Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dstfrvclim1 Structured version   Unicode version

Theorem dstfrvclim1 29318
 Description: The limit of the cumulative distribution function is one. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Feb-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
dstfrv.1 Prob
dstfrv.2 rRndVar
dstfrv.3 RV/𝑐
Assertion
Ref Expression
dstfrvclim1
Distinct variable groups:   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem dstfrvclim1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2422 . . . . 5 s s
2 dstfrv.1 . . . . . 6 Prob
3 domprobmeas 29251 . . . . . 6 Prob measures
42, 3syl 17 . . . . 5 measures
52adantr 466 . . . . . . 7 Prob
6 dstfrv.2 . . . . . . . 8 rRndVar
76adantr 466 . . . . . . 7 rRndVar
8 simpr 462 . . . . . . . 8
98nnred 10631 . . . . . . 7
105, 7, 9orvclteel 29313 . . . . . 6 RV/𝑐
11 eqid 2422 . . . . . 6 RV/𝑐 RV/𝑐
1210, 11fmptd 6061 . . . . 5 RV/𝑐
132adantr 466 . . . . . . 7 Prob
146adantr 466 . . . . . . 7 rRndVar
15 simpr 462 . . . . . . . 8
1615nnred 10631 . . . . . . 7
1715peano2nnd 10633 . . . . . . . 8
1817nnred 10631 . . . . . . 7
1916lep1d 10545 . . . . . . 7
2013, 14, 16, 18, 19orvclteinc 29316 . . . . . 6 RV/𝑐 RV/𝑐
21 eqidd 2423 . . . . . . 7 RV/𝑐 RV/𝑐
22 simpr 462 . . . . . . . 8
2322oveq2d 6321 . . . . . . 7 RV/𝑐 RV/𝑐
2413, 14, 16orvclteel 29313 . . . . . . 7 RV/𝑐
2521, 23, 15, 24fvmptd 5970 . . . . . 6 RV/𝑐 RV/𝑐
26 simpr 462 . . . . . . . 8
2726oveq2d 6321 . . . . . . 7 RV/𝑐 RV/𝑐
2813, 14, 18orvclteel 29313 . . . . . . 7 RV/𝑐
2921, 27, 17, 28fvmptd 5970 . . . . . 6 RV/𝑐 RV/𝑐
3020, 25, 293sstr4d 3507 . . . . 5 RV/𝑐 RV/𝑐
311, 4, 12, 30meascnbl 29049 . . . 4 RV/𝑐 s RV/𝑐
32 measfn 29034 . . . . . . . 8 measures
33 dffn5 5926 . . . . . . . . 9
3433biimpi 197 . . . . . . . 8
354, 32, 343syl 18 . . . . . . 7
36 prob01 29254 . . . . . . . 8 Prob
372, 36sylan 473 . . . . . . 7
3835, 37fmpt3d 6062 . . . . . 6
39 fco 5756 . . . . . 6 RV/𝑐 RV/𝑐
4038, 12, 39syl2anc 665 . . . . 5 RV/𝑐
412, 6dstfrvunirn 29315 . . . . . . 7 RV/𝑐
422unveldomd 29256 . . . . . . 7
4341, 42eqeltrd 2507 . . . . . 6 RV/𝑐
44 prob01 29254 . . . . . 6 Prob RV/𝑐 RV/𝑐
452, 43, 44syl2anc 665 . . . . 5 RV/𝑐
46 0xr 9694 . . . . . 6
47 pnfxr 11419 . . . . . 6
48 0le0 10706 . . . . . 6
49 1re 9649 . . . . . . 7
50 ltpnf 11429 . . . . . . 7
5149, 50ax-mp 5 . . . . . 6
52 iccssico 11713 . . . . . 6
5346, 47, 48, 51, 52mp4an 677 . . . . 5
541, 40, 45, 53lmlimxrge0 28762 . . . 4 RV/𝑐 s RV/𝑐 RV/𝑐 RV/𝑐
5531, 54mpbid 213 . . 3 RV/𝑐 RV/𝑐
56 eqidd 2423 . . . . 5 RV/𝑐 RV/𝑐
57 fveq2 5881 . . . . 5 RV/𝑐 RV/𝑐
5810, 56, 35, 57fmptco 6071 . . . 4 RV/𝑐 RV/𝑐
59 dstfrv.3 . . . . . . 7 RV/𝑐
6059adantr 466 . . . . . 6 RV/𝑐
61 simpr 462 . . . . . . . 8
6261oveq2d 6321 . . . . . . 7 RV/𝑐 RV/𝑐
6362fveq2d 5885 . . . . . 6 RV/𝑐 RV/𝑐
645, 10probvalrnd 29265 . . . . . 6 RV/𝑐
6560, 63, 9, 64fvmptd 5970 . . . . 5 RV/𝑐
6665mpteq2dva 4510 . . . 4 RV/𝑐
6758, 66eqtr4d 2466 . . 3 RV/𝑐
6841fveq2d 5885 . . . 4 RV/𝑐
69 probtot 29253 . . . . 5 Prob
702, 69syl 17 . . . 4
7168, 70eqtrd 2463 . . 3 RV/𝑐
7255, 67, 713brtr3d 4453 . 2
73 1z 10974 . . 3
74 reex 9637 . . . . 5
7574mptex 6151 . . . 4 RV/𝑐
7659, 75syl6eqel 2515 . . 3
77 nnuz 11201 . . . 4
78 eqid 2422 . . . 4
7977, 78climmpt 13634 . . 3
8073, 76, 79sylancr 667 . 2
