Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dstregt0 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem dstregt0 37581
Description: A complex number  A that is not real, has a distance from the reals that is strictly larger than  0. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
dstregt0.1  |-  ( ph  ->  A  e.  ( CC 
\  RR ) )
Assertion
Ref Expression
dstregt0  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR+  A. y  e.  RR  x  <  ( abs `  ( A  -  y )
) )
Distinct variable groups:    x, A, y    ph, y
Allowed substitution hint:    ph( x)

Proof of Theorem dstregt0
StepHypRef Expression
1 dstregt0.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  ( CC 
\  RR ) )
21eldifad 3402 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
32imcld 13335 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Im `  A
)  e.  RR )
43recnd 9687 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Im `  A
)  e.  CC )
51eldifbd 3403 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  -.  A  e.  RR )
6 reim0b 13259 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  e.  RR  <->  ( Im `  A )  =  0 ) )
72, 6syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR  <->  ( Im `  A )  =  0 ) )
85, 7mtbid 307 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  ( Im `  A )  =  0 )
98neqned 2650 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Im `  A
)  =/=  0 )
104, 9absrpcld 13587 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
Im `  A )
)  e.  RR+ )
1110rphalfcld 11376 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
Im `  A )
)  /  2 )  e.  RR+ )
122adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  A  e.  CC )
13 recn 9647 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR  ->  y  e.  CC )
1413adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  y  e.  CC )
1512, 14imsubd 13357 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( Im
`  ( A  -  y ) )  =  ( ( Im `  A )  -  (
Im `  y )
) )
16 simpr 468 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  y  e.  RR )
1716reim0d 13365 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( Im
`  y )  =  0 )
1817oveq2d 6324 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( Im `  A )  -  ( Im `  y ) )  =  ( ( Im `  A )  -  0 ) )
194adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( Im
`  A )  e.  CC )
2019subid1d 9994 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( Im `  A )  -  0 )  =  ( Im `  A
) )
2115, 18, 203eqtrrd 2510 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( Im
`  A )  =  ( Im `  ( A  -  y )
) )
2221fveq2d 5883 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( abs `  ( Im `  A
) )  =  ( abs `  ( Im
`  ( A  -  y ) ) ) )
2322oveq1d 6323 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( abs `  ( Im
`  A ) )  /  2 )  =  ( ( abs `  (
Im `  ( A  -  y ) ) )  /  2 ) )
2421, 19eqeltrrd 2550 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( Im
`  ( A  -  y ) )  e.  CC )
2524abscld 13575 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( abs `  ( Im `  ( A  -  y )
) )  e.  RR )
2625rehalfcld 10882 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( abs `  ( Im
`  ( A  -  y ) ) )  /  2 )  e.  RR )
2712, 14subcld 10005 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( A  -  y )  e.  CC )
2827abscld 13575 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( abs `  ( A  -  y
) )  e.  RR )
299adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( Im
`  A )  =/=  0 )
3021, 29eqnetrrd 2711 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( Im
`  ( A  -  y ) )  =/=  0 )
3124, 30absrpcld 13587 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( abs `  ( Im `  ( A  -  y )
) )  e.  RR+ )
32 rphalflt 11352 . . . . . 6  |-  ( ( abs `  ( Im
`  ( A  -  y ) ) )  e.  RR+  ->  ( ( abs `  ( Im
`  ( A  -  y ) ) )  /  2 )  < 
( abs `  (
Im `  ( A  -  y ) ) ) )
3331, 32syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( abs `  ( Im
`  ( A  -  y ) ) )  /  2 )  < 
( abs `  (
Im `  ( A  -  y ) ) ) )
34 absimle 13449 . . . . . 6  |-  ( ( A  -  y )  e.  CC  ->  ( abs `  ( Im `  ( A  -  y
) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  y )
) )
3527, 34syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( abs `  ( Im `  ( A  -  y )
) )  <_  ( abs `  ( A  -  y ) ) )
3626, 25, 28, 33, 35ltletrd 9812 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( abs `  ( Im
`  ( A  -  y ) ) )  /  2 )  < 
( abs `  ( A  -  y )
) )
3723, 36eqbrtrd 4416 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( abs `  ( Im
`  A ) )  /  2 )  < 
( abs `  ( A  -  y )
) )
3837ralrimiva 2809 . 2  |-  ( ph  ->  A. y  e.  RR  ( ( abs `  (
Im `  A )
)  /  2 )  <  ( abs `  ( A  -  y )
) )
39 breq1 4398 . . . 4  |-  ( x  =  ( ( abs `  ( Im `  A
) )  /  2
)  ->  ( x  <  ( abs `  ( A  -  y )
)  <->  ( ( abs `  ( Im `  A
) )  /  2
)  <  ( abs `  ( A  -  y
) ) ) )
4039ralbidv 2829 . . 3  |-  ( x  =  ( ( abs `  ( Im `  A
) )  /  2
)  ->  ( A. y  e.  RR  x  <  ( abs `  ( A  -  y )
)  <->  A. y  e.  RR  ( ( abs `  (
Im `  A )
)  /  2 )  <  ( abs `  ( A  -  y )
) ) )
4140rspcev 3136 . 2  |-  ( ( ( ( abs `  (
Im `  A )
)  /  2 )  e.  RR+  /\  A. y  e.  RR  ( ( abs `  ( Im `  A
) )  /  2
)  <  ( abs `  ( A  -  y
) ) )  ->  E. x  e.  RR+  A. y  e.  RR  x  <  ( abs `  ( A  -  y ) ) )
4211, 38, 41syl2anc 673 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR+  A. y  e.  RR  x  <  ( abs `  ( A  -  y )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757    \ cdif 3387   class class class wbr 4395   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557    < clt 9693    <_ cle 9694    - cmin 9880    / cdiv 10291   2c2 10681   RR+crp 11325   Imcim 13238   abscabs 13374
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-sup 7974  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-seq 12252  df-exp 12311  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376
This theorem is referenced by:  limcrecl  37806
  Copyright terms: Public domain W3C validator