Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dstfrvclim1 Structured version   Unicode version

Theorem dstfrvclim1 28394
Description: The limit of the cumulative distribution function is one. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Feb-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
dstfrv.1  |-  ( ph  ->  P  e. Prob )
dstfrv.2  |-  ( ph  ->  X  e.  (rRndVar `  P
) )
dstfrv.3  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  RR  |->  ( P `
 ( XRV/𝑐  <_  x ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
dstfrvclim1  |-  ( ph  ->  F  ~~>  1 )
Distinct variable groups:    x, P    x, X    ph, x
Allowed substitution hint:    F( x)

Proof of Theorem dstfrvclim1
Dummy variables  i 
a  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( TopOpen `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )  =  ( TopOpen `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )
2 dstfrv.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P  e. Prob )
3 domprobmeas 28327 . . . . . 6  |-  ( P  e. Prob  ->  P  e.  (measures `  dom  P ) )
42, 3syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  P  e.  (measures `  dom  P ) )
52adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  P  e. Prob
)
6 dstfrv.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  (rRndVar `  P
) )
76adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  X  e.  (rRndVar `  P )
)
8 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  i  e.  NN )
98nnred 10558 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  i  e.  RR )
105, 7, 9orvclteel 28389 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  ( XRV/𝑐  <_  i )  e.  dom  P
)
11 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) )  =  ( i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) )
1210, 11fmptd 6040 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) : NN --> dom  P )
132adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  P  e. Prob
)
146adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  X  e.  (rRndVar `  P )
)
15 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
1615nnred 10558 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  RR )
1715peano2nnd 10560 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  +  1 )  e.  NN )
1817nnred 10558 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  +  1 )  e.  RR )
1916lep1d 10484 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  <_ 
( n  +  1 ) )
2013, 14, 16, 18, 19orvclteinc 28392 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( XRV/𝑐  <_  n )  C_  ( XRV/𝑐  <_  (
n  +  1 ) ) )
21 eqidd 2444 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) )  =  ( i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) )
22 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  i  =  n )  ->  i  =  n )
2322oveq2d 6297 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  i  =  n )  ->  ( XRV/𝑐  <_ 
i )  =  ( XRV/𝑐  <_  n ) )
2413, 14, 16orvclteel 28389 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( XRV/𝑐  <_  n )  e.  dom  P
)
2521, 23, 15, 24fvmptd 5946 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) `  n )  =  ( XRV/𝑐  <_  n ) )
26 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  i  =  ( n  + 
1 ) )  -> 
i  =  ( n  +  1 ) )
2726oveq2d 6297 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  i  =  ( n  + 
1 ) )  -> 
( XRV/𝑐  <_  i )  =  ( XRV/𝑐  <_  ( n  +  1 ) ) )
2813, 14, 18orvclteel 28389 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( XRV/𝑐  <_  ( n  +  1 ) )  e.  dom  P
)
2921, 27, 17, 28fvmptd 5946 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) `  ( n  +  1
) )  =  ( XRV/𝑐  <_  ( n  +  1 ) ) )
3020, 25, 293sstr4d 3532 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) `  n )  C_  (
( i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) `  ( n  +  1
) ) )
311, 4, 12, 30meascnbl 28168 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( P  o.  (
i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) ) ( ~~> t `  ( TopOpen
`  ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
) ) ) ( P `  U. ran  ( i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) ) )
32 measfn 28153 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  (measures `  dom  P )  ->  P  Fn  dom  P )
33 dffn5 5903 . . . . . . . . 9  |-  ( P  Fn  dom  P  <->  P  =  ( a  e.  dom  P 
|->  ( P `  a
) ) )
3433biimpi 194 . . . . . . . 8  |-  ( P  Fn  dom  P  ->  P  =  ( a  e.  dom  P  |->  ( P `
 a ) ) )
354, 32, 343syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  =  ( a  e.  dom  P  |->  ( P `  a ) ) )
36 prob01 28330 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e. Prob  /\  a  e.  dom  P )  -> 
( P `  a
)  e.  ( 0 [,] 1 ) )
372, 36sylan 471 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  dom  P )  ->  ( P `  a )  e.  ( 0 [,] 1
) )
3835, 37fmpt3d 27474 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P : dom  P --> ( 0 [,] 1
) )
39 fco 5731 . . . . . 6  |-  ( ( P : dom  P --> ( 0 [,] 1
)  /\  ( i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) : NN --> dom  P )  ->  ( P  o.  (
i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) ) : NN --> ( 0 [,] 1 ) )
4038, 12, 39syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( P  o.  (
i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) ) : NN --> ( 0 [,] 1 ) )
412, 6dstfrvunirn 28391 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U. ran  ( i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) )  =  U. dom  P )
422unveldomd 28332 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U. dom  P  e. 
dom  P )
4341, 42eqeltrd 2531 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U. ran  ( i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) )  e.  dom  P )
44 prob01 28330 . . . . . 6  |-  ( ( P  e. Prob  /\  U. ran  ( i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) )  e. 
dom  P )  -> 
( P `  U. ran  ( i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
452, 43, 44syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( P `  U. ran  ( i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
46 0xr 9643 . . . . . 6  |-  0  e.  RR*
47 pnfxr 11332 . . . . . 6  |- +oo  e.  RR*
48 0le0 10632 . . . . . 6  |-  0  <_  0
49 1re 9598 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
50 ltpnf 11342 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  RR  ->  1  < +oo )
5149, 50ax-mp 5 . . . . . 6  |-  1  < +oo
52 iccssico 11607 . . . . . 6  |-  ( ( ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  /\  (
0  <_  0  /\  1  < +oo ) )  -> 
( 0 [,] 1
)  C_  ( 0 [,) +oo ) )
5346, 47, 48, 51, 52mp4an 673 . . . . 5  |-  ( 0 [,] 1 )  C_  ( 0 [,) +oo )
541, 40, 45, 53lmlimxrge0 27908 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( P  o.  ( i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) ) ( ~~> t `  ( TopOpen
`  ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
) ) ) ( P `  U. ran  ( i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) )  <-> 
( P  o.  (
i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) )  ~~>  ( P `  U. ran  ( i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) ) ) )
5531, 54mpbid 210 . . 3  |-  ( ph  ->  ( P  o.  (
i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) )  ~~>  ( P `  U. ran  ( i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) ) )
56 eqidd 2444 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) )  =  ( i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) )
57 fveq2 5856 . . . . 5  |-  ( a  =  ( XRV/𝑐  <_  i )  ->  ( P `  a )  =  ( P `  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) )
5810, 56, 35, 57fmptco 6049 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( P  o.  (
i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) )  =  ( i  e.  NN  |->  ( P `  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) ) )
59 dstfrv.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  RR  |->  ( P `
 ( XRV/𝑐  <_  x ) ) ) )
6059adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  F  =  ( x  e.  RR  |->  ( P `  ( XRV/𝑐  <_  x ) ) ) )
61 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  NN )  /\  x  =  i )  ->  x  =  i )
6261oveq2d 6297 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  NN )  /\  x  =  i )  -> 
( XRV/𝑐  <_  x )  =  ( XRV/𝑐  <_  i ) )
6362fveq2d 5860 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  NN )  /\  x  =  i )  -> 
( P `  ( XRV/𝑐  <_  x ) )  =  ( P `  ( XRV/𝑐  <_ 
i ) ) )
645, 10probvalrnd 28341 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  ( P `
 ( XRV/𝑐  <_  i ) )  e.  RR )
6560, 63, 9, 64fvmptd 5946 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  ( F `
 i )  =  ( P `  ( XRV/𝑐  <_ 
i ) ) )
6665mpteq2dva 4523 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( i  e.  NN  |->  ( F `  i ) )  =  ( i  e.  NN  |->  ( P `
 ( XRV/𝑐  <_  i ) ) ) )
6758, 66eqtr4d 2487 . . 3  |-  ( ph  ->  ( P  o.  (
i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) )  =  ( i  e.  NN  |->  ( F `  i ) ) )
6841fveq2d 5860 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( P `  U. ran  ( i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) )  =  ( P `  U. dom  P ) )
69 probtot 28329 . . . . 5  |-  ( P  e. Prob  ->  ( P `  U. dom  P )  =  1 )
702, 69syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( P `  U. dom  P )  =  1 )
7168, 70eqtrd 2484 . . 3  |-  ( ph  ->  ( P `  U. ran  ( i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) )  =  1 )
7255, 67, 713brtr3d 4466 . 2  |-  ( ph  ->  ( i  e.  NN  |->  ( F `  i ) )  ~~>  1 )
73 1z 10901 . . 3  |-  1  e.  ZZ
