MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dsmmfi Structured version   Unicode version

Theorem dsmmfi 18166
Description: For finite products, the direct sum is just the module product. See also the observation in [Lang] p. 129. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
dsmmfi  |-  ( ( R  Fn  I  /\  I  e.  Fin )  ->  ( S  (+)m  R )  =  ( S X_s R
) )

Proof of Theorem dsmmfi
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2443 . . 3  |-  ( Base `  ( S  (+)m  R ) )  =  ( Base `  ( S  (+)m  R ) )
21dsmmval2 18164 . 2  |-  ( S 
(+)m  R )  =  ( ( S X_s R )s  ( Base `  ( S  (+)m  R ) ) )
3 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S
X_s
R )  =  ( S X_s R )
4 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  ( S X_s R ) )  =  ( Base `  ( S X_s R ) )
5 noel 3644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -.  f  e.  (/)
6 reldmprds 14390 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  Rel  dom  X_s
76ovprc1 6122 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  S  e.  _V  ->  ( S X_s R )  =  (/) )
87fveq2d 5698 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  S  e.  _V  ->  (
Base `  ( S X_s R ) )  =  (
Base `  (/) ) )
9 base0 14216 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (/)  =  (
Base `  (/) )
108, 9syl6eqr 2493 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  S  e.  _V  ->  (
Base `  ( S X_s R ) )  =  (/) )
1110eleq2d 2510 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  S  e.  _V  ->  ( f  e.  ( Base `  ( S X_s R ) )  <->  f  e.  (/) ) )
125, 11mtbiri 303 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  S  e.  _V  ->  -.  f  e.  ( Base `  ( S X_s R ) ) )
1312con4i 130 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  e.  ( Base `  ( S X_s R ) )  ->  S  e.  _V )
1413adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  Fn  I  /\  I  e.  Fin )  /\  f  e.  (
Base `  ( S X_s R ) ) )  ->  S  e.  _V )
15 simplr 754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  Fn  I  /\  I  e.  Fin )  /\  f  e.  (
Base `  ( S X_s R ) ) )  ->  I  e.  Fin )
16 simpll 753 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  Fn  I  /\  I  e.  Fin )  /\  f  e.  (
Base `  ( S X_s R ) ) )  ->  R  Fn  I )
17 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  Fn  I  /\  I  e.  Fin )  /\  f  e.  (
Base `  ( S X_s R ) ) )  -> 
f  e.  ( Base `  ( S X_s R ) ) )
183, 4, 14, 15, 16, 17prdsbasfn 14412 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  Fn  I  /\  I  e.  Fin )  /\  f  e.  (
Base `  ( S X_s R ) ) )  -> 
f  Fn  I )
19 fndm 5513 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  Fn  I  ->  dom  f  =  I )
2018, 19syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  Fn  I  /\  I  e.  Fin )  /\  f  e.  (
Base `  ( S X_s R ) ) )  ->  dom  f  =  I
)
2120, 15eqeltrd 2517 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  Fn  I  /\  I  e.  Fin )  /\  f  e.  (
Base `  ( S X_s R ) ) )  ->  dom  f  e.  Fin )
22 difss 3486 . . . . . . . . 9  |-  ( f 
\  ( 0g  o.  R ) )  C_  f
23 dmss 5042 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  \  ( 0g  o.  R ) ) 
C_  f  ->  dom  ( f  \  ( 0g  o.  R ) ) 
C_  dom  f )
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  dom  (
f  \  ( 0g  o.  R ) )  C_  dom  f
25 ssfi 7536 . . . . . . . 8  |-  ( ( dom  f  e.  Fin  /\ 
dom  ( f  \ 
( 0g  o.  R
) )  C_  dom  f )  ->  dom  ( f  \  ( 0g  o.  R ) )  e.  Fin )
2621, 24, 25sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  Fn  I  /\  I  e.  Fin )  /\  f  e.  (
Base `  ( S X_s R ) ) )  ->  dom  ( f  \  ( 0g  o.  R ) )  e.  Fin )
2726ralrimiva 2802 . . . . . 6  |-  ( ( R  Fn  I  /\  I  e.  Fin )  ->  A. f  e.  (
Base `  ( S X_s R ) ) dom  (
f  \  ( 0g  o.  R ) )  e. 
Fin )
28 rabid2 2901 . . . . . 6  |-  ( (
Base `  ( S X_s R ) )  =  {
f  e.  ( Base `  ( S X_s R ) )  |  dom  ( f  \ 
( 0g  o.  R
) )  e.  Fin }  <->  A. f  e.  ( Base `  ( S X_s R
) ) dom  (
f  \  ( 0g  o.  R ) )  e. 
