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Theorem dvasin 32092
Description: Derivative of arcsine. (Contributed by Brendan Leahy, 18-Dec-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
dvasin.d  |-  D  =  ( CC  \  (
( -oo (,] -u 1
)  u.  ( 1 [,) +oo ) ) )
Assertion
Ref Expression
dvasin  |-  ( CC 
_D  (arcsin  |`  D ) )  =  ( x  e.  D  |->  ( 1  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
Distinct variable group:    x, D

Proof of Theorem dvasin
Dummy variables  y 
z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-asin 23870 . . . . 5  |- arcsin  =  ( x  e.  CC  |->  (
-u _i  x.  ( log `  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
21reseq1i 5107 . . . 4  |-  (arcsin  |`  D )  =  ( ( x  e.  CC  |->  ( -u _i  x.  ( log `  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) ) )  |`  D )
3 dvasin.d . . . . . 6  |-  D  =  ( CC  \  (
( -oo (,] -u 1
)  u.  ( 1 [,) +oo ) ) )
4 difss 3549 . . . . . 6  |-  ( CC 
\  ( ( -oo (,] -u 1 )  u.  ( 1 [,) +oo ) ) )  C_  CC
53, 4eqsstri 3448 . . . . 5  |-  D  C_  CC
6 resmpt 5160 . . . . 5  |-  ( D 
C_  CC  ->  ( ( x  e.  CC  |->  (
-u _i  x.  ( log `  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) ) )  |`  D )  =  ( x  e.  D  |->  ( -u _i  x.  ( log `  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )
75, 6ax-mp 5 . . . 4  |-  ( ( x  e.  CC  |->  (
-u _i  x.  ( log `  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) ) )  |`  D )  =  ( x  e.  D  |->  ( -u _i  x.  ( log `  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
82, 7eqtri 2493 . . 3  |-  (arcsin  |`  D )  =  ( x  e.  D  |->  ( -u _i  x.  ( log `  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
98oveq2i 6319 . 2  |-  ( CC 
_D  (arcsin  |`  D ) )  =  ( CC 
_D  ( x  e.  D  |->  ( -u _i  x.  ( log `  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )
10 cnelprrecn 9650 . . . . 5  |-  CC  e.  { RR ,  CC }
1110a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  CC  e.  { RR ,  CC } )
125sseli 3414 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  D  ->  x  e.  CC )
13 ax-icn 9616 . . . . . . . . 9  |-  _i  e.  CC
14 mulcl 9641 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( _i  x.  x
)  e.  CC )
1513, 14mpan 684 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CC  ->  (
_i  x.  x )  e.  CC )
16 ax-1cn 9615 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
17 sqcl 12375 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x ^ 2 )  e.  CC )
18 subcl 9894 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( x ^ 2 )  e.  CC )  ->  ( 1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  CC )
1916, 17, 18sylancr 676 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  CC  ->  (
1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  CC )
2019sqrtcld 13576 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CC  ->  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) )  e.  CC )
2115, 20addcld 9680 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  e.  CC )
2212, 21syl 17 . . . . . 6  |-  ( x  e.  D  ->  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  e.  CC )
23 asinlem 23873 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  =/=  0 )
2412, 23syl 17 . . . . . 6  |-  ( x  e.  D  ->  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  =/=  0 )
2522, 24logcld 23599 . . . . 5  |-  ( x  e.  D  ->  ( log `  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  e.  CC )
2625adantl 473 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e.  D )  ->  ( log `  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  e.  CC )
27 ovex 6336 . . . . 5  |-  ( _i 
/  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  _V
2827a1i 11 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e.  D )  ->  (
_i  /  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  e. 
_V )
29 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR )  ->  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  RR )
30 asinlem3 23876 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  CC  ->  0  <_  ( Re `  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) )
31 rere 13262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  e.  RR  ->  ( Re `  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )
3231breq2d 4407 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  e.  RR  ->  ( 0  <_  ( Re `  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) )  <->  0  <_  ( ( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) )
3332biimpac 494 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 0  <_  ( Re `  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) )  /\  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  e.  RR )  ->  0  <_  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) )
3430, 33sylan 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR )  ->  0  <_  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )
3523adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR )  ->  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  =/=  0
)
3629, 34, 35ne0gt0d 9789 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR )  ->  0  <  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )
37 0re 9661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  RR
38 ltnle 9731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR )  ->  ( 0  < 
( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  <->  -.  ( (
_i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  <_  0
) )
3937, 38mpan 684 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  e.  RR  ->  ( 0  <  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  <->  -.  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  <_ 
0 ) )
4039adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR )  ->  ( 0  < 
( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  <->  -.  ( (
_i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  <_  0
) )
4136, 40mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR )  ->  -.  ( (
_i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  <_  0
)
4241ex 441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR  ->  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  <_  0 ) )
4312, 42syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  D  ->  (
( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR  ->  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  <_  0 ) )
44 imor 419 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR  ->  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  <_  0 )  <-> 
( -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  RR  \/  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  <_  0
) )
4543, 44sylib 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  D  ->  ( -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR  \/  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  <_  0 ) )
4645orcomd 395 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  D  ->  ( -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  <_  0  \/  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR ) )
4746olcd 400 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  D  ->  ( -. -oo  <  ( (
_i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  \/  ( -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  <_  0  \/  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR ) ) )
48 3ianor 1024 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  RR  /\ -oo  <  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  /\  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  <_ 
0 )  <->  ( -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR  \/  -. -oo  <  ( (
_i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  \/  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  <_  0 ) )
49 3orrot 1013 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  RR  \/  -. -oo  <  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  \/ 
-.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  <_  0
)  <->  ( -. -oo  <  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  \/  -.  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  <_ 
0  \/  -.  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  e.  RR ) )
50 3orass 1010 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -. -oo  <  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  \/ 
-.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  <_  0  \/  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  RR ) 
<->  ( -. -oo  <  ( ( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  \/  ( -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  <_  0  \/  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  RR ) ) )
5148, 49, 503bitrri 280 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -. -oo  <  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  \/  ( -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  <_  0  \/  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  RR ) )  <->  -.  (
( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR  /\ -oo 
<  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  /\  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  <_ 
0 ) )
52 mnfxr 11437 . . . . . . . . . . 11  |- -oo  e.  RR*
53 elioc2 11722 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR )  ->  (
( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  ( -oo (,] 0 )  <->  ( (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  e.  RR  /\ -oo  <  ( ( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  /\  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  <_  0 ) ) )
5452, 37, 53mp2an 686 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  e.  ( -oo (,] 0
)  <->  ( ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  RR  /\ -oo  <  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  /\  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  <_ 
0 ) )
5551, 54xchbinxr 318 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -. -oo  <  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  \/  ( -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  <_  0  \/  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  RR ) )  <->  -.  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  e.  ( -oo (,] 0
) )
5647, 55sylib 201 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  D  ->  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  ( -oo (,] 0 ) )
5722, 56eldifd 3401 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  D  ->  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  e.  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) )
5857adantl 473 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  D )  ->  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  e.  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) )
59 ovex 6336 . . . . . . 7  |-  ( ( _i  x.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  _V
6059a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  D )  ->  (
( _i  x.  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  _V )
61 eldifi 3544 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( CC  \ 
( -oo (,] 0 ) )  ->  y  e.  CC )
62 eldifn 3545 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( CC  \ 
( -oo (,] 0 ) )  ->  -.  y  e.  ( -oo (,] 0
) )
63 0xr 9705 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR*
64 mnflt0 11450 . . . . . . . . . . . 12  |- -oo  <  0
65 ubioc1 11713 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\ -oo  <  0 )  ->  0  e.  ( -oo (,] 0
) )
6652, 63, 64, 65mp3an 1390 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  ( -oo (,] 0
)
67 eleq1 2537 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  0  ->  (
y  e.  ( -oo (,] 0 )  <->  0  e.  ( -oo (,] 0 ) ) )
6866, 67mpbiri 241 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  0  ->  y  e.  ( -oo (,] 0
) )
6968necon3bi 2669 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  y  e.  ( -oo (,] 0 )  ->  y  =/=  0 )
7062, 69syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( CC  \ 
( -oo (,] 0 ) )  ->  y  =/=  0 )
7161, 70logcld 23599 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( CC  \ 
( -oo (,] 0 ) )  ->  ( log `  y )  e.  CC )
7271adantl 473 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  y  e.  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) )  ->  ( log `  y )  e.  CC )
73 ovex 6336 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  y )  e. 
_V
7473a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  y  e.  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) )  ->  ( 1  /  y )  e. 
_V )
7513a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  D  ->  _i  e.  CC )
7675, 12mulcld 9681 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  D  ->  (
_i  x.  x )  e.  CC )
7776adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  D )  ->  (
_i  x.  x )  e.  CC )
7813a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  D )  ->  _i  e.  CC )
7912adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  D )  ->  x  e.  CC )
80 1cnd 9677 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  D )  ->  1  e.  CC )
81 simpr 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  CC )  ->  x  e.  CC )
82 1cnd 9677 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  CC )  ->  1  e.  CC )
8311dvmptid 22990 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  x ) )  =  ( x  e.  CC  |->  1 ) )
845a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  D  C_  CC )
85 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
8685cnfldtopon 21881 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
8786toponunii 20024 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
8887restid 15410 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  ->  ( (
TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld ) )
8986, 88ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld )
9089eqcomi 2480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )
9185recld2 21910 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  RR  e.  ( Clsd `  ( TopOpen ` fld ) )
92 neg1rr 10736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  -u 1  e.  RR
93 iocmnfcld 21867 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -u
1  e.  RR  ->  ( -oo (,] -u 1
)  e.  ( Clsd `  ( topGen `  ran  (,) )
) )
9492, 93ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -oo (,] -u 1 )  e.  ( Clsd `  ( topGen `
 ran  (,) )
)
95 1re 9660 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  RR
96 icopnfcld 21866 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
1 [,) +oo )  e.  ( Clsd `  ( topGen `
 ran  (,) )
) )
9795, 96ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1 [,) +oo )  e.  ( Clsd `  ( topGen `
 ran  (,) )
)
98 uncld 20133 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( -oo (,] -u 1
)  e.  ( Clsd `  ( topGen `  ran  (,) )
)  /\  ( 1 [,) +oo )  e.  ( Clsd `  ( topGen `
 ran  (,) )
) )  ->  (
( -oo (,] -u 1
)  u.  ( 1 [,) +oo ) )  e.  ( Clsd `  ( topGen `
 ran  (,) )
) )
9994, 97, 98mp2an 686 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( -oo (,] -u 1
)  u.  ( 1 [,) +oo ) )  e.  ( Clsd `  ( topGen `
 ran  (,) )
)
10085tgioo2 21899 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
101100fveq2i 5882 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Clsd `  ( topGen `  ran  (,) )
)  =  ( Clsd `  ( ( TopOpen ` fld )t  RR ) )
10299, 101eleqtri 2547 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( -oo (,] -u 1
)  u.  ( 1 [,) +oo ) )  e.  ( Clsd `  (
( TopOpen ` fld )t  RR ) )
103 restcldr 20267 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( RR  e.  ( Clsd `  ( TopOpen ` fld ) )  /\  (
( -oo (,] -u 1
)  u.  ( 1 [,) +oo ) )  e.  ( Clsd `  (
( TopOpen ` fld )t  RR ) ) )  ->  ( ( -oo (,] -u 1 )  u.  ( 1 [,) +oo ) )  e.  (
Clsd `  ( TopOpen ` fld ) ) )
10491, 102, 103mp2an 686 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( -oo (,] -u 1
)  u.  ( 1 [,) +oo ) )  e.  ( Clsd `  ( TopOpen
` fld
) )
10587cldopn 20123 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -oo (,] -u 1
)  u.  ( 1 [,) +oo ) )  e.  ( Clsd `  ( TopOpen
` fld
) )  ->  ( CC  \  ( ( -oo (,] -u 1 )  u.  ( 1 [,) +oo ) ) )  e.  ( TopOpen ` fld ) )
106104, 105ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( CC 
\  ( ( -oo (,] -u 1 )  u.  ( 1 [,) +oo ) ) )  e.  ( TopOpen ` fld )
1073, 106eqeltri 2545 . . . . . . . . . . . 12  |-  D  e.  ( TopOpen ` fld )
108107a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  D  e.  ( TopOpen
` fld
) )
10911, 81, 82, 83, 84, 90, 85, 108dvmptres 22996 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  D  |->  x ) )  =  ( x  e.  D  |->  1 ) )
11013a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  _i  e.  CC )
11111, 79, 80, 109, 110dvmptcmul 22997 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  D  |->  ( _i  x.  x ) ) )  =  ( x  e.  D  |->  ( _i  x.  1 ) ) )
11213mulid1i 9663 . . . . . . . . . 10  |-  ( _i  x.  1 )  =  _i
113112mpteq2i 4479 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  D  |->  ( _i  x.  1 ) )  =  ( x  e.  D  |->  _i )
114111, 113syl6eq 2521 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  D  |->  ( _i  x.  x ) ) )  =  ( x  e.  D  |->  _i ) )
11512sqcld 12452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  D  ->  (
x ^ 2 )  e.  CC )
11616, 115, 18sylancr 676 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  D  ->  (
1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  CC )
117116sqrtcld 13576 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  D  ->  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) )  e.  CC )
118117adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  D )  ->  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) )  e.  CC )
119 ovex 6336 . . . . . . . . 9  |-  ( -u x  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  _V
120119a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  D )  ->  ( -u x  /  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  e. 
_V )
121 elin 3608 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( D  i^i  RR )  <->  ( x  e.  D  /\  x  e.  RR ) )
1223asindmre 32091 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( D  i^i  RR )  =  ( -u 1 (,) 1 )
123122eqimssi 3472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( D  i^i  RR )  C_  ( -u 1 (,) 1
)
124123sseli 3414 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( D  i^i  RR )  ->  x  e.  ( -u 1 (,) 1
) )
125121, 124sylbir 218 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  D  /\  x  e.  RR )  ->  x  e.  ( -u
1 (,) 1 ) )
126 incom 3616 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0 (,) +oo )  i^i  ( -oo (,] 0
) )  =  ( ( -oo (,] 0
)  i^i  ( 0 (,) +oo ) )
127 pnfxr 11435 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |- +oo  e.  RR*
128 df-ioc 11665 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  (,]  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <  z  /\  z  <_  y ) } )
129 df-ioo 11664 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  (,)  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <  z  /\  z  <  y ) } )
130 xrltnle 9719 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  w  e.  RR* )  ->  (
0  <  w  <->  -.  w  <_  0 ) )
131128, 129, 130ixxdisj 11675 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  ( ( -oo (,] 0 )  i^i  ( 0 (,) +oo ) )  =  (/) )
13252, 63, 127, 131mp3an 1390 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( -oo (,] 0 )  i^i  ( 0 (,) +oo ) )  =  (/)
133126, 132eqtri 2493 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0 (,) +oo )  i^i  ( -oo (,] 0
) )  =  (/)
134 elioore 11691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  x  e.  RR )
135134resqcld 12480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
x ^ 2 )  e.  RR )
136 resubcl 9958 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( x ^ 2 )  e.  RR )  ->  ( 1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  RR )
13795, 135, 136sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  RR )
13892rexri 9711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  -u 1  e.  RR*
13995rexri 9711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  e.  RR*
140 elioo2 11702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
-u 1  e.  RR*  /\  1  e.  RR* )  ->  ( x  e.  (
-u 1 (,) 1
)  <->  ( x  e.  RR  /\  -u 1  <  x  /\  x  <  1 ) ) )
141138, 139, 140mp2an 686 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  <->  ( x  e.  RR  /\  -u 1  <  x  /\  x  <  1 ) )
142 recn 9647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  CC )
143142abscld 13575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  RR  ->  ( abs `  x )  e.  RR )
144142absge0d 13583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  RR  ->  0  <_  ( abs `  x
) )
145 0le1 10158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  0  <_  1
146 lt2sq 12386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( abs `  x
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  x
) )  /\  (
1  e.  RR  /\  0  <_  1 ) )  ->  ( ( abs `  x )  <  1  <->  ( ( abs `  x
) ^ 2 )  <  ( 1 ^ 2 ) ) )
14795, 145, 146mpanr12 699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( abs `  x
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  x
) )  ->  (
( abs `  x
)  <  1  <->  ( ( abs `  x ) ^
2 )  <  (
1 ^ 2 ) ) )
148143, 144, 147syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( abs `  x
)  <  1  <->  ( ( abs `  x ) ^
2 )  <  (
1 ^ 2 ) ) )
149 abslt 13454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( abs `  x
)  <  1  <->  ( -u 1  <  x  /\  x  <  1 ) ) )
15095, 149mpan2 685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( abs `  x
)  <  1  <->  ( -u 1  <  x  /\  x  <  1 ) ) )
151 absresq 13442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( abs `  x
) ^ 2 )  =  ( x ^
2 ) )
152 sq1 12407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
153152a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  e.  RR  ->  (
1 ^ 2 )  =  1 )
154151, 153breq12d 4408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( ( abs `  x
) ^ 2 )  <  ( 1 ^ 2 )  <->  ( x ^ 2 )  <  1 ) )
155 resqcl 12380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x ^ 2 )  e.  RR )
156 posdif 10128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( x ^ 2 )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( x ^
2 )  <  1  <->  0  <  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )
157155, 95, 156sylancl 675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( x ^ 2 )  <  1  <->  0  <  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )
158154, 157bitrd 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( ( abs `  x
) ^ 2 )  <  ( 1 ^ 2 )  <->  0  <  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )
159148, 150, 1583bitr3d 291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( -u 1  <  x  /\  x  <  1
)  <->  0  <  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )
160159biimpd 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( -u 1  <  x  /\  x  <  1
