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Theorem dvatan 23940
Description: The derivative of the arctangent. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
atansopn.d  |-  D  =  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) )
atansopn.s  |-  S  =  { y  e.  CC  |  ( 1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  D }
Assertion
Ref Expression
dvatan  |-  ( CC 
_D  (arctan  |`  S ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( 1  /  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, D    x, S
Allowed substitution hint:    S( y)

Proof of Theorem dvatan
StepHypRef Expression
1 cnelprrecn 9650 . . . . 5  |-  CC  e.  { RR ,  CC }
21a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  CC  e.  { RR ,  CC } )
3 ax-1cn 9615 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
4 ax-icn 9616 . . . . . . . 8  |-  _i  e.  CC
5 atansopn.d . . . . . . . . . . . 12  |-  D  =  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) )
6 atansopn.s . . . . . . . . . . . 12  |-  S  =  { y  e.  CC  |  ( 1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  D }
75, 6atansssdm 23938 . . . . . . . . . . 11  |-  S  C_  dom arctan
8 simpr 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  S )
97, 8sseldi 3416 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  dom arctan )
10 atandm2 23882 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  dom arctan  <->  ( x  e.  CC  /\  ( 1  -  ( _i  x.  x ) )  =/=  0  /\  ( 1  +  ( _i  x.  x ) )  =/=  0 ) )
119, 10sylib 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
x  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  x )
)  =/=  0  /\  ( 1  +  ( _i  x.  x ) )  =/=  0 ) )
1211simp1d 1042 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  CC )
13 mulcl 9641 . . . . . . . 8  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( _i  x.  x
)  e.  CC )
144, 12, 13sylancr 676 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
_i  x.  x )  e.  CC )
15 subcl 9894 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( _i  x.  x
)  e.  CC )  ->  ( 1  -  ( _i  x.  x
) )  e.  CC )
163, 14, 15sylancr 676 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  -  ( _i  x.  x ) )  e.  CC )
1711simp2d 1043 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  -  ( _i  x.  x ) )  =/=  0 )
1816, 17logcld 23599 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  x
) ) )  e.  CC )
19 addcl 9639 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( _i  x.  x
)  e.  CC )  ->  ( 1  +  ( _i  x.  x
) )  e.  CC )
203, 14, 19sylancr 676 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  +  ( _i  x.  x ) )  e.  CC )
2111simp3d 1044 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  +  ( _i  x.  x ) )  =/=  0 )
2220, 21logcld 23599 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  x
) ) )  e.  CC )
2318, 22subcld 10005 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( log `  (
1  -  ( _i  x.  x ) ) )  -  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  x ) ) ) )  e.  CC )
24 ovex 6336 . . . . 5  |-  ( ( 2  /  _i )  /  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) )  e. 
_V
2524a1i 11 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 2  /  _i )  /  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) )  e. 
_V )
26 ovex 6336 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  ( x  +  _i ) )  e.  _V
2726a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  /  ( x  +  _i ) )  e.  _V )
285, 6atans2 23936 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  S  <->  ( x  e.  CC  /\  ( 1  -  ( _i  x.  x ) )  e.  D  /\  ( 1  +  ( _i  x.  x ) )  e.  D ) )
2928simp2bi 1046 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  S  ->  (
1  -  ( _i  x.  x ) )  e.  D )
3029adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  -  ( _i  x.  x ) )  e.  D )
31 negex 9893 . . . . . . . . 9  |-  -u _i  e.  _V
3231a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  -u _i  e.  _V )
335logdmss 23666 . . . . . . . . . 10  |-  D  C_  ( CC  \  { 0 } )
34 simpr 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  y  e.  D )  ->  y  e.  D )
3533, 34sseldi 3416 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  y  e.  D )  ->  y  e.  ( CC  \  {
0 } ) )
36 logf1o 23593 . . . . . . . . . . 11  |-  log :
( CC  \  {
0 } ) -1-1-onto-> ran  log
37 f1of 5828 . . . . . . . . . . 11  |-  ( log
: ( CC  \  { 0 } ) -1-1-onto-> ran 
log  ->  log : ( CC 
\  { 0 } ) --> ran  log )
3836, 37ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  log :
( CC  \  {
0 } ) --> ran 
log
3938ffvelrni 6036 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( log `  y
)  e.  ran  log )
40 logrncn 23591 . . . . . . . . 9  |-  ( ( log `  y )  e.  ran  log  ->  ( log `  y )  e.  CC )
4135, 39, 403syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  y  e.  D )  ->  ( log `  y )  e.  CC )
42 ovex 6336 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  /  y )  e. 
_V
4342a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  y  e.  D )  ->  (
1  /  y )  e.  _V )
444a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  _i  e.  CC )
4544, 13sylan 479 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  CC )  ->  (
_i  x.  x )  e.  CC )
463, 45, 15sylancr 676 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  CC )  ->  (
1  -  ( _i  x.  x ) )  e.  CC )
4731a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  CC )  ->  -u _i  e.  _V )
48 1cnd 9677 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  CC )  ->  1  e.  CC )
49 0cnd 9654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  CC )  ->  0  e.  CC )
50 1cnd 9677 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T. 
->  1  e.  CC )
512, 50dvmptc 22991 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  1 ) )  =  ( x  e.  CC  |->  0 ) )
524a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  CC )  ->  _i  e.  CC )
53 simpr 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  CC )  ->  x  e.  CC )
542dvmptid 22990 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  x ) )  =  ( x  e.  CC  |->  1 ) )
552, 53, 48, 54, 44dvmptcmul 22997 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( _i  x.  x ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( _i  x.  1 ) ) )
564mulid1i 9663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( _i  x.  1 )  =  _i
5756mpteq2i 4479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  CC  |->  ( _i  x.  1 ) )  =  ( x  e.  CC  |->  _i )
5855, 57syl6eq 2521 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( _i  x.  x ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  _i ) )
592, 48, 49, 51, 45, 52, 58dvmptsub 23000 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( 1  -  ( _i  x.  x ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( 0  -  _i ) ) )
60 df-neg 9883 . . . . . . . . . . 11  |-  -u _i  =  ( 0  -  _i )
6160mpteq2i 4479 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  |->  -u _i )  =  ( x  e.  CC  |->  ( 0  -  _i ) )
6259, 61syl6eqr 2523 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( 1  -  ( _i  x.  x ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  -u _i ) )
63 eqid 2471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
6463cnfldtopon 21881 . . . . . . . . . . 11  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
655, 6atansopn 23937 . . . . . . . . . . 11  |-  S  e.  ( TopOpen ` fld )
66 toponss 20021 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  /\  S  e.  ( TopOpen ` fld ) )  ->  S  C_  CC )
6764, 65, 66mp2an 686 . . . . . . . . . 10  |-  S  C_  CC
6867a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  S  C_  CC )
6963cnfldtop 21882 . . . . . . . . . . 11  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Top
7064toponunii 20024 . . . . . . . . . . . 12  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
7170restid 15410 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  Top  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld ) )
7269, 71ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld )
7372eqcomi 2480 . . . . . . . . 9  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )
7465a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  S  e.  ( TopOpen
` fld
) )
752, 46, 47, 62, 68, 73, 63, 74dvmptres 22996 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  S  |->  ( 1  -  ( _i  x.  x ) ) ) )  =  ( x  e.  S  |->  -u _i ) )
76 fssres 5761 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( log : ( CC 
\  { 0 } ) --> ran  log  /\  D  C_  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( log  |`  D ) : D --> ran  log )
7738, 33, 76mp2an 686 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( log  |`  D ) : D --> ran  log
7877a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T. 
