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Theorem dvalveclem 34563
Description: Lemma for dvalvec 34564. (Contributed by NM, 11-Oct-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvalvec.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dvalvec.v  |-  U  =  ( ( DVecA `  K
) `  W )
dvalveclem.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
dvalveclem.a  |-  .+  =  ( +g  `  U )
dvalveclem.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
dvalveclem.d  |-  D  =  (Scalar `  U )
dvalveclem.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
dvalveclem.p  |-  .+^  =  ( +g  `  D )
dvalveclem.m  |-  .X.  =  ( .r `  D )
dvalveclem.s  |-  .x.  =  ( .s `  U )
Assertion
Ref Expression
dvalveclem  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  U  e.  LVec )

Proof of Theorem dvalveclem
Dummy variables  t 
f  a  b  s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvalvec.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 dvalveclem.t . . . . 5  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
3 dvalvec.v . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecA `  K
) `  W )
4 eqid 2422 . . . . 5  |-  ( Base `  U )  =  (
Base `  U )
51, 2, 3, 4dvavbase 34550 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( Base `  U
)  =  T )
65eqcomd 2430 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  T  =  ( Base `  U ) )
7 dvalveclem.a . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  U )
87a1i 11 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  .+  =  ( +g  `  U ) )
9 dvalveclem.d . . . 4  |-  D  =  (Scalar `  U )
109a1i 11 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  D  =  (Scalar `  U ) )
11 dvalveclem.s . . . 4  |-  .x.  =  ( .s `  U )
1211a1i 11 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  .x.  =  ( .s
`  U ) )
13 dvalveclem.e . . . . 5  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
14 eqid 2422 . . . . 5  |-  ( Base `  D )  =  (
Base `  D )
151, 13, 3, 9, 14dvabase 34544 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( Base `  D
)  =  E )
1615eqcomd 2430 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  E  =  ( Base `  D ) )
17 dvalveclem.p . . . 4  |-  .+^  =  ( +g  `  D )
1817a1i 11 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  -> 
.+^  =  ( +g  `  D ) )
19 dvalveclem.m . . . 4  |-  .X.  =  ( .r `  D )
2019a1i 11 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  .X.  =  ( .r
`  D ) )
211, 2, 13tendoidcl 34306 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  (  _I  |`  T )  e.  E )
2221, 16eleqtrd 2509 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  (  _I  |`  T )  e.  ( Base `  D
) )
23 dvalveclem.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  K
)
24 eqid 2422 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )  =  ( f  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
2523, 1, 2, 13, 24tendo1ne0 34365 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  (  _I  |`  T )  =/=  ( f  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) ) )
26 eqid 2422 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
EDRing `  K ) `  W )  =  ( ( EDRing `  K ) `  W )
271, 26, 3, 9dvasca 34543 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  D  =  ( (
EDRing `  K ) `  W ) )
2827fveq2d 5886 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( 0g `  D
)  =  ( 0g
`  ( ( EDRing `  K ) `  W
) ) )
29 eqid 2422 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  ( ( EDRing `  K ) `  W
) )  =  ( 0g `  ( (
EDRing `  K ) `  W ) )
3023, 1, 2, 26, 24, 29erng0g 34531 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( 0g `  (
( EDRing `  K ) `  W ) )  =  ( f  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) ) )
3128, 30eqtrd 2463 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( 0g `  D
)  =  ( f  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) ) )
3225, 31neeqtrrd 2720 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  (  _I  |`  T )  =/=  ( 0g `  D ) )
3321, 21jca 534 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( (  _I  |`  T )  e.  E  /\  (  _I  |`  T )  e.  E ) )
341, 2, 13, 3, 9, 19dvamulr 34549 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( (  _I  |`  T )  e.  E  /\  (  _I  |`  T )  e.  E ) )  ->  ( (  _I  |`  T )  .X.  (  _I  |`  T ) )  =  ( (  _I  |`  T )  o.  (  _I  |`  T ) ) )
3533, 34mpdan 672 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( (  _I  |`  T ) 
.X.  (  _I  |`  T ) )  =  ( (  _I  |`  T )  o.  (  _I  |`  T ) ) )
36 f1oi 5867 . . . . . . . 8  |-  (  _I  |`  T ) : T -1-1-onto-> T
37 f1of 5831 . . . . . . . 8  |-  ( (  _I  |`  T ) : T -1-1-onto-> T  ->  (  _I  |`  T ) : T --> T )
38 fcoi2 5775 . . . . . . . 8  |-  ( (  _I  |`  T ) : T --> T  ->  (
(  _I  |`  T )  o.  (  _I  |`  T ) )  =  (  _I  |`  T ) )
3936, 37, 38mp2b 10 . . . . . . 7  |-  ( (  _I  |`  T )  o.  (  _I  |`  T ) )  =  (  _I  |`  T )
4035, 39syl6eq 2479 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( (  _I  |`  T ) 
.X.  (  _I  |`  T ) )  =  (  _I  |`  T ) )
4122, 32, 403jca 1185 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( (  _I  |`  T )  e.  ( Base `  D
)  /\  (  _I  |`  T )  =/=  ( 0g `  D )  /\  ( (  _I  |`  T ) 
.X.  (  _I  |`  T ) )  =  (  _I  |`  T ) ) )
421, 26erngdv 34530 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( ( EDRing `  K
) `  W )  e.  DivRing )
4327, 42eqeltrd 2507 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  D  e.  DivRing )
44 eqid 2422 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  D )  =  ( 0g `  D
)
45 eqid 2422 . . . . . . 7  |-  ( 1r
`  D )  =  ( 1r `  D
)
4614, 19, 44, 45drngid2 17991 . . . . . 6  |-  ( D  e.  DivRing  ->  ( ( (  _I  |`  T )  e.  ( Base `  D
)  /\  (  _I  |`  T )  =/=  ( 0g `  D )  /\  ( (  _I  |`  T ) 
.X.  (  _I  |`  T ) )  =  (  _I  |`  T ) )  <->  ( 1r `  D )  =  (  _I  |`  T )
) )
4743, 46syl 17 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( ( (  _I  |`  T )  e.  (
Base `  D )  /\  (  _I  |`  T )  =/=  ( 0g `  D )  /\  (
(  _I  |`  T ) 
.X.  (  _I  |`  T ) )  =  (  _I  |`  T ) )  <->  ( 1r `  D )  =  (  _I  |`  T )
) )
4841, 47mpbid 213 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( 1r `  D
)  =  (  _I  |`  T ) )
4948eqcomd 2430 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  (  _I  |`  T )  =  ( 1r `  D ) )
50 drngring 17982 . . . 4  |-  ( D  e.  DivRing  ->  D  e.  Ring )
5143, 50syl 17 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  D  e.  Ring )
521, 3dvaabl 34562 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  U  e.  Abel )
53 ablgrp 17435 . . . 4  |-  ( U  e.  Abel  ->  U  e. 
Grp )
5452, 53syl 17 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  U  e.  Grp )
551, 2, 13, 3, 11dvavsca 34554 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  T ) )  -> 
( s  .x.  t
)  =  ( s `
 t ) )
56553impb 1201 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E  /\  t  e.  T
)  ->  ( s  .x.  t )  =  ( s `  t ) )
571, 2, 13tendocl 34304 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E  /\  t  e.  T
)  ->  ( s `  t )  e.  T
)
5856, 57eqeltrd 2507 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E  /\  t  e.  T
)  ->  ( s  .x.  t )  e.  T
)
591, 2, 13tendospdi1 34558 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  T  /\  f  e.  T ) )  -> 
( s `  (
t  o.  f ) )  =  ( ( s `  t )  o.  ( s `  f ) ) )
60 simpr1 1011 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  T  /\  f  e.  T ) )  -> 
s  e.  E )
611, 2ltrnco 34256 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  t  e.  T  /\  f  e.  T
)  ->  ( t  o.  f )  e.  T
)
62613adant3r1 1214 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  T  /\  f  e.  T ) )  -> 
( t  o.  f
)  e.  T )
6360, 62jca 534 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  T  /\  f  e.  T ) )  -> 
( s  e.  E  /\  ( t  o.  f
)  e.  T ) )
641, 2, 13, 3, 11dvavsca 34554 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  ( t  o.  f )  e.  T ) )  -> 
( s  .x.  (
t  o.  f ) )  =  ( s `
 ( t  o.  f ) ) )
6563, 64syldan 472 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  T  /\  f  e.  T ) )  -> 
( s  .x.  (
t  o.  f ) )  =  ( s `
 ( t  o.  f ) ) )
66573adant3r3 1216 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  T  /\  f  e.  T ) )  -> 
( s `  t
)  e.  T )
671, 2, 13tendocl 34304 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E  /\  f  e.  T
)  ->  ( s `  f )  e.  T
)
68673adant3r2 1215 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  T  /\  f  e.  T ) )  -> 
( s `  f
)  e.  T )
6966, 68jca 534 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  T  /\  f  e.  T ) )  -> 
( ( s `  t )  e.  T  /\  ( s `  f
)  e.  T ) )
701, 2, 3, 7dvavadd 34552 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( s `
 t )  e.  T  /\  ( s `
 f )  e.  T ) )  -> 
( ( s `  t )  .+  (
s `  f )
)  =  ( ( s `  t )  o.  ( s `  f ) ) )
7169, 70syldan 472 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  T  /\  f  e.  T ) )  -> 
( ( s `  t )  .+  (
s `  f )
)  =  ( ( s `  t )  o.  ( s `  f ) ) )
7259, 65, 713eqtr4d 2473 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  T  /\  f  e.  T ) )  -> 
( s  .x.  (
t  o.  f ) )  =  ( ( s `  t ) 
.+  ( s `  f ) ) )
731, 2, 3, 7dvavadd 34552 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( t  e.  T  /\  f  e.  T ) )  -> 
( t  .+  f
)  =  ( t  o.  f ) )
74733adantr1 1164 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  T  /\  f  e.  T ) )  -> 
( t  .+  f
)  =  ( t  o.  f ) )
7574oveq2d 6322 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  T  /\  f  e.  T ) )  -> 
( s  .x.  (
t  .+  f )
)  =  ( s 
.x.  ( t  o.  f ) ) )
76553adantr3 1166 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  T  /\  f  e.  T ) )  -> 
( s  .x.  t
)  =  ( s `
 t ) )
771, 2, 13, 3, 11dvavsca 34554 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  f  e.  T ) )  -> 
( s  .x.  f
)  =  ( s `
 f ) )
78773adantr2 1165 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  T  /\  f  e.  T ) )  -> 
( s  .x.  f
)  =  ( s `
 f ) )
7976, 78oveq12d 6324 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  T  /\  f  e.  T ) )  -> 
( ( s  .x.  t )  .+  (
s  .x.  f )
)  =  ( ( s `  t ) 
.+  ( s `  f ) ) )
8072, 75, 793eqtr4d 2473 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  T  /\  f  e.  T ) )  -> 
( s  .x.  (
t  .+  f )
)  =  ( ( s  .x.  t ) 
.+  ( s  .x.  f ) ) )
811, 2, 13, 3, 9, 17dvaplusgv 34547 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  f  e.  T ) )  -> 
( ( s  .+^  t ) `  f
)  =  ( ( s `  f )  o.  ( t `  f ) ) )
821, 2, 13, 3, 9, 17dvafplusg 34545 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  -> 
.+^  =  ( a  e.  E ,  b  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( a `  f )  o.  ( b `  f ) ) ) ) )
83823ad2ant1 1026 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E  /\  t  e.  E
)  ->  .+^  =  ( a  e.  E , 
b  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( a `  f
)  o.  ( b `
 f ) ) ) ) )
8483oveqd 6323 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E  /\  t  e.  E
)  ->  ( s  .+^  t )  =  ( s ( a  e.  E ,  b  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( a `
 f )  o.  ( b `  f
) ) ) ) t ) )
85 eqid 2422 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  E ,  b  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( a `  f )  o.  ( b `  f ) ) ) )  =  ( a  e.  E ,  b  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( a `  f )  o.  ( b `  f ) ) ) )
861, 2, 13, 85tendoplcl 34318 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E  /\  t  e.  E
)  ->  ( s
( a  e.  E ,  b  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( a `  f )  o.  (
b `  f )
) ) ) t )  e.  E )
8784, 86eqeltrd 2507 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E  /\  t  e.  E
)  ->  ( s  .+^  t )  e.  E
)
88873adant3r3 1216 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  f  e.  T ) )  -> 
( s  .+^  t )  e.  E )
89 simpr3 1013 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  f  e.  T ) )  -> 
f  e.  T )
9088, 89jca 534 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  f  e.  T ) )  -> 
( ( s  .+^  t )  e.  E  /\  f  e.  T
) )
911, 2, 13, 3, 11dvavsca 34554 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( s 
.+^  t )  e.  E  /\  f  e.  T ) )  -> 
( ( s  .+^  t )  .x.  f
)  =  ( ( s  .+^  t ) `  f ) )
9290, 91syldan 472 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  f  e.  T ) )  -> 
( ( s  .+^  t )  .x.  f
)  =  ( ( s  .+^  t ) `  f ) )
93773adantr2 1165 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  f  e.  T ) )  -> 
( s  .x.  f
)  =  ( s `
 f ) )
941, 2, 13, 3, 11dvavsca 34554 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( t  e.  E  /\  f  e.  T ) )  -> 
( t  .x.  f
)  =  ( t `
 f ) )
95943adantr1 1164 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  f  e.  T ) )  -> 
( t  .x.  f
)  =  ( t `
 f ) )
9693, 95oveq12d 6324 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  f  e.  T ) )  -> 
( ( s  .x.  f )  .+  (
t  .x.  f )
)  =  ( ( s `  f ) 
.+  ( t `  f ) ) )
97673adant3r2 1215 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  f  e.  T ) )  -> 
( s `  f
)  e.  T )
981, 2, 13tendospcl 34556 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  t  e.  E  /\  f  e.  T
)  ->  ( t `  f )  e.  T
)
99983adant3r1 1214 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  f  e.  T ) )  -> 
( t `  f
)  e.  T )
10097, 99jca 534 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  f  e.  T ) )  -> 
( ( s `  f )  e.  T  /\  ( t `  f
)  e.  T ) )
1011, 2, 3, 7dvavadd 34552 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( s `
 f )  e.  T  /\  ( t `
 f )  e.  T ) )  -> 
( ( s `  f )  .+  (
t `  f )
)  =  ( ( s `  f )  o.  ( t `  f ) ) )
102100, 101syldan 472 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  f  e.  T ) )  -> 
( ( s `  f )  .+  (
t `  f )
)  =  ( ( s `  f )  o.  ( t `  f ) ) )
10396, 102eqtrd 2463 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  f  e.  T ) )  -> 
( ( s  .x.  f )  .+  (
t  .x.  f )
)  =  ( ( s `  f )  o.  ( t `  f ) ) )
10481, 92, 1033eqtr4d 2473 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  f  e.  T ) )  -> 
( ( s  .+^  t )  .x.  f
)  =  ( ( s  .x.  f ) 
.+  ( t  .x.  f ) ) )
1051, 2, 13tendospass 34557 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  f  e.  T ) )  -> 
( ( s  o.  t ) `  f
)  =  ( s `
 ( t `  f ) ) )
1061, 13tendococl 34309 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E  /\  t  e.  E
)  ->  ( s  o.  t )  e.  E
)
1071063adant3r3 1216 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  f  e.  T ) )  -> 
( s  o.  t
)  e.  E )
108107, 89jca 534 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  f  e.  T ) )  -> 
( ( s  o.  t )  e.  E  /\  f  e.  T
) )
1091, 2, 13, 3, 11dvavsca 34554 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( s  o.  t )  e.  E  /\  f  e.  T ) )  -> 
( ( s  o.  t )  .x.  f
)  =  ( ( s  o.  t ) `
 f ) )
110108, 109syldan 472 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  f  e.  T ) )  -> 
( ( s  o.  t )  .x.  f
)  =  ( ( s  o.  t ) `
 f ) )
111 simpr1 1011 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  f  e.  T ) )  -> 
s  e.  E )
112111, 99jca 534 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  f  e.  T ) )  -> 
( s  e.  E  /\  ( t `  f
)  e.  T ) )
1131, 2, 13, 3, 11dvavsca 34554 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  ( t `
 f )  e.  T ) )  -> 
( s  .x.  (
t `  f )
)  =  ( s `
 ( t `  f ) ) )
114112, 113syldan 472 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  f  e.  T ) )  -> 
( s  .x.  (
t `  f )
)  =  ( s `
 ( t `  f ) ) )
115105, 110, 1143eqtr4d 2473 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  f  e.  T ) )  -> 
( ( s  o.  t )  .x.  f
)  =  ( s 
.x.  ( t `  f ) ) )
1161, 2, 13, 3, 9, 19dvamulr 34549 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E ) )  -> 
( s  .X.  t
)  =  ( s  o.  t ) )
1171163adantr3 1166 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  f  e.  T ) )  -> 
( s  .X.  t
)  =  ( s  o.  t ) )
118117oveq1d 6321 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  f  e.  T ) )  -> 
( ( s  .X.  t )  .x.  f
)  =  ( ( s  o.  t ) 
.x.  f ) )
11995oveq2d 6322 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  f  e.  T ) )  -> 
( s  .x.  (
t  .x.  f )
)  =  ( s 
.x.  ( t `  f ) ) )
120115, 118, 1193eqtr4d 2473 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  f  e.  T ) )  -> 
( ( s  .X.  t )  .x.  f
)  =  ( s 
.x.  ( t  .x.  f ) ) )
12121anim1i 570 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  T
)  ->  ( (  _I  |`  T )  e.  E  /\  s  e.  T ) )
1221, 2, 13, 3, 11dvavsca 34554 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( (  _I  |`  T )  e.  E  /\  s  e.  T
) )  ->  (
(  _I  |`  T ) 
.x.  s )  =  ( (  _I  |`  T ) `
 s ) )
123121, 122syldan 472 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  T
)  ->  ( (  _I  |`  T )  .x.  s )  =  ( (  _I  |`  T ) `
 s ) )
124 fvresi 6106 . . . . 5  |-  ( s  e.  T  ->  (
(  _I  |`  T ) `
 s )  =  s )
125124adantl 467 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  T
)  ->  ( (  _I  |`  T ) `  s )  =  s )
126123, 125eqtrd 2463 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  T
)  ->  ( (  _I  |`  T )  .x.  s )  =  s )
1276, 8, 10, 12, 16, 18, 20, 49, 51, 54, 58, 80, 104, 120, 126islmodd 18097 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  U  e.  LMod )
1289islvec 18327 . 2  |-  ( U  e.  LVec  <->  ( U  e. 
LMod  /\  D  e.  DivRing ) )
129127, 43, 128sylanbrc 668 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  U  e.  LVec )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2614    |-> cmpt 4482    _I cid 4763    |` cres 4855    o. ccom 4857   -->wf 5597   -1-1-onto->wf1o 5600   ` cfv 5601  (class class class)co 6306    |-> cmpt2 6308   Basecbs 15121   +g cplusg 15190   .rcmulr 15191  Scalarcsca 15193   .scvsca 15194   0gc0g 15338   Grpcgrp 16669   Abelcabl 17431   1rcur 17735   Ringcrg 17780   DivRingcdr 17975   LModclmod 18091   LVecclvec 18325   HLchlt 32886   LHypclh 33519   LTrncltrn 33636   TEndoctendo 34289   EDRingcedring 34290   DVecAcdveca 34539
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6598  ax-cnex 9603  ax-resscn 9604  ax-1cn 9605  ax-icn 9606  ax-addcl 9607  ax-addrcl 9608  ax-mulcl 9609  ax-mulrcl 9610  ax-mulcom 9611  ax-addass 9612  ax-mulass 9613  ax-distr 9614  ax-i2m1 9615  ax-1ne0 9616  ax-1rid 9617  ax-rnegex 9618  ax-rrecex 9619  ax-cnre 9620  ax-pre-lttri 9621  ax-pre-lttrn 9622  ax-pre-ltadd 9623  ax-pre-mulgt0 9624  ax-riotaBAD 32495
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-iin 4302  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6268  df-ov 6309  df-oprab 6310  df-mpt2 6311  df-om 6708  df-1st 6808  df-2nd 6809  df-tpos 6985  df-undef 7032  df-wrecs 7040  df-recs 7102  df-rdg 7140  df-1o 7194  df-oadd 7198  df-er 7375  df-map 7486  df-en 7582  df-dom 7583  df-sdom 7584  df-fin 7585  df-pnf 9685  df-mnf 9686  df-xr 9687  df-ltxr 9688  df-le 9689  df-sub 9870  df-neg 9871  df-nn 10618  df-2 10676  df-3 10677  df-4 10678  df-5 10679  df-6 10680  df-n0 10878  df-z 10946  df-uz 11168  df-fz 11793  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-0g 15340  df-preset 16173  df-poset 16191  df-plt 16204  df-lub 16220  df-glb 16221  df-join 16222  df-meet 16223  df-p0 16285  df-p1 16286  df-lat 16292  df-clat 16354  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-grp 16673  df-minusg 16674  df-cmn 17432  df-abl 17433  df-mgp 17724  df-ur 17736  df-ring 17782  df-oppr 17851  df-dvdsr 17869  df-unit 17870  df-invr 17900  df-dvr 17911  df-drng 17977  df-lmod 18093  df-lvec 18326  df-oposet 32712  df-ol 32714  df-oml 32715  df-covers 32802  df-ats 32803  df-atl 32834  df-cvlat 32858  df-hlat 32887  df-llines 33033  df-lplanes 33034  df-lvols 33035  df-lines 33036  df-psubsp 33038  df-pmap 33039  df-padd 33331  df-lhyp 33523  df-laut 33524  df-ldil 33639  df-ltrn 33640  df-trl 33695  df-tgrp 34280  df-tendo 34292  df-edring 34294  df-dveca 34540
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