Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dstfrvclim1 Structured version   Unicode version

Theorem dstfrvclim1 26859
Description: The limit of the cumulative distribution function is one. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Feb-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
dstfrv.1  |-  ( ph  ->  P  e. Prob )
dstfrv.2  |-  ( ph  ->  X  e.  (rRndVar `  P
) )
dstfrv.3  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  RR  |->  ( P `
 ( XRV/𝑐  <_  x ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
dstfrvclim1  |-  ( ph  ->  F  ~~>  1 )
Distinct variable groups:    x, P    x, X    ph, x
Allowed substitution hint:    F( x)

Proof of Theorem dstfrvclim1
Dummy variables  i 
a  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2442 . . . . 5  |-  ( TopOpen `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )  =  ( TopOpen `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )
2 dstfrv.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P  e. Prob )
3 domprobmeas 26792 . . . . . 6  |-  ( P  e. Prob  ->  P  e.  (measures `  dom  P ) )
42, 3syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  P  e.  (measures `  dom  P ) )
52adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  P  e. Prob
)
6 dstfrv.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  (rRndVar `  P
) )
76adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  X  e.  (rRndVar `  P )
)
8 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  i  e.  NN )
98nnred 10336 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  i  e.  RR )
105, 7, 9orvclteel 26854 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  ( XRV/𝑐  <_  i )  e.  dom  P
)
11 eqid 2442 . . . . . 6  |-  ( i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) )  =  ( i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) )
1210, 11fmptd 5866 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) : NN --> dom  P )
132adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  P  e. Prob
)
146adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  X  e.  (rRndVar `  P )
)
15 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
1615nnred 10336 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  RR )
1715peano2nnd 10338 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  +  1 )  e.  NN )
1817nnred 10336 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  +  1 )  e.  RR )
1916lep1d 10263 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  <_ 
( n  +  1 ) )
2013, 14, 16, 18, 19orvclteinc 26857 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( XRV/𝑐  <_  n )  C_  ( XRV/𝑐  <_  (
n  +  1 ) ) )
21 eqidd 2443 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) )  =  ( i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) )
22 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  i  =  n )  ->  i  =  n )
2322oveq2d 6106 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  i  =  n )  ->  ( XRV/𝑐  <_ 
i )  =  ( XRV/𝑐  <_  n ) )
2413, 14, 16orvclteel 26854 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( XRV/𝑐  <_  n )  e.  dom  P
)
2521, 23, 15, 24fvmptd 5778 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) `  n )  =  ( XRV/𝑐  <_  n ) )
26 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  i  =  ( n  + 
1 ) )  -> 
i  =  ( n  +  1 ) )
2726oveq2d 6106 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  i  =  ( n  + 
1 ) )  -> 
( XRV/𝑐  <_  i )  =  ( XRV/𝑐  <_  ( n  +  1 ) ) )
2813, 14, 18orvclteel 26854 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( XRV/𝑐  <_  ( n  +  1 ) )  e.  dom  P
)
2921, 27, 17, 28fvmptd 5778 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) `  ( n  +  1
) )  =  ( XRV/𝑐  <_  ( n  +  1 ) ) )
3020, 25, 293sstr4d 3398 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) `  n )  C_  (
( i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) `  ( n  +  1
) ) )
311, 4, 12, 30meascnbl 26632 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( P  o.  (
i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) ) ( ~~> t `  ( TopOpen
`  ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
) ) ) ( P `  U. ran  ( i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) ) )
32 measfn 26617 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  (measures `  dom  P )  ->  P  Fn  dom  P )
33 dffn5 5736 . . . . . . . . 9  |-  ( P  Fn  dom  P  <->  P  =  ( a  e.  dom  P 
|->  ( P `  a
) ) )
3433biimpi 194 . . . . . . . 8  |-  ( P  Fn  dom  P  ->  P  =  ( a  e.  dom  P  |->  ( P `
 a ) ) )
354, 32, 343syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  =  ( a  e.  dom  P  |->  ( P `  a ) ) )
36 prob01 26795 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e. Prob  /\  a  e.  dom  P )  -> 
( P `  a
)  e.  ( 0 [,] 1 ) )
372, 36sylan 471 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  dom  P )  ->  ( P `  a )  e.  ( 0 [,] 1
) )
3835, 37fmpt3d 25972 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P : dom  P --> ( 0 [,] 1
) )
39 fco 5567 . . . . . 6  |-  ( ( P : dom  P --> ( 0 [,] 1
)  /\  ( i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) : NN --> dom  P )  ->  ( P  o.  (
i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) ) : NN --> ( 0 [,] 1 ) )
4038, 12, 39syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( P  o.  (
i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) ) : NN --> ( 0 [,] 1 ) )
412, 6dstfrvunirn 26856 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U. ran  ( i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) )  =  U. dom  P )
422unveldomd 26797 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U. dom  P  e. 
dom  P )
4341, 42eqeltrd 2516 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U. ran  ( i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) )  e.  dom  P )
44 prob01 26795 . . . . . 6  |-  ( ( P  e. Prob  /\  U. ran  ( i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) )  e. 
dom  P )  -> 
( P `  U. ran  ( i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
452, 43, 44syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( P `  U. ran  ( i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
46 0xr 9429 . . . . . 6  |-  0  e.  RR*
47 pnfxr 11091 . . . . . 6  |- +oo  e.  RR*
48 0le0 10410 . . . . . 6  |-  0  <_  0
49 1re 9384 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
50 ltpnf 11101 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  RR  ->  1  < +oo )
5149, 50ax-mp 5 . . . . . 6  |-  1  < +oo
52 iccssico 11366 . . . . . 6  |-  ( ( ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  /\  (
0  <_  0  /\  1  < +oo ) )  -> 
( 0 [,] 1
)  C_  ( 0 [,) +oo ) )
5346, 47, 48, 51, 52mp4an 673 . . . . 5  |-  ( 0 [,] 1 )  C_  ( 0 [,) +oo )
541, 40, 45, 53lmlimxrge0 26377 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( P  o.  ( i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) ) ( ~~> t `  ( TopOpen
`  ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
) ) ) ( P `  U. ran  ( i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) )  <-> 
( P  o.  (
i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) )  ~~>  ( P `  U. ran  ( i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) ) ) )
5531, 54mpbid 210 . . 3  |-  ( ph  ->  ( P  o.  (
i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) )  ~~>  ( P `  U. ran  ( i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) ) )
56 eqidd 2443 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) )  =  ( i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) )
57 fveq2 5690 . . . . 5  |-  ( a  =  ( XRV/𝑐  <_  i )  ->  ( P `  a )  =  ( P `  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) )
5810, 56, 35, 57fmptco 5875 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( P  o.  (
i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) )  =  ( i  e.  NN  |->  ( P `  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) ) )
59 dstfrv.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  RR  |->  ( P `
 ( XRV/𝑐  <_  x ) ) ) )
6059adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  F  =  ( x  e.  RR  |->  ( P `  ( XRV/𝑐  <_  x ) ) ) )
61 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  NN )  /\  x  =  i )  ->  x  =  i )
6261oveq2d 6106 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  NN )  /\  x  =  i )  -> 
( XRV/𝑐  <_  x )  =  ( XRV/𝑐  <_  i ) )
6362fveq2d 5694 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  NN )  /\  x  =  i )  -> 
( P `  ( XRV/𝑐  <_  x ) )  =  ( P `  ( XRV/𝑐  <_ 
i ) ) )
645, 10probvalrnd 26806 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  ( P `
 ( XRV/𝑐  <_  i ) )  e.  RR )
6560, 63, 9, 64fvmptd 5778 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  ( F `
 i )  =  ( P `  ( XRV/𝑐  <_ 
i ) ) )
6665mpteq2dva 4377 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( i  e.  NN  |->  ( F `  i ) )  =  ( i  e.  NN  |->  ( P `
 ( XRV/𝑐  <_  i ) ) ) )
6758, 66eqtr4d 2477 . . 3  |-  ( ph  ->  ( P  o.  (
i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) )  =  ( i  e.  NN  |->  ( F `  i ) ) )
6841fveq2d 5694 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( P `  U. ran  ( i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) )  =  ( P `  U. dom  P ) )
69 probtot 26794 . . . . 5  |-  ( P  e. Prob  ->  ( P `  U. dom  P )  =  1 )
702, 69syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( P `  U. dom  P )  =  1 )
7168, 70eqtrd 2474 . . 3  |-  ( ph  ->  ( P `  U. ran  ( i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) )  =  1 )
7255, 67, 713brtr3d 4320 . 2  |-  ( ph  ->  ( i  e.  NN  |->  ( F `  i ) )  ~~>  1 )
73 1z 10675 . . 3  |-  1  e.  ZZ
74 reex 9372 . . . . 5  |-  RR  e.  _V
7574mptex 5947 . . . 4  |-  ( x  e.  RR  |->  ( P `
 ( XRV/𝑐  <_  x ) ) )  e.  _V
7659, 75syl6eqel 2530 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  _V )
