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Theorem dvasin 30269
Description: Derivative of arcsine. (Contributed by Brendan Leahy, 18-Dec-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
dvasin.d  |-  D  =  ( CC  \  (
( -oo (,] -u 1
)  u.  ( 1 [,) +oo ) ) )
Assertion
Ref Expression
dvasin  |-  ( CC 
_D  (arcsin  |`  D ) )  =  ( x  e.  D  |->  ( 1  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
Distinct variable group:    x, D

Proof of Theorem dvasin
Dummy variables  y 
z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-asin 23312 . . . . 5  |- arcsin  =  ( x  e.  CC  |->  (
-u _i  x.  ( log `  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
21reseq1i 5182 . . . 4  |-  (arcsin  |`  D )  =  ( ( x  e.  CC  |->  ( -u _i  x.  ( log `  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) ) )  |`  D )
3 dvasin.d . . . . . 6  |-  D  =  ( CC  \  (
( -oo (,] -u 1
)  u.  ( 1 [,) +oo ) ) )
4 difss 3545 . . . . . 6  |-  ( CC 
\  ( ( -oo (,] -u 1 )  u.  ( 1 [,) +oo ) ) )  C_  CC
53, 4eqsstri 3447 . . . . 5  |-  D  C_  CC
6 resmpt 5235 . . . . 5  |-  ( D 
C_  CC  ->  ( ( x  e.  CC  |->  (
-u _i  x.  ( log `  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) ) )  |`  D )  =  ( x  e.  D  |->  ( -u _i  x.  ( log `  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )
75, 6ax-mp 5 . . . 4  |-  ( ( x  e.  CC  |->  (
-u _i  x.  ( log `  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) ) )  |`  D )  =  ( x  e.  D  |->  ( -u _i  x.  ( log `  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
82, 7eqtri 2411 . . 3  |-  (arcsin  |`  D )  =  ( x  e.  D  |->  ( -u _i  x.  ( log `  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
98oveq2i 6207 . 2  |-  ( CC 
_D  (arcsin  |`  D ) )  =  ( CC 
_D  ( x  e.  D  |->  ( -u _i  x.  ( log `  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )
10 cnelprrecn 9496 . . . . 5  |-  CC  e.  { RR ,  CC }
1110a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  CC  e.  { RR ,  CC } )
125sseli 3413 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  D  ->  x  e.  CC )
13 ax-icn 9462 . . . . . . . . 9  |-  _i  e.  CC
14 mulcl 9487 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( _i  x.  x
)  e.  CC )
1513, 14mpan 668 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CC  ->  (
_i  x.  x )  e.  CC )
16 ax-1cn 9461 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
17 sqcl 12133 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x ^ 2 )  e.  CC )
18 subcl 9732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( x ^ 2 )  e.  CC )  ->  ( 1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  CC )
1916, 17, 18sylancr 661 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  CC  ->  (
1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  CC )
2019sqrtcld 13270 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CC  ->  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) )  e.  CC )
2115, 20addcld 9526 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  e.  CC )
2212, 21syl 16 . . . . . 6  |-  ( x  e.  D  ->  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  e.  CC )
23 asinlem 23315 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  =/=  0 )
2412, 23syl 16 . . . . . 6  |-  ( x  e.  D  ->  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  =/=  0 )
2522, 24logcld 23043 . . . . 5  |-  ( x  e.  D  ->  ( log `  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  e.  CC )
2625adantl 464 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e.  D )  ->  ( log `  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  e.  CC )
27 ovex 6224 . . . . 5  |-  ( _i 
/  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  _V
2827a1i 11 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e.  D )  ->  (
_i  /  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  e. 
_V )
29 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR )  ->  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  RR )
30 asinlem3 23318 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  CC  ->  0  <_  ( Re `  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) )
31 rere 12957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  e.  RR  ->  ( Re `  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )
3231breq2d 4379 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  e.  RR  ->  ( 0  <_  ( Re `  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) )  <->  0  <_  ( ( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) )
3332biimpac 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 0  <_  ( Re `  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) )  /\  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  e.  RR )  ->  0  <_  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) )
3430, 33sylan 469 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR )  ->  0  <_  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )
3523adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR )  ->  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  =/=  0
)
3629, 34, 35ne0gt0d 9633 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR )  ->  0  <  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )
37 0re 9507 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  RR
38 ltnle 9575 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR )  ->  ( 0  < 
( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  <->  -.  ( (
_i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  <_  0
) )
3937, 38mpan 668 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  e.  RR  ->  ( 0  <  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  <->  -.  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  <_ 
0 ) )
4039adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR )  ->  ( 0  < 
( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  <->  -.  ( (
_i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  <_  0
) )
4136, 40mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR )  ->  -.  ( (
_i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  <_  0
)
4241ex 432 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR  ->  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  <_  0 ) )
4312, 42syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  D  ->  (
( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR  ->  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  <_  0 ) )
44 imor 410 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR  ->  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  <_  0 )  <-> 
( -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  RR  \/  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  <_  0
) )
4543, 44sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  D  ->  ( -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR  \/  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  <_  0 ) )
4645orcomd 386 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  D  ->  ( -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  <_  0  \/  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR ) )
4746olcd 391 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  D  ->  ( -. -oo  <  ( (
_i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  \/  ( -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  <_  0  \/  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR ) ) )
48 3ianor 988 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  RR  /\ -oo  <  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  /\  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  <_ 
0 )  <->  ( -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR  \/  -. -oo  <  ( (
_i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  \/  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  <_  0 ) )
49 3orrot 977 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  RR  \/  -. -oo  <  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  \/ 
-.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  <_  0
)  <->  ( -. -oo  <  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  \/  -.  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  <_ 
0  \/  -.  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  e.  RR ) )
50 3orass 974 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -. -oo  <  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  \/ 
-.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  <_  0  \/  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  RR ) 
<->  ( -. -oo  <  ( ( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  \/  ( -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  <_  0  \/  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  RR ) ) )
5148, 49, 503bitrri 272 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -. -oo  <  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  \/  ( -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  <_  0  \/  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  RR ) )  <->  -.  (
( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR  /\ -oo 
<  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  /\  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  <_ 
0 ) )
52 mnfxr 11244 . . . . . . . . . . 11  |- -oo  e.  RR*
53 elioc2 11508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR )  ->  (
( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  ( -oo (,] 0 )  <->  ( (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  e.  RR  /\ -oo  <  ( ( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  /\  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  <_  0 ) ) )
5452, 37, 53mp2an 670 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  e.  ( -oo (,] 0
)  <->  ( ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  RR  /\ -oo  <  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  /\  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  <_ 
0 ) )
5551, 54xchbinxr 309 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -. -oo  <  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  \/  ( -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  <_  0  \/  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  RR ) )  <->  -.  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  e.  ( -oo (,] 0
) )
5647, 55sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  D  ->  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  ( -oo (,] 0 ) )
5722, 56eldifd 3400 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  D  ->  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  e.  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) )
5857adantl 464 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  D )  ->  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  e.  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) )
59 ovex 6224 . . . . . . 7  |-  ( ( _i  x.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  _V
6059a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  D )  ->  (
( _i  x.  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  _V )
61 eldifi 3540 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( CC  \ 
( -oo (,] 0 ) )  ->  y  e.  CC )
62 eldifn 3541 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( CC  \ 
( -oo (,] 0 ) )  ->  -.  y  e.  ( -oo (,] 0
) )
63 0xr 9551 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR*
64 mnflt0 11255 . . . . . . . . . . . 12  |- -oo  <  0
65 ubioc1 11499 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\ -oo  <  0 )  ->  0  e.  ( -oo (,] 0
) )
6652, 63, 64, 65mp3an 1322 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  ( -oo (,] 0
)
67 eleq1 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  0  ->  (
y  e.  ( -oo (,] 0 )  <->  0  e.  ( -oo (,] 0 ) ) )
6866, 67mpbiri 233 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  0  ->  y  e.  ( -oo (,] 0
) )
6968necon3bi 2611 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  y  e.  ( -oo (,] 0 )  ->  y  =/=  0 )
7062, 69syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( CC  \ 
( -oo (,] 0 ) )  ->  y  =/=  0 )
7161, 70logcld 23043 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( CC  \ 
( -oo (,] 0 ) )  ->  ( log `  y )  e.  CC )
7271adantl 464 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  y  e.  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) )  ->  ( log `  y )  e.  CC )
73 ovex 6224 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  y )  e. 
_V
7473a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  y  e.  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) )  ->  ( 1  /  y )  e. 
_V )
7513a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  D  ->  _i  e.  CC )
7675, 12mulcld 9527 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  D  ->  (
_i  x.  x )  e.  CC )
7776adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  D )  ->  (
_i  x.  x )  e.  CC )
7813a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  D )  ->  _i  e.  CC )
7912adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  D )  ->  x  e.  CC )
80 1cnd 9523 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  D )  ->  1  e.  CC )
81 simpr 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  CC )  ->  x  e.  CC )
82 1cnd 9523 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  CC )  ->  1  e.  CC )
8311dvmptid 22445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  x ) )  =  ( x  e.  CC  |->  1 ) )
845a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  D  C_  CC )
85 eqid 2382 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
8685cnfldtopon 21375 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
8786toponunii 19518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
8887restid 14841 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  ->  ( (
TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld ) )
8986, 88ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld )
9089eqcomi 2395 . . . . . . . . . . 11  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )
9185recld2 21404 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  RR  e.  ( Clsd `  ( TopOpen ` fld ) )
92 neg1rr 10557 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  -u 1  e.  RR
93 iocmnfcld 21361 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -u
1  e.  RR  ->  ( -oo (,] -u 1
)  e.  ( Clsd `  ( topGen `  ran  (,) )
) )
9492, 93ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -oo (,] -u 1 )  e.  ( Clsd `  ( topGen `
 ran  (,) )
)
95 1re 9506 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  RR
96 icopnfcld 21360 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
1 [,) +oo )  e.  ( Clsd `  ( topGen `
 ran  (,) )
) )
9795, 96ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1 [,) +oo )  e.  ( Clsd `  ( topGen `
 ran  (,) )
)
98 uncld 19627 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( -oo (,] -u 1
)  e.  ( Clsd `  ( topGen `  ran  (,) )
)  /\  ( 1 [,) +oo )  e.  ( Clsd `  ( topGen `
 ran  (,) )
) )  ->  (
( -oo (,] -u 1
)  u.  ( 1 [,) +oo ) )  e.  ( Clsd `  ( topGen `
 ran  (,) )
) )
9994, 97, 98mp2an 670 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( -oo (,] -u 1
)  u.  ( 1 [,) +oo ) )  e.  ( Clsd `  ( topGen `
 ran  (,) )
)
10085tgioo2 21393 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
101100fveq2i 5777 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Clsd `  ( topGen `  ran  (,) )
)  =  ( Clsd `  ( ( TopOpen ` fld )t  RR ) )
10299, 101eleqtri 2468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( -oo (,] -u 1
)  u.  ( 1 [,) +oo ) )  e.  ( Clsd `  (
( TopOpen ` fld )t  RR ) )
103 restcldr 19761 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( RR  e.  ( Clsd `  ( TopOpen ` fld ) )  /\  (
( -oo (,] -u 1
)  u.  ( 1 [,) +oo ) )  e.  ( Clsd `  (
( TopOpen ` fld )t  RR ) ) )  ->  ( ( -oo (,] -u 1 )  u.  ( 1 [,) +oo ) )  e.  (
Clsd `  ( TopOpen ` fld ) ) )
10491, 102, 103mp2an 670 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( -oo (,] -u 1
)  u.  ( 1 [,) +oo ) )  e.  ( Clsd `  ( TopOpen
` fld
) )
10587cldopn 19617 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -oo (,] -u 1
)  u.  ( 1 [,) +oo ) )  e.  ( Clsd `  ( TopOpen
` fld
) )  ->  ( CC  \  ( ( -oo (,] -u 1 )  u.  ( 1 [,) +oo ) ) )  e.  ( TopOpen ` fld ) )
106104, 105ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( CC 
\  ( ( -oo (,] -u 1 )  u.  ( 1 [,) +oo ) ) )  e.  ( TopOpen ` fld )
1073, 106eqeltri 2466 . . . . . . . . . . . 12  |-  D  e.  ( TopOpen ` fld )
108107a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  D  e.  ( TopOpen
` fld
) )
10911, 81, 82, 83, 84, 90, 85, 108dvmptres 22451 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  D  |->  x ) )  =  ( x  e.  D  |->  1 ) )
11013a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  _i  e.  CC )
11111, 79, 80, 109, 110dvmptcmul 22452 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  D  |->  ( _i  x.  x ) ) )  =  ( x  e.  D  |->  ( _i  x.  1 ) ) )
11213mulid1i 9509 . . . . . . . . . 10  |-  ( _i  x.  1 )  =  _i
113112mpteq2i 4450 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  D  |->  ( _i  x.  1 ) )  =  ( x  e.  D  |->  _i )
114111, 113syl6eq 2439 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  D  |->  ( _i  x.  x ) ) )  =  ( x  e.  D  |->  _i ) )
11512sqcld 12210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  D  ->  (
x ^ 2 )  e.  CC )
11616, 115, 18sylancr 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  D  ->  (
1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  CC )
117116sqrtcld 13270 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  D  ->  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) )  e.  CC )
118117adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  D )  ->  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) )  e.  CC )
119 ovex 6224 . . . . . . . . 9  |-  ( -u x  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  _V
120119a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  D )  ->  ( -u x  /  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  e. 
