Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dsmm0cl Structured version   Unicode version

Theorem dsmm0cl 18638
 Description: The all-zero vector is contained in the finite hull, since its support is empty and therefore finite. This theorem along with the next one effectively proves that the finite hull is a "submonoid", although that does not exist as a defined concept yet. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dsmmcl.p s
dsmmcl.h m
dsmmcl.i
dsmmcl.s
dsmmcl.r
dsmm0cl.z
Assertion
Ref Expression
dsmm0cl

Proof of Theorem dsmm0cl
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dsmmcl.p . . . 4 s
2 dsmmcl.i . . . 4
3 dsmmcl.s . . . 4
4 dsmmcl.r . . . 4
51, 2, 3, 4prdsmndd 15822 . . 3
6 eqid 2441 . . . 4
7 dsmm0cl.z . . . 4
86, 7mndidcl 15807 . . 3
95, 8syl 16 . 2
101, 2, 3, 4prds0g 15823 . . . . . . . . . 10
1110, 7syl6eqr 2500 . . . . . . . . 9
1211adantr 465 . . . . . . . 8
1312fveq1d 5854 . . . . . . 7
14 ffn 5717 . . . . . . . . 9
154, 14syl 16 . . . . . . . 8
16 fvco2 5929 . . . . . . . 8
1715, 16sylan 471 . . . . . . 7
1813, 17eqtr3d 2484 . . . . . 6
19 nne 2642 . . . . . 6
2018, 19sylibr 212 . . . . 5
2120ralrimiva 2855 . . . 4
22 rabeq0 3789 . . . 4
2321, 22sylibr 212 . . 3
24 0fin 7745 . . 3
2523, 24syl6eqel 2537 . 2
26 eqid 2441 . . 3 m m
27 dsmmcl.h . . 3 m
281, 26, 6, 27, 2, 15dsmmelbas 18637 . 2
299, 25, 28mpbir2and 920 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 369   wceq 1381   wcel 1802   wne 2636  wral 2791  crab 2795  c0 3767   ccom 4989   wfn 5569  wf 5570  cfv 5574  (class class class)co 6277  cfn 7514  cbs 14504  c0g 14709  scprds 14715  cmnd 15788   m cdsmm 18629 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-1o 7128  df-oadd 7132  df-er 7309  df-map 7420  df-ixp 7468  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-sup 7899  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10980  df-uz 11086  df-fz 11677  df-struct 14506  df-ndx 14507  df-slot 14508  df-base 14509  df-sets 14510  df-ress 14511  df-plusg 14582  df-mulr 14583  df-sca 14585  df-vsca 14586  df-ip 14587  df-tset 14588  df-ple 14589  df-ds 14591  df-hom 14593  df-cco 14594  df-0g 14711  df-prds 14717  df-mgm 15741  df-sgrp 15780  df-mnd 15790  df-dsmm 18630 This theorem is referenced by:  dsmmsubg  18641
 Copyright terms: Public domain W3C validator