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Theorem dvatan 23131
Description: The derivative of the arctangent. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
atansopn.d  |-  D  =  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) )
atansopn.s  |-  S  =  { y  e.  CC  |  ( 1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  D }
Assertion
Ref Expression
dvatan  |-  ( CC 
_D  (arctan  |`  S ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( 1  /  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, D    x, S
Allowed substitution hint:    S( y)

Proof of Theorem dvatan
StepHypRef Expression
1 cnelprrecn 9583 . . . . 5  |-  CC  e.  { RR ,  CC }
21a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  CC  e.  { RR ,  CC } )
3 ax-1cn 9548 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
4 ax-icn 9549 . . . . . . . 8  |-  _i  e.  CC
5 atansopn.d . . . . . . . . . . . 12  |-  D  =  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) )
6 atansopn.s . . . . . . . . . . . 12  |-  S  =  { y  e.  CC  |  ( 1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  D }
75, 6atansssdm 23129 . . . . . . . . . . 11  |-  S  C_  dom arctan
8 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  S )
97, 8sseldi 3484 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  dom arctan )
10 atandm2 23073 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  dom arctan  <->  ( x  e.  CC  /\  ( 1  -  ( _i  x.  x ) )  =/=  0  /\  ( 1  +  ( _i  x.  x ) )  =/=  0 ) )
119, 10sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
x  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  x )
)  =/=  0  /\  ( 1  +  ( _i  x.  x ) )  =/=  0 ) )
1211simp1d 1007 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  CC )
13 mulcl 9574 . . . . . . . 8  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( _i  x.  x
)  e.  CC )
144, 12, 13sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
_i  x.  x )  e.  CC )
15 subcl 9819 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( _i  x.  x
)  e.  CC )  ->  ( 1  -  ( _i  x.  x
) )  e.  CC )
163, 14, 15sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  -  ( _i  x.  x ) )  e.  CC )
1711simp2d 1008 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  -  ( _i  x.  x ) )  =/=  0 )
1816, 17logcld 22823 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  x
) ) )  e.  CC )
19 addcl 9572 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( _i  x.  x
)  e.  CC )  ->  ( 1  +  ( _i  x.  x
) )  e.  CC )
203, 14, 19sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  +  ( _i  x.  x ) )  e.  CC )
2111simp3d 1009 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  +  ( _i  x.  x ) )  =/=  0 )
2220, 21logcld 22823 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  x
) ) )  e.  CC )
2318, 22subcld 9931 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( log `  (
1  -  ( _i  x.  x ) ) )  -  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  x ) ) ) )  e.  CC )
24 ovex 6305 . . . . 5  |-  ( ( 2  /  _i )  /  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) )  e. 
_V
2524a1i 11 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 2  /  _i )  /  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) )  e. 
_V )
26 ovex 6305 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  ( x  +  _i ) )  e.  _V
2726a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  /  ( x  +  _i ) )  e.  _V )
285, 6atans2 23127 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  S  <->  ( x  e.  CC  /\  ( 1  -  ( _i  x.  x ) )  e.  D  /\  ( 1  +  ( _i  x.  x ) )  e.  D ) )
2928simp2bi 1011 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  S  ->  (
1  -  ( _i  x.  x ) )  e.  D )
3029adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  -  ( _i  x.  x ) )  e.  D )
31 negex 9818 . . . . . . . . 9  |-  -u _i  e.  _V
3231a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  -u _i  e.  _V )
335logdmss 22888 . . . . . . . . . 10  |-  D  C_  ( CC  \  { 0 } )
34 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  y  e.  D )  ->  y  e.  D )
3533, 34sseldi 3484 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  y  e.  D )  ->  y  e.  ( CC  \  {
0 } ) )
36 logf1o 22817 . . . . . . . . . . 11  |-  log :
( CC  \  {
0 } ) -1-1-onto-> ran  log
37 f1of 5802 . . . . . . . . . . 11  |-  ( log
: ( CC  \  { 0 } ) -1-1-onto-> ran 
log  ->  log : ( CC 
\  { 0 } ) --> ran  log )
3836, 37ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  log :
( CC  \  {
0 } ) --> ran 
log
3938ffvelrni 6011 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( log `  y
)  e.  ran  log )
40 logrncn 22815 . . . . . . . . 9  |-  ( ( log `  y )  e.  ran  log  ->  ( log `  y )  e.  CC )
4135, 39, 403syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  y  e.  D )  ->  ( log `  y )  e.  CC )
42 ovex 6305 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  /  y )  e. 
