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Theorem dvatan 20728
Description: The derivative of the arctangent. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
atansopn.d  |-  D  =  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) )
atansopn.s  |-  S  =  { y  e.  CC  |  ( 1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  D }
Assertion
Ref Expression
dvatan  |-  ( CC 
_D  (arctan  |`  S ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( 1  /  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, D    x, S
Allowed substitution hint:    S( y)

Proof of Theorem dvatan
StepHypRef Expression
1 cnex 9027 . . . . . 6  |-  CC  e.  _V
21prid2 3873 . . . . 5  |-  CC  e.  { RR ,  CC }
32a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  CC  e.  { RR ,  CC } )
4 ax-1cn 9004 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
5 ax-icn 9005 . . . . . . . 8  |-  _i  e.  CC
6 atansopn.d . . . . . . . . . . . 12  |-  D  =  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) )
7 atansopn.s . . . . . . . . . . . 12  |-  S  =  { y  e.  CC  |  ( 1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  D }
86, 7atansssdm 20726 . . . . . . . . . . 11  |-  S  C_  dom arctan
9 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  S )
108, 9sseldi 3306 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  dom arctan )
11 atandm2 20670 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  dom arctan  <->  ( x  e.  CC  /\  ( 1  -  ( _i  x.  x ) )  =/=  0  /\  ( 1  +  ( _i  x.  x ) )  =/=  0 ) )
1210, 11sylib 189 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
x  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  x )
)  =/=  0  /\  ( 1  +  ( _i  x.  x ) )  =/=  0 ) )
1312simp1d 969 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  CC )
14 mulcl 9030 . . . . . . . 8  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( _i  x.  x
)  e.  CC )
155, 13, 14sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
_i  x.  x )  e.  CC )
16 subcl 9261 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( _i  x.  x
)  e.  CC )  ->  ( 1  -  ( _i  x.  x
) )  e.  CC )
174, 15, 16sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  -  ( _i  x.  x ) )  e.  CC )
1812simp2d 970 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  -  ( _i  x.  x ) )  =/=  0 )
1917, 18logcld 20421 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  x
) ) )  e.  CC )
20 addcl 9028 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( _i  x.  x
)  e.  CC )  ->  ( 1  +  ( _i  x.  x
) )  e.  CC )
214, 15, 20sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  +  ( _i  x.  x ) )  e.  CC )
2212simp3d 971 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  +  ( _i  x.  x ) )  =/=  0 )
2321, 22logcld 20421 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  x
) ) )  e.  CC )
2419, 23subcld 9367 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( log `  (
1  -  ( _i  x.  x ) ) )  -  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  x ) ) ) )  e.  CC )
25 ovex 6065 . . . . 5  |-  ( ( 2  /  _i )  /  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) )  e. 
_V
2625a1i 11 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 2  /  _i )  /  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) )  e. 
_V )
27 ovex 6065 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  ( x  +  _i ) )  e.  _V
2827a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  /  ( x  +  _i ) )  e.  _V )
296, 7atans2 20724 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  S  <->  ( x  e.  CC  /\  ( 1  -  ( _i  x.  x ) )  e.  D  /\  ( 1  +  ( _i  x.  x ) )  e.  D ) )
3029simp2bi 973 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  S  ->  (
1  -  ( _i  x.  x ) )  e.  D )
3130adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  -  ( _i  x.  x ) )  e.  D )
32 negex 9260 . . . . . . . . 9  |-  -u _i  e.  _V
3332a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  -u _i  e.  _V )
346logdmss 20486 . . . . . . . . . 10  |-  D  C_  ( CC  \  { 0 } )
35 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  y  e.  D )  ->  y  e.  D )
3634, 35sseldi 3306 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  y  e.  D )  ->  y  e.  ( CC  \  {
0 } ) )
37 logf1o 20415 . . . . . . . . . . 11  |-  log :
( CC  \  {
0 } ) -1-1-onto-> ran  log
38 f1of 5633 . . . . . . . . . . 11  |-  ( log
: ( CC  \  { 0 } ) -1-1-onto-> ran 
log  ->  log : ( CC 
\  { 0 } ) --> ran  log )
3937, 38ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  log :
( CC  \  {
0 } ) --> ran 
log
4039ffvelrni 5828 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( log `  y
)  e.  ran  log )
41 logrncn 20413 . . . . . . . . 9  |-  ( ( log `  y )  e.  ran  log  ->  ( log `  y )  e.  CC )
4236, 40, 413syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  y  e.  D )  ->  ( log `  y )  e.  CC )
43 ovex 6065 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  /  y )  e. 
