Theorem dvatan 23940

Description: The derivative of the arctangent. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
atansopn.d	|- D = ( CC \ ( -oo (,] 0 ) )
atansopn.s	|- S = { y e. CC | ( 1 + ( y ^ 2 ) ) e. D }

Assertion

Ref	Expression
dvatan	|- ( CC _D (arctan |` S ) ) = ( x e. S |-> ( 1 / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, D   x, S

Allowed substitution hint:   S( y)

Proof of Theorem dvatan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnelprrecn 9650	. . . . 5 |- CC e. { RR , CC }
2	1	a1i 11	. . . 4 |- ( T. -> CC e. { RR , CC } )
3		ax-1cn 9615	. . . . . . 7 |- 1 e. CC
4		ax-icn 9616	. . . . . . . 8 |- _i e. CC
5		atansopn.d	. . . . . . . . . . . 12 |- D = ( CC \ ( -oo (,] 0 ) )
6		atansopn.s	. . . . . . . . . . . 12 |- S = { y e. CC | ( 1 + ( y ^ 2 ) ) e. D }
7	5, 6	atansssdm 23938	. . . . . . . . . . 11 |- S C_ dom arctan
8		simpr 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> x e. S )
9	7, 8	sseldi 3416	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> x e. dom arctan )
10		atandm2 23882	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. dom arctan <-> ( x e. CC /\ ( 1 - ( _i x. x ) ) =/= 0 /\ ( 1 + ( _i x. x ) ) =/= 0 ) )
11	9, 10	sylib 201	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( x e. CC /\ ( 1 - ( _i x. x ) ) =/= 0 /\ ( 1 + ( _i x. x ) ) =/= 0 ) )
12	11	simp1d 1042	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> x e. CC )
13		mulcl 9641	. . . . . . . 8 |- ( ( _i e. CC /\ x e. CC ) -> ( _i x. x ) e. CC )
14	4, 12, 13	sylancr 676	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( _i x. x ) e. CC )
15		subcl 9894	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. CC /\ ( _i x. x ) e. CC ) -> ( 1 - ( _i x. x ) ) e. CC )
16	3, 14, 15	sylancr 676	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( 1 - ( _i x. x ) ) e. CC )
17	11	simp2d 1043	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( 1 - ( _i x. x ) ) =/= 0 )
18	16, 17	logcld 23599	. . . . 5 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( log ` ( 1 - ( _i x. x ) ) ) e. CC )
19		addcl 9639	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. CC /\ ( _i x. x ) e. CC ) -> ( 1 + ( _i x. x ) ) e. CC )
20	3, 14, 19	sylancr 676	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( 1 + ( _i x. x ) ) e. CC )
21	11	simp3d 1044	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( 1 + ( _i x. x ) ) =/= 0 )
22	20, 21	logcld 23599	. . . . 5 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( log ` ( 1 + ( _i x. x ) ) ) e. CC )
23	18, 22	subcld 10005	. . . 4 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( log ` ( 1 - ( _i x. x ) ) ) - ( log ` ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) e. CC )
24		ovex 6336	. . . . 5 |- ( ( 2 / _i ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) e. _V
25	24	a1i 11	. . . 4 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( 2 / _i ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) e. _V )
26		ovex 6336	. . . . . . 7 |- ( 1 / ( x + _i ) ) e. _V
27	26	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( 1 / ( x + _i ) ) e. _V )
28	5, 6	atans2 23936	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. S <-> ( x e. CC /\ ( 1 - ( _i x. x ) ) e. D /\ ( 1 + ( _i x. x ) ) e. D ) )
29	28	simp2bi 1046	. . . . . . . . 9 |- ( x e. S -> ( 1 - ( _i x. x ) ) e. D )
30	29	adantl 473	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( 1 - ( _i x. x ) ) e. D )
31		negex 9893	. . . . . . . . 9 |- -u _i e. _V
32	31	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> -u _i e. _V )
33	5	logdmss 23666	. . . . . . . . . 10 |- D C_ ( CC \ { 0 } )
34		simpr 468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ y e. D ) -> y e. D )
35	33, 34	sseldi 3416	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ y e. D ) -> y e. ( CC \ { 0 } ) )
36		logf1o 23593	. . . . . . . . . . 11 |- log : ( CC \ { 0 } ) -1-1-onto-> ran log
37		f1of 5828	. . . . . . . . . . 11 |- ( log : ( CC \ { 0 } ) -1-1-onto-> ran log -> log : ( CC \ { 0 } ) --> ran log )
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- log : ( CC \ { 0 } ) --> ran log
39	38	ffvelrni 6036	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( CC \ { 0 } ) -> ( log ` y ) e. ran log )
40		logrncn 23591	. . . . . . . . 9 |- ( ( log ` y ) e. ran log -> ( log ` y ) e. CC )
41	35, 39, 40	3syl 18	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ y e. D ) -> ( log ` y ) e. CC )
42		ovex 6336	. . . . . . . . 9 |- ( 1 / y ) e. _V
43	42	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ y e. D ) -> ( 1 / y ) e. _V )
44	4	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( T. -> _i e. CC )
45	44, 13	sylan 479	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. CC ) -> ( _i x. x ) e. CC )
46	3, 45, 15	sylancr 676	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. CC ) -> ( 1 - ( _i x. x ) ) e. CC )
47	31	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. CC ) -> -u _i e. _V )
48		1cnd 9677	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. CC ) -> 1 e. CC )
49		0cnd 9654	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. CC ) -> 0 e. CC )
50		1cnd 9677	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T. -> 1 e. CC )
51	2, 50	dvmptc 22991	. . . . . . . . . . 11 |- ( T. -> ( CC _D ( x e. CC |-> 1 ) ) = ( x e. CC |-> 0 ) )
52	4	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. CC ) -> _i e. CC )
53		simpr 468	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T. /\ x e. CC ) -> x e. CC )
54	2	dvmptid 22990	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( T. -> ( CC _D ( x e. CC |-> x ) ) = ( x e. CC |-> 1 ) )
55	2, 53, 48, 54, 44	dvmptcmul 22997	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T. -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( _i x. x ) ) ) = ( x e. CC |-> ( _i x. 1 ) ) )
56	4	mulid1i 9663	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( _i x. 1 ) = _i
57	56	mpteq2i 4479	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. CC |-> ( _i x. 1 ) ) = ( x e. CC |-> _i )
58	55, 57	syl6eq 2521	. . . . . . . . . . 11 |- ( T. -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( _i x. x ) ) ) = ( x e. CC |-> _i ) )
59	2, 48, 49, 51, 45, 52, 58	dvmptsub 23000	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( 1 - ( _i x. x ) ) ) ) = ( x e. CC |-> ( 0 - _i ) ) )
60		df-neg 9883	. . . . . . . . . . 11 |- -u _i = ( 0 - _i )
61	60	mpteq2i 4479	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC |-> -u _i ) = ( x e. CC |-> ( 0 - _i ) )
62	59, 61	syl6eqr 2523	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( 1 - ( _i x. x ) ) ) ) = ( x e. CC |-> -u _i ) )
63		eqid 2471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
64	63	cnfldtopon 21881	. . . . . . . . . . 11 |- ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC )
65	5, 6	atansopn 23937	. . . . . . . . . . 11 |- S e. ( TopOpen ` ℂfld )
66		toponss 20021	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC ) /\ S e. ( TopOpen ` ℂfld ) ) -> S C_ CC )
67	64, 65, 66	mp2an 686	. . . . . . . . . 10 |- S C_ CC
68	67	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> S C_ CC )
69	63	cnfldtop 21882	. . . . . . . . . . 11 |- ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top
70	64	toponunii 20024	. . . . . . . . . . . 12 |- CC = U. ( TopOpen ` ℂfld )
71	70	restid 15410	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t CC ) = ( TopOpen ` ℂfld ) )
72	69, 71	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t CC ) = ( TopOpen ` ℂfld )
73	72	eqcomi 2480	. . . . . . . . 9 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t CC )
