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Theorem dvasin 31732
Description: Derivative of arcsine. (Contributed by Brendan Leahy, 18-Dec-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
dvasin.d  |-  D  =  ( CC  \  (
( -oo (,] -u 1
)  u.  ( 1 [,) +oo ) ) )
Assertion
Ref Expression
dvasin  |-  ( CC 
_D  (arcsin  |`  D ) )  =  ( x  e.  D  |->  ( 1  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
Distinct variable group:    x, D

Proof of Theorem dvasin
Dummy variables  y 
z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-asin 23656 . . . . 5  |- arcsin  =  ( x  e.  CC  |->  (
-u _i  x.  ( log `  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
21reseq1i 5121 . . . 4  |-  (arcsin  |`  D )  =  ( ( x  e.  CC  |->  ( -u _i  x.  ( log `  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) ) )  |`  D )
3 dvasin.d . . . . . 6  |-  D  =  ( CC  \  (
( -oo (,] -u 1
)  u.  ( 1 [,) +oo ) ) )
4 difss 3598 . . . . . 6  |-  ( CC 
\  ( ( -oo (,] -u 1 )  u.  ( 1 [,) +oo ) ) )  C_  CC
53, 4eqsstri 3500 . . . . 5  |-  D  C_  CC
6 resmpt 5174 . . . . 5  |-  ( D 
C_  CC  ->  ( ( x  e.  CC  |->  (
-u _i  x.  ( log `  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) ) )  |`  D )  =  ( x  e.  D  |->  ( -u _i  x.  ( log `  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )
75, 6ax-mp 5 . . . 4  |-  ( ( x  e.  CC  |->  (
-u _i  x.  ( log `  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) ) )  |`  D )  =  ( x  e.  D  |->  ( -u _i  x.  ( log `  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
82, 7eqtri 2458 . . 3  |-  (arcsin  |`  D )  =  ( x  e.  D  |->  ( -u _i  x.  ( log `  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
98oveq2i 6316 . 2  |-  ( CC 
_D  (arcsin  |`  D ) )  =  ( CC 
_D  ( x  e.  D  |->  ( -u _i  x.  ( log `  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )
10 cnelprrecn 9631 . . . . 5  |-  CC  e.  { RR ,  CC }
1110a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  CC  e.  { RR ,  CC } )
125sseli 3466 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  D  ->  x  e.  CC )
13 ax-icn 9597 . . . . . . . . 9  |-  _i  e.  CC
14 mulcl 9622 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( _i  x.  x
)  e.  CC )
1513, 14mpan 674 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CC  ->  (
_i  x.  x )  e.  CC )
16 ax-1cn 9596 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
17 sqcl 12334 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x ^ 2 )  e.  CC )
18 subcl 9873 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( x ^ 2 )  e.  CC )  ->  ( 1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  CC )
1916, 17, 18sylancr 667 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  CC  ->  (
1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  CC )
2019sqrtcld 13477 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CC  ->  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) )  e.  CC )
2115, 20addcld 9661 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  e.  CC )
2212, 21syl 17 . . . . . 6  |-  ( x  e.  D  ->  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  e.  CC )
23 asinlem 23659 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  =/=  0 )
2412, 23syl 17 . . . . . 6  |-  ( x  e.  D  ->  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  =/=  0 )
2522, 24logcld 23385 . . . . 5  |-  ( x  e.  D  ->  ( log `  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  e.  CC )
2625adantl 467 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e.  D )  ->  ( log `  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  e.  CC )
27 ovex 6333 . . . . 5  |-  ( _i 
/  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  _V
2827a1i 11 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e.  D )  ->  (
_i  /  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  e. 
_V )
29 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR )  ->  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  RR )
30 asinlem3 23662 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  CC  ->  0  <_  ( Re `  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) )
31 rere 13164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  e.  RR  ->  ( Re `  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )
3231breq2d 4438 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  e.  RR  ->  ( 0  <_  ( Re `  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) )  <->  0  <_  ( ( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) )
3332biimpac 488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 0  <_  ( Re `  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) )  /\  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  e.  RR )  ->  0  <_  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) )
3430, 33sylan 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR )  ->  0  <_  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )
3523adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR )  ->  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  =/=  0
)
3629, 34, 35ne0gt0d 9771 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR )  ->  0  <  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )
37 0re 9642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  RR
38 ltnle 9712 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR )  ->  ( 0  < 
( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  <->  -.  ( (
_i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  <_  0
) )
3937, 38mpan 674 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  e.  RR  ->  ( 0  <  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  <->  -.  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  <_ 
0 ) )
4039adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR )  ->  ( 0  < 
( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  <->  -.  ( (
_i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  <_  0
) )
4136, 40mpbid 213 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR )  ->  -.  ( (
_i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  <_  0
)
4241ex 435 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR  ->  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  <_  0 ) )
4312, 42syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  D  ->  (
( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR  ->  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  <_  0 ) )
44 imor 413 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR  ->  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  <_  0 )  <-> 
( -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  RR  \/  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  <_  0
) )
4543, 44sylib 199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  D  ->  ( -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR  \/  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  <_  0 ) )
4645orcomd 389 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  D  ->  ( -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  <_  0  \/  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR ) )
4746olcd 394 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  D  ->  ( -. -oo  <  ( (
_i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  \/  ( -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  <_  0  \/  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR ) ) )
48 3ianor 999 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  RR  /\ -oo  <  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  /\  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  <_ 
0 )  <->  ( -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR  \/  -. -oo  <  ( (
_i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  \/  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  <_  0 ) )
49 3orrot 988 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  RR  \/  -. -oo  <  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  \/ 
-.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  <_  0
)  <->  ( -. -oo  <  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  \/  -.  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  <_ 
0  \/  -.  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  e.  RR ) )
50 3orass 985 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -. -oo  <  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  \/ 
-.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  <_  0  \/  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  RR ) 
<->  ( -. -oo  <  ( ( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  \/  ( -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  <_  0  \/  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  RR ) ) )
5148, 49, 503bitrri 275 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -. -oo  <  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  \/  ( -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  <_  0  \/  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  RR ) )  <->  -.  (
( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR  /\ -oo 
<  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  /\  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  <_ 
0 ) )
52 mnfxr 11414 . . . . . . . . . . 11  |- -oo  e.  RR*
53 elioc2 11697 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR )  ->  (
( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  ( -oo (,] 0 )  <->  ( (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  e.  RR  /\ -oo  <  ( ( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  /\  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  <_  0 ) ) )
5452, 37, 53mp2an 676 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  e.  ( -oo (,] 0
)  <->  ( ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  RR  /\ -oo  <  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  /\  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  <_ 
0 ) )
5551, 54xchbinxr 312 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -. -oo  <  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  \/  ( -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  <_  0  \/  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  RR ) )  <->  -.  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  e.  ( -oo (,] 0
) )
5647, 55sylib 199 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  D  ->  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  ( -oo (,] 0 ) )
5722, 56eldifd 3453 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  D  ->  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  e.  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) )
5857adantl 467 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  D )  ->  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  e.  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) )
59 ovex 6333 . . . . . . 7  |-  ( ( _i  x.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  _V
6059a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  D )  ->  (
( _i  x.  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  _V )
61 eldifi 3593 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( CC  \ 
( -oo (,] 0 ) )  ->  y  e.  CC )
62 eldifn 3594 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( CC  \ 
( -oo (,] 0 ) )  ->  -.  y  e.  ( -oo (,] 0
) )
63 0xr 9686 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR*
64 mnflt0 11427 . . . . . . . . . . . 12  |- -oo  <  0
65 ubioc1 11688 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\ -oo  <  0 )  ->  0  e.  ( -oo (,] 0
) )
6652, 63, 64, 65mp3an 1360 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  ( -oo (,] 0
)
67 eleq1 2501 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  0  ->  (
y  e.  ( -oo (,] 0 )  <->  0  e.  ( -oo (,] 0 ) ) )
6866, 67mpbiri 236 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  0  ->  y  e.  ( -oo (,] 0
) )
6968necon3bi 2660 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  y  e.  ( -oo (,] 0 )  ->  y  =/=  0 )
7062, 69syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( CC  \ 
( -oo (,] 0 ) )  ->  y  =/=  0 )
7161, 70logcld 23385 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( CC  \ 
( -oo (,] 0 ) )  ->  ( log `  y )  e.  CC )
7271adantl 467 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  y  e.  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) )  ->  ( log `  y )  e.  CC )
73 ovex 6333 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  y )  e. 
_V
7473a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  y  e.  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) )  ->  ( 1  /  y )  e. 
_V )
7513a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  D  ->  _i  e.  CC )
7675, 12mulcld 9662 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  D  ->  (
_i  x.  x )  e.  CC )
7776adantl 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  D )  ->  (
_i  x.  x )  e.  CC )
7813a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  D )  ->  _i  e.  CC )
7912adantl 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  D )  ->  x  e.  CC )
80 1cnd 9658 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  D )  ->  1  e.  CC )
81 simpr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  CC )  ->  x  e.  CC )
82 1cnd 9658 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  CC )  ->  1  e.  CC )
8311dvmptid 22788 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  x ) )  =  ( x  e.  CC  |->  1 ) )
845a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  D  C_  CC )
85 eqid 2429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
8685cnfldtopon 21714 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
8786toponunii 19878 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
8887restid 15291 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  ->  ( (
TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld ) )
8986, 88ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld )
9089eqcomi 2442 . . . . . . . . . . 11  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )
9185recld2 21743 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  RR  e.  ( Clsd `  ( TopOpen ` fld ) )
92 neg1rr 10714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  -u 1  e.  RR
93 iocmnfcld 21700 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -u
1  e.  RR  ->  ( -oo (,] -u 1
)  e.  ( Clsd `  ( topGen `  ran  (,) )
) )
9492, 93ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -oo (,] -u 1 )  e.  ( Clsd `  ( topGen `
 ran  (,) )
)
95 1re 9641 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  RR
96 icopnfcld 21699 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
1 [,) +oo )  e.  ( Clsd `  ( topGen `
 ran  (,) )
) )
9795, 96ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1 [,) +oo )  e.  ( Clsd `  ( topGen `
 ran  (,) )
)
98 uncld 19987 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( -oo (,] -u 1
)  e.  ( Clsd `  ( topGen `  ran  (,) )
)  /\  ( 1 [,) +oo )  e.  ( Clsd `  ( topGen `
 ran  (,) )
) )  ->  (
( -oo (,] -u 1
)  u.  ( 1 [,) +oo ) )  e.  ( Clsd `  ( topGen `
 ran  (,) )
) )
9994, 97, 98mp2an 676 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( -oo (,] -u 1
)  u.  ( 1 [,) +oo ) )  e.  ( Clsd `  ( topGen `
 ran  (,) )
)
10085tgioo2 21732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
101100fveq2i 5884 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Clsd `  ( topGen `  ran  (,) )
)  =  ( Clsd `  ( ( TopOpen ` fld )t  RR ) )
10299, 101eleqtri 2515 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( -oo (,] -u 1
)  u.  ( 1 [,) +oo ) )  e.  ( Clsd `  (
( TopOpen ` fld )t  RR ) )
103 restcldr 20121 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( RR  e.  ( Clsd `  ( TopOpen ` fld ) )  /\  (
( -oo (,] -u 1
)  u.  ( 1 [,) +oo ) )  e.  ( Clsd `  (
( TopOpen ` fld )t  RR ) ) )  ->  ( ( -oo (,] -u 1 )  u.  ( 1 [,) +oo ) )  e.  (
Clsd `  ( TopOpen ` fld ) ) )
10491, 102, 103mp2an 676 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( -oo (,] -u 1
)  u.  ( 1 [,) +oo ) )  e.  ( Clsd `  ( TopOpen
` fld
) )
10587cldopn 19977 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -oo (,] -u 1
)  u.  ( 1 [,) +oo ) )  e.  ( Clsd `  ( TopOpen
` fld
) )  ->  ( CC  \  ( ( -oo (,] -u 1 )  u.  ( 1 [,) +oo ) ) )  e.  ( TopOpen ` fld ) )
106104, 105ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( CC 
\  ( ( -oo (,] -u 1 )  u.  ( 1 [,) +oo ) ) )  e.  ( TopOpen ` fld )
1073, 106eqeltri 2513 . . . . . . . . . . . 12  |-  D  e.  ( TopOpen ` fld )
108107a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  D  e.  ( TopOpen
` fld
) )
10911, 81, 82, 83, 84, 90, 85, 108dvmptres 22794 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  D  |->  x ) )  =  ( x  e.  D  |->  1 ) )
11013a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  _i  e.  CC )
11111, 79, 80, 109, 110dvmptcmul 22795 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  D  |->  ( _i  x.  x ) ) )  =  ( x  e.  D  |->  ( _i  x.  1 ) ) )
11213mulid1i 9644 . . . . . . . . . 10  |-  ( _i  x.  1 )  =  _i
113112mpteq2i 4509 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  D  |->  ( _i  x.  1 ) )  =  ( x  e.  D  |->  _i )
114111, 113syl6eq 2486 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  D  |->  ( _i  x.  x ) ) )  =  ( x  e.  D  |->  _i ) )
11512sqcld 12411 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  D  ->  (
x ^ 2 )  e.  CC )
11616, 115, 18sylancr 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  D  ->  (
1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  CC )
117116sqrtcld 13477 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  D  ->  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) )  e.  CC )
118117adantl 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  D )  ->  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) )  e.  CC )
119 ovex 6333 . . . . . . . . 9  |-  ( -u x  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  _V
120119a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  D )  ->  ( -u x  /  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  e. 
