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Theorem dstfrvunirn 28164
Description: The limit of all preimage maps by the "lower than or equal" relation is the universe. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
dstfrv.1  |-  ( ph  ->  P  e. Prob )
dstfrv.2  |-  ( ph  ->  X  e.  (rRndVar `  P
) )
Assertion
Ref Expression
dstfrvunirn  |-  ( ph  ->  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  n ) )  =  U. dom  P )
Distinct variable groups:    P, n    n, X    ph, n

Proof of Theorem dstfrvunirn
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1re 9596 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
21a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U.
dom  P )  -> 
1  e.  RR )
3 dstfrv.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  P  e. Prob )
4 dstfrv.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X  e.  (rRndVar `  P
) )
53, 4rrvvf 28134 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X : U. dom  P --> RR )
65ffvelrnda 6022 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U.
dom  P )  -> 
( X `  x
)  e.  RR )
7 ifcl 3981 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( X `  x )  e.  RR )  ->  if ( ( X `  x )  <  1 ,  1 ,  ( X `  x ) )  e.  RR )
82, 6, 7syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U.
dom  P )  ->  if ( ( X `  x )  <  1 ,  1 ,  ( X `  x ) )  e.  RR )
9 breq2 4451 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  =  if ( ( X `  x )  <  1 ,  1 ,  ( X `  x ) )  -> 
( 1  <_  1  <->  1  <_  if ( ( X `  x )  <  1 ,  1 ,  ( X `  x ) ) ) )
10 breq2 4451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X `  x )  =  if ( ( X `  x )  <  1 ,  1 ,  ( X `  x ) )  -> 
( 1  <_  ( X `  x )  <->  1  <_  if ( ( X `  x )  <  1 ,  1 ,  ( X `  x ) ) ) )
11 1le1 10178 . . . . . . . . . . 11  |-  1  <_  1
1211a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  U. dom  P )  /\  ( X `  x )  <  1
)  ->  1  <_  1 )
132, 6lenltd 9731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U.
dom  P )  -> 
( 1  <_  ( X `  x )  <->  -.  ( X `  x
)  <  1 ) )
1413biimpar 485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  U. dom  P )  /\  -.  ( X `
 x )  <  1 )  ->  1  <_  ( X `  x
) )
159, 10, 12, 14ifbothda 3974 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U.
dom  P )  -> 
1  <_  if (
( X `  x
)  <  1 , 
1 ,  ( X `
 x ) ) )
16 flge1nn 11924 . . . . . . . . 9  |-  ( ( if ( ( X `
 x )  <  1 ,  1 ,  ( X `  x
) )  e.  RR  /\  1  <_  if (
( X `  x
)  <  1 , 
1 ,  ( X `
 x ) ) )  ->  ( |_ `  if ( ( X `
 x )  <  1 ,  1 ,  ( X `  x
) ) )  e.  NN )
178, 15, 16syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U.
dom  P )  -> 
( |_ `  if ( ( X `  x )  <  1 ,  1 ,  ( X `  x ) ) )  e.  NN )
1817peano2nnd 10554 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U.
dom  P )  -> 
( ( |_ `  if ( ( X `  x )  <  1 ,  1 ,  ( X `  x ) ) )  +  1 )  e.  NN )
193adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U.
dom  P )  ->  P  e. Prob )
204adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U.
dom  P )  ->  X  e.  (rRndVar `  P
) )
2118nnred 10552 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U.
dom  P )  -> 
( ( |_ `  if ( ( X `  x )  <  1 ,  1 ,  ( X `  x ) ) )  +  1 )  e.  RR )
22 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U.
dom  P )  ->  x  e.  U. dom  P
)
23 breq2 4451 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  =  if ( ( X `  x )  <  1 ,  1 ,  ( X `  x ) )  -> 
( ( X `  x )  <_  1  <->  ( X `  x )  <_  if ( ( X `  x )  <  1 ,  1 ,  ( X `  x ) ) ) )
24 breq2 4451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X `  x )  =  if ( ( X `  x )  <  1 ,  1 ,  ( X `  x ) )  -> 
( ( X `  x )  <_  ( X `  x )  <->  ( X `  x )  <_  if ( ( X `  x )  <  1 ,  1 ,  ( X `  x ) ) ) )
256adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  U. dom  P )  /\  ( X `  x )  <  1
)  ->  ( X `  x )  e.  RR )
261a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  U. dom  P )  /\  ( X `  x )  <  1
)  ->  1  e.  RR )
27 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  U. dom  P )  /\  ( X `  x )  <  1
)  ->  ( X `  x )  <  1
)
2825, 26, 27ltled 9733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  U. dom  P )  /\  ( X `  x )  <  1
)  ->  ( X `  x )  <_  1
)
296leidd 10120 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U.
dom  P )  -> 
( X `  x
)  <_  ( X `  x ) )
3029adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  U. dom  P )  /\  -.  ( X `
 x )  <  1 )  ->  ( X `  x )  <_  ( X `  x
) )
3123, 24, 28, 30ifbothda 3974 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U.
dom  P )  -> 
( X `  x
)  <_  if (
( X `  x
)  <  1 , 
1 ,  ( X `
 x ) ) )
32 fllep1 11907 . . . . . . . . . 10  |-  ( if ( ( X `  x )  <  1 ,  1 ,  ( X `  x ) )  e.  RR  ->  if ( ( X `  x )  <  1 ,  1 ,  ( X `  x ) )  <_  ( ( |_ `  if ( ( X `  x )  <  1 ,  1 ,  ( X `  x ) ) )  +  1 ) )
338, 32syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U.
dom  P )  ->  if ( ( X `  x )  <  1 ,  1 ,  ( X `  x ) )  <_  ( ( |_ `  if ( ( X `  x )  <  1 ,  1 ,  ( X `  x ) ) )  +  1 ) )
346, 8, 21, 31, 33letrd 9739 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U.
dom  P )  -> 
( X `  x
)  <_  ( ( |_ `  if ( ( X `  x )  <  1 ,  1 ,  ( X `  x ) ) )  +  1 ) )
3519, 20, 21, 22, 34dstfrvel 28163 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U.
dom  P )  ->  x  e.  ( XRV/𝑐  <_  (
( |_ `  if ( ( X `  x )  <  1 ,  1 ,  ( X `  x ) ) )  +  1 ) ) )
36 oveq2 6293 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( ( |_
`  if ( ( X `  x )  <  1 ,  1 ,  ( X `  x ) ) )  +  1 )  -> 
( XRV/𝑐  <_  n )  =  ( XRV/𝑐  <_  ( ( |_ `  if ( ( X `  x )  <  1 ,  1 ,  ( X `  x ) ) )  +  1 ) ) )
3736eleq2d 2537 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( ( |_
`  if ( ( X `  x )  <  1 ,  1 ,  ( X `  x ) ) )  +  1 )  -> 
( x  e.  ( XRV/𝑐  <_  n )  <->  x  e.  ( XRV/𝑐  <_  ( ( |_ `  if ( ( X `  x )  <  1 ,  1 ,  ( X `  x ) ) )  +  1 ) ) ) )
3837rspcev 3214 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( |_ `  if ( ( X `  x )  <  1 ,  1 ,  ( X `  x ) ) )  +  1 )  e.  NN  /\  x  e.  ( XRV/𝑐  <_  (
( |_ `  if ( ( X `  x )  <  1 ,  1 ,  ( X `  x ) ) )  +  1 ) ) )  ->  E. n  e.  NN  x  e.  ( XRV/𝑐  <_  n
) )
3918, 35, 38syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U.
dom  P )  ->  E. n  e.  NN  x  e.  ( XRV/𝑐  <_  n
) )
4039ex 434 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  U. dom  P  ->  E. n  e.  NN  x  e.  ( XRV/𝑐  <_  n ) ) )
413adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  P  e. Prob
)
424adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  X  e.  (rRndVar `  P )
)
43 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
4443nnred 10552 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  RR )
4541, 42, 44orvclteel 28162 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( XRV/𝑐  <_  n )  e.  dom  P
)
46 elunii 4250 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( XRV/𝑐  <_  n )  /\  ( XRV/𝑐  <_  n )  e.  dom  P
)  ->  x  e.  U.
dom  P )
4746expcom 435 . . . . . . 7  |-  ( ( XRV/𝑐  <_  n )  e.  dom  P  ->  ( x  e.  ( XRV/𝑐  <_  n )  ->  x  e.  U. dom  P ) )
4845, 47syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( x  e.  ( XRV/𝑐  <_  n )  ->  x  e.  U. dom  P ) )
4948rexlimdva 2955 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. n  e.  NN  x  e.  ( XRV/𝑐  <_  n )  ->  x  e.  U. dom  P ) )
5040, 49impbid 191 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  U. dom  P  <->  E. n  e.  NN  x  e.  ( XRV/𝑐  <_  n
) ) )
51 eliun 4330 . . . 4  |-  ( x  e.  U_ n  e.  NN  ( XRV/𝑐  <_  n )  <->  E. n  e.  NN  x  e.  ( XRV/𝑐  <_  n ) )
5250, 51syl6bbr 263 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  U. dom  P  <->  x  e.  U_ n  e.  NN  ( XRV/𝑐  <_  n ) ) )
5352eqrdv 2464 . 2  |-  ( ph  ->  U. dom  P  = 
U_ n  e.  NN  ( XRV/𝑐  <_  n ) )
54 ovex 6310 . . 3  |-  ( XRV/𝑐  <_  n )  e.  _V
5554dfiun3 5257 . 2  |-  U_ n  e.  NN  ( XRV/𝑐  <_  n )  =  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  n ) )
5653, 55syl6req 2525 1  |-  ( ph  ->  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  n ) )  =  U. dom  P )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   E.wrex 2815   ifcif 3939   U.cuni 4245   U_ciun 4325   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   dom cdm 4999   ran crn 5000   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   RRcr 9492   1c1 9494    + caddc 9496    < clt 9629    <_ cle 9630   NNcn 10537   |_cfl 11896  Probcprb 28097  rRndVarcrrv 28130  ∘RV/𝑐corvc 28145
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-inf2 8059  ax-ac2 8844  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570  ax-pre-sup 9571
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-2o 7132  df-oadd 7135  df-er 7312  df-map 7423  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-sup 7902  df-oi 7936  df-card 8321  df-acn 8324  df-ac 8498  df-cda 8549  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-q 11184  df-ioo 11534  df-ioc 11535  df-fl 11898  df-topgen 14702  df-top 19206  df-bases 19208  df-cld 19326  df-esum 27792  df-siga 27859  df-sigagen 27890  df-brsiga 27904  df-meas 27918  df-mbfm 27973  df-prob 28098  df-rrv 28131  df-orvc 28146
This theorem is referenced by:  dstfrvclim1  28167
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