MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvaddbr Unicode version

Theorem dvaddbr 19777
Description: The sum rule for derivatives at a point. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvadd.f  |-  ( ph  ->  F : X --> CC )
dvadd.x  |-  ( ph  ->  X  C_  S )
dvadd.g  |-  ( ph  ->  G : Y --> CC )
dvadd.y  |-  ( ph  ->  Y  C_  S )
dvaddbr.s  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
dvadd.k  |-  ( ph  ->  K  e.  V )
dvadd.l  |-  ( ph  ->  L  e.  V )
dvadd.bf  |-  ( ph  ->  C ( S  _D  F ) K )
dvadd.bg  |-  ( ph  ->  C ( S  _D  G ) L )
dvadd.j  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
dvaddbr  |-  ( ph  ->  C ( S  _D  ( F  o F  +  G ) ) ( K  +  L ) )

Proof of Theorem dvaddbr
Dummy variables  y 
z  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvadd.bf . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C ( S  _D  F ) K )
2 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( Jt  S )  =  ( Jt  S )
3 dvadd.j . . . . . . 7  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
4 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )  =  ( z  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )
5 dvaddbr.s . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
6 dvadd.f . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : X --> CC )
7 dvadd.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  C_  S )
82, 3, 4, 5, 6, 7eldv 19738 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( C ( S  _D  F ) K  <-> 
( C  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  X )  /\  K  e.  ( ( z  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) lim
CC  C ) ) ) )
91, 8mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  X )  /\  K  e.  ( ( z  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) lim
CC  C ) ) )
109simpld 446 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  X
) )
11 dvadd.bg . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C ( S  _D  G ) L )
12 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )  =  ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )
13 dvadd.g . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G : Y --> CC )
14 dvadd.y . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  C_  S )
152, 3, 12, 5, 13, 14eldv 19738 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( C ( S  _D  G ) L  <-> 
( C  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  Y )  /\  L  e.  ( ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) lim
CC  C ) ) ) )
1611, 15mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  Y )  /\  L  e.  ( ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) lim
CC  C ) ) )
1716simpld 446 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  Y
) )
18 elin 3490 . . . 4  |-  ( C  e.  ( ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  X
)  i^i  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  Y ) )  <->  ( C  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  X )  /\  C  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  Y ) ) )
1910, 17, 18sylanbrc 646 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  X )  i^i  (
( int `  ( Jt  S ) ) `  Y ) ) )
203cnfldtopon 18770 . . . . . 6  |-  J  e.  (TopOn `  CC )
21 resttopon 17179 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  CC )  /\  S  C_  CC )  ->  ( Jt  S )  e.  (TopOn `  S ) )
2220, 5, 21sylancr 645 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Jt  S )  e.  (TopOn `  S ) )
23 topontop 16946 . . . . 5  |-  ( ( Jt  S )  e.  (TopOn `  S )  ->  ( Jt  S )  e.  Top )
2422, 23syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Jt  S )  e.  Top )
25 toponuni 16947 . . . . . 6  |-  ( ( Jt  S )  e.  (TopOn `  S )  ->  S  =  U. ( Jt  S ) )
2622, 25syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  =  U. ( Jt  S ) )
277, 26sseqtrd 3344 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  C_  U. ( Jt  S ) )
2814, 26sseqtrd 3344 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  C_  U. ( Jt  S ) )
29 eqid 2404 . . . . 5  |-  U. ( Jt  S )  =  U. ( Jt  S )
3029ntrin 17080 . . . 4  |-  ( ( ( Jt  S )  e.  Top  /\  X  C_  U. ( Jt  S )  /\  Y  C_ 
U. ( Jt  S ) )  ->  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( X  i^i  Y ) )  =  ( ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  X
)  i^i  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  Y ) ) )
3124, 27, 28, 30syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( X  i^i  Y ) )  =  ( ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  X )  i^i  (
( int `  ( Jt  S ) ) `  Y ) ) )
3219, 31eleqtrrd 2481 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( X  i^i  Y ) ) )
33 inss1 3521 . . . . . . 7  |-  ( X  i^i  Y )  C_  X
34 ssdif 3442 . . . . . . 7  |-  ( ( X  i^i  Y ) 
C_  X  ->  (
( X  i^i  Y
)  \  { C } )  C_  ( X  \  { C }
) )
3533, 34mp1i 12 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  C_  ( X  \  { C }
) )
3635sselda 3308 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
z  e.  ( X 
\  { C }
) )
377, 5sstrd 3318 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  C_  CC )
3829ntrss2 17076 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Jt  S )  e.  Top  /\  X  C_  U. ( Jt  S ) )  -> 
( ( int `  ( Jt  S ) ) `  X )  C_  X
)
3924, 27, 38syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  X )  C_  X
)
4039, 10sseldd 3309 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  X )
416, 37, 40dvlem 19736 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( X  \  { C } ) )  -> 
( ( ( F `
 z )  -  ( F `  C ) )  /  ( z  -  C ) )  e.  CC )
4236, 41syldan 457 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( ( F `
 z )  -  ( F `  C ) )  /  ( z  -  C ) )  e.  CC )
43 inss2 3522 . . . . . . 7  |-  ( X  i^i  Y )  C_  Y
44 ssdif 3442 . . . . . . 7  |-  ( ( X  i^i  Y ) 
C_  Y  ->  (
( X  i^i  Y
)  \  { C } )  C_  ( Y  \  { C }
) )
4543, 44mp1i 12 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  C_  ( Y  \  { C }
) )
4645sselda 3308 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
z  e.  ( Y 
\  { C }
) )
4714, 5sstrd 3318 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  C_  CC )
4829ntrss2 17076 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Jt  S )  e.  Top  /\  Y  C_  U. ( Jt  S ) )  -> 
( ( int `  ( Jt  S ) ) `  Y )  C_  Y
)
4924, 28, 48syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  Y )  C_  Y
)
5049, 17sseldd 3309 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  Y )
5113, 47, 50dvlem 19736 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  -> 
( ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) )  /  ( z  -  C ) )  e.  CC )
5246, 51syldan 457 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) )  /  ( z  -  C ) )  e.  CC )
53 ssid 3327 . . . . 5  |-  CC  C_  CC
5453a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  CC  C_  CC )
55 txtopon 17576 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  CC )  /\  J  e.  (TopOn `  CC )
)  ->  ( J  tX  J )  e.  (TopOn `  ( CC  X.  CC ) ) )
5620, 20, 55mp2an 654 . . . . . 6  |-  ( J 
tX  J )  e.  (TopOn `  ( CC  X.  CC ) )
5756toponunii 16952 . . . . . . 7  |-  ( CC 
X.  CC )  = 
U. ( J  tX  J )
5857restid 13616 . . . . . 6  |-  ( ( J  tX  J )  e.  (TopOn `  ( CC  X.  CC ) )  ->  ( ( J 
tX  J )t  ( CC 
X.  CC ) )  =  ( J  tX  J ) )
5956, 58ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( ( J  tX  J )t  ( CC  X.  CC ) )  =  ( J 
tX  J )
6059eqcomi 2408 . . . 4  |-  ( J 
tX  J )  =  ( ( J  tX  J )t  ( CC  X.  CC ) )
619simprd 450 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ( z  e.  ( X 
\  { C }
)  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) ) lim CC  C ) )
6241, 4fmptd 5852 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) : ( X  \  { C } ) --> CC )
6337ssdifssd 3445 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  \  { C } )  C_  CC )
64 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( Jt  ( ( X  \  { C } )  u.  { C } ) )  =  ( Jt  ( ( X 
\  { C }
)  u.  { C } ) )
6533, 7syl5ss 3319 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( X  i^i  Y
)  C_  S )
6665, 26sseqtrd 3344 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( X  i^i  Y
)  C_  U. ( Jt  S ) )
67 difssd 3435 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( U. ( Jt  S )  \  X ) 
C_  U. ( Jt  S ) )
6866, 67unssd 3483 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  X
) )  C_  U. ( Jt  S ) )
69 ssun1 3470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  i^i  Y )  C_  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  X
) )
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( X  i^i  Y
)  C_  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  X ) ) )
7129ntrss 17074 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Jt  S )  e.  Top  /\  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  X
) )  C_  U. ( Jt  S )  /\  ( X  i^i  Y )  C_  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  X