_V )
121 elin 3655 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( D  i^i  RR )  <->  ( x  e.  D  /\  x  e.  RR ) )
1223asindmre 31731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( D  i^i  RR )  =  ( -u 1 (,) 1 )
123122eqimssi 3524 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( D  i^i  RR )  C_  ( -u 1 (,) 1
)
124123sseli 3466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( D  i^i  RR )  ->  x  e.  ( -u 1 (,) 1
) )
125121, 124sylbir 216 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  D  /\  x  e.  RR )  ->  x  e.  ( -u
1 (,) 1 ) )
126 incom 3661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0 (,) +oo )  i^i  ( -oo (,] 0
) )  =  ( ( -oo (,] 0
)  i^i  ( 0 (,) +oo ) )
127 pnfxr 11412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |- +oo  e.  RR*
128 df-ioc 11640 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  (,]  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <  z  /\  z  <_  y ) } )
129 df-ioo 11639 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  (,)  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <  z  /\  z  <  y ) } )
130 xrltnle 9700 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  w  e.  RR* )  ->  (
0  <  w  <->  -.  w  <_  0 ) )
131128, 129, 130ixxdisj 11650 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  ( ( -oo (,] 0 )  i^i  ( 0 (,) +oo ) )  =  (/) )
13252, 63, 127, 131mp3an 1360 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( -oo (,] 0 )  i^i  ( 0 (,) +oo ) )  =  (/)
133126, 132eqtri 2458 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0 (,) +oo )  i^i  ( -oo (,] 0
) )  =  (/)
134 elioore 11666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  x  e.  RR )
135134resqcld 12439 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
x ^ 2 )  e.  RR )
136 resubcl 9937 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( x ^ 2 )  e.  RR )  ->  ( 1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  RR )
13795, 135, 136sylancr 667 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  RR )
13892rexri 9692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  -u 1  e.  RR*
13995rexri 9692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  e.  RR*
140 elioo2 11677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
-u 1  e.  RR*  /\  1  e.  RR* )  ->  ( x  e.  (
-u 1 (,) 1
)  <->  ( x  e.  RR  /\  -u 1  <  x  /\  x  <  1 ) ) )
141138, 139, 140mp2an 676 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  <->  ( x  e.  RR  /\  -u 1  <  x  /\  x  <  1 ) )
142 recn 9628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  CC )
143142abscld 13476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  RR  ->  ( abs `  x )  e.  RR )
144142absge0d 13484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  RR  ->  0  <_  ( abs `  x
) )
145 0le1 10136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  0  <_  1
146 lt2sq 12345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( abs `  x
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  x
) )  /\  (
1  e.  RR  /\  0  <_  1 ) )  ->  ( ( abs `  x )  <  1  <->  ( ( abs `  x
) ^ 2 )  <  ( 1 ^ 2 ) ) )
14795, 145, 146mpanr12 689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( abs `  x
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  x
) )  ->  (
( abs `  x
)  <  1  <->  ( ( abs `  x ) ^
2 )  <  (
1 ^ 2 ) ) )
148143, 144, 147syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( abs `  x
)  <  1  <->  ( ( abs `  x ) ^
2 )  <  (
1 ^ 2 ) ) )
149 abslt 13356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( abs `  x
)  <  1  <->  ( -u 1  <  x  /\  x  <  1 ) ) )
15095, 149mpan2 675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( abs `  x
)  <  1  <->  ( -u 1  <  x  /\  x  <  1 ) ) )
151 absresq 13344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( abs `  x
) ^ 2 )  =  ( x ^
2 ) )
152 sq1 12366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
153152a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  e.  RR  ->  (
1 ^ 2 )  =  1 )
154151, 153breq12d 4439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( ( abs `  x
) ^ 2 )  <  ( 1 ^ 2 )  <->  ( x ^ 2 )  <  1 ) )
155 resqcl 12339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x ^ 2 )  e.  RR )
156 posdif 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( x ^ 2 )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( x ^
2 )  <  1  <->  0  <  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )
157155, 95, 156sylancl 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( x ^ 2 )  <  1  <->  0  <  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )
158154, 157bitrd 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( ( abs `  x
) ^ 2 )  <  ( 1 ^ 2 )  <->  0  <  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )
159148, 150, 1583bitr3d 286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( -u 1  <  x  /\  x  <  1
)  <->  0  <  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )
160159biimpd 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( -u 1  <  x  /\  x  <  1
)  ->  0  <  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )
1611603impib 1203 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  RR  /\  -u 1  <  x  /\  x  <  1 )  -> 
0  <  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) )
162141, 161sylbi 198 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  0  <  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) )
163137, 162elrpd 11338 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  RR+ )
164 ioorp 11712 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0 (,) +oo )  = 
RR+
165163, 164syl6eleqr 2528 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  ( 0 (,) +oo ) )
166 disjel 3845 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( 0 (,) +oo )  i^i  ( -oo (,] 0 ) )  =  (/)  /\  (
1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  ( 0 (,) +oo ) )  ->  -.  ( 1  -  (
x ^ 2 ) )  e.  ( -oo (,] 0 ) )
167133, 165, 166sylancr 667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  -.  ( 1  -  (
x ^ 2 ) )  e.  ( -oo (,] 0 ) )
168125, 167syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  D  /\  x  e.  RR )  ->  -.  ( 1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  ( -oo (,] 0 ) )
169 elioc2 11697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR )  ->  (
( 1  -  (
x ^ 2 ) )  e.  ( -oo (,] 0 )  <->  ( (
1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  RR  /\ -oo  <  ( 1  -  (
x ^ 2 ) )  /\  ( 1  -  ( x ^
2 ) )  <_ 
0 ) ) )
17052, 37, 169mp2an 676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( 1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  ( -oo (,] 0 )  <->  ( (
1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  RR  /\ -oo  <  ( 1  -  (
x ^ 2 ) )  /\  ( 1  -  ( x ^
2 ) )  <_ 
0 ) )
171170biimpi 197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  ( -oo (,] 0 )  ->  (
( 1  -  (
x ^ 2 ) )  e.  RR  /\ -oo 
<  ( 1  -  ( x ^ 2 ) )  /\  (
1  -  ( x ^ 2 ) )  <_  0 ) )
