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Theorem dvalveclem 34302
Description: Lemma for dvalvec 34303. (Contributed by NM, 11-Oct-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvalvec.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dvalvec.v  |-  U  =  ( ( DVecA `  K
) `  W )
dvalveclem.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
dvalveclem.a  |-  .+  =  ( +g  `  U )
dvalveclem.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
dvalveclem.d  |-  D  =  (Scalar `  U )
dvalveclem.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
dvalveclem.p  |-  .+^  =  ( +g  `  D )
dvalveclem.m  |-  .X.  =  ( .r `  D )
dvalveclem.s  |-  .x.  =  ( .s `  U )
Assertion
Ref Expression
dvalveclem  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  U  e.  LVec )

Proof of Theorem dvalveclem
Dummy variables  t 
f  a  b  s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvalvec.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 dvalveclem.t . . . . 5  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
3 dvalvec.v . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecA `  K
) `  W )
4 eqid 2429 . . . . 5  |-  ( Base `  U )  =  (
Base `  U )
51, 2, 3, 4dvavbase 34289 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( Base `  U
)  =  T )
65eqcomd 2437 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  T  =  ( Base `  U ) )
7 dvalveclem.a . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  U )
87a1i 11 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  .+  =  ( +g  `  U ) )
9 dvalveclem.d . . . 4  |-  D  =  (Scalar `  U )
109a1i 11 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  D  =  (Scalar `  U ) )
11 dvalveclem.s . . . 4  |-  .x.  =  ( .s `  U )
1211a1i 11 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  .x.  =  ( .s
`  U ) )
13 dvalveclem.e . . . . 5  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
14 eqid 2429 . . . . 5  |-  ( Base `  D )  =  (
Base `  D )
151, 13, 3, 9, 14dvabase 34283 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( Base `  D
)  =  E )
1615eqcomd 2437 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  E  =  ( Base `  D ) )
17 dvalveclem.p . . . 4  |-  .+^  =  ( +g  `  D )
1817a1i 11 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  -> 
.+^  =  ( +g  `  D ) )
19 dvalveclem.m . . . 4  |-  .X.  =  ( .r `  D )
2019a1i 11 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  .X.  =  ( .r
`  D ) )
211, 2, 13tendoidcl 34045 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  (  _I  |`  T )  e.  E )
2221, 16eleqtrd 2519 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  (  _I  |`  T )  e.  ( Base `  D
) )
23 dvalveclem.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  K
)
24 eqid 2429 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )  =  ( f  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
2523, 1, 2, 13, 24tendo1ne0 34104 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  (  _I  |`  T )  =/=  ( f  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) ) )
26 eqid 2429 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
EDRing `  K ) `  W )  =  ( ( EDRing `  K ) `  W )
271, 26, 3, 9dvasca 34282 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  D  =  ( (
EDRing `  K ) `  W ) )
2827fveq2d 5885 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( 0g `  D
)  =  ( 0g
`  ( ( EDRing `  K ) `  W
) ) )
29 eqid 2429 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  ( ( EDRing `  K ) `  W
) )  =  ( 0g `  ( (
EDRing `  K ) `  W ) )
3023, 1, 2, 26, 24, 29erng0g 34270 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( 0g `  (
( EDRing `  K ) `  W ) )  =  ( f  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) ) )
3128, 30eqtrd 2470 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( 0g `  D
)  =  ( f  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) ) )
3225, 31neeqtrrd 2731 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  (  _I  |`  T )  =/=  ( 0g `  D ) )
3321, 21jca 534 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( (  _I  |`  T )  e.  E  /\  (  _I  |`  T )  e.  E ) )
341, 2, 13, 3, 9, 19dvamulr 34288 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( (  _I  |`  T )  e.  E  /\  (  _I  |`  T )  e.  E ) )  ->  ( (  _I  |`  T )  .X.  (  _I  |`  T ) )  =  ( (  _I  |`  T )  o.  (  _I  |`  T ) ) )
3533, 34mpdan 672 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( (  _I  |`  T ) 
.X.  (  _I  |`  T ) )  =  ( (  _I  |`  T )  o.  (  _I  |`  T ) ) )
36 f1oi 5866 . . . . . . . 8  |-  (  _I  |`  T ) : T -1-1-onto-> T
37 f1of 5831 . . . . . . . 8  |-  ( (  _I  |`  T ) : T -1-1-onto-> T  ->  (  _I  |`  T ) : T --> T )
38 fcoi2 5775 . . . . . . . 8  |-  ( (  _I  |`  T ) : T --> T  ->  (
(  _I  |`  T )  o.  (  _I  |`  T ) )  =  (  _I  |`  T ) )
3936, 37, 38mp2b 10 . . . . . . 7  |-  ( (  _I  |`  T )  o.  (  _I  |`  T ) )  =  (  _I  |`  T )
4035, 39syl6eq 2486 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( (  _I  |`  T ) 
.X.  (  _I  |`  T ) )  =  (  _I  |`  T ) )
4122, 32, 403jca 1185 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( (  _I  |`  T )  e.  ( Base `  D
)  /\  (  _I  |`  T )  =/=  ( 0g `  D )  /\  ( (  _I  |`  T ) 
.X.  (  _I  |`  T ) )  =  (  _I  |`  T ) ) )
421, 26erngdv 34269 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( ( EDRing `  K
) `  W )  e.  DivRing )
4327, 42eqeltrd 2517 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  D  e.  DivRing )
44 eqid 2429 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  D )  =  ( 0g `  D
)
45 eqid 2429 . . . . . . 7  |-  ( 1r
`  D )  =  ( 1r `  D
)
4614, 19, 44, 45drngid2 17926 . . . . . 6  |-  ( D  e.  DivRing  ->  ( ( (  _I  |`  T )  e.  ( Base `  D
)  /\  (  _I  |`  T )  =/=  ( 0g `  D )  /\  ( (  _I  |`  T ) 
.X.  (  _I  |`  T ) )  =  (  _I  |`  T ) )  <->  ( 1r `  D )  =  (  _I  |`  T )
) )
4743, 46syl 17 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( ( (  _I  |`  T )  e.  (
Base `  D )  /\  (  _I  |`  T )  =/=  ( 0g `  D )  /\  (
(  _I  |`  T ) 
.X.  (  _I  |`  T ) )  =  (  _I  |`  T ) )  <->  ( 1r `  D )  =  (  _I  |`  T )
) )
4841, 47mpbid 213 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( 1r `  D
)  =  (  _I  |`  T ) )
4948eqcomd 2437 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  (  _I  |`  T )  =  ( 1r `  D ) )
50 drngring 17917 . . . 4  |-  ( D  e.  DivRing  ->  D  e.  Ring )
5143, 50syl 17 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  D  e.  Ring )
521, 3dvaabl 34301 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  U  e.  Abel )
53 ablgrp 17370 . . . 4  |-  ( U  e.  Abel  ->  U  e. 
Grp )
5452, 53syl 17 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  U  e.  Grp )
551, 2, 13, 3, 11dvavsca 34293 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  T ) )  -> 
( s  .x.  t
)  =  ( s `
 t ) )
56553impb 1201 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E  /\  t  e.  T
)  ->  ( s  .x.  t )  =  ( s `  t ) )
571, 2, 13tendocl 34043 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E  /\  t  e.  T
)  ->  ( s `  t )  e.  T
)
5856, 57eqeltrd 2517 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E  /\  t  e.  T
)  ->  ( s  .x.  t )  e.  T
)
591, 2, 13tendospdi1 34297 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  T  /\  f  e.  T ) )  -> 
( s `  (
t  o.  f ) )  =  ( ( s `  t )  o.  ( s `  f ) ) )
60 simpr1 1011 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  T  /\  f  e.  T ) )  -> 
s  e.  E )
611, 2ltrnco 33995 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  t  e.  T  /\  f  e.  T
)  ->  ( t  o.  f )  e.  T
)
62613adant3r1 1214 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  T  /\  f  e.  T ) )  -> 
( t  o.  f
)  e.  T )
6360, 62jca 534 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  T  /\  f  e.  T ) )  -> 
( s  e.  E  /\  ( t  o.  f
)  e.  T ) )
641, 2, 13, 3, 11dvavsca 34293 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  ( t  o.  f )  e.  T ) )  -> 
( s  .x.  (
t  o.  f ) )  =  ( s `
 ( t  o.  f ) ) )
6563, 64syldan 472 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  T  /\  f  e.  T ) )  -> 
( s  .x.  (
t  o.  f ) )  =  ( s `
 ( t  o.  f ) ) )
66573adant3r3 1216 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  T  /\  f  e.  T ) )  -> 
( s `  t
)  e.  T )
671, 2, 13tendocl 34043 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E  /\  f  e.  T
)  ->  ( s `  f )  e.  T
)
68673adant3r2 1215 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  T  /\  f  e.  T ) )  -> 
( s `  f
)  e.  T )
6966, 68jca 534 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  T  /\  f  e.  T ) )  -> 
( ( s `  t )  e.  T  /\  ( s `  f
)  e.  T ) )
701, 2, 3, 7dvavadd 34291 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( s `
 t )  e.  T  /\  ( s `
 f )  e.  T ) )  -> 
( ( s `  t )  .+  (
s `  f )
)  =  ( ( s `  t )  o.  ( s `  f ) ) )
7169, 70syldan 472 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  T  /\  f  e.  T ) )  -> 
( ( s `  t )  .+  (
s `  f )
)  =  ( ( s `  t )  o.  ( s `  f ) ) )
7259, 65, 713eqtr4d 2480 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  T  /\  f  e.  T ) )  -> 
( s  .x.  (
t  o.  f ) )  =  ( ( s `  t ) 
.+  ( s `  f ) ) )
731, 2, 3, 7dvavadd 34291 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( t  e.  T  /\  f  e.  T ) )  -> 
( t  .+  f
)  =  ( t  o.  f ) )
74733adantr1 1164 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  T  /\  f  e.  T ) )  -> 
( t  .+  f
)  =  ( t  o.  f ) )
7574oveq2d 6321 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  T  /\  f  e.  T ) )  -> 
( s  .x.  (
t  .+  f )
)  =  ( s 
.x.  ( t  o.  f ) ) )
76553adantr3 1166 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  T  /\  f  e.  T ) )  -> 
( s  .x.  t
)  =  ( s `
 t ) )
771, 2, 13, 3, 11dvavsca 34293 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  f  e.  T ) )  -> 
( s  .x.  f
)  =  ( s `
 f ) )
78773adantr2 1165 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  T  /\  f  e.  T ) )  -> 
( s  .x.  f
)  =  ( s `
 f ) )
7976, 78oveq12d 6323 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  T  /\  f  e.  T ) )  -> 
( ( s  .x.  t )  .+  (
s  .x.  f )
)  =  ( ( s `  t ) 
.+  ( s `  f ) ) )
8072, 75, 793eqtr4d 2480 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  T  /\  f  e.  T ) )  -> 
( s  .x.  (
t  .+  f )
)  =  ( ( s  .x.  t ) 
.+  ( s  .x.  f ) ) )
811, 2, 13, 3, 9, 17dvaplusgv 34286 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  f  e.  T ) )  -> 
( ( s  .+^  t ) `  f
)  =  ( ( s `  f )  o.  ( t `  f ) ) )
821, 2, 13, 3, 9, 17dvafplusg 34284 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  -> 
.+^  =  ( a  e.  E ,  b  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( a `  f )  o.  ( b `  f ) ) ) ) )
83823ad2ant1 1026 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E  /\  t  e.  E
)  ->  .+^  =  ( a  e.  E , 
b  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( a `  f
)  o.  ( b `
 f ) ) ) ) )
8483oveqd 6322 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E  /\  t  e.  E
)  ->  ( s  .+^  t )  =  ( s ( a  e.  E ,  b  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( a `
 f )  o.  ( b `  f
) ) ) ) t ) )
85 eqid 2429 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  E ,  b  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( a `  f )  o.  ( b `  f ) ) ) )  =  ( a  e.  E ,  b  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( a `  f )  o.  ( b `  f ) ) ) )
861, 2, 13, 85tendoplcl 34057 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E  /\  t  e.  E
)  ->  ( s
( a  e.  E ,  b  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( a `  f )  o.  (
b `  f )
) ) ) t )  e.  E )
8784, 86eqeltrd 2517 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E  /\  t  e.  E
)  ->  ( s  .+^  t )  e.  E
)
88873adant3r3 1216 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  f  e.  T ) )  -> 
( s  .+^  t )  e.  E )
89 simpr3 1013 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  f  e.  T ) )  -> 
f  e.  T )
9088, 89jca 534 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  f  e.  T ) )  -> 
( ( s  .+^  t )  e.  E  /\  f  e.  T
) )
911, 2, 13, 3, 11dvavsca 34293 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( s 
.+^  t )  e.  E  /\  f  e.  T ) )  -> 
( ( s  .+^  t )  .x.  f
)  =  ( ( s  .+^  t ) `  f ) )
9290, 91syldan 472 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  f  e.  T ) )  -> 
( ( s  .+^  t )  .x.  f
)  =  ( ( s  .+^  t ) `  f ) )
93773adantr2 1165 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  f  e.  T ) )  -> 
( s  .x.  f
)  =  ( s `
 f ) )
941, 2, 13, 3, 11dvavsca 34293 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( t  e.  E  /\  f  e.  T ) )  -> 
( t  .x.  f
)  =  ( t `
 f ) )
95943adantr1 1164 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  f  e.  T ) )  -> 
( t  .x.  f
)  =  ( t `
 f ) )
9693, 95oveq12d 6323 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  f  e.  T ) )  -> 
( ( s  .x.  f )  .+  (
t  .x.  f )
)  =  ( ( s `  f ) 
.+  ( t `  f ) ) )
97673adant3r2 1215 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  f  e.  T ) )  -> 
( s `  f
)  e.  T )
981, 2, 13tendospcl 34295 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  t  e.  E  /\  f  e.  T
)  ->  ( t `  f )  e.  T
)
99983adant3r1 1214 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  f  e.  T ) )  -> 
( t `  f
)  e.  T )
10097, 99jca 534 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  f  e.  T ) )  -> 
( ( s `  f )  e.  T  /\  ( t `  f
)  e.  T ) )
1011, 2, 3, 7dvavadd 34291 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( s `
 f )  e.  T  /\  ( t `
 f )  e.  T ) )  -> 
( ( s `  f )  .+  (
t `  f )
)  =  ( ( s `  f )  o.  ( t `  f ) ) )
102100, 101syldan 472 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  f  e.  T ) )  -> 
( ( s `  f )  .+  (
t `  f )
)  =  ( ( s `  f )  o.  ( t `  f ) ) )
10396, 102eqtrd 2470 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  f  e.  T ) )  -> 
( ( s  .x.  f )  .+  (
t  .x.  f )
)  =  ( ( s `  f )  o.  ( t `  f ) ) )
10481, 92, 1033eqtr4d 2480 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  f  e.  T ) )  -> 
( ( s  .+^  t )  .x.  f
)  =  ( ( s  .x.  f ) 
.+  ( t  .x.  f ) ) )
1051, 2, 13tendospass 34296 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  f  e.  T ) )  -> 
( ( s  o.  t ) `  f
)  =  ( s `
 ( t `  f ) ) )
1061, 13tendococl 34048 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E  /\  t  e.  E
)  ->  ( s  o.  t )  e.  E
)
1071063adant3r3 1216 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  f  e.  T ) )  -> 
( s  o.  t
)  e.  E )
108107, 89jca 534 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  f  e.  T ) )  -> 
( ( s  o.  t )  e.  E  /\  f  e.  T
) )
1091, 2, 13, 3, 11dvavsca 34293 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( s  o.  t )  e.  E  /\  f  e.  T ) )  -> 
( ( s  o.  t )  .x.  f
)  =  ( ( s  o.  t ) `
 f ) )
110108, 109syldan 472 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  f  e.  T ) )  -> 
( ( s  o.  t )  .x.  f
)  =  ( ( s  o.  t ) `
 f ) )
111 simpr1 1011 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  f  e.  T ) )  -> 
s  e.  E )
112111, 99jca 534 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  f  e.  T ) )  -> 
( s  e.  E  /\  ( t `  f
)  e.  T ) )
1131, 2, 13, 3, 11dvavsca 34293 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  ( t `
 f )  e.  T ) )  -> 
( s  .x.  (
t `  f )
)  =  ( s `
 ( t `  f ) ) )
114112, 113syldan 472 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  f  e.  T ) )  -> 
( s  .x.  (
t `  f )
)  =  ( s `
 ( t `  f ) ) )
115105, 110, 1143eqtr4d 2480 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  f  e.  T ) )  -> 
( ( s  o.  t )  .x.  f
)  =  ( s 
.x.  ( t `  f ) ) )
1161, 2, 13, 3, 9, 19dvamulr 34288 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E ) )  -> 
( s  .X.  t
)  =  ( s  o.  t ) )
1171163adantr3 1166 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  f  e.  T ) )  -> 
( s  .X.  t
)  =  ( s  o.  t ) )
118117oveq1d 6320 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  f  e.  T ) )  -> 
( ( s  .X.  t )  .x.  f
)  =  ( ( s  o.  t ) 
.x.  f ) )
11995oveq2d 6321 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  f  e.  T ) )  -> 
( s  .x.  (
t  .x.  f )
)  =  ( s 
.x.  ( t `  f ) ) )
120115, 118, 1193eqtr4d 2480 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  f  e.  T ) )  -> 
( ( s  .X.  t )  .x.  f
)  =  ( s 
.x.  ( t  .x.  f ) ) )
12121anim1i 570 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  T
)  ->  ( (  _I  |`  T )  e.  E  /\  s  e.  T ) )
1221, 2, 13, 3, 11dvavsca 34293 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( (  _I  |`  T )  e.  E  /\  s  e.  T
) )  ->  (
(  _I  |`  T ) 
.x.  s )  =  ( (  _I  |`  T ) `
 s ) )
123121, 122syldan 472 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  T
)  ->  ( (  _I  |`  T )  .x.  s )  =  ( (  _I  |`  T ) `
 s ) )
124 fvresi 6105 . . . . 5  |-  ( s  e.  T  ->  (
(  _I  |`  T ) `
 s )  =  s )
125124adantl 467 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  T
)  ->  ( (  _I  |`  T ) `  s )  =  s )
126123, 125eqtrd 2470 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  T
)  ->  ( (  _I  |`  T )  .x.  s )  =  s )
1276, 8, 10, 12, 16, 18, 20, 49, 51, 54, 58, 80, 104, 120, 126islmodd 18032 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  U  e.  LMod )
1289islvec 18262 . 2  |-  ( U  e.  LVec  <->  ( U  e. 
LMod  /\  D  e.  DivRing ) )
129127, 43, 128sylanbrc 668 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  U  e.  LVec )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870    =/= wne 2625    |-> cmpt 4484    _I cid 4764    |` cres 4856    o. ccom 4858   -->wf 5597   -1-1-onto->wf1o 5600   ` cfv 5601  (class class class)co 6305    |-> cmpt2 6307   Basecbs 15084   +g cplusg 15152   .rcmulr 15153  Scalarcsca 15155   .scvsca 15156   0gc0g 15297   Grpcgrp 16620   Abelcabl 17366   1rcur 17670   Ringcrg 17715   DivRingcdr 17910   LModclmod 18026   LVecclvec 18260   HLchlt 32625   LHypclh 33258   LTrncltrn 33375   TEndoctendo 34028   EDRingcedring 34029   DVecAcdveca 34278
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-riotaBAD 32234
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-tpos 6981  df-undef 7028  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11783  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-0g 15299  df-preset 16124  df-poset 16142  df-plt 16155  df-lub 16171  df-glb 16172  df-join 16173  df-meet 16174  df-p0 16236  df-p1 16237  df-lat 16243  df-clat 16305  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-grp 16624  df-minusg 16625  df-cmn 17367  df-abl 17368  df-mgp 17659  df-ur 17671  df-ring 17717  df-oppr 17786  df-dvdsr 17804  df-unit 17805  df-invr 17835  df-dvr 17846  df-drng 17912  df-lmod 18028  df-lvec 18261  df-oposet 32451  df-ol 32453  df-oml 32454  df-covers 32541  df-ats 32542  df-atl 32573  df-cvlat 32597  df-hlat 32626  df-llines 32772  df-lplanes 32773  df-lvols 32774  df-lines 32775  df-psubsp 32777  df-pmap 32778  df-padd 33070  df-lhyp 33262  df-laut 33263  df-ldil 33378  df-ltrn 33379  df-trl 33434  df-tgrp 34019  df-tendo 34031  df-edring 34033  df-dveca 34279
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