77 nnuz 10895 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
78 eqid 2442 . . . 4  |-  ( i  e.  NN  |->  ( F `
 i ) )  =  ( i  e.  NN  |->  ( F `  i ) )
7977, 78climmpt 13048 . . 3  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  F  e.  _V )  ->  ( F  ~~>  1  <->  (
i  e.  NN  |->  ( F `  i ) )  ~~>  1 ) )
8073, 76, 79sylancr 663 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  ~~>  1  <->  (
i  e.  NN  |->  ( F `  i ) )  ~~>  1 ) )
8172, 80mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  F  ~~>  1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2971    C_ wss 3327   U.cuni 4090   class class class wbr 4291    e. cmpt 4349   dom cdm 4839   ran crn 4840    o. ccom 4843    Fn wfn 5412   -->wf 5413   ` cfv 5417  (class class class)co 6090   RRcr 9280   0cc0 9281   1c1 9282    + caddc 9284   +oocpnf 9414   RR*cxr 9416    < clt 9417    <_ cle 9418   NNcn 10321   ZZcz 10645   [,)cico 11301   [,]cicc 11302    ~~> cli 12961   ↾s cress 14174   TopOpenctopn 14359   RR*scxrs 14437   ~~> tclm 18829  measurescmeas 26608  Probcprb 26789  rRndVarcrrv 26822  ∘RV/𝑐corvc 26837
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4402  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-inf2 7846  ax-ac2 8631  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358  ax-pre-sup 9359  ax-addf 9360  ax-mulf 9361
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-int 4128  df-iun 4172  df-iin 4173  df-disj 4262  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-se 4679  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-isom 5426  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-1o 6919  df-2o 6920  df-oadd 6923  df-er 7100  df-map 7215  df-pm 7216  df-ixp 7263  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-fin 7313  df-fsupp 7620  df-fi 7660  df-sup 7690  df-oi 7723  df-card 8108  df-acn 8111  df-ac 8285  df-cda 8336  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-div 9993  df-nn 10322  df-2 10379  df-3 10380  df-4 10381  df-5 10382  df-6 10383  df-7 10384  df-8 10385  df-9 10386  df-10 10387  df-n0 10579  df-z 10646  df-dec 10755  df-uz 10861  df-q 10953  df-rp 10991  df-xneg 11088  df-xadd 11089  df-xmul 11090  df-ioo 11303  df-ioc 11304  df-ico 11305  df-icc 11306  df-fz 11437  df-fzo 11548  df-fl 11641  df-mod 11708  df-seq 11806  df-exp 11865  df-fac 12051  df-bc 12078  df-hash 12103  df-shft 12555  df-cj 12587  df-re 12588  df-im 12589  df-sqr 12723  df-abs 12724  df-limsup 12948  df-clim 12965  df-rlim 12966  df-sum 13163  df-ef 13352  df-sin 13354  df-cos 13355  df-pi 13357  df-struct 14175  df-ndx 14176  df-slot 14177  df-base 14178  df-sets 14179  df-ress 14180  df-plusg 14250  df-mulr 14251  df-starv 14252  df-sca 14253  df-vsca 14254  df-ip 14255  df-tset 14256  df-ple 14257  df-ds 14259  df-unif 14260  df-hom 14261  df-cco 14262  df-rest 14360  df-topn 14361  df-0g 14379  df-gsum 14380  df-topgen 14381  df-pt 14382  df-prds 14385  df-ordt 14438  df-xrs 14439  df-qtop 14444  df-imas 14445  df-xps 14447  df-mre 14523  df-mrc 14524  df-acs 14526  df-ps 15369  df-tsr 15370  df-mnd 15414  df-plusf 15415  df-mhm 15463  df-submnd 15464  df-grp 15544  df-minusg 15545  df-sbg 15546  df-mulg 15547  df-subg 15677  df-cntz 15834  df-cmn 16278  df-abl 16279  df-mgp 16591  df-ur 16603  df-rng 16646  df-cring 16647  df-subrg 16862  df-abv 16901  df-lmod 16949  df-scaf 16950  df-sra 17252  df-rgmod 17253  df-psmet 17808  df-xmet 17809  df-met 17810  df-bl 17811  df-mopn 17812  df-fbas 17813  df-fg 17814  df-cnfld 17818  df-top 18502  df-bases 18504  df-topon 18505  df-topsp 18506  df-cld 18622  df-ntr 18623  df-cls 18624  df-nei 18701  df-lp 18739  df-perf 18740  df-cn 18830  df-cnp 18831  df-lm 18832  df-haus 18918  df-tx 19134  df-hmeo 19327  df-fil 19418  df-fm 19510  df-flim 19511  df-flf 19512  df-tmd 19642  df-tgp 19643  df-tsms 19696  df-trg 19733  df-xms 19894  df-ms 19895  df-tms 19896  df-nm 20174  df-ngp 20175  df-nrg 20177  df-nlm 20178  df-ii 20452  df-cncf 20453  df-limc 21340  df-dv 21341  df-log 22007  df-esum 26483  df-siga 26550  df-sigagen 26581  df-brsiga 26595  df-meas 26609  df-mbfm 26665  df-prob 26790  df-rrv 26823  df-orvc 26838
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator