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Theorem dvatan 22289
Description: The derivative of the arctangent. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
atansopn.d  |-  D  =  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) )
atansopn.s  |-  S  =  { y  e.  CC  |  ( 1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  D }
Assertion
Ref Expression
dvatan  |-  ( CC 
_D  (arctan  |`  S ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( 1  /  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, D    x, S
Allowed substitution hint:    S( y)

Proof of Theorem dvatan
StepHypRef Expression
1 cnelprrecn 9371 . . . . 5  |-  CC  e.  { RR ,  CC }
21a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  CC  e.  { RR ,  CC } )
3 ax-1cn 9336 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
4 ax-icn 9337 . . . . . . . 8  |-  _i  e.  CC
5 atansopn.d . . . . . . . . . . . 12  |-  D  =  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) )
6 atansopn.s . . . . . . . . . . . 12  |-  S  =  { y  e.  CC  |  ( 1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  D }
75, 6atansssdm 22287 . . . . . . . . . . 11  |-  S  C_  dom arctan
8 simpr 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  S )
97, 8sseldi 3351 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  dom arctan )
10 atandm2 22231 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  dom arctan  <->  ( x  e.  CC  /\  ( 1  -  ( _i  x.  x ) )  =/=  0  /\  ( 1  +  ( _i  x.  x ) )  =/=  0 ) )
119, 10sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
x  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  x )
)  =/=  0  /\  ( 1  +  ( _i  x.  x ) )  =/=  0 ) )
1211simp1d 995 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  CC )
13 mulcl 9362 . . . . . . . 8  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( _i  x.  x
)  e.  CC )
144, 12, 13sylancr 658 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
_i  x.  x )  e.  CC )
15 subcl 9605 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( _i  x.  x
)  e.  CC )  ->  ( 1  -  ( _i  x.  x
) )  e.  CC )
163, 14, 15sylancr 658 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  -  ( _i  x.  x ) )  e.  CC )
1711simp2d 996 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  -  ( _i  x.  x ) )  =/=  0 )
1816, 17logcld 21981 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  x
) ) )  e.  CC )
19 addcl 9360 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( _i  x.  x
)  e.  CC )  ->  ( 1  +  ( _i  x.  x
) )  e.  CC )
203, 14, 19sylancr 658 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  +  ( _i  x.  x ) )  e.  CC )
2111simp3d 997 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  +  ( _i  x.  x ) )  =/=  0 )
2220, 21logcld 21981 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  x
) ) )  e.  CC )
2318, 22subcld 9715 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( log `  (
1  -  ( _i  x.  x ) ) )  -  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  x ) ) ) )  e.  CC )
24 ovex 6115 . . . . 5  |-  ( ( 2  /  _i )  /  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) )  e. 
_V
2524a1i 11 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 2  /  _i )  /  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) )  e. 
_V )
26 ovex 6115 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  ( x  +  _i ) )  e.  _V
2726a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  /  ( x  +  _i ) )  e.  _V )
285, 6atans2 22285 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  S  <->  ( x  e.  CC  /\  ( 1  -  ( _i  x.  x ) )  e.  D  /\  ( 1  +  ( _i  x.  x ) )  e.  D ) )
2928simp2bi 999 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  S  ->  (
1  -  ( _i  x.  x ) )  e.  D )
3029adantl 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  -  ( _i  x.  x ) )  e.  D )
31 negex 9604 . . . . . . . . 9  |-  -u _i  e.  _V
3231a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  -u _i  e.  _V )
335logdmss 22046 . . . . . . . . . 10  |-  D  C_  ( CC  \  { 0 } )
34 simpr 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  y  e.  D )  ->  y  e.  D )
3533, 34sseldi 3351 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  y  e.  D )  ->  y  e.  ( CC  \  {
0 } ) )
36 logf1o 21975 . . . . . . . . . . 11  |-  log :
( CC  \  {
0 } ) -1-1-onto-> ran  log
37 f1of 5638 . . . . . . . . . . 11  |-  ( log
: ( CC  \  { 0 } ) -1-1-onto-> ran 
log  ->  log : ( CC 
\  { 0 } ) --> ran  log )
3836, 37ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  log :
( CC  \  {
0 } ) --> ran 
log
3938ffvelrni 5839 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( log `  y
)  e.  ran  log )
40 logrncn 21973 . . . . . . . . 9  |-  ( ( log `  y )  e.  ran  log  ->  ( log `  y )  e.  CC )
4135, 39, 403syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  y  e.  D )  ->  ( log `  y )  e.  CC )
42 ovex 6115 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  /  y )  e. 
