Theorem dstr 14516

Description: Distribution of union over intersection. Bourbaki E.II.35 prop. 8.

Hypotheses

Ref	Expression
dstr.1	|- (y = (f` x) -> C = D)
dstr.2	|- X = X_x e. A B
dstr.3	|- A e. E

Assertion

Ref	Expression
dstr	|- U_x e. A |^|_y e. B C = |^|_f e. X U_x e. A D

Distinct variable groups:   A,f,x   B,f,y   C,f   y,D   x,y

Proof of Theorem dstr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliun 3259	. . . 4 |- (z e. U_x e. A |^|_y e. B C <-> E.x e. A z e. |^|_y e. B C)
2		dstr.2	. . . . . . . . . 10 |- X = X_x e. A B
3	2	eleq2i 1961	. . . . . . . . 9 |- (f e. X <-> f e. X_x e. A B)
4		elixp2b 14494	. . . . . . . . . 10 |- (f e. X_x e. A B -> A.x e. A (f` x) e. B)
5		dstr.1	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (y = (f` x) -> C = D)
6	5	eleq2d 1964	. . . . . . . . . . . . 13 |- (y = (f` x) -> (z e. C <-> z e. D))
7	6	rcla4v 2376	. . . . . . . . . . . 12 |- ((f` x) e. B -> (A.y e. B z e. C -> z e. D))
8	7	ralimi 2168	. . . . . . . . . . 11 |- (A.x e. A (f` x) e. B -> A.x e. A (A.y e. B z e. C -> z e. D))
9		rexim 2194	. . . . . . . . . . 11 |- (A.x e. A (A.y e. B z e. C -> z e. D) -> (E.x e. A A.y e. B z e. C -> E.x e. A z e. D))
10	8, 9	syl 12	. . . . . . . . . 10 |- (A.x e. A (f` x) e. B -> (E.x e. A A.y e. B z e. C -> E.x e. A z e. D))
11	4, 10	syl 12	. . . . . . . . 9 |- (f e. X_x e. A B -> (E.x e. A A.y e. B z e. C -> E.x e. A z e. D))
12	3, 11	sylbi 216	. . . . . . . 8 |- (f e. X -> (E.x e. A A.y e. B z e. C -> E.x e. A z e. D))
13	12	com12 14	. . . . . . 7 |- (E.x e. A A.y e. B z e. C -> (f e. X -> E.x e. A z e. D))
14	13	r19.21aiv 2175	. . . . . 6 |- (E.x e. A A.y e. B z e. C -> A.f e. X E.x e. A z e. D)
15		eliun 3259	. . . . . . 7 |- (z e. U_x e. A D <-> E.x e. A z e. D)
16	15	ralbii 2127	. . . . . 6 |- (A.f e. X z e. U_x e. A D <-> A.f e. X E.x e. A z e. D)
17	14, 16	sylibr 217	. . . . 5 |- (E.x e. A A.y e. B z e. C -> A.f e. X z e. U_x e. A D)
18		visset 2295	. . . . . . 7 |- z e. _V
19		eliin 3260	. . . . . . 7 |- (z e. _V -> (z e. |^|_y e. B C <-> A.y e. B z e. C))
20	18, 19	ax-mp 7	. . . . . 6 |- (z e. |^|_y e. B C <-> A.y e. B z e. C)
21	20	rexbii 2128	. . . . 5 |- (E.x e. A z e. |^|_y e. B C <-> E.x e. A A.y e. B z e. C)
22		eliin 3260	. . . . . 6 |- (z e. _V -> (z e. |^|_f e. X U_x e. A D <-> A.f e. X z e. U_x e. A D))
23	18, 22	ax-mp 7	. . . . 5 |- (z e. |^|_f e. X U_x e. A D <-> A.f e. X z e. U_x e. A D)
24	17, 21, 23	3imtr4i 236	. . . 4 |- (E.x e. A z e. |^|_y e. B C -> z e. |^|_f e. X U_x e. A D)
25	1, 24	sylbi 216	. . 3 |- (z e. U_x e. A |^|_y e. B C -> z e. |^|_f e. X U_x e. A D)
26		ralnex 2113	. . . . . . 7 |- (A.x e. A -. A.y e. B z e. C <-> -. E.x e. A A.y e. B z e. C)
27		rabn0 2893	. . . . . . . . . . . 12 |- ({y e. B | -. z e. C} =/= (/) <-> E.y e. B -. z e. C)
28	27	biimpri 169	. . . . . . . . . . 11 |- (E.y e. B -. z e. C -> {y e. B | -. z e. C} =/= (/))
29	28	ralimi 2168	. . . . . . . . . 10 |- (A.x e. A E.y e. B -. z e. C -> A.x e. A {y e. B | -. z e. C} =/= (/))
30		dstr.3	. . . . . . . . . . . . 13 |- A e. E
31	30	elisseti 2301	. . . . . . . . . . . 12 |- A e. _V
32	31	ac9s 5926	. . . . . . . . . . 11 |- (A.x e. A {y e. B | -. z e. C} =/= (/) <-> X_x e. A {y e. B | -. z e. C} =/= (/))
33		ss2ixp 5413	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (A.x e. A {y e. B | -. z e. C} C_ B -> X_x e. A {y e. B | -. z e. C} C_ X_x e. A B)
34		ssrab2 2692	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- {y e. B | -. z e. C} C_ B
35	34	a1i 8	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (x e. A -> {y e. B | -. z e. C} C_ B)
36	33, 35	mprg 2162	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- X_x e. A {y e. B | -. z e. C} C_ X_x e. A B
37	36	sseli 2617	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (f e. X_x e. A {y e. B | -. z e. C} -> f e. X_x e. A B)
38	37, 2	syl6eleqr 1982	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (f e. X_x e. A {y e. B | -. z e. C} -> f e. X)
39		elixp2b 14494	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (f e. X_x e. A {y e. B | -. z e. C} -> A.x e. A (f` x) e. {y e. B | -. z e. C})
40	6	notbid 673	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (y = (f` x) -> (-. z e. C <-> -. z e. D))
41	40	elrab 2414	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((f` x) e. {y e. B | -. z e. C} <-> ((f` x) e. B /\ -. z e. D))
42	41	simprbi 353	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((f` x) e. {y e. B | -. z e. C} -> -. z e. D)
43	42	ralimi 2168	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (A.x e. A (f` x) e. {y e. B | -. z e. C} -> A.x e. A -. z e. D)
44	39, 43	syl 12	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (f e. X_x e. A {y e. B | -. z e. C} -> A.x e. A -. z e. D)
45	38, 44	jca 310	. . . . . . . . . . . . 13 |- (f e. X_x e. A {y e. B | -. z e. C} -> (f e. X /\ A.x e. A -. z e. D))
46	45	eximi 1387	. . . . . . . . . . . 12 |- (E.f f e. X_x e. A {y e. B | -. z e. C} -> E.f(f e. X /\ A.x e. A -. z e. D))
47		n0 2884	. . . . . . . . . . . 12 |- (X_x e. A {y e. B | -. z e. C} =/= (/) <-> E.f f e. X_x e. A {y e. B | -. z e. C})
48		df-rex 2110	. . . . . . . . . . . 12 |- (E.f e. X A.x e. A -. z e. D <-> E.f(f e. X /\ A.x e. A -. z e. D))
49	46, 47, 48	3imtr4i 236	. . . . . . . . . . 11 |- (X_x e. A {y e. B | -. z e. C} =/= (/) -> E.f e. X A.x e. A -. z e. D)
50	32, 49	sylbi 216	. . . . . . . . . 10 |- (A.x e. A {y e. B | -. z e. C} =/= (/) -> E.f e. X A.x e. A -. z e. D)
51	29, 50	syl 12	. . . . . . . . 9 |- (A.x e. A E.y e. B -. z e. C -> E.f e. X A.x e. A -. z e. D)
52		ralnex 2113	. . . . . . . . . 10 |- (A.x e. A -. z e. D <-> -. E.x e. A z e. D)
53	52	rexbii 2128	. . . . . . . . 9 |- (E.f e. X A.x e. A -. z e. D <-> E.f e. X -. E.x e. A z e. D)
54	51, 53	sylib 215	. . . . . . . 8 |- (A.x e. A E.y e. B -. z e. C -> E.f e. X -. E.x e. A z e. D)
55		rexnal 2114	. . . . . . . . 9 |- (E.y e. B -. z e. C <-> -. A.y e. B z e. C)
56	55	ralbii 2127	. . . . . . . 8 |- (A.x e. A E.y e. B -. z e. C <-> A.x e. A -. A.y e. B z e. C)
57		rexnal 2114	. . . . . . . 8 |- (E.f e. X -. E.x e. A z e. D <-> -. A.f e. X E.x e. A z e. D)
58	54, 56, 57	3imtr3i 235	. . . . . . 7 |- (A.x e. A -. A.y e. B z e. C -> -. A.f e. X E.x e. A z e. D)
59	26, 58	sylbir 218	. . . . . 6 |- (-. E.x e. A A.y e. B z e. C -> -. A.f e. X E.x e. A z e. D)
60	59	con4i 90	. . . . 5 |- (A.f e. X E.x e. A z e. D -> E.x e. A A.y e. B z e. C)
61	60, 16, 21	3imtr4i 236	. . . 4 |- (A.f e. X z e. U_x e. A D -> E.x e. A z e. |^|_y e. B C)
62	61, 23, 1	3imtr4i 236	. . 3 |- (z e. |^|_f e. X U_x e. A D -> z e. U_x e. A |^|_y e. B C)
63	25, 62	impbii 174	. 2 |- (z e. U_x e. A |^|_y e. B C <-> z e. |^|_f e. X U_x e. A D)
64	63	eqriv 1881	1 |- U_x e. A |^|_y e. B C = |^|_f e. X U_x e. A D

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326   =/= wne 2017  A.wral 2105  E.wrex 2106  {crab 2108  _Vcvv 2292   C_ wss 2593  (/)c0 2875  U_ciun 3255  |^|_ciin 3256  ` cfv 3998  X_cixp 5406

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695  ax-inf2 5731  ax-ac 5906

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-iin 3258  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-rdg 5140  df-ixp 5407  df-r1 5750  df-rank 5751

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