MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dsmmfi Structured version   Unicode version

Theorem dsmmfi 18536
Description: For finite products, the direct sum is just the module product. See also the observation in [Lang] p. 129. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
dsmmfi  |-  ( ( R  Fn  I  /\  I  e.  Fin )  ->  ( S  (+)m  R )  =  ( S X_s R
) )

Proof of Theorem dsmmfi
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . 3  |-  ( Base `  ( S  (+)m  R ) )  =  ( Base `  ( S  (+)m  R ) )
21dsmmval2 18534 . 2  |-  ( S 
(+)m  R )  =  ( ( S X_s R )s  ( Base `  ( S  (+)m  R ) ) )
3 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S
X_s
R )  =  ( S X_s R )
4 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  ( S X_s R ) )  =  ( Base `  ( S X_s R ) )
5 noel 3789 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -.  f  e.  (/)
6 reldmprds 14700 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  Rel  dom  X_s
76ovprc1 6310 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  S  e.  _V  ->  ( S X_s R )  =  (/) )
87fveq2d 5868 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  S  e.  _V  ->  (
Base `  ( S X_s R ) )  =  (
Base `  (/) ) )
9 base0 14525 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (/)  =  (
Base `  (/) )
108, 9syl6eqr 2526 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  S  e.  _V  ->  (
Base `  ( S X_s R ) )  =  (/) )
1110eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  S  e.  _V  ->  ( f  e.  ( Base `  ( S X_s R ) )  <->  f  e.  (/) ) )
125, 11mtbiri 303 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  S  e.  _V  ->  -.  f  e.  ( Base `  ( S X_s R ) ) )
1312con4i 130 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  e.  ( Base `  ( S X_s R ) )  ->  S  e.  _V )
1413adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  Fn  I  /\  I  e.  Fin )  /\  f  e.  (
Base `  ( S X_s R ) ) )  ->  S  e.  _V )
15 simplr 754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  Fn  I  /\  I  e.  Fin )  /\  f  e.  (
Base `  ( S X_s R ) ) )  ->  I  e.  Fin )
16 simpll 753 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  Fn  I  /\  I  e.  Fin )  /\  f  e.  (
Base `  ( S X_s R ) ) )  ->  R  Fn  I )
17 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  Fn  I  /\  I  e.  Fin )  /\  f  e.  (
Base `  ( S X_s R ) ) )  -> 
f  e.  ( Base `  ( S X_s R ) ) )
183, 4, 14, 15, 16, 17prdsbasfn 14722 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  Fn  I  /\  I  e.  Fin )  /\  f  e.  (
Base `  ( S X_s R ) ) )  -> 
f  Fn  I )
19 fndm 5678 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  Fn  I  ->  dom  f  =  I )
2018, 19syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  Fn  I  /\  I  e.  Fin )  /\  f  e.  (
Base `  ( S X_s R ) ) )  ->  dom  f  =  I
)
2120, 15eqeltrd 2555 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  Fn  I  /\  I  e.  Fin )  /\  f  e.  (
Base `  ( S X_s R ) ) )  ->  dom  f  e.  Fin )
22 difss 3631 . . . . . . . . 9  |-  ( f 
\  ( 0g  o.  R ) )  C_  f
23 dmss 5200 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  \  ( 0g  o.  R ) ) 
C_  f  ->  dom  ( f  \  ( 0g  o.  R ) ) 
C_  dom  f )
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  dom  (
f  \  ( 0g  o.  R ) )  C_  dom  f
25 ssfi 7737 . . . . . . . 8  |-  ( ( dom  f  e.  Fin  /\ 
dom  ( f  \ 
( 0g  o.  R
) )  C_  dom  f )  ->  dom  ( f  \  ( 0g  o.  R ) )  e.  Fin )
2621, 24, 25sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  Fn  I  /\  I  e.  Fin )  /\  f  e.  (
Base `  ( S X_s R ) ) )  ->  dom  ( f  \  ( 0g  o.  R ) )  e.  Fin )
2726ralrimiva 2878 . . . . . 6  |-  ( ( R  Fn  I  /\  I  e.  Fin )  ->  A. f  e.  (
Base `  ( S X_s R ) ) dom  (
f  \  ( 0g  o.  R ) )  e. 
Fin )
28 rabid2 3039 . . . . . 6  |-  ( (
Base `  ( S X_s R ) )  =  {
f  e.  ( Base `  ( S X_s R ) )  |  dom  ( f  \ 
( 0g  o.  R
) )  e.  Fin }  <->  A. f  e.  ( Base `  ( S X_s R
) ) dom  (
f  \  ( 0g  o.  R ) )  e. 
Fin )
2927, 28sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ( R  Fn  I  /\  I  e.  Fin )  ->  ( Base `  ( S X_s R ) )  =  { f  e.  (
Base `  ( S X_s R ) )  |  dom  ( f  \  ( 0g  o.  R ) )  e.  Fin } )
30 eqid 2467 . . . . . 6  |-  { f  e.  ( Base `  ( S X_s R ) )  |  dom  ( f  \ 
( 0g  o.  R
) )  e.  Fin }  =  { f  e.  ( Base `  ( S X_s R ) )  |  dom  ( f  \ 
( 0g  o.  R
) )  e.  Fin }
313, 30dsmmbas2 18535 . . . . 5  |-  ( ( R  Fn  I  /\  I  e.  Fin )  ->  { f  e.  (
Base `  ( S X_s R ) )  |  dom  ( f  \  ( 0g  o.  R ) )  e.  Fin }  =  ( Base `  ( S  (+)m 
R ) ) )
3229, 31eqtr2d 2509 . . . 4  |-  ( ( R  Fn  I  /\  I  e.  Fin )  ->  ( Base `  ( S  (+)m  R ) )  =  ( Base `  ( S X_s R ) ) )
3332oveq2d 6298 . . 3  |-  ( ( R  Fn  I  /\  I  e.  Fin )  ->  ( ( S X_s R
)s  ( Base `  ( S  (+)m  R ) ) )  =  ( ( S
X_s
R )s  ( Base `  ( S X_s R ) ) ) )
34 ovex 6307 . . . 4  |-  ( S
X_s
R )  e.  _V
354ressid 14546 . . . 4  |-  ( ( S X_s R )  e.  _V  ->  ( ( S X_s R
)s  ( Base `  ( S X_s R ) ) )  =  ( S X_s R
) )
3634, 35ax-mp 5 . . 3  |-  ( ( S X_s R )s  ( Base `  ( S X_s R ) ) )  =  ( S X_s R
)
3733, 36syl6eq 2524 . 2  |-  ( ( R  Fn  I  /\  I  e.  Fin )  ->  ( ( S X_s R
)s  ( Base `  ( S  (+)m  R ) ) )  =  ( S X_s R
) )
382, 37syl5eq 2520 1  |-  ( ( R  Fn  I  /\  I  e.  Fin )  ->  ( S  (+)m  R )  =  ( S X_s R
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   {crab 2818   _Vcvv 3113    \ cdif 3473    C_ wss 3476   (/)c0 3785   dom cdm 4999    o. ccom 5003    Fn wfn 5581   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   Fincfn 7513   Basecbs 14486   ↾s cress 14487   0gc0g 14691   X_scprds 14697    (+)m cdsmm 18529
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-sup 7897  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-fz 11669  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-sca 14567  df-vsca 14568  df-ip 14569  df-tset 14570  df-ple 14571  df-ds 14573  df-hom 14575  df-cco 14576  df-0g 14693  df-prds 14699  df-dsmm 18530
This theorem is referenced by:  frlmpwsfi  18550
  Copyright terms: Public domain W3C validator