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Theorem dstregt0 37491
Description: A complex number  A that is not real, has a distance from the reals that is strictly larger than  0. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
dstregt0.1  |-  ( ph  ->  A  e.  ( CC 
\  RR ) )
Assertion
Ref Expression
dstregt0  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR+  A. y  e.  RR  x  <  ( abs `  ( A  -  y )
) )
Distinct variable groups:    x, A, y    ph, y
Allowed substitution hint:    ph( x)

Proof of Theorem dstregt0
StepHypRef Expression
1 dstregt0.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  ( CC 
\  RR ) )
21eldifad 3416 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
32imcld 13258 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Im `  A
)  e.  RR )
43recnd 9669 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Im `  A
)  e.  CC )
51eldifbd 3417 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  -.  A  e.  RR )
6 reim0b 13182 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  e.  RR  <->  ( Im `  A )  =  0 ) )
72, 6syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR  <->  ( Im `  A )  =  0 ) )
85, 7mtbid 302 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  ( Im `  A )  =  0 )
98neqned 2631 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Im `  A
)  =/=  0 )
104, 9absrpcld 13510 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
Im `  A )
)  e.  RR+ )
1110rphalfcld 11353 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
Im `  A )
)  /  2 )  e.  RR+ )
122adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  A  e.  CC )
13 recn 9629 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR  ->  y  e.  CC )
1413adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  y  e.  CC )
1512, 14imsubd 13280 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( Im
`  ( A  -  y ) )  =  ( ( Im `  A )  -  (
Im `  y )
) )
16 simpr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  y  e.  RR )
1716reim0d 13288 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( Im
`  y )  =  0 )
1817oveq2d 6306 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( Im `  A )  -  ( Im `  y ) )  =  ( ( Im `  A )  -  0 ) )
194adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( Im
`  A )  e.  CC )
2019subid1d 9975 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( Im `  A )  -  0 )  =  ( Im `  A
) )
2115, 18, 203eqtrrd 2490 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( Im
`  A )  =  ( Im `  ( A  -  y )
) )
2221fveq2d 5869 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( abs `  ( Im `  A
) )  =  ( abs `  ( Im
`  ( A  -  y ) ) ) )
2322oveq1d 6305 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( abs `  ( Im
`  A ) )  /  2 )  =  ( ( abs `  (
Im `  ( A  -  y ) ) )  /  2 ) )
2421, 19eqeltrrd 2530 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( Im
`  ( A  -  y ) )  e.  CC )
2524abscld 13498 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( abs `  ( Im `  ( A  -  y )
) )  e.  RR )
2625rehalfcld 10859 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( abs `  ( Im
`  ( A  -  y ) ) )  /  2 )  e.  RR )
2712, 14subcld 9986 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( A  -  y )  e.  CC )
2827abscld 13498 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( abs `  ( A  -  y
) )  e.  RR )
299adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( Im
`  A )  =/=  0 )
3021, 29eqnetrrd 2692 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( Im
`  ( A  -  y ) )  =/=  0 )
3124, 30absrpcld 13510 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( abs `  ( Im `  ( A  -  y )
) )  e.  RR+ )
32 rphalflt 11329 . . . . . 6  |-  ( ( abs `  ( Im
`  ( A  -  y ) ) )  e.  RR+  ->  ( ( abs `  ( Im
`  ( A  -  y ) ) )  /  2 )  < 
( abs `  (
Im `  ( A  -  y ) ) ) )
3331, 32syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( abs `  ( Im
`  ( A  -  y ) ) )  /  2 )  < 
( abs `  (
Im `  ( A  -  y ) ) ) )
34 absimle 13372 . . . . . 6  |-  ( ( A  -  y )  e.  CC  ->  ( abs `  ( Im `  ( A  -  y
) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  y )
) )
3527, 34syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( abs `  ( Im `  ( A  -  y )
) )  <_  ( abs `  ( A  -  y ) ) )
3626, 25, 28, 33, 35ltletrd 9795 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( abs `  ( Im
`  ( A  -  y ) ) )  /  2 )  < 
( abs `  ( A  -  y )
) )
3723, 36eqbrtrd 4423 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( abs `  ( Im
`  A ) )  /  2 )  < 
( abs `  ( A  -  y )
) )
3837ralrimiva 2802 . 2  |-  ( ph  ->  A. y  e.  RR  ( ( abs `  (
Im `  A )
)  /  2 )  <  ( abs `  ( A  -  y )
) )
39 breq1 4405 . . . 4  |-  ( x  =  ( ( abs `  ( Im `  A
) )  /  2
)  ->  ( x  <  ( abs `  ( A  -  y )
)  <->  ( ( abs `  ( Im `  A
) )  /  2
)  <  ( abs `  ( A  -  y
) ) ) )
4039ralbidv 2827 . . 3  |-  ( x  =  ( ( abs `  ( Im `  A
) )  /  2
)  ->  ( A. y  e.  RR  x  <  ( abs `  ( A  -  y )
)  <->  A. y  e.  RR  ( ( abs `  (
Im `  A )
)  /  2 )  <  ( abs `  ( A  -  y )
) ) )
4140rspcev 3150 . 2  |-  ( ( ( ( abs `  (
Im `  A )
)  /  2 )  e.  RR+  /\  A. y  e.  RR  ( ( abs `  ( Im `  A
) )  /  2
)  <  ( abs `  ( A  -  y
) ) )  ->  E. x  e.  RR+  A. y  e.  RR  x  <  ( abs `  ( A  -  y ) ) )
4211, 38, 41syl2anc 667 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR+  A. y  e.  RR  x  <  ( abs `  ( A  -  y )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887    =/= wne 2622   A.wral 2737   E.wrex 2738    \ cdif 3401   class class class wbr 4402   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539    < clt 9675    <_ cle 9676    - cmin 9860    / cdiv 10269   2c2 10659   RR+crp 11302   Imcim 13161   abscabs 13297
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-sup 7956  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-seq 12214  df-exp 12273  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299
This theorem is referenced by:  limcrecl  37709
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