Theorem dvatan 23861

Description: The derivative of the arctangent. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
atansopn.d	|- D = ( CC \ ( -oo (,] 0 ) )
atansopn.s	|- S = { y e. CC | ( 1 + ( y ^ 2 ) ) e. D }

Assertion

Ref	Expression
dvatan	|- ( CC _D (arctan |` S ) ) = ( x e. S |-> ( 1 / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, D   x, S

Allowed substitution hint:   S( y)

Proof of Theorem dvatan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnelprrecn 9632	. . . . 5 |- CC e. { RR , CC }
2	1	a1i 11	. . . 4 |- ( T. -> CC e. { RR , CC } )
3		ax-1cn 9597	. . . . . . 7 |- 1 e. CC
4		ax-icn 9598	. . . . . . . 8 |- _i e. CC
5		atansopn.d	. . . . . . . . . . . 12 |- D = ( CC \ ( -oo (,] 0 ) )
6		atansopn.s	. . . . . . . . . . . 12 |- S = { y e. CC | ( 1 + ( y ^ 2 ) ) e. D }
7	5, 6	atansssdm 23859	. . . . . . . . . . 11 |- S C_ dom arctan
8		simpr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> x e. S )
9	7, 8	sseldi 3430	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> x e. dom arctan )
10		atandm2 23803	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. dom arctan <-> ( x e. CC /\ ( 1 - ( _i x. x ) ) =/= 0 /\ ( 1 + ( _i x. x ) ) =/= 0 ) )
11	9, 10	sylib 200	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( x e. CC /\ ( 1 - ( _i x. x ) ) =/= 0 /\ ( 1 + ( _i x. x ) ) =/= 0 ) )
12	11	simp1d 1020	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> x e. CC )
13		mulcl 9623	. . . . . . . 8 |- ( ( _i e. CC /\ x e. CC ) -> ( _i x. x ) e. CC )
14	4, 12, 13	sylancr 669	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( _i x. x ) e. CC )
15		subcl 9874	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. CC /\ ( _i x. x ) e. CC ) -> ( 1 - ( _i x. x ) ) e. CC )
16	3, 14, 15	sylancr 669	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( 1 - ( _i x. x ) ) e. CC )
17	11	simp2d 1021	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( 1 - ( _i x. x ) ) =/= 0 )
18	16, 17	logcld 23520	. . . . 5 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( log ` ( 1 - ( _i x. x ) ) ) e. CC )
19		addcl 9621	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. CC /\ ( _i x. x ) e. CC ) -> ( 1 + ( _i x. x ) ) e. CC )
20	3, 14, 19	sylancr 669	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( 1 + ( _i x. x ) ) e. CC )
21	11	simp3d 1022	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( 1 + ( _i x. x ) ) =/= 0 )
22	20, 21	logcld 23520	. . . . 5 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( log ` ( 1 + ( _i x. x ) ) ) e. CC )
23	18, 22	subcld 9986	. . . 4 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( log ` ( 1 - ( _i x. x ) ) ) - ( log ` ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) e. CC )
24		ovex 6318	. . . . 5 |- ( ( 2 / _i ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) e. _V
25	24	a1i 11	. . . 4 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( 2 / _i ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) e. _V )
26		ovex 6318	. . . . . . 7 |- ( 1 / ( x + _i ) ) e. _V
27	26	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( 1 / ( x + _i ) ) e. _V )
28	5, 6	atans2 23857	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. S <-> ( x e. CC /\ ( 1 - ( _i x. x ) ) e. D /\ ( 1 + ( _i x. x ) ) e. D ) )
29	28	simp2bi 1024	. . . . . . . . 9 |- ( x e. S -> ( 1 - ( _i x. x ) ) e. D )
30	29	adantl 468	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( 1 - ( _i x. x ) ) e. D )
31		negex 9873	. . . . . . . . 9 |- -u _i e. _V
32	31	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> -u _i e. _V )
33	5	logdmss 23587	. . . . . . . . . 10 |- D C_ ( CC \ { 0 } )
34		simpr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ y e. D ) -> y e. D )
35	33, 34	sseldi 3430	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ y e. D ) -> y e. ( CC \ { 0 } ) )
36		logf1o 23514	. . . . . . . . . . 11 |- log : ( CC \ { 0 } ) -1-1-onto-> ran log
37		f1of 5814	. . . . . . . . . . 11 |- ( log : ( CC \ { 0 } ) -1-1-onto-> ran log -> log : ( CC \ { 0 } ) --> ran log )
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- log : ( CC \ { 0 } ) --> ran log
39	38	ffvelrni 6021	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( CC \ { 0 } ) -> ( log ` y ) e. ran log )
40		logrncn 23512	. . . . . . . . 9 |- ( ( log ` y ) e. ran log -> ( log ` y ) e. CC )
41	35, 39, 40	3syl 18	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ y e. D ) -> ( log ` y ) e. CC )
42		ovex 6318	. . . . . . . . 9 |- ( 1 / y ) e. _V
43	42	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ y e. D ) -> ( 1 / y ) e. _V )
44	4	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( T. -> _i e. CC )
45	44, 13	sylan 474	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. CC ) -> ( _i x. x ) e. CC )
46	3, 45, 15	sylancr 669	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. CC ) -> ( 1 - ( _i x. x ) ) e. CC )
47	31	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. CC ) -> -u _i e. _V )
48		1cnd 9659	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. CC ) -> 1 e. CC )
49		0cnd 9636	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. CC ) -> 0 e. CC )
50		1cnd 9659	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T. -> 1 e. CC )
51	2, 50	dvmptc 22912	. . . . . . . . . . 11 |- ( T. -> ( CC _D ( x e. CC |-> 1 ) ) = ( x e. CC |-> 0 ) )
52	4	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. CC ) -> _i e. CC )
53		simpr 463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T. /\ x e. CC ) -> x e. CC )
54	2	dvmptid 22911	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( T. -> ( CC _D ( x e. CC |-> x ) ) = ( x e. CC |-> 1 ) )
55	2, 53, 48, 54, 44	dvmptcmul 22918	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T. -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( _i x. x ) ) ) = ( x e. CC |-> ( _i x. 1 ) ) )
56	4	mulid1i 9645	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( _i x. 1 ) = _i
57	56	mpteq2i 4486	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. CC |-> ( _i x. 1 ) ) = ( x e. CC |-> _i )
58	55, 57	syl6eq 2501	. . . . . . . . . . 11 |- ( T. -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( _i x. x ) ) ) = ( x e. CC |-> _i ) )
59	2, 48, 49, 51, 45, 52, 58	dvmptsub 22921	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( 1 - ( _i x. x ) ) ) ) = ( x e. CC |-> ( 0 - _i ) ) )
60		df-neg 9863	. . . . . . . . . . 11 |- -u _i = ( 0 - _i )
61	60	mpteq2i 4486	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC |-> -u _i ) = ( x e. CC |-> ( 0 - _i ) )
62	59, 61	syl6eqr 2503	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( 1 - ( _i x. x ) ) ) ) = ( x e. CC |-> -u _i ) )
63		eqid 2451	. . . . . . . . . . . 12 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
64	63	cnfldtopon 21803	. . . . . . . . . . 11 |- ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC )
65	5, 6	atansopn 23858	. . . . . . . . . . 11 |- S e. ( TopOpen ` ℂfld )
66		toponss 19944	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC ) /\ S e. ( TopOpen ` ℂfld ) ) -> S C_ CC )
67	64, 65, 66	mp2an 678	. . . . . . . . . 10 |- S C_ CC
68	67	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> S C_ CC )
69	63	cnfldtop 21804	. . . . . . . . . . 11 |- ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top
70	64	toponunii 19947	. . . . . . . . . . . 12 |- CC = U. ( TopOpen ` ℂfld )
71	70	restid 15332	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t CC ) = ( TopOpen ` ℂfld ) )
72	69, 71	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t CC ) = ( TopOpen ` ℂfld )
73	72	eqcomi 2460	. . . . . . . . 9 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t CC )
74	65	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> S e. ( TopOpen ` ℂfld ) )
75	2, 46, 47, 62, 68, 73, 63, 74	dvmptres 22917	. . . . . . . 8 |- ( T. -> ( CC _D ( x e. S |-> ( 1 - ( _i x. x ) ) ) ) = ( x e. S |-> -u _i ) )
76		fssres 5749	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( log : ( CC \ { 0 } ) --> ran log /\ D C_ ( CC \ { 0 } ) ) -> ( log |` D ) : D --> ran log )
77	38, 33, 76	mp2an 678	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( log |` D ) : D --> ran log
78	77	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T. -> ( log |` D ) : D --> ran log )
79	78	feqmptd 5918	. . . . . . . . . . 11 |- ( T. -> ( log |` D ) = ( y e. D |-> ( ( log |` D ) ` y ) ) )
80		fvres 5879	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. D -> ( ( log |` D ) ` y ) = ( log ` y ) )
81	80	mpteq2ia 4485	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. D |-> ( ( log |` D ) ` y ) ) = ( y e. D |-> ( log ` y ) )
82	79, 81	syl6req 2502	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> ( y e. D |-> ( log ` y ) ) = ( log |` D ) )
83	82	oveq2d 6306	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> ( CC _D ( y e. D |-> ( log ` y ) ) ) = ( CC _D ( log |` D ) ) )
84	5	dvlog 23596	. . . . . . . . 9 |- ( CC _D ( log |` D ) ) = ( y e. D |-> ( 1 / y ) )
85	83, 84	syl6eq 2501	. . . . . . . 8 |- ( T. -> ( CC _D ( y e. D |-> ( log ` y ) ) ) = ( y e. D |-> ( 1 / y ) ) )
86		fveq2 5865	. . . . . . . 8 |- ( y = ( 1 - ( _i x. x ) ) -> ( log ` y ) = ( log ` ( 1 - ( _i x. x ) ) ) )
87		oveq2 6298	. . . . . . . 8 |- ( y = ( 1 - ( _i x. x ) ) -> ( 1 / y ) = ( 1 / ( 1 - ( _i x. x ) ) ) )
88	2, 2, 30, 32, 41, 43, 75, 85, 86, 87	dvmptco 22926	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( CC _D ( x e. S |-> ( log ` ( 1 - ( _i x. x ) ) ) ) ) = ( x e. S |-> ( ( 1 / ( 1 - ( _i x. x ) ) ) x. -u _i ) ) )
89		irec 12374	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 / _i ) = -u _i
90	89	oveq2i 6301	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 / ( 1 - ( _i x. x ) ) ) x. ( 1 / _i ) ) = ( ( 1 / ( 1 - ( _i x. x ) ) ) x. -u _i )
91	4	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> _i e. CC )
92		ine0 10054	. . . . . . . . . . . 12 |- _i =/= 0
93	92	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> _i =/= 0 )
94	16, 91, 17, 93	recdiv2d 10401	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( 1 / ( 1 - ( _i x. x ) ) ) / _i ) = ( 1 / ( ( 1 - ( _i x. x ) ) x. _i ) ) )
95	16, 17	reccld 10376	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( 1 / ( 1 - ( _i x. x ) ) ) e. CC )
96	95, 91, 93	divrecd 10386	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( 1 / ( 1 - ( _i x. x ) ) ) / _i ) = ( ( 1 / ( 1 - ( _i x. x ) ) ) x. ( 1 / _i ) ) )
97		1cnd 9659	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> 1 e. CC )
98	97, 14, 91	subdird 10075	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( 1 - ( _i x. x ) ) x. _i ) = ( ( 1 x. _i ) - ( ( _i x. x ) x. _i ) ) )
99	4	mulid2i 9646	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1 x. _i ) = _i
100	99	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( 1 x. _i ) = _i )
101	91, 12, 91	mul32d 9843	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( _i x. x ) x. _i ) = ( ( _i x. _i ) x. x ) )
102		ixi 10241	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( _i x. _i ) = -u 1
103	102	oveq1i 6300	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( _i x. _i ) x. x ) = ( -u 1 x. x )
104	12	mulm1d 10070	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( -u 1 x. x ) = -u x )
105	103, 104	syl5eq 2497	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( _i x. _i ) x. x ) = -u x )
106	101, 105	eqtrd 2485	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( _i x. x ) x. _i ) = -u x )
107	100, 106	oveq12d 6308	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( 1 x. _i ) - ( ( _i x. x ) x. _i ) ) = ( _i - -u x ) )
108		subneg 9923	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( _i e. CC /\ x e. CC ) -> ( _i - -u x ) = ( _i + x ) )
109	4, 12, 108	sylancr 669	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( _i - -u x ) = ( _i + x ) )
110	98, 107, 109	3eqtrd 2489	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( 1 - ( _i x. x ) ) x. _i ) = ( _i + x ) )
111		addcom 9819	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( _i e. CC /\ x e. CC ) -> ( _i + x ) = ( x + _i ) )
112	4, 12, 111	sylancr 669	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( _i + x ) = ( x + _i ) )
113	110, 112	eqtrd 2485	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( 1 - ( _i x. x ) ) x. _i ) = ( x + _i ) )
114	113	oveq2d 6306	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( 1 / ( ( 1 - ( _i x. x ) ) x. _i ) ) = ( 1 / ( x + _i ) ) )
115	94, 96, 114	3eqtr3d 2493	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( 1 / ( 1 - ( _i x. x ) ) ) x. ( 1 / _i ) ) = ( 1 / ( x + _i ) ) )
116	90, 115	syl5eqr 2499	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( 1 / ( 1 - ( _i x. x ) ) ) x. -u _i ) = ( 1 / ( x + _i ) ) )
117	116	mpteq2dva 4489	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( x e. S |-> ( ( 1 / ( 1 - ( _i x. x ) ) ) x. -u _i ) ) = ( x e. S |-> ( 1 / ( x + _i ) ) ) )
118	88, 117	eqtrd 2485	. . . . . 6 |- ( T. -> ( CC _D ( x e. S |-> ( log ` ( 1 - ( _i x. x ) ) ) ) ) = ( x e. S |-> ( 1 / ( x + _i ) ) ) )
119		ovex 6318	. . . . . . 7 |- ( 1 / ( x - _i ) ) e. _V
120	119	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( 1 / ( x - _i ) ) e. _V )
121	28	simp3bi 1025	. . . . . . . . 9 |- ( x e. S -> ( 1 + ( _i x. x ) ) e. D )
122	121	adantl 468	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( 1 + ( _i x. x ) ) e. D )
123	3, 45, 19	sylancr 669	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. CC ) -> ( 1 + ( _i x. x ) ) e. CC )
124	2, 48, 49, 51, 45, 52, 58	dvmptadd 22914	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) = ( x e. CC |-> ( 0 + _i ) ) )
125	4	addid2i 9821	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 + _i ) = _i
126	125	mpteq2i 4486	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC |-> ( 0 + _i ) ) = ( x e. CC |-> _i )
127	124, 126	syl6eq 2501	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) = ( x e. CC |-> _i ) )
128	2, 123, 52, 127, 68, 73, 63, 74	dvmptres 22917	. . . . . . . 8 |- ( T. -> ( CC _D ( x e. S |-> ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) = ( x e. S |-> _i ) )
129		fveq2 5865	. . . . . . . 8 |- ( y = ( 1 + ( _i x. x ) ) -> ( log ` y ) = ( log ` ( 1 + ( _i x. x ) ) ) )
130		oveq2 6298	. . . . . . . 8 |- ( y = ( 1 + ( _i x. x ) ) -> ( 1 / y ) = ( 1 / ( 1 + ( _i x. x ) ) ) )
131	2, 2, 122, 91, 41, 43, 128, 85, 129, 130	dvmptco 22926	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( CC _D ( x e. S |-> ( log ` ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) ) = ( x e. S |-> ( ( 1 / ( 1 + ( _i x. x ) ) ) x. _i ) ) )
132	97, 20, 91, 21, 93	divdiv2d 10415	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( 1 / ( ( 1 + ( _i x. x ) ) / _i ) ) = ( ( 1 x. _i ) / ( 1 + ( _i x. x ) ) ) )
133	97, 14, 91, 93	divdird 10421	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( 1 + ( _i x. x ) ) / _i ) = ( ( 1 / _i ) + ( ( _i x. x ) / _i ) ) )
134	89	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( 1 / _i ) = -u _i )
135	12, 91, 93	divcan3d 10388	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( _i x. x ) / _i ) = x )
136	134, 135	oveq12d 6308	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( 1 / _i ) + ( ( _i x. x ) / _i ) ) = ( -u _i + x ) )
137		negicn 9876	. . . . . . . . . . . . 13 |- -u _i e. CC
138		addcom 9819	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -u _i e. CC /\ x e. CC ) -> ( -u _i + x ) = ( x + -u _i ) )
139	137, 12, 138	sylancr 669	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( -u _i + x ) = ( x + -u _i ) )
140		negsub 9922	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. CC /\ _i e. CC ) -> ( x + -u _i ) = ( x - _i ) )
141	12, 4, 140	sylancl 668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( x + -u _i ) = ( x - _i ) )
142	139, 141	eqtrd 2485	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( -u _i + x ) = ( x - _i ) )
143	133, 136, 142	3eqtrd 2489	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( 1 + ( _i x. x ) ) / _i ) = ( x - _i ) )
144	143	oveq2d 6306	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( 1 / ( ( 1 + ( _i x. x ) ) / _i ) ) = ( 1 / ( x - _i ) ) )
145	97, 91, 20, 21	div23d 10420	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( 1 x. _i ) / ( 1 + ( _i x. x ) ) ) = ( ( 1 / ( 1 + ( _i x. x ) ) ) x. _i ) )
146	132, 144, 145	3eqtr3rd 2494	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( 1 / ( 1 + ( _i x. x ) ) ) x. _i ) = ( 1 / ( x - _i ) ) )
147	146	mpteq2dva 4489	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( x e. S |-> ( ( 1 / ( 1 + ( _i x. x ) ) ) x. _i ) ) = ( x e. S |-> ( 1 / ( x - _i ) ) ) )
148	131, 147	eqtrd 2485	. . . . . 6 |- ( T. -> ( CC _D ( x e. S |-> ( log ` ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) ) = ( x e. S |-> ( 1 / ( x - _i ) ) ) )
149	2, 18, 27, 118, 22, 120, 148	dvmptsub 22921	. . . . 5 |- ( T. -> ( CC _D ( x e. S |-> ( ( log ` ( 1 - ( _i x. x ) ) ) - ( log ` ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) ) ) = ( x e. S |-> ( ( 1 / ( x + _i ) ) - ( 1 / ( x - _i ) ) ) ) )
150		subcl 9874	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ _i e. CC ) -> ( x - _i ) e. CC )
151	12, 4, 150	sylancl 668	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( x - _i ) e. CC )
152		addcl 9621	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ _i e. CC ) -> ( x + _i ) e. CC )
153	12, 4, 152	sylancl 668	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( x + _i ) e. CC )
154	12	sqcld 12414	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( x ^ 2 ) e. CC )
155		addcl 9621	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 e. CC /\ ( x ^ 2 ) e. CC ) -> ( 1 + ( x ^ 2 ) ) e. CC )
156	3, 154, 155	sylancr 669	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( 1 + ( x ^ 2 ) ) e. CC )
157		atandm4 23805	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. dom arctan <-> ( x e. CC /\ ( 1 + ( x ^ 2 ) ) =/= 0 ) )
158	157	simprbi 466	. . . . . . . . 9 |- ( x e. dom arctan -> ( 1 + ( x ^ 2 ) ) =/= 0 )
159	9, 158	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( 1 + ( x ^ 2 ) ) =/= 0 )
160	151, 153, 156, 159	divsubdird 10422	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( ( x - _i ) - ( x + _i ) ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) = ( ( ( x - _i ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) - ( ( x + _i ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) ) )
161	141	oveq1d 6305	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( x + -u _i ) - ( x + _i ) ) = ( ( x - _i ) - ( x + _i ) ) )
162	137	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> -u _i e. CC )
163	12, 162, 91	pnpcand 10023	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( x + -u _i ) - ( x + _i ) ) = ( -u _i - _i ) )
164	161, 163	eqtr3d 2487	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( x - _i ) - ( x + _i ) ) = ( -u _i - _i ) )
165		2cn 10680	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. CC
166	165, 4, 92	divreci 10352	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 / _i ) = ( 2 x. ( 1 / _i ) )
167	89	oveq2i 6301	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 x. ( 1 / _i ) ) = ( 2 x. -u _i )
168	166, 167	eqtri 2473	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 / _i ) = ( 2 x. -u _i )
169	137	2timesi 10730	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 x. -u _i ) = ( -u _i + -u _i )
170	137, 4	negsubi 9952	. . . . . . . . . 10 |- ( -u _i + -u _i ) = ( -u _i - _i )
171	168, 169, 170	3eqtri 2477	. . . . . . . . 9 |- ( 2 / _i ) = ( -u _i - _i )
172	164, 171	syl6eqr 2503	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( x - _i ) - ( x + _i ) ) = ( 2 / _i ) )
173	172	oveq1d 6305	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( ( x - _i ) - ( x + _i ) ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) = ( ( 2 / _i ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) )
174	151	mulid1d 9660	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( x - _i ) x. 1 ) = ( x - _i ) )
175	151, 153	mulcomd 9664	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( x - _i ) x. ( x + _i ) ) = ( ( x + _i ) x. ( x - _i ) ) )
176		i2 12375	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( _i ^ 2 ) = -u 1
177	176	oveq2i 6301	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x ^ 2 ) - ( _i ^ 2 ) ) = ( ( x ^ 2 ) - -u 1 )
178		subneg 9923	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x ^ 2 ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( x ^ 2 ) - -u 1 ) = ( ( x ^ 2 ) + 1 ) )
179	154, 3, 178	sylancl 668	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( x ^ 2 ) - -u 1 ) = ( ( x ^ 2 ) + 1 ) )
180	177, 179	syl5eq 2497	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( x ^ 2 ) - ( _i ^ 2 ) ) = ( ( x ^ 2 ) + 1 ) )
181		subsq 12382	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. CC /\ _i e. CC ) -> ( ( x ^ 2 ) - ( _i ^ 2 ) ) = ( ( x + _i ) x. ( x - _i ) ) )
182	12, 4, 181	sylancl 668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( x ^ 2 ) - ( _i ^ 2 ) ) = ( ( x + _i ) x. ( x - _i ) ) )
183		addcom 9819	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x ^ 2 ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( x ^ 2 ) + 1 ) = ( 1 + ( x ^ 2 ) ) )
184	154, 3, 183	sylancl 668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( x ^ 2 ) + 1 ) = ( 1 + ( x ^ 2 ) ) )
185	180, 182, 184	3eqtr3d 2493	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( x + _i ) x. ( x - _i ) ) = ( 1 + ( x ^ 2 ) ) )
186	175, 185	eqtrd 2485	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( x - _i ) x. ( x + _i ) ) = ( 1 + ( x ^ 2 ) ) )
187	174, 186	oveq12d 6308	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( ( x - _i ) x. 1 ) / ( ( x - _i ) x. ( x + _i ) ) ) = ( ( x - _i ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) )
188		subneg 9923	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. CC /\ _i e. CC ) -> ( x - -u _i ) = ( x + _i ) )
189	12, 4, 188	sylancl 668	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( x - -u _i ) = ( x + _i ) )
190		atandm 23802	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. dom arctan <-> ( x e. CC /\ x =/= -u _i /\ x =/= _i ) )
191	9, 190	sylib 200	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( x e. CC /\ x =/= -u _i /\ x =/= _i ) )
192	191	simp2d 1021	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> x =/= -u _i )
193		subeq0 9900	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. CC /\ -u _i e. CC ) -> ( ( x - -u _i ) = 0 <-> x = -u _i ) )
194	193	necon3bid 2668	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. CC /\ -u _i e. CC ) -> ( ( x - -u _i ) =/= 0 <-> x =/= -u _i ) )
195	12, 137, 194	sylancl 668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( x - -u _i ) =/= 0 <-> x =/= -u _i ) )
196	192, 195	mpbird 236	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( x - -u _i ) =/= 0 )
197	189, 196	eqnetrrd 2692	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( x + _i ) =/= 0 )
198	191	simp3d 1022	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> x =/= _i )
199		subeq0 9900	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. CC /\ _i e. CC ) -> ( ( x - _i ) = 0 <-> x = _i ) )
200	199	necon3bid 2668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. CC /\ _i e. CC ) -> ( ( x - _i ) =/= 0 <-> x =/= _i ) )
