Theorem dvatan 22342

Description: The derivative of the arctangent. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
atansopn.d	|- D = ( CC \ ( -oo (,] 0 ) )
atansopn.s	|- S = { y e. CC | ( 1 + ( y ^ 2 ) ) e. D }

Assertion

Ref	Expression
dvatan	|- ( CC _D (arctan |` S ) ) = ( x e. S |-> ( 1 / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, D   x, S

Allowed substitution hint:   S( y)

Proof of Theorem dvatan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnelprrecn 9387	. . . . 5 |- CC e. { RR , CC }
2	1	a1i 11	. . . 4 |- ( T. -> CC e. { RR , CC } )
3		ax-1cn 9352	. . . . . . 7 |- 1 e. CC
4		ax-icn 9353	. . . . . . . 8 |- _i e. CC
5		atansopn.d	. . . . . . . . . . . 12 |- D = ( CC \ ( -oo (,] 0 ) )
6		atansopn.s	. . . . . . . . . . . 12 |- S = { y e. CC | ( 1 + ( y ^ 2 ) ) e. D }
7	5, 6	atansssdm 22340	. . . . . . . . . . 11 |- S C_ dom arctan
8		simpr 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> x e. S )
9	7, 8	sseldi 3366	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> x e. dom arctan )
10		atandm2 22284	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. dom arctan <-> ( x e. CC /\ ( 1 - ( _i x. x ) ) =/= 0 /\ ( 1 + ( _i x. x ) ) =/= 0 ) )
11	9, 10	sylib 196	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( x e. CC /\ ( 1 - ( _i x. x ) ) =/= 0 /\ ( 1 + ( _i x. x ) ) =/= 0 ) )
12	11	simp1d 1000	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> x e. CC )
13		mulcl 9378	. . . . . . . 8 |- ( ( _i e. CC /\ x e. CC ) -> ( _i x. x ) e. CC )
14	4, 12, 13	sylancr 663	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( _i x. x ) e. CC )
15		subcl 9621	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. CC /\ ( _i x. x ) e. CC ) -> ( 1 - ( _i x. x ) ) e. CC )
16	3, 14, 15	sylancr 663	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( 1 - ( _i x. x ) ) e. CC )
17	11	simp2d 1001	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( 1 - ( _i x. x ) ) =/= 0 )
18	16, 17	logcld 22034	. . . . 5 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( log ` ( 1 - ( _i x. x ) ) ) e. CC )
19		addcl 9376	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. CC /\ ( _i x. x ) e. CC ) -> ( 1 + ( _i x. x ) ) e. CC )
20	3, 14, 19	sylancr 663	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( 1 + ( _i x. x ) ) e. CC )
21	11	simp3d 1002	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( 1 + ( _i x. x ) ) =/= 0 )
22	20, 21	logcld 22034	. . . . 5 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( log ` ( 1 + ( _i x. x ) ) ) e. CC )
23	18, 22	subcld 9731	. . . 4 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( log ` ( 1 - ( _i x. x ) ) ) - ( log ` ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) e. CC )
24		ovex 6128	. . . . 5 |- ( ( 2 / _i ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) e. _V
25	24	a1i 11	. . . 4 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( 2 / _i ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) e. _V )
26		ovex 6128	. . . . . . 7 |- ( 1 / ( x + _i ) ) e. _V
27	26	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( 1 / ( x + _i ) ) e. _V )
28	5, 6	atans2 22338	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. S <-> ( x e. CC /\ ( 1 - ( _i x. x ) ) e. D /\ ( 1 + ( _i x. x ) ) e. D ) )
29	28	simp2bi 1004	. . . . . . . . 9 |- ( x e. S -> ( 1 - ( _i x. x ) ) e. D )
30	29	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( 1 - ( _i x. x ) ) e. D )
31		negex 9620	. . . . . . . . 9 |- -u _i e. _V
32	31	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> -u _i e. _V )
33	5	logdmss 22099	. . . . . . . . . 10 |- D C_ ( CC \ { 0 } )
34		simpr 461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ y e. D ) -> y e. D )
35	33, 34	sseldi 3366	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ y e. D ) -> y e. ( CC \ { 0 } ) )
36		logf1o 22028	. . . . . . . . . . 11 |- log : ( CC \ { 0 } ) -1-1-onto-> ran log
37		f1of 5653	. . . . . . . . . . 11 |- ( log : ( CC \ { 0 } ) -1-1-onto-> ran log -> log : ( CC \ { 0 } ) --> ran log )
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- log : ( CC \ { 0 } ) --> ran log
39	38	ffvelrni 5854	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( CC \ { 0 } ) -> ( log ` y ) e. ran log )
40		logrncn 22026	. . . . . . . . 9 |- ( ( log ` y ) e. ran log -> ( log ` y ) e. CC )
41	35, 39, 40	3syl 20	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ y e. D ) -> ( log ` y ) e. CC )
42		ovex 6128	. . . . . . . . 9 |- ( 1 / y ) e. _V
43	42	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ y e. D ) -> ( 1 / y ) e. _V )
44	4	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( T. -> _i e. CC )
45	44, 13	sylan 471	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. CC ) -> ( _i x. x ) e. CC )
46	3, 45, 15	sylancr 663	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. CC ) -> ( 1 - ( _i x. x ) ) e. CC )
47	31	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. CC ) -> -u _i e. _V )
48		1cnd 9414	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. CC ) -> 1 e. CC )
49		0cnd 9391	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. CC ) -> 0 e. CC )
50		1cnd 9414	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T. -> 1 e. CC )
51	2, 50	dvmptc 21444	. . . . . . . . . . 11 |- ( T. -> ( CC _D ( x e. CC |-> 1 ) ) = ( x e. CC |-> 0 ) )
52	4	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. CC ) -> _i e. CC )
53		simpr 461	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T. /\ x e. CC ) -> x e. CC )
54	2	dvmptid 21443	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( T. -> ( CC _D ( x e. CC |-> x ) ) = ( x e. CC |-> 1 ) )
55	2, 53, 48, 54, 44	dvmptcmul 21450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T. -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( _i x. x ) ) ) = ( x e. CC |-> ( _i x. 1 ) ) )
56	4	mulid1i 9400	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( _i x. 1 ) = _i
57	56	mpteq2i 4387	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. CC |-> ( _i x. 1 ) ) = ( x e. CC |-> _i )
58	55, 57	syl6eq 2491	. . . . . . . . . . 11 |- ( T. -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( _i x. x ) ) ) = ( x e. CC |-> _i ) )
59	2, 48, 49, 51, 45, 52, 58	dvmptsub 21453	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( 1 - ( _i x. x ) ) ) ) = ( x e. CC |-> ( 0 - _i ) ) )
60		df-neg 9610	. . . . . . . . . . 11 |- -u _i = ( 0 - _i )
61	60	mpteq2i 4387	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC |-> -u _i ) = ( x e. CC |-> ( 0 - _i ) )
62	59, 61	syl6eqr 2493	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( 1 - ( _i x. x ) ) ) ) = ( x e. CC |-> -u _i ) )
63		eqid 2443	. . . . . . . . . . . 12 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
64	63	cnfldtopon 20374	. . . . . . . . . . 11 |- ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC )
65	5, 6	atansopn 22339	. . . . . . . . . . 11 |- S e. ( TopOpen ` ℂfld )
66		toponss 18546	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC ) /\ S e. ( TopOpen ` ℂfld ) ) -> S C_ CC )
67	64, 65, 66	mp2an 672	. . . . . . . . . 10 |- S C_ CC
68	67	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> S C_ CC )
69	63	cnfldtop 20375	. . . . . . . . . . 11 |- ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top
70	64	toponunii 18549	. . . . . . . . . . . 12 |- CC = U. ( TopOpen ` ℂfld )
71	70	restid 14384	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t CC ) = ( TopOpen ` ℂfld ) )
72	69, 71	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t CC ) = ( TopOpen ` ℂfld )
73	72	eqcomi 2447	. . . . . . . . 9 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t CC )
74	65	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> S e. ( TopOpen ` ℂfld ) )
75	2, 46, 47, 62, 68, 73, 63, 74	dvmptres 21449	. . . . . . . 8 |- ( T. -> ( CC _D ( x e. S |-> ( 1 - ( _i x. x ) ) ) ) = ( x e. S |-> -u _i ) )
76		fssres 5590	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( log : ( CC \ { 0 } ) --> ran log /\ D C_ ( CC \ { 0 } ) ) -> ( log |` D ) : D --> ran log )
77	38, 33, 76	mp2an 672	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( log |` D ) : D --> ran log
78	77	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T. -> ( log |` D ) : D --> ran log )
79	78	feqmptd 5756	. . . . . . . . . . 11 |- ( T. -> ( log |` D ) = ( y e. D |-> ( ( log |` D ) ` y ) ) )
80		fvres 5716	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. D -> ( ( log |` D ) ` y ) = ( log ` y ) )
81	80	mpteq2ia 4386	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. D |-> ( ( log |` D ) ` y ) ) = ( y e. D |-> ( log ` y ) )
82	79, 81	syl6req 2492	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> ( y e. D |-> ( log ` y ) ) = ( log |` D ) )
83	82	oveq2d 6119	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> ( CC _D ( y e. D |-> ( log ` y ) ) ) = ( CC _D ( log |` D ) ) )
84	5	dvlog 22108	. . . . . . . . 9 |- ( CC _D ( log |` D ) ) = ( y e. D |-> ( 1 / y ) )
85	83, 84	syl6eq 2491	. . . . . . . 8 |- ( T. -> ( CC _D ( y e. D |-> ( log ` y ) ) ) = ( y e. D |-> ( 1 / y ) ) )
86		fveq2 5703	. . . . . . . 8 |- ( y = ( 1 - ( _i x. x ) ) -> ( log ` y ) = ( log ` ( 1 - ( _i x. x ) ) ) )
87		oveq2 6111	. . . . . . . 8 |- ( y = ( 1 - ( _i x. x ) ) -> ( 1 / y ) = ( 1 / ( 1 - ( _i x. x ) ) ) )
88	2, 2, 30, 32, 41, 43, 75, 85, 86, 87	dvmptco 21458	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( CC _D ( x e. S |-> ( log ` ( 1 - ( _i x. x ) ) ) ) ) = ( x e. S |-> ( ( 1 / ( 1 - ( _i x. x ) ) ) x. -u _i ) ) )
89		irec 11977	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 / _i ) = -u _i
90	89	oveq2i 6114	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 / ( 1 - ( _i x. x ) ) ) x. ( 1 / _i ) ) = ( ( 1 / ( 1 - ( _i x. x ) ) ) x. -u _i )
91	4	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> _i e. CC )
92		ine0 9792	. . . . . . . . . . . 12 |- _i =/= 0
93	92	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> _i =/= 0 )
94	16, 91, 17, 93	recdiv2d 10137	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( 1 / ( 1 - ( _i x. x ) ) ) / _i ) = ( 1 / ( ( 1 - ( _i x. x ) ) x. _i ) ) )
95	16, 17	reccld 10112	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( 1 / ( 1 - ( _i x. x ) ) ) e. CC )
96	95, 91, 93	divrecd 10122	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( 1 / ( 1 - ( _i x. x ) ) ) / _i ) = ( ( 1 / ( 1 - ( _i x. x ) ) ) x. ( 1 / _i ) ) )
97		1cnd 9414	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> 1 e. CC )
98	97, 14, 91	subdird 9813	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( 1 - ( _i x. x ) ) x. _i ) = ( ( 1 x. _i ) - ( ( _i x. x ) x. _i ) ) )
99	4	mulid2i 9401	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1 x. _i ) = _i
100	99	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( 1 x. _i ) = _i )
101	91, 12, 91	mul32d 9591	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( _i x. x ) x. _i ) = ( ( _i x. _i ) x. x ) )
102		ixi 9977	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( _i x. _i ) = -u 1
103	102	oveq1i 6113	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( _i x. _i ) x. x ) = ( -u 1 x. x )
104	12	mulm1d 9808	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( -u 1 x. x ) = -u x )
105	103, 104	syl5eq 2487	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( _i x. _i ) x. x ) = -u x )
106	101, 105	eqtrd 2475	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( _i x. x ) x. _i ) = -u x )
107	100, 106	oveq12d 6121	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( 1 x. _i ) - ( ( _i x. x ) x. _i ) ) = ( _i - -u x ) )
108		subneg 9670	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( _i e. CC /\ x e. CC ) -> ( _i - -u x ) = ( _i + x ) )
109	4, 12, 108	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( _i - -u x ) = ( _i + x ) )
110	98, 107, 109	3eqtrd 2479	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( 1 - ( _i x. x ) ) x. _i ) = ( _i + x ) )
111		addcom 9567	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( _i e. CC /\ x e. CC ) -> ( _i + x ) = ( x + _i ) )
112	4, 12, 111	sylancr 663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( _i + x ) = ( x + _i ) )
113	110, 112	eqtrd 2475	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( 1 - ( _i x. x ) ) x. _i ) = ( x + _i ) )
114	113	oveq2d 6119	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( 1 / ( ( 1 - ( _i x. x ) ) x. _i ) ) = ( 1 / ( x + _i ) ) )
115	94, 96, 114	3eqtr3d 2483	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( 1 / ( 1 - ( _i x. x ) ) ) x. ( 1 / _i ) ) = ( 1 / ( x + _i ) ) )
116	90, 115	syl5eqr 2489	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( 1 / ( 1 - ( _i x. x ) ) ) x. -u _i ) = ( 1 / ( x + _i ) ) )
117	116	mpteq2dva 4390	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( x e. S |-> ( ( 1 / ( 1 - ( _i x. x ) ) ) x. -u _i ) ) = ( x e. S |-> ( 1 / ( x + _i ) ) ) )
118	88, 117	eqtrd 2475	. . . . . 6 |- ( T. -> ( CC _D ( x e. S |-> ( log ` ( 1 - ( _i x. x ) ) ) ) ) = ( x e. S |-> ( 1 / ( x + _i ) ) ) )
119		ovex 6128	. . . . . . 7 |- ( 1 / ( x - _i ) ) e. _V
120	119	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( 1 / ( x - _i ) ) e. _V )
121	28	simp3bi 1005	. . . . . . . . 9 |- ( x e. S -> ( 1 + ( _i x. x ) ) e. D )
122	121	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( 1 + ( _i x. x ) ) e. D )
123	3, 45, 19	sylancr 663	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. CC ) -> ( 1 + ( _i x. x ) ) e. CC )
124	2, 48, 49, 51, 45, 52, 58	dvmptadd 21446	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) = ( x e. CC |-> ( 0 + _i ) ) )
125	4	addid2i 9569	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 + _i ) = _i
126	125	mpteq2i 4387	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC |-> ( 0 + _i ) ) = ( x e. CC |-> _i )
127	124, 126	syl6eq 2491	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) = ( x e. CC |-> _i ) )
128	2, 123, 52, 127, 68, 73, 63, 74	dvmptres 21449	. . . . . . . 8 |- ( T. -> ( CC _D ( x e. S |-> ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) = ( x e. S |-> _i ) )
129		fveq2 5703	. . . . . . . 8 |- ( y = ( 1 + ( _i x. x ) ) -> ( log ` y ) = ( log ` ( 1 + ( _i x. x ) ) ) )
130		oveq2 6111	. . . . . . . 8 |- ( y = ( 1 + ( _i x. x ) ) -> ( 1 / y ) = ( 1 / ( 1 + ( _i x. x ) ) ) )
131	2, 2, 122, 91, 41, 43, 128, 85, 129, 130	dvmptco 21458	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( CC _D ( x e. S |-> ( log ` ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) ) = ( x e. S |-> ( ( 1 / ( 1 + ( _i x. x ) ) ) x. _i ) ) )
132	97, 20, 91, 21, 93	divdiv2d 10151	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( 1 / ( ( 1 + ( _i x. x ) ) / _i ) ) = ( ( 1 x. _i ) / ( 1 + ( _i x. x ) ) ) )
133	97, 14, 91, 93	divdird 10157	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( 1 + ( _i x. x ) ) / _i ) = ( ( 1 / _i ) + ( ( _i x. x ) / _i ) ) )
134	89	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( 1 / _i ) = -u _i )
135	12, 91, 93	divcan3d 10124	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( _i x. x ) / _i ) = x )
136	134, 135	oveq12d 6121	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( 1 / _i ) + ( ( _i x. x ) / _i ) ) = ( -u _i + x ) )
137		negicn 9623	. . . . . . . . . . . . 13 |- -u _i e. CC
138		addcom 9567	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -u _i e. CC /\ x e. CC ) -> ( -u _i + x ) = ( x + -u _i ) )
139	137, 12, 138	sylancr 663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( -u _i + x ) = ( x + -u _i ) )
140		negsub 9669	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. CC /\ _i e. CC ) -> ( x + -u _i ) = ( x - _i ) )
141	12, 4, 140	sylancl 662	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( x + -u _i ) = ( x - _i ) )
142	139, 141	eqtrd 2475	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( -u _i + x ) = ( x - _i ) )
143	133, 136, 142	3eqtrd 2479	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( 1 + ( _i x. x ) ) / _i ) = ( x - _i ) )
144	143	oveq2d 6119	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( 1 / ( ( 1 + ( _i x. x ) ) / _i ) ) = ( 1 / ( x - _i ) ) )
145	97, 91, 20, 21	div23d 10156	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( 1 x. _i ) / ( 1 + ( _i x. x ) ) ) = ( ( 1 / ( 1 + ( _i x. x ) ) ) x. _i ) )
146	132, 144, 145	3eqtr3rd 2484	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( 1 / ( 1 + ( _i x. x ) ) ) x. _i ) = ( 1 / ( x - _i ) ) )
147	146	mpteq2dva 4390	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( x e. S |-> ( ( 1 / ( 1 + ( _i x. x ) ) ) x. _i ) ) = ( x e. S |-> ( 1 / ( x - _i ) ) ) )
148	131, 147	eqtrd 2475	. . . . . 6 |- ( T. -> ( CC _D ( x e. S |-> ( log ` ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) ) = ( x e. S |-> ( 1 / ( x - _i ) ) ) )
149	2, 18, 27, 118, 22, 120, 148	dvmptsub 21453	. . . . 5 |- ( T. -> ( CC _D ( x e. S |-> ( ( log ` ( 1 - ( _i x. x ) ) ) - ( log ` ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) ) ) = ( x e. S |-> ( ( 1 / ( x + _i ) ) - ( 1 / ( x - _i ) ) ) ) )
150		subcl 9621	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ _i e. CC ) -> ( x - _i ) e. CC )
151	12, 4, 150	sylancl 662	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( x - _i ) e. CC )
152		addcl 9376	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ _i e. CC ) -> ( x + _i ) e. CC )
153	12, 4, 152	sylancl 662	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( x + _i ) e. CC )
154	12	sqcld 12018	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( x ^ 2 ) e. CC )
155		addcl 9376	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 e. CC /\ ( x ^ 2 ) e. CC ) -> ( 1 + ( x ^ 2 ) ) e. CC )
156	3, 154, 155	sylancr 663	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( 1 + ( x ^ 2 ) ) e. CC )
157		atandm4 22286	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. dom arctan <-> ( x e. CC /\ ( 1 + ( x ^ 2 ) ) =/= 0 ) )
158	157	simprbi 464	. . . . . . . . 9 |- ( x e. dom arctan -> ( 1 + ( x ^ 2 ) ) =/= 0 )
159	9, 158	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( 1 + ( x ^ 2 ) ) =/= 0 )
160	151, 153, 156, 159	divsubdird 10158	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( ( x - _i ) - ( x + _i ) ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) = ( ( ( x - _i ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) - ( ( x + _i ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) ) )
161	141	oveq1d 6118	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( x + -u _i ) - ( x + _i ) ) = ( ( x - _i ) - ( x + _i ) ) )
162	137	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> -u _i e. CC )
163	12, 162, 91	pnpcand 9768	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( x + -u _i ) - ( x + _i ) ) = ( -u _i - _i ) )
164	161, 163	eqtr3d 2477	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( x - _i ) - ( x + _i ) ) = ( -u _i - _i ) )
165		2cn 10404	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. CC
166	165, 4, 92	divreci 10088	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 / _i ) = ( 2 x. ( 1 / _i ) )
167	89	oveq2i 6114	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 x. ( 1 / _i ) ) = ( 2 x. -u _i )
168	166, 167	eqtri 2463	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 / _i ) = ( 2 x. -u _i )
169	137	2timesi 10454	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 x. -u _i ) = ( -u _i + -u _i )
170	137, 4	negsubi 9698	. . . . . . . . . 10 |- ( -u _i + -u _i ) = ( -u _i - _i )
171	168, 169, 170	3eqtri 2467	. . . . . . . . 9 |- ( 2 / _i ) = ( -u _i - _i )
172	164, 171	syl6eqr 2493	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( x - _i ) - ( x + _i ) ) = ( 2 / _i ) )
173	172	oveq1d 6118	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( ( x - _i ) - ( x + _i ) ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) = ( ( 2 / _i ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) )
174	151	mulid1d 9415	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( x - _i ) x. 1 ) = ( x - _i ) )
175	151, 153	mulcomd 9419	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( x - _i ) x. ( x + _i ) ) = ( ( x + _i ) x. ( x - _i ) ) )
176		i2 11978	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( _i ^ 2 ) = -u 1
177	176	oveq2i 6114	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x ^ 2 ) - ( _i ^ 2 ) ) = ( ( x ^ 2 ) - -u 1 )
178		subneg 9670	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x ^ 2 ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( x ^ 2 ) - -u 1 ) = ( ( x ^ 2 ) + 1 ) )
179	154, 3, 178	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( x ^ 2 ) - -u 1 ) = ( ( x ^ 2 ) + 1 ) )
180	177, 179	syl5eq 2487	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( x ^ 2 ) - ( _i ^ 2 ) ) = ( ( x ^ 2 ) + 1 ) )
181		subsq 11985	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. CC /\ _i e. CC ) -> ( ( x ^ 2 ) - ( _i ^ 2 ) ) = ( ( x + _i ) x. ( x - _i ) ) )
182	12, 4, 181	sylancl 662	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( x ^ 2 ) - ( _i ^ 2 ) ) = ( ( x + _i ) x. ( x - _i ) ) )
183		addcom 9567	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x ^ 2 ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( x ^ 2 ) + 1 ) = ( 1 + ( x ^ 2 ) ) )
184	154, 3, 183	sylancl 662	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( x ^ 2 ) + 1 ) = ( 1 + ( x ^ 2 ) ) )
185	180, 182, 184	3eqtr3d 2483	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( x + _i ) x. ( x - _i ) ) = ( 1 + ( x ^ 2 ) ) )
186	175, 185	eqtrd 2475	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( x - _i ) x. ( x + _i ) ) = ( 1 + ( x ^ 2 ) ) )
187	174, 186	oveq12d 6121	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( ( x - _i ) x. 1 ) / ( ( x - _i ) x. ( x + _i ) ) ) = ( ( x - _i ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) )
188		subneg 9670	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. CC /\ _i e. CC ) -> ( x - -u _i ) = ( x + _i ) )
189	12, 4, 188	sylancl 662	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( x - -u _i ) = ( x + _i ) )
190		atandm 22283	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. dom arctan <-> ( x e. CC /\ x =/= -u _i /\ x =/= _i ) )
191	9, 190	sylib 196	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( x e. CC /\ x =/= -u _i /\ x =/= _i ) )
192	191	simp2d 1001	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> x =/= -u _i )
193		subeq0 9647	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. CC /\ -u _i e. CC ) -> ( ( x - -u _i ) = 0 <-> x = -u _i ) )
194	193	necon3bid 2655	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. CC /\ -u _i e. CC ) -> ( ( x - -u _i ) =/= 0 <-> x =/= -u _i ) )
195	12, 137, 194	sylancl 662	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( x - -u _i ) =/= 0 <-> x =/= -u _i ) )
196	192, 195	mpbird 232	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( x - -u _i ) =/= 0 )
197	189, 196	eqnetrrd 2640	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( x + _i ) =/= 0 )
198	191	simp3d 1002	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> x =/= _i )
199		subeq0 9647	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. CC /\ _i e. CC ) -> ( ( x - _i ) = 0 <-> x = _i ) )
200	199	necon3bid 2655	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. CC /\ _i e. CC ) -> ( ( x - _i ) =/= 0 <-> x =/= _i ) )
201	12, 4, 200	sylancl 662	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( x - _i ) =/= 0 <-> x =/= _i ) )
202	198, 201	mpbird 232	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( x - _i ) =/= 0 )
203	97, 153, 151, 197, 202	divcan5d 10145	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( ( x - _i ) x. 1 ) / ( ( x - _i ) x. ( x + _i ) ) ) = ( 1 / ( x + _i ) ) )
204	187, 203	eqtr3d 2477	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( x - _i ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) = ( 1 / ( x + _i ) ) )
205	153	mulid1d 9415	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( x + _i ) x. 1 ) = ( x + _i ) )
206	205, 185	oveq12d 6121	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( ( x + _i ) x. 1 ) / ( ( x + _i ) x. ( x - _i ) ) ) = ( ( x + _i ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) )
207	97, 151, 153, 202, 197	divcan5d 10145	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( ( x + _i ) x. 1 ) / ( ( x + _i ) x. ( x - _i ) ) ) = ( 1 / ( x - _i ) ) )
208	206, 207	eqtr3d 2477	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( x + _i ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) = ( 1 / ( x - _i ) ) )
209	204, 208	oveq12d 6121	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( ( x - _i ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) - ( ( x + _i ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) ) = ( ( 1 / ( x + _i ) ) - ( 1 / ( x - _i ) ) ) )
210	160, 173, 209	3eqtr3rd 2484	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( 1 / ( x + _i ) ) - ( 1 / ( x - _i ) ) ) = ( ( 2 / _i ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) )
211	210	mpteq2dva 4390	. . . . 5 |- ( T. -> ( x e. S |-> ( ( 1 / ( x + _i ) ) - ( 1 / ( x - _i ) ) ) ) = ( x e. S |-> ( ( 2 / _i ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) ) )
212	149, 211	eqtrd 2475	. . . 4 |- ( T. -> ( CC _D ( x e. S |-> ( ( log ` ( 1 - ( _i x. x ) ) ) - ( log ` ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) ) ) = ( x e. S |-> ( ( 2 / _i ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) ) )
213		halfcl 10562	. . . . 5 |- ( _i e. CC -> ( _i / 2 ) e. CC )
214	4, 213	mp1i 12	. . . 4 |- ( T. -> ( _i / 2 ) e. CC )
215	2, 23, 25, 212, 214	dvmptcmul 21450	. . 3 |- ( T. -> ( CC _D ( x e. S |-> ( ( _i / 2 ) x. ( ( log ` ( 1 - ( _i x. x ) ) ) - ( log ` ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) ) ) ) = ( x e. S |-> ( ( _i / 2 ) x. ( ( 2 / _i ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
216		df-atan 22274	. . . . . . 7 |- arctan = ( x e. ( CC \ { -u _i , _i } ) |-> ( ( _i / 2 ) x. ( ( log ` ( 1 - ( _i x. x ) ) ) - ( log ` ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) ) )
217	216	reseq1i 5118	. . . . . 6 |- (arctan |` S ) = ( ( x e. ( CC \ { -u _i , _i } ) |-> ( ( _i / 2 ) x. ( ( log ` ( 1 - ( _i x. x ) ) ) - ( log ` ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) ) ) |` S )
218		atanf 22287	. . . . . . . . 9 |- arctan : ( CC \ { -u _i , _i } ) --> CC
219	218	fdmi 5576	. . . . . . . 8 |- dom arctan = ( CC \ { -u _i , _i } )
220	7, 219	sseqtri 3400	. . . . . . 7 |- S C_ ( CC \ { -u _i , _i } )
221		resmpt 5168	. . . . . . 7 |- ( S C_ ( CC \ { -u _i , _i } ) -> ( ( x e. ( CC \ { -u _i , _i } ) |-> ( ( _i / 2 ) x. ( ( log ` ( 1 - ( _i x. x ) ) ) - ( log ` ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) ) ) |` S ) = ( x e. S |-> ( ( _i / 2 ) x. ( ( log ` ( 1 - ( _i x. x ) ) ) - ( log ` ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) ) ) )
222	220, 221	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( CC \ { -u _i , _i } ) |-> ( ( _i / 2 ) x. ( ( log ` ( 1 - ( _i x. x ) ) ) - ( log ` ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) ) ) |` S ) = ( x e. S |-> ( ( _i / 2 ) x. ( ( log ` ( 1 - ( _i x. x ) ) ) - ( log ` ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) ) )
223	217, 222	eqtri 2463	. . . . 5 |- (arctan |` S ) = ( x e. S |-> ( ( _i / 2 ) x. ( ( log ` ( 1 - ( _i x. x ) ) ) - ( log ` ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) ) )
224	223	a1i 11	. . . 4 |- ( T. -> (arctan |` S ) = ( x e. S |-> ( ( _i / 2 ) x. ( ( log ` ( 1 - ( _i x. x ) ) ) - ( log ` ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) ) ) )
225	224	oveq2d 6119	. . 3 |- ( T. -> ( CC _D (arctan |` S ) ) = ( CC _D ( x e. S |-> ( ( _i / 2 ) x. ( ( log ` ( 1 - ( _i x. x ) ) ) - ( log ` ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) ) ) ) )
226		2ne0 10426	. . . . . . 7 |- 2 =/= 0
227		divcan6 10050	. . . . . . 7 |- ( ( ( _i e. CC /\ _i =/= 0 ) /\ ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) ) -> ( ( _i / 2 ) x. ( 2 / _i ) ) = 1 )
228	4, 92, 165, 226, 227	mp4an 673	. . . . . 6 |- ( ( _i / 2 ) x. ( 2 / _i ) ) = 1
229	228	oveq1i 6113	. . . . 5 |- ( ( ( _i / 2 ) x. ( 2 / _i ) ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) = ( 1 / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) )
230	4, 213	mp1i 12	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( _i / 2 ) e. CC )
231	165, 4, 92	divcli 10085	. . . . . . 7 |- ( 2 / _i ) e. CC
232	231	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( 2 / _i ) e. CC )
233	230, 232, 156, 159	divassd 10154	. . . . 5 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( ( _i / 2 ) x. ( 2 / _i ) ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) = ( ( _i / 2 ) x. ( ( 2 / _i ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) ) )
234	229, 233	syl5eqr 2489	. . . 4 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( 1 / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) = ( ( _i / 2 ) x. ( ( 2 / _i ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) ) )
235	234	mpteq2dva 4390	. . 3 |- ( T. -> ( x e. S |-> ( 1 / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) ) = ( x e. S |-> ( ( _i / 2 ) x. ( ( 2 / _i ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
236	215, 225, 235	3eqtr4d 2485	. 2 |- ( T. -> ( CC _D (arctan |` S ) ) = ( x e. S |-> ( 1 / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) ) )
237	236	trud 1378	1 |- ( CC _D (arctan |` S ) ) = ( x e. S |-> ( 1 / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) )

Syntax hints:   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   T. wtru 1370   e. wcel 1756   =/= wne 2618   {crab 2731   _Vcvv 2984   \ cdif 3337   C_ wss 3340   {csn 3889   {cpr 3891   e. cmpt 4362   dom cdm 4852   ran crn 4853   |` cres 4854   -->wf 5426   -1-1-onto->wf1o 5429   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   CCcc 9292   RRcr 9293   0cc0 9294   1c1 9295   _ici 9296   + caddc 9297   x. cmul 9299   -oocmnf 9428   - cmin 9607   -ucneg 9608   / cdiv 10005   2c2 10383   (,]cioc 11313   ^cexp 11877   ↾_t crest 14371   TopOpenctopn 14372  ℂ_fldccnfld 17830   Topctop 18510  TopOnctopon 18511   _D cdv 21350   logclog 22018  arctancatan 22271

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-inf2 7859  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371  ax-pre-sup 9372  ax-addf 9373  ax-mulf 9374

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-iin 4186  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-se 4692  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-isom 5439  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-of 6332  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-supp 6703  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-2o 6933  df-oadd 6936  df-er 7113  df-map 7228  df-pm 7229  df-ixp 7276  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-fsupp 7633  df-fi 7673  df-sup 7703  df-oi 7736  df-card 8121  df-cda 8349  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-div 10006  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-4 10394  df-5 10395  df-6 10396  df-7 10397  df-8 10398  df-9 10399  df-10 10400  df-n0 10592  df-z 10659  df-dec 10768  df-uz 10874  df-q 10966  df-rp 11004  df-xneg 11101  df-xadd 11102  df-xmul 11103  df-ioo 11316  df-ioc 11317  df-ico 11318  df-icc 11319  df-fz 11450  df-fzo 11561  df-fl 11654  df-mod 11721  df-seq 11819  df-exp 11878  df-fac 12064  df-bc 12091  df-hash 12116  df-shft 12568  df-cj 12600  df-re 12601  df-im 12602  df-sqr 12736  df-abs 12737  df-limsup 12961  df-clim 12978  df-rlim 12979  df-sum 13176  df-ef 13365  df-sin 13367  df-cos 13368  df-tan 13369  df-pi 13370  df-struct 14188  df-ndx 14189  df-slot 14190  df-base 14191  df-sets 14192  df-ress 14193  df-plusg 14263  df-mulr 14264  df-starv 14265  df-sca 14266  df-vsca 14267  df-ip 14268  df-tset 14269  df-ple 14270  df-ds 14272  df-unif 14273  df-hom 14274  df-cco 14275  df-rest 14373  df-topn 14374  df-0g 14392  df-gsum 14393  df-topgen 14394  df-pt 14395  df-prds 14398  df-xrs 14452  df-qtop 14457  df-imas 14458  df-xps 14460  df-mre 14536  df-mrc 14537  df-acs 14539  df-mnd 15427  df-submnd 15477  df-mulg 15560  df-cntz 15847  df-cmn 16291  df-psmet 17821  df-xmet 17822  df-met 17823  df-bl 17824  df-mopn 17825  df-fbas 17826  df-fg 17827  df-cnfld 17831  df-top 18515  df-bases 18517  df-topon 18518  df-topsp 18519  df-cld 18635  df-ntr 18636  df-cls 18637  df-nei 18714  df-lp 18752  df-perf 18753  df-cn 18843  df-cnp 18844  df-haus 18931  df-cmp 19002  df-tx 19147  df-hmeo 19340  df-fil 19431  df-fm 19523  df-flim 19524  df-flf 19525  df-xms 19907  df-ms 19908  df-tms 19909  df-cncf 20466  df-limc 21353  df-dv 21354  df-log 22020  df-atan 22274

This theorem is referenced by:  atancn  22343