_V )
121 elin 3601 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( D  i^i  RR )  <->  ( x  e.  D  /\  x  e.  RR ) )
1223asindmre 30268 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( D  i^i  RR )  =  ( -u 1 (,) 1 )
123122eqimssi 3471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( D  i^i  RR )  C_  ( -u 1 (,) 1
)
124123sseli 3413 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( D  i^i  RR )  ->  x  e.  ( -u 1 (,) 1
) )
125121, 124sylbir 213 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  D  /\  x  e.  RR )  ->  x  e.  ( -u
1 (,) 1 ) )
126 incom 3605 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0 (,) +oo )  i^i  ( -oo (,] 0
) )  =  ( ( -oo (,] 0
)  i^i  ( 0 (,) +oo ) )
127 pnfxr 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |- +oo  e.  RR*
128 df-ioc 11455 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  (,]  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <  z  /\  z  <_  y ) } )
129 df-ioo 11454 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  (,)  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <  z  /\  z  <  y ) } )
130 xrltnle 9564 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  w  e.  RR* )  ->  (
0  <  w  <->  -.  w  <_  0 ) )
131128, 129, 130ixxdisj 11465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  ( ( -oo (,] 0 )  i^i  ( 0 (,) +oo ) )  =  (/) )
13252, 63, 127, 131mp3an 1322 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( -oo (,] 0 )  i^i  ( 0 (,) +oo ) )  =  (/)
133126, 132eqtri 2411 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0 (,) +oo )  i^i  ( -oo (,] 0
) )  =  (/)
134 elioore 11480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  x  e.  RR )
135134resqcld 12238 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
x ^ 2 )  e.  RR )
136 resubcl 9796 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( x ^ 2 )  e.  RR )  ->  ( 1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  RR )
13795, 135, 136sylancr 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  RR )
13892rexri 9557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  -u 1  e.  RR*
13995rexri 9557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  e.  RR*
140 elioo2 11491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
-u 1  e.  RR*  /\  1  e.  RR* )  ->  ( x  e.  (
-u 1 (,) 1
)  <->  ( x  e.  RR  /\  -u 1  <  x  /\  x  <  1 ) ) )
141138, 139, 140mp2an 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  <->  ( x  e.  RR  /\  -u 1  <  x  /\  x  <  1 ) )
142 recn 9493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  CC )
143142abscld 13269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  RR  ->  ( abs `  x )  e.  RR )
144142absge0d 13277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  RR  ->  0  <_  ( abs `  x
) )
145 0le1 9993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  0  <_  1
146 lt2sq 12144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( abs `  x
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  x
) )  /\  (
1  e.  RR  /\  0  <_  1 ) )  ->  ( ( abs `  x )  <  1  <->  ( ( abs `  x
) ^ 2 )  <  ( 1 ^ 2 ) ) )
14795, 145, 146mpanr12 683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( abs `  x
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  x
) )  ->  (
( abs `  x
)  <  1  <->  ( ( abs `  x ) ^
2 )  <  (
1 ^ 2 ) ) )
148143, 144, 147syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( abs `  x
)  <  1  <->  ( ( abs `  x ) ^
2 )  <  (
1 ^ 2 ) ) )
149 abslt 13149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( abs `  x
)  <  1  <->  ( -u 1  <  x  /\  x  <  1 ) ) )
15095, 149mpan2 669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( abs `  x
)  <  1  <->  ( -u 1  <  x  /\  x  <  1 ) ) )
151 absresq 13137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( abs `  x
) ^ 2 )  =  ( x ^
2 ) )
152 sq1 12165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
153152a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  e.  RR  ->  (
1 ^ 2 )  =  1 )
154151, 153breq12d 4380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( ( abs `  x
) ^ 2 )  <  ( 1 ^ 2 )  <->  ( x ^ 2 )  <  1 ) )
155 resqcl 12138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x ^ 2 )  e.  RR )
156 posdif 9963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( x ^ 2 )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( x ^
2 )  <  1  <->  0  <  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )
157155, 95, 156sylancl 660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( x ^ 2 )  <  1  <->  0  <  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )
158154, 157bitrd 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( ( abs `  x
) ^ 2 )  <  ( 1 ^ 2 )  <->  0  <  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )
159148, 150, 1583bitr3d 283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( -u 1  <  x  /\  x  <  1
)  <->  0  <  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )
160159biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( -u 1  <  x  /\  x  <  1
)  ->  0  <  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )
1611603impib 1192 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  RR  /\  -u 1  <  x  /\  x  <  1 )  -> 
0  <  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) )
162141, 161sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  0  <  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) )
163137, 162elrpd 11174 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  RR+ )
164 ioorp 11523 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0 (,) +oo )  = 
RR+
165163, 164syl6eleqr 2481 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  ( 0 (,) +oo ) )
166 disjel 3789 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( 0 (,) +oo )  i^i  ( -oo (,] 0 ) )  =  (/)  /\  (
1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  ( 0 (,) +oo ) )  ->  -.  ( 1  -  (
x ^ 2 ) )  e.  ( -oo (,] 0 ) )
167133, 165, 166sylancr 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  -.  ( 1  -  (
x ^ 2 ) )  e.  ( -oo (,] 0 ) )
168125, 167syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  D  /\  x  e.  RR )  ->  -.  ( 1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  ( -oo (,] 0 ) )
169 elioc2 11508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR )  ->  (
( 1  -  (
x ^ 2 ) )  e.  ( -oo (,] 0 )  <->  ( (
1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  RR  /\ -oo  <  ( 1  -  (
x ^ 2 ) )  /\  ( 1  -  ( x ^
2 ) )  <_ 
0 ) ) )
17052, 37, 169mp2an 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( 1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  ( -oo (,] 0 )  <->  ( (
1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  RR  /\ -oo  <  ( 1  -  (
x ^ 2 ) )  /\  ( 1  -  ( x ^
2 ) )  <_ 
0 ) )
171170biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  ( -oo (,] 0 )  ->  (
( 1  -  (
x ^ 2 ) )  e.  RR  /\ -oo 
<  ( 1  -  ( x ^ 2 ) )  /\  (
1  -  ( x ^ 2 ) )  <_  0 ) )
172171simp1d 1006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  ( -oo (,] 0 )  ->  (
1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  RR )
173 resubcl 9796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( 1  -  (
x ^ 2 ) )  e.  RR )  ->  ( 1  -  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) )  e.  RR )
17495, 172, 173sylancr 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  ( -oo (,] 0 )  ->  (
1  -  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) )  e.  RR )
175 nncan 9761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( x ^ 2 )  e.  CC )  ->  ( 1  -  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) )  =  ( x ^ 2 ) )
17616, 175mpan 668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x ^ 2 )  e.  CC  ->  (
1  -  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) )  =  ( x ^
2 ) )
177176eleq1d 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x ^ 2 )  e.  CC  ->  (
( 1  -  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  e.  RR  <->  ( x ^ 2 )  e.  RR ) )
178177biimpa 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( x ^ 2 )  e.  CC  /\  ( 1  -  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  e.  RR )  ->  ( x ^
2 )  e.  RR )
179174, 178sylan2 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( x ^ 2 )  e.  CC  /\  ( 1  -  (
x ^ 2 ) )  e.  ( -oo (,] 0 ) )  -> 
( x ^ 2 )  e.  RR )
180172adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( x ^ 2 )  e.  CC  /\  ( 1  -  (
x ^ 2 ) )  e.  ( -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  -  (
x ^ 2 ) )  e.  RR )
181171simp3d 1008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( 1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  ( -oo (,] 0 )  ->  (
1  -  ( x ^ 2 ) )  <_  0 )
182181adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( x ^ 2 )  e.  CC  /\  ( 1  -  (
x ^ 2 ) )  e.  ( -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  -  (
x ^ 2 ) )  <_  0 )
183 letr 9589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( 1  -  (
x ^ 2 ) )  e.  RR  /\  0  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  (
( ( 1  -  ( x ^ 2 ) )  <_  0  /\  0  <_  1 )  ->  ( 1  -  ( x ^ 2 ) )  <_  1
) )
18437, 95, 183mp3an23 1314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( 1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  RR  ->  (
( ( 1  -  ( x ^ 2 ) )  <_  0  /\  0  <_  1 )  ->  ( 1  -  ( x ^ 2 ) )  <_  1
) )
185145, 184mpan2i 675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  RR  ->  (
( 1  -  (
x ^ 2 ) )  <_  0  ->  ( 1  -  ( x ^ 2 ) )  <_  1 ) )
186180, 182, 185sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( x ^ 2 )  e.  CC  /\  ( 1  -  (
x ^ 2 ) )  e.  ( -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  -  (
x ^ 2 ) )  <_  1 )
187 subge0 9983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( 1  -  (
x ^ 2 ) )  e.  RR )  ->  ( 0  <_ 
( 1  -  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  <->  ( 1  -  ( x ^ 2 ) )  <_  1
) )
18895, 180, 187sylancr 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( x ^ 2 )  e.  CC  /\  ( 1  -  (
x ^ 2 ) )  e.  ( -oo (,] 0 ) )  -> 
( 0  <_  (
1  -  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) )  <-> 
( 1  -  (
x ^ 2 ) )  <_  1 ) )
189186, 188mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( x ^ 2 )  e.  CC  /\  ( 1  -  (
x ^ 2 ) )  e.  ( -oo (,] 0 ) )  -> 
0  <_  ( 1  -  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )
190176adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( x ^ 2 )  e.  CC  /\  ( 1  -  (
x ^ 2 ) )  e.  ( -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  -  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =  ( x ^ 2 ) )
191189, 190breqtrd 4391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( x ^ 2 )  e.  CC  /\  ( 1  -  (
x ^ 2 ) )  e.  ( -oo (,] 0 ) )  -> 
0  <_  ( x ^ 2 ) )
192179, 191resqrtcld 13251 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x ^ 2 )  e.  CC  /\  ( 1  -  (
x ^ 2 ) )  e.  ( -oo (,] 0 ) )  -> 
( sqr `  (
x ^ 2 ) )  e.  RR )
19317, 192sylan 469 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( 1  -  (
x ^ 2 ) )  e.  ( -oo (,] 0 ) )  -> 
( sqr `  (
x ^ 2 ) )  e.  RR )
194 eleq1 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  ( sqr `  (
x ^ 2 ) )  ->  ( x  e.  RR  <->  ( sqr `  (
x ^ 2 ) )  e.  RR ) )
195193, 194syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( 1  -  (
x ^ 2 ) )  e.  ( -oo (,] 0 ) )  -> 
( x  =  ( sqr `  ( x ^ 2 ) )  ->  x  e.  RR ) )
196193renegcld 9904 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( 1  -  (
x ^ 2 ) )  e.  ( -oo (,] 0 ) )  ->  -u ( sqr `  (
x ^ 2 ) )  e.  RR )
197 eleq1 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  -u ( sqr `  (
x ^ 2 ) )  ->  ( x  e.  RR  <->  -u ( sqr `  (
x ^ 2 ) )  e.  RR ) )
198196, 197syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( 1  -  (
x ^ 2 ) )  e.  ( -oo (,] 0 ) )  -> 
( x  =  -u ( sqr `  ( x ^ 2 ) )  ->  x  e.  RR ) )
199 eqid 2382 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x ^ 2 )  =  ( x ^ 2 )
200 eqsqrtor 13201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( x ^ 2 )  e.  CC )  ->  ( ( x ^ 2 )  =  ( x ^ 2 )  <->  ( x  =  ( sqr `  (
x ^ 2 ) )  \/  x  = 
-u ( sqr `  (
x ^ 2 ) ) ) ) )
20117, 200mpdan 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( x ^ 2 )  =  ( x ^ 2 )  <->  ( x  =  ( sqr `  (
x ^ 2 ) )  \/  x  = 
-u ( sqr `  (
x ^ 2 ) ) ) ) )
202199, 201mpbii 211 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x  =  ( sqr `  ( x ^ 2 ) )  \/  x  =  -u ( sqr `  (
x ^ 2 ) ) ) )
203202adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( 1  -  (
x ^ 2 ) )  e.  ( -oo (,] 0 ) )  -> 
( x  =  ( sqr `  ( x ^ 2 ) )  \/  x  =  -u ( sqr `  ( x ^ 2 ) ) ) )
204195, 198, 203mpjaod 379 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( 1  -  (
x ^ 2 ) )  e.  ( -oo (,] 0 ) )  ->  x  e.  RR )
205204stoic1a 1612 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  CC  /\  -.  x  e.  RR )  ->  -.  ( 1  -  ( x ^
2 ) )  e.  ( -oo (,] 0
) )
20612, 205sylan 469 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  D  /\  -.  x  e.  RR )  ->  -.  ( 1  -  ( x ^
2 ) )  e.  ( -oo (,] 0
) )
207168, 206pm2.61dan 789 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  D  ->  -.  ( 1  -  (
x ^ 2 ) )  e.  ( -oo (,] 0 ) )
208116, 207eldifd 3400 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  D  ->  (
1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  ( CC  \ 
( -oo (,] 0 ) ) )
209208adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  D )  ->  (
1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  ( CC  \ 
( -oo (,] 0 ) ) )
210 2cnd 10525 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  CC  ->  2  e.  CC )
211 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  CC  ->  x  e.  CC )
212210, 211mulcld 9527 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  CC  ->  (
2  x.  x )  e.  CC )
213212negcld 9831 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  CC  ->  -u (
2  x.  x )  e.  CC )
214213adantl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  CC )  ->  -u (
2  x.  x )  e.  CC )
21512, 214sylan2 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  D )  ->  -u (
2  x.  x )  e.  CC )
21661sqrtcld 13270 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( CC  \ 
( -oo (,] 0 ) )  ->  ( sqr `  y )  e.  CC )
217216adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  y  e.  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) )  ->  ( sqr `  y )  e.  CC )
218 ovex 6224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  /  ( 2  x.  ( sqr `  y
) ) )  e. 
_V
219218a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  y  e.  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) )  ->  ( 1  /  ( 2  x.  ( sqr `  y
) ) )  e. 
_V )
22019adantl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  CC )  ->  (
1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  CC )
22137a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  CC )  ->  0  e.  RR )
222 1cnd 9523 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( T. 
->  1  e.  CC )
22311, 222dvmptc 22446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  1 ) )  =  ( x  e.  CC  |->  0 ) )
22417adantl 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  CC )  ->  (
x ^ 2 )  e.  CC )
225 2cn 10523 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  CC
226 mulcl 9487 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( 2  x.  x
)  e.  CC )
227225, 226mpan 668 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  CC  ->  (
2  x.  x )  e.  CC )
228227adantl 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  CC )  ->  (
2  x.  x )  e.  CC )
229 2nn 10610 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  NN
230 dvexp 22441 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  e.  NN  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^
2 ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( x ^ (
2  -  1 ) ) ) ) )
231229, 230ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( CC 
_D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^
2 ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( x ^ (
2  -  1 ) ) ) )
232 2m1e1 10567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2  -  1 )  =  1
233232oveq2i 6207 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x ^ ( 2  -  1 ) )  =  ( x ^ 1 )
234 exp1 12075 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x ^ 1 )  =  x )
235233, 234syl5eq 2435 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x ^ ( 2  -  1 ) )  =  x )
236235oveq2d 6212 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  CC  ->  (
2  x.  ( x ^ ( 2  -  1 ) ) )  =  ( 2  x.  x ) )
237236mpteq2ia 4449 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( x ^
( 2  -  1 ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( 2  x.  x ) )
238231, 237eqtri 2411 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( CC 
_D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^
2 ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( 2  x.  x ) )
239238a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ 2 ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( 2  x.  x ) ) )
24011, 82, 221, 223, 224, 228, 239dvmptsub 22455 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( 0  -  ( 2  x.  x ) ) ) )
241 df-neg 9721 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -u (
2  x.  x )  =  ( 0  -  ( 2  x.  x
) )
242241mpteq2i 4450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  CC  |->  -u (
2  x.  x ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( 0  -  ( 2  x.  x ) ) )
243240, 242syl6eqr 2441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  -u ( 2  x.  x
) ) )
24411, 220, 214, 243, 84, 90, 85, 108dvmptres 22451 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  D  |->  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  =  ( x  e.  D  |->  -u ( 2  x.  x
) ) )
245 eqid 2382 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( CC 
\  ( -oo (,] 0 ) )  =  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) )
246245dvcnsqrt 30267 . . . . . . . . . . 11  |-  ( CC 
_D  ( y  e.  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) 
|->  ( sqr `  y
) ) )  =  ( y  e.  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) )  |->  ( 1  /  ( 2  x.  ( sqr `  y
) ) ) )
247246a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
y  e.  ( CC 
\  ( -oo (,] 0 ) )  |->  ( sqr `  y ) ) )  =  ( y  e.  ( CC 
\  ( -oo (,] 0 ) )  |->  ( 1  /  ( 2  x.  ( sqr `  y
) ) ) ) )
248 fveq2 5774 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( 1  -  ( x ^ 2 ) )  ->  ( sqr `  y )  =  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )
249248oveq2d 6212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( 1  -  ( x ^ 2 ) )  ->  (
2  x.  ( sqr `  y ) )  =  ( 2  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
250249oveq2d 6212 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( 1  -  ( x ^ 2 ) )  ->  (
1  /  ( 2  x.  ( sqr `  y
) ) )  =  ( 1  /  (
2  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) )
25111, 11, 209, 215, 217, 219, 244, 247, 248, 250dvmptco 22460 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  D  |->  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) )  =  ( x  e.  D  |->  ( ( 1  /  (
2  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )  x.  -u ( 2  x.  x ) ) ) )
252 mulneg2 9912 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( 2  x.  -u x
)  =  -u (
2  x.  x ) )
253225, 12, 252sylancr 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  D  ->  (
2  x.  -u x
)  =  -u (
2  x.  x ) )
254253oveq1d 6211 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  D  ->  (
( 2  x.  -u x
)  /  ( 2  x.  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( -u ( 2  x.  x )  / 
( 2  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
25512negcld 9831 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  D  ->  -u x  e.  CC )
256 eldifn 3541 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( CC  \ 
( ( -oo (,] -u 1 )  u.  (
1 [,) +oo )
) )  ->  -.  x  e.  ( ( -oo (,] -u 1 )  u.  ( 1 [,) +oo ) ) )
257256, 3eleq2s 2490 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  D  ->  -.  x  e.  ( ( -oo (,] -u 1 )  u.  ( 1 [,) +oo ) ) )
258 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  -u 1  ->  x  =  -u 1 )
259 mnflt 11254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( -u
1  e.  RR  -> -oo 
<  -u 1 )
26092, 259ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |- -oo  <  -u 1
261 ubioc1 11499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  -u 1  e.  RR*  /\ -oo  <  -u 1 )  ->  -u 1  e.  ( -oo (,] -u 1
) )
26252, 138, 260, 261mp3an 1322 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  -u 1  e.  ( -oo (,] -u 1
)
263258, 262syl6eqel 2478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  -u 1  ->  x  e.  ( -oo (,] -u 1
) )
264 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  1  ->  x  =  1 )
265 ltpnf 11252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 1  e.  RR  ->  1  < +oo )
26695, 265ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  < +oo
267 lbico1 11500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 1  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\  1  < +oo )  ->  1  e.  ( 1 [,) +oo ) )
268139, 127, 266, 267mp3an 1322 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  ( 1 [,) +oo )
269264, 268syl6eqel 2478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  1  ->  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )
270263, 269orim12i 514 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  =  -u 1  \/  x  =  1
)  ->  ( x  e.  ( -oo (,] -u 1
)  \/  x  e.  ( 1 [,) +oo ) ) )
271270orcoms 387 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  1  \/  x  =  -u 1
)  ->  ( x  e.  ( -oo (,] -u 1
)  \/  x  e.  ( 1 [,) +oo ) ) )
272 elun 3559 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( ( -oo (,] -u 1 )  u.  ( 1 [,) +oo ) )  <->  ( x  e.  ( -oo (,] -u 1
)  \/  x  e.  ( 1 [,) +oo ) ) )
273271, 272sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  1  \/  x  =  -u 1
)  ->  x  e.  ( ( -oo (,] -u 1 )  u.  (
1 [,) +oo )
) )
274257, 273nsyl 121 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  D  ->  -.  ( x  =  1  \/  x  =  -u 1
) )
275 1cnd 9523 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) )  =  0 )  -> 
1  e.  CC )
27617adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) )  =  0 )  -> 
( x ^ 2 )  e.  CC )
27719adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) )  =  0 )  -> 
( 1  -  (
x ^ 2 ) )  e.  CC )
278 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) )  =  0 )  -> 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =  0 )
279277, 278sqr00d 13274 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) )  =  0 )  -> 
( 1  -  (
x ^ 2 ) )  =  0 )
280275, 276, 279subeq0d 9852 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) )  =  0 )  -> 
1  =  ( x ^ 2 ) )
281152, 280syl5req 2436 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) )  =  0 )  -> 
( x ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
282281ex 432 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =  0  -> 
( x ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 ) ) )
283 sqeqor 12184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( x ^
2 )  =  ( 1 ^ 2 )  <-> 
( x  =  1  \/  x  =  -u
1 ) ) )
28416, 283mpan2 669 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( x ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 )  <->  ( x  =  1  \/  x  =  -u 1 ) ) )
285282, 284sylibd 214 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =  0  -> 
( x  =  1  \/  x  =  -u
1 ) ) )
286285necon3bd 2594 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  CC  ->  ( -.  ( x  =  1  \/  x  =  -u
1 )  ->  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =/=  0 ) )
28712, 274, 286sylc 60 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  D  ->  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =/=  0 )
288 2cnne0 10667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
289 divcan5 10163 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
-u x  e.  CC  /\  ( ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  e.  CC  /\  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) )  =/=  0 )  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  ->  ( (
2  x.  -u x
)  /  ( 2  x.  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( -u x  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
290288, 289mp3an3 1311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
-u x  e.  CC  /\  ( ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  e.  CC  /\  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) )  =/=  0 ) )  ->  ( ( 2  x.  -u x )  / 
( 2  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( -u x  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
291255, 117, 287, 290syl12anc 1224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  D  ->  (
( 2  x.  -u x
)  /  ( 2  x.  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( -u x  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
292225, 12, 226sylancr 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  D  ->  (
2  x.  x )  e.  CC )
293292negcld 9831 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  D  ->  -u (
2  x.  x )  e.  CC )
294 mulcl 9487 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) )  e.  CC )  -> 
( 2  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  CC )
295225, 117, 294sylancr 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  D  ->  (
2  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  e.  CC )
296 mulne0 10108 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  ( ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) )  e.  CC  /\  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =/=  0 ) )  ->  ( 2  x.  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  =/=  0
)
297288, 296mpan 668 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  e.  CC  /\  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) )  =/=  0 )  -> 
( 2  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  =/=  0 )
298117, 287, 297syl2anc 659 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  D  ->  (
2  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  =/=  0 )
299293, 295, 298divrec2d 10241 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  D  ->  ( -u ( 2  x.  x
)  /  ( 2  x.  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( 1  / 
( 2  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  x.  -u (
2  x.  x ) ) )
300254, 291, 2993eqtr3rd 2432 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  D  ->  (
( 1  /  (
2  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )  x.  -u ( 2  x.  x ) )  =  ( -u x  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
301300mpteq2ia 4449 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  D  |->  ( ( 1  /  ( 2  x.  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  x.  -u ( 2  x.  x
) ) )  =  ( x  e.  D  |->  ( -u x  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
302251, 301syl6eq 2439 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  D  |->  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) )  =  ( x  e.  D  |->  (
-u x  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
30311, 77, 78, 114, 118, 120, 302dvmptadd 22448 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  D  |->  ( ( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  D  |->  ( _i  +  ( -u x  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
304 mulcl 9487 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  CC )
30513, 20, 304sylancr 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  e.  CC )
30612, 305syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  D  ->  (
_i  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  e.  CC )
307306, 255, 117, 287divdird 10275 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  D  ->  (
( ( _i  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  +  -u x
)  /  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( ( _i  x.  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  +  ( -u x  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
308 ixi 10095 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( _i  x.  _i )  = 
-u 1
309308eqcomi 2395 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u 1  =  ( _i  x.  _i )
310309oveq1i 6206 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -u
1  x.  x )  =  ( ( _i  x.  _i )  x.  x )
311 mulm1 9916 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  CC  ->  ( -u 1  x.  x )  =  -u x )
312 mulass 9491 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  _i  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  (
( _i  x.  _i )  x.  x )  =  ( _i  x.  ( _i  x.  x
) ) )
31313, 13, 312mp3an12 1312 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( _i  x.  _i )  x.  x )  =  ( _i  x.  ( _i  x.  x
) ) )
314310, 311, 3133eqtr3a 2447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  CC  ->  -u x  =  ( _i  x.  ( _i  x.  x
) ) )
315314oveq1d 6211 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  CC  ->  ( -u x  +  ( _i  x.  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( _i  x.  x
) )  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) )
316 negcl 9733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  CC  ->  -u x  e.  CC )
317305, 316addcomd 9693 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( _i  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  +  -u x )  =  ( -u x  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
31813a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  CC  ->  _i  e.  CC )
319318, 15, 20adddid 9531 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( (
_i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( _i  x.  x
) )  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) )
320315, 317, 3193eqtr4d 2433 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( _i  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  +  -u x )  =  ( _i  x.  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) )
32112, 320syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  D  ->  (
( _i  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  +  -u x )  =  ( _i  x.  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) )
322321oveq1d 6211 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  D  ->  (
( ( _i  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  +  -u x
)  /  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) )  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
32375, 117, 287divcan4d 10243 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  D  ->  (
( _i  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  =  _i )
324323oveq1d 6211 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  D  ->  (
( ( _i  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  /  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  +  ( -u x  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( _i  +  (
-u x  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
325307, 322, 3243eqtr3rd 2432 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  D  ->  (
_i  +  ( -u x  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) )  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
326325mpteq2ia 4449 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  D  |->  ( _i  +  ( -u x  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  D  |->  ( ( _i  x.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
327303, 326syl6eq 2439 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  D  |->  ( ( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  D  |->  ( ( _i  x.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
328245dvlog 23119 . . . . . . 7  |-  ( CC 
_D  ( log  |`  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) ) )  =  ( y  e.  ( CC  \ 
( -oo (,] 0 ) )  |->  ( 1  / 
y ) )
329 logf1o 23037 . . . . . . . . . 10  |-  log :
( CC  \  {
0 } ) -1-1-onto-> ran  log
330 f1of 5724 . . . . . . . . . 10  |-  ( log
: ( CC  \  { 0 } ) -1-1-onto-> ran 
log  ->  log : ( CC 
\  { 0 } ) --> ran  log )
331329, 330mp1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  log : ( CC 
\  { 0 } ) --> ran  log )
332 snssi 4088 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  e.  ( -oo (,] 0 )  ->  { 0 }  C_  ( -oo (,] 0 ) )
33366, 332ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  { 0 }  C_  ( -oo (,] 0 )
334 sscon 3552 . . . . . . . . . 10  |-  ( { 0 }  C_  ( -oo (,] 0 )  -> 
( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) 
C_  ( CC  \  { 0 } ) )
335333, 334mp1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) 
C_  ( CC  \  { 0 } ) )
336331, 335feqresmpt 5828 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( log  |`  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) )  =  ( y  e.  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) 
|->  ( log `  y
) ) )
337336oveq2d 6212 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  ( log  |`  ( CC  \ 
( -oo (,] 0 ) ) ) )  =  ( CC  _D  (
y  e.  ( CC 
\  ( -oo (,] 0 ) )  |->  ( log `  y ) ) ) )
338328, 337syl5reqr 2438 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
y  e.  ( CC 
\  ( -oo (,] 0 ) )  |->  ( log `  y ) ) )  =  ( y  e.  ( CC 
\  ( -oo (,] 0 ) )  |->  ( 1  /  y ) ) )
339 fveq2 5774 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  ->  ( log `  y )  =  ( log `  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) )
340 oveq2 6204 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  ->  (
1  /  y )  =  ( 1  / 
( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) ) )
34111, 11, 58, 60, 72, 74, 327, 338, 339, 340dvmptco 22460 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  D  |->  ( log `  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  D  |->  ( ( 1  /  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  x.  ( ( _i  x.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) )  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
34222, 24reccld 10230 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  D  ->  (
1  /  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  e.  CC )
343 mulcl 9487 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  CC )  ->  ( _i  x.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) )  e.  CC )
34413, 21, 343sylancr 661 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( (
_i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  e.  CC )
34512, 344syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  D  ->  (
_i  x.  ( (
_i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  e.  CC )
346342, 345, 117, 287divassd 10272 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  D  ->  (
( ( 1  / 
( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) )  x.  (
_i  x.  ( (
_i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( 1  /  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )  x.  ( ( _i  x.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
347345, 22, 24divrec2d 10241 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  D  ->  (
( _i  x.  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )  /  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( 1  / 
( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) )  x.  (
_i  x.  ( (
_i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
34875, 22, 24divcan4d 10243 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  D  ->  (
( _i  x.  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )  /  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  =  _i )
349347, 348eqtr3d 2425 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  D  ->  (
( 1  /  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )  x.  ( _i  x.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) ) )  =  _i )
350349oveq1d 6211 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  D  ->  (
( ( 1  / 
( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) )  x.  (
_i  x.  ( (
_i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  =  ( _i  /  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )
351346, 350eqtr3d 2425 . . . . . 6  |-  ( x  e.  D  ->  (
( 1  /  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )  x.  ( ( _i  x.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( _i  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
352351mpteq2ia 4449 . . . . 5  |-  ( x  e.  D  |->  ( ( 1  /  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  x.  ( ( _i  x.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) )  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  D  |->  ( _i  /  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )
353341, 352syl6eq 2439 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  D  |->  ( log `  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  D  |->  ( _i 
/  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
354 negicn 9734 . . . . 5  |-  -u _i  e.  CC
355354a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  -u _i  e.  CC )
35611, 26, 28, 353, 355dvmptcmul 22452 . . 3  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  D  |->  (
-u _i  x.  ( log `  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  D  |->  (
-u _i  x.  (
_i  /  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
357356trud 1408 . 2  |-  ( CC 
_D  ( x  e.  D  |->  ( -u _i  x.  ( log `  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  D  |->  ( -u _i  x.  ( _i  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
35813, 13mulneg1i 9920 . . . . . 6  |-  ( -u _i  x.  _i )  = 
-u ( _i  x.  _i )
359308negeqi 9726 . . . . . 6  |-  -u (
_i  x.  _i )  =  -u -u 1
360 negneg1e1 10560 . . . . . 6  |-  -u -u 1  =  1
361358, 359, 3603eqtri 2415 . . . . 5  |-  ( -u _i  x.  _i )  =  1
362361oveq1i 6206 . . . 4  |-  ( (
-u _i  x.  _i )  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  =  ( 1  /  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )
363 divass 10142 . . . . . 6  |-  ( (
-u _i  e.  CC  /\  _i  e.  CC  /\  ( ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  e.  CC  /\  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) )  =/=  0 ) )  ->  ( ( -u _i  x.  _i )  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  =  (
-u _i  x.  (
_i  /  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) )
364354, 13, 363mp3an12 1312 . . . . 5  |-  ( ( ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  e.  CC  /\  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) )  =/=  0 )  -> 
( ( -u _i  x.  _i )  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  =  ( -u _i  x.  ( _i  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
365117, 287, 364syl2anc 659 . . . 4  |-  ( x  e.  D  ->  (
( -u _i  x.  _i )  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  =  (
-u _i  x.  (
_i  /  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) )
366362, 365syl5reqr 2438 . . 3  |-  ( x  e.  D  ->  ( -u _i  x.  ( _i 
/  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( 1  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
367366mpteq2ia 4449 . 2  |-  ( x  e.  D  |->  ( -u _i  x.  ( _i  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  D  |->  ( 1  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
3689, 357, 3673eqtri 2415 1  |-  ( CC 
_D  (arcsin  |`  D ) )  =  ( x  e.  D  |->  ( 1  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    \/ w3o 970    /\ w3a 971    = wceq 1399   T. wtru 1400    e. wcel 1826    =/= wne 2577   _Vcvv 3034    \ cdif 3386    u. cun 3387    i^i cin 3388    C_ wss 3389   (/)c0 3711   {csn 3944   {cpr 3946   class class class wbr 4367    |-> cmpt 4425   ran crn 4914    |` cres 4915   -->wf 5492   -1-1-onto->wf1o 5495   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   CCcc 9401   RRcr 9402   0cc0 9403   1c1 9404   _ici 9405    + caddc 9406    x. cmul 9408   +oocpnf 9536   -oocmnf 9537   RR*cxr 9538    < clt 9539    <_ cle 9540    - cmin 9718   -ucneg 9719    / cdiv 10123   NNcn 10452   2c2 10502   RR+crp 11139   (,)cioo 11450   (,]cioc 11451   [,)cico 11452   ^cexp 12069   Recre 12932   sqrcsqrt 13068   abscabs 13069   ↾t crest 14828   TopOpenctopn 14829   topGenctg 14845  ℂfldccnfld 18533  TopOnctopon 19480   Clsdccld 19602    _D cdv 22352   logclog 23027  arcsincasin 23309
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-inf2 7972  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-pre-sup 9481  ax-addf 9482  ax-mulf 9483
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-fal 1405  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-iin 4246  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-se 4753  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-isom 5505  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-of 6439  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-supp 6818  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-2o 7049  df-oadd 7052  df-er 7229  df-map 7340  df-pm 7341  df-ixp 7389  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-fsupp 7745  df-fi 7786  df-sup 7816  df-oi 7850  df-card 8233  df-cda 8461  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-4 10513  df-5 10514  df-6 10515  df-7 10516  df-8 10517  df-9 10518  df-10 10519  df-n0 10713  df-z 10782  df-dec 10896  df-uz 11002  df-q 11102  df-rp 11140  df-xneg 11239  df-xadd 11240  df-xmul 11241  df-ioo 11454  df-ioc 11455  df-ico 11456  df-icc 11457  df-fz 11594  df-fzo 11718  df-fl 11828  df-mod 11897  df-seq 12011  df-exp 12070  df-fac 12256  df-bc 12283  df-hash 12308  df-shft 12902  df-cj 12934  df-re 12935  df-im 12936  df-sqrt 13070  df-abs 13071  df-limsup 13296  df-clim 13313  df-rlim 13314  df-sum 13511  df-ef 13805  df-sin 13807  df-cos 13808  df-tan 13809  df-pi 13810  df-struct 14636  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-sets 14640  df-ress 14641  df-plusg 14715  df-mulr 14716  df-starv 14717  df-sca 14718  df-vsca 14719  df-ip 14720  df-tset 14721  df-ple 14722  df-ds 14724  df-unif 14725  df-hom 14726  df-cco 14727  df-rest 14830  df-topn 14831  df-0g 14849  df-gsum 14850  df-topgen 14851  df-pt 14852  df-prds 14855  df-xrs 14909  df-qtop 14914  df-imas 14915  df-xps 14917  df-mre 14993  df-mrc 14994  df-acs 14996  df-mgm 15989  df-sgrp 16028  df-mnd 16038  df-submnd 16084  df-mulg 16177  df-cntz 16472  df-cmn 16917  df-psmet 18524  df-xmet 18525  df-met 18526  df-bl 18527  df-mopn 18528  df-fbas 18529  df-fg 18530  df-cnfld 18534  df-top 19484  df-bases 19486  df-topon 19487  df-topsp 19488  df-cld 19605  df-ntr 19606  df-cls 19607  df-nei 19685  df-lp 19723  df-perf 19724  df-cn 19814  df-cnp 19815  df-haus 19902  df-cmp 19973  df-tx 20148  df-hmeo 20341  df-fil 20432  df-fm 20524  df-flim 20525  df-flf 20526  df-xms 20908  df-ms 20909  df-tms 20910  df-cncf 21467  df-limc 22355  df-dv 22356  df-log 23029  df-cxp 23030  df-asin 23312
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