Theorem dualcat2lem 15129

Description: Lemma for dualcat2 15133.

Hypotheses

Ref	Expression
dualcat2lem.1	|- D = (dom` T)
dualcat2lem.2	|- C = (cod` T)
dualcat2lem.3	|- R = (o` T)

Assertion

Ref	Expression
dualcat2lem	|- ((T e. Cat /\ (F e. dom D /\ G e. dom D) /\ (D` G) = (C` F)) -> (F{<.<.x, y>., z>. | (<.y, x>. e. dom R /\ z = (yRx))}G) = (GRF))

Distinct variable groups:   x,D,y,z   x,F,y,z   x,G,y,z   x,R,y,z   x,T,y,z

Proof of Theorem dualcat2lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1884	. . . . . . . 8 |- dom D = dom D
2		dualcat2lem.1	. . . . . . . 8 |- D = (dom` T)
3		dualcat2lem.3	. . . . . . . 8 |- R = (o` T)
4	1, 2, 3	cmppfc 15115	. . . . . . 7 |- (T e. Cat -> (Fun R /\ dom R C_ (dom D X. dom D) /\ ran R C_ dom D))
5	4	simp2d 889	. . . . . 6 |- (T e. Cat -> dom R C_ (dom D X. dom D))
6	5	sseld 2619	. . . . 5 |- (T e. Cat -> (<.y, x>. e. dom R -> <.y, x>. e. (dom D X. dom D)))
7	6	anim1d 619	. . . 4 |- (T e. Cat -> ((<.y, x>. e. dom R /\ z = (yRx)) -> (<.y, x>. e. (dom D X. dom D) /\ z = (yRx))))
8	7	ssoprab2g 14333	. . 3 |- (T e. Cat -> {<.<.x, y>., z>. | (<.y, x>. e. dom R /\ z = (yRx))} C_ {<.<.x, y>., z>. | (<.y, x>. e. (dom D X. dom D) /\ z = (yRx))})
9		cnvxp 4332	. . . . . . . . 9 |- `'(dom D X. dom D) = (dom D X. dom D)
10	9	eqcomi 1888	. . . . . . . 8 |- (dom D X. dom D) = `'(dom D X. dom D)
11	10	eleq2i 1961	. . . . . . 7 |- (<.y, x>. e. (dom D X. dom D) <-> <.y, x>. e. `'(dom D X. dom D))
12		visset 2295	. . . . . . . 8 |- y e. _V
13		visset 2295	. . . . . . . 8 |- x e. _V
14	12, 13	opelcnv 4143	. . . . . . 7 |- (<.y, x>. e. `'(dom D X. dom D) <-> <.x, y>. e. (dom D X. dom D))
15	11, 14	bitri 190	. . . . . 6 |- (<.y, x>. e. (dom D X. dom D) <-> <.x, y>. e. (dom D X. dom D))
16	15	anbi1i 539	. . . . 5 |- ((<.y, x>. e. (dom D X. dom D) /\ z = (yRx)) <-> (<.x, y>. e. (dom D X. dom D) /\ z = (yRx)))
17	16	oprabbii 4923	. . . 4 |- {<.<.x, y>., z>. | (<.y, x>. e. (dom D X. dom D) /\ z = (yRx))} = {<.<.x, y>., z>. | (<.x, y>. e. (dom D X. dom D) /\ z = (yRx))}
18		twsvbdop 14332	. . . 4 |- {<.<.x, y>., z>. | (<.x, y>. e. (dom D X. dom D) /\ z = (yRx))} = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. dom D /\ y e. dom D) /\ z = (yRx))}
19		eqtr 1904	. . . . 5 |- (({<.<.x, y>., z>. | (<.y, x>. e. (dom D X. dom D) /\ z = (yRx))} = {<.<.x, y>., z>. | (<.x, y>. e. (dom D X. dom D) /\ z = (yRx))} /\ {<.<.x, y>., z>. | (<.x, y>. e. (dom D X. dom D) /\ z = (yRx))} = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. dom D /\ y e. dom D) /\ z = (yRx))}) -> {<.<.x, y>., z>. | (<.y, x>. e. (dom D X. dom D) /\ z = (yRx))} = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. dom D /\ y e. dom D) /\ z = (yRx))})
20		sseq2 2639	. . . . . 6 |- ({<.<.x, y>., z>. | (<.y, x>. e. (dom D X. dom D) /\ z = (yRx))} = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. dom D /\ y e. dom D) /\ z = (yRx))} -> ({<.<.x, y>., z>. | (<.y, x>. e. dom R /\ z = (yRx))} C_ {<.<.x, y>., z>. | (<.y, x>. e. (dom D X. dom D) /\ z = (yRx))} <-> {<.<.x, y>., z>. | (<.y, x>. e. dom R /\ z = (yRx))} C_ {<.<.x, y>., z>. | ((x e. dom D /\ y e. dom D) /\ z = (yRx))}))
21		oprex 4907	. . . . . . . . . . . . 13 |- (yRx) e. _V
22		eqid 1884	. . . . . . . . . . . . 13 |- {<.<.x, y>., z>. | ((x e. dom D /\ y e. dom D) /\ z = (yRx))} = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. dom D /\ y e. dom D) /\ z = (yRx))}
23	21, 22	fnoprab2 5064	. . . . . . . . . . . 12 |- {<.<.x, y>., z>. | ((x e. dom D /\ y e. dom D) /\ z = (yRx))} Fn (dom D X. dom D)
24		fnfun 4510	. . . . . . . . . . . 12 |- ({<.<.x, y>., z>. | ((x e. dom D /\ y e. dom D) /\ z = (yRx))} Fn (dom D X. dom D) -> Fun {<.<.x, y>., z>. | ((x e. dom D /\ y e. dom D) /\ z = (yRx))})
25	23, 24	ax-mp 7	. . . . . . . . . . 11 |- Fun {<.<.x, y>., z>. | ((x e. dom D /\ y e. dom D) /\ z = (yRx))}
26	25	a1i 8	. . . . . . . . . 10 |- (((T e. Cat /\ (F e. dom D /\ G e. dom D) /\ {<.<.x, y>., z>. | (<.y, x>. e. dom R /\ z = (yRx))} C_ {<.<.x, y>., z>. | ((x e. dom D /\ y e. dom D) /\ z = (yRx))}) /\ (D` G) = (C` F)) -> Fun {<.<.x, y>., z>. | ((x e. dom D /\ y e. dom D) /\ z = (yRx))})
27		simpl3 881	. . . . . . . . . 10 |- (((T e. Cat /\ (F e. dom D /\ G e. dom D) /\ {<.<.x, y>., z>. | (<.y, x>. e. dom R /\ z = (yRx))} C_ {<.<.x, y>., z>. | ((x e. dom D /\ y e. dom D) /\ z = (yRx))}) /\ (D` G) = (C` F)) -> {<.<.x, y>., z>. | (<.y, x>. e. dom R /\ z = (yRx))} C_ {<.<.x, y>., z>. | ((x e. dom D /\ y e. dom D) /\ z = (yRx))})
28		dualcat2lem.2	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- C = (cod` T)
29	1, 2, 28, 3	cmppfcd 15117	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((T e. Cat /\ F e. dom D /\ G e. dom D) -> (<.G, F>. e. dom R <-> (D` G) = (C` F)))
30	29	biimprd 171	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((T e. Cat /\ F e. dom D /\ G e. dom D) -> ((D` G) = (C` F) -> <.G, F>. e. dom R))
31	30	3expib 1070	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (T e. Cat -> ((F e. dom D /\ G e. dom D) -> ((D` G) = (C` F) -> <.G, F>. e. dom R)))
32	31	a1dd 53	. . . . . . . . . . . . 13 |- (T e. Cat -> ((F e. dom D /\ G e. dom D) -> ({<.<.x, y>., z>. | (<.y, x>. e. dom R /\ z = (yRx))} C_ {<.<.x, y>., z>. | ((x e. dom D /\ y e. dom D) /\ z = (yRx))} -> ((D` G) = (C` F) -> <.G, F>. e. dom R))))
33	32	3imp1 1081	. . . . . . . . . . . 12 |- (((T e. Cat /\ (F e. dom D /\ G e. dom D) /\ {<.<.x, y>., z>. | (<.y, x>. e. dom R /\ z = (yRx))} C_ {<.<.x, y>., z>. | ((x e. dom D /\ y e. dom D) /\ z = (yRx))}) /\ (D` G) = (C` F)) -> <.G, F>. e. dom R)
34		elisset 2299	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (F e. dom D -> F e. _V)
35		elisset 2299	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (G e. dom D -> G e. _V)
36	34, 35	anim12i 360	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((F e. dom D /\ G e. dom D) -> (F e. _V /\ G e. _V))
37	36	3ad2ant2 898	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((T e. Cat /\ (F e. dom D /\ G e. dom D) /\ {<.<.x, y>., z>. | (<.y, x>. e. dom R /\ z = (yRx))} C_ {<.<.x, y>., z>. | ((x e. dom D /\ y e. dom D) /\ z = (yRx))}) -> (F e. _V /\ G e. _V))
38	37	adantr 425	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((T e. Cat /\ (F e. dom D /\ G e. dom D) /\ {<.<.x, y>., z>. | (<.y, x>. e. dom R /\ z = (yRx))} C_ {<.<.x, y>., z>. | ((x e. dom D /\ y e. dom D) /\ z = (yRx))}) /\ (D` G) = (C` F)) -> (F e. _V /\ G e. _V))
39		opelcnvg 4140	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((F e. _V /\ G e. _V) -> (<.F, G>. e. `'dom R <-> <.G, F>. e. dom R))
40	38, 39	syl 12	. . . . . . . . . . . 12 |- (((T e. Cat /\ (F e. dom D /\ G e. dom D) /\ {<.<.x, y>., z>. | (<.y, x>. e. dom R /\ z = (yRx))} C_ {<.<.x, y>., z>. | ((x e. dom D /\ y e. dom D) /\ z = (yRx))}) /\ (D` G) = (C` F)) -> (<.F, G>. e. `'dom R <-> <.G, F>. e. dom R))
41	33, 40	mpbird 213	. . . . . . . . . . 11 |- (((T e. Cat /\ (F e. dom D /\ G e. dom D) /\ {<.<.x, y>., z>. | (<.y, x>. e. dom R /\ z = (yRx))} C_ {<.<.x, y>., z>. | ((x e. dom D /\ y e. dom D) /\ z = (yRx))}) /\ (D` G) = (C` F)) -> <.F, G>. e. `'dom R)
42		relcnv 4301	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- Rel `'dom R
43	42	a1i 8	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((T e. Cat /\ (F e. dom D /\ G e. dom D)) -> Rel `'dom R)
44	21	dmoprabss6 14336	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (Rel `'dom R -> dom {<.<.x, y>., z>. | (<.x, y>. e. `'dom R /\ z = (yRx))} = `'dom R)
45	43, 44	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((T e. Cat /\ (F e. dom D /\ G e. dom D)) -> dom {<.<.x, y>., z>. | (<.x, y>. e. `'dom R /\ z = (yRx))} = `'dom R)
46	13, 12	opelcnv 4143	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (<.x, y>. e. `'dom R <-> <.y, x>. e. dom R)
47	46	bicomi 189	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (<.y, x>. e. dom R <-> <.x, y>. e. `'dom R)
48	47	anbi1i 539	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((<.y, x>. e. dom R /\ z = (yRx)) <-> (<.x, y>. e. `'dom R /\ z = (yRx)))
49	48	oprabbii 4923	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- {<.<.x, y>., z>. | (<.y, x>. e. dom R /\ z = (yRx))} = {<.<.x, y>., z>. | (<.x, y>. e. `'dom R /\ z = (yRx))}
50	49	dmeqi 4158	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- dom {<.<.x, y>., z>. | (<.y, x>. e. dom R /\ z = (yRx))} = dom {<.<.x, y>., z>. | (<.x, y>. e. `'dom R /\ z = (yRx))}
51	45, 50	syl5eq 1940	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((T e. Cat /\ (F e. dom D /\ G e. dom D)) -> dom {<.<.x, y>., z>. | (<.y, x>. e. dom R /\ z = (yRx))} = `'dom R)
52	51	eleq2d 1964	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((T e. Cat /\ (F e. dom D /\ G e. dom D)) -> (<.F, G>. e. dom {<.<.x, y>., z>. | (<.y, x>. e. dom R /\ z = (yRx))} <-> <.F, G>. e. `'dom R))
53	52	3adant3 896	. . . . . . . . . . . 12 |- ((T e. Cat /\ (F e. dom D /\ G e. dom D) /\ {<.<.x, y>., z>. | (<.y, x>. e. dom R /\ z = (yRx))} C_ {<.<.x, y>., z>. | ((x e. dom D /\ y e. dom D) /\ z = (yRx))}) -> (<.F, G>. e. dom {<.<.x, y>., z>. | (<.y, x>. e. dom R /\ z = (yRx))} <-> <.F, G>. e. `'dom R))
54	53	adantr 425	. . . . . . . . . . 11 |- (((T e. Cat /\ (F e. dom D /\ G e. dom D) /\ {<.<.x, y>., z>. | (<.y, x>. e. dom R /\ z = (yRx))} C_ {<.<.x, y>., z>. | ((x e. dom D /\ y e. dom D) /\ z = (yRx))}) /\ (D` G) = (C` F)) -> (<.F, G>. e. dom {<.<.x, y>., z>. | (<.y, x>. e. dom R /\ z = (yRx))} <-> <.F, G>. e. `'dom R))
55	41, 54	mpbird 213	. . . . . . . . . 10 |- (((T e. Cat /\ (F e. dom D /\ G e. dom D) /\ {<.<.x, y>., z>. | (<.y, x>. e. dom R /\ z = (yRx))} C_ {<.<.x, y>., z>. | ((x e. dom D /\ y e. dom D) /\ z = (yRx))}) /\ (D` G) = (C` F)) -> <.F, G>. e. dom {<.<.x, y>., z>. | (<.y, x>. e. dom R /\ z = (yRx))})
56		oprssoprvg 14335	. . . . . . . . . . 11 |- ((Fun {<.<.x, y>., z>. | ((x e. dom D /\ y e. dom D) /\ z = (yRx))} /\ {<.<.x, y>., z>. | (<.y, x>. e. dom R /\ z = (yRx))} C_ {<.<.x, y>., z>. | ((x e. dom D /\ y e. dom D) /\ z = (yRx))} /\ <.F, G>. e. dom {<.<.x, y>., z>. | (<.y, x>. e. dom R /\ z = (yRx))}) -> (F{<.<.x, y>., z>. | ((x e. dom D /\ y e. dom D) /\ z = (yRx))}G) = (F{<.<.x, y>., z>. | (<.y, x>. e. dom R /\ z = (yRx))}G))
57	56	eqcomd 1889	. . . . . . . . . 10 |- ((Fun {<.<.x, y>., z>. | ((x e. dom D /\ y e. dom D) /\ z = (yRx))} /\ {<.<.x, y>., z>. | (<.y, x>. e. dom R /\ z = (yRx))} C_ {<.<.x, y>., z>. | ((x e. dom D /\ y e. dom D) /\ z = (yRx))} /\ <.F, G>. e. dom {<.<.x, y>., z>. | (<.y, x>. e. dom R /\ z = (yRx))}) -> (F{<.<.x, y>., z>. | (<.y, x>. e. dom R /\ z = (yRx))}G) = (F{<.<.x, y>., z>. | ((x e. dom D /\ y e. dom D) /\ z = (yRx))}G))
58	26, 27, 55, 57	syl111anc 1100	. . . . . . . . 9 |- (((T e. Cat /\ (F e. dom D /\ G e. dom D) /\ {<.<.x, y>., z>. | (<.y, x>. e. dom R /\ z = (yRx))} C_ {<.<.x, y>., z>. | ((x e. dom D /\ y e. dom D) /\ z = (yRx))}) /\ (D` G) = (C` F)) -> (F{<.<.x, y>., z>. | (<.y, x>. e. dom R /\ z = (yRx))}G) = (F{<.<.x, y>., z>. | ((x e. dom D /\ y e. dom D) /\ z = (yRx))}G))
59		simpr 350	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((T e. Cat /\ (F e. dom D /\ G e. dom D)) /\ (F{<.<.x, y>., z>. | (<.y, x>. e. dom R /\ z = (yRx))}G) = (F{<.<.x, y>., z>. | ((x e. dom D /\ y e. dom D) /\ z = (yRx))}G)) -> (F{<.<.x, y>., z>. | (<.y, x>. e. dom R /\ z = (yRx))}G) = (F{<.<.x, y>., z>. | ((x e. dom D /\ y e. dom D) /\ z = (yRx))}G))
60		oprex 4907	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (GRF) e. _V
61		opreq2 4890	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (x = F -> (yRx) = (yRF))
62		opreq1 4889	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (y = G -> (yRF) = (GRF))
63	60, 61, 62, 22	oprabval2 4957	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((F e. dom D /\ G e. dom D) -> (F{<.<.x, y>., z>. | ((x e. dom D /\ y e. dom D) /\ z = (yRx))}G) = (GRF))
64	63	ad2antlr 441	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((T e. Cat /\ (F e. dom D /\ G e. dom D)) /\ (F{<.<.x, y>., z>. | (<.y, x>. e. dom R /\ z = (yRx))}G) = (F{<.<.x, y>., z>. | ((x e. dom D /\ y e. dom D) /\ z = (yRx))}G)) -> (F{<.<.x, y>., z>. | ((x e. dom D /\ y e. dom D) /\ z = (yRx))}G) = (GRF))
65	59, 64	eqtrd 1925	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((T e. Cat /\ (F e. dom D /\ G e. dom D)) /\ (F{<.<.x, y>., z>. | (<.y, x>. e. dom R /\ z = (yRx))}G) = (F{<.<.x, y>., z>. | ((x e. dom D /\ y e. dom D) /\ z = (yRx))}G)) -> (F{<.<.x, y>., z>. | (<.y, x>. e. dom R /\ z = (yRx))}G) = (GRF))
66	65	exp31 407	. . . . . . . . . . . 12 |- (T e. Cat -> ((F e. dom D /\ G e. dom D) -> ((F{<.<.x, y>., z>. | (<.y, x>. e. dom R /\ z = (yRx))}G) = (F{<.<.x, y>., z>. | ((x e. dom D /\ y e. dom D) /\ z = (yRx))}G) -> (F{<.<.x, y>., z>. | (<.y, x>. e. dom R /\ z = (yRx))}G) = (GRF))))
67	66	a1dd 53	. . . . . . . . . . 11 |- (T e. Cat -> ((F e. dom D /\ G e. dom D) -> ({<.<.x, y>., z>. | (<.y, x>. e. dom R /\ z = (yRx))} C_ {<.<.x, y>., z>. | ((x e. dom D /\ y e. dom D) /\ z = (yRx))} -> ((F{<.<.x, y>., z>. | (<.y, x>. e. dom R /\ z = (yRx))}G) = (F{<.<.x, y>., z>. | ((x e. dom D /\ y e. dom D) /\ z = (yRx))}G) -> (F{<.<.x, y>., z>. | (<.y, x>. e. dom R /\ z = (yRx))}G) = (GRF)))))
68	67	3imp 1061	. . . . . . . . . 10 |- ((T e. Cat /\ (F e. dom D /\ G e. dom D) /\ {<.<.x, y>., z>. | (<.y, x>. e. dom R /\ z = (yRx))} C_ {<.<.x, y>., z>. | ((x e. dom D /\ y e. dom D) /\ z = (yRx))}) -> ((F{<.<.x, y>., z>. | (<.y, x>. e. dom R /\ z = (yRx))}G) = (F{<.<.x, y>., z>. | ((x e. dom D /\ y e. dom D) /\ z = (yRx))}G) -> (F{<.<.x, y>., z>. | (<.y, x>. e. dom R /\ z = (yRx))}G) = (GRF)))
69	68	adantr 425	. . . . . . . . 9 |- (((T e. Cat /\ (F e. dom D /\ G e. dom D) /\ {<.<.x, y>., z>. | (<.y, x>. e. dom R /\ z = (yRx))} C_ {<.<.x, y>., z>. | ((x e. dom D /\ y e. dom D) /\ z = (yRx))}) /\ (D` G) = (C` F)) -> ((F{<.<.x, y>., z>. | (<.y, x>. e. dom R /\ z = (yRx))}G) = (F{<.<.x, y>., z>. | ((x e. dom D /\ y e. dom D) /\ z = (yRx))}G) -> (F{<.<.x, y>., z>. | (<.y, x>. e. dom R /\ z = (yRx))}G) = (GRF)))
70	58, 69	mpd 29	. . . . . . . 8 |- (((T e. Cat /\ (F e. dom D /\ G e. dom D) /\ {<.<.x, y>., z>. | (<.y, x>. e. dom R /\ z = (yRx))} C_ {<.<.x, y>., z>. | ((x e. dom D /\ y e. dom D) /\ z = (yRx))}) /\ (D` G) = (C` F)) -> (F{<.<.x, y>., z>. | (<.y, x>. e. dom R /\ z = (yRx))}G) = (GRF))
71	70	3exp1 1084	. . . . . . 7 |- (T e. Cat -> ((F e. dom D /\ G e. dom D) -> ({<.<.x, y>., z>. | (<.y, x>. e. dom R /\ z = (yRx))} C_ {<.<.x, y>., z>. | ((x e. dom D /\ y e. dom D) /\ z = (yRx))} -> ((D` G) = (C` F) -> (F{<.<.x, y>., z>. | (<.y, x>. e. dom R /\ z = (yRx))}G) = (GRF)))))
72	71	com3r 39	. . . . . 6 |- ({<.<.x, y>., z>. | (<.y, x>. e. dom R /\ z = (yRx))} C_ {<.<.x, y>., z>. | ((x e. dom D /\ y e. dom D) /\ z = (yRx))} -> (T e. Cat -> ((F e. dom D /\ G e. dom D) -> ((D` G) = (C` F) -> (F{<.<.x, y>., z>. | (<.y, x>. e. dom R /\ z = (yRx))}G) = (GRF)))))
73	20, 72	syl6bi 231	. . . . 5 |- ({<.<.x, y>., z>. | (<.y, x>. e. (dom D X. dom D) /\ z = (yRx))} = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. dom D /\ y e. dom D) /\ z = (yRx))} -> ({<.<.x, y>., z>. | (<.y, x>. e. dom R /\ z = (yRx))} C_ {<.<.x, y>., z>. | (<.y, x>. e. (dom D X. dom D) /\ z = (yRx))} -> (T e. Cat -> ((F e. dom D /\ G e. dom D) -> ((D` G) = (C` F) -> (F{<.<.x, y>., z>. | (<.y, x>. e. dom R /\ z = (yRx))}G) = (GRF))))))
74	19, 73	syl 12	. . . 4 |- (({<.<.x, y>., z>. | (<.y, x>. e. (dom D X. dom D) /\ z = (yRx))} = {<.<.x, y>., z>. | (<.x, y>. e. (dom D X. dom D) /\ z = (yRx))} /\ {<.<.x, y>., z>. | (<.x, y>. e. (dom D X. dom D) /\ z = (yRx))} = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. dom D /\ y e. dom D) /\ z = (yRx))}) -> ({<.<.x, y>., z>. | (<.y, x>. e. dom R /\ z = (yRx))} C_ {<.<.x, y>., z>. | (<.y, x>. e. (dom D X. dom D) /\ z = (yRx))} -> (T e. Cat -> ((F e. dom D /\ G e. dom D) -> ((D` G) = (C` F) -> (F{<.<.x, y>., z>. | (<.y, x>. e. dom R /\ z = (yRx))}G) = (GRF))))))
75	17, 18, 74	mp2an 761	. . 3 |- ({<.<.x, y>., z>. | (<.y, x>. e. dom R /\ z = (yRx))} C_ {<.<.x, y>., z>. | (<.y, x>. e. (dom D X. dom D) /\ z = (yRx))} -> (T e. Cat -> ((F e. dom D /\ G e. dom D) -> ((D` G) = (C` F) -> (F{<.<.x, y>., z>. | (<.y, x>. e. dom R /\ z = (yRx))}G) = (GRF)))))
76	8, 75	mpcom 60	. 2 |- (T e. Cat -> ((F e. dom D /\ G e. dom D) -> ((D` G) = (C` F) -> (F{<.<.x, y>., z>. | (<.y, x>. e. dom R /\ z = (yRx))}G) = (GRF))))
77	76	3imp 1061	1 |- ((T e. Cat /\ (F e. dom D /\ G e. dom D) /\ (D` G) = (C` F)) -> (F{<.<.x, y>., z>. | (<.y, x>. e. dom R /\ z = (yRx))}G) = (GRF))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  _Vcvv 2292   C_ wss 2593  <.cop 3046   X. cxp 3984  `'ccnv 3985  dom cdm 3986  ran crn 3987  Rel wrel 3991  Fun wfun 3992   Fn wfn 3993  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  {copab2 4885  domcdom_ 15059  codccod_ 15060  oco_ 15062   Cat ccat 15099

This theorem is referenced by:  dualcat2 15133

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fo 4012  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-alg 15063  df-doma 15064  df-coda 15065  df-ida 15066  df-cmpa 15067  df-ded 15082  df-cat 15100

Copyright terms: Public domain