Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dstregt0 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem dstregt0 37581
 Description: A complex number that is not real, has a distance from the reals that is strictly larger than . (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
dstregt0.1
Assertion
Ref Expression
dstregt0
Distinct variable groups:   ,,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem dstregt0
StepHypRef Expression
1 dstregt0.1 . . . . . . 7
21eldifad 3402 . . . . . 6
32imcld 13335 . . . . 5
43recnd 9687 . . . 4
51eldifbd 3403 . . . . . 6
6 reim0b 13259 . . . . . . 7
72, 6syl 17 . . . . . 6
85, 7mtbid 307 . . . . 5
98neqned 2650 . . . 4
104, 9absrpcld 13587 . . 3
1110rphalfcld 11376 . 2
122adantr 472 . . . . . . . 8
13 recn 9647 . . . . . . . . 9
1413adantl 473 . . . . . . . 8
1512, 14imsubd 13357 . . . . . . 7
16 simpr 468 . . . . . . . . 9
1716reim0d 13365 . . . . . . . 8
1817oveq2d 6324 . . . . . . 7
194adantr 472 . . . . . . . 8
2019subid1d 9994 . . . . . . 7
2115, 18, 203eqtrrd 2510 . . . . . 6
2221fveq2d 5883 . . . . 5
2322oveq1d 6323 . . . 4
2421, 19eqeltrrd 2550 . . . . . . 7
2524abscld 13575 . . . . . 6
2625rehalfcld 10882 . . . . 5
2712, 14subcld 10005 . . . . . 6
2827abscld 13575 . . . . 5
299adantr 472 . . . . . . . 8
3021, 29eqnetrrd 2711 . . . . . . 7
3124, 30absrpcld 13587 . . . . . 6
32 rphalflt 11352 . . . . . 6
3331, 32syl 17 . . . . 5
34 absimle 13449 . . . . . 6
3527, 34syl 17 . . . . 5
3626, 25, 28, 33, 35ltletrd 9812 . . . 4
3723, 36eqbrtrd 4416 . . 3
3837ralrimiva 2809 . 2
39 breq1 4398 . . . 4
4039ralbidv 2829 . . 3
4140rspcev 3136 . 2
4211, 38, 41syl2anc 673 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  wral 2756  wrex 2757   cdif 3387   class class class wbr 4395  cfv 5589  (class class class)co 6308  cc 9555  cr 9556  cc0 9557   clt 9693   cle 9694   cmin 9880   cdiv 10291  c2 10681  crp 11325  cim 13238  cabs 13374 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-sup 7974  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-seq 12252  df-exp 12311  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376 This theorem is referenced by:  limcrecl  37806
 Copyright terms: Public domain W3C validator