) ) )  -> 
( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( X  i^i  Y ) )  C_  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  X
) ) ) )
7224, 68, 70, 71syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( X  i^i  Y ) )  C_  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  X
) ) ) )
7372, 32sseldd 3309 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  (
( X  i^i  Y
)  u.  ( U. ( Jt  S )  \  X
) ) ) )
74 elin 3490 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  ( ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  (
( X  i^i  Y
)  u.  ( U. ( Jt  S )  \  X
) ) )  i^i 
X )  <->  ( C  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  X
) ) )  /\  C  e.  X )
)
7573, 40, 74sylanbrc 646 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  X
) ) )  i^i 
X ) )
7633a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( X  i^i  Y
)  C_  X )
77 eqid 2404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Jt  S )t  X )  =  ( ( Jt  S )t  X )
7829, 77restntr 17200 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Jt  S )  e.  Top  /\  X  C_  U. ( Jt  S )  /\  ( X  i^i  Y )  C_  X )  ->  (
( int `  (
( Jt  S )t  X ) ) `  ( X  i^i  Y ) )  =  ( ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  X
) ) )  i^i 
X ) )
7924, 27, 76, 78syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( int `  (
( Jt  S )t  X ) ) `  ( X  i^i  Y ) )  =  ( ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  X
) ) )  i^i 
X ) )
803cnfldtop 18771 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  J  e. 
Top
8180a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
82 cnex 9027 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  CC  e.  _V
83 ssexg 4309 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  C_  CC  /\  CC  e.  _V )  ->  S  e.  _V )
845, 82, 83sylancl 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  S  e.  _V )
85 restabs 17183 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  X  C_  S  /\  S  e.  _V )  ->  (
( Jt  S )t  X )  =  ( Jt  X ) )
8681, 7, 84, 85syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( Jt  S )t  X )  =  ( Jt  X ) )
8786fveq2d 5691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( int `  (
( Jt  S )t  X ) )  =  ( int `  ( Jt  X ) ) )
8887fveq1d 5689 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( int `  (
( Jt  S )t  X ) ) `  ( X  i^i  Y ) )  =  ( ( int `  ( Jt  X ) ) `  ( X  i^i  Y ) ) )
8979, 88eqtr3d 2438 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  X
) ) )  i^i 
X )  =  ( ( int `  ( Jt  X ) ) `  ( X  i^i  Y ) ) )
9075, 89eleqtrd 2480 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( int `  ( Jt  X ) ) `  ( X  i^i  Y ) ) )
91 undif1 3663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  \  { C } )  u.  { C } )  =  ( X  u.  { C } )
9240snssd 3903 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  { C }  C_  X )
93 ssequn2 3480 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { C }  C_  X  <->  ( X  u.  { C } )  =  X )
9492, 93sylib 189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( X  u.  { C } )  =  X )
9591, 94syl5eq 2448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( X  \  { C } )  u. 
{ C } )  =  X )
9695oveq2d 6056 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Jt  ( ( X 
\  { C }
)  u.  { C } ) )  =  ( Jt  X ) )
9796fveq2d 5691 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( int `  ( Jt  ( ( X  \  { C } )  u. 
{ C } ) ) )  =  ( int `  ( Jt  X ) ) )
98 undif1 3663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  i^i  Y
)  \  { C } )  u.  { C } )  =  ( ( X  i^i  Y
)  u.  { C } )
99 elin 3490 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C  e.  ( X  i^i  Y )  <->  ( C  e.  X  /\  C  e.  Y ) )
10040, 50, 99sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  C  e.  ( X  i^i  Y ) )
101100snssd 3903 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  { C }  C_  ( X  i^i  Y ) )
102 ssequn2 3480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { C }  C_  ( X  i^i  Y )  <->  ( ( X  i^i  Y )  u. 
{ C } )  =  ( X  i^i  Y ) )
103101, 102sylib 189 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( X  i^i  Y )  u.  { C } )  =  ( X  i^i  Y ) )
10498, 103syl5eq 2448 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  u. 
{ C } )  =  ( X  i^i  Y ) )
10597, 104fveq12d 5693 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( Jt  ( ( X  \  { C } )  u. 