201	12, 4, 200	sylancl 668	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( x - _i ) =/= 0 <-> x =/= _i ) )
202	198, 201	mpbird 236	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( x - _i ) =/= 0 )
203	97, 153, 151, 197, 202	divcan5d 10409	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( ( x - _i ) x. 1 ) / ( ( x - _i ) x. ( x + _i ) ) ) = ( 1 / ( x + _i ) ) )
204	187, 203	eqtr3d 2487	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( x - _i ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) = ( 1 / ( x + _i ) ) )
205	153	mulid1d 9660	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( x + _i ) x. 1 ) = ( x + _i ) )
206	205, 185	oveq12d 6308	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( ( x + _i ) x. 1 ) / ( ( x + _i ) x. ( x - _i ) ) ) = ( ( x + _i ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) )
207	97, 151, 153, 202, 197	divcan5d 10409	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( ( x + _i ) x. 1 ) / ( ( x + _i ) x. ( x - _i ) ) ) = ( 1 / ( x - _i ) ) )
208	206, 207	eqtr3d 2487	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( x + _i ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) = ( 1 / ( x - _i ) ) )
209	204, 208	oveq12d 6308	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( ( x - _i ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) - ( ( x + _i ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) ) = ( ( 1 / ( x + _i ) ) - ( 1 / ( x - _i ) ) ) )
210	160, 173, 209	3eqtr3rd 2494	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( 1 / ( x + _i ) ) - ( 1 / ( x - _i ) ) ) = ( ( 2 / _i ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) )
211	210	mpteq2dva 4489	. . . . 5 |- ( T. -> ( x e. S |-> ( ( 1 / ( x + _i ) ) - ( 1 / ( x - _i ) ) ) ) = ( x e. S |-> ( ( 2 / _i ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) ) )
212	149, 211	eqtrd 2485	. . . 4 |- ( T. -> ( CC _D ( x e. S |-> ( ( log ` ( 1 - ( _i x. x ) ) ) - ( log ` ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) ) ) = ( x e. S |-> ( ( 2 / _i ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) ) )
213		halfcl 10838	. . . . 5 |- ( _i e. CC -> ( _i / 2 ) e. CC )
214	4, 213	mp1i 13	. . . 4 |- ( T. -> ( _i / 2 ) e. CC )
215	2, 23, 25, 212, 214	dvmptcmul 22918	. . 3 |- ( T. -> ( CC _D ( x e. S |-> ( ( _i / 2 ) x. ( ( log ` ( 1 - ( _i x. x ) ) ) - ( log ` ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) ) ) ) = ( x e. S |-> ( ( _i / 2 ) x. ( ( 2 / _i ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
216		df-atan 23793	. . . . . . 7 |- arctan = ( x e. ( CC \ { -u _i , _i } ) |-> ( ( _i / 2 ) x. ( ( log ` ( 1 - ( _i x. x ) ) ) - ( log ` ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) ) )
217	216	reseq1i 5101	. . . . . 6 |- (arctan |` S ) = ( ( x e. ( CC \ { -u _i , _i } ) |-> ( ( _i / 2 ) x. ( ( log ` ( 1 - ( _i x. x ) ) ) - ( log ` ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) ) ) |` S )
218		atanf 23806	. . . . . . . . 9 |- arctan : ( CC \ { -u _i , _i } ) --> CC
219	218	fdmi 5734	. . . . . . . 8 |- dom arctan = ( CC \ { -u _i , _i } )
220	7, 219	sseqtri 3464	. . . . . . 7 |- S C_ ( CC \ { -u _i , _i } )
221		resmpt 5154	. . . . . . 7 |- ( S C_ ( CC \ { -u _i , _i } ) -> ( ( x e. ( CC \ { -u _i , _i } ) |-> ( ( _i / 2 ) x. ( ( log ` ( 1 - ( _i x. x ) ) ) - ( log ` ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) ) ) |` S ) = ( x e. S |-> ( ( _i / 2 ) x. ( ( log ` ( 1 - ( _i x. x ) ) ) - ( log ` ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) ) ) )
222	220, 221	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( CC \ { -u _i , _i } ) |-> ( ( _i / 2 ) x. ( ( log ` ( 1 - ( _i x. x ) ) ) - ( log ` ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) ) ) |` S ) = ( x e. S |-> ( ( _i / 2 ) x. ( ( log ` ( 1 - ( _i x. x ) ) ) - ( log ` ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) ) )