8172, 80mpbird 235 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wa 370   wceq 1437   wcel 1872  cvv 3080   wss 3436  cuni 4219   class class class wbr 4423   cmpt 4482   cdm 4853   crn 4854   ccom 4857   wfn 5596  wf 5597  cfv 5601  (class class class)co 6305  cr 9545  cc0 9546  c1 9547   caddc 9549   cpnf 9679  cxr 9681   clt 9682   cle 9683  cn 10616  cz 10944  cico 11644  cicc 11645   cli 13547   ↾s cress 15121  ctopn 15319  cxrs 15397  clm 20240  measurescmeas 29025  Probcprb 29248  rRndVarcrrv 29281  ∘RV/𝑐corvc 29296 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-inf2 8155  ax-ac2 8900  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623  ax-pre-sup 9624  ax-addf 9625  ax-mulf 9626 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-iin 4302  df-disj 4395  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-2o 7194  df-oadd 7197  df-er 7374  df-map 7485  df-pm 7486  df-ixp 7534  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-fin 7584  df-fsupp 7893  df-fi 7934  df-sup 7965  df-inf 7966  df-oi 8034  df-card 8381  df-acn 8384  df-ac 8554  df-cda 8605  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xneg 11416  df-xadd 11417  df-xmul 11418  df-ioo 11646  df-ioc 11647  df-ico 11648  df-icc 11649  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-fl 12034  df-mod 12103  df-seq 12220  df-exp 12279  df-fac 12466  df-bc 12494  df-hash 12522  df-shft 13130  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-limsup 13525  df-clim 13551  df-rlim 13552  df-sum 13752  df-ef 14120  df-sin 14122  df-cos 14123  df-pi 14125  df-struct 15122  df-ndx 15123  df-slot 15124  df-base 15125  df-sets 15126  df-ress 15127  df-plusg 15202  df-mulr 15203  df-starv 15204  df-sca 15205  df-vsca 15206  df-ip 15207  df-tset 15208  df-ple 15209  df-ds 15211  df-unif 15212  df-hom 15213  df-cco 15214  df-rest 15320  df-topn 15321  df-0g 15339  df-gsum 15340  df-topgen 15341  df-pt 15342  df-prds 15345  df-ordt 15398  df-xrs 15399  df-qtop 15405  df-imas 15406  df-xps 15409  df-mre 15491  df-mrc 15492  df-acs 15494  df-ps 16445  df-tsr 16446  df-plusf 16486  df-mgm 16487  df-sgrp 16526  df-mnd 16536  df-mhm 16581  df-submnd 16582  df-grp 16672  df-minusg 16673  df-sbg 16674  df-mulg 16675  df-subg 16813  df-cntz 16970  df-cmn 17431  df-abl 17432  df-mgp 17723  df-ur 17735  df-ring 17781  df-cring 17782  df-subrg 18005  df-abv 18044  df-lmod 18092  df-scaf 18093  df-sra 18394  df-rgmod 18395  df-psmet 18961  df-xmet 18962  df-met 18963  df-bl 18964  df-mopn 18965  df-fbas 18966  df-fg 18967  df-cnfld 18970  df-top 19919  df-bases 19920  df-topon 19921  df-topsp 19922  df-cld 20032  df-ntr 20033  df-cls 20034  df-nei 20112  df-lp 20150  df-perf 20151  df-cn 20241  df-cnp 20242  df-lm 20243  df-haus 20329  df-tx 20575  df-hmeo 20768  df-fil 20859  df-fm 20951  df-flim 20952  df-flf 20953  df-tmd 21085  df-tgp 21086  df-tsms 21139  df-trg 21172  df-xms 21333  df-ms 21334  df-tms 21335  df-nm 21595  df-ngp 21596  df-nrg 21598  df-nlm 21599  df-ii 21907  df-cncf 21908  df-limc 22819  df-dv 22820  df-log 23504  df-esum 28857  df-siga 28938  df-sigagen 28969  df-brsiga 29012  df-meas 29026  df-mbfm 29081  df-prob 29249  df-rrv 29282  df-orvc 29297 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator