Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dsmmsubg Structured version   Unicode version

Theorem dsmmsubg 19304
 Description: The finite hull of a product of groups is additionally closed under negation and thus is a subgroup of the product. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dsmmsubg.p s
dsmmsubg.h m
dsmmsubg.i
dsmmsubg.s
dsmmsubg.r
Assertion
Ref Expression
dsmmsubg SubGrp

Proof of Theorem dsmmsubg
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2423 . 2 s s
2 eqidd 2423 . 2
3 eqidd 2423 . 2
4 dsmmsubg.r . . . . . 6
5 dsmmsubg.i . . . . . 6
6 fex 6153 . . . . . 6
74, 5, 6syl2anc 665 . . . . 5
8 eqid 2422 . . . . . 6 s s
98dsmmbase 19296 . . . . 5 s m
107, 9syl 17 . . . 4 s m
11 ssrab2 3546 . . . 4 s s
1210, 11syl6eqssr 3515 . . 3 m s
13 dsmmsubg.h . . 3 m
14 dsmmsubg.p . . . 4 s
1514fveq2i 5884 . . 3 s
1612, 13, 153sstr4g 3505 . 2
17 dsmmsubg.s . . 3
18 grpmnd 16677 . . . . 5
1918ssriv 3468 . . . 4
20 fss 5754 . . . 4
214, 19, 20sylancl 666 . . 3
22 eqid 2422 . . 3
2314, 13, 5, 17, 21, 22dsmm0cl 19301 . 2
27 simp2 1006 . . 3
28 simp3 1007 . . 3
29 eqid 2422 . . 3
3014, 13, 24, 25, 26, 27, 28, 29dsmmacl 19302 . 2
3114, 5, 17, 4prdsgrpd 16794 . . . . 5
3231adantr 466 . . . 4
3316sselda 3464 . . . 4
34 eqid 2422 . . . . 5
35 eqid 2422 . . . . 5
3634, 35grpinvcl 16710 . . . 4
3732, 33, 36syl2anc 665 . . 3
38 simpr 462 . . . . . 6
39 eqid 2422 . . . . . . 7 m m
405adantr 466 . . . . . . 7
41 ffn 5746 . . . . . . . . 9
424, 41syl 17 . . . . . . . 8
4342adantr 466 . . . . . . 7
4414, 39, 34, 13, 40, 43dsmmelbas 19300 . . . . . 6
4538, 44mpbid 213 . . . . 5
4645simprd 464 . . . 4
475ad2antrr 730 . . . . . . . . . 10
4817ad2antrr 730 . . . . . . . . . 10
494ad2antrr 730 . . . . . . . . . 10
5033adantr 466 . . . . . . . . . 10
51 simpr 462 . . . . . . . . . 10
5214, 47, 48, 49, 34, 35, 50, 51prdsinvgd2 19303 . . . . . . . . 9
5352adantrr 721 . . . . . . . 8
54 fveq2 5881 . . . . . . . . 9
5554ad2antll 733 . . . . . . . 8
564ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . 11
5756adantlr 719 . . . . . . . . . 10
58 eqid 2422 . . . . . . . . . . 11
59 eqid 2422 . . . . . . . . . . 11
6058, 59grpinvid 16716 . . . . . . . . . 10
6157, 60syl 17 . . . . . . . . 9
6261adantrr 721 . . . . . . . 8
6353, 55, 623eqtrd 2467 . . . . . . 7
6463expr 618 . . . . . 6
6564necon3d 2644 . . . . 5
6665ss2rabdv 3542 . . . 4
67 ssfi 7801 . . . 4
6846, 66, 67syl2anc 665 . . 3
6914, 39, 34, 13, 40, 43dsmmelbas 19300 . . 3
7037, 68, 69mpbir2and 930 . 2
711, 2, 3, 16, 23, 30, 70, 31issubgrpd2 16832 1 SubGrp
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 370   w3a 982   wceq 1437   wcel 1872   wne 2614  crab 2775  cvv 3080   wss 3436   cdm 4853   wfn 5596  wf 5597  cfv 5601  (class class class)co 6305  cfn 7580  cbs 15120   ↾s cress 15121   cplusg 15189  c0g 15337  scprds 15343  cmnd 16534  cgrp 16668  cminusg 16669  SubGrpcsubg 16810   m cdsmm 19292 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-oadd 7197  df-er 7374  df-map 7485  df-ixp 7534  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-fin 7584  df-sup 7965  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-fz 11792  df-struct 15122  df-ndx 15123  df-slot 15124  df-base 15125  df-sets 15126  df-ress 15127  df-plusg 15202  df-mulr 15203  df-sca 15205  df-vsca 15206  df-ip 15207  df-tset 15208  df-ple 15209  df-ds 15211  df-hom 15213  df-cco 15214  df-0g 15339  df-prds 15345  df-mgm 16487  df-sgrp 16526  df-mnd 16536  df-grp 16672  df-minusg 16673  df-subg 16813  df-dsmm 19293 This theorem is referenced by:  dsmmlss  19305
 Copyright terms: Public domain W3C validator