->  ( log  |`  D ) : D --> ran  log )
7978feqmptd 5932 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  ( log  |`  D )  =  ( y  e.  D  |->  ( ( log  |`  D ) `  y
) ) )
80 fvres 5893 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  D  ->  (
( log  |`  D ) `
 y )  =  ( log `  y
) )
8180mpteq2ia 4478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  D  |->  ( ( log  |`  D ) `  y ) )  =  ( y  e.  D  |->  ( log `  y
) )
8279, 81syl6req 2522 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  ( y  e.  D  |->  ( log `  y
) )  =  ( log  |`  D )
)
8382oveq2d 6324 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
y  e.  D  |->  ( log `  y ) ) )  =  ( CC  _D  ( log  |`  D ) ) )
845dvlog 23675 . . . . . . . . 9  |-  ( CC 
_D  ( log  |`  D ) )  =  ( y  e.  D  |->  ( 1  /  y ) )
8583, 84syl6eq 2521 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
y  e.  D  |->  ( log `  y ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  ( 1  /  y ) ) )
86 fveq2 5879 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( 1  -  ( _i  x.  x
) )  ->  ( log `  y )  =  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  x ) ) ) )
87 oveq2 6316 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( 1  -  ( _i  x.  x
) )  ->  (
1  /  y )  =  ( 1  / 
( 1  -  (
_i  x.  x )
) ) )
882, 2, 30, 32, 41, 43, 75, 85, 86, 87dvmptco 23005 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  S  |->  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  x ) ) ) ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( ( 1  /  (
1  -  ( _i  x.  x ) ) )  x.  -u _i ) ) )
89 irec 12412 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  /  _i )  = 
-u _i
9089oveq2i 6319 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  /  ( 1  -  ( _i  x.  x ) ) )  x.  ( 1  /  _i ) )  =  ( ( 1  /  (
1  -  ( _i  x.  x ) ) )  x.  -u _i )
914a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  _i  e.  CC )
92 ine0 10075 . . . . . . . . . . . 12  |-  _i  =/=  0
9392a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  _i  =/=  0 )
9416, 91, 17, 93recdiv2d 10423 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 1  /  (
1  -  ( _i  x.  x ) ) )  /  _i )  =  ( 1  / 
( ( 1  -  ( _i  x.  x
) )  x.  _i ) ) )
9516, 17reccld 10398 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  /  ( 1  -  ( _i  x.  x ) ) )  e.  CC )
9695, 91, 93divrecd 10408 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 1  /  (
1  -  ( _i  x.  x ) ) )  /  _i )  =  ( ( 1  /  ( 1  -  ( _i  x.  x
) ) )  x.  ( 1  /  _i ) ) )
97 1cnd 9677 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  1  e.  CC )
9897, 14, 91subdird 10096 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 1  -  (
_i  x.  x )
)  x.  _i )  =  ( ( 1  x.  _i )  -  ( ( _i  x.  x )  x.  _i ) ) )
994mulid2i 9664 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  x.  _i )  =  _i
10099a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  x.  _i )  =  _i )
10191, 12, 91mul32d 9861 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( _i  x.  x
)  x.  _i )  =  ( ( _i  x.  _i )  x.  x ) )
102 ixi 10263 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( _i  x.  _i )  = 
-u 1
103102oveq1i 6318 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( _i  x.  _i )  x.  x )  =  ( -u 1  x.  x )
10412mulm1d 10091 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  ( -u 1  x.  x )  =  -u x )
105103, 104syl5eq 2517 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( _i  x.  _i )  x.  x )  =  -u x )
106101, 105eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( _i  x.  x
)  x.  _i )  =  -u x )
107100, 106oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 1  x.  _i )  -  ( (
_i  x.  x )  x.  _i ) )  =  ( _i  -  -u x
) )
108 subneg 9943 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( _i  -  -u x
)  =  ( _i  +  x ) )
1094, 12, 108sylancr 676 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
_i  -  -u x )  =  ( _i  +  x ) )
11098, 107, 1093eqtrd 2509 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 1  -  (
_i  x.  x )
)  x.  _i )  =  ( _i  +  x ) )