_V
4342a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  y  e.  D )  ->  (
1  /  y )  e.  _V )
444a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  _i  e.  CC )
4544, 13sylan 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  CC )  ->  (
_i  x.  x )  e.  CC )
463, 45, 15sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  CC )  ->  (
1  -  ( _i  x.  x ) )  e.  CC )
4731a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  CC )  ->  -u _i  e.  _V )
48 1cnd 9610 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  CC )  ->  1  e.  CC )
49 0cnd 9587 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  CC )  ->  0  e.  CC )
50 1cnd 9610 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T. 
->  1  e.  CC )
512, 50dvmptc 22227 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  1 ) )  =  ( x  e.  CC  |->  0 ) )
524a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  CC )  ->  _i  e.  CC )
53 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  CC )  ->  x  e.  CC )
542dvmptid 22226 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  x ) )  =  ( x  e.  CC  |->  1 ) )
552, 53, 48, 54, 44dvmptcmul 22233 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( _i  x.  x ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( _i  x.  1 ) ) )
564mulid1i 9596 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( _i  x.  1 )  =  _i
5756mpteq2i 4516 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  CC  |->  ( _i  x.  1 ) )  =  ( x  e.  CC  |->  _i )
5855, 57syl6eq 2498 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( _i  x.  x ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  _i ) )
592, 48, 49, 51, 45, 52, 58dvmptsub 22236 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( 1  -  ( _i  x.  x ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( 0  -  _i ) ) )
60 df-neg 9808 . . . . . . . . . . 11  |-  -u _i  =  ( 0  -  _i )
6160mpteq2i 4516 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  |->  -u _i )  =  ( x  e.  CC  |->  ( 0  -  _i ) )
6259, 61syl6eqr 2500 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( 1  -  ( _i  x.  x ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  -u _i ) )
63 eqid 2441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
6463cnfldtopon 21156 . . . . . . . . . . 11  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
655, 6atansopn 23128 . . . . . . . . . . 11  |-  S  e.  ( TopOpen ` fld )
66 toponss 19297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  /\  S  e.  ( TopOpen ` fld ) )  ->  S  C_  CC )
6764, 65, 66mp2an 672 . . . . . . . . . 10  |-  S  C_  CC
6867a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  S  C_  CC )
6963cnfldtop 21157 . . . . . . . . . . 11  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Top
7064toponunii 19300 . . . . . . . . . . . 12  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
7170restid 14703 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  Top  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld ) )
7269, 71ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld )
7372eqcomi 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )
7465a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  S  e.  ( TopOpen
` fld
) )
752, 46, 47, 62, 68, 73, 63, 74dvmptres 22232 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  S  |->  ( 1  -  ( _i  x.  x ) ) ) )  =  ( x  e.  S  |->  -u _i ) )
76 fssres 5737 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( log : ( CC 
\  { 0 } ) --> ran  log  /\  D  C_  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( log  |`  D ) : D --> ran  log )
7738, 33, 76mp2an 672 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( log  |`  D ) : D --> ran  log
7877a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T. 
