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Theorem dvatan 23463
Description: The derivative of the arctangent. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
atansopn.d  |-  D  =  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) )
atansopn.s  |-  S  =  { y  e.  CC  |  ( 1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  D }
Assertion
Ref Expression
dvatan  |-  ( CC 
_D  (arctan  |`  S ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( 1  /  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, D    x, S
Allowed substitution hint:    S( y)

Proof of Theorem dvatan
StepHypRef Expression
1 cnelprrecn 9574 . . . . 5  |-  CC  e.  { RR ,  CC }
21a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  CC  e.  { RR ,  CC } )
3 ax-1cn 9539 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
4 ax-icn 9540 . . . . . . . 8  |-  _i  e.  CC
5 atansopn.d . . . . . . . . . . . 12  |-  D  =  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) )
6 atansopn.s . . . . . . . . . . . 12  |-  S  =  { y  e.  CC  |  ( 1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  D }
75, 6atansssdm 23461 . . . . . . . . . . 11  |-  S  C_  dom arctan
8 simpr 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  S )
97, 8sseldi 3487 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  dom arctan )
10 atandm2 23405 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  dom arctan  <->  ( x  e.  CC  /\  ( 1  -  ( _i  x.  x ) )  =/=  0  /\  ( 1  +  ( _i  x.  x ) )  =/=  0 ) )
119, 10sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
x  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  x )
)  =/=  0  /\  ( 1  +  ( _i  x.  x ) )  =/=  0 ) )
1211simp1d 1006 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  CC )
13 mulcl 9565 . . . . . . . 8  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( _i  x.  x
)  e.  CC )
144, 12, 13sylancr 661 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
_i  x.  x )  e.  CC )
15 subcl 9810 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( _i  x.  x
)  e.  CC )  ->  ( 1  -  ( _i  x.  x
) )  e.  CC )
163, 14, 15sylancr 661 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  -  ( _i  x.  x ) )  e.  CC )
1711simp2d 1007 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  -  ( _i  x.  x ) )  =/=  0 )
1816, 17logcld 23124 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  x
) ) )  e.  CC )
19 addcl 9563 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( _i  x.  x
)  e.  CC )  ->  ( 1  +  ( _i  x.  x
) )  e.  CC )
203, 14, 19sylancr 661 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  +  ( _i  x.  x ) )  e.  CC )
2111simp3d 1008 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  +  ( _i  x.  x ) )  =/=  0 )
2220, 21logcld 23124 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  x
) ) )  e.  CC )
2318, 22subcld 9922 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( log `  (
1  -  ( _i  x.  x ) ) )  -  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  x ) ) ) )  e.  CC )
24 ovex 6298 . . . . 5  |-  ( ( 2  /  _i )  /  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) )  e. 
_V
2524a1i 11 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 2  /  _i )  /  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) )  e. 
_V )
26 ovex 6298 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  ( x  +  _i ) )  e.  _V
2726a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  /  ( x  +  _i ) )  e.  _V )
285, 6atans2 23459 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  S  <->  ( x  e.  CC  /\  ( 1  -  ( _i  x.  x ) )  e.  D  /\  ( 1  +  ( _i  x.  x ) )  e.  D ) )
2928simp2bi 1010 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  S  ->  (
1  -  ( _i  x.  x ) )  e.  D )
3029adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  -  ( _i  x.  x ) )  e.  D )
31 negex 9809 . . . . . . . . 9  |-  -u _i  e.  _V
3231a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  -u _i  e.  _V )
335logdmss 23191 . . . . . . . . . 10  |-  D  C_  ( CC  \  { 0 } )
34 simpr 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  y  e.  D )  ->  y  e.  D )
3533, 34sseldi 3487 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  y  e.  D )  ->  y  e.  ( CC  \  {
0 } ) )
36 logf1o 23118 . . . . . . . . . . 11  |-  log :
( CC  \  {
0 } ) -1-1-onto-> ran  log
37 f1of 5798 . . . . . . . . . . 11  |-  ( log
: ( CC  \  { 0 } ) -1-1-onto-> ran 
log  ->  log : ( CC 
\  { 0 } ) --> ran  log )
3836, 37ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  log :
( CC  \  {
0 } ) --> ran 
log
3938ffvelrni 6006 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( log `  y
)  e.  ran  log )
40 logrncn 23116 . . . . . . . . 9  |-  ( ( log `  y )  e.  ran  log  ->  ( log `  y )  e.  CC )
4135, 39, 403syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  y  e.  D )  ->  ( log `  y )  e.  CC )
42 ovex 6298 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  /  y )  e. 