)  ->  0  <  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )
1611603impib 1229 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  RR  /\  -u 1  <  x  /\  x  <  1 )  -> 
0  <  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) )
162141, 161sylbi 200 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  0  <  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) )
163137, 162elrpd 11361 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  RR+ )
164 ioorp 11737 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0 (,) +oo )  = 
RR+
165163, 164syl6eleqr 2560 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  ( 0 (,) +oo ) )
166 disjel 3815 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( 0 (,) +oo )  i^i  ( -oo (,] 0 ) )  =  (/)  /\  (
1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  ( 0 (,) +oo ) )  ->  -.  ( 1  -  (
x ^ 2 ) )  e.  ( -oo (,] 0 ) )
167133, 165, 166sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  -.  ( 1  -  (
x ^ 2 ) )  e.  ( -oo (,] 0 ) )
168125, 167syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  D  /\  x  e.  RR )  ->  -.  ( 1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  ( -oo (,] 0 ) )
169 elioc2 11722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR )  ->  (
( 1  -  (
x ^ 2 ) )  e.  ( -oo (,] 0 )  <->  ( (
1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  RR  /\ -oo  <  ( 1  -  (
x ^ 2 ) )  /\  ( 1  -  ( x ^
2 ) )  <_ 
0 ) ) )
17052, 37, 169mp2an 686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( 1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  ( -oo (,] 0 )  <->  ( (
1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  RR  /\ -oo  <  ( 1  -  (
x ^ 2 ) )  /\  ( 1  -  ( x ^
2 ) )  <_ 
0 ) )
171170biimpi 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  ( -oo (,] 0 )  ->  (
( 1  -  (
x ^ 2 ) )  e.  RR  /\ -oo 
<  ( 1  -  ( x ^ 2 ) )  /\  (
1  -  ( x ^ 2 ) )  <_  0 ) )
172171simp1d 1042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  ( -oo (,] 0 )  ->  (
1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  RR )
173 resubcl 9958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( 1  -  (
x ^ 2 ) )  e.  RR )  ->  ( 1  -  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) )  e.  RR )
17495, 172, 173sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  ( -oo (,] 0 )  ->  (
1  -  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) )  e.  RR )
175 nncan 9923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( x ^ 2 )  e.  CC )  ->  ( 1  -  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) )  =  ( x ^ 2 ) )
17616, 175mpan 684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x ^ 2 )  e.  CC  ->  (
1  -  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) )  =  ( x ^
2 ) )
177176eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x ^ 2 )  e.  CC  ->  (
( 1  -  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  e.  RR  <->  ( x ^ 2 )  e.  RR ) )
178177biimpa 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( x ^ 2 )  e.  CC  /\  ( 1  -  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  e.  RR )  ->  ( x ^
2 )  e.  RR )
179174, 178sylan2 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( x ^ 2 )  e.  CC  /\  ( 1  -  (
x ^ 2 ) )  e.  ( -oo (,] 0 ) )  -> 
( x ^ 2 )  e.  RR )
180172adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( x ^ 2 )  e.  CC  /\  ( 1  -  (
x ^ 2 ) )  e.  ( -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  -  (
x ^ 2 ) )  e.  RR )
181171simp3d 1044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( 1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  ( -oo (,] 0 )  ->  (
1  -  ( x ^ 2 ) )  <_  0 )
182181adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( x ^ 2 )  e.  CC  /\  ( 1  -  (
x ^ 2 ) )  e.  ( -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  -  (
x ^ 2 ) )  <_  0 )
183 letr 9745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( 1  -  (
x ^ 2 ) )  e.  RR  /\  0  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  (
( ( 1  -  ( x ^ 2 ) )  <_  0  /\  0  <_  1 )  ->  ( 1  -  ( x ^ 2 ) )  <_  1
) )
18437, 95, 183mp3an23 1382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( 1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  RR  ->  (
( ( 1  -  ( x ^ 2 ) )  <_  0  /\  0  <_  1 )  ->  ( 1  -  ( x ^ 2 ) )  <_  1
) )
185145, 184mpan2i 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  RR  ->  (
( 1  -  (
x ^ 2 ) )  <_  0  ->  ( 1  -  ( x ^ 2 ) )  <_  1 ) )
186180, 182, 185sylc 61 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( x ^ 2 )  e.  CC  /\  ( 1  -  (
x ^ 2 ) )  e.  ( -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  -  (
x ^ 2 ) )  <_  1 )
187 subge0 10148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( 1  -  (
x ^ 2 ) )  e.  RR )  ->  ( 0  <_ 
( 1  -  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  <->  ( 1  -  ( x ^ 2 ) )  <_  1
) )
18895, 180, 187sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( x ^ 2 )  e.  CC  /\  ( 1  -  (
x ^ 2 ) )  e.  ( -oo (,] 0 ) )  -> 
( 0  <_  (
1  -  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) )  <-> 
( 1  -  (
x ^ 2 ) )  <_  1 ) )
189186, 188mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( x ^ 2 )  e.  CC  /\  ( 1  -  (
x ^ 2 ) )  e.  ( -oo (,] 0 ) )  -> 
0  <_  ( 1  -  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )
190176adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( x ^ 2 )  e.  CC  /\  ( 1  -  (
x ^ 2 ) )  e.  ( -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  -  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =  ( x ^ 2 ) )
191189, 190breqtrd 4420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( x ^ 2 )  e.  CC  /\  ( 1  -  (
x ^ 2 ) )  e.  ( -oo (,] 0 ) )  -> 
0  <_  ( x ^ 2 ) )
192179, 191resqrtcld 13556 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x ^ 2 )  e.  CC  /\  ( 1  -  (
x ^ 2 ) )  e.  ( -oo (,] 0 ) )  -> 
( sqr `  (
x ^ 2 ) )  e.  RR )
19317, 192sylan 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( 1  -  (
x ^ 2 ) )  e.  ( -oo (,] 0 ) )  -> 
( sqr `  (
x ^ 2 ) )  e.  RR )
194 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  ( sqr `  (
x ^ 2 ) )  ->  ( x  e.  RR  <->  ( sqr `  (
x ^ 2 ) )  e.  RR ) )
195193, 194syl5ibrcom 230 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( 1  -  (
x ^ 2 ) )  e.  ( -oo (,] 0 ) )  -> 
( x  =  ( sqr `  ( x ^ 2 ) )  ->  x  e.  RR ) )
196193renegcld 10067 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( 1  -  (
x ^ 2 ) )  e.  ( -oo (,] 0 ) )  ->  -u ( sqr `  (
x ^ 2 ) )  e.  RR )
197 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  -u ( sqr `  (
x ^ 2 ) )  ->  ( x  e.  RR  <->  -u ( sqr `  (
x ^ 2 ) )  e.  RR ) )
198196, 197syl5ibrcom 230 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( 1  -  (
x ^ 2 ) )  e.  ( -oo (,] 0 ) )  -> 
( x  =  -u ( sqr `  ( x ^ 2 ) )  ->  x  e.  RR ) )
199 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x ^ 2 )  =  ( x ^ 2 )
200 eqsqrtor 13506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( x ^ 2 )  e.  CC )  ->  ( ( x ^ 2 )  =  ( x ^ 2 )  <->  ( x  =  ( sqr `  (
x ^ 2 ) )  \/  x  = 
-u ( sqr `  (
x ^ 2 ) ) ) ) )
20117, 200mpdan 681 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( x ^ 2 )  =  ( x ^ 2 )  <->  ( x  =  ( sqr `  (
x ^ 2 ) )  \/  x  = 
-u ( sqr `  (
x ^ 2 ) ) ) ) )
202199, 201mpbii 216 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x  =  ( sqr `  ( x ^ 2 ) )  \/  x  =  -u ( sqr `  (
x ^ 2 ) ) ) )
203202adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( 1  -  (
x ^ 2 ) )  e.  ( -oo (,] 0 ) )  -> 
( x  =  ( sqr `  ( x ^ 2 ) )  \/  x  =  -u ( sqr `  ( x ^ 2 ) ) ) )
204195, 198, 203mpjaod 388 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( 1  -  (
x ^ 2 ) )  e.  ( -oo (,] 0 ) )  ->  x  e.  RR )
205204stoic1a 1663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  CC  /\  -.  x  e.  RR )  ->  -.  ( 1  -  ( x ^
2 ) )  e.  ( -oo (,] 0
) )
20612, 205sylan 479 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  D  /\  -.  x  e.  RR )  ->  -.  ( 1  -  ( x ^
2 ) )  e.  ( -oo (,] 0
) )
207168, 206pm2.61dan 808 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  D  ->  -.  ( 1  -  (
x ^ 2 ) )  e.  ( -oo (,] 0 ) )
208116, 207eldifd 3401 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  D  ->  (
1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  ( CC  \ 
( -oo (,] 0 ) ) )
209208adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  D )  ->  (
1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  ( CC  \ 
( -oo (,] 0 ) ) )
210 2cnd 10704 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  CC  ->  2  e.  CC )
211 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  CC  ->  x  e.  CC )
212210, 211mulcld 9681 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  CC  ->  (
2  x.  x )  e.  CC )
213212negcld 9992 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  CC  ->  -u (
2  x.  x )  e.  CC )
214213adantl 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  CC )  ->  -u (
2  x.  x )  e.  CC )
21512, 214sylan2 482 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  D )  ->  -u (
2  x.  x )  e.  CC )
21661sqrtcld 13576 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( CC  \ 
( -oo (,] 0 ) )  ->  ( sqr `  y )  e.  CC )
217216adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  y  e.  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) )  ->  ( sqr `  y )  e.  CC )
218 ovex 6336 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  /  ( 2  x.  ( sqr `  y
) ) )  e. 
_V
219218a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  y  e.  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) )  ->  ( 1  /  ( 2  x.  ( sqr `  y
) ) )  e. 
_V )
22019adantl 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  CC )  ->  (
1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  CC )
22137a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  CC )  ->  0  e.  RR )
222 1cnd 9677 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( T. 
->  1  e.  CC )
22311, 222dvmptc 22991 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  1 ) )  =  ( x  e.  CC  |->  0 ) )
22417adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  CC )  ->  (
x ^ 2 )  e.  CC )
225 2cn 10702 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  CC
226 mulcl 9641 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( 2  x.  x
)  e.  CC )
227225, 226mpan 684 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  CC  ->  (
2  x.  x )  e.  CC )
228227adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  CC )  ->  (
2  x.  x )  e.  CC )
229 2nn 10790 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  NN
230 dvexp 22986 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  e.  NN  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^
2 ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( x ^ (
2  -  1 ) ) ) ) )
231229, 230ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( CC 
_D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^
2 ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( x ^ (
2  -  1 ) ) ) )
232 2m1e1 10746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2  -  1 )  =  1
233232oveq2i 6319 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x ^ ( 2  -  1 ) )  =  ( x ^ 1 )
234 exp1 12316 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x ^ 1 )  =  x )
235233, 234syl5eq 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x ^ ( 2  -  1 ) )  =  x )
236235oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  CC  ->  (
2  x.  ( x ^ ( 2  -  1 ) ) )  =  ( 2  x.  x ) )
237236mpteq2ia 4478 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( x ^
( 2  -  1 ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( 2  x.  x ) )
238231, 237eqtri 2493 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( CC 
_D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^
2 ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( 2  x.  x ) )
239238a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ 2 ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( 2  x.  x ) ) )
24011, 82, 221, 223, 224, 228, 239dvmptsub 23000 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( 0  -  ( 2  x.  x ) ) ) )
241 df-neg 9883 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -u (
2  x.  x )  =  ( 0  -  ( 2  x.  x
) )
242241mpteq2i 4479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  CC  |->  -u (
2  x.  x ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( 0  -  ( 2  x.  x ) ) )
243240, 242syl6eqr 2523 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  -u ( 2  x.  x
) ) )
24411, 220, 214, 243, 84, 90, 85, 108dvmptres 22996 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  D  |->  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  =  ( x  e.  D  |->  -u ( 2  x.  x
) ) )
245 eqid 2471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( CC 
\  ( -oo (,] 0 ) )  =  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) )
246245dvcnsqrt 23763 . . . . . . . . . . 11  |-  ( CC 
_D  ( y  e.  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) 
|->  ( sqr `  y
) ) )  =  ( y  e.  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) )  |->  ( 1  /  ( 2  x.  ( sqr `  y
) ) ) )
247246a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
y  e.  ( CC 
\  ( -oo (,] 0 ) )  |->  ( sqr `  y ) ) )  =  ( y  e.  ( CC 
\  ( -oo (,] 0 ) )  |->  ( 1  /  ( 2  x.  ( sqr `  y
) ) ) ) )
248 fveq2 5879 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( 1  -  ( x ^ 2 ) )  ->  ( sqr `  y )  =  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )
249248oveq2d 6324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( 1  -  ( x ^ 2 ) )  ->  (
2  x.  ( sqr `  y ) )  =  ( 2  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
250249oveq2d 6324 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( 1  -  ( x ^ 2 ) )  ->  (
1  /  ( 2  x.  ( sqr `  y
) ) )  =  ( 1  /  (
2  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) )
25111, 11, 209, 215, 217, 219, 244, 247, 248, 250dvmptco 23005 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  D  |->  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) )  =  ( x  e.  D  |->  ( ( 1  /  (
2  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )  x.  -u ( 2  x.  x ) ) ) )
252 mulneg2 10077 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( 2  x.  -u x
)  =  -u (
2  x.  x ) )
253225, 12, 252sylancr 676 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  D  ->  (
2  x.  -u x
)  =  -u (
2  x.  x ) )
254253oveq1d 6323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  D  ->  (
( 2  x.  -u x
)  /  ( 2  x.  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( -u ( 2  x.  x )  / 
( 2  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
25512negcld 9992 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  D  ->  -u x  e.  CC )
256 eldifn 3545 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( CC  \ 
( ( -oo (,] -u 1 )  u.  (
1 [,) +oo )
) )  ->  -.  x  e.  ( ( -oo (,] -u 1 )  u.  ( 1 [,) +oo ) ) )
257256, 3eleq2s 2567 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  D  ->  -.  x  e.  ( ( -oo (,] -u 1 )  u.  ( 1 [,) +oo ) ) )
258 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  -u 1  ->  x  =  -u 1 )
259 mnflt 11448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( -u
1  e.  RR  -> -oo 
<  -u 1 )
26092, 259ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |- -oo  <  -u 1
261 ubioc1 11713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  -u 1  e.  RR*  /\ -oo  <  -u 1 )  ->  -u 1  e.  ( -oo (,] -u 1
) )
26252, 138, 260, 261mp3an 1390 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  -u 1  e.  ( -oo (,] -u 1
)
263258, 262syl6eqel 2557 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  -u 1  ->  x  e.  ( -oo (,] -u 1
) )
264 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  1  ->  x  =  1 )
265 ltpnf 11445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 1  e.  RR  ->  1  < +oo )
26695, 265ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  < +oo
267 lbico1 11714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 1  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\  1  < +oo )  ->  1  e.  ( 1 [,) +oo ) )
268139, 127, 266, 267mp3an 1390 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  ( 1 [,) +oo )
269264, 268syl6eqel 2557 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  1  ->  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )
270263, 269orim12i 525 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  =  -u 1  \/  x  =  1
)  ->  ( x  e.  ( -oo (,] -u 1
)  \/  x  e.  ( 1 [,) +oo ) ) )
271270orcoms 396 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  1  \/  x  =  -u 1
)  ->  ( x  e.  ( -oo (,] -u 1
)  \/  x  e.  ( 1 [,) +oo ) ) )
272 elun 3565 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( ( -oo (,] -u 1 )  u.  ( 1 [,) +oo ) )  <->  ( x  e.  ( -oo (,] -u 1
)  \/  x  e.  ( 1 [,) +oo ) ) )
273271, 272sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  1  \/  x  =  -u 1
)  ->  x  e.  ( ( -oo (,] -u 1 )  u.  (
1 [,) +oo )
) )
274257, 273nsyl 125 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  D  ->  -.  ( x  =  1  \/  x  =  -u 1
) )
275 1cnd 9677 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) )  =  0 )  -> 
1  e.  CC )
27617adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) )  =  0 )  -> 
( x ^ 2 )  e.  CC )
27719adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) )  =  0 )  -> 
( 1  -  (
x ^ 2 ) )  e.  CC )
278 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) )  =  0 )  -> 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =  0 )
279277, 278sqr00d 13580 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) )  =  0 )  -> 
( 1  -  (
x ^ 2 ) )  =  0 )
280275, 276, 279subeq0d 10013 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) )  =  0 )  -> 
1  =  ( x ^ 2 ) )
281152, 280syl5req 2518 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) )  =  0 )  -> 
( x ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
282281ex 441 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =  0  -> 
( x ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 ) ) )
283 sqeqor 12426 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( x ^
2 )  =  ( 1 ^ 2 )  <-> 
( x  =  1  \/  x  =  -u
1 ) ) )
28416, 283mpan2 685 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( x ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 )  <->  ( x  =  1  \/  x  =  -u 1 ) ) )
285282, 284sylibd 222 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =  0  -> 
( x  =  1  \/  x  =  -u
