Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvafvadd Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem dvafvadd 34581
Description: The vector sum operation for the constructed partial vector space A. (Contributed by NM, 9-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvafvadd.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dvafvadd.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
dvafvadd.u  |-  U  =  ( ( DVecA `  K
) `  W )
dvafvadd.v  |-  .+  =  ( +g  `  U )
Assertion
Ref Expression
dvafvadd  |-  ( ( K  e.  X  /\  W  e.  H )  ->  .+  =  ( f  e.  T ,  g  e.  T  |->  ( f  o.  g ) ) )
Distinct variable groups:    f, g, K    T, f, g    f, W, g
Allowed substitution hints:    .+ ( f, g)    U( f, g)    H( f, g)    X( f, g)

Proof of Theorem dvafvadd
Dummy variable  s is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvafvadd.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 dvafvadd.t . . . 4  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
3 eqid 2451 . . . 4  |-  ( (
TEndo `  K ) `  W )  =  ( ( TEndo `  K ) `  W )
4 eqid 2451 . . . 4  |-  ( (
EDRing `  K ) `  W )  =  ( ( EDRing `  K ) `  W )
5 dvafvadd.u . . . 4  |-  U  =  ( ( DVecA `  K
) `  W )
61, 2, 3, 4, 5dvaset 34572 . . 3  |-  ( ( K  e.  X  /\  W  e.  H )  ->  U  =  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  T >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  T ,  g  e.  T  |->  ( f  o.  g ) ) >. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  ( ( EDRing `
 K ) `  W ) >. }  u.  {
<. ( .s `  ndx ) ,  ( s  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W ) ,  f  e.  T  |->  ( s `  f
) ) >. } ) )
76fveq2d 5869 . 2  |-  ( ( K  e.  X  /\  W  e.  H )  ->  ( +g  `  U
)  =  ( +g  `  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  T >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  T ,  g  e.  T  |->  ( f  o.  g
) ) >. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  ( ( EDRing `  K ) `  W ) >. }  u.  {
<. ( .s `  ndx ) ,  ( s  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W ) ,  f  e.  T  |->  ( s `  f
) ) >. } ) ) )
8 dvafvadd.v . 2  |-  .+  =  ( +g  `  U )
9 fvex 5875 . . . . 5  |-  ( (
LTrn `  K ) `  W )  e.  _V
102, 9eqeltri 2525 . . . 4  |-  T  e. 
_V
1110, 10mpt2ex 6870 . . 3  |-  ( f  e.  T ,  g  e.  T  |->  ( f  o.  g ) )  e.  _V
12 eqid 2451 . . . 4  |-  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  T >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  T ,  g  e.  T  |->  ( f  o.  g ) ) >. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  ( ( EDRing `
 K ) `  W ) >. }  u.  {
<. ( .s `  ndx ) ,  ( s  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W ) ,  f  e.  T  |->  ( s `  f
) ) >. } )  =  ( { <. (
Base `  ndx ) ,  T >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  T ,  g  e.  T  |->  ( f  o.  g
) ) >. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  ( ( EDRing `  K ) `  W ) >. }  u.  {
<. ( .s `  ndx ) ,  ( s  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W ) ,  f  e.  T  |->  ( s `  f
) ) >. } )
1312lmodplusg 15263 . . 3  |-  ( ( f  e.  T , 
g  e.  T  |->  ( f  o.  g ) )  e.  _V  ->  ( f  e.  T , 
g  e.  T  |->  ( f  o.  g ) )  =  ( +g  `  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  T >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  T ,  g  e.  T  |->  ( f  o.  g
) ) >. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  ( ( EDRing `  K ) `  W ) >. }  u.  {
<. ( .s `  ndx ) ,  ( s  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W ) ,  f  e.  T  |->  ( s `  f
) ) >. } ) ) )
1411, 13ax-mp 5 . 2  |-  ( f  e.  T ,  g  e.  T  |->  ( f  o.  g ) )  =  ( +g  `  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  T >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  T ,  g  e.  T  |->  ( f  o.  g ) ) >. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  ( ( EDRing `
 K ) `  W ) >. }  u.  {
<. ( .s `  ndx ) ,  ( s  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W ) ,  f  e.  T  |->  ( s `  f
) ) >. } ) )
157, 8, 143eqtr4g 2510 1  |-  ( ( K  e.  X  /\  W  e.  H )  ->  .+  =  ( f  e.  T ,  g  e.  T  |->  ( f  o.  g ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887   _Vcvv 3045    u. cun 3402   {csn 3968   {ctp 3972   <.cop 3974    o. ccom 4838   ` cfv 5582    |-> cmpt2 6292   ndxcnx 15118   Basecbs 15121   +g cplusg 15190  Scalarcsca 15193   .scvsca 15194   LHypclh 33549   LTrncltrn 33666   TEndoctendo 34319   EDRingcedring 34320   DVecAcdveca 34569
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-plusg 15203  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-dveca 34570
This theorem is referenced by:  dvavadd  34582
  Copyright terms: Public domain W3C validator