Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dstfrvel Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem dstfrvel 29306
Description: Elementhood of preimage maps produced by the "lower than or equal" relation. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
dstfrv.1  |-  ( ph  ->  P  e. Prob )
dstfrv.2  |-  ( ph  ->  X  e.  (rRndVar `  P
) )
orvclteel.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
dstfrvel.1  |-  ( ph  ->  B  e.  U. dom  P )
dstfrvel.2  |-  ( ph  ->  ( X `  B
)  <_  A )
Assertion
Ref Expression
dstfrvel  |-  ( ph  ->  B  e.  ( XRV/𝑐  <_  A ) )

Proof of Theorem dstfrvel
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dstfrv.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P  e. Prob )
2 dstfrv.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  (rRndVar `  P
) )
31, 2rrvvf 29277 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X : U. dom  P --> RR )
4 dstfrvel.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  U. dom  P )
53, 4ffvelrnd 6023 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X `  B
)  e.  RR )
6 dstfrvel.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X `  B
)  <_  A )
7 breq1 4405 . . . . 5  |-  ( x  =  ( X `  B )  ->  (
x  <_  A  <->  ( X `  B )  <_  A
) )
87elrab 3196 . . . 4  |-  ( ( X `  B )  e.  { x  e.  RR  |  x  <_  A }  <->  ( ( X `
 B )  e.  RR  /\  ( X `
 B )  <_  A ) )
95, 6, 8sylanbrc 670 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X `  B
)  e.  { x  e.  RR  |  x  <_  A } )
10 ffun 5731 . . . . 5  |-  ( X : U. dom  P --> RR  ->  Fun  X )
113, 10syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  Fun  X )
121, 2rrvdm 29279 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  X  =  U. dom  P )
134, 12eleqtrrd 2532 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  X
)
14 fvimacnv 5997 . . . 4  |-  ( ( Fun  X  /\  B  e.  dom  X )  -> 
( ( X `  B )  e.  {
x  e.  RR  |  x  <_  A }  <->  B  e.  ( `' X " { x  e.  RR  |  x  <_  A } ) ) )
1511, 13, 14syl2anc 667 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( X `  B )  e.  {
x  e.  RR  |  x  <_  A }  <->  B  e.  ( `' X " { x  e.  RR  |  x  <_  A } ) ) )
169, 15mpbid 214 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  ( `' X " { x  e.  RR  |  x  <_  A } ) )
17 orvclteel.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
181, 2, 17orrvcval4 29297 . 2  |-  ( ph  ->  ( XRV/𝑐  <_  A )  =  ( `' X " { x  e.  RR  |  x  <_  A } ) )
1916, 18eleqtrrd 2532 1  |-  ( ph  ->  B  e.  ( XRV/𝑐  <_  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    e. wcel 1887   {crab 2741   U.cuni 4198   class class class wbr 4402   `'ccnv 4833   dom cdm 4834   "cima 4837   Fun wfun 5576   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   RRcr 9538    <_ cle 9676  Probcprb 29240  rRndVarcrrv 29273  ∘RV/𝑐corvc 29288
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-ioo 11639  df-topgen 15342  df-top 19921  df-bases 19922  df-esum 28849  df-siga 28930  df-sigagen 28961  df-brsiga 29004  df-meas 29018  df-mbfm 29073  df-prob 29241  df-rrv 29274  df-orvc 29289
This theorem is referenced by:  dstfrvunirn  29307
  Copyright terms: Public domain W3C validator