_V
4443a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  y  e.  D )  ->  (
1  /  y )  e.  _V )
455a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  (  T. 
->  _i  e.  CC )
4645, 14sylan 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  CC )  ->  (
_i  x.  x )  e.  CC )
474, 46, 16sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  CC )  ->  (
1  -  ( _i  x.  x ) )  e.  CC )
4832a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  CC )  ->  -u _i  e.  _V )
494a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  CC )  ->  1  e.  CC )
50 0cn 9040 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  CC
5150a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  CC )  ->  0  e.  CC )
524a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  T. 
->  1  e.  CC )
533, 52dvmptc 19797 . . . . . . . . . . 11  |-  (  T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  1 ) )  =  ( x  e.  CC  |->  0 ) )
545a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  CC )  ->  _i  e.  CC )
55 simpr 448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  x  e.  CC )  ->  x  e.  CC )
563dvmptid 19796 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  x ) )  =  ( x  e.  CC  |->  1 ) )
573, 55, 49, 56, 45dvmptcmul 19803 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( _i  x.  x ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( _i  x.  1 ) ) )
585mulid1i 9048 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( _i  x.  1 )  =  _i
5958mpteq2i 4252 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  CC  |->  ( _i  x.  1 ) )  =  ( x  e.  CC  |->  _i )
6057, 59syl6eq 2452 . . . . . . . . . . 11  |-  (  T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( _i  x.  x ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  _i ) )
613, 49, 51, 53, 46, 54, 60dvmptsub 19806 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( 1  -  ( _i  x.  x ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( 0  -  _i ) ) )
62 df-neg 9250 . . . . . . . . . . 11  |-  -u _i  =  ( 0  -  _i )
6362mpteq2i 4252 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  |->  -u _i )  =  ( x  e.  CC  |->  ( 0  -  _i ) )
6461, 63syl6eqr 2454 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( 1  -  ( _i  x.  x ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  -u _i ) )
65 eqid 2404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
6665cnfldtopon 18770 . . . . . . . . . . 11  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
676, 7atansopn 20725 . . . . . . . . . . 11  |-  S  e.  ( TopOpen ` fld )
68 toponss 16949 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  /\  S  e.  ( TopOpen ` fld ) )  ->  S  C_  CC )
6966, 67, 68mp2an 654 . . . . . . . . . 10  |-  S  C_  CC
7069a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  S  C_  CC )
7165cnfldtop 18771 . . . . . . . . . . 11  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Top
7266toponunii 16952 . . . . . . . . . . . 12  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
7372restid 13616 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  Top  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld ) )
7471, 73ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld )
7574eqcomi 2408 . . . . . . . . 9  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )
7667a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  S  e.  ( TopOpen
` fld
) )
773, 47, 48, 64, 70, 75, 65, 76dvmptres 19802 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  S  |->  ( 1  -  ( _i  x.  x ) ) ) )  =  ( x  e.  S  |->  -u _i ) )
78 fssres 5569 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( log : ( CC 
\  { 0 } ) --> ran  log  /\  D  C_  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( log  |`  D ) : D --> ran  log )
7939, 34, 78mp2an 654 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( log  |`  D ) : D --> ran  log
8079a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  T. 
->  ( log  |`  D ) : D --> ran  log )
8180feqmptd 5738 . . . . . . . . . . 11  |-  (  T. 
