MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dsmmval2 Structured version   Unicode version

Theorem dsmmval2 18881
Description: Self-referential definition of the module direct sum. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Jan-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
dsmmval2.b  |-  B  =  ( Base `  ( S  (+)m  R ) )
Assertion
Ref Expression
dsmmval2  |-  ( S 
(+)m  R )  =  ( ( S X_s R )s  B )

Proof of Theorem dsmmval2
Dummy variables  f  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3516 . . . . . 6  |-  { f  e.  ( Base `  ( S X_s R ) )  |  { x  e.  dom  R  |  ( f `  x )  =/=  ( 0g `  ( R `  x ) ) }  e.  Fin }  C_  ( Base `  ( S X_s R ) )
2 eqid 2396 . . . . . . 7  |-  ( ( S X_s R )s  { f  e.  (
Base `  ( S X_s R ) )  |  {
x  e.  dom  R  |  ( f `  x )  =/=  ( 0g `  ( R `  x ) ) }  e.  Fin } )  =  ( ( S
X_s
R )s  { f  e.  (
Base `  ( S X_s R ) )  |  {
x  e.  dom  R  |  ( f `  x )  =/=  ( 0g `  ( R `  x ) ) }  e.  Fin } )
3 eqid 2396 . . . . . . 7  |-  ( Base `  ( S X_s R ) )  =  ( Base `  ( S X_s R ) )
42, 3ressbas2 14715 . . . . . 6  |-  ( { f  e.  ( Base `  ( S X_s R ) )  |  { x  e.  dom  R  |  ( f `  x )  =/=  ( 0g `  ( R `  x ) ) }  e.  Fin }  C_  ( Base `  ( S X_s R ) )  ->  { f  e.  ( Base `  ( S X_s R ) )  |  { x  e.  dom  R  |  ( f `  x )  =/=  ( 0g `  ( R `  x ) ) }  e.  Fin }  =  ( Base `  ( ( S X_s R )s  { f  e.  (
Base `  ( S X_s R ) )  |  {
x  e.  dom  R  |  ( f `  x )  =/=  ( 0g `  ( R `  x ) ) }  e.  Fin } ) ) )
51, 4ax-mp 5 . . . . 5  |-  { f  e.  ( Base `  ( S X_s R ) )  |  { x  e.  dom  R  |  ( f `  x )  =/=  ( 0g `  ( R `  x ) ) }  e.  Fin }  =  ( Base `  ( ( S X_s R )s  { f  e.  (
Base `  ( S X_s R ) )  |  {
x  e.  dom  R  |  ( f `  x )  =/=  ( 0g `  ( R `  x ) ) }  e.  Fin } ) )
65oveq2i 6229 . . . 4  |-  ( ( S X_s R )s  { f  e.  (
Base `  ( S X_s R ) )  |  {
x  e.  dom  R  |  ( f `  x )  =/=  ( 0g `  ( R `  x ) ) }  e.  Fin } )  =  ( ( S
X_s
R )s  ( Base `  (
( S X_s R )s  { f  e.  (
Base `  ( S X_s R ) )  |  {
x  e.  dom  R  |  ( f `  x )  =/=  ( 0g `  ( R `  x ) ) }  e.  Fin } ) ) )
7 eqid 2396 . . . . 5  |-  { f  e.  ( Base `  ( S X_s R ) )  |  { x  e.  dom  R  |  ( f `  x )  =/=  ( 0g `  ( R `  x ) ) }  e.  Fin }  =  { f  e.  (
Base `  ( S X_s R ) )  |  {
x  e.  dom  R  |  ( f `  x )  =/=  ( 0g `  ( R `  x ) ) }  e.  Fin }
87dsmmval 18879 . . . 4  |-  ( R  e.  _V  ->  ( S  (+)m  R )  =  ( ( S X_s R )s  { f  e.  (
Base `  ( S X_s R ) )  |  {
x  e.  dom  R  |  ( f `  x )  =/=  ( 0g `  ( R `  x ) ) }  e.  Fin } ) )
98fveq2d 5795 . . . . 5  |-  ( R  e.  _V  ->  ( Base `  ( S  (+)m  R
) )  =  (
Base `  ( ( S X_s R )s  { f  e.  (
Base `  ( S X_s R ) )  |  {
x  e.  dom  R  |  ( f `  x )  =/=  ( 0g `  ( R `  x ) ) }  e.  Fin } ) ) )
109oveq2d 6234 . . . 4  |-  ( R  e.  _V  ->  (
( S X_s R )s  ( Base `  ( S  (+)m  R ) ) )  =  ( ( S
X_s
R )s  ( Base `  (
( S X_s R )s  { f  e.  (
Base `  ( S X_s R ) )  |  {
x  e.  dom  R  |  ( f `  x )  =/=  ( 0g `  ( R `  x ) ) }  e.  Fin } ) ) ) )
116, 8, 103eqtr4a 2463 . . 3  |-  ( R  e.  _V  ->  ( S  (+)m  R )  =  ( ( S X_s R )s  ( Base `  ( S  (+)m  R ) ) ) )
12 ress0 14718 . . . . 5  |-  ( (/)s  ( Base `  ( S  (+)m  R ) ) )  =  (/)
1312eqcomi 2409 . . . 4  |-  (/)  =  (
(/)s 
( Base `  ( S  (+)m 
R ) ) )
14 reldmdsmm 18878 . . . . 5  |-  Rel  dom  (+)m
1514ovprc2 6250 . . . 4  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  ( S  (+)m  R )  =  (/) )
16 reldmprds 14879 . . . . . 6  |-  Rel  dom  X_s
1716ovprc2 6250 . . . . 5  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  ( S X_s R )  =  (/) )
1817oveq1d 6233 . . . 4  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  ( ( S X_s R )s  ( Base `  ( S  (+)m  R ) ) )  =  ( (/)s  ( Base `  ( S  (+)m  R ) ) ) )
1913, 15, 183eqtr4a 2463 . . 3  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  ( S  (+)m  R )  =  ( ( S X_s R )s  ( Base `  ( S  (+)m  R ) ) ) )
2011, 19pm2.61i 164 . 2  |-  ( S 
(+)m  R )  =  ( ( S X_s R )s  ( Base `  ( S  (+)m  R ) ) )
21 dsmmval2.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  ( S  (+)m  R ) )
2221oveq2i 6229 . 2  |-  ( ( S X_s R )s  B )  =  ( ( S X_s R )s  ( Base `  ( S  (+)m  R ) ) )
2320, 22eqtr4i 2428 1  |-  ( S 
(+)m  R )  =  ( ( S X_s R )s  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1399    e. wcel 1836    =/= wne 2591   {crab 2750   _Vcvv 3051    C_ wss 3406   (/)c0 3728   dom cdm 4930   ` cfv 5513  (class class class)co 6218   Fincfn 7457   Basecbs 14657   ↾s cress 14658   0gc0g 14870   X_scprds 14876    (+)m cdsmm 18876
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2020  ax-ext 2374  ax-sep 4505  ax-nul 4513  ax-pow 4560  ax-pr 4618  ax-un 6513  ax-cnex 9481  ax-resscn 9482  ax-1cn 9483  ax-icn 9484  ax-addcl 9485  ax-addrcl 9486  ax-mulcl 9487  ax-mulrcl 9488  ax-mulcom 9489  ax-addass 9490  ax-mulass 9491  ax-distr 9492  ax-i2m1 9493  ax-1ne0 9494  ax-1rid 9495  ax-rnegex 9496  ax-rrecex 9497  ax-cnre 9498  ax-pre-lttri 9499  ax-pre-lttrn 9500  ax-pre-ltadd 9501  ax-pre-mulgt0 9502
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2382  df-cleq 2388  df-clel 2391  df-nfc 2546  df-ne 2593  df-nel 2594  df-ral 2751  df-rex 2752  df-reu 2753  df-rab 2755  df-v 3053  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3729  df-if 3875  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4181  df-int 4217  df-iun 4262  df-br 4385  df-opab 4443  df-mpt 4444  df-tr 4478  df-eprel 4722  df-id 4726  df-po 4731  df-so 4732  df-fr 4769  df-we 4771  df-ord 4812  df-on 4813  df-lim 4814  df-suc 4815  df-xp 4936  df-rel 4937  df-cnv 4938  df-co 4939  df-dm 4940  df-rn 4941  df-res 4942  df-ima 4943  df-iota 5477  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-riota 6180  df-ov 6221  df-oprab 6222  df-mpt2 6223  df-om 6622  df-1st 6721  df-2nd 6722  df-recs 6982  df-rdg 7016  df-1o 7070  df-oadd 7074  df-er 7251  df-map 7362  df-ixp 7411  df-en 7458  df-dom 7459  df-sdom 7460  df-fin 7461  df-sup 7838  df-pnf 9563  df-mnf 9564  df-xr 9565  df-ltxr 9566  df-le 9567  df-sub 9742  df-neg 9743  df-nn 10475  df-2 10533  df-3 10534  df-4 10535  df-5 10536  df-6 10537  df-7 10538  df-8 10539  df-9 10540  df-10 10541  df-n0 10735  df-z 10804  df-dec 10918  df-uz 11024  df-fz 11616  df-struct 14659  df-ndx 14660  df-slot 14661  df-base 14662  df-sets 14663  df-ress 14664  df-plusg 14738  df-mulr 14739  df-sca 14741  df-vsca 14742  df-ip 14743  df-tset 14744  df-ple 14745  df-ds 14747  df-hom 14749  df-cco 14750  df-prds 14878  df-dsmm 18877
This theorem is referenced by:  dsmmfi  18883  dsmmlmod  18890  frlmpws  18895
  Copyright terms: Public domain W3C validator