1 ) ) )
286285necon3bd 2657 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  CC  ->  ( -.  ( x  =  1  \/  x  =  -u
1 )  ->  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =/=  0 ) )
28712, 274, 286sylc 61 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  D  ->  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =/=  0 )
288 2cnne0 10847 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
289 divcan5 10331 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
-u x  e.  CC  /\  ( ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  e.  CC  /\  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) )  =/=  0 )  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  ->  ( (
2  x.  -u x
)  /  ( 2  x.  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( -u x  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
290288, 289mp3an3 1379 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
-u x  e.  CC  /\  ( ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  e.  CC  /\  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) )  =/=  0 ) )  ->  ( ( 2  x.  -u x )  / 
( 2  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( -u x  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
291255, 117, 287, 290syl12anc 1290 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  D  ->  (
( 2  x.  -u x
)  /  ( 2  x.  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( -u x  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
292225, 12, 226sylancr 676 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  D  ->  (
2  x.  x )  e.  CC )
293292negcld 9992 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  D  ->  -u (
2  x.  x )  e.  CC )
294 mulcl 9641 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) )  e.  CC )  -> 
( 2  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  CC )
295225, 117, 294sylancr 676 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  D  ->  (
2  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  e.  CC )
296 mulne0 10276 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  ( ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) )  e.  CC  /\  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =/=  0 ) )  ->  ( 2  x.  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  =/=  0
)
297288, 296mpan 684 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  e.  CC  /\  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) )  =/=  0 )  -> 
( 2  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  =/=  0 )
298117, 287, 297syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  D  ->  (
2  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  =/=  0 )
299293, 295, 298divrec2d 10409 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  D  ->  ( -u ( 2  x.  x
)  /  ( 2  x.  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( 1  / 
( 2  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  x.  -u (
2  x.  x ) ) )
300254, 291, 2993eqtr3rd 2514 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  D  ->  (
( 1  /  (
2  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )  x.  -u ( 2  x.  x ) )  =  ( -u x  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
301300mpteq2ia 4478 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  D  |->  ( ( 1  /  ( 2  x.  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  x.  -u ( 2  x.  x
) ) )  =  ( x  e.  D  |->  ( -u x  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
302251, 301syl6eq 2521 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  D  |->  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) )  =  ( x  e.  D  |->  (
-u x  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
30311, 77, 78, 114, 118, 120, 302dvmptadd 22993 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  D  |->  ( ( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  D  |->  ( _i  +  ( -u x  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
304 mulcl 9641 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  CC )
30513, 20, 304sylancr 676 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  e.  CC )
30612, 305syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  D  ->  (
_i  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  e.  CC )
307306, 255, 117, 287divdird 10443 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  D  ->  (
( ( _i  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  +  -u x
)  /  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( ( _i  x.  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  +  ( -u x  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
308 ixi 10263 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( _i  x.  _i )  = 
-u 1
309308eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u 1  =  ( _i  x.  _i )
310309oveq1i 6318 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -u
1  x.  x )  =  ( ( _i  x.  _i )  x.  x )
311 mulm1 10081 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  CC  ->  ( -u 1  x.  x )  =  -u x )
312 mulass 9645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  _i  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  (
( _i  x.  _i )  x.  x )  =  ( _i  x.  ( _i  x.  x
) ) )
31313, 13, 312mp3an12 1380 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( _i  x.  _i )  x.  x )  =  ( _i  x.  ( _i  x.  x
) ) )
314310, 311, 3133eqtr3a 2529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  CC  ->  -u x  =  ( _i  x.  ( _i  x.  x
) ) )
315314oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  CC  ->  ( -u x  +  ( _i  x.  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( _i  x.  x
) )  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) )
316 negcl 9895 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  CC  ->  -u x  e.  CC )
317305, 316addcomd 9853 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( _i  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  +  -u x )  =  ( -u x  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
31813a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  CC  ->  _i  e.  CC )
319318, 15, 20adddid 9685 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( (
_i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( _i  x.  x
) )  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) )
320315, 317, 3193eqtr4d 2515 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( _i  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  +  -u x )  =  ( _i  x.  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) )
32112, 320syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  D  ->  (
( _i  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  +  -u x )  =  ( _i  x.  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) )
322321oveq1d 6323 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  D  ->  (
( ( _i  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  +  -u x
)  /  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) )  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
32375, 117, 287divcan4d 10411 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  D  ->  (
( _i  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  =  _i )
324323oveq1d 6323 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  D  ->  (
( ( _i  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  /  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  +  ( -u x  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( _i  +  (
-u x  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
325307, 322, 3243eqtr3rd 2514 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  D  ->  (
_i  +  ( -u x  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) )  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
326325mpteq2ia 4478 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  D  |->  ( _i  +  ( -u x  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  D  |->  ( ( _i  x.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
327303, 326syl6eq 2521 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  D  |->  ( ( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  D  |->  ( ( _i  x.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
328245dvlog 23675 . . . . . . 7  |-  ( CC 
_D  ( log  |`  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) ) )  =  ( y  e.  ( CC  \ 
( -oo (,] 0 ) )  |->  ( 1  / 
y ) )
329 logf1o 23593 . . . . . . . . . 10  |-  log :
( CC  \  {
0 } ) -1-1-onto-> ran  log
330 f1of 5828 . . . . . . . . . 10  |-  ( log
: ( CC  \  { 0 } ) -1-1-onto-> ran 
log  ->  log : ( CC 
\  { 0 } ) --> ran  log )
331329, 330mp1i 13 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  log : ( CC 
\  { 0 } ) --> ran  log )
332 snssi 4107 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  e.  ( -oo (,] 0 )  ->  { 0 }  C_  ( -oo (,] 0 ) )
33366, 332ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  { 0 }  C_  ( -oo (,] 0 )
334 sscon 3556 . . . . . . . . . 10  |-  ( { 0 }  C_  ( -oo (,] 0 )  -> 
( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) 
C_  ( CC  \  { 0 } ) )
335333, 334mp1i 13 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) 
C_  ( CC  \  { 0 } ) )
336331, 335feqresmpt 5933 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( log  |`  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) )  =  ( y  e.  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) 
|->  ( log `  y
) ) )
337336oveq2d 6324 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  ( log  |`  ( CC  \ 
( -oo (,] 0 ) ) ) )  =  ( CC  _D  (
y  e.  ( CC 
\  ( -oo (,] 0 ) )  |->  ( log `  y ) ) ) )
338328, 337syl5reqr 2520 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
y  e.  ( CC 
\  ( -oo (,] 0 ) )  |->  ( log `  y ) ) )  =  ( y  e.  ( CC 
\  ( -oo (,] 0 ) )  |->  ( 1  /  y ) ) )
339 fveq2 5879 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  ->  ( log `  y )  =  ( log `  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) )
340 oveq2 6316 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  ->  (
1  /  y )  =  ( 1  / 
( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) ) )
34111, 11, 58, 60, 72, 74, 327, 338, 339, 340dvmptco 23005 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  D  |->  ( log `  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  D  |->  ( ( 1  /  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  x.  ( ( _i  x.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) )  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
34222, 24reccld 10398 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  D  ->  (
1  /  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  e.  CC )
343 mulcl 9641 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  CC )  ->  ( _i  x.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) )  e.  CC )
34413, 21, 343sylancr 676 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( (
_i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  e.  CC )
34512, 344syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  D  ->  (
_i  x.  ( (
_i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  e.  CC )
346342, 345, 117, 287divassd 10440 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  D  ->  (
( ( 1  / 
( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) )  x.  (
_i  x.  ( (
_i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( 1  /  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )  x.  ( ( _i  x.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
347345, 22, 24divrec2d 10409 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  D  ->  (
( _i  x.  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )  /  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( 1  / 
( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) )  x.  (
_i  x.  ( (
_i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
34875, 22, 24divcan4d 10411 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  D  ->  (
( _i  x.  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )  /  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  =  _i )
349347, 348eqtr3d 2507 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  D  ->  (
( 1  /  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )  x.  ( _i  x.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) ) )  =  _i )
350349oveq1d 6323 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  D  ->  (
( ( 1  / 
( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) )  x.  (
_i  x.  ( (
_i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  =  ( _i  /  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )
351346, 350eqtr3d 2507 . . . . . 6  |-  ( x  e.  D  ->  (
( 1  /  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )  x.  ( ( _i  x.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( _i  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
352351mpteq2ia 4478 . . . . 5  |-  ( x  e.  D  |->  ( ( 1  /  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  x.  ( ( _i  x.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) )  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  D  |->  ( _i  /  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )
353341, 352syl6eq 2521 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  D  |->  ( log `  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  D  |->  ( _i 
/  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
354 negicn 9896 . . . . 5  |-  -u _i  e.  CC
355354a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  -u _i  e.  CC )
35611, 26, 28, 353, 355dvmptcmul 22997 . . 3  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  D  |->  (
-u _i  x.  ( log `  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  D  |->  (
-u _i  x.  (
_i  /  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
357356trud 1461 . 2  |-  ( CC 
_D  ( x  e.  D  |->  ( -u _i  x.  ( log `  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  D  |->  ( -u _i  x.  ( _i  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
35813, 13mulneg1i 10085 . . . . . 6  |-  ( -u _i  x.  _i )  = 
-u ( _i  x.  _i )
359308negeqi 9888 . . . . . 6  |-  -u (
_i  x.  _i )  =  -u -u 1
360 negneg1e1 10739 . . . . . 6  |-  -u -u 1  =  1
361358, 359, 3603eqtri 2497 . . . . 5  |-  ( -u _i  x.  _i )  =  1
362361oveq1i 6318 . . . 4  |-  ( (
-u _i  x.  _i )  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  =  ( 1  /  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )
363 divass 10310 . . . . . 6  |-  ( (
-u _i  e.  CC  /\  _i  e.  CC  /\  ( ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  e.  CC  /\  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) )  =/=  0 ) )  ->  ( ( -u _i  x.  _i )  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  =  (
-u _i  x.  (
_i  /  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) )
364354, 13, 363mp3an12 1380 . . . . 5  |-  ( ( ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  e.  CC  /\  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) )  =/=  0 )  -> 
( ( -u _i  x.  _i )  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  =  ( -u _i  x.  ( _i  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
365117, 287, 364syl2anc 673 . . . 4  |-  ( x  e.  D  ->  (
( -u _i  x.  _i )  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  =  (
-u _i  x.  (
_i  /  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) )
366362, 365syl5reqr 2520 . . 3  |-  ( x  e.  D  ->  ( -u _i  x.  ( _i 
/  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( 1  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
367366mpteq2ia 4478 . 2  |-  ( x  e.  D  |->  ( -u _i  x.  ( _i  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  D  |->  ( 1  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
3689, 357, 3673eqtri 2497 1  |-  ( CC 
_D  (arcsin  |`  D ) )  =  ( x  e.  D  |->  ( 1  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 375    /\ wa 376    \/ w3o 1006    /\ w3a 1007    = wceq 1452   T. wtru 1453    e. wcel 1904    =/= wne 2641   _Vcvv 3031    \ cdif 3387    u. cun 3388    i^i cin 3389    C_ wss 3390   (/)c0 3722   {csn 3959   {cpr 3961   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   ran crn 4840    |` cres 4841   -->wf 5585   -1-1-onto->wf1o 5588   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558   _ici 9559    + caddc 9560    x. cmul 9562   +oocpnf 9690   -oocmnf 9691   RR*cxr 9692    < clt 9693    <_ cle 9694    - cmin 9880   -ucneg 9881    / cdiv 10291   NNcn 10631   2c2 10681   RR+crp 11325   (,)cioo 11660   (,]cioc 11661   [,)cico 11662   ^cexp 12310   Recre 13237   sqrcsqrt 13373   abscabs 13374   ↾t crest 15397   TopOpenctopn 15398   topGenctg 15414  ℂfldccnfld 19047  TopOnctopon 19995   Clsdccld 20108    _D cdv 22897   logclog 23583  arcsincasin 23867
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-ef 14198  df-sin 14200  df-cos 14201  df-tan 14202  df-pi 14203  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-cmp 20479  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901  df-log 23585  df-cxp 23586  df-asin 23870
This theorem is referenced by:  dvacos  32093  dvreasin  32094
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