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Theorem dstfrvunirn 29159
Description: The limit of all preimage maps by the "lower than or equal" relation is the universe. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
dstfrv.1  |-  ( ph  ->  P  e. Prob )
dstfrv.2  |-  ( ph  ->  X  e.  (rRndVar `  P
) )
Assertion
Ref Expression
dstfrvunirn  |-  ( ph  ->  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  n ) )  =  U. dom  P )
Distinct variable groups:    P, n    n, X    ph, n

Proof of Theorem dstfrvunirn
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1red 9647 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U.
dom  P )  -> 
1  e.  RR )
2 dstfrv.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  P  e. Prob )
3 dstfrv.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X  e.  (rRndVar `  P
) )
42, 3rrvvf 29129 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X : U. dom  P --> RR )
54ffvelrnda 6028 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U.
dom  P )  -> 
( X `  x
)  e.  RR )
61, 5ifcld 3949 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U.
dom  P )  ->  if ( ( X `  x )  <  1 ,  1 ,  ( X `  x ) )  e.  RR )
7 breq2 4421 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  =  if ( ( X `  x )  <  1 ,  1 ,  ( X `  x ) )  -> 
( 1  <_  1  <->  1  <_  if ( ( X `  x )  <  1 ,  1 ,  ( X `  x ) ) ) )
8 breq2 4421 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X `  x )  =  if ( ( X `  x )  <  1 ,  1 ,  ( X `  x ) )  -> 
( 1  <_  ( X `  x )  <->  1  <_  if ( ( X `  x )  <  1 ,  1 ,  ( X `  x ) ) ) )
9 1le1 10229 . . . . . . . . . . 11  |-  1  <_  1
109a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  U. dom  P )  /\  ( X `  x )  <  1
)  ->  1  <_  1 )
111, 5lenltd 9770 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U.
dom  P )  -> 
( 1  <_  ( X `  x )  <->  -.  ( X `  x
)  <  1 ) )
1211biimpar 487 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  U. dom  P )  /\  -.  ( X `
 x )  <  1 )  ->  1  <_  ( X `  x
) )
137, 8, 10, 12ifbothda 3941 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U.
dom  P )  -> 
1  <_  if (
( X `  x
)  <  1 , 
1 ,  ( X `
 x ) ) )
14 flge1nn 12041 . . . . . . . . 9  |-  ( ( if ( ( X `
 x )  <  1 ,  1 ,  ( X `  x
) )  e.  RR  /\  1  <_  if (
( X `  x
)  <  1 , 
1 ,  ( X `
 x ) ) )  ->  ( |_ `  if ( ( X `
 x )  <  1 ,  1 ,  ( X `  x
) ) )  e.  NN )
156, 13, 14syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U.
dom  P )  -> 
( |_ `  if ( ( X `  x )  <  1 ,  1 ,  ( X `  x ) ) )  e.  NN )
1615peano2nnd 10615 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U.
dom  P )  -> 
( ( |_ `  if ( ( X `  x )  <  1 ,  1 ,  ( X `  x ) ) )  +  1 )  e.  NN )
172adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U.
dom  P )  ->  P  e. Prob )
183adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U.
dom  P )  ->  X  e.  (rRndVar `  P
) )
1916nnred 10613 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U.
dom  P )  -> 
( ( |_ `  if ( ( X `  x )  <  1 ,  1 ,  ( X `  x ) ) )  +  1 )  e.  RR )
20 simpr 462 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U.
dom  P )  ->  x  e.  U. dom  P
)
21 breq2 4421 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  =  if ( ( X `  x )  <  1 ,  1 ,  ( X `  x ) )  -> 
( ( X `  x )  <_  1  <->  ( X `  x )  <_  if ( ( X `  x )  <  1 ,  1 ,  ( X `  x ) ) ) )
22 breq2 4421 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X `  x )  =  if ( ( X `  x )  <  1 ,  1 ,  ( X `  x ) )  -> 
( ( X `  x )  <_  ( X `  x )  <->  ( X `  x )  <_  if ( ( X `  x )  <  1 ,  1 ,  ( X `  x ) ) ) )
235adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  U. dom  P )  /\  ( X `  x )  <  1
)  ->  ( X `  x )  e.  RR )
24 1red 9647 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  U. dom  P )  /\  ( X `  x )  <  1
)  ->  1  e.  RR )
25 simpr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  U. dom  P )  /\  ( X `  x )  <  1
)  ->  ( X `  x )  <  1
)
2623, 24, 25ltled 9772 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  U. dom  P )  /\  ( X `  x )  <  1
)  ->  ( X `  x )  <_  1
)
275leidd 10169 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U.
dom  P )  -> 
( X `  x
)  <_  ( X `  x ) )
2827adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  U. dom  P )  /\  -.  ( X `
 x )  <  1 )  ->  ( X `  x )  <_  ( X `  x
) )
2921, 22, 26, 28ifbothda 3941 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U.
dom  P )  -> 
( X `  x
)  <_  if (
( X `  x
)  <  1 , 
1 ,  ( X `
 x ) ) )
30 fllep1 12023 . . . . . . . . . 10  |-  ( if ( ( X `  x )  <  1 ,  1 ,  ( X `  x ) )  e.  RR  ->  if ( ( X `  x )  <  1 ,  1 ,  ( X `  x ) )  <_  ( ( |_ `  if ( ( X `  x )  <  1 ,  1 ,  ( X `  x ) ) )  +  1 ) )
316, 30syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U.
dom  P )  ->  if ( ( X `  x )  <  1 ,  1 ,  ( X `  x ) )  <_  ( ( |_ `  if ( ( X `  x )  <  1 ,  1 ,  ( X `  x ) ) )  +  1 ) )
325, 6, 19, 29, 31letrd 9781 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U.
dom  P )  -> 
( X `  x
)  <_  ( ( |_ `  if ( ( X `  x )  <  1 ,  1 ,  ( X `  x ) ) )  +  1 ) )
3317, 18, 19, 20, 32dstfrvel 29158 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U.
dom  P )  ->  x  e.  ( XRV/𝑐  <_  (
( |_ `  if ( ( X `  x )  <  1 ,  1 ,  ( X `  x ) ) )  +  1 ) ) )
34 oveq2 6304 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( ( |_
`  if ( ( X `  x )  <  1 ,  1 ,  ( X `  x ) ) )  +  1 )  -> 
( XRV/𝑐  <_  n )  =  ( XRV/𝑐  <_  ( ( |_ `  if ( ( X `  x )  <  1 ,  1 ,  ( X `  x ) ) )  +  1 ) ) )
3534eleq2d 2490 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( ( |_
`  if ( ( X `  x )  <  1 ,  1 ,  ( X `  x ) ) )  +  1 )  -> 
( x  e.  ( XRV/𝑐  <_  n )  <->  x  e.  ( XRV/𝑐  <_  ( ( |_ `  if ( ( X `  x )  <  1 ,  1 ,  ( X `  x ) ) )  +  1 ) ) ) )
3635rspcev 3179 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( |_ `  if ( ( X `  x )  <  1 ,  1 ,  ( X `  x ) ) )  +  1 )  e.  NN  /\  x  e.  ( XRV/𝑐  <_  (
( |_ `  if ( ( X `  x )  <  1 ,  1 ,  ( X `  x ) ) )  +  1 ) ) )  ->  E. n  e.  NN  x  e.  ( XRV/𝑐  <_  n
) )
3716, 33, 36syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U.
dom  P )  ->  E. n  e.  NN  x  e.  ( XRV/𝑐  <_  n
) )
3837ex 435 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  U. dom  P  ->  E. n  e.  NN  x  e.  ( XRV/𝑐  <_  n ) ) )
392adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  P  e. Prob
)
403adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  X  e.  (rRndVar `  P )
)
41 simpr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
4241nnred 10613 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  RR )
4339, 40, 42orvclteel 29157 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( XRV/𝑐  <_  n )  e.  dom  P
)
44 elunii 4218 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( XRV/𝑐  <_  n )  /\  ( XRV/𝑐  <_  n )  e.  dom  P
)  ->  x  e.  U.
dom  P )
4544expcom 436 . . . . . . 7  |-  ( ( XRV/𝑐  <_  n )  e.  dom  P  ->  ( x  e.  ( XRV/𝑐  <_  n )  ->  x  e.  U. dom  P ) )
4643, 45syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( x  e.  ( XRV/𝑐  <_  n )  ->  x  e.  U. dom  P ) )
4746rexlimdva 2915 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. n  e.  NN  x  e.  ( XRV/𝑐  <_  n )  ->  x  e.  U. dom  P ) )
4838, 47impbid 193 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  U. dom  P  <->  E. n  e.  NN  x  e.  ( XRV/𝑐  <_  n
) ) )
49 eliun 4298 . . . 4  |-  ( x  e.  U_ n  e.  NN  ( XRV/𝑐  <_  n )  <->  E. n  e.  NN  x  e.  ( XRV/𝑐  <_  n ) )
5048, 49syl6bbr 266 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  U. dom  P  <->  x  e.  U_ n  e.  NN  ( XRV/𝑐  <_  n ) ) )
5150eqrdv 2417 . 2  |-  ( ph  ->  U. dom  P  = 
U_ n  e.  NN  ( XRV/𝑐  <_  n ) )
52 ovex 6324 . . 3  |-  ( XRV/𝑐  <_  n )  e.  _V
5352dfiun3 5100 . 2  |-  U_ n  e.  NN  ( XRV/𝑐  <_  n )  =  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  n ) )
5451, 53syl6req 2478 1  |-  ( ph  ->  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  n ) )  =  U. dom  P )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1867   E.wrex 2774   ifcif 3906   U.cuni 4213   U_ciun 4293   class class class wbr 4417    |-> cmpt 4475   dom cdm 4845   ran crn 4846   ` cfv 5592  (class class class)co 6296   RRcr 9527   1c1 9529    + caddc 9531    < clt 9664    <_ cle 9665   NNcn 10598   |_cfl 12012  Probcprb 29092  rRndVarcrrv 29125  ∘RV/𝑐corvc 29140
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-inf2 8137  ax-ac2 8882  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605  ax-pre-sup 9606
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-iin 4296  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-se 4805  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-isom 5601  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-2o 7182  df-oadd 7185  df-er 7362  df-map 7473  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-fin 7572  df-sup 7953  df-oi 8016  df-card 8363  df-acn 8366  df-ac 8536  df-cda 8587  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-div 10259  df-nn 10599  df-n0 10859  df-z 10927  df-uz 11149  df-q 11254  df-ioo 11628  df-ioc 11629  df-fl 12014  df-topgen 15294  df-top 19845  df-bases 19846  df-cld 19958  df-esum 28714  df-siga 28795  df-sigagen 28826  df-brsiga 28869  df-meas 28883  df-mbfm 28938  df-prob 29093  df-rrv 29126  df-orvc 29141
This theorem is referenced by:  dstfrvclim1  29162
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