->  ( log  |`  D )  =  ( y  e.  D  |->  ( ( log  |`  D ) `  y
) ) )
82 fvres 5704 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  D  ->  (
( log  |`  D ) `
 y )  =  ( log `  y
) )
8382mpteq2ia 4251 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  D  |->  ( ( log  |`  D ) `  y ) )  =  ( y  e.  D  |->  ( log `  y
) )
8481, 83syl6req 2453 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  ( y  e.  D  |->  ( log `  y
) )  =  ( log  |`  D )
)
8584oveq2d 6056 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  ( CC  _D  (
y  e.  D  |->  ( log `  y ) ) )  =  ( CC  _D  ( log  |`  D ) ) )
866dvlog 20495 . . . . . . . . 9  |-  ( CC 
_D  ( log  |`  D ) )  =  ( y  e.  D  |->  ( 1  /  y ) )
8785, 86syl6eq 2452 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  ( CC  _D  (
y  e.  D  |->  ( log `  y ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  ( 1  /  y ) ) )
88 fveq2 5687 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( 1  -  ( _i  x.  x
) )  ->  ( log `  y )  =  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  x ) ) ) )
89 oveq2 6048 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( 1  -  ( _i  x.  x
) )  ->  (
1  /  y )  =  ( 1  / 
( 1  -  (
_i  x.  x )
) ) )
903, 3, 31, 33, 42, 44, 77, 87, 88, 89dvmptco 19811 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  S  |->  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  x ) ) ) ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( ( 1  /  (
1  -  ( _i  x.  x ) ) )  x.  -u _i ) ) )
91 irec 11435 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  /  _i )  = 
-u _i
9291oveq2i 6051 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  /  ( 1  -  ( _i  x.  x ) ) )  x.  ( 1  /  _i ) )  =  ( ( 1  /  (
1  -  ( _i  x.  x ) ) )  x.  -u _i )
935a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  _i  e.  CC )
94 ine0 9425 . . . . . . . . . . . 12  |-  _i  =/=  0
9594a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  _i  =/=  0 )
9617, 93, 18, 95recdiv2d 9764 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 1  /  (
1  -  ( _i  x.  x ) ) )  /  _i )  =  ( 1  / 
( ( 1  -  ( _i  x.  x
) )  x.  _i ) ) )
9717, 18reccld 9739 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  /  ( 1  -  ( _i  x.  x ) ) )  e.  CC )
9897, 93, 95divrecd 9749 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 1  /  (
1  -  ( _i  x.  x ) ) )  /  _i )  =  ( ( 1  /  ( 1  -  ( _i  x.  x
) ) )  x.  ( 1  /  _i ) ) )
994a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  1  e.  CC )
10099, 15, 93subdird 9446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 1  -  (
_i  x.  x )
)  x.  _i )  =  ( ( 1  x.  _i )  -  ( ( _i  x.  x )  x.  _i ) ) )
1015mulid2i 9049 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  x.  _i )  =  _i
102101a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  x.  _i )  =  _i )
10393, 13, 93mul32d 9232 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( _i  x.  x
)  x.  _i )  =  ( ( _i  x.  _i )  x.  x ) )
104 ixi 9607 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( _i  x.  _i )  = 
-u 1
105104oveq1i 6050 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( _i  x.  _i )  x.  x )  =  ( -u 1  x.  x )
10613mulm1d 9441 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  ( -u 1  x.  x )  =  -u x )
107105, 106syl5eq 2448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( _i  x.  _i )  x.  x )  =  -u x )
108103, 107eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( _i  x.  x
)  x.  _i )  =  -u x )
109102, 108oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 1  x.  _i )  -  ( (
_i  x.  x )  x.  _i ) )  =  ( _i  -  -u x
) )
110 subneg 9306 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( _i  -  -u x
)  =  ( _i  +  x ) )
1115, 13, 110sylancr 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
_i  -  -u x )  =  ( _i  +  x ) )
112100, 109, 1113eqtrd 2440 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 1  -  (
_i  x.  x )
)  x.  _i )  =  ( _i  +  x ) )
113 addcom 9208 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( _i  +  x
)  =  ( x  +  _i ) )
1145, 13, 113sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
_i  +  x )  =  ( x  +  _i ) )
115112, 114eqtrd 2436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 1  -  (
_i  x.  x )
)  x.  _i )  =  ( x  +  _i ) )
116115oveq2d 6056 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  /  ( ( 1  -  ( _i  x.  x ) )  x.  _i ) )  =  ( 1  / 
( x  +  _i ) ) )
11796, 98, 1163eqtr3d 2444 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 1  /  (
1  -  ( _i  x.  x ) ) )  x.  ( 1  /  _i ) )  =  ( 1  / 
( x  +  _i ) ) )
11892, 117syl5eqr 2450 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 1  /  (
1  -  ( _i  x.  x ) ) )  x.  -u _i )  =  ( 1  /  ( x  +  _i ) ) )
119118mpteq2dva 4255 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( x  e.  S  |->  ( ( 1  / 
( 1  -  (
_i  x.  x )
) )  x.  -u _i ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( 1  /  ( x  +  _i ) ) ) )
12090, 119eqtrd 2436 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  S  |->  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  x ) ) ) ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( 1  /  ( x  +  _i ) ) ) )
121 ovex 6065 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  ( x  -  _i ) )  e.  _V
122121a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  /  ( x  -  _i ) )  e.  _V )
12329simp3bi 974 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  S  ->  (
1  +  ( _i  x.  x ) )  e.  D )
124123adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  +  ( _i  x.  x ) )  e.  D )
1254, 46, 20sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  CC )  ->  (
1  +  ( _i  x.  x ) )  e.  CC )
1263, 49, 51, 53, 46, 54, 60dvmptadd 19799 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( 1  +  ( _i  x.  x ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( 0  +  _i ) ) )
1275addid2i 9210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  +  _i )  =  _i
128127mpteq2i 4252 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  |->  ( 0  +  _i ) )  =  ( x  e.  CC  |->  _i )
129126, 128syl6eq 2452 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( 1  +  ( _i  x.  x ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  _i ) )
1303, 125, 54, 129, 70, 75, 65, 76dvmptres 19802 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  S  |->  ( 1  +  ( _i  x.  x ) ) ) )  =  ( x  e.  S  |->  _i ) )
131 fveq2 5687 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( 1  +  ( _i  x.  x
) )  ->  ( log `  y )  =  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  x ) ) ) )
132 oveq2 6048 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( 1  +  ( _i  x.  x
) )  ->  (
1  /  y )  =  ( 1  / 
( 1  +  ( _i  x.  x ) ) ) )
1333, 3, 124, 93, 42, 44, 130, 87, 131, 132dvmptco 19811 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  S  |->  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  x ) ) ) ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( ( 1  /  (
1  +  ( _i  x.  x ) ) )  x.  _i ) ) )
13499, 21, 93, 22, 95divdiv2d 9778 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  /  ( ( 1  +  ( _i  x.  x ) )  /  _i ) )  =  ( ( 1  x.  _i )  / 
( 1  +  ( _i  x.  x ) ) ) )
13599, 15, 93, 95divdird 9784 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 1  +  ( _i  x.  x ) )  /  _i )  =  ( ( 1  /  _i )  +  ( ( _i  x.  x )  /  _i ) ) )
13691a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  /  _i )  =  -u _i )
13713, 93, 95divcan3d 9751 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( _i  x.  x
)  /  _i )  =  x )
138136, 137oveq12d 6058 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 1  /  _i )  +  ( (
_i  x.  x )  /  _i ) )  =  ( -u _i  +  x ) )
1395negcli 9324 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -u _i  e.  CC
140 addcom 9208 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
-u _i  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( -u _i  +  x )  =  ( x  +  -u _i ) )
141139, 13, 140sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  ( -u _i  +  x )  =  ( x  +  -u _i ) )
142 negsub 9305 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  _i  e.  CC )  -> 
( x  +  -u _i )  =  (
x  -  _i ) )
14313, 5, 142sylancl 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
x  +  -u _i )  =  ( x  -  _i ) )
144141, 143eqtrd 2436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  ( -u _i  +  x )  =  ( x  -  _i ) )
145135, 138, 1443eqtrd 2440 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 1  +  ( _i  x.  x ) )  /  _i )  =  ( x  -  _i ) )
146145oveq2d 6056 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  /  ( ( 1  +  ( _i  x.  x ) )  /  _i ) )  =  ( 1  / 
( x  -  _i ) ) )
14799, 93, 21, 22div23d 9783 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 1  x.  _i )  /  ( 1  +  ( _i  x.  x
) ) )  =  ( ( 1  / 
( 1  +  ( _i  x.  x ) ) )  x.  _i ) )
148134, 146, 1473eqtr3rd 2445 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 1  /  (
1  +  ( _i  x.  x ) ) )  x.  _i )  =  ( 1  / 
( x  -  _i ) ) )
149148mpteq2dva 4255 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( x  e.  S  |->  ( ( 1  / 
( 1  +  ( _i  x.  x ) ) )  x.  _i ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( 1  /  ( x  -  _i ) ) ) )
150133, 149eqtrd 2436 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  S  |->  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  x ) ) ) ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( 1  /  ( x  -  _i ) ) ) )
1513, 19, 28, 120, 23, 122, 150dvmptsub 19806 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  S  |->  ( ( log `  (
1  -  ( _i  x.  x ) ) )  -  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  x ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( ( 1  /  ( x  +  _i ) )  -  ( 1  / 
( x  -  _i ) ) ) ) )
152 subcl 9261 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  _i  e.  CC )  -> 
( x  -  _i )  e.  CC )
15313, 5, 152sylancl 644 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
x  -  _i )  e.  CC )
154 addcl 9028 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  _i  e.  CC )  -> 
( x  +  _i )  e.  CC )
15513, 5, 154sylancl 644 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
x  +  _i )  e.  CC )
15613sqcld 11476 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
x ^ 2 )  e.  CC )
157 addcl 9028 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( x ^ 2 )  e.  CC )  ->  ( 1  +  ( x ^ 2 ) )  e.  CC )
1584, 156, 157sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  +  ( x ^ 2 ) )  e.  CC )
159 atandm4 20672 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  dom arctan  <->  ( x  e.  CC  /\  ( 1  +  ( x ^
2 ) )  =/=  0 ) )
160159simprbi 451 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  dom arctan  ->  ( 1  +  ( x ^
2 ) )  =/=  0 )
16110, 160syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  +  ( x ^ 2 ) )  =/=  0 )
162153, 155, 158, 161divsubdird 9785 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( ( x  -  _i )  -  (
x  +  _i ) )  /  ( 1  +  ( x ^
2 ) ) )  =  ( ( ( x  -  _i )  /  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) )  -  ( ( x  +  _i )  /  (
1  +  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
163143oveq1d 6055 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  +  -u _i )  -  (
x  +  _i ) )  =  ( ( x  -  _i )  -  ( x  +  _i ) ) )
164139a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  -u _i  e.  CC )
16513, 164, 93pnpcand 9404 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  +  -u _i )  -  (
x  +  _i ) )  =  ( -u _i  -  _i ) )
166163, 165eqtr3d 2438 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  -  _i )  -  ( x  +  _i ) )  =  ( -u _i  -  _i ) )
167 2cn 10026 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  CC
168167, 5, 94divreci 9715 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  /  _i )  =  ( 2  x.  (
1  /  _i ) )
16991oveq2i 6051 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  x.  ( 1  /  _i ) )  =  ( 2  x.  -u _i )
170168, 169eqtri 2424 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  /  _i )  =  ( 2  x.  -u _i )
1711392timesi 10057 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  x.  -u _i )  =  ( -u _i  +  -u _i )
172139, 5negsubi 9334 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u _i  +  -u _i )  =  ( -u _i  -  _i )
173170, 171, 1723eqtri 2428 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  /  _i )  =  ( -u _i  -  _i )
174166, 173syl6eqr 2454 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  -  _i )  -  ( x  +  _i ) )  =  ( 2  /  _i ) )
175174oveq1d 6055 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( ( x  -  _i )  -  (
x  +  _i ) )  /  ( 1  +  ( x ^
2 ) ) )  =  ( ( 2  /  _i )  / 
( 1  +  ( x ^ 2 ) ) ) )
176153mulid1d 9061 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  -  _i )  x.  1 )  =  ( x  -  _i ) )
177153, 155mulcomd 9065 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  -  _i )  x.  ( x  +  _i ) )  =  ( ( x  +  _i )  x.  (
x  -  _i ) ) )
178 i2 11436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( _i
^ 2 )  = 
-u 1
179178oveq2i 6051 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x ^ 2 )  -  ( _i ^
2 ) )  =  ( ( x ^
2 )  -  -u 1
)
180 subneg 9306 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x ^ 2 )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( x ^
2 )  -  -u 1
)  =  ( ( x ^ 2 )  +  1 ) )
181156, 4, 180sylancl 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x ^ 2 )  -  -u 1
)  =  ( ( x ^ 2 )  +  1 ) )
182179, 181syl5eq 2448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x ^ 2 )  -  ( _i
^ 2 ) )  =  ( ( x ^ 2 )  +  1 ) )
183 subsq 11443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  _i  e.  CC )  -> 
( ( x ^
2 )  -  (
_i ^ 2 ) )  =  ( ( x  +  _i )  x.  ( x  -  _i ) ) )
18413, 5, 183sylancl 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x ^ 2 )  -  ( _i
^ 2 ) )  =  ( ( x  +  _i )  x.  ( x  -  _i ) ) )
185 addcom 9208 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x ^ 2 )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( x ^
2 )  +  1 )  =  ( 1  +  ( x ^
2 ) ) )
186156, 4, 185sylancl 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x ^ 2 )  +  1 )  =  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) )
187182, 184, 1863eqtr3d 2444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  +  _i )  x.  ( x  -  _i ) )  =  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) )
188177, 187eqtrd 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  -  _i )  x.  ( x  +  _i ) )  =  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) )
189176, 188oveq12d 6058 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( ( x  -  _i )  x.  1
)  /  ( ( x  -  _i )  x.  ( x  +  _i ) ) )  =  ( ( x  -  _i )  /  (
1  +  ( x ^ 2 ) ) ) )
190 subneg 9306 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  /\  _i  e.  CC )  -> 
( x  -  -u _i )  =  ( x  +  _i ) )
19113, 5, 190sylancl 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
x  -  -u _i )  =  ( x  +  _i ) )
192 atandm 20669 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  dom arctan  <->  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  -u _i  /\  x  =/=  _i ) )
19310, 192sylib 189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
x  e.  CC  /\  x  =/=  -u _i  /\  x  =/=  _i ) )
194193simp2d 970 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  x  =/=  -u _i )
195 subeq0 9283 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  CC  /\  -u _i  e.  CC )  ->  ( ( x  -  -u _i )  =  0  <->  x  =  -u _i ) )
196195necon3bid 2602 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  -u _i  e.  CC )  ->  ( ( x  -  -u _i )  =/=  0  <->  x  =/=  -u _i ) )
19713, 139, 196sylancl 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  -  -u _i )  =/=  0  <->  x  =/=  -u _i ) )
198194, 197mpbird 224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
x  -  -u _i )  =/=  0 )
199191, 198eqnetrrd 2587 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
x  +  _i )  =/=  0 )
200193simp3d 971 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  x  =/=  _i )
201 subeq0 9283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  _i  e.  CC )  -> 
( ( x  -  _i )  =  0  <->  x  =  _i ) )
202201necon3bid 2602 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  /\  _i  e.  CC )  -> 
( ( x  -  _i )  =/=  0  <->  x  =/=  _i ) )
20313, 5, 202sylancl 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  -  _i )  =/=  0  <->  x  =/=  _i ) )
204200, 203mpbird 224 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
x  -  _i )  =/=  0 )
20599, 155, 153, 199, 204divcan5d 9772 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( ( x  -  _i )  x.  1
)  /  ( ( x  -  _i )  x.  ( x  +  _i ) ) )  =  ( 1  /  (
x  +  _i ) ) )
206189, 205eqtr3d 2438 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  -  _i )  /  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) )  =  ( 1  /  (
x  +  _i ) ) )
207155mulid1d 9061 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  +  _i )  x.  1 )  =  ( x  +  _i ) )
208207, 187oveq12d 6058 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( ( x  +  _i )  x.  1
)  /  ( ( x  +  _i )  x.  ( x  -  _i ) ) )  =  ( ( x  +  _i )  /  (
1  +  ( x ^ 2 ) ) ) )
20999, 153, 155, 204, 199divcan5d 9772 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( ( x  +  _i )  x.  1
)  /  ( ( x  +  _i )  x.  ( x  -  _i ) ) )  =  ( 1  /  (
x  -  _i ) ) )
210208, 209eqtr3d 2438 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  +  _i )  /  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) )  =  ( 1  /  (
x  -  _i ) ) )
211206, 210oveq12d 6058 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( ( x  -  _i )  /  (
1  +  ( x ^ 2 ) ) )  -  ( ( x  +  _i )  /  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( 1  /  ( x  +  _i ) )  -  (
1  /  ( x  -  _i ) ) ) )
212162, 175, 2113eqtr3rd 2445 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 1  /  (
x  +  _i ) )  -  ( 1  /  ( x  -  _i ) ) )  =  ( ( 2  /  _i )  /  (
1  +  ( x ^ 2 ) ) ) )
213212mpteq2dva 4255 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( x  e.  S  |->  ( ( 1  / 
( x  +  _i ) )  -  (
1  /  ( x  -  _i ) ) ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( ( 2  /  _i )  /  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
214151, 213eqtrd 2436 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  S  |->  ( ( log `  (
1  -  ( _i  x.  x ) ) )  -  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  x ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( ( 2  /  _i )  /  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
215 halfcl 10149 . . . . 5  |-  ( _i  e.  CC  ->  (
_i  /  2 )  e.  CC )
2165, 215mp1i 12 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( _i  /  2
)  e.  CC )
2173, 24, 26, 214, 216dvmptcmul 19803 . . 3  |-  (  T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  S  |->  ( ( _i  /  2
)  x.  ( ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  x ) ) )  -  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  x ) ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( ( _i  /  2 )  x.  ( ( 2  /  _i )  / 
( 1  +  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
218 df-atan 20660 . . . . . . 7  |- arctan  =  ( x  e.  ( CC 
\  { -u _i ,  _i } )  |->  ( ( _i  /  2
)  x.  ( ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  x ) ) )  -  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  x ) ) ) ) ) )
219218reseq1i 5101 . . . . . 6  |-  (arctan  |`  S )  =  ( ( x  e.  ( CC  \  { -u _i ,  _i } )  |->  ( ( _i  /  2 )  x.  ( ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  x )
) )  -  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  x
) ) ) ) ) )  |`  S )
220 atanf 20673 . . . . . . . . 9  |- arctan : ( CC  \  { -u _i ,  _i }
) --> CC
221220fdmi 5555 . . . . . . . 8  |-  dom arctan  =  ( CC  \  { -u _i ,  _i }
)
2228, 221sseqtri 3340 . . . . . . 7  |-  S  C_  ( CC  \  { -u _i ,  _i }
)
223 resmpt 5150 . . . . . . 7  |-  ( S 
C_  ( CC  \  { -u _i ,  _i } )  ->  (
( x  e.  ( CC  \  { -u _i ,  _i }
)  |->  ( ( _i 
/  2 )  x.  ( ( log `  (
1  -  ( _i  x.  x ) ) )  -  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  x ) ) ) ) ) )  |`  S )  =  ( x  e.  S  |->  ( ( _i 
/  2 )  x.  ( ( log `  (
1  -  ( _i  x.  x ) ) )  -  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  x ) ) ) ) ) ) )
224222, 223ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { -u _i ,  _i } )  |->  ( ( _i  /  2
)  x.  ( ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  x ) ) )  -  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  x ) ) ) ) ) )  |`  S )  =  ( x  e.  S  |->  ( ( _i  /  2
)  x.  ( ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  x ) ) )  -  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  x ) ) ) ) ) )
225219, 224eqtri 2424 . . . . 5  |-  (arctan  |`  S )  =  ( x  e.  S  |->  ( ( _i 
/  2 )  x.  ( ( log `  (
1  -  ( _i  x.  x ) ) )  -  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  x ) ) ) ) ) )
226225a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  (arctan  |`  S )  =  ( x  e.  S  |->  ( ( _i  / 
2 )  x.  (
( log `  (
1  -  ( _i  x.  x ) ) )  -  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  x ) ) ) ) ) ) )
227226oveq2d 6056 . . 3  |-  (  T. 