_V
4342a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  y  e.  D )  ->  (
1  /  y )  e.  _V )
444a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  _i  e.  CC )
4544, 13sylan 469 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  CC )  ->  (
_i  x.  x )  e.  CC )
463, 45, 15sylancr 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  CC )  ->  (
1  -  ( _i  x.  x ) )  e.  CC )
4731a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  CC )  ->  -u _i  e.  _V )
48 1cnd 9601 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  CC )  ->  1  e.  CC )
49 0cnd 9578 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  CC )  ->  0  e.  CC )
50 1cnd 9601 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T. 
->  1  e.  CC )
512, 50dvmptc 22527 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  1 ) )  =  ( x  e.  CC  |->  0 ) )
524a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  CC )  ->  _i  e.  CC )
53 simpr 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  CC )  ->  x  e.  CC )
542dvmptid 22526 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  x ) )  =  ( x  e.  CC  |->  1 ) )
552, 53, 48, 54, 44dvmptcmul 22533 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( _i  x.  x ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( _i  x.  1 ) ) )
564mulid1i 9587 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( _i  x.  1 )  =  _i
5756mpteq2i 4522 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  CC  |->  ( _i  x.  1 ) )  =  ( x  e.  CC  |->  _i )
5855, 57syl6eq 2511 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( _i  x.  x ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  _i ) )
592, 48, 49, 51, 45, 52, 58dvmptsub 22536 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( 1  -  ( _i  x.  x ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( 0  -  _i ) ) )
60 df-neg 9799 . . . . . . . . . . 11  |-  -u _i  =  ( 0  -  _i )
6160mpteq2i 4522 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  |->  -u _i )  =  ( x  e.  CC  |->  ( 0  -  _i ) )
6259, 61syl6eqr 2513 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( 1  -  ( _i  x.  x ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  -u _i ) )
63 eqid 2454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
6463cnfldtopon 21456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
655, 6atansopn 23460 . . . . . . . . . . 11  |-  S  e.  ( TopOpen ` fld )
66 toponss 19597 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  /\  S  e.  ( TopOpen ` fld ) )  ->  S  C_  CC )
6764, 65, 66mp2an 670 . . . . . . . . . 10  |-  S  C_  CC
6867a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  S  C_  CC )
6963cnfldtop 21457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Top
7064toponunii 19600 . . . . . . . . . . . 12  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
7170restid 14923 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  Top  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld ) )
7269, 71ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld )
7372eqcomi 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )
7465a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  S  e.  ( TopOpen
` fld
) )
752, 46, 47, 62, 68, 73, 63, 74dvmptres 22532 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  S  |->  ( 1  -  ( _i  x.  x ) ) ) )  =  ( x  e.  S  |->  -u _i ) )
76 fssres 5733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( log : ( CC 
\  { 0 } ) --> ran  log  /\  D  C_  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( log  |`  D ) : D --> ran  log )
7738, 33, 76mp2an 670 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( log  |`  D ) : D --> ran  log
7877a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T. 
->  ( log  |`  D ) : D --> ran  log )
7978feqmptd 5901 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  ( log  |`  D )  =  ( y  e.  D  |->  ( ( log  |`  D ) `  y
) ) )
80 fvres 5862 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  D  ->  (
( log  |`  D ) `
 y )  =  ( log `  y
) )
8180mpteq2ia 4521 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  D  |->  ( ( log  |`  D ) `  y ) )  =  ( y  e.  D  |->  ( log `  y
) )
8279, 81syl6req 2512 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  ( y  e.  D  |->  ( log `  y
) )  =  ( log  |`  D )
)
8382oveq2d 6286 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
y  e.  D  |->  ( log `  y ) ) )  =  ( CC  _D  ( log  |`  D ) ) )
845dvlog 23200 . . . . . . . . 9  |-  ( CC 
_D  ( log  |`  D ) )  =  ( y  e.  D  |->  ( 1  /  y ) )
8583, 84syl6eq 2511 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
y  e.  D  |->  ( log `  y ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  ( 1  /  y ) ) )
86 fveq2 5848 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( 1  -  ( _i  x.  x
) )  ->  ( log `  y )  =  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  x ) ) ) )
87 oveq2 6278 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( 1  -  ( _i  x.  x
) )  ->  (
1  /  y )  =  ( 1  / 
( 1  -  (
_i  x.  x )
) ) )
882, 2, 30, 32, 41, 43, 75, 85, 86, 87dvmptco 22541 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  S  |->  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  x ) ) ) ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( ( 1  /  (
1  -  ( _i  x.  x ) ) )  x.  -u _i ) ) )
89 irec 12249 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  /  _i )  = 
-u _i
9089oveq2i 6281 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  /  ( 1  -  ( _i  x.  x ) ) )  x.  ( 1  /  _i ) )  =  ( ( 1  /  (
1  -  ( _i  x.  x ) ) )  x.  -u _i )
914a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  _i  e.  CC )
92 ine0 9988 . . . . . . . . . . . 12  |-  _i  =/=  0
9392a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  _i  =/=  0 )
9416, 91, 17, 93recdiv2d 10334 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 1  /  (
1  -  ( _i  x.  x ) ) )  /  _i )  =  ( 1  / 
( ( 1  -  ( _i  x.  x
) )  x.  _i ) ) )
9516, 17reccld 10309 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  /  ( 1  -  ( _i  x.  x ) ) )  e.  CC )
9695, 91, 93divrecd 10319 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 1  /  (
1  -  ( _i  x.  x ) ) )  /  _i )  =  ( ( 1  /  ( 1  -  ( _i  x.  x
) ) )  x.  ( 1  /  _i ) ) )
97 1cnd 9601 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  1  e.  CC )
9897, 14, 91subdird 10009 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 1  -  (
_i  x.  x )
)  x.  _i )  =  ( ( 1  x.  _i )  -  ( ( _i  x.  x )  x.  _i ) ) )
994mulid2i 9588 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  x.  _i )  =  _i
10099a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  x.  _i )  =  _i )
10191, 12, 91mul32d 9779 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( _i  x.  x
)  x.  _i )  =  ( ( _i  x.  _i )  x.  x ) )
102 ixi 10174 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( _i  x.  _i )  = 
-u 1
103102oveq1i 6280 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( _i  x.  _i )  x.  x )  =  ( -u 1  x.  x )
10412mulm1d 10004 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  ( -u 1  x.  x )  =  -u x )
105103, 104syl5eq 2507 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( _i  x.  _i )  x.  x )  =  -u x )
106101, 105eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( _i  x.  x
)  x.  _i )  =  -u x )
107100, 106oveq12d 6288 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 1  x.  _i )  -  ( (
_i  x.  x )  x.  _i ) )  =  ( _i  -  -u x
) )
108 subneg 9859 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( _i  -  -u x
)  =  ( _i  +  x ) )
1094, 12, 108sylancr 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
_i  -  -u x )  =  ( _i  +  x ) )
11098, 107, 1093eqtrd 2499 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 1  -  (
_i  x.  x )
)  x.  _i )  =  ( _i  +  x ) )
111 addcom 9755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( _i  +  x
)  =  ( x  +  _i ) )
1124, 12, 111sylancr 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
_i  +  x )  =  ( x  +  _i ) )
113110, 112eqtrd 2495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 1  -  (
_i  x.  x )
)  x.  _i )  =  ( x  +  _i ) )
114113oveq2d 6286 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  /  ( ( 1  -  ( _i  x.  x ) )  x.  _i ) )  =  ( 1  / 
( x  +  _i ) ) )
