Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvamulr Structured version   Unicode version

Theorem dvamulr 36209
Description: Ring multiplication operation for the constructed partial vector space A. (Contributed by NM, 11-Oct-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
dvafmul.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dvafmul.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
dvafmul.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
dvafmul.u  |-  U  =  ( ( DVecA `  K
) `  W )
dvafmul.f  |-  F  =  (Scalar `  U )
dvafmul.p  |-  .x.  =  ( .r `  F )
Assertion
Ref Expression
dvamulr  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  ( R  e.  E  /\  S  e.  E ) )  -> 
( R  .x.  S
)  =  ( R  o.  S ) )

Proof of Theorem dvamulr
Dummy variables  s 
r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvafmul.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 dvafmul.t . . . 4  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
3 dvafmul.e . . . 4  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
4 dvafmul.u . . . 4  |-  U  =  ( ( DVecA `  K
) `  W )
5 dvafmul.f . . . 4  |-  F  =  (Scalar `  U )
6 dvafmul.p . . . 4  |-  .x.  =  ( .r `  F )
71, 2, 3, 4, 5, 6dvafmulr 36208 . . 3  |-  ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  ->  .x.  =  ( r  e.  E ,  s  e.  E  |->  ( r  o.  s ) ) )
87oveqd 6312 . 2  |-  ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  ->  ( R  .x.  S
)  =  ( R ( r  e.  E ,  s  e.  E  |->  ( r  o.  s
) ) S ) )
9 coexg 6746 . . 3  |-  ( ( R  e.  E  /\  S  e.  E )  ->  ( R  o.  S
)  e.  _V )
10 coeq1 5166 . . . 4  |-  ( r  =  R  ->  (
r  o.  s )  =  ( R  o.  s ) )
11 coeq2 5167 . . . 4  |-  ( s  =  S  ->  ( R  o.  s )  =  ( R  o.  S ) )
12 eqid 2467 . . . 4  |-  ( r  e.  E ,  s  e.  E  |->  ( r  o.  s ) )  =  ( r  e.  E ,  s  e.  E  |->  ( r  o.  s ) )
1310, 11, 12ovmpt2g 6432 . . 3  |-  ( ( R  e.  E  /\  S  e.  E  /\  ( R  o.  S
)  e.  _V )  ->  ( R ( r  e.  E ,  s  e.  E  |->  ( r  o.  s ) ) S )  =  ( R  o.  S ) )
149, 13mpd3an3 1325 . 2  |-  ( ( R  e.  E  /\  S  e.  E )  ->  ( R ( r  e.  E ,  s  e.  E  |->  ( r  o.  s ) ) S )  =  ( R  o.  S ) )
158, 14sylan9eq 2528 1  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  ( R  e.  E  /\  S  e.  E ) )  -> 
( R  .x.  S
)  =  ( R  o.  S ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3118    o. ccom 5009   ` cfv 5594  (class class class)co 6295    |-> cmpt2 6297   .rcmulr 14573  Scalarcsca 14575   LHypclh 35181   LTrncltrn 35298   TEndoctendo 35949   DVecAcdveca 36199
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-edring 35954  df-dveca 36200
This theorem is referenced by:  dvalveclem  36223
  Copyright terms: Public domain W3C validator