MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dsmmval2 Structured version   Unicode version

Theorem dsmmval2 18287
Description: Self-referential definition of the module direct sum. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Jan-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
dsmmval2.b  |-  B  =  ( Base `  ( S  (+)m  R ) )
Assertion
Ref Expression
dsmmval2  |-  ( S 
(+)m  R )  =  ( ( S X_s R )s  B )

Proof of Theorem dsmmval2
Dummy variables  f  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3546 . . . . . 6  |-  { f  e.  ( Base `  ( S X_s R ) )  |  { x  e.  dom  R  |  ( f `  x )  =/=  ( 0g `  ( R `  x ) ) }  e.  Fin }  C_  ( Base `  ( S X_s R ) )
2 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( ( S X_s R )s  { f  e.  (
Base `  ( S X_s R ) )  |  {
x  e.  dom  R  |  ( f `  x )  =/=  ( 0g `  ( R `  x ) ) }  e.  Fin } )  =  ( ( S
X_s
R )s  { f  e.  (
Base `  ( S X_s R ) )  |  {
x  e.  dom  R  |  ( f `  x )  =/=  ( 0g `  ( R `  x ) ) }  e.  Fin } )
3 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( Base `  ( S X_s R ) )  =  ( Base `  ( S X_s R ) )
42, 3ressbas2 14349 . . . . . 6  |-  ( { f  e.  ( Base `  ( S X_s R ) )  |  { x  e.  dom  R  |  ( f `  x )  =/=  ( 0g `  ( R `  x ) ) }  e.  Fin }  C_  ( Base `  ( S X_s R ) )  ->  { f  e.  ( Base `  ( S X_s R ) )  |  { x  e.  dom  R  |  ( f `  x )  =/=  ( 0g `  ( R `  x ) ) }  e.  Fin }  =  ( Base `  ( ( S X_s R )s  { f  e.  (
Base `  ( S X_s R ) )  |  {
x  e.  dom  R  |  ( f `  x )  =/=  ( 0g `  ( R `  x ) ) }  e.  Fin } ) ) )
51, 4ax-mp 5 . . . . 5  |-  { f  e.  ( Base `  ( S X_s R ) )  |  { x  e.  dom  R  |  ( f `  x )  =/=  ( 0g `  ( R `  x ) ) }  e.  Fin }  =  ( Base `  ( ( S X_s R )s  { f  e.  (
Base `  ( S X_s R ) )  |  {
x  e.  dom  R  |  ( f `  x )  =/=  ( 0g `  ( R `  x ) ) }  e.  Fin } ) )
65oveq2i 6212 . . . 4  |-  ( ( S X_s R )s  { f  e.  (
Base `  ( S X_s R ) )  |  {
x  e.  dom  R  |  ( f `  x )  =/=  ( 0g `  ( R `  x ) ) }  e.  Fin } )  =  ( ( S
X_s
R )s  ( Base `  (
( S X_s R )s  { f  e.  (
Base `  ( S X_s R ) )  |  {
x  e.  dom  R  |  ( f `  x )  =/=  ( 0g `  ( R `  x ) ) }  e.  Fin } ) ) )
7 eqid 2454 . . . . 5  |-  { f  e.  ( Base `  ( S X_s R ) )  |  { x  e.  dom  R  |  ( f `  x )  =/=  ( 0g `  ( R `  x ) ) }  e.  Fin }  =  { f  e.  (
Base `  ( S X_s R ) )  |  {
x  e.  dom  R  |  ( f `  x )  =/=  ( 0g `  ( R `  x ) ) }  e.  Fin }
87dsmmval 18285 . . . 4  |-  ( R  e.  _V  ->  ( S  (+)m  R )  =  ( ( S X_s R )s  { f  e.  (
Base `  ( S X_s R ) )  |  {
x  e.  dom  R  |  ( f `  x )  =/=  ( 0g `  ( R `  x ) ) }  e.  Fin } ) )
98fveq2d 5804 . . . . 5  |-  ( R  e.  _V  ->  ( Base `  ( S  (+)m  R
) )  =  (
Base `  ( ( S X_s R )s  { f  e.  (
Base `  ( S X_s R ) )  |  {
x  e.  dom  R  |  ( f `  x )  =/=  ( 0g `  ( R `  x ) ) }  e.  Fin } ) ) )
109oveq2d 6217 . . . 4  |-  ( R  e.  _V  ->  (
( S X_s R )s  ( Base `  ( S  (+)m  R ) ) )  =  ( ( S
X_s
R )s  ( Base `  (
( S X_s R )s  { f  e.  (
Base `  ( S X_s R ) )  |  {
x  e.  dom  R  |  ( f `  x )  =/=  ( 0g `  ( R `  x ) ) }  e.  Fin } ) ) ) )
116, 8, 103eqtr4a 2521 . . 3  |-  ( R  e.  _V  ->  ( S  (+)m  R )  =  ( ( S X_s R )s  ( Base `  ( S  (+)m  R ) ) ) )
12 ress0 14352 . . . . 5  |-  ( (/)s  ( Base `  ( S  (+)m  R ) ) )  =  (/)
1312eqcomi 2467 . . . 4  |-  (/)  =  (
(/)s 
( Base `  ( S  (+)m 
R ) ) )
14 reldmdsmm 18284 . . . . 5  |-  Rel  dom  (+)m
1514ovprc2 6230 . . . 4  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  ( S  (+)m  R )  =  (/) )
16 reldmprds 14507 . . . . . 6  |-  Rel  dom  X_s
1716ovprc2 6230 . . . . 5  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  ( S X_s R )  =  (/) )
1817oveq1d 6216 . . . 4  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  ( ( S X_s R )s  ( Base `  ( S  (+)m  R ) ) )  =  ( (/)s  ( Base `  ( S  (+)m  R ) ) ) )
1913, 15, 183eqtr4a 2521 . . 3  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  ( S  (+)m  R )  =  ( ( S X_s R )s  ( Base `  ( S  (+)m  R ) ) ) )
2011, 19pm2.61i 164 . 2  |-  ( S 
(+)m  R )  =  ( ( S X_s R )s  ( Base `  ( S  (+)m  R ) ) )
21 dsmmval2.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  ( S  (+)m  R ) )
2221oveq2i 6212 . 2  |-  ( ( S X_s R )s  B )  =  ( ( S X_s R )s  ( Base `  ( S  (+)m  R ) ) )
2320, 22eqtr4i 2486 1  |-  ( S 
(+)m  R )  =  ( ( S X_s R )s  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648   {crab 2803   _Vcvv 3078    C_ wss 3437   (/)c0 3746   dom cdm 4949   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   Fincfn 7421   Basecbs 14293   ↾s cress 14294   0gc0g 14498   X_scprds 14504    (+)m cdsmm 18282
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-oadd 7035  df-er 7212  df-map 7327  df-ixp 7375  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-sup 7803  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-nn 10435  df-2 10492  df-3 10493  df-4 10494  df-5 10495  df-6 10496  df-7 10497  df-8 10498  df-9 10499  df-10 10500  df-n0 10692  df-z 10759  df-dec 10868  df-uz 10974  df-fz 11556  df-struct 14295  df-ndx 14296  df-slot 14297  df-base 14298  df-sets 14299  df-ress 14300  df-plusg 14371  df-mulr 14372  df-sca 14374  df-vsca 14375  df-ip 14376  df-tset 14377  df-ple 14378  df-ds 14380  df-hom 14382  df-cco 14383  df-prds 14506  df-dsmm 18283
This theorem is referenced by:  dsmmfi  18289  dsmmlmod  18296  frlmpws  18301
  Copyright terms: Public domain W3C validator