Theorem dstfrvel 29306

Description: Elementhood of preimage maps produced by the "lower than or equal" relation. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
dstfrv.1	|- ( ph -> P e. Prob )
dstfrv.2	|- ( ph -> X e. (rRndVar ` P ) )
orvclteel.1	|- ( ph -> A e. RR )
dstfrvel.1	|- ( ph -> B e. U. dom P )
dstfrvel.2	|- ( ph -> ( X ` B ) <_ A )

Assertion

Ref	Expression
dstfrvel	|- ( ph -> B e. ( X∘RV/𝑐 <_ A ) )

Proof of Theorem dstfrvel

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dstfrv.1	. . . . . 6 |- ( ph -> P e. Prob )
2		dstfrv.2	. . . . . 6 |- ( ph -> X e. (rRndVar ` P ) )
3	1, 2	rrvvf 29277	. . . . 5 |- ( ph -> X : U. dom P --> RR )
4		dstfrvel.1	. . . . 5 |- ( ph -> B e. U. dom P )
5	3, 4	ffvelrnd 6023	. . . 4 |- ( ph -> ( X ` B ) e. RR )
6		dstfrvel.2	. . . 4 |- ( ph -> ( X ` B ) <_ A )
7		breq1 4405	. . . . 5 |- ( x = ( X ` B ) -> ( x <_ A <-> ( X ` B ) <_ A ) )
8	7	elrab 3196	. . . 4 |- ( ( X ` B ) e. { x e. RR | x <_ A } <-> ( ( X ` B ) e. RR /\ ( X ` B ) <_ A ) )
9	5, 6, 8	sylanbrc 670	. . 3 |- ( ph -> ( X ` B ) e. { x e. RR | x <_ A } )
10		ffun 5731	. . . . 5 |- ( X : U. dom P --> RR -> Fun X )
11	3, 10	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> Fun X )
12	1, 2	rrvdm 29279	. . . . 5 |- ( ph -> dom X = U. dom P )
13	4, 12	eleqtrrd 2532	. . . 4 |- ( ph -> B e. dom X )
14		fvimacnv 5997	. . . 4 |- ( ( Fun X /\ B e. dom X ) -> ( ( X ` B ) e. { x e. RR | x <_ A } <-> B e. ( `' X " { x e. RR | x <_ A } ) ) )
15	11, 13, 14	syl2anc 667	. . 3 |- ( ph -> ( ( X ` B ) e. { x e. RR | x <_ A } <-> B e. ( `' X " { x e. RR | x <_ A } ) ) )
16	9, 15	mpbid 214	. 2 |- ( ph -> B e. ( `' X " { x e. RR | x <_ A } ) )
17		orvclteel.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
18	1, 2, 17	orrvcval4 29297	. 2 |- ( ph -> ( X∘RV/𝑐 <_ A ) = ( `' X " { x e. RR | x <_ A } ) )
19	16, 18	eleqtrrd 2532	1 |- ( ph -> B e. ( X∘RV/𝑐 <_ A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   e. wcel 1887   {crab 2741   U.cuni 4198   class class class wbr 4402   `'ccnv 4833   dom cdm 4834   "cima 4837   Fun wfun 5576   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   RRcr 9538   <_ cle 9676  Probcprb 29240  rRndVarcrrv 29273  ∘_RV/𝑐corvc 29288

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-ioo 11639  df-topgen 15342  df-top 19921  df-bases 19922  df-esum 28849  df-siga 28930  df-sigagen 28961  df-brsiga 29004  df-meas 29018  df-mbfm 29073  df-prob 29241  df-rrv 29274  df-orvc 29289

This theorem is referenced by:  dstfrvunirn  29307