74	65	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> S e. ( TopOpen ` ℂfld ) )
75	2, 46, 47, 62, 68, 73, 63, 74	dvmptres 22996	. . . . . . . 8 |- ( T. -> ( CC _D ( x e. S |-> ( 1 - ( _i x. x ) ) ) ) = ( x e. S |-> -u _i ) )
76		fssres 5761	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( log : ( CC \ { 0 } ) --> ran log /\ D C_ ( CC \ { 0 } ) ) -> ( log |` D ) : D --> ran log )
77	38, 33, 76	mp2an 686	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( log |` D ) : D --> ran log
78	77	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T. -> ( log |` D ) : D --> ran log )
79	78	feqmptd 5932	. . . . . . . . . . 11 |- ( T. -> ( log |` D ) = ( y e. D |-> ( ( log |` D ) ` y ) ) )
80		fvres 5893	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. D -> ( ( log |` D ) ` y ) = ( log ` y ) )
81	80	mpteq2ia 4478	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. D |-> ( ( log |` D ) ` y ) ) = ( y e. D |-> ( log ` y ) )
82	79, 81	syl6req 2522	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> ( y e. D |-> ( log ` y ) ) = ( log |` D ) )
83	82	oveq2d 6324	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> ( CC _D ( y e. D |-> ( log ` y ) ) ) = ( CC _D ( log |` D ) ) )
84	5	dvlog 23675	. . . . . . . . 9 |- ( CC _D ( log |` D ) ) = ( y e. D |-> ( 1 / y ) )
85	83, 84	syl6eq 2521	. . . . . . . 8 |- ( T. -> ( CC _D ( y e. D |-> ( log ` y ) ) ) = ( y e. D |-> ( 1 / y ) ) )
86		fveq2 5879	. . . . . . . 8 |- ( y = ( 1 - ( _i x. x ) ) -> ( log ` y ) = ( log ` ( 1 - ( _i x. x ) ) ) )
87		oveq2 6316	. . . . . . . 8 |- ( y = ( 1 - ( _i x. x ) ) -> ( 1 / y ) = ( 1 / ( 1 - ( _i x. x ) ) ) )
88	2, 2, 30, 32, 41, 43, 75, 85, 86, 87	dvmptco 23005	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( CC _D ( x e. S |-> ( log ` ( 1 - ( _i x. x ) ) ) ) ) = ( x e. S |-> ( ( 1 / ( 1 - ( _i x. x ) ) ) x. -u _i ) ) )
89		irec 12412	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 / _i ) = -u _i
90	89	oveq2i 6319	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 / ( 1 - ( _i x. x ) ) ) x. ( 1 / _i ) ) = ( ( 1 / ( 1 - ( _i x. x ) ) ) x. -u _i )
91	4	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> _i e. CC )
92		ine0 10075	. . . . . . . . . . . 12 |- _i =/= 0
93	92	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> _i =/= 0 )
94	16, 91, 17, 93	recdiv2d 10423	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( 1 / ( 1 - ( _i x. x ) ) ) / _i ) = ( 1 / ( ( 1 - ( _i x. x ) ) x. _i ) ) )
95	16, 17	reccld 10398	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( 1 / ( 1 - ( _i x. x ) ) ) e. CC )
96	95, 91, 93	divrecd 10408	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( 1 / ( 1 - ( _i x. x ) ) ) / _i ) = ( ( 1 / ( 1 - ( _i x. x ) ) ) x. ( 1 / _i ) ) )
97		1cnd 9677	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> 1 e. CC )
98	97, 14, 91	subdird 10096	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( 1 - ( _i x. x ) ) x. _i ) = ( ( 1 x. _i ) - ( ( _i x. x ) x. _i ) ) )
99	4	mulid2i 9664	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1 x. _i ) = _i
100	99	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( 1 x. _i ) = _i )
101	91, 12, 91	mul32d 9861	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( _i x. x ) x. _i ) = ( ( _i x. _i ) x. x ) )
102		ixi 10263	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( _i x. _i ) = -u 1
103	102	oveq1i 6318	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( _i x. _i ) x. x ) = ( -u 1 x. x )
104	12	mulm1d 10091	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( -u 1 x. x ) = -u x )
105	103, 104	syl5eq 2517	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( _i x. _i ) x. x ) = -u x )
106	101, 105	eqtrd 2505	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( _i x. x ) x. _i ) = -u x )
107	100, 106	oveq12d 6326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( 1 x. _i ) - ( ( _i x. x ) x. _i ) ) = ( _i - -u x ) )
108		subneg 9943	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( _i e. CC /\ x e. CC ) -> ( _i - -u x ) = ( _i + x ) )
109	4, 12, 108	sylancr 676	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( _i - -u x ) = ( _i + x ) )
110	98, 107, 109	3eqtrd 2509	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( 1 - ( _i x. x ) ) x. _i ) = ( _i + x ) )
111		addcom 9837	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( _i e. CC /\ x e. CC ) -> ( _i + x ) = ( x + _i ) )
112	4, 12, 111	sylancr 676	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( _i + x ) = ( x + _i ) )
113	110, 112	eqtrd 2505	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( 1 - ( _i x. x ) ) x. _i ) = ( x + _i ) )
114	113	oveq2d 6324	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( 1 / ( ( 1 - ( _i x. x ) ) x. _i ) ) = ( 1 / ( x + _i ) ) )
115	94, 96, 114	3eqtr3d 2513	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( 1 / ( 1 - ( _i x. x ) ) ) x. ( 1 / _i ) ) = ( 1 / ( x + _i ) ) )
116	90, 115	syl5eqr 2519	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( 1 / ( 1 - ( _i x. x ) ) ) x. -u _i ) = ( 1 / ( x + _i ) ) )
117	116	mpteq2dva 4482	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( x e. S |-> ( ( 1 / ( 1 - ( _i x. x ) ) ) x. -u _i ) ) = ( x e. S |-> ( 1 / ( x + _i ) ) ) )
118	88, 117	eqtrd 2505	. . . . . 6 |- ( T. -> ( CC _D ( x e. S |-> ( log ` ( 1 - ( _i x. x ) ) ) ) ) = ( x e. S |-> ( 1 / ( x + _i ) ) ) )
119		ovex 6336	. . . . . . 7 |- ( 1 / ( x - _i ) ) e. _V
120	119	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( 1 / ( x - _i ) ) e. _V )
121	28	simp3bi 1047	. . . . . . . . 9 |- ( x e. S -> ( 1 + ( _i x. x ) ) e. D )
122	121	adantl 473	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( 1 + ( _i x. x ) ) e. D )
123	3, 45, 19	sylancr 676	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. CC ) -> ( 1 + ( _i x. x ) ) e. CC )
124	2, 48, 49, 51, 45, 52, 58	dvmptadd 22993	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) = ( x e. CC |-> ( 0 + _i ) ) )
125	4	addid2i 9839	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 + _i ) = _i
126	125	mpteq2i 4479	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC |-> ( 0 + _i ) ) = ( x e. CC |-> _i )
127	124, 126	syl6eq 2521	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) = ( x e. CC |-> _i ) )
128	2, 123, 52, 127, 68, 73, 63, 74	dvmptres 22996	. . . . . . . 8 |- ( T. -> ( CC _D ( x e. S |-> ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) = ( x e. S |-> _i ) )
129		fveq2 5879	. . . . . . . 8 |- ( y = ( 1 + ( _i x. x ) ) -> ( log ` y ) = ( log ` ( 1 + ( _i x. x ) ) ) )
130		oveq2 6316	. . . . . . . 8 |- ( y = ( 1 + ( _i x. x ) ) -> ( 1 / y ) = ( 1 / ( 1 + ( _i x. x ) ) ) )
131	2, 2, 122, 91, 41, 43, 128, 85, 129, 130	dvmptco 23005	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( CC _D ( x e. S |-> ( log ` ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) ) = ( x e. S |-> ( ( 1 / ( 1 + ( _i x. x ) ) ) x. _i ) ) )
132	97, 20, 91, 21, 93	divdiv2d 10437	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( 1 / ( ( 1 + ( _i x. x ) ) / _i ) ) = ( ( 1 x. _i ) / ( 1 + ( _i x. x ) ) ) )
133	97, 14, 91, 93	divdird 10443	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( 1 + ( _i x. x ) ) / _i ) = ( ( 1 / _i ) + ( ( _i x. x ) / _i ) ) )
134	89	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( 1 / _i ) = -u _i )
135	12, 91, 93	divcan3d 10410	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( _i x. x ) / _i ) = x )
136	134, 135	oveq12d 6326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( 1 / _i ) + ( ( _i x. x ) / _i ) ) = ( -u _i + x ) )
137		negicn 9896	. . . . . . . . . . . . 13 |- -u _i e. CC
138		addcom 9837	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -u _i e. CC /\ x e. CC ) -> ( -u _i + x ) = ( x + -u _i ) )
139	137, 12, 138	sylancr 676	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( -u _i + x ) = ( x + -u _i ) )
140		negsub 9942	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. CC /\ _i e. CC ) -> ( x + -u _i ) = ( x - _i ) )
141	12, 4, 140	sylancl 675	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( x + -u _i ) = ( x - _i ) )
142	139, 141	eqtrd 2505	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( -u _i + x ) = ( x - _i ) )
143	133, 136, 142	3eqtrd 2509	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( 1 + ( _i x. x ) ) / _i ) = ( x - _i ) )
144	143	oveq2d 6324	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( 1 / ( ( 1 + ( _i x. x ) ) / _i ) ) = ( 1 / ( x - _i ) ) )
145	97, 91, 20, 21	div23d 10442	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( 1 x. _i ) / ( 1 + ( _i x. x ) ) ) = ( ( 1 / ( 1 + ( _i x. x ) ) ) x. _i ) )
146	132, 144, 145	3eqtr3rd 2514	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( 1 / ( 1 + ( _i x. x ) ) ) x. _i ) = ( 1 / ( x - _i ) ) )
147	146	mpteq2dva 4482	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( x e. S |-> ( ( 1 / ( 1 + ( _i x. x ) ) ) x. _i ) ) = ( x e. S |-> ( 1 / ( x - _i ) ) ) )
148	131, 147	eqtrd 2505	. . . . . 6 |- ( T. -> ( CC _D ( x e. S |-> ( log ` ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) ) = ( x e. S |-> ( 1 / ( x - _i ) ) ) )
149	2, 18, 27, 118, 22, 120, 148	dvmptsub 23000	. . . . 5 |- ( T. -> ( CC _D ( x e. S |-> ( ( log ` ( 1 - ( _i x. x ) ) ) - ( log ` ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) ) ) = ( x e. S |-> ( ( 1 / ( x + _i ) ) - ( 1 / ( x - _i ) ) ) ) )
150		subcl 9894	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ _i e. CC ) -> ( x - _i ) e. CC )
151	12, 4, 150	sylancl 675	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( x - _i ) e. CC )
152		addcl 9639	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ _i e. CC ) -> ( x + _i ) e. CC )
153	12, 4, 152	sylancl 675	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( x + _i ) e. CC )
154	12	sqcld 12452	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( x ^ 2 ) e. CC )
155		addcl 9639	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 e. CC /\ ( x ^ 2 ) e. CC ) -> ( 1 + ( x ^ 2 ) ) e. CC )
156	3, 154, 155	sylancr 676	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( 1 + ( x ^ 2 ) ) e. CC )
157		atandm4 23884	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. dom arctan <-> ( x e. CC /\ ( 1 + ( x ^ 2 ) ) =/= 0 ) )
158	157	simprbi 471	. . . . . . . . 9 |- ( x e. dom arctan -> ( 1 + ( x ^ 2 ) ) =/= 0 )
159	9, 158	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( 1 + ( x ^ 2 ) ) =/= 0 )
160	151, 153, 156, 159	divsubdird 10444	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( ( x - _i ) - ( x + _i ) ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) = ( ( ( x - _i ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) - ( ( x + _i ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) ) )
161	141	oveq1d 6323	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( x + -u _i ) - ( x + _i ) ) = ( ( x - _i ) - ( x + _i ) ) )
162	137	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> -u _i e. CC )
163	12, 162, 91	pnpcand 10042	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( x + -u _i ) - ( x + _i ) ) = ( -u _i - _i ) )
164	161, 163	eqtr3d 2507	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( x - _i ) - ( x + _i ) ) = ( -u _i - _i ) )
165		2cn 10702	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. CC
166	165, 4, 92	divreci 10374	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 / _i ) = ( 2 x. ( 1 / _i ) )
167	89	oveq2i 6319	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 x. ( 1 / _i ) ) = ( 2 x. -u _i )
168	166, 167	eqtri 2493	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 / _i ) = ( 2 x. -u _i )
169	137	2timesi 10753	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 x. -u _i ) = ( -u _i + -u _i )
170	137, 4	negsubi 9972	. . . . . . . . . 10 |- ( -u _i + -u _i ) = ( -u _i - _i )
171	168, 169, 170	3eqtri 2497	. . . . . . . . 9 |- ( 2 / _i ) = ( -u _i - _i )
172	164, 171	syl6eqr 2523	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( x - _i ) - ( x + _i ) ) = ( 2 / _i ) )
173	172	oveq1d 6323	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( ( x - _i ) - ( x + _i ) ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) = ( ( 2 / _i ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) )
174	151	mulid1d 9678	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( x - _i ) x. 1 ) = ( x - _i ) )
175	151, 153	mulcomd 9682	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( x - _i ) x. ( x + _i ) ) = ( ( x + _i ) x. ( x - _i ) ) )
176		i2 12413	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( _i ^ 2 ) = -u 1
177	176	oveq2i 6319	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x ^ 2 ) - ( _i ^ 2 ) ) = ( ( x ^ 2 ) - -u 1 )
178		subneg 9943	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x ^ 2 ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( x ^ 2 ) - -u 1 ) = ( ( x ^ 2 ) + 1 ) )
179	154, 3, 178	sylancl 675	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( x ^ 2 ) - -u 1 ) = ( ( x ^ 2 ) + 1 ) )
180	177, 179	syl5eq 2517	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( x ^ 2 ) - ( _i ^ 2 ) ) = ( ( x ^ 2 ) + 1 ) )
181		subsq 12420	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. CC /\ _i e. CC ) -> ( ( x ^ 2 ) - ( _i ^ 2 ) ) = ( ( x + _i ) x. ( x - _i ) ) )
182	12, 4, 181	sylancl 675	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( x ^ 2 ) - ( _i ^ 2 ) ) = ( ( x + _i ) x. ( x - _i ) ) )
183		addcom 9837	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x ^ 2 ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( x ^ 2 ) + 1 ) = ( 1 + ( x ^ 2 ) ) )
184	154, 3, 183	sylancl 675	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( x ^ 2 ) + 1 ) = ( 1 + ( x ^ 2 ) ) )
185	180, 182, 184	3eqtr3d 2513	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( x + _i ) x. ( x - _i ) ) = ( 1 + ( x ^ 2 ) ) )
186	175, 185	eqtrd 2505	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( x - _i ) x. ( x + _i ) ) = ( 1 + ( x ^ 2 ) ) )
187	174, 186	oveq12d 6326	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( ( x - _i ) x. 1 ) / ( ( x - _i ) x. ( x + _i ) ) ) = ( ( x - _i ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) )
188		subneg 9943	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. CC /\ _i e. CC ) -> ( x - -u _i ) = ( x + _i ) )
189	12, 4, 188	sylancl 675	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( x - -u _i ) = ( x + _i ) )
190		atandm 23881	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. dom arctan <-> ( x e. CC /\ x =/= -u _i /\ x =/= _i ) )
191	9, 190	sylib 201	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( x e. CC /\ x =/= -u _i /\ x =/= _i ) )
192	191	simp2d 1043	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> x =/= -u _i )
193		subeq0 9920	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. CC /\ -u _i e. CC ) -> ( ( x - -u _i ) = 0 <-> x = -u _i ) )
194	193	necon3bid 2687	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. CC /\ -u _i e. CC ) -> ( ( x - -u _i ) =/= 0 <-> x =/= -u _i ) )
195	12, 137, 194	sylancl 675	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( x - -u _i ) =/= 0 <-> x =/= -u _i ) )
196	192, 195	mpbird 240	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( x - -u _i ) =/= 0 )
197	189, 196	eqnetrrd 2711	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( x + _i ) =/= 0 )
198	191	simp3d 1044	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> x =/= _i )
199		subeq0 9920	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. CC /\ _i e. CC ) -> ( ( x - _i ) = 0 <-> x = _i ) )
200	199	necon3bid 2687	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. CC /\ _i e. CC ) -> ( ( x - _i ) =/= 0 <-> x =/= _i ) )
201	12, 4, 200	sylancl 675	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( x - _i ) =/= 0 <-> x =/= _i ) )
202	198, 201	mpbird 240	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( x - _i ) =/= 0 )
203	97, 153, 151, 197, 202	divcan5d 10431	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( ( x - _i ) x. 1 ) / ( ( x - _i ) x. ( x + _i ) ) ) = ( 1 / ( x + _i ) ) )
204	187, 203	eqtr3d 2507	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( x - _i ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) = ( 1 / ( x + _i ) ) )
205	153	mulid1d 9678	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( x + _i ) x. 1 ) = ( x + _i ) )
206	205, 185	oveq12d 6326	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( ( x + _i ) x. 1 ) / ( ( x + _i ) x. ( x - _i ) ) ) = ( ( x + _i ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) )
207	97, 151, 153, 202, 197	divcan5d 10431	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( ( x + _i ) x. 1 ) / ( ( x + _i ) x. ( x - _i ) ) ) = ( 1 / ( x - _i ) ) )
208	206, 207	eqtr3d 2507	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( x + _i ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) = ( 1 / ( x - _i ) ) )
209	204, 208	oveq12d 6326	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( ( x - _i ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) - ( ( x + _i ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) ) = ( ( 1 / ( x + _i ) ) - ( 1 / ( x - _i ) ) ) )
210	160, 173, 209	3eqtr3rd 2514	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( 1 / ( x + _i ) ) - ( 1 / ( x - _i ) ) ) = ( ( 2 / _i ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) )
211	210	mpteq2dva 4482	. . . . 5 |- ( T. -> ( x e. S |-> ( ( 1 / ( x + _i ) ) - ( 1 / ( x - _i ) ) ) ) = ( x e. S |-> ( ( 2 / _i ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) ) )
212	149, 211	eqtrd 2505	. . . 4 |- ( T. -> ( CC _D ( x e. S |-> ( ( log ` ( 1 - ( _i x. x ) ) ) - ( log ` ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) ) ) = ( x e. S |-> ( ( 2 / _i ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) ) )
213		halfcl 10861	. . . . 5 |- ( _i e. CC -> ( _i / 2 ) e. CC )
214	4, 213	mp1i 13	. . . 4 |- ( T. -> ( _i / 2 ) e. CC )
215	2, 23, 25, 212, 214	dvmptcmul 22997	. . 3 |- ( T. -> ( CC _D ( x e. S |-> ( ( _i / 2 ) x. ( ( log ` ( 1 - ( _i x. x ) ) ) - ( log ` ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) ) ) ) = ( x e. S |-> ( ( _i / 2 ) x. ( ( 2 / _i ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
216		df-atan 23872	. . . . . . 7 |- arctan = ( x e. ( CC \ { -u _i , _i } ) |-> ( ( _i / 2 ) x. ( ( log ` ( 1 - ( _i x. x ) ) ) - ( log ` ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) ) )
217	216	reseq1i 5107	. . . . . 6 |- (arctan |` S ) = ( ( x e. ( CC \ { -u _i , _i } ) |-> ( ( _i / 2 ) x. ( ( log ` ( 1 - ( _i x. x ) ) ) - ( log ` ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) ) ) |` S )
218		atanf 23885	. . . . . . . . 9 |- arctan : ( CC \ { -u _i , _i } ) --> CC
219	218	fdmi 5746	. . . . . . . 8 |- dom arctan = ( CC \ { -u _i , _i } )
220	7, 219	sseqtri 3450	. . . . . . 7 |- S C_ ( CC \ { -u _i , _i } )
221		resmpt 5160	. . . . . . 7 |- ( S C_ ( CC \ { -u _i , _i } ) -> ( ( x e. ( CC \ { -u _i , _i } ) |-> ( ( _i / 2 ) x. ( ( log ` ( 1 - ( _i x. x ) ) ) - ( log ` ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) ) ) |` S ) = ( x e. S |-> ( ( _i / 2 ) x. ( ( log ` ( 1 - ( _i x. x ) ) ) - ( log ` ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) ) ) )
222	220, 221	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( CC \ { -u _i , _i } ) |-> ( ( _i / 2 ) x. ( ( log ` ( 1 - ( _i x. x ) ) ) - ( log ` ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) ) ) |` S ) = ( x e. S |-> ( ( _i / 2 ) x. ( ( log ` ( 1 - ( _i x. x ) ) ) - ( log ` ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) ) )
223	217, 222	eqtri 2493	. . . . 5 |- (arctan |` S ) = ( x e. S |-> ( ( _i / 2 ) x. ( ( log ` ( 1 - ( _i x. x ) ) ) - ( log ` ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) ) )
224	223	a1i 11	. . . 4 |- ( T. -> (arctan |` S ) = ( x e. S |-> ( ( _i / 2 ) x. ( ( log ` ( 1 - ( _i x. x ) ) ) - ( log ` ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) ) ) )
225	224	oveq2d 6324	. . 3 |- ( T. -> ( CC _D (arctan |` S ) ) = ( CC _D ( x e. S |-> ( ( _i / 2 ) x. ( ( log ` ( 1 - ( _i x. x ) ) ) - ( log ` ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) ) ) ) )
226		2ne0 10724	. . . . . . 7 |- 2 =/= 0
227		divcan6 10336	. . . . . . 7 |- ( ( ( _i e. CC /\ _i =/= 0 ) /\ ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) ) -> ( ( _i / 2 ) x. ( 2 / _i ) ) = 1 )
228	4, 92, 165, 226, 227	mp4an 687	. . . . . 6 |- ( ( _i / 2 ) x. ( 2 / _i ) ) = 1
229	228	oveq1i 6318	. . . . 5 |- ( ( ( _i / 2 ) x. ( 2 / _i ) ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) = ( 1 / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) )
230	4, 213	mp1i 13	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( _i / 2 ) e. CC )
231	165, 4, 92	divcli 10371	. . . . . . 7 |- ( 2 / _i ) e. CC
232	231	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( 2 / _i ) e. CC )
233	230, 232, 156, 159	divassd 10440	. . . . 5 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( ( _i / 2 ) x. ( 2 / _i ) ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) = ( ( _i / 2 ) x. ( ( 2 / _i ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) ) )
234	229, 233	syl5eqr 2519	. . . 4 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( 1 / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) = ( ( _i / 2 ) x. ( ( 2 / _i ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) ) )
235	234	mpteq2dva 4482	. . 3 |- ( T. -> ( x e. S |-> ( 1 / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) ) = ( x e. S |-> ( ( _i / 2 ) x. ( ( 2 / _i ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
236	215, 225, 235	3eqtr4d 2515	. 2 |- ( T. -> ( CC _D (arctan |` S ) ) = ( x e. S |-> ( 1 / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) ) )
237	236	trud 1461	1 |- ( CC _D (arctan |` S ) ) = ( x e. S |-> ( 1 / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) )

Syntax hints:   <-> wb 189   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   T. wtru 1453   e. wcel 1904   =/= wne 2641   {crab 2760   _Vcvv 3031   \ cdif 3387   C_ wss 3390   {csn 3959   {cpr 3961   |-> cmpt 4454   dom cdm 4839   ran crn 4840   |` cres 4841   -->wf 5585   -1-1-onto->wf1o 5588   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558   _ici 9559   + caddc 9560   x. cmul 9562   -oocmnf 9691   - cmin 9880   -ucneg 9881   / cdiv 10291   2c2 10681   (,]cioc 11661   ^cexp 12310   ↾_t crest 15397   TopOpenctopn 15398  ℂ_fldccnfld 19047   Topctop 19994  TopOnctopon 19995   _D cdv 22897   logclog 23583  arctancatan 23869

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-ef 14198  df-sin 14200  df-cos 14201  df-tan 14202  df-pi 14203  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-cmp 20479  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901  df-log 23585  df-atan 23872

This theorem is referenced by:  atancn  23941