111 addcom 9837 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( _i  +  x
)  =  ( x  +  _i ) )
1124, 12, 111sylancr 676 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
_i  +  x )  =  ( x  +  _i ) )
113110, 112eqtrd 2505 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 1  -  (
_i  x.  x )
)  x.  _i )  =  ( x  +  _i ) )
114113oveq2d 6324 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  /  ( ( 1  -  ( _i  x.  x ) )  x.  _i ) )  =  ( 1  / 
( x  +  _i ) ) )
11594, 96, 1143eqtr3d 2513 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 1  /  (
1  -  ( _i  x.  x ) ) )  x.  ( 1  /  _i ) )  =  ( 1  / 
( x  +  _i ) ) )
11690, 115syl5eqr 2519 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 1  /  (
1  -  ( _i  x.  x ) ) )  x.  -u _i )  =  ( 1  /  ( x  +  _i ) ) )
117116mpteq2dva 4482 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( x  e.  S  |->  ( ( 1  / 
( 1  -  (
_i  x.  x )
) )  x.  -u _i ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( 1  /  ( x  +  _i ) ) ) )
11888, 117eqtrd 2505 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  S  |->  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  x ) ) ) ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( 1  /  ( x  +  _i ) ) ) )
119 ovex 6336 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  ( x  -  _i ) )  e.  _V
120119a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  /  ( x  -  _i ) )  e.  _V )
12128simp3bi 1047 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  S  ->  (
1  +  ( _i  x.  x ) )  e.  D )
122121adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  +  ( _i  x.  x ) )  e.  D )
1233, 45, 19sylancr 676 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  CC )  ->  (
1  +  ( _i  x.  x ) )  e.  CC )
1242, 48, 49, 51, 45, 52, 58dvmptadd 22993 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( 1  +  ( _i  x.  x ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( 0  +  _i ) ) )
1254addid2i 9839 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  +  _i )  =  _i
126125mpteq2i 4479 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  |->  ( 0  +  _i ) )  =  ( x  e.  CC  |->  _i )
127124, 126syl6eq 2521 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( 1  +  ( _i  x.  x ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  _i ) )
1282, 123, 52, 127, 68, 73, 63, 74dvmptres 22996 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  S  |->  ( 1  +  ( _i  x.  x ) ) ) )  =  ( x  e.  S  |->  _i ) )
129 fveq2 5879 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( 1  +  ( _i  x.  x
) )  ->  ( log `  y )  =  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  x ) ) ) )
130 oveq2 6316 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( 1  +  ( _i  x.  x
) )  ->  (
1  /  y )  =  ( 1  / 
( 1  +  ( _i  x.  x ) ) ) )
1312, 2, 122, 91, 41, 43, 128, 85, 129, 130dvmptco 23005 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  S  |->  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  x ) ) ) ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( ( 1  /  (
1  +  ( _i  x.  x ) ) )  x.  _i ) ) )
13297, 20, 91, 21, 93divdiv2d 10437 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  /  ( ( 1  +  ( _i  x.  x ) )  /  _i ) )  =  ( ( 1  x.  _i )  / 
( 1  +  ( _i  x.  x ) ) ) )
13397, 14, 91, 93divdird 10443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 1  +  ( _i  x.  x ) )  /  _i )  =  ( ( 1  /  _i )  +  ( ( _i  x.  x )  /  _i ) ) )
13489a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  /  _i )  =  -u _i )
13512, 91, 93divcan3d 10410 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( _i  x.  x
)  /  _i )  =  x )
136134, 135oveq12d 6326 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 1  /  _i )  +  ( (
_i  x.  x )  /  _i ) )  =  ( -u _i  +  x ) )
137 negicn 9896 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -u _i  e.  CC
138 addcom 9837 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
-u _i  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( -u _i  +  x )  =  ( x  +  -u _i ) )
139137, 12, 138sylancr 676 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  ( -u _i  +  x )  =  ( x  +  -u _i ) )
140 negsub 9942 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  _i  e.  CC )  -> 
( x  +  -u _i )  =  (
x  -  _i ) )
14112, 4, 140sylancl 675 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
x  +  -u _i )  =  ( x  -  _i ) )
142139, 141eqtrd 2505 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  ( -u _i  +  x )  =  ( x  -  _i ) )
143133, 136, 1423eqtrd 2509 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 1  +  ( _i  x.  x ) )  /  _i )  =  ( x  -  _i ) )
144143oveq2d 6324 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  /  ( ( 1  +  ( _i  x.  x ) )  /  _i ) )  =  ( 1  / 
( x  -  _i ) ) )
14597, 91, 20, 21div23d 10442 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 1  x.  _i )  /  ( 1  +  ( _i  x.  x
) ) )  =  ( ( 1  / 
( 1  +  ( _i  x.  x ) ) )  x.  _i ) )
146132, 144, 1453eqtr3rd 2514 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 1  /  (
1  +  ( _i  x.  x ) ) )  x.  _i )  =  ( 1  / 
( x  -  _i ) ) )
147146mpteq2dva 4482 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( x  e.  S  |->  ( ( 1  / 
( 1  +  ( _i  x.  x ) ) )  x.  _i ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( 1  /  ( x  -  _i ) ) ) )
148131, 147eqtrd 2505 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  S  |->  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  x ) ) ) ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( 1  /  ( x  -  _i ) ) ) )
1492, 18, 27, 118, 22, 120, 148dvmptsub 23000 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  S  |->  ( ( log `  (
1  -  ( _i  x.  x ) ) )  -  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  x ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( ( 1  /  ( x  +  _i ) )  -  ( 1  / 
( x  -  _i ) ) ) ) )
150 subcl 9894 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  _i  e.  CC )  -> 
( x  -  _i )  e.  CC )
15112, 4, 150sylancl 675 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
x  -  _i )  e.  CC )
152 addcl 9639 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  _i  e.  CC )  -> 
( x  +  _i )  e.  CC )
15312, 4, 152sylancl 675 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
x  +  _i )  e.  CC )
15412sqcld 12452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
x ^ 2 )  e.  CC )
155 addcl 9639 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( x ^ 2 )  e.  CC )  ->  ( 1  +  ( x ^ 2 ) )  e.  CC )
1563, 154, 155sylancr 676 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  +  ( x ^ 2 ) )  e.  CC )
157 atandm4 23884 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  dom arctan  <->  ( x  e.  CC  /\  ( 1  +  ( x ^
2 ) )  =/=  0 ) )
158157simprbi 471 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  dom arctan  ->  ( 1  +  ( x ^
2 ) )  =/=  0 )
1599, 158syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  +  ( x ^ 2 ) )  =/=  0 )
160151, 153, 156, 159divsubdird 10444 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( ( x  -  _i )  -  (
x  +  _i ) )  /  ( 1  +  ( x ^
2 ) ) )  =  ( ( ( x  -  _i )  /  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) )  -  ( ( x  +  _i )  /  (
1  +  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
161141oveq1d 6323 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  +  -u _i )  -  (
x  +  _i ) )  =  ( ( x  -  _i )  -  ( x  +  _i ) ) )
162137a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  -u _i  e.  CC )
16312, 162, 91pnpcand 10042 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  +  -u _i )  -  (
x  +  _i ) )  =  ( -u _i  -  _i ) )
164161, 163eqtr3d 2507 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  -  _i )  -  ( x  +  _i ) )  =  ( -u _i  -  _i ) )
165 2cn 10702 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  CC
166165, 4, 92divreci 10374 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  /  _i )  =  ( 2  x.  (
1  /  _i ) )
16789oveq2i 6319 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  x.  ( 1  /  _i ) )  =  ( 2  x.  -u _i )
168166, 167eqtri 2493 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  /  _i )  =  ( 2  x.  -u _i )
1691372timesi 10753 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  x.  -u _i )  =  ( -u _i  +  -u _i )
170137, 4negsubi 9972 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u _i  +  -u _i )  =  ( -u _i  -  _i )
171168, 169, 1703eqtri 2497 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  /  _i )  =  ( -u _i  -  _i )
172164, 171syl6eqr 2523 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  -  _i )  -  ( x  +  _i ) )  =  ( 2  /  _i ) )
173172oveq1d 6323 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( ( x  -  _i )  -  (
x  +  _i ) )  /  ( 1  +  ( x ^
2 ) ) )  =  ( ( 2  /  _i )  / 
( 1  +  ( x ^ 2 ) ) ) )
174151mulid1d 9678 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  -  _i )  x.  1 )  =  ( x  -  _i ) )
175151, 153mulcomd 9682 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  -  _i )  x.  ( x  +  _i ) )  =  ( ( x  +  _i )  x.  (
x  -  _i ) ) )
176 i2 12413 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( _i
^ 2 )  = 
-u 1
177176oveq2i 6319 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x ^ 2 )  -  ( _i ^
2 ) )  =  ( ( x ^
2 )  -  -u 1
)
178 subneg 9943 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x ^ 2 )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( x ^
2 )  -  -u 1
)  =  ( ( x ^ 2 )  +  1 ) )
179154, 3, 178sylancl 675 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x ^ 2 )  -  -u 1
)  =  ( ( x ^ 2 )  +  1 ) )
180177, 179syl5eq 2517 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x ^ 2 )  -  ( _i
^ 2 ) )  =  ( ( x ^ 2 )  +  1 ) )
181 subsq 12420 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  _i  e.  CC )  -> 
( ( x ^
2 )  -  (
_i ^ 2 ) )  =  ( ( x  +  _i )  x.  ( x  -  _i ) ) )
18212, 4, 181sylancl 675 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x ^ 2 )  -  ( _i
^ 2 ) )  =  ( ( x  +  _i )  x.  ( x  -  _i ) ) )
183 addcom 9837 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x ^ 2 )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( x ^
2 )  +  1 )  =  ( 1  +  ( x ^
2 ) ) )
184154, 3, 183sylancl 675 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x ^ 2 )  +  1 )  =  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) )
185180, 182, 1843eqtr3d 2513 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  +  _i )  x.  ( x  -  _i ) )  =  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) )
186175, 185eqtrd 2505 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  -  _i )  x.  ( x  +  _i ) )  =  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) )
187174, 186oveq12d 6326 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( ( x  -  _i )  x.  1
)  /  ( ( x  -  _i )  x.  ( x  +  _i ) ) )  =  ( ( x  -  _i )  /  (
1  +  ( x ^ 2 ) ) ) )
188 subneg 9943 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  /\  _i  e.  CC )  -> 
( x  -  -u _i )  =  ( x  +  _i ) )
18912, 4, 188sylancl 675 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
x  -  -u _i )  =  ( x  +  _i ) )
190 atandm 23881 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  dom arctan  <->  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  -u _i  /\  x  =/=  _i ) )
1919, 190sylib 201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
x  e.  CC  /\  x  =/=  -u _i  /\  x  =/=  _i ) )
192191simp2d 1043 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  x  =/=  -u _i )
193 subeq0 9920 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  CC  /\  -u _i  e.  CC )  ->  ( ( x  -  -u _i )  =  0  <->  x  =  -u _i ) )
194193necon3bid 2687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  -u _i  e.  CC )  ->  ( ( x  -  -u _i )  =/=  0  <->  x  =/=  -u _i ) )
19512, 137, 194sylancl 675 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  -  -u _i )  =/=  0  <->  x  =/=  -u _i ) )
196192, 195mpbird 240 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
x  -  -u _i )  =/=  0 )
197189, 196eqnetrrd 2711 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
x  +  _i )  =/=  0 )
198191simp3d 1044 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  x  =/=  _i )
199 subeq0 9920 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  _i  e.  CC )  -> 