223	217, 222	eqtri 2473	. . . . 5 |- (arctan |` S ) = ( x e. S |-> ( ( _i / 2 ) x. ( ( log ` ( 1 - ( _i x. x ) ) ) - ( log ` ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) ) )
224	223	a1i 11	. . . 4 |- ( T. -> (arctan |` S ) = ( x e. S |-> ( ( _i / 2 ) x. ( ( log ` ( 1 - ( _i x. x ) ) ) - ( log ` ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) ) ) )
225	224	oveq2d 6306	. . 3 |- ( T. -> ( CC _D (arctan |` S ) ) = ( CC _D ( x e. S |-> ( ( _i / 2 ) x. ( ( log ` ( 1 - ( _i x. x ) ) ) - ( log ` ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) ) ) ) )
226		2ne0 10702	. . . . . . 7 |- 2 =/= 0
227		divcan6 10314	. . . . . . 7 |- ( ( ( _i e. CC /\ _i =/= 0 ) /\ ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) ) -> ( ( _i / 2 ) x. ( 2 / _i ) ) = 1 )
228	4, 92, 165, 226, 227	mp4an 679	. . . . . 6 |- ( ( _i / 2 ) x. ( 2 / _i ) ) = 1
229	228	oveq1i 6300	. . . . 5 |- ( ( ( _i / 2 ) x. ( 2 / _i ) ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) = ( 1 / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) )
230	4, 213	mp1i 13	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( _i / 2 ) e. CC )
231	165, 4, 92	divcli 10349	. . . . . . 7 |- ( 2 / _i ) e. CC
232	231	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( 2 / _i ) e. CC )
233	230, 232, 156, 159	divassd 10418	. . . . 5 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( ( _i / 2 ) x. ( 2 / _i ) ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) = ( ( _i / 2 ) x. ( ( 2 / _i ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) ) )
234	229, 233	syl5eqr 2499	. . . 4 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( 1 / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) = ( ( _i / 2 ) x. ( ( 2 / _i ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) ) )
235	234	mpteq2dva 4489	. . 3 |- ( T. -> ( x e. S |-> ( 1 / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) ) = ( x e. S |-> ( ( _i / 2 ) x. ( ( 2 / _i ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
236	215, 225, 235	3eqtr4d 2495	. 2 |- ( T. -> ( CC _D (arctan |` S ) ) = ( x e. S |-> ( 1 / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) ) )
237	236	trud 1453	1 |- ( CC _D (arctan |` S ) ) = ( x e. S |-> ( 1 / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) )

Syntax hints:   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 985   = wceq 1444   T. wtru 1445   e. wcel 1887   =/= wne 2622   {crab 2741   _Vcvv 3045   \ cdif 3401   C_ wss 3404   {csn 3968   {cpr 3970   |-> cmpt 4461   dom cdm 4834   ran crn 4835   |` cres 4836   -->wf 5578   -1-1-onto->wf1o 5581   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540   _ici 9541   + caddc 9542   x. cmul 9544   -oocmnf 9673   - cmin 9860   -ucneg 9861   / cdiv 10269   2c2 10659   (,]cioc 11636   ^cexp 12272   ↾_t crest 15319   TopOpenctopn 15320  ℂ_fldccnfld 18970   Topctop 19917  TopOnctopon 19918   _D cdv 22818   logclog 23504  arctancatan 23790

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-fac 12460  df-bc 12488  df-hash 12516  df-shft 13130  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-limsup 13526  df-clim 13552  df-rlim 13553  df-sum 13753  df-ef 14121  df-sin 14123  df-cos 14124  df-tan 14125  df-pi 14126  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-mulg 16676  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-cnfld 18971  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cld 20034  df-ntr 20035  df-cls 20036  df-nei 20114  df-lp 20152  df-perf 20153  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-haus 20331  df-cmp 20402  df-tx 20577  df-hmeo 20770  df-fil 20861  df-fm 20953  df-flim 20954  df-flf 20955  df-xms 21335  df-ms 21336  df-tms 21337  df-cncf 21910  df-limc 22821  df-dv 22822  df-log 23506  df-atan 23793

This theorem is referenced by:  atancn  23862