Theorem dutos2 14627

Description: The converse of a toset is a toset.

Assertion

Ref	Expression
dutos2	|- (Rel R -> (R e. Toset <-> `'R e. Toset ))

Proof of Theorem dutos2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dutos1 14626	. 2 |- (R e. Toset -> `'R e. Toset )
2		dfrel2 4358	. . 3 |- (Rel R <-> `'`'R = R)
3		eleq1 1957	. . . . 5 |- (R = `'`'R -> (R e. Toset <-> `'`'R e. Toset ))
4		dutos1 14626	. . . . 5 |- (`'R e. Toset -> `'`'R e. Toset )
5	3, 4	syl5bir 227	. . . 4 |- (R = `'`'R -> (`'R e. Toset -> R e. Toset ))
6	5	eqcoms 1887	. . 3 |- (`'`'R = R -> (`'R e. Toset -> R e. Toset ))
7	2, 6	sylbi 216	. 2 |- (Rel R -> (`'R e. Toset -> R e. Toset ))
8	1, 7	impbid2 576	1 |- (Rel R -> (R e. Toset <-> `'R e. Toset ))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   = wceq 1298   e. wcel 1300  `'ccnv 3985  Rel wrel 3991   Toset ccha 10207

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ps 9984  df-toset 10208

Copyright terms: Public domain