x ^ 2 ) - -u 1 )
178		subneg 9654	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x ^ 2 ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( x ^ 2 ) - -u 1 ) = ( ( x ^ 2 ) + 1 ) )
179	154, 3, 178	sylancl 657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( x ^ 2 ) - -u 1 ) = ( ( x ^ 2 ) + 1 ) )
180	177, 179	syl5eq 2485	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( x ^ 2 ) - ( _i ^ 2 ) ) = ( ( x ^ 2 ) + 1 ) )
181		subsq 11969	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. CC /\ _i e. CC ) -> ( ( x ^ 2 ) - ( _i ^ 2 ) ) = ( ( x + _i ) x. ( x - _i ) ) )
182	12, 4, 181	sylancl 657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( x ^ 2 ) - ( _i ^ 2 ) ) = ( ( x + _i ) x. ( x - _i ) ) )
183		addcom 9551	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x ^ 2 ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( x ^ 2 ) + 1 ) = ( 1 + ( x ^ 2 ) ) )
184	154, 3, 183	sylancl 657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( x ^ 2 ) + 1 ) = ( 1 + ( x ^ 2 ) ) )
185	180, 182, 184	3eqtr3d 2481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( x + _i ) x. ( x - _i ) ) = ( 1 + ( x ^ 2 ) ) )
186	175, 185	eqtrd 2473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( x - _i ) x. ( x + _i ) ) = ( 1 + ( x ^ 2 ) ) )
187	174, 186	oveq12d 6108	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( ( x - _i ) x. 1 ) / ( ( x - _i ) x. ( x + _i ) ) ) = ( ( x - _i ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) )
188		subneg 9654	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. CC /\ _i e. CC ) -> ( x - -u _i ) = ( x + _i ) )
189	12, 4, 188	sylancl 657	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( x - -u _i ) = ( x + _i ) )
190		atandm 22230	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. dom arctan <-> ( x e. CC /\ x =/= -u _i /\ x =/= _i ) )
191	9, 190	sylib 196	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( x e. CC /\ x =/= -u _i /\ x =/= _i ) )
192	191	simp2d 996	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> x =/= -u _i )
193		subeq0 9631	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. CC /\ -u _i e. CC ) -> ( ( x - -u _i ) = 0 <-> x = -u _i ) )
194	193	necon3bid 2641	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. CC /\ -u _i e. CC ) -> ( ( x - -u _i ) =/= 0 <-> x =/= -u _i ) )
195	12, 137, 194	sylancl 657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( x - -u _i ) =/= 0 <-> x =/= -u _i ) )
196	192, 195	mpbird 232	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( x - -u _i ) =/= 0 )
197	189, 196	eqnetrrd 2626	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( x + _i ) =/= 0 )
198	191	simp3d 997	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> x =/= _i )
199		subeq0 9631	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. CC /\ _i e. CC ) -> ( ( x - _i ) = 0 <-> x = _i ) )
200	199	necon3bid 2641	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. CC /\ _i e. CC ) -> ( ( x - _i ) =/= 0 <-> x =/= _i ) )
201	12, 4, 200	sylancl 657	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( x - _i ) =/= 0 <-> x =/= _i ) )
202	198, 201	mpbird 232	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( x - _i ) =/= 0 )
203	97, 153, 151, 197, 202	divcan5d 10129	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( ( x - _i ) x. 1 ) / ( ( x - _i ) x. ( x + _i ) ) ) = ( 1 / ( x + _i ) ) )
204	187, 203	eqtr3d 2475	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( x - _i ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) = ( 1 / ( x + _i ) ) )
205	153	mulid1d 9399	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( x + _i ) x. 1 ) = ( x + _i ) )
206	205, 185	oveq12d 6108	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( ( x + _i ) x. 1 ) / ( ( x + _i ) x. ( x - _i ) ) ) = ( ( x + _i ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) )