->  ( CC  _D  (arctan  |`  S ) )  =  ( CC  _D  (
x  e.  S  |->  ( ( _i  /  2
)  x.  ( ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  x ) ) )  -  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  x ) ) ) ) ) ) ) )
228 2ne0 10039 . . . . . . 7  |-  2  =/=  0
229 divcan6 9677 . . . . . . 7  |-  ( ( ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0 )  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  -> 
( ( _i  / 
2 )  x.  (
2  /  _i ) )  =  1 )
2305, 94, 167, 228, 229mp4an 655 . . . . . 6  |-  ( ( _i  /  2 )  x.  ( 2  /  _i ) )  =  1
231230oveq1i 6050 . . . . 5  |-  ( ( ( _i  /  2
)  x.  ( 2  /  _i ) )  /  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) )  =  ( 1  /  (
1  +  ( x ^ 2 ) ) )
2325, 215mp1i 12 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
_i  /  2 )  e.  CC )
233167, 5, 94divcli 9712 . . . . . . 7  |-  ( 2  /  _i )  e.  CC
234233a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
2  /  _i )  e.  CC )
235232, 234, 158, 161divassd 9781 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( ( _i  / 
2 )  x.  (
2  /  _i ) )  /  ( 1  +  ( x ^
2 ) ) )  =  ( ( _i 
/  2 )  x.  ( ( 2  /  _i )  /  (
1  +  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
236231, 235syl5eqr 2450 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  /  ( 1  +  ( x ^
2 ) ) )  =  ( ( _i 
/  2 )  x.  ( ( 2  /  _i )  /  (
1  +  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
237236mpteq2dva 4255 . . 3  |-  (  T. 
->  ( x  e.  S  |->  ( 1  /  (
1  +  ( x ^ 2 ) ) ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( ( _i  /  2
)  x.  ( ( 2  /  _i )  /  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
238217, 227, 2373eqtr4d 2446 . 2  |-  (  T. 
->  ( CC  _D  (arctan  |`  S ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( 1  /  (
1  +  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
239238trud 1329 1  |-  ( CC 
_D  (arctan  |`  S ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( 1  /  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    T. wtru 1322    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   {crab 2670   _Vcvv 2916    \ cdif 3277    C_ wss 3280   {csn 3774   {cpr 3775    e. cmpt 4226   dom cdm 4837   ran crn 4838    |` cres 4839   -->wf 5409   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947   _ici 8948    + caddc 8949    x. cmul 8951    -oocmnf 9074    - cmin 9247   -ucneg 9248    / cdiv 9633   2c2 10005   (,]cioc 10873   ^cexp 11337   ↾t crest 13603   TopOpenctopn 13604  ℂfldccnfld 16658   Topctop 16913  TopOnctopon 16914    _D cdv 19703   logclog 20405  arctancatan 20657
This theorem is referenced by:  atancn  20729
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ef 12625  df-sin 12627  df-cos 12628  df-tan 12629  df-pi 12630  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-cmp 17404  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707  df-log 20407  df-atan 20660
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