11594, 96, 1143eqtr3d 2503 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 1  /  (
1  -  ( _i  x.  x ) ) )  x.  ( 1  /  _i ) )  =  ( 1  / 
( x  +  _i ) ) )
11690, 115syl5eqr 2509 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 1  /  (
1  -  ( _i  x.  x ) ) )  x.  -u _i )  =  ( 1  /  ( x  +  _i ) ) )
117116mpteq2dva 4525 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( x  e.  S  |->  ( ( 1  / 
( 1  -  (
_i  x.  x )
) )  x.  -u _i ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( 1  /  ( x  +  _i ) ) ) )
11888, 117eqtrd 2495 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  S  |->  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  x ) ) ) ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( 1  /  ( x  +  _i ) ) ) )
119 ovex 6298 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  ( x  -  _i ) )  e.  _V
120119a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  /  ( x  -  _i ) )  e.  _V )
12128simp3bi 1011 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  S  ->  (
1  +  ( _i  x.  x ) )  e.  D )
122121adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  +  ( _i  x.  x ) )  e.  D )
1233, 45, 19sylancr 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  CC )  ->  (
1  +  ( _i  x.  x ) )  e.  CC )
1242, 48, 49, 51, 45, 52, 58dvmptadd 22529 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( 1  +  ( _i  x.  x ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( 0  +  _i ) ) )
1254addid2i 9757 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  +  _i )  =  _i
126125mpteq2i 4522 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  |->  ( 0  +  _i ) )  =  ( x  e.  CC  |->  _i )
127124, 126syl6eq 2511 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( 1  +  ( _i  x.  x ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  _i ) )
1282, 123, 52, 127, 68, 73, 63, 74dvmptres 22532 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  S  |->  ( 1  +  ( _i  x.  x ) ) ) )  =  ( x  e.  S  |->  _i ) )
129 fveq2 5848 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( 1  +  ( _i  x.  x
) )  ->  ( log `  y )  =  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  x ) ) ) )
130 oveq2 6278 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( 1  +  ( _i  x.  x
) )  ->  (
1  /  y )  =  ( 1  / 
( 1  +  ( _i  x.  x ) ) ) )
1312, 2, 122, 91, 41, 43, 128, 85, 129, 130dvmptco 22541 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  S  |->  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  x ) ) ) ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( ( 1  /  (
1  +  ( _i  x.  x ) ) )  x.  _i ) ) )
13297, 20, 91, 21, 93divdiv2d 10348 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  /  ( ( 1  +  ( _i  x.  x ) )  /  _i ) )  =  ( ( 1  x.  _i )  / 
( 1  +  ( _i  x.  x ) ) ) )
13397, 14, 91, 93divdird 10354 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 1  +  ( _i  x.  x ) )  /  _i )  =  ( ( 1  /  _i )  +  ( ( _i  x.  x )  /  _i ) ) )
13489a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  /  _i )  =  -u _i )
13512, 91, 93divcan3d 10321 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( _i  x.  x
)  /  _i )  =  x )
136134, 135oveq12d 6288 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 1  /  _i )  +  ( (
_i  x.  x )  /  _i ) )  =  ( -u _i  +  x ) )
137 negicn 9812 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -u _i  e.  CC
138 addcom 9755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
-u _i  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( -u _i  +  x )  =  ( x  +  -u _i ) )
139137, 12, 138sylancr 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  ( -u _i  +  x )  =  ( x  +  -u _i ) )
140 negsub 9858 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  _i  e.  CC )  -> 
( x  +  -u _i )  =  (
x  -  _i ) )
14112, 4, 140sylancl 660 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
x  +  -u _i )  =  ( x  -  _i ) )
142139, 141eqtrd 2495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  ( -u _i  +  x )  =  ( x  -  _i ) )
143133, 136, 1423eqtrd 2499 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 1  +  ( _i  x.  x ) )  /  _i )  =  ( x  -  _i ) )
144143oveq2d 6286 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  /  ( ( 1  +  ( _i  x.  x ) )  /  _i ) )  =  ( 1  / 
( x  -  _i ) ) )
14597, 91, 20, 21div23d 10353 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 1  x.  _i )  /  ( 1  +  ( _i  x.  x
) ) )  =  ( ( 1  / 
( 1  +  ( _i  x.  x ) ) )  x.  _i ) )
146132, 144, 1453eqtr3rd 2504 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 1  /  (
1  +  ( _i  x.  x ) ) )  x.  _i )  =  ( 1  / 
( x  -  _i ) ) )