( ( x  -  _i )  =  0  <->  x  =  _i ) )
200199necon3bid 2687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  /\  _i  e.  CC )  -> 
( ( x  -  _i )  =/=  0  <->  x  =/=  _i ) )
20112, 4, 200sylancl 675 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  -  _i )  =/=  0  <->  x  =/=  _i ) )
202198, 201mpbird 240 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
x  -  _i )  =/=  0 )
20397, 153, 151, 197, 202divcan5d 10431 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( ( x  -  _i )  x.  1
)  /  ( ( x  -  _i )  x.  ( x  +  _i ) ) )  =  ( 1  /  (
x  +  _i ) ) )
204187, 203eqtr3d 2507 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  -  _i )  /  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) )  =  ( 1  /  (
x  +  _i ) ) )
205153mulid1d 9678 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  +  _i )  x.  1 )  =  ( x  +  _i ) )
206205, 185oveq12d 6326 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( ( x  +  _i )  x.  1
)  /  ( ( x  +  _i )  x.  ( x  -  _i ) ) )  =  ( ( x  +  _i )  /  (
1  +  ( x ^ 2 ) ) ) )
20797, 151, 153, 202, 197divcan5d 10431 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( ( x  +  _i )  x.  1
)  /  ( ( x  +  _i )  x.  ( x  -  _i ) ) )  =  ( 1  /  (
x  -  _i ) ) )
208206, 207eqtr3d 2507 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  +  _i )  /  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) )  =  ( 1  /  (
x  -  _i ) ) )
209204, 208oveq12d 6326 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( ( x  -  _i )  /  (
1  +  ( x ^ 2 ) ) )  -  ( ( x  +  _i )  /  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( 1  /  ( x  +  _i ) )  -  (
1  /  ( x  -  _i ) ) ) )
210160, 173, 2093eqtr3rd 2514 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 1  /  (
x  +  _i ) )  -  ( 1  /  ( x  -  _i ) ) )  =  ( ( 2  /  _i )  /  (
1  +  ( x ^ 2 ) ) ) )
211210mpteq2dva 4482 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( x  e.  S  |->  ( ( 1  / 
( x  +  _i ) )  -  (
1  /  ( x  -  _i ) ) ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( ( 2  /  _i )  /  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
212149, 211eqtrd 2505 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  S  |->  ( ( log `  (
1  -  ( _i  x.  x ) ) )  -  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  x ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( ( 2  /  _i )  /  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
213 halfcl 10861 . . . . 5  |-  ( _i  e.  CC  ->  (
_i  /  2 )  e.  CC )
2144, 213mp1i 13 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( _i  /  2
)  e.  CC )
2152, 23, 25, 212, 214dvmptcmul 22997 . . 3  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  S  |->  ( ( _i  /  2
)  x.  ( ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  x ) ) )  -  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  x ) ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( ( _i  /  2 )  x.  ( ( 2  /  _i )  / 
( 1  +  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
216 df-atan 23872 . . . . . . 7  |- arctan  =  ( x  e.  ( CC 
\  { -u _i ,  _i } )  |->  ( ( _i  /  2
)  x.  ( ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  x ) ) )  -  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  x ) ) ) ) ) )
217216reseq1i 5107 . . . . . 6  |-  (arctan  |`  S )  =  ( ( x  e.  ( CC  \  { -u _i ,  _i } )  |->  ( ( _i  /  2 )  x.  ( ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  x )
) )  -  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  x
) ) ) ) ) )  |`  S )
218 atanf 23885 . . . . . . . . 9  |- arctan : ( CC  \  { -u _i ,  _i }
) --> CC
219218fdmi 5746 . . . . . . . 8  |-  dom arctan  =  ( CC  \  { -u _i ,  _i }
)
2207, 219sseqtri 3450 . . . . . . 7  |-  S  C_  ( CC  \  { -u _i ,  _i }
)
221 resmpt 5160 . . . . . . 7  |-  ( S 
C_  ( CC  \  { -u _i ,  _i } )  ->  (
( x  e.  ( CC  \  { -u _i ,  _i }
)  |->  ( ( _i 
/  2 )  x.  ( ( log `  (
1  -  ( _i  x.  x ) ) )  -  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  x ) ) ) ) ) )  |`  S )  =  ( x  e.  S  |->  ( ( _i 
/  2 )  x.  ( ( log `  (
1  -  ( _i  x.  x ) ) )  -  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  x ) ) ) ) ) ) )
222220, 221ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { -u _i ,  _i } )  |->  ( ( _i  /  2
)  x.  ( ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  x ) ) )  -  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  x ) ) ) ) ) )  |`  S )  =  ( x  e.  S  |->  ( ( _i  /  2
)  x.  ( ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  x ) ) )  -  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  x ) ) ) ) ) )
223217, 222eqtri 2493 . . . . 5  |-  (arctan  |`  S )  =  ( x  e.  S  |->  ( ( _i 
/  2 )  x.  ( ( log `  (
1  -  ( _i  x.  x ) ) )  -  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  x ) ) ) ) ) )
224223a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  (arctan  |`  S )  =  ( x  e.  S  |->  ( ( _i  / 
2 )  x.  (
( log `  (
1  -  ( _i  x.  x ) ) )  -  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  x ) ) ) ) ) ) )
225224oveq2d 6324 . . 3  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (arctan  |`  S ) )  =  ( CC  _D  (
x  e.  S  |->  ( ( _i  /  2
)  x.  ( ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  x ) ) )  -  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  x ) ) ) ) ) ) ) )
226 2ne0 10724 . . . . . . 7  |-  2  =/=  0
227 divcan6 10336 . . . . . . 7  |-  ( ( ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0 )  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  -> 
( ( _i  / 
2 )  x.  (
2  /  _i ) )  =  1 )
2284, 92, 165, 226, 227mp4an 687 . . . . . 6  |-  ( ( _i  /  2 )  x.  ( 2  /  _i ) )  =  1
229228oveq1i 6318 . . . . 5  |-  ( ( ( _i  /  2
)  x.  ( 2  /  _i ) )  /  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) )  =  ( 1  /  (
1  +  ( x ^ 2 ) ) )
2304, 213mp1i 13 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
_i  /  2 )  e.  CC )
231165, 4, 92divcli 10371 . . . . . . 7  |-  ( 2  /  _i )  e.  CC
232231a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
2  /  _i )  e.  CC )
233230, 232, 156, 159divassd 10440 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( ( _i  / 
2 )  x.  (
2  /  _i ) )  /  ( 1  +  ( x ^
2 ) ) )  =  ( ( _i 
/  2 )  x.  ( ( 2  /  _i )  /  (
1  +  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
234229, 233syl5eqr 2519 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  /  ( 1  +  ( x ^
2 ) ) )  =  ( ( _i 
/  2 )  x.  ( ( 2  /  _i )  /  (
1  +  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
235234mpteq2dva 4482 . . 3  |-  ( T. 
->  ( x  e.  S  |->  ( 1  /  (
1  +  ( x ^ 2 ) ) ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( ( _i  /  2
)  x.  ( ( 2  /  _i )  /  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
236215, 225, 2353eqtr4d 2515 . 2  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (arctan  |`  S ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( 1  /  (
1  +  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
237236trud 1461 1  |-  ( CC 
_D  (arctan  |`  S ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( 1  /  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452   T. wtru 1453    e. wcel 1904    =/= wne 2641   {crab 2760   _Vcvv 3031    \ cdif 3387    C_ wss 3390   {csn 3959   {cpr 3961    |-> cmpt 4454   dom cdm 4839   ran crn 4840    |` cres 4841   -->wf 5585   -1-1-onto->wf1o 5588   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558   _ici 9559    + caddc 9560    x. cmul 9562   -oocmnf 9691    - cmin 9880   -ucneg 9881    / cdiv 10291   2c2 10681   (,]cioc 11661   ^cexp 12310   ↾t crest 15397   TopOpenctopn 15398  ℂfldccnfld 19047   Topctop 19994  TopOnctopon 19995    _D cdv 22897   logclog 23583  arctancatan 23869
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-ef 14198  df-sin 14200  df-cos 14201  df-tan 14202  df-pi 14203  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-cmp 20479  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901  df-log 23585  df-atan 23872
This theorem is referenced by:  atancn  23941
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