{ C } ) ) ) `  (
( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  u.  { C } ) )  =  ( ( int `  ( Jt  X ) ) `  ( X  i^i  Y ) ) )
10690, 105eleqtrrd 2481 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( int `  ( Jt  ( ( X  \  { C } )  u.  { C } ) ) ) `
 ( ( ( X  i^i  Y ) 
\  { C }
)  u.  { C } ) ) )
10762, 35, 63, 3, 64, 106limcres 19726 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( z  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )  |`  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) ) lim
CC  C )  =  ( ( z  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) lim
CC  C ) )
108 resmpt 5150 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  i^i  Y
)  \  { C } )  C_  ( X  \  { C }
)  ->  ( (
z  e.  ( X 
\  { C }
)  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) )  |`  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  =  ( z  e.  ( ( X  i^i  Y
)  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) )
10935, 108syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) )  |`  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  =  ( z  e.  ( ( X  i^i  Y
)  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) )
110109oveq1d 6055 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( z  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )  |`  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) ) lim
CC  C )  =  ( ( z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) lim
CC  C ) )
111107, 110eqtr3d 2438 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) lim
CC  C )  =  ( ( z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) lim
CC  C ) )
11261, 111eleqtrd 2480 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ( z  e.  ( ( X  i^i  Y ) 
\  { C }
)  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) ) lim CC  C ) )
11316simprd 450 . . . . 5  |-  ( ph  ->  L  e.  ( ( z  e.  ( Y 
\  { C }
)  |->  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) ) lim CC  C ) )
11451, 12fmptd 5852 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) : ( Y  \  { C } ) --> CC )
11547ssdifssd 3445 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Y  \  { C } )  C_  CC )
116 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( Jt  ( ( Y  \  { C } )  u.  { C } ) )  =  ( Jt  ( ( Y 
\  { C }
)  u.  { C } ) )
117 difssd 3435 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( U. ( Jt  S )  \  Y ) 
C_  U. ( Jt  S ) )
11866, 117unssd 3483 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  Y
) )  C_  U. ( Jt  S ) )
119 ssun1 3470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  i^i  Y )  C_  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  Y
) )
120119a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( X  i^i  Y
)  C_  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  Y ) ) )
12129ntrss 17074 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Jt  S )  e.  Top  /\  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  Y
) )  C_  U. ( Jt  S )  /\  ( X  i^i  Y )  C_  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  Y
) ) )  -> 
( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( X  i^i  Y ) )  C_  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  Y
) ) ) )
12224, 118, 120, 121syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( X  i^i  Y ) )  C_  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  Y
) ) ) )
123122, 32sseldd 3309 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  (
( X  i^i  Y
)  u.  ( U. ( Jt  S )  \  Y
) ) ) )
124 elin 3490 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  ( ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  (
( X  i^i  Y
)  u.  ( U. ( Jt  S )  \  Y
) ) )  i^i 
Y )  <->  ( C  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  Y
) ) )  /\  C  e.  Y )
)
125123, 50, 124sylanbrc 646 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  Y
) ) )  i^i 
Y ) )
12643a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( X  i^i  Y
)  C_  Y )
127 eqid 2404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Jt  S )t  Y )  =  ( ( Jt  S )t  Y )
12829, 127restntr 17200 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Jt  S )  e.  Top  /\  Y  C_  U. ( Jt  S )  /\  ( X  i^i  Y )  C_  Y )  ->  (
( int `  (
( Jt  S )t  Y ) ) `  ( X  i^i  Y ) )  =  ( ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  Y
) ) )  i^i 
Y ) )
12924, 28, 126, 128syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( int `  (
( Jt  S )t  Y ) ) `  ( X  i^i  Y ) )  =  ( ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  Y
) ) )  i^i 
Y ) )
130 restabs 17183 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  S  /\  S  e.  _V )  ->  (
( Jt  S )t  Y )  =  ( Jt  Y ) )
13181, 14, 84, 130syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( Jt  S )t  Y )  =  ( Jt  Y ) )
132131fveq2d 5691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( int `  (
( Jt  S )t  Y ) )  =  ( int `  ( Jt  Y ) ) )
133132fveq1d 5689 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( int `  (
( Jt  S )t  Y ) ) `  ( X  i^i  Y ) )  =  ( ( int `  ( Jt  Y ) ) `  ( X  i^i  Y ) ) )
134129, 133eqtr3d 2438 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  Y
) ) )  i^i 
Y )  =  ( ( int `  ( Jt  Y ) ) `  ( X  i^i  Y ) ) )
135125, 134eleqtrd 2480 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( int `  ( Jt  Y ) ) `  ( X  i^i  Y ) ) )
136 undif1 3663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Y  \  { C } )  u.  { C } )  =  ( Y  u.  { C } )
13750snssd 3903 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  { C }  C_  Y )
138 ssequn2 3480 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { C }  C_  Y  <->  ( Y  u.  { C } )  =  Y )
139137, 138sylib 189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Y  u.  { C } )  =  Y )
140136, 139syl5eq 2448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( Y  \  { C } )  u. 
{ C } )  =  Y )
141140oveq2d 6056 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Jt  ( ( Y 
\  { C }
)  u.  { C } ) )  =  ( Jt  Y ) )
142141fveq2d 5691 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( int `  ( Jt  ( ( Y  \  { C } )  u. 
{ C } ) ) )  =  ( int `  ( Jt  Y ) ) )
143142, 104fveq12d 5693 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( Jt  ( ( Y  \  { C } )  u. 
{ C } ) ) ) `  (
( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  u.  { C } ) )  =  ( ( int `  ( Jt  Y ) ) `  ( X  i^i  Y ) ) )
144135, 143eleqtrrd 2481 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( int `  ( Jt  ( ( Y  \  { C } )  u.  { C } ) ) ) `
 ( ( ( X  i^i  Y ) 
\  { C }
)  u.  { C } ) ) )
145114, 45, 115, 3, 116, 144limcres 19726 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )  |`  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) ) lim
CC  C )  =  ( ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) lim
CC  C ) )
146 resmpt 5150 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  i^i  Y
)  \  { C } )  C_  ( Y  \  { C }
)  ->  ( (
z  e.  ( Y 
\  { C }
)  |->  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) )  |`  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  =  ( z  e.  ( ( X  i^i  Y
)  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) )
14745, 146syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) )  |`  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  =  ( z  e.  ( ( X  i^i  Y
)  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) )
148147oveq1d 6055 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )  |`  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) ) lim
CC  C )  =  ( ( z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) lim
CC  C ) )
149145, 148eqtr3d 2438 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) lim
CC  C )  =  ( ( z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) lim
CC  C ) )
150113, 149eleqtrd 2480 . . . 4  |-  ( ph  ->  L  e.  ( ( z  e.  ( ( X  i^i  Y ) 
\  { C }
)  |->  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) ) lim CC  C ) )
1513addcn 18848 . . . . 5  |-  +  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
)
1525, 6, 7dvcl 19739 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  C ( S  _D  F ) K )  ->  K  e.  CC )
1531, 152mpdan 650 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  CC )
1545, 13, 14dvcl 19739 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  C ( S  _D  G ) L )  ->  L  e.  CC )
15511, 154mpdan 650 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  L  e.  CC )
156 opelxpi 4869 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  CC  /\  L  e.  CC )  -> 
<. K ,  L >.  e.  ( CC  X.  CC ) )
157153, 155, 156syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
<. K ,  L >.  e.  ( CC  X.  CC ) )
15857cncnpi 17296 . . . . 5  |-  ( (  +  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J )  /\  <. K ,  L >.  e.  ( CC  X.  CC ) )  ->  +  e.  ( ( ( J 
tX  J )  CnP 
J ) `  <. K ,  L >. )
)
159151, 157, 158sylancr 645 . . . 4  |-  ( ph  ->  +  e.  ( ( ( J  tX  J
)  CnP  J ) `  <. K ,  L >. ) )
16042, 52, 54, 54, 3, 60, 112, 150, 159limccnp2 19732 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  +  L
)  e.  ( ( z  e.  ( ( X  i^i  Y ) 
\  { C }
)  |->  ( ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 C ) )  /  ( z  -  C ) )  +  ( ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) ) lim CC  C
) )
161 eldifi 3429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  -> 
z  e.  ( X  i^i  Y ) )
162161adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
z  e.  ( X  i^i  Y ) )
163 ffn 5550 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : X --> CC  ->  F  Fn  X )
1646, 163syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F  Fn  X )
165164adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  ->  F  Fn  X )
166 ffn 5550 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G : Y --> CC  ->  G  Fn  Y )
16713, 166syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  G  Fn  Y )
168167adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  ->  G  Fn  Y )
169 ssexg 4309 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X  C_  CC  /\  CC  e.  _V )  ->  X  e.  _V )
17037, 82, 169sylancl 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X  e.  _V )
171170adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  ->  X  e.  _V )
172 ssexg 4309 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Y  C_  CC  /\  CC  e.  _V )  ->  Y  e.  _V )
17347, 82, 172sylancl 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Y  e.  _V )
174173adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  ->  Y  e.  _V )
175 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  i^i  Y )  =  ( X  i^i  Y
)
176 eqidd 2405 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  /\  z  e.  X )  ->  ( F `  z
)  =  ( F `
 z ) )
177 eqidd 2405 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  /\  z  e.  Y )  ->  ( G `  z
)  =  ( G `
 z ) )
178165, 168, 171, 174, 175, 176, 177ofval 6273 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  /\  z  e.  ( X  i^i  Y ) )  -> 
( ( F  o F  +  G ) `  z )  =  ( ( F `  z
)  +  ( G `
 z ) ) )
179162, 178mpdan 650 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( F  o F  +  G ) `  z )  =  ( ( F `  z
)  +  ( G `
 z ) ) )
180100adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  ->  C  e.  ( X  i^i  Y ) )
181 eqidd 2405 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  /\  C  e.  X )  ->  ( F `  C
)  =  ( F `
 C ) )
182 eqidd 2405 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  /\  C  e.  Y )  ->  ( G `  C
)  =  ( G `
 C ) )
183165, 168, 171, 174, 175, 181, 182ofval 6273 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  /\  C  e.  ( X  i^i  Y ) )  -> 
( ( F  o F  +  G ) `  C )  =  ( ( F `  C
)  +  ( G `
 C ) ) )
184180, 183mpdan 650 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( F  o F  +  G ) `  C )  =  ( ( F `  C
)  +  ( G `
 C ) ) )
185179, 184oveq12d 6058 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( ( F  o F  +  G
) `  z )  -  ( ( F  o F  +  G
) `  C )
)  =  ( ( ( F `  z
)  +  ( G `
 z ) )  -  ( ( F `
 C )  +  ( G `  C
) ) ) )
186 difss 3434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  i^i  Y ) 
\  { C }
)  C_  ( X  i^i  Y )
187186, 33sstri 3317 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  i^i  Y ) 
\  { C }
)  C_  X
188187sseli 3304 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  -> 
z  e.  X )
189 ffvelrn 5827 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : X --> CC  /\  z  e.  X )  ->  ( F `  z
)  e.  CC )
1906, 188, 189syl2an 464 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( F `  z
)  e.  CC )
191186, 43sstri 3317 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  i^i  Y ) 
\  { C }
)  C_  Y
192191sseli 3304 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  -> 
z  e.  Y )
193 ffvelrn 5827 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G : Y --> CC  /\  z  e.  Y )  ->  ( G `  z
)  e.  CC )
19413, 192, 193syl2an 464 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( G `  z
)  e.  CC )
1956, 40ffvelrnd 5830 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F `  C
)  e.  CC )
196195adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( F `  C
)  e.  CC )
19713, 50ffvelrnd 5830 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G `  C
)  e.  CC )
198197adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( G `  C
)  e.  CC )
199190, 194, 196, 198addsub4d 9414 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( ( F `
 z )  +  ( G `  z
) )  -  (
( F `  C
)  +  ( G `
 C ) ) )  =  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 C ) )  +  ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) ) ) )
200185, 199eqtrd 2436 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( ( F  o F  +  G
) `  z )  -  ( ( F  o F  +  G
) `  C )
)  =  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 C ) )  +  ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) ) ) )
201200oveq1d 6055 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( ( ( F  o F  +  G ) `  z
)  -  ( ( F  o F  +  G ) `  C
) )  /  (
z  -  C ) )  =  ( ( ( ( F `  z )  -  ( F `  C )
)  +  ( ( G `  z )  -  ( G `  C ) ) )  /  ( z  -  C ) ) )
202190, 196subcld 9367 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( F `  z )  -  ( F `  C )
)  e.  CC )
203194, 198subcld 9367 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( G `  z )  -  ( G `  C )
)  e.  CC )
204187, 37syl5ss 3319 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  C_  CC )
205204sselda 3308 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
z  e.  CC )
20637, 40sseldd 3309 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
207206adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  ->  C  e.  CC )
208205, 207subcld 9367 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( z  -  C
)  e.  CC )
209 eldifsni 3888 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  -> 
z  =/=  C )
210209adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
z  =/=  C )
211205, 207, 210subne0d 9376 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( z  -  C
)  =/=  0 )
212202, 203, 208, 211divdird 9784 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( ( ( F `  z )  -  ( F `  C ) )  +  ( ( G `  z )  -  ( G `  C )
) )  /  (
z  -  C ) )  =  ( ( ( ( F `  z )  -  ( F `  C )
)  /  ( z  -  C ) )  +  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) ) )
213201, 212eqtrd 2436 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( ( ( F  o F  +  G ) `  z
)  -  ( ( F  o F  +  G ) `  C
) )  /  (
z  -  C ) )  =  ( ( ( ( F `  z )  -  ( F `  C )
)  /  ( z  -  C ) )  +  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) ) )
214213mpteq2dva 4255 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( ( X  i^i  Y
)  \  { C } )  |->  ( ( ( ( F  o F  +  G ) `  z )  -  (
( F  o F  +  G ) `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) )  =  ( z  e.  ( ( X  i^i  Y
)  \  { C } )  |->  ( ( ( ( F `  z )  -  ( F `  C )
)  /  ( z  -  C ) )  +  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) ) ) )
215214oveq1d 6055 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  |->  ( ( ( ( F  o F  +  G ) `  z )  -  (
( F  o F  +  G ) `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) ) lim CC  C )  =  ( ( z  e.  ( ( X  i^i  Y
)  \  { C } )  |->  ( ( ( ( F `  z )  -  ( F `  C )
)  /  ( z  -  C ) )  +  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) ) ) lim
CC  C ) )
216160, 215eleqtrrd 2481 . 2  |-  ( ph  ->  ( K  +  L
)  e.  ( ( z  e.  ( ( X  i^i  Y ) 
\  { C }
)  |->  ( ( ( ( F  o F  +  G ) `  z )  -  (
( F  o F  +  G ) `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) ) lim CC  C ) )
217 eqid 2404 . . 3  |-  ( z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  |->  ( ( ( ( F  o F  +  G
) `  z )  -  ( ( F  o F  +  G
) `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )  =  ( z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  |->  ( ( ( ( F  o F  +  G
) `  z )  -  ( ( F  o F  +  G
) `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )
218 addcl 9028 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  +  y )  e.  CC )
219218adantl 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  -> 
( x  +  y )  e.  CC )
220219, 6, 13, 170, 173, 175off 6279 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  o F  +  G ) : ( X  i^i  Y
) --> CC )
2212, 3, 217, 5, 220, 65eldv 19738 . 2  |-  ( ph  ->  ( C ( S  _D  ( F  o F  +  G )
) ( K  +  L )  <->  ( C  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( X  i^i  Y ) )  /\  ( K  +  L )  e.  ( ( z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  |->  ( ( ( ( F  o F  +  G ) `  z )  -  (
( F  o F  +  G ) `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) ) lim CC  C ) ) ) )
22232, 216, 221mpbir2and 889 1  |-  ( ph  ->  C ( S  _D  ( F  o F  +  G ) ) ( K  +  L ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   _Vcvv 2916    \ cdif 3277    u. cun 3278    i^i cin 3279    C_ wss 3280   {csn 3774   <.cop 3777   U.cuni 3975   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226    X. cxp 4835    |` cres 4839    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    o Fcof 6262   CCcc 8944    + caddc 8949    - cmin 9247    / cdiv 9633   ↾t crest 13603   TopOpenctopn 13604  ℂfldccnfld 16658   Topctop 16913  TopOnctopon 16914   intcnt 17036    Cn ccn 17242    CnP ccnp 17243    tX ctx 17545   lim CC climc 19702    _D cdv 19703
This theorem is referenced by:  dvadd  19779  dvaddf  19781
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-limc 19706  df-dv 19707
  Copyright terms: Public domain W3C validator