Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dstfrvclim1 Structured version   Unicode version

Theorem dstfrvclim1 28044
Description: The limit of the cumulative distribution function is one. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Feb-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
dstfrv.1  |-  ( ph  ->  P  e. Prob )
dstfrv.2  |-  ( ph  ->  X  e.  (rRndVar `  P
) )
dstfrv.3  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  RR  |->  ( P `
 ( XRV/𝑐  <_  x ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
dstfrvclim1  |-  ( ph  ->  F  ~~>  1 )
Distinct variable groups:    x, P    x, X    ph, x
Allowed substitution hint:    F( x)

Proof of Theorem dstfrvclim1
Dummy variables  i 
a  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2462 . . . . 5  |-  ( TopOpen `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )  =  ( TopOpen `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )
2 dstfrv.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P  e. Prob )
3 domprobmeas 27977 . . . . . 6  |-  ( P  e. Prob  ->  P  e.  (measures `  dom  P ) )
42, 3syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  P  e.  (measures `  dom  P ) )
52adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  P  e. Prob
)
6 dstfrv.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  (rRndVar `  P
) )
76adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  X  e.  (rRndVar `  P )
)
8 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  i  e.  NN )
98nnred 10542 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  i  e.  RR )
105, 7, 9orvclteel 28039 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  ( XRV/𝑐  <_  i )  e.  dom  P
)
11 eqid 2462 . . . . . 6  |-  ( i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) )  =  ( i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) )
1210, 11fmptd 6038 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) : NN --> dom  P )
132adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  P  e. Prob
)
146adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  X  e.  (rRndVar `  P )
)
15 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
1615nnred 10542 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  RR )
1715peano2nnd 10544 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  +  1 )  e.  NN )
1817nnred 10542 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  +  1 )  e.  RR )
1916lep1d 10468 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  <_ 
( n  +  1 ) )
2013, 14, 16, 18, 19orvclteinc 28042 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( XRV/𝑐  <_  n )  C_  ( XRV/𝑐  <_  (
n  +  1 ) ) )
21 eqidd 2463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) )  =  ( i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) )
22 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  i  =  n )  ->  i  =  n )
2322oveq2d 6293 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  i  =  n )  ->  ( XRV/𝑐  <_ 
i )  =  ( XRV/𝑐  <_  n ) )
2413, 14, 16orvclteel 28039 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( XRV/𝑐  <_  n )  e.  dom  P
)
2521, 23, 15, 24fvmptd 5948 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) `  n )  =  ( XRV/𝑐  <_  n ) )
26 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  i  =  ( n  + 
1 ) )  -> 
i  =  ( n  +  1 ) )
2726oveq2d 6293 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  i  =  ( n  + 
1 ) )  -> 
( XRV/𝑐  <_  i )  =  ( XRV/𝑐  <_  ( n  +  1 ) ) )
2813, 14, 18orvclteel 28039 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( XRV/𝑐  <_  ( n  +  1 ) )  e.  dom  P
)
2921, 27, 17, 28fvmptd 5948 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) `  ( n  +  1
) )  =  ( XRV/𝑐  <_  ( n  +  1 ) ) )
3020, 25, 293sstr4d 3542 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) `  n )  C_  (
( i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) `  ( n  +  1
) ) )
311, 4, 12, 30meascnbl 27818 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( P  o.  (
i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) ) ( ~~> t `  ( TopOpen
`  ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
) ) ) ( P `  U. ran  ( i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) ) )
32 measfn 27803 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  (measures `  dom  P )  ->  P  Fn  dom  P )
33 dffn5 5906 . . . . . . . . 9  |-  ( P  Fn  dom  P  <->  P  =  ( a  e.  dom  P 
|->  ( P `  a
) ) )
3433biimpi 194 . . . . . . . 8  |-  ( P  Fn  dom  P  ->  P  =  ( a  e.  dom  P  |->  ( P `
 a ) ) )
354, 32, 343syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  =  ( a  e.  dom  P  |->  ( P `  a ) ) )
36 prob01 27980 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e. Prob  /\  a  e.  dom  P )  -> 
( P `  a
)  e.  ( 0 [,] 1 ) )
372, 36sylan 471 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  dom  P )  ->  ( P `  a )  e.  ( 0 [,] 1
) )
3835, 37fmpt3d 27156 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P : dom  P --> ( 0 [,] 1
) )
39 fco 5734 . . . . . 6  |-  ( ( P : dom  P --> ( 0 [,] 1
)  /\  ( i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) : NN --> dom  P )  ->  ( P  o.  (
i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) ) : NN --> ( 0 [,] 1 ) )
4038, 12, 39syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( P  o.  (
i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) ) : NN --> ( 0 [,] 1 ) )
412, 6dstfrvunirn 28041 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U. ran  ( i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) )  =  U. dom  P )
422unveldomd 27982 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U. dom  P  e. 
dom  P )
4341, 42eqeltrd 2550 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U. ran  ( i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) )  e.  dom  P )
44 prob01 27980 . . . . . 6  |-  ( ( P  e. Prob  /\  U. ran  ( i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) )  e. 
dom  P )  -> 
( P `  U. ran  ( i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
452, 43, 44syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( P `  U. ran  ( i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
46 0xr 9631 . . . . . 6  |-  0  e.  RR*
47 pnfxr 11312 . . . . . 6  |- +oo  e.  RR*
48 0le0 10616 . . . . . 6  |-  0  <_  0
49 1re 9586 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
50 ltpnf 11322 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  RR  ->  1  < +oo )
5149, 50ax-mp 5 . . . . . 6  |-  1  < +oo
52 iccssico 11587 . . . . . 6  |-  ( ( ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  /\  (
0  <_  0  /\  1  < +oo ) )  -> 
( 0 [,] 1
)  C_  ( 0 [,) +oo ) )
5346, 47, 48, 51, 52mp4an 673 . . . . 5  |-  ( 0 [,] 1 )  C_  ( 0 [,) +oo )
541, 40, 45, 53lmlimxrge0 27554 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( P  o.  ( i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) ) ( ~~> t `  ( TopOpen
`  ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
) ) ) ( P `  U. ran  ( i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) )  <-> 
( P  o.  (
i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) )  ~~>  ( P `  U. ran  ( i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) ) ) )
5531, 54mpbid 210 . . 3  |-  ( ph  ->  ( P  o.  (
i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) )  ~~>  ( P `  U. ran  ( i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) ) )
56 eqidd 2463 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) )  =  ( i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) )
57 fveq2 5859 . . . . 5  |-  ( a  =  ( XRV/𝑐  <_  i )  ->  ( P `  a )  =  ( P `  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) )
5810, 56, 35, 57fmptco 6047 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( P  o.  (
i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) )  =  ( i  e.  NN  |->  ( P `  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) ) )
59 dstfrv.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  RR  |->  ( P `
 ( XRV/𝑐  <_  x ) ) ) )
6059adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  F  =  ( x  e.  RR  |->  ( P `  ( XRV/𝑐  <_  x ) ) ) )
61 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  NN )  /\  x  =  i )  ->  x  =  i )
6261oveq2d 6293 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  NN )  /\  x  =  i )  -> 
( XRV/𝑐  <_  x )  =  ( XRV/𝑐  <_  i ) )
6362fveq2d 5863 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  NN )  /\  x  =  i )  -> 
( P `  ( XRV/𝑐  <_  x ) )  =  ( P `  ( XRV/𝑐  <_ 
i ) ) )
645, 10probvalrnd 27991 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  ( P `
 ( XRV/𝑐  <_  i ) )  e.  RR )
6560, 63, 9, 64fvmptd 5948 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  ( F `
 i )  =  ( P `  ( XRV/𝑐  <_ 
i ) ) )
6665mpteq2dva 4528 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( i  e.  NN  |->  ( F `  i ) )  =  ( i  e.  NN  |->  ( P `
 ( XRV/𝑐  <_  i ) ) ) )
6758, 66eqtr4d 2506 . . 3  |-  ( ph  ->  ( P  o.  (
i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) )  =  ( i  e.  NN  |->  ( F `  i ) ) )
6841fveq2d 5863 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( P `  U. ran  ( i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) )  =  ( P `  U. dom  P ) )
69 probtot 27979 . . . . 5  |-  ( P  e. Prob  ->  ( P `  U. dom  P )  =  1 )
702, 69syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( P `  U. dom  P )  =  1 )
7168, 70eqtrd 2503 . . 3  |-  ( ph  ->  ( P `  U. ran  ( i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) )  =  1 )
7255, 67, 713brtr3d 4471 . 2  |-  ( ph  ->  ( i  e.  NN  |->  ( F `  i ) )  ~~>  1 )
73 1z 10885 . . 3  |-  1  e.  ZZ
74 reex 9574 . . . . 5  |-  RR  e.  _V
7574mptex 6124 . . . 4  |-  ( x  e.  RR  |->  ( P `
 ( XRV/𝑐  <_  x ) ) )  e.  _V
7659, 75syl6eqel 2558 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  _V )
77 nnuz 11108 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
78 eqid 2462 . . . 4  |-  ( i  e.  NN  |->  ( F `
 i ) )  =  ( i  e.  NN  |->  ( F `  i ) )
7977, 78climmpt 13345 . . 3  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  F  e.  _V )  ->  ( F  ~~>  1  <->  (
i  e.  NN  |->  ( F `  i ) )  ~~>  1 ) )
8073, 76, 79sylancr 663 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  ~~>  1  <->  (
i  e.  NN  |->  ( F `  i ) )  ~~>  1 ) )
8172, 80mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  F  ~~>  1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   _Vcvv 3108    C_ wss 3471   U.cuni 4240   class class class wbr 4442    |-> cmpt 4500   dom cdm 4994   ran crn 4995    o. ccom 4998    Fn wfn 5576   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   RRcr 9482   0cc0 9483   1c1 9484    + caddc 9486   +oocpnf 9616   RR*cxr 9618    < clt 9619    <_ cle 9620   NNcn 10527   ZZcz 10855   [,)cico 11522   [,]cicc 11523    ~~> cli 13258   ↾s cress 14482   TopOpenctopn 14668   RR*scxrs 14746   ~~> tclm 19488  measurescmeas 27794  Probcprb 27974  rRndVarcrrv 28007  ∘RV/𝑐corvc 28022
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-inf2 8049  ax-ac2 8834  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-pre-sup 9561  ax-addf 9562  ax-mulf 9563
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-iin 4323  df-disj 4413  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-se 4834  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6517  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-supp 6894  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7462  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-fsupp 7821  df-fi 7862  df-sup 7892  df-oi 7926  df-card 8311  df-acn 8314  df-ac 8488  df-cda 8539  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10198  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-4 10587  df-5 10588  df-6 10589  df-7 10590  df-8 10591  df-9 10592  df-10 10593  df-n0 10787  df-z 10856  df-dec 10968  df-uz 11074  df-q 11174  df-rp 11212  df-xneg 11309  df-xadd 11310  df-xmul 11311  df-ioo 11524  df-ioc 11525  df-ico 11526  df-icc 11527  df-fz 11664  df-fzo 11784  df-fl 11888  df-mod 11955  df-seq 12066  df-exp 12125  df-fac 12311  df-bc 12338  df-hash 12363  df-shft 12852  df-cj 12884  df-re 12885  df-im 12886  df-sqr 13020  df-abs 13021  df-limsup 13245  df-clim 13262  df-rlim 13263  df-sum 13460  df-ef 13656  df-sin 13658  df-cos 13659  df-pi 13661  df-struct 14483  df-ndx 14484  df-slot 14485  df-base 14486  df-sets 14487  df-ress 14488  df-plusg 14559  df-mulr 14560  df-starv 14561  df-sca 14562  df-vsca 14563  df-ip 14564  df-tset 14565  df-ple 14566  df-ds 14568  df-unif 14569  df-hom 14570  df-cco 14571  df-rest 14669  df-topn 14670  df-0g 14688  df-gsum 14689  df-topgen 14690  df-pt 14691  df-prds 14694  df-ordt 14747  df-xrs 14748  df-qtop 14753  df-imas 14754  df-xps 14756  df-mre 14832  df-mrc 14833  df-acs 14835  df-ps 15678  df-tsr 15679  df-mnd 15723  df-plusf 15724  df-mhm 15772  df-submnd 15773  df-grp 15853  df-minusg 15854  df-sbg 15855  df-mulg 15856  df-subg 15988  df-cntz 16145  df-cmn 16591  df-abl 16592  df-mgp 16927  df-ur 16939  df-rng 16983  df-cring 16984  df-subrg 17205  df-abv 17244  df-lmod 17292  df-scaf 17293  df-sra 17596  df-rgmod 17597  df-psmet 18177  df-xmet 18178  df-met 18179  df-bl 18180  df-mopn 18181  df-fbas 18182  df-fg 18183  df-cnfld 18187  df-top 19161  df-bases 19163  df-topon 19164  df-topsp 19165  df-cld 19281  df-ntr 19282  df-cls 19283  df-nei 19360  df-lp 19398  df-perf 19399  df-cn 19489  df-cnp 19490  df-lm 19491  df-haus 19577  df-tx 19793  df-hmeo 19986  df-fil 20077  df-fm 20169  df-flim 20170  df-flf 20171  df-tmd 20301  df-tgp 20302  df-tsms 20355  df-trg 20392  df-xms 20553  df-ms 20554  df-tms 20555  df-nm 20833  df-ngp 20834  df-nrg 20836  df-nlm 20837  df-ii 21111  df-cncf 21112  df-limc 22000  df-dv 22001  df-log 22667  df-esum 27669  df-siga 27736  df-sigagen 27767  df-brsiga 27781  df-meas 27795  df-mbfm 27850  df-prob 27975  df-rrv 28008  df-orvc 28023
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator