Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dstfrvclim1 Structured version   Unicode version

Theorem dstfrvclim1 29318
Description: The limit of the cumulative distribution function is one. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Feb-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
dstfrv.1  |-  ( ph  ->  P  e. Prob )
dstfrv.2  |-  ( ph  ->  X  e.  (rRndVar `  P
) )
dstfrv.3  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  RR  |->  ( P `
 ( XRV/𝑐  <_  x ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
dstfrvclim1  |-  ( ph  ->  F  ~~>  1 )
Distinct variable groups:    x, P    x, X    ph, x
Allowed substitution hint:    F( x)

Proof of Theorem dstfrvclim1
Dummy variables  i 
a  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2422 . . . . 5  |-  ( TopOpen `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )  =  ( TopOpen `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )
2 dstfrv.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P  e. Prob )
3 domprobmeas 29251 . . . . . 6  |-  ( P  e. Prob  ->  P  e.  (measures `  dom  P ) )
42, 3syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  P  e.  (measures `  dom  P ) )
52adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  P  e. Prob
)
6 dstfrv.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  (rRndVar `  P
) )
76adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  X  e.  (rRndVar `  P )
)
8 simpr 462 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  i  e.  NN )
98nnred 10631 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  i  e.  RR )
105, 7, 9orvclteel 29313 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  ( XRV/𝑐  <_  i )  e.  dom  P
)
11 eqid 2422 . . . . . 6  |-  ( i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) )  =  ( i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) )
1210, 11fmptd 6061 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) : NN --> dom  P )
132adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  P  e. Prob
)
146adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  X  e.  (rRndVar `  P )
)
15 simpr 462 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
1615nnred 10631 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  RR )
1715peano2nnd 10633 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  +  1 )  e.  NN )
1817nnred 10631 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  +  1 )  e.  RR )
1916lep1d 10545 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  <_ 
( n  +  1 ) )
2013, 14, 16, 18, 19orvclteinc 29316 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( XRV/𝑐  <_  n )  C_  ( XRV/𝑐  <_  (
n  +  1 ) ) )
21 eqidd 2423 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) )  =  ( i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) )
22 simpr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  i  =  n )  ->  i  =  n )
2322oveq2d 6321 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  i  =  n )  ->  ( XRV/𝑐  <_ 
i )  =  ( XRV/𝑐  <_  n ) )
2413, 14, 16orvclteel 29313 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( XRV/𝑐  <_  n )  e.  dom  P
)
2521, 23, 15, 24fvmptd 5970 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) `  n )  =  ( XRV/𝑐  <_  n ) )
26 simpr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  i  =  ( n  + 
1 ) )  -> 
i  =  ( n  +  1 ) )
2726oveq2d 6321 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  i  =  ( n  + 
1 ) )  -> 
( XRV/𝑐  <_  i )  =  ( XRV/𝑐  <_  ( n  +  1 ) ) )
2813, 14, 18orvclteel 29313 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( XRV/𝑐  <_  ( n  +  1 ) )  e.  dom  P
)
2921, 27, 17, 28fvmptd 5970 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) `  ( n  +  1
) )  =  ( XRV/𝑐  <_  ( n  +  1 ) ) )
3020, 25, 293sstr4d 3507 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) `  n )  C_  (
( i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) `  ( n  +  1
) ) )
311, 4, 12, 30meascnbl 29049 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( P  o.  (
i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) ) ( ~~> t `  ( TopOpen
`  ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
) ) ) ( P `  U. ran  ( i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) ) )
32 measfn 29034 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  (measures `  dom  P )  ->  P  Fn  dom  P )
33 dffn5 5926 . . . . . . . . 9  |-  ( P  Fn  dom  P  <->  P  =  ( a  e.  dom  P 
|->  ( P `  a
) ) )
3433biimpi 197 . . . . . . . 8  |-  ( P  Fn  dom  P  ->  P  =  ( a  e.  dom  P  |->  ( P `
 a ) ) )
354, 32, 343syl 18 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  =  ( a  e.  dom  P  |->  ( P `  a ) ) )
36 prob01 29254 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e. Prob  /\  a  e.  dom  P )  -> 
( P `  a
)  e.  ( 0 [,] 1 ) )
372, 36sylan 473 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  dom  P )  ->  ( P `  a )  e.  ( 0 [,] 1
) )
3835, 37fmpt3d 6062 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P : dom  P --> ( 0 [,] 1
) )
39 fco 5756 . . . . . 6  |-  ( ( P : dom  P --> ( 0 [,] 1
)  /\  ( i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) : NN --> dom  P )  ->  ( P  o.  (
i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) ) : NN --> ( 0 [,] 1 ) )
4038, 12, 39syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( P  o.  (
i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) ) : NN --> ( 0 [,] 1 ) )
412, 6dstfrvunirn 29315 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U. ran  ( i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) )  =  U. dom  P )
422unveldomd 29256 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U. dom  P  e. 
dom  P )
4341, 42eqeltrd 2507 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U. ran  ( i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) )  e.  dom  P )
44 prob01 29254 . . . . . 6  |-  ( ( P  e. Prob  /\  U. ran  ( i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) )  e. 
dom  P )  -> 
( P `  U. ran  ( i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
452, 43, 44syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( P `  U. ran  ( i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
46 0xr 9694 . . . . . 6  |-  0  e.  RR*
47 pnfxr 11419 . . . . . 6  |- +oo  e.  RR*
48 0le0 10706 . . . . . 6  |-  0  <_  0
49 1re 9649 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
50 ltpnf 11429 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  RR  ->  1  < +oo )
5149, 50ax-mp 5 . . . . . 6  |-  1  < +oo
52 iccssico 11713 . . . . . 6  |-  ( ( ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  /\  (
0  <_  0  /\  1  < +oo ) )  -> 
( 0 [,] 1
)  C_  ( 0 [,) +oo ) )
5346, 47, 48, 51, 52mp4an 677 . . . . 5  |-  ( 0 [,] 1 )  C_  ( 0 [,) +oo )
541, 40, 45, 53lmlimxrge0 28762 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( P  o.  ( i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) ) ( ~~> t `  ( TopOpen
`  ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
) ) ) ( P `  U. ran  ( i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) )  <-> 
( P  o.  (
i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) )  ~~>  ( P `  U. ran  ( i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) ) ) )
5531, 54mpbid 213 . . 3  |-  ( ph  ->  ( P  o.  (
i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) )  ~~>  ( P `  U. ran  ( i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) ) )
56 eqidd 2423 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) )  =  ( i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) )
57 fveq2 5881 . . . . 5  |-  ( a  =  ( XRV/𝑐  <_  i )  ->  ( P `  a )  =  ( P `  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) )
5810, 56, 35, 57fmptco 6071 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( P  o.  (
i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) )  =  ( i  e.  NN  |->  ( P `  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) ) )
59 dstfrv.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  RR  |->  ( P `
 ( XRV/𝑐  <_  x ) ) ) )
6059adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  F  =  ( x  e.  RR  |->  ( P `  ( XRV/𝑐  <_  x ) ) ) )
61 simpr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  NN )  /\  x  =  i )  ->  x  =  i )
6261oveq2d 6321 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  NN )  /\  x  =  i )  -> 
( XRV/𝑐  <_  x )  =  ( XRV/𝑐  <_  i ) )
6362fveq2d 5885 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  NN )  /\  x  =  i )  -> 
( P `  ( XRV/𝑐  <_  x ) )  =  ( P `  ( XRV/𝑐  <_ 
i ) ) )
645, 10probvalrnd 29265 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  ( P `
 ( XRV/𝑐  <_  i ) )  e.  RR )
6560, 63, 9, 64fvmptd 5970 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  ( F `
 i )  =  ( P `  ( XRV/𝑐  <_ 
i ) ) )
6665mpteq2dva 4510 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( i  e.  NN  |->  ( F `  i ) )  =  ( i  e.  NN  |->  ( P `
 ( XRV/𝑐  <_  i ) ) ) )
6758, 66eqtr4d 2466 . . 3  |-  ( ph  ->  ( P  o.  (
i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) )  =  ( i  e.  NN  |->  ( F `  i ) ) )
6841fveq2d 5885 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( P `  U. ran  ( i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) )  =  ( P `  U. dom  P ) )
69 probtot 29253 . . . . 5  |-  ( P  e. Prob  ->  ( P `  U. dom  P )  =  1 )
702, 69syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( P `  U. dom  P )  =  1 )
7168, 70eqtrd 2463 . . 3  |-  ( ph  ->  ( P `  U. ran  ( i  e.  NN  |->  ( XRV/𝑐  <_  i ) ) )  =  1 )
7255, 67, 713brtr3d 4453 . 2  |-  ( ph  ->  ( i  e.  NN  |->  ( F `  i ) )  ~~>  1 )
73 1z 10974 . . 3  |-  1  e.  ZZ
74 reex 9637 . . . . 5  |-  RR  e.  _V
7574mptex 6151 . . . 4  |-  ( x  e.  RR  |->  ( P `
 ( XRV/𝑐  <_  x ) ) )  e.  _V
7659, 75syl6eqel 2515 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  _V )
77 nnuz 11201 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
78 eqid 2422 . . . 4  |-  ( i  e.  NN  |->  ( F `
 i ) )  =  ( i  e.  NN  |->  ( F `  i ) )
7977, 78climmpt 13634 . . 3  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  F  e.  _V )  ->  ( F  ~~>  1  <->  (
i  e.  NN  |->  ( F `  i ) )  ~~>  1 ) )
8073, 76, 79sylancr 667 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  ~~>  1  <->  (
i  e.  NN  |->  ( F `  i ) )  ~~>  1 ) )
8172, 80mpbird 235 1  |-  ( ph  ->  F  ~~>  1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872   _Vcvv 3080    C_ wss 3436   U.cuni 4219   class class class wbr 4423    |-> cmpt 4482   dom cdm 4853   ran crn 4854    o. ccom 4857    Fn wfn 5596   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   RRcr 9545   0cc0 9546   1c1 9547    + caddc 9549   +oocpnf 9679   RR*cxr 9681    < clt 9682    <_ cle 9683   NNcn 10616   ZZcz 10944   [,)cico 11644   [,]cicc 11645    ~~> cli 13547   ↾s cress 15121   TopOpenctopn 15319   RR*scxrs 15397   ~~> tclm 20240  measurescmeas 29025  Probcprb 29248  rRndVarcrrv 29281  ∘RV/𝑐corvc 29296
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-inf2 8155  ax-ac2 8900  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623  ax-pre-sup 9624  ax-addf 9625  ax-mulf 9626
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-iin 4302  df-disj 4395  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-2o 7194  df-oadd 7197  df-er 7374  df-map 7485  df-pm 7486  df-ixp 7534  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-fin 7584  df-fsupp 7893  df-fi 7934  df-sup 7965  df-inf 7966  df-oi 8034  df-card 8381  df-acn 8384  df-ac 8554  df-cda 8605  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xneg 11416  df-xadd 11417  df-xmul 11418  df-ioo 11646  df-ioc 11647  df-ico 11648  df-icc 11649  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-fl 12034  df-mod 12103  df-seq 12220  df-exp 12279  df-fac 12466  df-bc 12494  df-hash 12522  df-shft 13130  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-limsup 13525  df-clim 13551  df-rlim 13552  df-sum 13752  df-ef 14120  df-sin 14122  df-cos 14123  df-pi 14125  df-struct 15122  df-ndx 15123  df-slot 15124  df-base 15125  df-sets 15126  df-ress 15127  df-plusg 15202  df-mulr 15203  df-starv 15204  df-sca 15205  df-vsca 15206  df-ip 15207  df-tset 15208  df-ple 15209  df-ds 15211  df-unif 15212  df-hom 15213  df-cco 15214  df-rest 15320  df-topn 15321  df-0g 15339  df-gsum 15340  df-topgen 15341  df-pt 15342  df-prds 15345  df-ordt 15398  df-xrs 15399  df-qtop 15405  df-imas 15406  df-xps 15409  df-mre 15491  df-mrc 15492  df-acs 15494  df-ps 16445  df-tsr 16446  df-plusf 16486  df-mgm 16487  df-sgrp 16526  df-mnd 16536  df-mhm 16581  df-submnd 16582  df-grp 16672  df-minusg 16673  df-sbg 16674  df-mulg 16675  df-subg 16813  df-cntz 16970  df-cmn 17431  df-abl 17432  df-mgp 17723  df-ur 17735  df-ring 17781  df-cring 17782  df-subrg 18005  df-abv 18044  df-lmod 18092  df-scaf 18093  df-sra 18394  df-rgmod 18395  df-psmet 18961  df-xmet 18962  df-met 18963  df-bl 18964  df-mopn 18965  df-fbas 18966  df-fg 18967  df-cnfld 18970  df-top 19919  df-bases 19920  df-topon 19921  df-topsp 19922  df-cld 20032  df-ntr 20033  df-cls 20034  df-nei 20112  df-lp 20150  df-perf 20151  df-cn 20241  df-cnp 20242  df-lm 20243  df-haus 20329  df-tx 20575  df-hmeo 20768  df-fil 20859  df-fm 20951  df-flim 20952  df-flf 20953  df-tmd 21085  df-tgp 21086  df-tsms 21139  df-trg 21172  df-xms 21333  df-ms 21334  df-tms 21335  df-nm 21595  df-ngp 21596  df-nrg 21598  df-nlm 21599  df-ii 21907  df-cncf 21908  df-limc 22819  df-dv 22820  df-log 23504  df-esum 28857  df-siga 28938  df-sigagen 28969  df-brsiga 29012  df-meas 29026  df-mbfm 29081  df-prob 29249  df-rrv 29282  df-orvc 29297
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator