Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dsmmacl Structured version   Unicode version

Theorem dsmmacl 19246
 Description: The finite hull is closed under addition. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dsmmcl.p s
dsmmcl.h m
dsmmcl.i
dsmmcl.s
dsmmcl.r
dsmmacl.j
dsmmacl.k
dsmmacl.a
Assertion
Ref Expression
dsmmacl

Proof of Theorem dsmmacl
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dsmmcl.p . . 3 s
2 eqid 2428 . . 3
3 dsmmacl.a . . 3
4 dsmmcl.s . . 3
5 dsmmcl.i . . 3
6 dsmmcl.r . . 3
7 dsmmacl.j . . . . 5
8 eqid 2428 . . . . . 6 m m
9 dsmmcl.h . . . . . 6 m
10 ffn 5689 . . . . . . 7
116, 10syl 17 . . . . . 6
121, 8, 2, 9, 5, 11dsmmelbas 19244 . . . . 5
137, 12mpbid 213 . . . 4
1413simpld 460 . . 3
15 dsmmacl.k . . . . 5
161, 8, 2, 9, 5, 11dsmmelbas 19244 . . . . 5
1715, 16mpbid 213 . . . 4
1817simpld 460 . . 3
191, 2, 3, 4, 5, 6, 14, 18prdsplusgcl 16510 . 2
204adantr 466 . . . . . 6
215adantr 466 . . . . . 6
2211adantr 466 . . . . . 6
2314adantr 466 . . . . . 6
2418adantr 466 . . . . . 6
25 simpr 462 . . . . . 6
261, 2, 20, 21, 22, 23, 24, 3, 25prdsplusgfval 15315 . . . . 5
2726neeq1d 2660 . . . 4
2827rabbidva 3012 . . 3
2913simprd 464 . . . . 5
3017simprd 464 . . . . 5
31 unfi 7791 . . . . 5
3229, 30, 31syl2anc 665 . . . 4
33 neorian 2695 . . . . . . . . . 10
3433bicomi 205 . . . . . . . . 9
3534con1bii 332 . . . . . . . 8
366ffvelrnda 5981 . . . . . . . . . 10
37 eqid 2428 . . . . . . . . . . . 12
38 eqid 2428 . . . . . . . . . . . 12
3937, 38mndidcl 16497 . . . . . . . . . . 11
4036, 39syl 17 . . . . . . . . . 10
41 eqid 2428 . . . . . . . . . . 11
4237, 41, 38mndlid 16500 . . . . . . . . . 10
4336, 40, 42syl2anc 665 . . . . . . . . 9
44 oveq12 6258 . . . . . . . . . 10
4544eqeq1d 2430 . . . . . . . . 9
4643, 45syl5ibrcom 225 . . . . . . . 8
4735, 46syl5bi 220 . . . . . . 7
4847necon1ad 2618 . . . . . 6
4948ss2rabdv 3485 . . . . 5
50 unrab 3687 . . . . 5
5149, 50syl6sseqr 3454 . . . 4
52 ssfi 7745 . . . 4
5332, 51, 52syl2anc 665 . . 3
5428, 53eqeltrd 2506 . 2
551, 8, 2, 9, 5, 11dsmmelbas 19244 . 2
5619, 54, 55mpbir2and 930 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wo 369   wa 370   wceq 1437   wcel 1872   wne 2599  crab 2718   cun 3377   wss 3379   wfn 5539  wf 5540  cfv 5544  (class class class)co 6249  cfn 7524  cbs 15064   cplusg 15133  c0g 15281  scprds 15287  cmnd 16478   m cdsmm 19236 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-1o 7137  df-oadd 7141  df-er 7318  df-map 7429  df-ixp 7478  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-fin 7528  df-sup 7909  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-nn 10561  df-2 10619  df-3 10620  df-4 10621  df-5 10622  df-6 10623  df-7 10624  df-8 10625  df-9 10626  df-10 10627  df-n0 10821  df-z 10889  df-dec 11003  df-uz 11111  df-fz 11736  df-struct 15066  df-ndx 15067  df-slot 15068  df-base 15069  df-sets 15070  df-ress 15071  df-plusg 15146  df-mulr 15147  df-sca 15149  df-vsca 15150  df-ip 15151  df-tset 15152  df-ple 15153  df-ds 15155  df-hom 15157  df-cco 15158  df-0g 15283  df-prds 15289  df-mgm 16431  df-sgrp 16470  df-mnd 16480  df-dsmm 19237 This theorem is referenced by:  dsmmsubg  19248
 Copyright terms: Public domain W3C validator