->  ( log  |`  D ) : D --> ran  log )
7978feqmptd 5907 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  ( log  |`  D )  =  ( y  e.  D  |->  ( ( log  |`  D ) `  y
) ) )
80 fvres 5866 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  D  ->  (
( log  |`  D ) `
 y )  =  ( log `  y
) )
8180mpteq2ia 4515 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  D  |->  ( ( log  |`  D ) `  y ) )  =  ( y  e.  D  |->  ( log `  y
) )
8279, 81syl6req 2499 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  ( y  e.  D  |->  ( log `  y
) )  =  ( log  |`  D )
)
8382oveq2d 6293 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
y  e.  D  |->  ( log `  y ) ) )  =  ( CC  _D  ( log  |`  D ) ) )
845dvlog 22897 . . . . . . . . 9  |-  ( CC 
_D  ( log  |`  D ) )  =  ( y  e.  D  |->  ( 1  /  y ) )
8583, 84syl6eq 2498 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
y  e.  D  |->  ( log `  y ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  ( 1  /  y ) ) )
86 fveq2 5852 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( 1  -  ( _i  x.  x
) )  ->  ( log `  y )  =  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  x ) ) ) )
87 oveq2 6285 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( 1  -  ( _i  x.  x
) )  ->  (
1  /  y )  =  ( 1  / 
( 1  -  (
_i  x.  x )
) ) )
882, 2, 30, 32, 41, 43, 75, 85, 86, 87dvmptco 22241 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  S  |->  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  x ) ) ) ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( ( 1  /  (
1  -  ( _i  x.  x ) ) )  x.  -u _i ) ) )
89 irec 12241 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  /  _i )  = 
-u _i
9089oveq2i 6288 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  /  ( 1  -  ( _i  x.  x ) ) )  x.  ( 1  /  _i ) )  =  ( ( 1  /  (
1  -  ( _i  x.  x ) ) )  x.  -u _i )
914a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  _i  e.  CC )
92 ine0 9993 . . . . . . . . . . . 12  |-  _i  =/=  0
9392a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  _i  =/=  0 )
9416, 91, 17, 93recdiv2d 10339 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 1  /  (
1  -  ( _i  x.  x ) ) )  /  _i )  =  ( 1  / 
( ( 1  -  ( _i  x.  x
) )  x.  _i ) ) )
9516, 17reccld 10314 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  /  ( 1  -  ( _i  x.  x ) ) )  e.  CC )
9695, 91, 93divrecd 10324 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 1  /  (
1  -  ( _i  x.  x ) ) )  /  _i )  =  ( ( 1  /  ( 1  -  ( _i  x.  x
) ) )  x.  ( 1  /  _i ) ) )
97 1cnd 9610 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  1  e.  CC )
9897, 14, 91subdird 10014 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 1  -  (
_i  x.  x )
)  x.  _i )  =  ( ( 1  x.  _i )  -  ( ( _i  x.  x )  x.  _i ) ) )
994mulid2i 9597 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  x.  _i )  =  _i
10099a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  x.  _i )  =  _i )
10191, 12, 91mul32d 9788 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( _i  x.  x
)  x.  _i )  =  ( ( _i  x.  _i )  x.  x ) )
102 ixi 10179 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( _i  x.  _i )  = 
-u 1
103102oveq1i 6287 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( _i  x.  _i )  x.  x )  =  ( -u 1  x.  x )
10412mulm1d 10009 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  ( -u 1  x.  x )  =  -u x )
105103, 104syl5eq 2494 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( _i  x.  _i )  x.  x )  =  -u x )
106101, 105eqtrd 2482 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( _i  x.  x
)  x.  _i )  =  -u x )
107100, 106oveq12d 6295 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 1  x.  _i )  -  ( (
_i  x.  x )  x.  _i ) )  =  ( _i  -  -u x
) )
108 subneg 9868 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( _i  -  -u x
)  =  ( _i  +  x ) )
1094, 12, 108sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
_i  -  -u x )  =  ( _i  +  x ) )
11098, 107, 1093eqtrd 2486 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 1  -  (
_i  x.  x )
)  x.  _i )  =  ( _i  +  x ) )
111 addcom 9764 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( _i  +  x
)  =  ( x  +  _i ) )
1124, 12, 111sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
_i  +  x )  =  ( x  +  _i ) )
113110, 112eqtrd 2482 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 1  -  (
_i  x.  x )
)  x.  _i )  =  ( x  +  _i ) )
114113oveq2d 6293 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  /  ( ( 1  -  ( _i  x.  x ) )  x.  _i ) )  =  ( 1  / 
( x  +  _i ) ) )
