Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dva1dim Structured version   Unicode version

Theorem dva1dim 36812
 Description: Two expressions for the 1-dimensional subspaces of partial vector space A. Remark in [Crawley] p. 120 line 21, but using a non-identity translation (nonzero vector) whose trace is rather than itself; exists by cdlemf 36390. is the division ring base by erngdv 36820, and is the scalar product by dvavsca 36844. must be a non-identity translation for the expression to be a 1-dimensional subspace, although the theorem doesn't require it. (Contributed by NM, 14-Oct-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
dva1dim.l
dva1dim.h
dva1dim.t
dva1dim.r
dva1dim.e
Assertion
Ref Expression
dva1dim
Distinct variable groups:   ,   ,   ,,   ,,   ,,   ,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()

Proof of Theorem dva1dim
StepHypRef Expression
1 dva1dim.h . . . . . . . . . 10
2 dva1dim.t . . . . . . . . . 10
3 dva1dim.e . . . . . . . . . 10
41, 2, 3tendocl 36594 . . . . . . . . 9
5 dva1dim.l . . . . . . . . . 10
6 dva1dim.r . . . . . . . . . 10
75, 1, 2, 6, 3tendotp 36588 . . . . . . . . 9
84, 7jca 532 . . . . . . . 8
983expb 1197 . . . . . . 7
109anass1rs 807 . . . . . 6
11 eleq1 2529 . . . . . . 7
12 fveq2 5872 . . . . . . . 8
1312breq1d 4466 . . . . . . 7
1411, 13anbi12d 710 . . . . . 6
1510, 14syl5ibrcom 222 . . . . 5
1615rexlimdva 2949 . . . 4
17 simpll 753 . . . . . . 7
18 simplr 755 . . . . . . 7
19 simprl 756 . . . . . . 7
20 simprr 757 . . . . . . 7
215, 1, 2, 6, 3tendoex 36802 . . . . . . 7
2217, 18, 19, 20, 21syl121anc 1233 . . . . . 6
23 eqcom 2466 . . . . . . 7
2423rexbii 2959 . . . . . 6
2522, 24sylib 196 . . . . 5
2625ex 434 . . . 4
2716, 26impbid 191 . . 3
2827abbidv 2593 . 2
29 df-rab 2816 . 2
3028, 29syl6eqr 2516 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   w3a 973   wceq 1395   wcel 1819  cab 2442  wrex 2808  crab 2811   class class class wbr 4456  cfv 5594  cple 14718  chlt 35176  clh 35809  cltrn 35926  ctrl 35984  ctendo 36579 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-riotaBAD 34785 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-undef 7020  df-map 7440  df-preset 15683  df-poset 15701  df-plt 15714  df-lub 15730  df-glb 15731  df-join 15732  df-meet 15733  df-p0 15795  df-p1 15796  df-lat 15802  df-clat 15864  df-oposet 35002  df-ol 35004  df-oml 35005  df-covers 35092  df-ats 35093  df-atl 35124  df-cvlat 35148  df-hlat 35177  df-llines 35323  df-lplanes 35324  df-lvols 35325  df-lines 35326  df-psubsp 35328  df-pmap 35329  df-padd 35621  df-lhyp 35813  df-laut 35814  df-ldil 35929  df-ltrn 35930  df-trl 35985  df-tendo 36582 This theorem is referenced by:  dvhb1dimN  36813  dia1dim  36889
 Copyright terms: Public domain W3C validator