Fin )
2927, 28sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ( R  Fn  I  /\  I  e.  Fin )  ->  ( Base `  ( S X_s R ) )  =  { f  e.  (
Base `  ( S X_s R ) )  |  dom  ( f  \  ( 0g  o.  R ) )  e.  Fin } )
30 eqid 2443 . . . . . 6  |-  { f  e.  ( Base `  ( S X_s R ) )  |  dom  ( f  \ 
( 0g  o.  R
) )  e.  Fin }  =  { f  e.  ( Base `  ( S X_s R ) )  |  dom  ( f  \ 
( 0g  o.  R
) )  e.  Fin }
313, 30dsmmbas2 18165 . . . . 5  |-  ( ( R  Fn  I  /\  I  e.  Fin )  ->  { f  e.  (
Base `  ( S X_s R ) )  |  dom  ( f  \  ( 0g  o.  R ) )  e.  Fin }  =  ( Base `  ( S  (+)m 
R ) ) )
3229, 31eqtr2d 2476 . . . 4  |-  ( ( R  Fn  I  /\  I  e.  Fin )  ->  ( Base `  ( S  (+)m  R ) )  =  ( Base `  ( S X_s R ) ) )
3332oveq2d 6110 . . 3  |-  ( ( R  Fn  I  /\  I  e.  Fin )  ->  ( ( S X_s R
)s  ( Base `  ( S  (+)m  R ) ) )  =  ( ( S
X_s
R )s  ( Base `  ( S X_s R ) ) ) )
34 ovex 6119 . . . 4  |-  ( S
X_s
R )  e.  _V
354ressid 14236 . . . 4  |-  ( ( S X_s R )  e.  _V  ->  ( ( S X_s R
)s  ( Base `  ( S X_s R ) ) )  =  ( S X_s R
) )
3634, 35ax-mp 5 . . 3  |-  ( ( S X_s R )s  ( Base `  ( S X_s R ) ) )  =  ( S X_s R
)
3733, 36syl6eq 2491 . 2  |-  ( ( R  Fn  I  /\  I  e.  Fin )  ->  ( ( S X_s R
)s  ( Base `  ( S  (+)m  R ) ) )  =  ( S X_s R
) )
382, 37syl5eq 2487 1  |-  ( ( R  Fn  I  /\  I  e.  Fin )  ->  ( S  (+)m  R )  =  ( S X_s R
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2718   {crab 2722   _Vcvv 2975    \ cdif 3328    C_ wss 3331   (/)c0 3640   dom cdm 4843    o. ccom 4847    Fn wfn 5416   ` cfv 5421  (class class class)co 6094   Fincfn 7313   Basecbs 14177   ↾s cress 14178   0gc0g 14381   X_scprds 14387    (+)m cdsmm 18159
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4406  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375  ax-cnex 9341  ax-resscn 9342  ax-1cn 9343  ax-icn 9344  ax-addcl 9345  ax-addrcl 9346  ax-mulcl 9347  ax-mulrcl 9348  ax-mulcom 9349  ax-addass 9350  ax-mulass 9351  ax-distr 9352  ax-i2m1 9353  ax-1ne0 9354  ax-1rid 9355  ax-rnegex 9356  ax-rrecex 9357  ax-cnre 9358  ax-pre-lttri 9359  ax-pre-lttrn 9360  ax-pre-ltadd 9361  ax-pre-mulgt0 9362
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-nel 2612  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-pss 3347  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-tp 3885  df-op 3887  df-uni 4095  df-int 4132  df-iun 4176  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-tr 4389  df-eprel 4635  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-fr 4682  df-we 4684  df-ord 4725  df-on 4726  df-lim 4727  df-suc 4728  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-riota 6055  df-ov 6097  df-oprab 6098  df-mpt2 6099  df-om 6480  df-1st 6580  df-2nd 6581  df-recs 6835  df-rdg 6869  df-1o 6923  df-oadd 6927  df-er 7104  df-map 7219  df-ixp 7267  df-en 7314  df-dom 7315  df-sdom 7316  df-fin 7317  df-sup 7694  df-pnf 9423  df-mnf 9424  df-xr 9425  df-ltxr 9426  df-le 9427  df-sub 9600  df-neg 9601  df-nn 10326  df-2 10383  df-3 10384  df-4 10385  df-5 10386  df-6 10387  df-7 10388  df-8 10389  df-9 10390  df-10 10391  df-n0 10583  df-z 10650  df-dec 10759  df-uz 10865  df-fz 11441  df-struct 14179  df-ndx 14180  df-slot 14181  df-base 14182  df-sets 14183  df-ress 14184  df-plusg 14254  df-mulr 14255  df-sca 14257  df-vsca 14258  df-ip 14259  df-tset 14260  df-ple 14261  df-ds 14263  df-hom 14265  df-cco 14266  df-0g 14383  df-prds 14389  df-dsmm 18160
This theorem is referenced by:  frlmpwsfi  18180
  Copyright terms: Public domain W3C validator