MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dsmmfi Structured version   Unicode version

Theorem dsmmfi 18122
Description: For finite products, the direct sum is just the module product. See also the observation in [Lang] p. 129. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
dsmmfi  |-  ( ( R  Fn  I  /\  I  e.  Fin )  ->  ( S  (+)m  R )  =  ( S X_s R
) )

Proof of Theorem dsmmfi
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2441 . . 3  |-  ( Base `  ( S  (+)m  R ) )  =  ( Base `  ( S  (+)m  R ) )
21dsmmval2 18120 . 2  |-  ( S 
(+)m  R )  =  ( ( S X_s R )s  ( Base `  ( S  (+)m  R ) ) )
3 eqid 2441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S
X_s
R )  =  ( S X_s R )
4 eqid 2441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  ( S X_s R ) )  =  ( Base `  ( S X_s R ) )
5 noel 3638 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -.  f  e.  (/)
6 reldmprds 14383 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  Rel  dom  X_s
76ovprc1 6118 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  S  e.  _V  ->  ( S X_s R )  =  (/) )
87fveq2d 5692 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  S  e.  _V  ->  (
Base `  ( S X_s R ) )  =  (
Base `  (/) ) )
9 base0 14209 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (/)  =  (
Base `  (/) )
108, 9syl6eqr 2491 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  S  e.  _V  ->  (
Base `  ( S X_s R ) )  =  (/) )
1110eleq2d 2508 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  S  e.  _V  ->  ( f  e.  ( Base `  ( S X_s R ) )  <->  f  e.  (/) ) )
125, 11mtbiri 303 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  S  e.  _V  ->  -.  f  e.  ( Base `  ( S X_s R ) ) )
1312con4i 130 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  e.  ( Base `  ( S X_s R ) )  ->  S  e.  _V )
1413adantl 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  Fn  I  /\  I  e.  Fin )  /\  f  e.  (
Base `  ( S X_s R ) ) )  ->  S  e.  _V )
15 simplr 749 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  Fn  I  /\  I  e.  Fin )  /\  f  e.  (
Base `  ( S X_s R ) ) )  ->  I  e.  Fin )
16 simpll 748 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  Fn  I  /\  I  e.  Fin )  /\  f  e.  (
Base `  ( S X_s R ) ) )  ->  R  Fn  I )
17 simpr 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  Fn  I  /\  I  e.  Fin )  /\  f  e.  (
Base `  ( S X_s R ) ) )  -> 
f  e.  ( Base `  ( S X_s R ) ) )
183, 4, 14, 15, 16, 17prdsbasfn 14405 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  Fn  I  /\  I  e.  Fin )  /\  f  e.  (
Base `  ( S X_s R ) ) )  -> 
f  Fn  I )
19 fndm 5507 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  Fn  I  ->  dom  f  =  I )
2018, 19syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  Fn  I  /\  I  e.  Fin )  /\  f  e.  (
Base `  ( S X_s R ) ) )  ->  dom  f  =  I
)
2120, 15eqeltrd 2515 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  Fn  I  /\  I  e.  Fin )  /\  f  e.  (
Base `  ( S X_s R ) ) )  ->  dom  f  e.  Fin )
22 difss 3480 . . . . . . . . 9  |-  ( f 
\  ( 0g  o.  R ) )  C_  f
23 dmss 5035 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  \  ( 0g  o.  R ) ) 
C_  f  ->  dom  ( f  \  ( 0g  o.  R ) ) 
C_  dom  f )
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  dom  (
f  \  ( 0g  o.  R ) )  C_  dom  f
25 ssfi 7529 . . . . . . . 8  |-  ( ( dom  f  e.  Fin  /\ 
dom  ( f  \ 
( 0g  o.  R
) )  C_  dom  f )  ->  dom  ( f  \  ( 0g  o.  R ) )  e.  Fin )
2621, 24, 25sylancl 657 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  Fn  I  /\  I  e.  Fin )  /\  f  e.  (
Base `  ( S X_s R ) ) )  ->  dom  ( f  \  ( 0g  o.  R ) )  e.  Fin )
2726ralrimiva 2797 . . . . . 6  |-  ( ( R  Fn  I  /\  I  e.  Fin )  ->  A. f  e.  (
Base `  ( S X_s R ) ) dom  (
f  \  ( 0g  o.  R ) )  e. 
Fin )
28 rabid2 2896 . . . . . 6  |-  ( (
Base `  ( S X_s R ) )  =  {
f  e.  ( Base `  ( S X_s R ) )  |  dom  ( f  \ 
( 0g  o.  R
) )  e.  Fin }  <->  A. f  e.  ( Base `  ( S X_s R
) ) dom  (
f  \  ( 0g  o.  R ) )  e. 
Fin )
2927, 28sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ( R  Fn  I  /\  I  e.  Fin )  ->  ( Base `  ( S X_s R ) )  =  { f  e.  (
Base `  ( S X_s R ) )  |  dom  ( f  \  ( 0g  o.  R ) )  e.  Fin } )
30 eqid 2441 . . . . . 6  |-  { f  e.  ( Base `  ( S X_s R ) )  |  dom  ( f  \ 
( 0g  o.  R
) )  e.  Fin }  =  { f  e.  ( Base `  ( S X_s R ) )  |  dom  ( f  \ 
( 0g  o.  R
) )  e.  Fin }
313, 30dsmmbas2 18121 . . . . 5  |-  ( ( R  Fn  I  /\  I  e.  Fin )  ->  { f  e.  (
Base `  ( S X_s R ) )  |  dom  ( f  \  ( 0g  o.  R ) )  e.  Fin }  =  ( Base `  ( S  (+)m 
R ) ) )
3229, 31eqtr2d 2474 . . . 4  |-  ( ( R  Fn  I  /\  I  e.  Fin )  ->  ( Base `  ( S  (+)m  R ) )  =  ( Base `  ( S X_s R ) ) )
3332oveq2d 6106 . . 3  |-  ( ( R  Fn  I  /\  I  e.  Fin )  ->  ( ( S X_s R
)s  ( Base `  ( S  (+)m  R ) ) )  =  ( ( S
X_s
R )s  ( Base `  ( S X_s R ) ) ) )
34 ovex 6115 . . . 4  |-  ( S
X_s
R )  e.  _V
354ressid 14229 . . . 4  |-  ( ( S X_s R )  e.  _V  ->  ( ( S X_s R
)s  ( Base `  ( S X_s R ) ) )  =  ( S X_s R
) )
3634, 35ax-mp 5 . . 3  |-  ( ( S X_s R )s  ( Base `  ( S X_s R ) ) )  =  ( S X_s R
)
3733, 36syl6eq 2489 . 2  |-  ( ( R  Fn  I  /\  I  e.  Fin )  ->  ( ( S X_s R
)s  ( Base `  ( S  (+)m  R ) ) )  =  ( S X_s R
) )
382, 37syl5eq 2485 1  |-  ( ( R  Fn  I  /\  I  e.  Fin )  ->  ( S  (+)m  R )  =  ( S X_s R
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   A.wral 2713   {crab 2717   _Vcvv 2970    \ cdif 3322    C_ wss 3325   (/)c0 3634   dom cdm 4836    o. ccom 4840    Fn wfn 5410   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   Fincfn 7306   Basecbs 14170   ↾s cress 14171   0gc0g 14374   X_scprds 14380    (+)m cdsmm 18115
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-sup 7687  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-fz 11434  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-hom 14258  df-cco 14259  df-0g 14376  df-prds 14382  df-dsmm 18116
This theorem is referenced by:  frlmpwsfi  18136
  Copyright terms: Public domain W3C validator