207	97, 151, 153, 202, 197	divcan5d 10129	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( ( x + _i ) x. 1 ) / ( ( x + _i ) x. ( x - _i ) ) ) = ( 1 / ( x - _i ) ) )
208	206, 207	eqtr3d 2475	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( x + _i ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) = ( 1 / ( x - _i ) ) )
209	204, 208	oveq12d 6108	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( ( x - _i ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) - ( ( x + _i ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) ) = ( ( 1 / ( x + _i ) ) - ( 1 / ( x - _i ) ) ) )
210	160, 173, 209	3eqtr3rd 2482	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( 1 / ( x + _i ) ) - ( 1 / ( x - _i ) ) ) = ( ( 2 / _i ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) )
211	210	mpteq2dva 4375	. . . . 5 |- ( T. -> ( x e. S |-> ( ( 1 / ( x + _i ) ) - ( 1 / ( x - _i ) ) ) ) = ( x e. S |-> ( ( 2 / _i ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) ) )
212	149, 211	eqtrd 2473	. . . 4 |- ( T. -> ( CC _D ( x e. S |-> ( ( log ` ( 1 - ( _i x. x ) ) ) - ( log ` ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) ) ) = ( x e. S |-> ( ( 2 / _i ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) ) )
213		halfcl 10546	. . . . 5 |- ( _i e. CC -> ( _i / 2 ) e. CC )
214	4, 213	mp1i 12	. . . 4 |- ( T. -> ( _i / 2 ) e. CC )
215	2, 23, 25, 212, 214	dvmptcmul 21397	. . 3 |- ( T. -> ( CC _D ( x e. S |-> ( ( _i / 2 ) x. ( ( log ` ( 1 - ( _i x. x ) ) ) - ( log ` ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) ) ) ) = ( x e. S |-> ( ( _i / 2 ) x. ( ( 2 / _i ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
216		df-atan 22221	. . . . . . 7 |- arctan = ( x e. ( CC \ { -u _i , _i } ) |-> ( ( _i / 2 ) x. ( ( log ` ( 1 - ( _i x. x ) ) ) - ( log ` ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) ) )
217	216	reseq1i 5102	. . . . . 6 |- (arctan |` S ) = ( ( x e. ( CC \ { -u _i , _i } ) |-> ( ( _i / 2 ) x. ( ( log ` ( 1 - ( _i x. x ) ) ) - ( log ` ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) ) ) |` S )
218		atanf 22234	. . . . . . . . 9 |- arctan : ( CC \ { -u _i , _i } ) --> CC
219	218	fdmi 5561	. . . . . . . 8 |- dom arctan = ( CC \ { -u _i , _i } )
220	7, 219	sseqtri 3385	. . . . . . 7 |- S C_ ( CC \ { -u _i , _i } )
221		resmpt 5153	. . . . . . 7 |- ( S C_ ( CC \ { -u _i , _i } ) -> ( ( x e. ( CC \ { -u _i , _i } ) |-> ( ( _i / 2 ) x. ( ( log ` ( 1 - ( _i x. x ) ) ) - ( log ` ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) ) ) |` S ) = ( x e. S |-> ( ( _i / 2 ) x. ( ( log ` ( 1 - ( _i x. x ) ) ) - ( log ` ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) ) ) )
222	220, 221	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( CC \ { -u _i , _i } ) |-> ( ( _i / 2 ) x. ( ( log ` ( 1 - ( _i x. x ) ) ) - ( log ` ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) ) ) |` S ) = ( x e. S |-> ( ( _i / 2 ) x. ( ( log ` ( 1 - ( _i x. x ) ) ) - ( log ` ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) ) )
223	217, 222	eqtri 2461	. . . . 5 |- (arctan |` S ) = ( x e. S |-> ( ( _i / 2 ) x. ( ( log ` ( 1 - ( _i x. x ) ) ) - ( log ` ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) ) )
224	223	a1i 11	. . . 4 |- ( T. -> (arctan |` S ) = ( x e. S |-> ( ( _i / 2 ) x. ( ( log ` ( 1 - ( _i x. x ) ) ) - ( log ` ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) ) ) )
225	224	oveq2d 6106	. . 3 |- ( T. -> ( CC _D (arctan |` S ) ) = ( CC _D ( x e. S |-> ( ( _i / 2 ) x. ( ( log ` ( 1 - ( _i x. x ) ) ) - ( log ` ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) ) ) ) )
226		2ne0 10410	. . . . . . 7 |- 2 =/= 0
227		divcan6 10034	. . . . . . 7 |- ( ( ( _i e. CC /\ _i =/= 0 ) /\ ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) ) -> ( ( _i / 2 ) x. ( 2 / _i ) ) = 1 )