_V
4342a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  y  e.  D )  ->  (
1  /  y )  e.  _V )
444a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  _i  e.  CC )
4544, 13sylan 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  CC )  ->  (
_i  x.  x )  e.  CC )
463, 45, 15sylancr 658 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  CC )  ->  (
1  -  ( _i  x.  x ) )  e.  CC )
4731a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  CC )  ->  -u _i  e.  _V )
48 1cnd 9398 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  CC )  ->  1  e.  CC )
49 0cnd 9375 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  CC )  ->  0  e.  CC )
50 1cnd 9398 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T. 
->  1  e.  CC )
512, 50dvmptc 21391 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  1 ) )  =  ( x  e.  CC  |->  0 ) )
524a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  CC )  ->  _i  e.  CC )
53 simpr 458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  CC )  ->  x  e.  CC )
542dvmptid 21390 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  x ) )  =  ( x  e.  CC  |->  1 ) )
552, 53, 48, 54, 44dvmptcmul 21397 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( _i  x.  x ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( _i  x.  1 ) ) )
564mulid1i 9384 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( _i  x.  1 )  =  _i
5756mpteq2i 4372 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  CC  |->  ( _i  x.  1 ) )  =  ( x  e.  CC  |->  _i )
5855, 57syl6eq 2489 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( _i  x.  x ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  _i ) )
592, 48, 49, 51, 45, 52, 58dvmptsub 21400 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( 1  -  ( _i  x.  x ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( 0  -  _i ) ) )
60 df-neg 9594 . . . . . . . . . . 11  |-  -u _i  =  ( 0  -  _i )
6160mpteq2i 4372 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  |->  -u _i )  =  ( x  e.  CC  |->  ( 0  -  _i ) )
6259, 61syl6eqr 2491 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( 1  -  ( _i  x.  x ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  -u _i ) )
63 eqid 2441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
6463cnfldtopon 20321 . . . . . . . . . . 11  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
655, 6atansopn 22286 . . . . . . . . . . 11  |-  S  e.  ( TopOpen ` fld )
66 toponss 18493 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  /\  S  e.  ( TopOpen ` fld ) )  ->  S  C_  CC )
6764, 65, 66mp2an 667 . . . . . . . . . 10  |-  S  C_  CC
6867a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  S  C_  CC )
6963cnfldtop 20322 . . . . . . . . . . 11  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Top
7064toponunii 18496 . . . . . . . . . . . 12  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
7170restid 14368 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  Top  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld ) )
7269, 71ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld )
7372eqcomi 2445 . . . . . . . . 9  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )
7465a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  S  e.  ( TopOpen
` fld
) )
752, 46, 47, 62, 68, 73, 63, 74dvmptres 21396 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  S  |->  ( 1  -  ( _i  x.  x ) ) ) )  =  ( x  e.  S  |->  -u _i ) )
76 fssres 5575 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( log : ( CC 
\  { 0 } ) --> ran  log  /\  D  C_  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( log  |`  D ) : D --> ran  log )
7738, 33, 76mp2an 667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( log  |`  D ) : D --> ran  log
7877a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T. 