11594, 96, 1143eqtr3d 2490 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 1  /  (
1  -  ( _i  x.  x ) ) )  x.  ( 1  /  _i ) )  =  ( 1  / 
( x  +  _i ) ) )
11690, 115syl5eqr 2496 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 1  /  (
1  -  ( _i  x.  x ) ) )  x.  -u _i )  =  ( 1  /  ( x  +  _i ) ) )
117116mpteq2dva 4519 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( x  e.  S  |->  ( ( 1  / 
( 1  -  (
_i  x.  x )
) )  x.  -u _i ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( 1  /  ( x  +  _i ) ) ) )
11888, 117eqtrd 2482 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  S  |->  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  x ) ) ) ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( 1  /  ( x  +  _i ) ) ) )
119 ovex 6305 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  ( x  -  _i ) )  e.  _V
120119a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  /  ( x  -  _i ) )  e.  _V )
12128simp3bi 1012 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  S  ->  (
1  +  ( _i  x.  x ) )  e.  D )
122121adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  +  ( _i  x.  x ) )  e.  D )
1233, 45, 19sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  CC )  ->  (
1  +  ( _i  x.  x ) )  e.  CC )
1242, 48, 49, 51, 45, 52, 58dvmptadd 22229 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( 1  +  ( _i  x.  x ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( 0  +  _i ) ) )
1254addid2i 9766 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  +  _i )  =  _i
126125mpteq2i 4516 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  |->  ( 0  +  _i ) )  =  ( x  e.  CC  |->  _i )
127124, 126syl6eq 2498 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( 1  +  ( _i  x.  x ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  _i ) )
1282, 123, 52, 127, 68, 73, 63, 74dvmptres 22232 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  S  |->  ( 1  +  ( _i  x.  x ) ) ) )  =  ( x  e.  S  |->  _i ) )
129 fveq2 5852 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( 1  +  ( _i  x.  x
) )  ->  ( log `  y )  =  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  x ) ) ) )
130 oveq2 6285 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( 1  +  ( _i  x.  x
) )  ->  (
1  /  y )  =  ( 1  / 
( 1  +  ( _i  x.  x ) ) ) )
1312, 2, 122, 91, 41, 43, 128, 85, 129, 130dvmptco 22241 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  S  |->  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  x ) ) ) ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( ( 1  /  (
1  +  ( _i  x.  x ) ) )  x.  _i ) ) )
13297, 20, 91, 21, 93divdiv2d 10353 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  /  ( ( 1  +  ( _i  x.  x ) )  /  _i ) )  =  ( ( 1  x.  _i )  / 
( 1  +  ( _i  x.  x ) ) ) )
13397, 14, 91, 93divdird 10359 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 1  +  ( _i  x.  x ) )  /  _i )  =  ( ( 1  /  _i )  +  ( ( _i  x.  x )  /  _i ) ) )
13489a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  /  _i )  =  -u _i )
13512, 91, 93divcan3d 10326 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( _i  x.  x
)  /  _i )  =  x )
136134, 135oveq12d 6295 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 1  /  _i )  +  ( (
_i  x.  x )  /  _i ) )  =  ( -u _i  +  x ) )
137 negicn 9821 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -u _i  e.  CC
138 addcom 9764 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
-u _i  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( -u _i  +  x )  =  ( x  +  -u _i ) )
139137, 12, 138sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  ( -u _i  +  x )  =  ( x  +  -u _i ) )
140 negsub 9867 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  _i  e.  CC )  -> 
( x  +  -u _i )  =  (
x  -  _i ) )
14112, 4, 140sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
x  +  -u _i )  =  ( x  -  _i ) )
142139, 141eqtrd 2482 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  ( -u _i  +  x )  =  ( x  -  _i ) )
143133, 136, 1423eqtrd 2486 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 1  +  ( _i  x.  x ) )  /  _i )  =  ( x  -  _i ) )
144143oveq2d 6293 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  /  ( ( 1  +  ( _i  x.  x ) )  /  _i ) )  =  ( 1  / 
( x  -  _i ) ) )
14597, 91, 20, 21div23d 10358 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 1  x.  _i )  /  ( 1  +  ( _i  x.  x
) ) )  =  ( ( 1  / 
( 1  +  ( _i  x.  x ) ) )  x.  _i ) )
146132, 144, 1453eqtr3rd 2491 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 1  /  (
1  +  ( _i  x.  x ) ) )  x.  _i )  =  ( 1  / 
( x  -  _i ) ) )
147146mpteq2dva 4519 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( x  e.  S  |->  ( ( 1  / 
( 1  +  ( _i  x.  x ) ) )  x.  _i ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( 1  /  ( x  -  _i ) ) ) )
148131, 147eqtrd 2482 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  S  |->  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  x ) ) ) ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( 1  /  ( x  -  _i ) ) ) )
1492, 18, 27, 118, 22, 120, 148dvmptsub 22236 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  S  |->  ( ( log `  (
1  -  ( _i  x.  x ) ) )  -  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  x ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( ( 1  /  ( x  +  _i ) )  -  ( 1  / 
( x  -  _i ) ) ) ) )
150 subcl 9819 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  _i  e.  CC )  -> 
( x  -  _i )  e.  CC )
15112, 4, 150sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
x  -  _i )  e.  CC )
152 addcl 9572 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  _i  e.  CC )  -> 
( x  +  _i )  e.  CC )
15312, 4, 152sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
x  +  _i )  e.  CC )
15412sqcld 12282 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
x ^ 2 )  e.  CC )
155 addcl 9572 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( x ^ 2 )  e.  CC )  ->  ( 1  +  ( x ^ 2 ) )  e.  CC )
1563, 154, 155sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  +  ( x ^ 2 ) )  e.  CC )
157 atandm4 23075 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  dom arctan  <->  ( x  e.  CC  /\  ( 1  +  ( x ^
2 ) )  =/=  0 ) )
158157simprbi 464 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  dom arctan  ->  ( 1  +  ( x ^
2 ) )  =/=  0 )
1599, 158syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  +  ( x ^ 2 ) )  =/=  0 )
160151, 153, 156, 159divsubdird 10360 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( ( x  -  _i )  -  (
x  +  _i ) )  /  ( 1  +  ( x ^
2 ) ) )  =  ( ( ( x  -  _i )  /  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) )  -  ( ( x  +  _i )  /  (
1  +  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
161141oveq1d 6292 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  +  -u _i )  -  (
x  +  _i ) )  =  ( ( x  -  _i )  -  ( x  +  _i ) ) )
162137a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  -u _i  e.  CC )
16312, 162, 91pnpcand 9968 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  +  -u _i )  -  (
x  +  _i ) )  =  ( -u _i  -  _i ) )
164161, 163eqtr3d 2484 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  -  _i )  -  ( x  +  _i ) )  =  ( -u _i  -  _i ) )
165 2cn 10607 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  CC
166165, 4, 92divreci 10290 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  /  _i )  =  ( 2  x.  (
1  /  _i ) )
16789oveq2i 6288 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  x.  ( 1  /  _i ) )  =  ( 2  x.  -u _i )
168166, 167eqtri 2470 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  /  _i )  =  ( 2  x.  -u _i )
1691372timesi 10657 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  x.  -u _i )  =  ( -u _i  +  -u _i )
170137, 4negsubi 9897 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u _i  +  -u _i )  =  ( -u _i  -  _i )
171168, 169, 1703eqtri 2474 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  /  _i )  =  ( -u _i  -  _i )
172164, 171syl6eqr 2500 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  -  _i )  -  ( x  +  _i ) )  =  ( 2  /  _i ) )
173172oveq1d 6292 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( ( x  -  _i )  -  (
x  +  _i ) )  /  ( 1  +  ( x ^
2 ) ) )  =  ( ( 2  /  _i )  / 
( 1  +  ( x ^ 2 ) ) ) )
174151mulid1d 9611 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  -  _i )  x.  1 )  =  ( x  -  _i ) )
175151, 153mulcomd 9615 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  -  _i )  x.  ( x  +  _i ) )  =  ( ( x  +  _i )  x.  (
x  -  _i ) ) )
176 i2 12242 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( _i
^ 2 )  = 
-u 1
177176oveq2i 6288 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x ^ 2 )  -  ( _i ^
2 ) )  =  ( ( x ^
2 )  -  -u 1
)
178 subneg 9868 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x ^ 2 )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( x ^
2 )  -  -u 1
)  =  ( ( x ^ 2 )  +  1 ) )
179154, 3, 178sylancl 662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x ^ 2 )  -  -u 1
)  =  ( ( x ^ 2 )  +  1 ) )
180177, 179syl5eq 2494 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x ^ 2 )  -  ( _i