172171simp1d 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  ( -oo (,] 0 )  ->  (
1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  RR )
173 resubcl 9937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( 1  -  (
x ^ 2 ) )  e.  RR )  ->  ( 1  -  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) )  e.  RR )
17495, 172, 173sylancr 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  ( -oo (,] 0 )  ->  (
1  -  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) )  e.  RR )
175 nncan 9902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( x ^ 2 )  e.  CC )  ->  ( 1  -  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) )  =  ( x ^ 2 ) )
17616, 175mpan 674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x ^ 2 )  e.  CC  ->  (
1  -  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) )  =  ( x ^
2 ) )
177176eleq1d 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x ^ 2 )  e.  CC  ->  (
( 1  -  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  e.  RR  <->  ( x ^ 2 )  e.  RR ) )
178177biimpa 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( x ^ 2 )  e.  CC  /\  ( 1  -  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  e.  RR )  ->  ( x ^
2 )  e.  RR )
179174, 178sylan2 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( x ^ 2 )  e.  CC  /\  ( 1  -  (
x ^ 2 ) )  e.  ( -oo (,] 0 ) )  -> 
( x ^ 2 )  e.  RR )
180172adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( x ^ 2 )  e.  CC  /\  ( 1  -  (
x ^ 2 ) )  e.  ( -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  -  (
x ^ 2 ) )  e.  RR )
181171simp3d 1019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( 1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  ( -oo (,] 0 )  ->  (
1  -  ( x ^ 2 ) )  <_  0 )
182181adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( x ^ 2 )  e.  CC  /\  ( 1  -  (
x ^ 2 ) )  e.  ( -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  -  (
x ^ 2 ) )  <_  0 )
183 letr 9726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( 1  -  (
x ^ 2 ) )  e.  RR  /\  0  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  (
( ( 1  -  ( x ^ 2 ) )  <_  0  /\  0  <_  1 )  ->  ( 1  -  ( x ^ 2 ) )  <_  1
) )
18437, 95, 183mp3an23 1352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( 1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  RR  ->  (
( ( 1  -  ( x ^ 2 ) )  <_  0  /\  0  <_  1 )  ->  ( 1  -  ( x ^ 2 ) )  <_  1
) )
185145, 184mpan2i 681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  RR  ->  (
( 1  -  (
x ^ 2 ) )  <_  0  ->  ( 1  -  ( x ^ 2 ) )  <_  1 ) )
186180, 182, 185sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( x ^ 2 )  e.  CC  /\  ( 1  -  (
x ^ 2 ) )  e.  ( -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  -  (
x ^ 2 ) )  <_  1 )
187 subge0 10126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( 1  -  (
x ^ 2 ) )  e.  RR )  ->  ( 0  <_ 
( 1  -  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  <->  ( 1  -  ( x ^ 2 ) )  <_  1
) )
18895, 180, 187sylancr 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( x ^ 2 )  e.  CC  /\  ( 1  -  (
x ^ 2 ) )  e.  ( -oo (,] 0 ) )  -> 
( 0  <_  (
1  -  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) )  <-> 
( 1  -  (
x ^ 2 ) )  <_  1 ) )
189186, 188mpbird 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( x ^ 2 )  e.  CC  /\  ( 1  -  (
x ^ 2 ) )  e.  ( -oo (,] 0 ) )  -> 
0  <_  ( 1  -  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )
190176adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( x ^ 2 )  e.  CC  /\  ( 1  -  (
x ^ 2 ) )  e.  ( -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  -  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =  ( x ^ 2 ) )
191189, 190breqtrd 4450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( x ^ 2 )  e.  CC  /\  ( 1  -  (
x ^ 2 ) )  e.  ( -oo (,] 0 ) )  -> 
0  <_  ( x ^ 2 ) )
192179, 191resqrtcld 13458 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x ^ 2 )  e.  CC  /\  ( 1  -  (
x ^ 2 ) )  e.  ( -oo (,] 0 ) )  -> 
( sqr `  (
x ^ 2 ) )  e.  RR )
19317, 192sylan 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( 1  -  (
x ^ 2 ) )  e.  ( -oo (,] 0 ) )  -> 
( sqr `  (
x ^ 2 ) )  e.  RR )
194 eleq1 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  ( sqr `  (
x ^ 2 ) )  ->  ( x  e.  RR  <->  ( sqr `  (
x ^ 2 ) )  e.  RR ) )
195193, 194syl5ibrcom 225 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( 1  -  (
x ^ 2 ) )  e.  ( -oo (,] 0 ) )  -> 
( x  =  ( sqr `  ( x ^ 2 ) )  ->  x  e.  RR ) )
196193renegcld 10045 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( 1  -  (
x ^ 2 ) )  e.  ( -oo (,] 0 ) )  ->  -u ( sqr `  (
x ^ 2 ) )  e.  RR )
197 eleq1 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  -u ( sqr `  (
x ^ 2 ) )  ->  ( x  e.  RR  <->  -u ( sqr `  (
x ^ 2 ) )  e.  RR ) )
198196, 197syl5ibrcom 225 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( 1  -  (
x ^ 2 ) )  e.  ( -oo (,] 0 ) )  -> 
( x  =  -u ( sqr `  ( x ^ 2 ) )  ->  x  e.  RR ) )
199 eqid 2429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x ^ 2 )  =  ( x ^ 2 )
200 eqsqrtor 13408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( x ^ 2 )  e.  CC )  ->  ( ( x ^ 2 )  =  ( x ^ 2 )  <->  ( x  =  ( sqr `  (
x ^ 2 ) )  \/  x  = 
-u ( sqr `  (
x ^ 2 ) ) ) ) )
20117, 200mpdan 672 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( x ^ 2 )  =  ( x ^ 2 )  <->  ( x  =  ( sqr `  (
x ^ 2 ) )  \/  x  = 
-u ( sqr `  (
x ^ 2 ) ) ) ) )
202199, 201mpbii 214 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x  =  ( sqr `  ( x ^ 2 ) )  \/  x  =  -u ( sqr `  (
x ^ 2 ) ) ) )
203202adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( 1  -  (
x ^ 2 ) )  e.  ( -oo (,] 0 ) )  -> 
( x  =  ( sqr `  ( x ^ 2 ) )  \/  x  =  -u ( sqr `  ( x ^ 2 ) ) ) )
204195, 198, 203mpjaod 382 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( 1  -  (
x ^ 2 ) )  e.  ( -oo (,] 0 ) )  ->  x  e.  RR )
205204stoic1a 1651 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  CC  /\  -.  x  e.  RR )  ->  -.  ( 1  -  ( x ^
2 ) )  e.  ( -oo (,] 0
) )
20612, 205sylan 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  D  /\  -.  x  e.  RR )  ->  -.  ( 1  -  ( x ^
2 ) )  e.  ( -oo (,] 0
) )
207168, 206pm2.61dan 798 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  D  ->  -.  ( 1  -  (
x ^ 2 ) )  e.  ( -oo (,] 0 ) )
208116, 207eldifd 3453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  D  ->  (
1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  ( CC  \ 
( -oo (,] 0 ) ) )
209208adantl 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  D )  ->  (
1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  ( CC  \ 
( -oo (,] 0 ) ) )
210 2cnd 10682 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  CC  ->  2  e.  CC )
211 id 23 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  CC  ->  x  e.  CC )
212210, 211mulcld 9662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  CC  ->  (
2  x.  x )  e.  CC )
213212negcld 9972 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  CC  ->  -u (
2  x.  x )  e.  CC )