->  ( log  |`  D ) : D --> ran  log )
7978feqmptd 5741 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  ( log  |`  D )  =  ( y  e.  D  |->  ( ( log  |`  D ) `  y
) ) )
80 fvres 5701 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  D  ->  (
( log  |`  D ) `
 y )  =  ( log `  y
) )
8180mpteq2ia 4371 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  D  |->  ( ( log  |`  D ) `  y ) )  =  ( y  e.  D  |->  ( log `  y
) )
8279, 81syl6req 2490 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  ( y  e.  D  |->  ( log `  y
) )  =  ( log  |`  D )
)
8382oveq2d 6106 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
y  e.  D  |->  ( log `  y ) ) )  =  ( CC  _D  ( log  |`  D ) ) )
845dvlog 22055 . . . . . . . . 9  |-  ( CC 
_D  ( log  |`  D ) )  =  ( y  e.  D  |->  ( 1  /  y ) )
8583, 84syl6eq 2489 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
y  e.  D  |->  ( log `  y ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  ( 1  /  y ) ) )
86 fveq2 5688 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( 1  -  ( _i  x.  x
) )  ->  ( log `  y )  =  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  x ) ) ) )
87 oveq2 6098 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( 1  -  ( _i  x.  x
) )  ->  (
1  /  y )  =  ( 1  / 
( 1  -  (
_i  x.  x )
) ) )
882, 2, 30, 32, 41, 43, 75, 85, 86, 87dvmptco 21405 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  S  |->  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  x ) ) ) ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( ( 1  /  (
1  -  ( _i  x.  x ) ) )  x.  -u _i ) ) )
89 irec 11961 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  /  _i )  = 
-u _i
9089oveq2i 6101 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  /  ( 1  -  ( _i  x.  x ) ) )  x.  ( 1  /  _i ) )  =  ( ( 1  /  (
1  -  ( _i  x.  x ) ) )  x.  -u _i )
914a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  _i  e.  CC )
92 ine0 9776 . . . . . . . . . . . 12  |-  _i  =/=  0
9392a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  _i  =/=  0 )
9416, 91, 17, 93recdiv2d 10121 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 1  /  (
1  -  ( _i  x.  x ) ) )  /  _i )  =  ( 1  / 
( ( 1  -  ( _i  x.  x
) )  x.  _i ) ) )
9516, 17reccld 10096 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  /  ( 1  -  ( _i  x.  x ) ) )  e.  CC )
9695, 91, 93divrecd 10106 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 1  /  (
1  -  ( _i  x.  x ) ) )  /  _i )  =  ( ( 1  /  ( 1  -  ( _i  x.  x
) ) )  x.  ( 1  /  _i ) ) )
97 1cnd 9398 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  1  e.  CC )
9897, 14, 91subdird 9797 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 1  -  (
_i  x.  x )
)  x.  _i )  =  ( ( 1  x.  _i )  -  ( ( _i  x.  x )  x.  _i ) ) )
994mulid2i 9385 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  x.  _i )  =  _i
10099a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  x.  _i )  =  _i )
10191, 12, 91mul32d 9575 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( _i  x.  x
)  x.  _i )  =  ( ( _i  x.  _i )  x.  x ) )
102 ixi 9961 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( _i  x.  _i )  = 
-u 1
103102oveq1i 6100 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( _i  x.  _i )  x.  x )  =  ( -u 1  x.  x )
10412mulm1d 9792 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  ( -u 1  x.  x )  =  -u x )
105103, 104syl5eq 2485 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( _i  x.  _i )  x.  x )  =  -u x )
106101, 105eqtrd 2473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( _i  x.  x
)  x.  _i )  =  -u x )
107100, 106oveq12d 6108 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 1  x.  _i )  -  ( (
_i  x.  x )  x.  _i ) )  =  ( _i  -  -u x
) )
108 subneg 9654 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( _i  -  -u x
)  =  ( _i  +  x ) )
1094, 12, 108sylancr 658 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
_i  -  -u x )  =  ( _i  +  x ) )
11098, 107, 1093eqtrd 2477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 1  -  (
_i  x.  x )
)  x.  _i )  =  ( _i  +  x ) )
111 addcom 9551 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( _i  +  x
)  =  ( x  +  _i ) )
1124, 12, 111sylancr 658 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
_i  +  x )  =  ( x  +  _i ) )
113110, 112eqtrd 2473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 1  -  (
_i  x.  x )
)  x.  _i )  =  ( x  +  _i ) )
114113oveq2d 6106 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  /  ( ( 1  -  ( _i  x.  x ) )  x.  _i ) )  =  ( 1  / 
( x  +  _i ) ) )
11594, 96, 1143eqtr3d 2481 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 1  /  (
1  -  ( _i  x.  x ) ) )  x.  ( 1  /  _i ) )  =  ( 1  / 
( x  +  _i ) ) )
11690, 115syl5eqr 2487 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 1  /  (
1  -  ( _i  x.  x ) ) )  x.  -u _i )  =  ( 1  /  ( x  +  _i ) ) )
117116mpteq2dva 4375 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( x  e.  S  |->  ( ( 1  / 
( 1  -  (
_i  x.  x )
) )  x.  -u _i ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( 1  /  ( x  +  _i ) ) ) )
11888, 117eqtrd 2473 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  S  |->  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  x ) ) ) ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( 1  /  ( x  +  _i ) ) ) )
119 ovex 6115 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  ( x  -  _i ) )  e.  _V
120119a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  /  ( x  -  _i ) )  e.  _V )
12128simp3bi 1000 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  S  ->  (
1  +  ( _i  x.  x ) )  e.  D )
122121adantl 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  +  ( _i  x.  x ) )  e.  D )
1233, 45, 19sylancr 658 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  CC )  ->  (
1  +  ( _i  x.  x ) )  e.  CC )
1242, 48, 49, 51, 45, 52, 58dvmptadd 21393 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( 1  +  ( _i  x.  x ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( 0  +  _i ) ) )
1254addid2i 9553 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  +  _i )  =  _i
126125mpteq2i 4372 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  |->  ( 0  +  _i ) )  =  ( x  e.  CC  |->  _i )
127124, 126syl6eq 2489 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( 1  +  ( _i  x.  x ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  _i ) )
1282, 123, 52, 127, 68, 73, 63, 74dvmptres 21396 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  S  |->  ( 1  +  ( _i  x.  x ) ) ) )  =  ( x  e.  S  |->  _i ) )
129 fveq2 5688 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( 1  +  ( _i  x.  x
) )  ->  ( log `  y )  =  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  x ) ) ) )
130 oveq2 6098 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( 1  +  ( _i  x.  x
) )  ->  (
1  /  y )  =  ( 1  / 
( 1  +  ( _i  x.  x ) ) ) )
1312, 2, 122, 91, 41, 43, 128, 85, 129, 130dvmptco 21405 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  S  |->  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  x ) ) ) ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( ( 1  /  (
1  +  ( _i  x.  x ) ) )  x.  _i ) ) )
13297, 20, 91, 21, 93divdiv2d 10135 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  /  ( ( 1  +  ( _i  x.  x ) )  /  _i ) )  =  ( ( 1  x.  _i )  / 
( 1  +  ( _i  x.  x ) ) ) )
13397, 14, 91, 93divdird 10141 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 1  +  ( _i  x.  x ) )  /  _i )  =  ( ( 1  /  _i )  +  ( ( _i  x.  x )  /  _i ) ) )
13489a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  /  _i )  =  -u _i )
13512, 91, 93divcan3d 10108 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( _i  x.  x
)  /  _i )  =  x )
136134, 135oveq12d 6108 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 1  /  _i )  +  ( (
_i  x.  x )  /  _i ) )  =  ( -u _i  +  x ) )
137 negicn 9607 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -u _i  e.  CC
138 addcom 9551 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
-u _i  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( -u _i  +  x )  =  ( x  +  -u _i ) )
139137, 12, 138sylancr 658 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  ( -u _i  +  x )  =  ( x  +  -u _i ) )
140 negsub 9653 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  _i  e.  CC )  -> 
( x  +  -u _i )  =  (
x  -  _i ) )
14112, 4, 140sylancl 657 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
x  +  -u _i )  =  ( x  -  _i ) )
142139, 141eqtrd 2473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  ( -u _i  +  x )  =  ( x  -  _i ) )
143133, 136, 1423eqtrd 2477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 1  +  ( _i  x.  x ) )  /  _i )  =  ( x  -  _i ) )
144143oveq2d 6106 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  /  ( ( 1  +  ( _i  x.  x ) )  /  _i ) )  =  ( 1  / 
( x  -  _i ) ) )
14597, 91, 20, 21div23d 10140 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 1  x.  _i )  /  ( 1  +  ( _i  x.  x
) ) )  =  ( ( 1  / 
( 1  +  ( _i  x.  x ) ) )  x.  _i ) )
146132, 144, 1453eqtr3rd 2482 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 1  /  (
1  +  ( _i  x.  x ) ) )  x.  _i )  =  ( 1  / 
( x  -  _i ) ) )
147146mpteq2dva 4375 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( x  e.  S  |->  ( ( 1  / 
( 1  +  ( _i  x.  x ) ) )  x.  _i ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( 1  /  ( x  -  _i ) ) ) )
148131, 147eqtrd 2473 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  S  |->  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  x ) ) ) ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( 1  /  ( x  -  _i ) ) ) )
1492, 18, 27, 118, 22, 120, 148dvmptsub 21400 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  S  |->  ( ( log `  (
1  -  ( _i  x.  x ) ) )  -  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  x ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( ( 1  /  ( x  +  _i ) )  -  ( 1  / 
( x  -  _i ) ) ) ) )
150 subcl 9605 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  _i  e.  CC )  -> 
( x  -  _i )  e.  CC )
15112, 4, 150sylancl 657 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
x  -  _i )  e.  CC )
152 addcl 9360 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  _i  e.  CC )  -> 
( x  +  _i )  e.  CC )
15312, 4, 152sylancl 657 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
x  +  _i )  e.  CC )
15412sqcld 12002 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
x ^ 2 )  e.  CC )
155 addcl 9360 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( x ^ 2 )  e.  CC )  ->  ( 1  +  ( x ^ 2 ) )  e.  CC )
1563, 154, 155sylancr 658 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  +  ( x ^ 2 ) )  e.  CC )
157 atandm4 22233 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  dom arctan  <->  ( x  e.  CC  /\  ( 1  +  ( x ^
2 ) )  =/=  0 ) )
158157simprbi 461 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  dom arctan  ->  ( 1  +  ( x ^
2 ) )  =/=  0 )
1599, 158syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  +  ( x ^ 2 ) )  =/=  0 )
160151, 153, 156, 159divsubdird 10142 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( ( x  -  _i )  -  (
x  +  _i ) )  /  ( 1  +  ( x ^
2 ) ) )  =  ( ( ( x  -  _i )  /  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) )  -  ( ( x  +  _i )  /  (
1  +  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
161141oveq1d 6105 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  +  -u _i )  -  (
x  +  _i ) )  =  ( ( x  -  _i )  -  ( x  +  _i ) ) )
162137a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  -u _i  e.  CC )
16312, 162, 91pnpcand 9752 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  +  -u _i )  -  (
x  +  _i ) )  =  ( -u _i  -  _i ) )
164161, 163eqtr3d 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  -  _i )  -  ( x  +  _i ) )  =  ( -u _i  -  _i ) )
165 2cn 10388 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  CC
166165, 4, 92divreci 10072 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  /  _i )  =  ( 2  x.  (
1  /  _i ) )
16789oveq2i 6101 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  x.  ( 1  /  _i ) )  =  ( 2  x.  -u _i )
168166, 167eqtri 2461 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  /  _i )  =  ( 2  x.  -u _i )
1691372timesi 10438 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  x.  -u _i )  =  ( -u _i  +  -u _i )
170137, 4negsubi 9682 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u _i  +  -u _i )  =  ( -u _i  -  _i )
171168, 169, 1703eqtri 2465 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  /  _i )  =  ( -u _i  -  _i )
172164, 171syl6eqr 2491 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  -  _i )  -  ( x  +  _i ) )  =  ( 2  /  _i ) )
173172oveq1d 6105 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( ( x  -  _i )  -  (
x  +  _i ) )  /  ( 1  +  ( x ^
2 ) ) )  =  ( ( 2  /  _i )  / 
( 1  +  ( x ^ 2 ) ) ) )
174151mulid1d 9399 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  -  _i )  x.  1 )  =  ( x  -  _i ) )
175151, 153mulcomd 9403 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  -  _i )  x.  ( x  +  _i ) )  =  ( ( x  +  _i )  x.  (
x  -  _i ) ) )
176 i2 11962 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( _i
^ 2 )  = 
-u 1
177176oveq2i 6101 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x ^ 2 )  -  ( _i ^
2 ) )  =  ( ( x ^
2 )  -  -u 1
)
178 subneg 9654 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x ^ 2 )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( x ^
2 )  -  -u 1
)  =  ( ( x ^ 2 )  +  1 ) )
179154, 3, 178sylancl 657 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x ^ 2 )  -  -u 1
)  =  ( ( x ^ 2 )  +  1 ) )
180177, 179syl5eq 2485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x ^ 2 )  -  ( _i
^ 2 ) )  =  ( ( x ^ 2 )  +  1 ) )
181 subsq 11969 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  _i  e.  CC )  -> 
( ( x ^
2 )  -  (
_i ^ 2 ) )  =  ( ( x  +  _i )  x.  ( x  -  _i ) ) )
18212, 4, 181sylancl 657 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x ^ 2 )  -  ( _i
^ 2 ) )  =  ( ( x  +  _i )  x.  ( x  -  _i ) ) )
183 addcom 9551 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x ^ 2 )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( x ^
2 )  +  1 )  =  ( 1  +  ( x ^
2 ) ) )
184154, 3, 183sylancl 657 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x ^ 2 )  +  1 )  =  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) )
185180, 182, 1843eqtr3d 2481 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  +  _i )  x.  ( x  -  _i ) )  =  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) )
186175, 185eqtrd 2473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  -  _i )  x.  ( x  +  _i ) )  =  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) )
187174, 186oveq12d 6108 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( ( x  -  _i )  x.  1
)  /  ( ( x  -  _i )  x.  ( x  +  _i ) ) )  =  ( ( x  -  _i )  /  (
1  +  ( x ^ 2 ) ) ) )
188 subneg 9654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  /\  _i  e.  CC )  -> 
( x  -  -u _i )  =  ( x  +  _i ) )
18912, 4, 188sylancl 657 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
x  -  -u _i )  =  ( x  +  _i ) )
190 atandm 22230 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  dom arctan  <->  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  -u _i  /\  x  =/=  _i ) )
1919, 190sylib 196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
x  e.  CC  /\  x  =/=  -u _i  /\  x  =/=  _i ) )
192191simp2d 996 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  x  =/=  -u _i )
193 subeq0 9631 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  CC  /\  -u _i  e.  CC )  ->  ( ( x  -  -u _i )  =  0  <->  x  =  -u _i ) )
194193necon3bid 2641 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  -u _i  e.  CC )  ->  ( ( x  -  -u _i )  =/=  0  <->  x  =/=  -u _i ) )
19512, 137, 194sylancl 657 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  -  -u _i )  =/=  0  <->  x  =/=  -u _i ) )
196192, 195mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
x  -  -u _i )  =/=  0 )
197189, 196eqnetrrd 2626 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
x  +  _i )  =/=  0 )
198191simp3d 997 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  x  =/=  _i )
199 subeq0 9631 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  _i  e.  CC )  -> 
( ( x  -  _i )  =  0  <->  x  =  _i ) )
200199necon3bid 2641 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  /\  _i  e.  CC )  -> 
( ( x  -  _i )  =/=  0  <->  x  =/=  _i ) )
20112, 4, 200sylancl 657 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  -  _i )  =/=  0  <->  x  =/=  _i ) )
202198, 201mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
x  -  _i )  =/=  0 )
20397, 153, 151, 197, 202divcan5d 10129 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( ( x  -  _i )  x.  1
)  /  ( ( x  -  _i )  x.  ( x  +  _i ) ) )  =  ( 1  /  (
x  +  _i ) ) )
204187, 203eqtr3d 2475 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  -  _i )  /  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) )  =  ( 1  /  (
x  +  _i ) ) )
205153mulid1d 9399 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  +  _i )  x.  1 )  =  ( x  +  _i ) )
206205, 185oveq12d 6108 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( ( x  +  _i )  x.  1
)  /  ( ( x  +  _i )  x.  ( x  -  _i ) ) )  =  ( ( x  +  _i )  /  (
1  +  ( x ^ 2 ) ) ) )
20797, 151, 153, 202, 197divcan5d 10129 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( ( x  +  _i )  x.  1
)  /  ( ( x  +  _i )  x.  ( x  -  _i ) ) )  =  ( 1  /  (
x  -  _i ) ) )
208206, 207eqtr3d 2475 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  +  _i )  /  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) )  =  ( 1  /  (
x  -  _i ) ) )
209204, 208oveq12d 6108 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( ( x  -  _i )  /  (
1  +  ( x ^ 2 ) ) )  -  ( ( x  +  _i )  /  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( 1  /  ( x  +  _i ) )  -  (
1  /  ( x  -  _i ) ) ) )
210160, 173, 2093eqtr3rd 2482 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 1  /  (
x  +  _i ) )  -  ( 1  /  ( x  -  _i ) ) )  =  ( ( 2  /  _i )  /  (
1  +  ( x ^ 2 ) ) ) )
211210mpteq2dva 4375 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( x  e.  S  |->  ( ( 1  / 
( x  +  _i ) )  -  (
1  /  ( x  -  _i ) ) ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( ( 2  /  _i )  /  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
212149, 211eqtrd 2473 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  S  |->  ( ( log `  (
1  -  ( _i  x.  x ) ) )  -  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  x ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( ( 2  /  _i )  /  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
213 halfcl 10546 . . . . 5  |-  ( _i  e.  CC  ->  (
_i  /  2 )  e.  CC )
2144, 213mp1i 12 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( _i  /  2
)  e.  CC )
2152, 23, 25, 212, 214dvmptcmul 21397 . . 3  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  S  |->  ( ( _i  /  2
)  x.  ( ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  x ) ) )  -  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  x ) ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( ( _i  /  2 )  x.  ( ( 2  /  _i )  / 
( 1  +  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
216 df-atan 22221 . . . . . . 7  |- arctan  =  ( x  e.  ( CC 
\  { -u _i ,  _i } )  |->  ( ( _i  /  2
)  x.  ( ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  x ) ) )  -  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  x ) ) ) ) ) )
217216reseq1i 5102 . . . . . 6  |-  (arctan  |`  S )  =  ( ( x  e.  ( CC  \  { -u _i ,  _i } )  |->  ( ( _i  /  2 )  x.  ( ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  x )
) )  -  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  x
) ) ) ) ) )  |`  S )
218 atanf 22234 . . . . . . . . 9  |- arctan : ( CC  \  { -u _i ,  _i }
) --> CC
219218fdmi 5561 . . . . . . . 8  |-  dom arctan  =  ( CC  \  { -u _i ,  _i }
)
2207, 219sseqtri 3385 . . . . . . 7  |-  S  C_  ( CC  \  { -u _i ,  _i }
)
221 resmpt 5153 . . . . . . 7  |-  ( S 
C_  ( CC  \  { -u _i ,  _i } )  ->  (
( x  e.  ( CC  \  { -u _i ,  _i }
)  |->  ( ( _i 
/  2 )  x.  ( ( log `  (
1  -  ( _i  x.  x ) ) )  -  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  x ) ) ) ) ) )  |`  S )  =  ( x  e.  S  |->  ( ( _i 
/  2 )  x.  ( ( log `  (
1  -  ( _i  x.  x ) ) )  -  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  x ) ) ) ) ) ) )
222220, 221ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { -u _i ,  _i } )  |->  ( ( _i  /  2
)  x.  ( ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  x ) ) )  -  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  x ) ) ) ) ) )  |`  S )  =  ( x  e.  S  |->  ( ( _i  /  2
)  x.  ( ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  x ) ) )  -  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  x ) ) ) ) ) )
223217, 222eqtri 2461 . . . . 5  |-  (arctan  |`  S )  =  ( x  e.  S  |->  ( ( _i 
/  2 )  x.  ( ( log `  (
1  -  ( _i  x.  x ) ) )  -  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  x ) ) ) ) ) )
224223a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  (arctan  |`  S )  =  ( x  e.  S  |->  ( ( _i  / 
2 )  x.  (
( log `  (
1  -  ( _i  x.  x ) ) )  -  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  x ) ) ) ) ) ) )
225224oveq2d 6106 . . 3  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (arctan  |`  S ) )  =  ( CC  _D  (
x  e.  S  |->  ( ( _i  /  2
)  x.  ( ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  x ) ) )  -  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  x ) ) ) ) ) ) ) )
226 2ne0 10410 . . . . . . 7  |-  2  =/=  0
227 divcan6 10034 . . . . . . 7  |-  ( ( ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0 )  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  -> 
( ( _i  / 
2 )  x.  (
2  /  _i ) )  =  1 )
2284, 92, 165, 226, 227mp4an 668 . . . . . 6  |-  ( ( _i  /  2 )  x.  ( 2  /  _i ) )  =  1
229228oveq1i 6100 . . . . 5  |-  ( ( ( _i  /  2
)  x.  ( 2  /  _i ) )  /  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) )  =  ( 1  /  (
1  +  ( x ^ 2 ) ) )
2304, 213mp1i 12 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
_i  /  2 )  e.  CC )
231165, 4, 92divcli 10069 . . . . . . 7  |-  ( 2  /  _i )  e.  CC
232231a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
2  /  _i )  e.  CC )
233230, 232, 156, 159divassd 10138 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( ( _i  / 
2 )  x.  (
2  /  _i ) )  /  ( 1  +  ( x ^
2 ) ) )  =  ( ( _i 
/  2 )  x.  ( ( 2  /  _i )  /  (
1  +  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
234229, 233syl5eqr 2487 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  /  ( 1  +  ( x ^
2 ) ) )  =  ( ( _i 
/  2 )  x.  ( ( 2  /  _i )  /  (
1  +  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
235234mpteq2dva 4375 . . 3  |-  ( T. 
->  ( x  e.  S  |->  ( 1  /  (
1  +  ( x ^ 2 ) ) ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( ( _i  /  2
)  x.  ( ( 2  /  _i )  /  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
236215, 225, 2353eqtr4d 2483 . 2  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (arctan  |`  S ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( 1  /  (
1  +  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
237236trud 1373 1  |-  ( CC 
_D  (arctan  |`  S ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( 1  /  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364   T. wtru 1365    e. wcel 1761    =/= wne 2604   {crab 2717   _Vcvv 2970    \ cdif 3322    C_ wss 3325   {csn 3874   {cpr 3876    e. cmpt 4347   dom cdm 4836   ran crn 4837    |` cres 4838   -->wf 5411   -1-1-onto->wf1o 5414   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   CCcc 9276   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279   _ici 9280    + caddc 9281    x. cmul 9283   -oocmnf 9412    - cmin 9591   -ucneg 9592    / cdiv 9989   2c2 10367   (,]cioc 11297   ^cexp 11861   ↾t crest 14355   TopOpenctopn 14356  ℂfldccnfld 17777   Topctop 18457  TopOnctopon 18458    _D cdv 21297   logclog 21965  arctancatan 22218
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-addf 9357  ax-mulf 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-fi 7657  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ioo 11300  df-ioc 11301  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-mod 11705  df-seq 11803  df-exp 11862  df-fac 12048  df-bc 12075  df-hash 12100  df-shft 12552  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-limsup 12945  df-clim 12962  df-rlim 12963  df-sum 13160  df-ef 13349  df-sin 13351  df-cos 13352  df-tan 13353  df-pi 13354  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-hom 14258  df-cco 14259  df-rest 14357  df-topn 14358  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-topgen 14378  df-pt 14379  df-prds 14382  df-xrs 14436  df-qtop 14441  df-imas 14442  df-xps 14444  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-submnd 15461  df-mulg 15541  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-psmet 17768  df-xmet 17769  df-met 17770  df-bl 17771  df-mopn 17772  df-fbas 17773  df-fg 17774  df-cnfld 17778  df-top 18462  df-bases 18464  df-topon 18465  df-topsp 18466  df-cld 18582  df-ntr 18583  df-cls 18584  df-nei 18661  df-lp 18699  df-perf 18700  df-cn 18790  df-cnp 18791  df-haus 18878  df-cmp 18949  df-tx 19094  df-hmeo 19287  df-fil 19378  df-fm 19470  df-flim 19471  df-flf 19472  df-xms 19854  df-ms 19855  df-tms 19856  df-cncf 20413  df-limc 21300  df-dv 21301  df-log 21967  df-atan 22221
This theorem is referenced by:  atancn  22290
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