Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dstrvprob Unicode version

Theorem dstrvprob 24682
 Description: The distribution of a random variable is a probability law (TODO: could be shortened using dstrvval 24681) (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
dstrvprob.1 Prob
dstrvprob.2 rRndVar
dstrvprob.3 𝔅 RV/𝑐
Assertion
Ref Expression
dstrvprob Prob
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem dstrvprob
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dstrvprob.3 . . . . . 6 𝔅 RV/𝑐
2 dstrvprob.1 . . . . . . . . 9 Prob
32adantr 452 . . . . . . . 8 𝔅 Prob
4 dstrvprob.2 . . . . . . . . . 10 rRndVar
54adantr 452 . . . . . . . . 9 𝔅 rRndVar
6 simpr 448 . . . . . . . . 9 𝔅 𝔅
73, 5, 6orvcelel 24680 . . . . . . . 8 𝔅 RV/𝑐
8 prob01 24624 . . . . . . . 8 Prob RV/𝑐 RV/𝑐
93, 7, 8syl2anc 643 . . . . . . 7 𝔅 RV/𝑐
10 elunitrn 24248 . . . . . . . . 9 RV/𝑐 RV/𝑐
1110rexrd 9090 . . . . . . . 8 RV/𝑐 RV/𝑐
12 elunitge0 24250 . . . . . . . 8 RV/𝑐 RV/𝑐
13 elxrge0 10964 . . . . . . . 8 RV/𝑐 RV/𝑐 RV/𝑐
1411, 12, 13sylanbrc 646 . . . . . . 7 RV/𝑐 RV/𝑐
159, 14syl 16 . . . . . 6 𝔅 RV/𝑐
161, 15fmpt3d 24023 . . . . 5 𝔅
17 simpr 448 . . . . . . . . 9
1817oveq2d 6056 . . . . . . . 8 RV/𝑐 RV/𝑐
1918fveq2d 5691 . . . . . . 7 RV/𝑐 RV/𝑐
20 brsigarn 24491 . . . . . . . . 9 𝔅 sigAlgebra
21 elrnsiga 24462 . . . . . . . . 9 𝔅 sigAlgebra 𝔅 sigAlgebra
22 0elsiga 24450 . . . . . . . . 9 𝔅 sigAlgebra 𝔅
2320, 21, 22mp2b 10 . . . . . . . 8 𝔅
2423a1i 11 . . . . . . 7 𝔅
252, 4, 24orvcelel 24680 . . . . . . . 8 RV/𝑐
262, 25probvalrnd 24635 . . . . . . 7 RV/𝑐
271, 19, 24, 26fvmptd 5769 . . . . . 6 RV/𝑐
282, 4, 24orvcelval 24679 . . . . . . 7 RV/𝑐
2928fveq2d 5691 . . . . . 6 RV/𝑐
30 ima0 5180 . . . . . . . 8
3130fveq2i 5690 . . . . . . 7
32 probnul 24625 . . . . . . . 8 Prob
332, 32syl 16 . . . . . . 7
3431, 33syl5eq 2448 . . . . . 6
3527, 29, 343eqtrd 2440 . . . . 5
362, 4rrvvf 24655 . . . . . . . . . . . 12
3736ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11 𝔅 Disj
38 ffun 5552 . . . . . . . . . . 11
3937, 38syl 16 . . . . . . . . . 10 𝔅 Disj
40 unipreima 24009 . . . . . . . . . . 11
4140fveq2d 5691 . . . . . . . . . 10
4239, 41syl 16 . . . . . . . . 9 𝔅 Disj
432ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11 𝔅 Disj Prob
44 domprobmeas 24621 . . . . . . . . . . 11 Prob measures
4543, 44syl 16 . . . . . . . . . 10 𝔅 Disj measures
46 nfv 1626 . . . . . . . . . . . 12 𝔅
47 nfv 1626 . . . . . . . . . . . . 13
48 nfdisj1 4155 . . . . . . . . . . . . 13 Disj
4947, 48nfan 1842 . . . . . . . . . . . 12 Disj
5046, 49nfan 1842 . . . . . . . . . . 11 𝔅 Disj
51 simplll 735 . . . . . . . . . . . . 13 𝔅 Disj
52 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . 14 𝔅 Disj
53 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . 14 𝔅 Disj 𝔅
54 elelpwi 3769 . . . . . . . . . . . . . 14 𝔅 𝔅
5552, 53, 54syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13 𝔅 Disj 𝔅
562, 4rrvfinvima 24661 . . . . . . . . . . . . . 14 𝔅
5756r19.21bi 2764 . . . . . . . . . . . . 13 𝔅
5851, 55, 57syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12 𝔅 Disj
5958ex 424 . . . . . . . . . . 11 𝔅 Disj
6050, 59ralrimi 2747 . . . . . . . . . 10 𝔅 Disj
61 simprl 733 . . . . . . . . . 10 𝔅 Disj
62 simprr 734 . . . . . . . . . . 11 𝔅 Disj Disj
63 disjpreima 23979 . . . . . . . . . . 11 Disj Disj
6439, 62, 63syl2anc 643 . . . . . . . . . 10 𝔅 Disj Disj
65 measvuni 24521 . . . . . . . . . 10 measures Disj Σ*
6645, 60, 61, 64, 65syl112anc 1188 . . . . . . . . 9 𝔅 Disj Σ*
6742, 66eqtrd 2436 . . . . . . . 8 𝔅 Disj Σ*
684ad2antrr 707 . . . . . . . . 9 𝔅 Disj rRndVar
691ad2antrr 707 . . . . . . . . 9 𝔅 Disj 𝔅 RV/𝑐
7020, 21mp1i 12 . . . . . . . . . 10 𝔅 Disj 𝔅 sigAlgebra
71 simplr 732 . . . . . . . . . 10 𝔅 Disj 𝔅
72 sigaclcu 24453 . . . . . . . . . 10 𝔅 sigAlgebra 𝔅 𝔅
7370, 71, 61, 72syl3anc 1184 . . . . . . . . 9 𝔅 Disj 𝔅
7443, 68, 69, 73dstrvval 24681 . . . . . . . 8 𝔅 Disj
751, 9fvmpt2d 5773 . . . . . . . . . . . . 13 𝔅 RV/𝑐
7651, 55, 75syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12 𝔅 Disj RV/𝑐
7743adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14 𝔅 Disj Prob
7868adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14 𝔅 Disj rRndVar
7977, 78, 55orvcelval 24679 . . . . . . . . . . . . 13 𝔅 Disj RV/𝑐
8079fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . 12 𝔅 Disj RV/𝑐
8176, 80eqtrd 2436 . . . . . . . . . . 11 𝔅 Disj
8281ex 424 . . . . . . . . . 10 𝔅 Disj
8350, 82ralrimi 2747 . . . . . . . . 9 𝔅 Disj
8450, 83esumeq2d 24387 . . . . . . . 8 𝔅 Disj Σ* Σ*
8567, 74, 843eqtr4d 2446 . . . . . . 7 𝔅 Disj Σ*
8685ex 424 . . . . . 6 𝔅 Disj Σ*
8786ralrimiva 2749 . . . . 5 𝔅 Disj Σ*
88 ismeas 24506 . . . . . 6 𝔅 sigAlgebra measures𝔅 𝔅 𝔅 Disj Σ*
8920, 21, 88mp2b 10 . . . . 5 measures𝔅 𝔅 𝔅 Disj Σ*
9016, 35, 87, 89syl3anbrc 1138 . . . 4 measures𝔅
911dmeqd 5031 . . . . . 6 𝔅 RV/𝑐
9215ralrimiva 2749 . . . . . . 7 𝔅 RV/𝑐
93 dmmptg 5326 . . . . . . 7 𝔅 RV/𝑐 𝔅 RV/𝑐 𝔅
9492, 93syl 16 . . . . . 6 𝔅 RV/𝑐 𝔅
9591, 94eqtrd 2436 . . . . 5 𝔅
9695fveq2d 5691 . . . 4 measures measures𝔅
9790, 96eleqtrrd 2481 . . 3 measures
98 measbasedom 24509 . . 3 measures measures
9997, 98sylibr 204 . 2 measures
10095unieqd 3986 . . . . 5 𝔅
101 unibrsiga 24493 . . . . 5 𝔅
102100, 101syl6eq 2452 . . . 4
103102fveq2d 5691 . . 3
104 simpr 448 . . . . . . . 8
105104oveq2d 6056 . . . . . . 7 RV/𝑐 RV/𝑐
106 baselsiga 24451 . . . . . . . . . 10 𝔅 sigAlgebra 𝔅
10720, 106mp1i 12 . . . . . . . . 9 𝔅
1082, 4, 107orvcelval 24679 . . . . . . . 8 RV/𝑐
109108adantr 452 . . . . . . 7 RV/𝑐
110105, 109eqtrd 2436 . . . . . 6 RV/𝑐
111110fveq2d 5691 . . . . 5 RV/𝑐
112 fimacnv 5821 . . . . . . . . 9
11336, 112syl 16 . . . . . . . 8
114113fveq2d 5691 . . . . . . 7
115 probtot 24623 . . . . . . . 8 Prob
1162, 115syl 16 . . . . . . 7
117114, 116eqtrd 2436 . . . . . 6
118117adantr 452 . . . . 5
119111, 118eqtrd 2436 . . . 4 RV/𝑐
120 1re 9046 . . . . 5
121120a1i 11 . . . 4
1221, 119, 107, 121fvmptd 5769 . . 3
123103, 122eqtrd 2436 . 2
124 elprob 24620 . 2 Prob measures
12599, 123, 124sylanbrc 646 1 Prob
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1649   wcel 1721  wral 2666  c0 3588  cpw 3759  cuni 3975  ciun 4053  Disj wdisj 4142   class class class wbr 4172   cmpt 4226   cep 4452  com 4804  ccnv 4836   cdm 4837   crn 4838  cima 4840   wfun 5407  wf 5409  cfv 5413  (class class class)co 6040   cdom 7066  cr 8945  cc0 8946  c1 8947   cpnf 9073  cxr 9075   cle 9077  cicc 10875  Σ*cesum 24377  sigAlgebracsiga 24443  𝔅ℝcbrsiga 24488  measurescmeas 24502  Probcprb 24618  rRndVarcrrv 24651  ∘RV/𝑐corvc 24666 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-ac2 8299  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-disj 4143  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-acn 7785  df-ac 7953  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ef 12625  df-sin 12627  df-cos 12628  df-pi 12630  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-ordt 13680  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-ps 14584  df-tsr 14585  df-mnd 14645  df-plusf 14646  df-mhm 14693  df-submnd 14694  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-mulg 14770  df-subg 14896  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-abl 15370  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-cring 15619  df-ur 15620  df-subrg 15821  df-abv 15860  df-lmod 15907  df-scaf 15908  df-sra 16199  df-rgmod 16200  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-tmd 18055  df-tgp 18056  df-tsms 18109  df-trg 18142  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-nm 18583  df-ngp 18584  df-nrg 18586  df-nlm 18587  df-ii 18860  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707  df-log 20407  df-esum 24378  df-siga 24444  df-sigagen 24475  df-brsiga 24489  df-meas 24503  df-mbfm 24554  df-prob 24619  df-rrv 24652  df-orvc 24667
 Copyright terms: Public domain W3C validator