214213adantl 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  CC )  ->  -u (
2  x.  x )  e.  CC )
21512, 214sylan2 476 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  D )  ->  -u (
2  x.  x )  e.  CC )
21661sqrtcld 13477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( CC  \ 
( -oo (,] 0 ) )  ->  ( sqr `  y )  e.  CC )
217216adantl 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  y  e.  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) )  ->  ( sqr `  y )  e.  CC )
218 ovex 6333 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  /  ( 2  x.  ( sqr `  y
) ) )  e. 
_V
219218a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  y  e.  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) )  ->  ( 1  /  ( 2  x.  ( sqr `  y
) ) )  e. 
_V )
22019adantl 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  CC )  ->  (
1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  CC )
22137a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  CC )  ->  0  e.  RR )
222 1cnd 9658 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( T. 
->  1  e.  CC )
22311, 222dvmptc 22789 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  1 ) )  =  ( x  e.  CC  |->  0 ) )
22417adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  CC )  ->  (
x ^ 2 )  e.  CC )
225 2cn 10680 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  CC
226 mulcl 9622 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( 2  x.  x
)  e.  CC )
227225, 226mpan 674 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  CC  ->  (
2  x.  x )  e.  CC )
228227adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  CC )  ->  (
2  x.  x )  e.  CC )
229 2nn 10767 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  NN
230 dvexp 22784 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  e.  NN  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^
2 ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( x ^ (
2  -  1 ) ) ) ) )
231229, 230ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( CC 
_D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^
2 ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( x ^ (
2  -  1 ) ) ) )
232 2m1e1 10724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2  -  1 )  =  1
233232oveq2i 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x ^ ( 2  -  1 ) )  =  ( x ^ 1 )
234 exp1 12275 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x ^ 1 )  =  x )
235233, 234syl5eq 2482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x ^ ( 2  -  1 ) )  =  x )
236235oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  CC  ->  (
2  x.  ( x ^ ( 2  -  1 ) ) )  =  ( 2  x.  x ) )
237236mpteq2ia 4508 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( x ^
( 2  -  1 ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( 2  x.  x ) )
238231, 237eqtri 2458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( CC 
_D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^
2 ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( 2  x.  x ) )
239238a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ 2 ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( 2  x.  x ) ) )
24011, 82, 221, 223, 224, 228, 239dvmptsub 22798 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( 0  -  ( 2  x.  x ) ) ) )
241 df-neg 9862 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -u (
2  x.  x )  =  ( 0  -  ( 2  x.  x
) )
242241mpteq2i 4509 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  CC  |->  -u (
2  x.  x ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( 0  -  ( 2  x.  x ) ) )
243240, 242syl6eqr 2488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  -u ( 2  x.  x
) ) )
24411, 220, 214, 243, 84, 90, 85, 108dvmptres 22794 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  D  |->  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  =  ( x  e.  D  |->  -u ( 2  x.  x
) ) )
245 eqid 2429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( CC 
\  ( -oo (,] 0 ) )  =  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) )
246245dvcnsqrt 23549 . . . . . . . . . . 11  |-  ( CC 
_D  ( y  e.  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) 
|->  ( sqr `  y
) ) )  =  ( y  e.  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) )  |->  ( 1  /  ( 2  x.  ( sqr `  y
) ) ) )
247246a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
y  e.  ( CC 
\  ( -oo (,] 0 ) )  |->  ( sqr `  y ) ) )  =  ( y  e.  ( CC 
\  ( -oo (,] 0 ) )  |->  ( 1  /  ( 2  x.  ( sqr `  y
) ) ) ) )
248 fveq2 5881 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( 1  -  ( x ^ 2 ) )  ->  ( sqr `  y )  =  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )
249248oveq2d 6321 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( 1  -  ( x ^ 2 ) )  ->  (
2  x.  ( sqr `  y ) )  =  ( 2  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
250249oveq2d 6321 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( 1  -  ( x ^ 2 ) )  ->  (
1  /  ( 2  x.  ( sqr `  y
) ) )  =  ( 1  /  (
2  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) )
25111, 11, 209, 215, 217, 219, 244, 247, 248, 250dvmptco 22803 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  D  |->  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) )  =  ( x  e.  D  |->  ( ( 1  /  (
2  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )  x.  -u ( 2  x.  x ) ) ) )
252 mulneg2 10055 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( 2  x.  -u x
)  =  -u (
2  x.  x ) )
253225, 12, 252sylancr 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  D  ->  (
2  x.  -u x
)  =  -u (
2  x.  x ) )
254253oveq1d 6320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  D  ->  (
( 2  x.  -u x
)  /  ( 2  x.  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( -u ( 2  x.  x )  / 
( 2  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
25512negcld 9972 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  D  ->  -u x  e.  CC )
256 eldifn 3594 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( CC  \ 
( ( -oo (,] -u 1 )  u.  (
1 [,) +oo )
) )  ->  -.  x  e.  ( ( -oo (,] -u 1 )  u.  ( 1 [,) +oo ) ) )
257256, 3eleq2s 2537 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  D  ->  -.  x  e.  ( ( -oo (,] -u 1 )  u.  ( 1 [,) +oo ) ) )
258 id 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  -u 1  ->  x  =  -u 1 )
259 mnflt 11425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( -u
1  e.  RR  -> -oo 
<  -u 1 )
26092, 259ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |- -oo  <  -u 1
261 ubioc1 11688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  -u 1  e.  RR*  /\ -oo  <  -u 1 )  ->  -u 1  e.  ( -oo (,] -u 1
) )
26252, 138, 260, 261mp3an 1360 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  -u 1  e.  ( -oo (,] -u 1
)
263258, 262syl6eqel 2525 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  -u 1  ->  x  e.  ( -oo (,] -u 1
) )
264 id 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  1  ->  x  =  1 )
265 ltpnf 11422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 1  e.  RR  ->  1  < +oo )
26695, 265ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  < +oo
267 lbico1 11689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 1  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\  1  < +oo )  ->  1  e.  ( 1 [,) +oo ) )
268139, 127, 266, 267mp3an 1360 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  ( 1 [,) +oo )
269264, 268syl6eqel 2525 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  1  ->  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )
270263, 269orim12i 518 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  =  -u 1  \/  x  =  1
)  ->  ( x  e.  ( -oo (,] -u 1
)  \/  x  e.  ( 1 [,) +oo ) ) )
271270orcoms 390 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  1  \/  x  =  -u 1
)  ->  ( x  e.  ( -oo (,] -u 1
)  \/  x  e.  ( 1 [,) +oo ) ) )
272 elun 3612 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( ( -oo (,] -u 1 )  u.  ( 1 [,) +oo ) )  <->  ( x  e.  ( -oo (,] -u 1
)  \/  x  e.  ( 1 [,) +oo ) ) )
273271, 272sylibr 215 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  1  \/  x  =  -u 1
)  ->  x  e.  ( ( -oo (,] -u 1 )  u.  (
1 [,) +oo )
) )
274257, 273nsyl 124 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  D  ->  -.  ( x  =  1  \/  x  =  -u 1
) )
275 1cnd 9658 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) )  =  0 )  -> 
1  e.  CC )
27617adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) )  =  0 )  -> 
( x ^ 2 )  e.  CC )
27719adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) )  =  0 )  -> 
( 1  -  (
x ^ 2 ) )  e.  CC )
278 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) )  =  0 )  -> 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =  0 )
279277, 278sqr00d 13481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) )  =  0 )  -> 
( 1  -  (
x ^ 2 ) )  =  0 )
280275, 276, 279subeq0d 9993 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) )  =  0 )  -> 
1  =  ( x ^ 2 ) )
281152, 280syl5req 2483 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) )  =  0 )  -> 
( x ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
282281ex 435 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =  0  -> 
( x ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 ) ) )
283 sqeqor 12385 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( x ^
2 )  =  ( 1 ^ 2 )  <-> 
( x  =  1  \/  x  =  -u
1 ) ) )
28416, 283mpan2 675 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( x ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 )  <->  ( x  =  1  \/  x  =  -u 1 ) ) )
285282, 284sylibd 217 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =  0  -> 
( x  =  1  \/  x  =  -u
1 ) ) )
286285necon3bd 2643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  CC  ->  ( -.  ( x  =  1  \/  x  =  -u
1 )  ->  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =/=  0 ) )
28712, 274, 286sylc 62 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  D  ->  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =/=  0 )
288 2cnne0 10824 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
289 divcan5 10308 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
-u x  e.  CC  /\  ( ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  e.  CC  /\  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) )  =/=  0 )  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  ->  ( (
2  x.  -u x
)  /  ( 2  x.  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( -u x  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
290288, 289mp3an3 1349 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
-u x  e.  CC  /\  ( ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  e.  CC  /\  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) )  =/=  0 ) )  ->  ( ( 2  x.  -u x )  / 
( 2  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( -u x  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
291255, 117, 287, 290syl12anc 1262 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  D  ->  (
( 2  x.  -u x
)  /  ( 2  x.  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( -u x  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
292225, 12, 226sylancr 667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  D  ->  (
2  x.  x )  e.  CC )
293292negcld 9972 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  D  ->  -u (
2  x.  x )  e.  CC )
294 mulcl 9622 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) )  e.  CC )  -> 
( 2  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  CC )
295225, 117, 294sylancr 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  D  ->  (
2  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  e.  CC )
296 mulne0 10253 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  ( ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) )  e.  CC  /\  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =/=  0 ) )  ->  ( 2  x.  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  =/=  0
)
297288, 296mpan 674 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  e.  CC  /\  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) )  =/=  0 )  -> 
( 2  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  =/=  0 )
298117, 287, 297syl2anc 665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  D  ->  (
2  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  =/=  0 )
299293, 295, 298divrec2d 10386 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  D  ->  ( -u ( 2  x.  x
)  /  ( 2  x.  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( 1  / 
( 2  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  x.  -u (
2  x.  x ) ) )
300254, 291, 2993eqtr3rd 2479 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  D  ->  (
( 1  /  (
2  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )  x.  -u ( 2  x.  x ) )  =  ( -u x  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
301300mpteq2ia 4508 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  D  |->  ( ( 1  /  ( 2  x.  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  x.  -u ( 2  x.  x
) ) )  =  ( x  e.  D  |->  ( -u x  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
302251, 301syl6eq 2486 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  D  |->  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) )  =  ( x  e.  D  |->  (
-u x  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
30311, 77, 78, 114, 118, 120, 302dvmptadd 22791 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  D  |->  ( ( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  D  |->  ( _i  +  ( -u x  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
304 mulcl 9622 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  CC )
30513, 20, 304sylancr 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  e.  CC )
30612, 305syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  D  ->  (
_i  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  e.  CC )
307306, 255, 117, 287divdird 10420 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  D  ->  (
( ( _i  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  +  -u x
)  /  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( ( _i  x.  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  +  ( -u x  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
308 ixi 10240 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( _i  x.  _i )  = 
-u 1
309308eqcomi 2442 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u 1  =  ( _i  x.  _i )
310309oveq1i 6315 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -u
1  x.  x )  =  ( ( _i  x.  _i )  x.  x )
311 mulm1 10059 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  CC  ->  ( -u 1  x.  x )  =  -u x )
312 mulass 9626 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  _i  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  (
( _i  x.  _i )  x.  x )  =  ( _i  x.  ( _i  x.  x
) ) )
31313, 13, 312mp3an12 1350 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( _i  x.  _i )  x.  x )  =  ( _i  x.  ( _i  x.  x
) ) )
314310, 311, 3133eqtr3a 2494 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  CC  ->  -u x  =  ( _i  x.  ( _i  x.  x
) ) )
315314oveq1d 6320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  CC  ->  ( -u x  +  ( _i  x.  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( _i  x.  x
) )  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) )
316 negcl 9874 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  CC  ->  -u x  e.  CC )
317305, 316addcomd 9834 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( _i  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  +  -u x )  =  ( -u x  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
31813a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  CC  ->  _i  e.  CC )
319318, 15, 20adddid 9666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( (
_i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( _i  x.  x
) )  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) )
320315, 317, 3193eqtr4d 2480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( _i  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  +  -u x )  =  ( _i  x.  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) )
32112, 320syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  D  ->  (
( _i  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  +  -u x )  =  ( _i  x.  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) )
322321oveq1d 6320 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  D  ->  (
( ( _i  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  +  -u x
)  /  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) )  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
32375, 117, 287divcan4d 10388 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  D  ->  (
( _i  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  =  _i )
324323oveq1d 6320 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  D  ->  (
( ( _i  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  /  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  +  ( -u x  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( _i  +  (
-u x  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
325307, 322, 3243eqtr3rd 2479 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  D  ->  (
_i  +  ( -u x  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) )  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
326325mpteq2ia 4508 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  D  |->  ( _i  +  ( -u x  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  D  |->  ( ( _i  x.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
327303, 326syl6eq 2486 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  D  |->  ( ( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  D  |->  ( ( _i  x.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
328245dvlog 23461 . . . . . . 7  |-  ( CC 
_D  ( log  |`  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) ) )  =  ( y  e.  ( CC  \ 
( -oo (,] 0 ) )  |->  ( 1  / 
y ) )
329 logf1o 23379 . . . . . . . . . 10  |-  log :
( CC  \  {
0 } ) -1-1-onto-> ran  log
330 f1of 5831 . . . . . . . . . 10  |-  ( log
: ( CC  \  { 0 } ) -1-1-onto-> ran 
log  ->  log : ( CC 
\  { 0 } ) --> ran  log )
331329, 330mp1i 13 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  log : ( CC 
\  { 0 } ) --> ran  log )
332 snssi 4147 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  e.  ( -oo (,] 0 )  ->  { 0 }  C_  ( -oo (,] 0 ) )
33366, 332ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  { 0 }  C_  ( -oo (,] 0 )
334 sscon 3605 . . . . . . . . . 10  |-  ( { 0 }  C_  ( -oo (,] 0 )  -> 
( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) 
C_  ( CC  \  { 0 } ) )
335333, 334mp1i 13 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) 
C_  ( CC  \  { 0 } ) )
336331, 335feqresmpt 5935 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( log  |`  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) )  =  ( y  e.  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) 
|->  ( log `  y
) ) )
337336oveq2d 6321 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  ( log  |`  ( CC  \ 
( -oo (,] 0 ) ) ) )  =  ( CC  _D  (
y  e.  ( CC 
\  ( -oo (,] 0 ) )  |->  ( log `  y ) ) ) )
338328, 337syl5reqr 2485 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
y  e.  ( CC 
\  ( -oo (,] 0 ) )  |->  ( log `  y ) ) )  =  ( y  e.  ( CC 
\  ( -oo (,] 0 ) )  |->  ( 1  /  y ) ) )
339 fveq2 5881 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  ->  ( log `  y )  =  ( log `  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) )
340 oveq2 6313 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  ->  (
1  /  y )  =  ( 1  / 
( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) ) )
34111, 11, 58, 60, 72, 74, 327, 338, 339, 340dvmptco 22803 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  D  |->  ( log `  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  D  |->  ( ( 1  /  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  x.  ( ( _i  x.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) )  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
34222, 24reccld 10375 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  D  ->  (
1  /  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  e.  CC )
343 mulcl 9622 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  CC )  ->  ( _i  x.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) )  e.  CC )
34413, 21, 343sylancr 667 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( (
_i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  e.  CC )
34512, 344syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  D  ->  (
_i  x.  ( (
_i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  e.  CC )
346342, 345, 117, 287divassd 10417 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  D  ->  (
( ( 1  / 
( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) )  x.  (
_i  x.  ( (
_i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( 1  /  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )  x.  ( ( _i  x.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
347345, 22, 24divrec2d 10386 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  D  ->  (
( _i  x.  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )  /  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( 1  / 
( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) )  x.  (
_i  x.  ( (
_i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
34875, 22, 24divcan4d 10388 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  D  ->  (
( _i  x.  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )  /  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  =  _i )
349347, 348eqtr3d 2472 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  D  ->  (
( 1  /  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )  x.  ( _i  x.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) ) )  =  _i )
350349oveq1d 6320 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  D  ->  (
( ( 1  / 
( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) )  x.  (
_i  x.  ( (
_i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  =  ( _i  /  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )
351346, 350eqtr3d 2472 . . . . . 6  |-  ( x  e.  D  ->  (
( 1  /  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )  x.  ( ( _i  x.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( _i  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
352351mpteq2ia 4508 . . . . 5  |-  ( x  e.  D  |->  ( ( 1  /  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  x.  ( ( _i  x.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) )  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  D  |->  ( _i  /  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )
353341, 352syl6eq 2486 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  D  |->  ( log `  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  D  |->  ( _i 
/  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
354 negicn 9875 . . . . 5  |-  -u _i  e.  CC
355354a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  -u _i  e.  CC )
35611, 26, 28, 353, 355dvmptcmul 22795 . . 3  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  D  |->  (
-u _i  x.  ( log `  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  D  |->  (
-u _i  x.  (
_i  /  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
357356trud 1446 . 2  |-  ( CC 
_D  ( x  e.  D  |->  ( -u _i  x.  ( log `  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  D  |->  ( -u _i  x.  ( _i  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
35813, 13mulneg1i 10063 . . . . . 6  |-  ( -u _i  x.  _i )  = 
-u ( _i  x.  _i )
359308negeqi 9867 . . . . . 6  |-  -u (
_i  x.  _i )  =  -u -u 1
360 negneg1e1 10717 . . . . . 6  |-  -u -u 1  =  1
361358, 359, 3603eqtri 2462 . . . . 5  |-  ( -u _i  x.  _i )  =  1
362361oveq1i 6315 . . . 4  |-  ( (
-u _i  x.  _i )  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  =  ( 1  /  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )
363 divass 10287 . . . . . 6  |-  ( (
-u _i  e.  CC  /\  _i  e.  CC  /\  ( ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  e.  CC  /\  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) )  =/=  0 ) )  ->  ( ( -u _i  x.  _i )  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  =  (
-u _i  x.  (
_i  /  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) )
364354, 13, 363mp3an12 1350 . . . . 5  |-  ( ( ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  e.  CC  /\  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) )  =/=  0 )  -> 
( ( -u _i  x.  _i )  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  =  ( -u _i  x.  ( _i  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
365117, 287, 364syl2anc 665 . . . 4  |-  ( x  e.  D  ->  (
( -u _i  x.  _i )  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  =  (
-u _i  x.  (
_i  /  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) )
366362, 365syl5reqr 2485 . . 3  |-  ( x  e.  D  ->  ( -u _i  x.  ( _i 
/  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( 1  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
367366mpteq2ia 4508 . 2  |-  ( x  e.  D  |->  ( -u _i  x.  ( _i  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  D  |->  ( 1  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
3689, 357, 3673eqtri 2462 1  |-  ( CC 
_D  (arcsin  |`  D ) )  =  ( x  e.  D  |->  ( 1  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    \/ w3o 981    /\ w3a 982    = wceq 1437   T. wtru 1438    e. wcel 1870    =/= wne 2625   _Vcvv 3087    \ cdif 3439    u. cun 3440    i^i cin 3441    C_ wss 3442   (/)c0 3767   {csn 4002   {cpr 4004   class class class wbr 4426    |-> cmpt 4484   ran crn 4855    |` cres 4856   -->wf 5597   -1-1-onto->wf1o 5600   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   CCcc 9536   RRcr 9537   0cc0 9538   1c1 9539   _ici 9540    + caddc 9541    x. cmul 9543   +oocpnf 9671   -oocmnf 9672   RR*cxr 9673    < clt 9674    <_ cle 9675    - cmin 9859   -ucneg 9860    / cdiv 10268   NNcn 10609   2c2 10659   RR+crp 11302   (,)cioo 11635   (,]cioc 11636   [,)cico 11637   ^cexp 12269   Recre 13139   sqrcsqrt 13275   abscabs 13276   ↾t crest 15278   TopOpenctopn 15279   topGenctg 15295  ℂfldccnfld 18905  TopOnctopon 19849   Clsdccld 19962    _D cdv 22695   logclog 23369  arcsincasin 23653
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-addf 9617  ax-mulf 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-fi 7931  df-sup 7962  df-inf 7963  df-oi 8025  df-card 8372  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-fac 12457  df-bc 12485  df-hash 12513  df-shft 13109  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-limsup 13504  df-clim 13530  df-rlim 13531  df-sum 13731  df-ef 14099  df-sin 14101  df-cos 14102  df-tan 14103  df-pi 14104  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-starv 15167  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-ip 15170  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-unif 15175  df-hom 15176  df-cco 15177  df-rest 15280  df-topn 15281  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-topgen 15301  df-pt 15302  df-prds 15305  df-xrs 15359  df-qtop 15364  df-imas 15365  df-xps 15367  df-mre 15443  df-mrc 15444  df-acs 15446  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-submnd 16534  df-mulg 16627  df-cntz 16922  df-cmn 17367  df-psmet 18897  df-xmet 18898  df-met 18899  df-bl 18900  df-mopn 18901  df-fbas 18902  df-fg 18903  df-cnfld 18906  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-topsp 19855  df-cld 19965  df-ntr 19966  df-cls 19967  df-nei 20045  df-lp 20083  df-perf 20084  df-cn 20174  df-cnp 20175  df-haus 20262  df-cmp 20333  df-tx 20508  df-hmeo 20701  df-fil 20792  df-fm 20884  df-flim 20885  df-flf 20886  df-xms 21266  df-ms 21267  df-tms 21268  df-cncf 21806  df-limc 22698  df-dv 22699  df-log 23371  df-cxp 23372  df-asin 23656
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