^ 2 ) )  =  ( ( x ^ 2 )  +  1 ) )
181 subsq 12249 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  _i  e.  CC )  -> 
( ( x ^
2 )  -  (
_i ^ 2 ) )  =  ( ( x  +  _i )  x.  ( x  -  _i ) ) )
18212, 4, 181sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x ^ 2 )  -  ( _i
^ 2 ) )  =  ( ( x  +  _i )  x.  ( x  -  _i ) ) )
183 addcom 9764 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x ^ 2 )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( x ^
2 )  +  1 )  =  ( 1  +  ( x ^
2 ) ) )
184154, 3, 183sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x ^ 2 )  +  1 )  =  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) )
185180, 182, 1843eqtr3d 2490 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  +  _i )  x.  ( x  -  _i ) )  =  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) )
186175, 185eqtrd 2482 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  -  _i )  x.  ( x  +  _i ) )  =  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) )
187174, 186oveq12d 6295 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( ( x  -  _i )  x.  1
)  /  ( ( x  -  _i )  x.  ( x  +  _i ) ) )  =  ( ( x  -  _i )  /  (
1  +  ( x ^ 2 ) ) ) )
188 subneg 9868 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  /\  _i  e.  CC )  -> 
( x  -  -u _i )  =  ( x  +  _i ) )
18912, 4, 188sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
x  -  -u _i )  =  ( x  +  _i ) )
190 atandm 23072 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  dom arctan  <->  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  -u _i  /\  x  =/=  _i ) )
1919, 190sylib 196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
x  e.  CC  /\  x  =/=  -u _i  /\  x  =/=  _i ) )
192191simp2d 1008 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  x  =/=  -u _i )
193 subeq0 9845 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  CC  /\  -u _i  e.  CC )  ->  ( ( x  -  -u _i )  =  0  <->  x  =  -u _i ) )
194193necon3bid 2699 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  -u _i  e.  CC )  ->  ( ( x  -  -u _i )  =/=  0  <->  x  =/=  -u _i ) )
19512, 137, 194sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  -  -u _i )  =/=  0  <->  x  =/=  -u _i ) )
196192, 195mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
x  -  -u _i )  =/=  0 )
197189, 196eqnetrrd 2735 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
x  +  _i )  =/=  0 )
198191simp3d 1009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  x  =/=  _i )
199 subeq0 9845 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  _i  e.  CC )  -> 
( ( x  -  _i )  =  0  <->  x  =  _i ) )
200199necon3bid 2699 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  /\  _i  e.  CC )  -> 
( ( x  -  _i )  =/=  0  <->  x  =/=  _i ) )
20112, 4, 200sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  -  _i )  =/=  0  <->  x  =/=  _i ) )
202198, 201mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
x  -  _i )  =/=  0 )
20397, 153, 151, 197, 202divcan5d 10347 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( ( x  -  _i )  x.  1
)  /  ( ( x  -  _i )  x.  ( x  +  _i ) ) )  =  ( 1  /  (
x  +  _i ) ) )
204187, 203eqtr3d 2484 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  -  _i )  /  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) )  =  ( 1  /  (
x  +  _i ) ) )
205153mulid1d 9611 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  +  _i )  x.  1 )  =  ( x  +  _i ) )
206205, 185oveq12d 6295 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( ( x  +  _i )  x.  1
)  /  ( ( x  +  _i )  x.  ( x  -  _i ) ) )  =  ( ( x  +  _i )  /  (
1  +  ( x ^ 2 ) ) ) )
20797, 151, 153, 202, 197divcan5d 10347 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( ( x  +  _i )  x.  1
)  /  ( ( x  +  _i )  x.  ( x  -  _i ) ) )  =  ( 1  /  (
x  -  _i ) ) )
208206, 207eqtr3d 2484 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  +  _i )  /  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) )  =  ( 1  /  (
x  -  _i ) ) )
209204, 208oveq12d 6295 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( ( x  -  _i )  /  (
1  +  ( x ^ 2 ) ) )  -  ( ( x  +  _i )  /  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( 1  /  ( x  +  _i ) )  -  (
1  /  ( x  -  _i ) ) ) )
210160, 173, 2093eqtr3rd 2491 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 1  /  (
x  +  _i ) )  -  ( 1  /  ( x  -  _i ) ) )  =  ( ( 2  /  _i )  /  (
1  +  ( x ^ 2 ) ) ) )
211210mpteq2dva 4519 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( x  e.  S  |->  ( ( 1  / 
( x  +  _i ) )  -  (
1  /  ( x  -  _i ) ) ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( ( 2  /  _i )  /  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
212149, 211eqtrd 2482 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  S  |->  ( ( log `  (
1  -  ( _i  x.  x ) ) )  -  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  x ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( ( 2  /  _i )  /  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
213 halfcl 10765 . . . . 5  |-  ( _i  e.  CC  ->  (
_i  /  2 )  e.  CC )
2144, 213mp1i 12 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( _i  /  2
)  e.  CC )
2152, 23, 25, 212, 214dvmptcmul 22233 . . 3  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  S  |->  ( ( _i  /  2
)  x.  ( ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  x ) ) )  -  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  x ) ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( ( _i  /  2 )  x.  ( ( 2  /  _i )  / 
( 1  +  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
216 df-atan 23063 . . . . . . 7  |- arctan  =  ( x  e.  ( CC 
\  { -u _i ,  _i } )  |->  ( ( _i  /  2
)  x.  ( ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  x ) ) )  -  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  x ) ) ) ) ) )
217216reseq1i 5255 . . . . . 6  |-  (arctan  |`  S )  =  ( ( x  e.  ( CC  \  { -u _i ,  _i } )  |->  ( ( _i  /  2 )  x.  ( ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  x )
) )  -  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  x
) ) ) ) ) )  |`  S )
218 atanf 23076 . . . . . . . . 9  |- arctan : ( CC  \  { -u _i ,  _i }
) --> CC
219218fdmi 5722 . . . . . . . 8  |-  dom arctan  =  ( CC  \  { -u _i ,  _i }
)
2207, 219sseqtri 3518 . . . . . . 7  |-  S  C_  ( CC  \  { -u _i ,  _i }
)
221 resmpt 5309 . . . . . . 7  |-  ( S 
C_  ( CC  \  { -u _i ,  _i } )  ->  (
( x  e.  ( CC  \  { -u _i ,  _i }
)  |->  ( ( _i 
/  2 )  x.  ( ( log `  (
1  -  ( _i  x.  x ) ) )  -  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  x ) ) ) ) ) )  |`  S )  =  ( x  e.  S  |->  ( ( _i 
/  2 )  x.  ( ( log `  (
1  -  ( _i  x.  x ) ) )  -  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  x ) ) ) ) ) ) )
222220, 221ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { -u _i ,  _i } )  |->  ( ( _i  /  2
)  x.  ( ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  x ) ) )  -  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  x ) ) ) ) ) )  |`  S )  =  ( x  e.  S  |->  ( ( _i  /  2
)  x.  ( ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  x ) ) )  -  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  x ) ) ) ) ) )
223217, 222eqtri 2470 . . . . 5  |-  (arctan  |`  S )  =  ( x  e.  S  |->  ( ( _i 
/  2 )  x.  ( ( log `  (
1  -  ( _i  x.  x ) ) )  -  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  x ) ) ) ) ) )
224223a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  (arctan  |`  S )  =  ( x  e.  S  |->  ( ( _i  / 
2 )  x.  (
( log `  (
1  -  ( _i  x.  x ) ) )  -  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  x ) ) ) ) ) ) )
225224oveq2d 6293 . . 3  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (arctan  |`  S ) )  =  ( CC  _D  (
x  e.  S  |->  ( ( _i  /  2
)  x.  ( ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  x ) ) )  -  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  x ) ) ) ) ) ) ) )
226 2ne0 10629 . . . . . . 7  |-  2  =/=  0
227 divcan6 10252 . . . . . . 7  |-  ( ( ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0 )  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  -> 
( ( _i  / 
2 )  x.  (
2  /  _i ) )  =  1 )
2284, 92, 165, 226, 227mp4an 673 . . . . . 6  |-  ( ( _i  /  2 )  x.  ( 2  /  _i ) )  =  1
229228oveq1i 6287 . . . . 5  |-  ( ( ( _i  /  2
)  x.  ( 2  /  _i ) )  /  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) )  =  ( 1  /  (
1  +  ( x ^ 2 ) ) )
2304, 213mp1i 12 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
_i  /  2 )  e.  CC )
231165, 4, 92divcli 10287 . . . . . . 7  |-  ( 2  /  _i )  e.  CC
232231a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
2  /  _i )  e.  CC )
233230, 232, 156, 159divassd 10356 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( ( _i  / 
2 )  x.  (
2  /  _i ) )  /  ( 1  +  ( x ^
2 ) ) )  =  ( ( _i 
/  2 )  x.  ( ( 2  /  _i )  /  (
1  +  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
234229, 233syl5eqr 2496 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  /  ( 1  +  ( x ^
2 ) ) )  =  ( ( _i 
/  2 )  x.  ( ( 2  /  _i )  /  (
1  +  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
235234mpteq2dva 4519 . . 3  |-  ( T. 
->  ( x  e.  S  |->  ( 1  /  (
1  +  ( x ^ 2 ) ) ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( ( _i  /  2
)  x.  ( ( 2  /  _i )  /  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
236215, 225, 2353eqtr4d 2492 . 2  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (arctan  |`  S ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( 1  /  (
1  +  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
237236trud 1390 1  |-  ( CC 
_D  (arctan  |`  S ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( 1  /  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 972    = wceq 1381   T. wtru 1382    e. wcel 1802    =/= wne 2636   {crab 2795   _Vcvv 3093    \ cdif 3455    C_ wss 3458   {csn 4010   {cpr 4012    |-> cmpt 4491   dom cdm 4985   ran crn 4986    |` cres 4987   -->wf 5570   -1-1-onto->wf1o 5573   ` cfv 5574  (class class class)co 6277   CCcc 9488   RRcr 9489   0cc0 9490   1c1 9491   _ici 9492    + caddc 9493    x. cmul 9495   -oocmnf 9624    - cmin 9805   -ucneg 9806    / cdiv 10207   2c2 10586   (,]cioc 11534   ^cexp 12140   ↾t crest 14690   TopOpenctopn 14691  ℂfldccnfld 18288   Topctop 19261  TopOnctopon 19262    _D cdv 22133   logclog 22807  arctancatan 23060
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-inf2 8056  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568  ax-addf 9569  ax-mulf 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-fal 1387  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-iin 4314  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-se 4825  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-isom 5583  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6521  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6900  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-1o 7128  df-2o 7129  df-oadd 7132  df-er 7309  df-map 7420  df-pm 7421  df-ixp 7468  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-fsupp 7828  df-fi 7869  df-sup 7899  df-oi 7933  df-card 8318  df-cda 8546  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10980  df-uz 11086  df-q 11187  df-rp 11225  df-xneg 11322  df-xadd 11323  df-xmul 11324  df-ioo 11537  df-ioc 11538  df-ico 11539  df-icc 11540  df-fz 11677  df-fzo 11799  df-fl 11903  df-mod 11971  df-seq 12082  df-exp 12141  df-fac 12328  df-bc 12355  df-hash 12380  df-shft 12874  df-cj 12906  df-re 12907  df-im 12908  df-sqrt 13042  df-abs 13043  df-limsup 13268  df-clim 13285  df-rlim 13286  df-sum 13483  df-ef 13676  df-sin 13678  df-cos 13679  df-tan 13680  df-pi 13681  df-struct 14506  df-ndx 14507  df-slot 14508  df-base 14509  df-sets 14510  df-ress 14511  df-plusg 14582  df-mulr 14583  df-starv 14584  df-sca 14585  df-vsca 14586  df-ip 14587  df-tset 14588  df-ple 14589  df-ds 14591  df-unif 14592  df-hom 14593  df-cco 14594  df-rest 14692  df-topn 14693  df-0g 14711  df-gsum 14712  df-topgen 14713  df-pt 14714  df-prds 14717  df-xrs 14771  df-qtop 14776  df-imas 14777  df-xps 14779  df-mre 14855  df-mrc 14856  df-acs 14858  df-mgm 15741  df-sgrp 15780  df-mnd 15790  df-submnd 15836  df-mulg 15929  df-cntz 16224  df-cmn 16669  df-psmet 18279  df-xmet 18280  df-met 18281  df-bl 18282  df-mopn 18283  df-fbas 18284  df-fg 18285  df-cnfld 18289  df-top 19266  df-bases 19268  df-topon 19269  df-topsp 19270  df-cld 19386  df-ntr 19387  df-cls 19388  df-nei 19465  df-lp 19503  df-perf 19504  df-cn 19594  df-cnp 19595  df-haus 19682  df-cmp 19753  df-tx 19929  df-hmeo 20122  df-fil 20213  df-fm 20305  df-flim 20306  df-flf 20307  df-xms 20689  df-ms 20690  df-tms 20691  df-cncf 21248  df-limc 22136  df-dv 22137  df-log 22809  df-atan 23063
This theorem is referenced by:  atancn  23132
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