228	4, 92, 165, 226, 227	mp4an 668	. . . . . 6 |- ( ( _i / 2 ) x. ( 2 / _i ) ) = 1
229	228	oveq1i 6100	. . . . 5 |- ( ( ( _i / 2 ) x. ( 2 / _i ) ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) = ( 1 / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) )
230	4, 213	mp1i 12	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( _i / 2 ) e. CC )
231	165, 4, 92	divcli 10069	. . . . . . 7 |- ( 2 / _i ) e. CC
232	231	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( 2 / _i ) e. CC )
233	230, 232, 156, 159	divassd 10138	. . . . 5 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( ( _i / 2 ) x. ( 2 / _i ) ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) = ( ( _i / 2 ) x. ( ( 2 / _i ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) ) )
234	229, 233	syl5eqr 2487	. . . 4 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( 1 / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) = ( ( _i / 2 ) x. ( ( 2 / _i ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) ) )
235	234	mpteq2dva 4375	. . 3 |- ( T. -> ( x e. S |-> ( 1 / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) ) = ( x e. S |-> ( ( _i / 2 ) x. ( ( 2 / _i ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
236	215, 225, 235	3eqtr4d 2483	. 2 |- ( T. -> ( CC _D (arctan |` S ) ) = ( x e. S |-> ( 1 / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) ) )
237	236	trud 1373	1 |- ( CC _D (arctan |` S ) ) = ( x e. S |-> ( 1 / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) )

Syntax hints:   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 960   = wceq 1364   T. wtru 1365   e. wcel 1761   =/= wne 2604   {crab 2717   _Vcvv 2970   \ cdif 3322   C_ wss 3325   {csn 3874   {cpr 3876   e. cmpt 4347   dom cdm 4836   ran crn 4837   |` cres 4838   -->wf 5411   -1-1-onto->wf1o 5414   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   CCcc 9276   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279   _ici 9280   + caddc 9281   x. cmul 9283   -oocmnf 9412   - cmin 9591   -ucneg 9592   / cdiv 9989   2c2 10367   (,]cioc 11297   ^cexp 11861   ↾_t crest 14355   TopOpenctopn 14356  ℂ_fldccnfld 17777   Topctop 18457  TopOnctopon 18458   _D cdv 21297   logclog 21965  arctancatan 22218

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-addf 9357  ax-mulf 9358

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-fi 7657  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ioo 11300  df-ioc 11301  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-mod 11705  df-seq 11803  df-exp 11862  df-fac 12048  df-bc 12075  df-hash 12100  df-shft 12552  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-limsup 12945  df-clim 12962  df-rlim 12963  df-sum 13160  df-ef 13349  df-sin 13351  df-cos 13352  df-tan 13353  df-pi 13354  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-hom 14258  df-cco 14259  df-rest 14357  df-topn 14358  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-topgen 14378  df-pt 14379  df-prds 14382  df-xrs 14436  df-qtop 14441  df-imas 14442  df-xps 14444  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-submnd 15461  df-mulg 15541  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-psmet 17768  df-xmet 17769  df-met 17770  df-bl 17771  df-mopn 17772  df-fbas 17773  df-fg 17774  df-cnfld 17778  df-top 18462  df-bases 18464  df-topon 18465  df-topsp 18466  df-cld 18582  df-ntr 18583  df-cls 18584  df-nei 18661  df-lp 18699  df-perf 18700  df-cn 18790  df-cnp 18791  df-haus 18878  df-cmp 18949  df-tx 19094  df-hmeo 19287  df-fil 19378  df-fm 19470  df-flim 19471  df-flf 19472  df-xms 19854  df-ms 19855  df-tms 19856  df-cncf 20413  df-limc 21300  df-dv 21301  df-log 21967  df-atan 22221

This theorem is referenced by:  atancn  22290