147146mpteq2dva 4525 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( x  e.  S  |->  ( ( 1  / 
( 1  +  ( _i  x.  x ) ) )  x.  _i ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( 1  /  ( x  -  _i ) ) ) )
148131, 147eqtrd 2495 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  S  |->  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  x ) ) ) ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( 1  /  ( x  -  _i ) ) ) )
1492, 18, 27, 118, 22, 120, 148dvmptsub 22536 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  S  |->  ( ( log `  (
1  -  ( _i  x.  x ) ) )  -  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  x ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( ( 1  /  ( x  +  _i ) )  -  ( 1  / 
( x  -  _i ) ) ) ) )
150 subcl 9810 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  _i  e.  CC )  -> 
( x  -  _i )  e.  CC )
15112, 4, 150sylancl 660 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
x  -  _i )  e.  CC )
152 addcl 9563 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  _i  e.  CC )  -> 
( x  +  _i )  e.  CC )
15312, 4, 152sylancl 660 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
x  +  _i )  e.  CC )
15412sqcld 12290 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
x ^ 2 )  e.  CC )
155 addcl 9563 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( x ^ 2 )  e.  CC )  ->  ( 1  +  ( x ^ 2 ) )  e.  CC )
1563, 154, 155sylancr 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  +  ( x ^ 2 ) )  e.  CC )
157 atandm4 23407 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  dom arctan  <->  ( x  e.  CC  /\  ( 1  +  ( x ^
2 ) )  =/=  0 ) )
158157simprbi 462 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  dom arctan  ->  ( 1  +  ( x ^
2 ) )  =/=  0 )
1599, 158syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  +  ( x ^ 2 ) )  =/=  0 )
160151, 153, 156, 159divsubdird 10355 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( ( x  -  _i )  -  (
x  +  _i ) )  /  ( 1  +  ( x ^
2 ) ) )  =  ( ( ( x  -  _i )  /  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) )  -  ( ( x  +  _i )  /  (
1  +  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
161141oveq1d 6285 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  +  -u _i )  -  (
x  +  _i ) )  =  ( ( x  -  _i )  -  ( x  +  _i ) ) )
162137a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  -u _i  e.  CC )
16312, 162, 91pnpcand 9959 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  +  -u _i )  -  (
x  +  _i ) )  =  ( -u _i  -  _i ) )
164161, 163eqtr3d 2497 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  -  _i )  -  ( x  +  _i ) )  =  ( -u _i  -  _i ) )
165 2cn 10602 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  CC
166165, 4, 92divreci 10285 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  /  _i )  =  ( 2  x.  (
1  /  _i ) )
16789oveq2i 6281 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  x.  ( 1  /  _i ) )  =  ( 2  x.  -u _i )
168166, 167eqtri 2483 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  /  _i )  =  ( 2  x.  -u _i )
1691372timesi 10652 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  x.  -u _i )  =  ( -u _i  +  -u _i )
170137, 4negsubi 9888 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u _i  +  -u _i )  =  ( -u _i  -  _i )
171168, 169, 1703eqtri 2487 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  /  _i )  =  ( -u _i  -  _i )
172164, 171syl6eqr 2513 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  -  _i )  -  ( x  +  _i ) )  =  ( 2  /  _i ) )
173172oveq1d 6285 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( ( x  -  _i )  -  (
x  +  _i ) )  /  ( 1  +  ( x ^
2 ) ) )  =  ( ( 2  /  _i )  / 
( 1  +  ( x ^ 2 ) ) ) )
174151mulid1d 9602 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  -  _i )  x.  1 )  =  ( x  -  _i ) )
175151, 153mulcomd 9606 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  -  _i )  x.  ( x  +  _i ) )  =  ( ( x  +  _i )  x.  (
x  -  _i ) ) )
176 i2 12250 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( _i
^ 2 )  = 
-u 1
177176oveq2i 6281 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x ^ 2 )  -  ( _i ^
2 ) )  =  ( ( x ^
2 )  -  -u 1
)
178 subneg 9859 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x ^ 2 )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( x ^
2 )  -  -u 1
)  =  ( ( x ^ 2 )  +  1 ) )
179154, 3, 178sylancl 660 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x ^ 2 )  -  -u 1
)  =  ( ( x ^ 2 )  +  1 ) )
180177, 179syl5eq 2507 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x ^ 2 )  -  ( _i
^ 2 ) )  =  ( ( x ^ 2 )  +  1 ) )
181 subsq 12257 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  _i  e.  CC )  -> 
( ( x ^
2 )  -  (
_i ^ 2 ) )  =  ( ( x  +  _i )  x.  ( x  -  _i ) ) )
18212, 4, 181sylancl 660 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x ^ 2 )  -  ( _i
^ 2 ) )  =  ( ( x  +  _i )  x.  ( x  -  _i ) ) )
183 addcom 9755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x ^ 2 )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( x ^
2 )  +  1 )  =  ( 1  +  ( x ^
2 ) ) )
184154, 3, 183sylancl 660 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x ^ 2 )  +  1 )  =  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) )
185180, 182, 1843eqtr3d 2503 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  +  _i )  x.  ( x  -  _i ) )  =  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) )
186175, 185eqtrd 2495 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  -  _i )  x.  ( x  +  _i ) )  =  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) )
187174, 186oveq12d 6288 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( ( x  -  _i )  x.  1
)  /  ( ( x  -  _i )  x.  ( x  +  _i ) ) )  =  ( ( x  -  _i )  /  (
1  +  ( x ^ 2 ) ) ) )
188 subneg 9859 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  /\  _i  e.  CC )  -> 
( x  -  -u _i )  =  ( x  +  _i ) )
18912, 4, 188sylancl 660 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
x  -  -u _i )  =  ( x  +  _i ) )
190 atandm 23404 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  dom arctan  <->  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  -u _i  /\  x  =/=  _i ) )
1919, 190sylib 196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
x  e.  CC  /\  x  =/=  -u _i  /\  x  =/=  _i ) )
192191simp2d 1007 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  x  =/=  -u _i )
193 subeq0 9836 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  CC  /\  -u _i  e.  CC )  ->  ( ( x  -  -u _i )  =  0  <->  x  =  -u _i ) )
194193necon3bid 2712 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  -u _i  e.  CC )  ->  ( ( x  -  -u _i )  =/=  0  <->  x  =/=  -u _i ) )
19512, 137, 194sylancl 660 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  -  -u _i )  =/=  0  <->  x  =/=  -u _i ) )
196192, 195mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
x  -  -u _i )  =/=  0 )
197189, 196eqnetrrd 2748 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
x  +  _i )  =/=  0 )
198191simp3d 1008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  x  =/=  _i )
199 subeq0 9836 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  _i  e.  CC )  -> 
( ( x  -  _i )  =  0  <->  x  =  _i ) )
200199necon3bid 2712 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  /\  _i  e.  CC )  -> 
( ( x  -  _i )  =/=  0  <->  x  =/=  _i ) )
20112, 4, 200sylancl 660 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  -  _i )  =/=  0  <->  x  =/=  _i ) )
202198, 201mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
x  -  _i )  =/=  0 )
20397, 153, 151, 197, 202divcan5d 10342 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( ( x  -  _i )  x.  1
)  /  ( ( x  -  _i )  x.  ( x  +  _i ) ) )  =  ( 1  /  (
x  +  _i ) ) )
204187, 203eqtr3d 2497 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  -  _i )  /  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) )  =  ( 1  /  (
x  +  _i ) ) )
205153mulid1d 9602 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  +  _i )  x.  1 )  =  ( x  +  _i ) )
206205, 185oveq12d 6288 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( ( x  +  _i )  x.  1
)  /  ( ( x  +  _i )  x.  ( x  -  _i ) ) )  =  ( ( x  +  _i )  /  (
1  +  ( x ^ 2 ) ) ) )
20797, 151, 153, 202, 197divcan5d 10342 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( ( x  +  _i )  x.  1
)  /  ( ( x  +  _i )  x.  ( x  -  _i ) ) )  =  ( 1  /  (
x  -  _i ) ) )
208206, 207eqtr3d 2497 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  +  _i )  /  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) )  =  ( 1  /  (
x  -  _i ) ) )
209204, 208oveq12d 6288 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( ( x  -  _i )  /  (
1  +  ( x ^ 2 ) ) )  -  ( ( x  +  _i )  /  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( 1  /  ( x  +  _i ) )  -  (
1  /  ( x  -  _i ) ) ) )
210160, 173, 2093eqtr3rd 2504 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 1  /  (
x  +  _i ) )  -  ( 1  /  ( x  -  _i ) ) )  =  ( ( 2  /  _i )  /  (
1  +  ( x ^ 2 ) ) ) )
211210mpteq2dva 4525 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( x  e.  S  |->  ( ( 1  / 
( x  +  _i ) )  -  (
1  /  ( x  -  _i ) ) ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( ( 2  /  _i )  /  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
212149, 211eqtrd 2495 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  S  |->  ( ( log `  (
1  -  ( _i  x.  x ) ) )  -  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  x ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( ( 2  /  _i )  /  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
213 halfcl 10760 . . . . 5  |-  ( _i  e.  CC  ->  (
_i  /  2 )  e.  CC )
2144, 213mp1i 12 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( _i  /  2
)  e.  CC )
2152, 23, 25, 212, 214dvmptcmul 22533 . . 3  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  S  |->  ( ( _i  /  2
)  x.  ( ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  x ) ) )  -  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  x ) ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( ( _i  /  2 )  x.  ( ( 2  /  _i )  / 
( 1  +  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
216 df-atan 23395 . . . . . . 7  |- arctan  =  ( x  e.  ( CC 
\  { -u _i ,  _i } )  |->  ( ( _i  /  2
)  x.  ( ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  x ) ) )  -  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  x ) ) ) ) ) )
217216reseq1i 5258 . . . . . 6  |-  (arctan  |`  S )  =  ( ( x  e.  ( CC  \  { -u _i ,  _i } )  |->  ( ( _i  /  2 )  x.  ( ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  x )
) )  -  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  x
) ) ) ) ) )  |`  S )
218 atanf 23408 . . . . . . . . 9  |- arctan : ( CC  \  { -u _i ,  _i }
) --> CC
219218fdmi 5718 . . . . . . . 8  |-  dom arctan  =  ( CC  \  { -u _i ,  _i }
)
2207, 219sseqtri 3521 . . . . . . 7  |-  S  C_  ( CC  \  { -u _i ,  _i }
)
221 resmpt 5311 . . . . . . 7  |-  ( S 
C_  ( CC  \  { -u _i ,  _i } )  ->  (
( x  e.  ( CC  \  { -u _i ,  _i }
)  |->  ( ( _i 
/  2 )  x.  ( ( log `  (
1  -  ( _i  x.  x ) ) )  -  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  x ) ) ) ) ) )  |`  S )  =  ( x  e.  S  |->  ( ( _i 
/  2 )  x.  ( ( log `  (
1  -  ( _i  x.  x ) ) )  -  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  x ) ) ) ) ) ) )
222220, 221ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { -u _i ,  _i } )  |->  ( ( _i  /  2
)  x.  ( ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  x ) ) )  -  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  x ) ) ) ) ) )  |`  S )  =  ( x  e.  S  |->  ( ( _i  /  2
)  x.  ( ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  x ) ) )  -  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  x ) ) ) ) ) )
223217, 222eqtri 2483 . . . . 5  |-  (arctan  |`  S )  =  ( x  e.  S  |->  ( ( _i 
/  2 )  x.  ( ( log `  (
1  -  ( _i  x.  x ) ) )  -  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  x ) ) ) ) ) )
224223a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  (arctan  |`  S )  =  ( x  e.  S  |->  ( ( _i  / 
2 )  x.  (
( log `  (
1  -  ( _i  x.  x ) ) )  -  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  x ) ) ) ) ) ) )
225224oveq2d 6286 . . 3  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (arctan  |`  S ) )  =  ( CC  _D  (
x  e.  S  |->  ( ( _i  /  2
)  x.  ( ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  x ) ) )  -  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  x ) ) ) ) ) ) ) )
226 2ne0 10624 . . . . . . 7  |-  2  =/=  0
227 divcan6 10247 . . . . . . 7  |-  ( ( ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0 )  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  -> 
( ( _i  / 
2 )  x.  (
2  /  _i ) )  =  1 )
2284, 92, 165, 226, 227mp4an 671 . . . . . 6  |-  ( ( _i  /  2 )  x.  ( 2  /  _i ) )  =  1
229228oveq1i 6280 . . . . 5  |-  ( ( ( _i  /  2
)  x.  ( 2  /  _i ) )  /  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) )  =  ( 1  /  (
1  +  ( x ^ 2 ) ) )
2304, 213mp1i 12 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
_i  /  2 )  e.  CC )
231165, 4, 92divcli 10282 . . . . . . 7  |-  ( 2  /  _i )  e.  CC
232231a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
2  /  _i )  e.  CC )
233230, 232, 156, 159divassd 10351 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( ( _i  / 
2 )  x.  (
2  /  _i ) )  /  ( 1  +  ( x ^
2 ) ) )  =  ( ( _i 
/  2 )  x.  ( ( 2  /  _i )  /  (
1  +  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
234229, 233syl5eqr 2509 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  /  ( 1  +  ( x ^
2 ) ) )  =  ( ( _i 
/  2 )  x.  ( ( 2  /  _i )  /  (
1  +  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
235234mpteq2dva 4525 . . 3  |-  ( T. 
->  ( x  e.  S  |->  ( 1  /  (
1  +  ( x ^ 2 ) ) ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( ( _i  /  2
)  x.  ( ( 2  /  _i )  /  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
236215, 225, 2353eqtr4d 2505 . 2  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (arctan  |`  S ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( 1  /  (
1  +  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
237236trud 1407 1  |-  ( CC 
_D  (arctan  |`  S ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( 1  /  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398   T. wtru 1399    e. wcel 1823    =/= wne 2649   {crab 2808   _Vcvv 3106    \ cdif 3458    C_ wss 3461   {csn 4016   {cpr 4018    |-> cmpt 4497   dom cdm 4988   ran crn 4989    |` cres 4990   -->wf 5566   -1-1-onto->wf1o 5569   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482   _ici 9483    + caddc 9484    x. cmul 9486   -oocmnf 9615    - cmin 9796   -ucneg 9797    / cdiv 10202   2c2 10581   (,]cioc 11533   ^cexp 12148   ↾t crest 14910   TopOpenctopn 14911  ℂfldccnfld 18615   Topctop 19561  TopOnctopon 19562    _D cdv 22433   logclog 23108  arctancatan 23392
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-fi 7863  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-ioo 11536  df-ioc 11537  df-ico 11538  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-mod 11979  df-seq 12090  df-exp 12149  df-fac 12336  df-bc 12363  df-hash 12388  df-shft 12982  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-limsup 13376  df-clim 13393  df-rlim 13394  df-sum 13591  df-ef 13885  df-sin 13887  df-cos 13888  df-tan 13889  df-pi 13890  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-starv 14799  df-sca 14800  df-vsca 14801  df-ip 14802  df-tset 14803  df-ple 14804  df-ds 14806  df-unif 14807  df-hom 14808  df-cco 14809  df-rest 14912  df-topn 14913  df-0g 14931  df-gsum 14932  df-topgen 14933  df-pt 14934  df-prds 14937  df-xrs 14991  df-qtop 14996  df-imas 14997  df-xps 14999  df-mre 15075  df-mrc 15076  df-acs 15078  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-submnd 16166  df-mulg 16259  df-cntz 16554  df-cmn 16999  df-psmet 18606  df-xmet 18607  df-met 18608  df-bl 18609  df-mopn 18610  df-fbas 18611  df-fg 18612  df-cnfld 18616  df-top 19566  df-bases 19568  df-topon 19569  df-topsp 19570  df-cld 19687  df-ntr 19688  df-cls 19689  df-nei 19766  df-lp 19804  df-perf 19805  df-cn 19895  df-cnp 19896  df-haus 19983  df-cmp 20054  df-tx 20229  df-hmeo 20422  df-fil 20513  df-fm 20605  df-flim 20606  df-flf 20607  df-xms 20989  df-ms 20990  df-tms 20991  df-cncf 21548  df-limc 22436  df-dv 22437  df-log 23110  df-atan 23395
This theorem is referenced by:  atancn  23464
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