74 reex 9586 . . . . 5  |-  RR  e.  _V
7574mptex 6128 . . . 4  |-  ( x  e.  RR  |->  ( P `
 ( XRV/𝑐  <_  x ) ) )  e.  _V
7659, 75syl6eqel 2539 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  _V )
77 nnuz 11127 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
78 eqid 2443 . . . 4  |-  ( i  e.  NN  |->  ( F `
 i ) )  =  ( i  e.  NN  |->  ( F `  i ) )
7977, 78climmpt 13376 . . 3  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  F  e.  _V )  ->  ( F  ~~>  1  <->  (
i  e.  NN  |->  ( F `  i ) )  ~~>  1 ) )
8073, 76, 79sylancr 663 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  ~~>  1  <->  (
i  e.  NN  |->  ( F `  i ) )  ~~>  1 ) )
8172, 80mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  F  ~~>  1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804   _Vcvv 3095    C_ wss 3461   U.cuni 4234   class class class wbr 4437    |-> cmpt 4495   dom cdm 4989   ran crn 4990    o. ccom 4993    Fn wfn 5573   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   RRcr 9494   0cc0 9495   1c1 9496    + caddc 9498   +oocpnf 9628   RR*cxr 9630    < clt 9631    <_ cle 9632   NNcn 10543   ZZcz 10871   [,)cico 11542   [,]cicc 11543    ~~> cli 13289   ↾s cress 14615   TopOpenctopn 14801   RR*scxrs 14879   ~~> tclm 19705  measurescmeas 28144  Probcprb 28324  rRndVarcrrv 28357  ∘RV/𝑐corvc 28372
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-ac2 8846  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573  ax-addf 9574  ax-mulf 9575
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-disj 4408  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-fi 7873  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-acn 8326  df-ac 8500  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-7 10606  df-8 10607  df-9 10608  df-10 10609  df-n0 10803  df-z 10872  df-dec 10987  df-uz 11093  df-q 11194  df-rp 11232  df-xneg 11329  df-xadd 11330  df-xmul 11331  df-ioo 11544  df-ioc 11545  df-ico 11546  df-icc 11547  df-fz 11684  df-fzo 11807  df-fl 11911  df-mod 11979  df-seq 12090  df-exp 12149  df-fac 12336  df-bc 12363  df-hash 12388  df-shft 12882  df-cj 12914  df-re 12915  df-im 12916  df-sqrt 13050  df-abs 13051  df-limsup 13276  df-clim 13293  df-rlim 13294  df-sum 13491  df-ef 13785  df-sin 13787  df-cos 13788  df-pi 13790  df-struct 14616  df-ndx 14617  df-slot 14618  df-base 14619  df-sets 14620  df-ress 14621  df-plusg 14692  df-mulr 14693  df-starv 14694  df-sca 14695  df-vsca 14696  df-ip 14697  df-tset 14698  df-ple 14699  df-ds 14701  df-unif 14702  df-hom 14703  df-cco 14704  df-rest 14802  df-topn 14803  df-0g 14821  df-gsum 14822  df-topgen 14823  df-pt 14824  df-prds 14827  df-ordt 14880  df-xrs 14881  df-qtop 14886  df-imas 14887  df-xps 14889  df-mre 14965  df-mrc 14966  df-acs 14968  df-ps 15809  df-tsr 15810  df-plusf 15850  df-mgm 15851  df-sgrp 15890  df-mnd 15900  df-mhm 15945  df-submnd 15946  df-grp 16036  df-minusg 16037  df-sbg 16038  df-mulg 16039  df-subg 16177  df-cntz 16334  df-cmn 16779  df-abl 16780  df-mgp 17121  df-ur 17133  df-ring 17179  df-cring 17180  df-subrg 17406  df-abv 17445  df-lmod 17493  df-scaf 17494  df-sra 17797  df-rgmod 17798  df-psmet 18390  df-xmet 18391  df-met 18392  df-bl 18393  df-mopn 18394  df-fbas 18395  df-fg 18396  df-cnfld 18400  df-top 19377  df-bases 19379  df-topon 19380  df-topsp 19381  df-cld 19498  df-ntr 19499  df-cls 19500  df-nei 19577  df-lp 19615  df-perf 19616  df-cn 19706  df-cnp 19707  df-lm 19708  df-haus 19794  df-tx 20041  df-hmeo 20234  df-fil 20325  df-fm 20417  df-flim 20418  df-flf 20419  df-tmd 20549  df-tgp 20550  df-tsms 20603  df-trg 20640  df-xms 20801  df-ms 20802  df-tms 20803  df-nm 21081  df-ngp 21082  df-nrg 21084  df-nlm 21085  df-ii 21359  df-cncf 21360  df-limc 22248  df-dv 22249  df-log 22922  df-esum 28019  df-siga 28086  df-sigagen 28117  df-brsiga 28131  df-meas 28145  df-mbfm 28200  df-prob 28325  df-rrv 28358  df-orvc 28373
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator