Theorem drsdirfi 16170

Description: Any finite number of elements in a directed set have a common upper bound. Here is where the non-emptiness constraint in df-drs 16161 first comes into play; without it we would need an additional constraint that X not be empty. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
drsbn0.b	|- B = ( Base ` K )
drsdirfi.l	|- .<_ = ( le ` K )

Assertion

Ref	Expression
drsdirfi	|- ( ( K e. Dirset /\ X C_ B /\ X e. Fin ) -> E. y e. B A. z e. X z .<_ y )

Distinct variable groups:   y, K, z   y, B, z   y, .<_ , z   y, X, z

Proof of Theorem drsdirfi

Dummy variables a b c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1 3485	. . . . . 6 |- ( a = (/) -> ( a C_ B <-> (/) C_ B ) )
2	1	anbi2d 708	. . . . 5 |- ( a = (/) -> ( ( K e. Dirset /\ a C_ B ) <-> ( K e. Dirset /\ (/) C_ B ) ) )
3		raleq 3025	. . . . . 6 |- ( a = (/) -> ( A. z e. a z .<_ y <-> A. z e. (/) z .<_ y ) )
4	3	rexbidv 2939	. . . . 5 |- ( a = (/) -> ( E. y e. B A. z e. a z .<_ y <-> E. y e. B A. z e. (/) z .<_ y ) )
5	2, 4	imbi12d 321	. . . 4 |- ( a = (/) -> ( ( ( K e. Dirset /\ a C_ B ) -> E. y e. B A. z e. a z .<_ y ) <-> ( ( K e. Dirset /\ (/) C_ B ) -> E. y e. B A. z e. (/) z .<_ y ) ) )
6		sseq1 3485	. . . . . 6 |- ( a = b -> ( a C_ B <-> b C_ B ) )
7	6	anbi2d 708	. . . . 5 |- ( a = b -> ( ( K e. Dirset /\ a C_ B ) <-> ( K e. Dirset /\ b C_ B ) ) )
8		raleq 3025	. . . . . 6 |- ( a = b -> ( A. z e. a z .<_ y <-> A. z e. b z .<_ y ) )
9	8	rexbidv 2939	. . . . 5 |- ( a = b -> ( E. y e. B A. z e. a z .<_ y <-> E. y e. B A. z e. b z .<_ y ) )
10	7, 9	imbi12d 321	. . . 4 |- ( a = b -> ( ( ( K e. Dirset /\ a C_ B ) -> E. y e. B A. z e. a z .<_ y ) <-> ( ( K e. Dirset /\ b C_ B ) -> E. y e. B A. z e. b z .<_ y ) ) )
11		sseq1 3485	. . . . . 6 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( a C_ B <-> ( b u. { c } ) C_ B ) )
12	11	anbi2d 708	. . . . 5 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( ( K e. Dirset /\ a C_ B ) <-> ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) ) )
13		raleq 3025	. . . . . 6 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( A. z e. a z .<_ y <-> A. z e. ( b u. { c } ) z .<_ y ) )
14	13	rexbidv 2939	. . . . 5 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( E. y e. B A. z e. a z .<_ y <-> E. y e. B A. z e. ( b u. { c } ) z .<_ y ) )
15	12, 14	imbi12d 321	. . . 4 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( ( ( K e. Dirset /\ a C_ B ) -> E. y e. B A. z e. a z .<_ y ) <-> ( ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) -> E. y e. B A. z e. ( b u. { c } ) z .<_ y ) ) )
16		sseq1 3485	. . . . . 6 |- ( a = X -> ( a C_ B <-> X C_ B ) )
17	16	anbi2d 708	. . . . 5 |- ( a = X -> ( ( K e. Dirset /\ a C_ B ) <-> ( K e. Dirset /\ X C_ B ) ) )
18		raleq 3025	. . . . . 6 |- ( a = X -> ( A. z e. a z .<_ y <-> A. z e. X z .<_ y ) )
19	18	rexbidv 2939	. . . . 5 |- ( a = X -> ( E. y e. B A. z e. a z .<_ y <-> E. y e. B A. z e. X z .<_ y ) )
20	17, 19	imbi12d 321	. . . 4 |- ( a = X -> ( ( ( K e. Dirset /\ a C_ B ) -> E. y e. B A. z e. a z .<_ y ) <-> ( ( K e. Dirset /\ X C_ B ) -> E. y e. B A. z e. X z .<_ y ) ) )
21		drsbn0.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` K )
22	21	drsbn0 16169	. . . . . 6 |- ( K e. Dirset -> B =/= (/) )
23		ral0 3902	. . . . . . . . 9 |- A. z e. (/) z .<_ y
24	23	jctr 544	. . . . . . . 8 |- ( y e. B -> ( y e. B /\ A. z e. (/) z .<_ y ) )
25	24	eximi 1702	. . . . . . 7 |- ( E. y y e. B -> E. y ( y e. B /\ A. z e. (/) z .<_ y ) )
26		n0 3771	. . . . . . 7 |- ( B =/= (/) <-> E. y y e. B )
27		df-rex 2781	. . . . . . 7 |- ( E. y e. B A. z e. (/) z .<_ y <-> E. y ( y e. B /\ A. z e. (/) z .<_ y ) )
28	25, 26, 27	3imtr4i 269	. . . . . 6 |- ( B =/= (/) -> E. y e. B A. z e. (/) z .<_ y )
29	22, 28	syl 17	. . . . 5 |- ( K e. Dirset -> E. y e. B A. z e. (/) z .<_ y )
30	29	adantr 466	. . . 4 |- ( ( K e. Dirset /\ (/) C_ B ) -> E. y e. B A. z e. (/) z .<_ y )
31		ssun1 3629	. . . . . . . . 9 |- b C_ ( b u. { c } )
32		sstr 3472	. . . . . . . . 9 |- ( ( b C_ ( b u. { c } ) /\ ( b u. { c } ) C_ B ) -> b C_ B )
33	31, 32	mpan 674	. . . . . . . 8 |- ( ( b u. { c } ) C_ B -> b C_ B )
34	33	anim2i 571	. . . . . . 7 |- ( ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) -> ( K e. Dirset /\ b C_ B ) )
35		breq2 4424	. . . . . . . . . 10 |- ( y = a -> ( z .<_ y <-> z .<_ a ) )
36	35	ralbidv 2864	. . . . . . . . 9 |- ( y = a -> ( A. z e. b z .<_ y <-> A. z e. b z .<_ a ) )
37	36	cbvrexv 3056	. . . . . . . 8 |- ( E. y e. B A. z e. b z .<_ y <-> E. a e. B A. z e. b z .<_ a )
38		simplrr 769	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) /\ ( a e. B /\ A. z e. b z .<_ a ) ) /\ ( y e. B /\ ( a .<_ y /\ c .<_ y ) ) ) -> A. z e. b z .<_ a )
39		drsprs 16168	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( K e. Dirset -> K e. Preset )
40	39	ad5antr 738	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) /\ a e. B ) /\ ( y e. B /\ ( a .<_ y /\ c .<_ y ) ) ) /\ z e. b ) /\ z .<_ a ) -> K e. Preset )
41	33	ad2antlr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) /\ a e. B ) -> b C_ B )
42	41	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) /\ a e. B ) /\ ( y e. B /\ ( a .<_ y /\ c .<_ y ) ) ) -> b C_ B )
43	42	sselda 3464	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) /\ a e. B ) /\ ( y e. B /\ ( a .<_ y /\ c .<_ y ) ) ) /\ z e. b ) -> z e. B )
44	43	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) /\ a e. B ) /\ ( y e. B /\ ( a .<_ y /\ c .<_ y ) ) ) /\ z e. b ) /\ z .<_ a ) -> z e. B )
45		simp-4r 775	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) /\ a e. B ) /\ ( y e. B /\ ( a .<_ y /\ c .<_ y ) ) ) /\ z e. b ) /\ z .<_ a ) -> a e. B )
46		simprl 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) /\ a e. B ) /\ ( y e. B /\ ( a .<_ y /\ c .<_ y ) ) ) -> y e. B )
47	46	ad2antrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) /\ a e. B ) /\ ( y e. B /\ ( a .<_ y /\ c .<_ y ) ) ) /\ z e. b ) /\ z .<_ a ) -> y e. B )
48		simpr 462	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) /\ a e. B ) /\ ( y e. B /\ ( a .<_ y /\ c .<_ y ) ) ) /\ z e. b ) /\ z .<_ a ) -> z .<_ a )
49		simprrl 772	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) /\ a e. B ) /\ ( y e. B /\ ( a .<_ y /\ c .<_ y ) ) ) -> a .<_ y )
50	49	ad2antrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) /\ a e. B ) /\ ( y e. B /\ ( a .<_ y /\ c .<_ y ) ) ) /\ z e. b ) /\ z .<_ a ) -> a .<_ y )
51		drsdirfi.l	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- .<_ = ( le ` K )
52	21, 51	prstr 16165	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( K e. Preset /\ ( z e. B /\ a e. B /\ y e. B ) /\ ( z .<_ a /\ a .<_ y ) ) -> z .<_ y )
53	40, 44, 45, 47, 48, 50, 52	syl132anc 1282	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) /\ a e. B ) /\ ( y e. B /\ ( a .<_ y /\ c .<_ y ) ) ) /\ z e. b ) /\ z .<_ a ) -> z .<_ y )
54	53	ex 435	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) /\ a e. B ) /\ ( y e. B /\ ( a .<_ y /\ c .<_ y ) ) ) /\ z e. b ) -> ( z .<_ a -> z .<_ y ) )
55	54	ralimdva 2833	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) /\ a e. B ) /\ ( y e. B /\ ( a .<_ y /\ c .<_ y ) ) ) -> ( A. z e. b z .<_ a -> A. z e. b z .<_ y ) )
56	55	adantlrr 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) /\ ( a e. B /\ A. z e. b z .<_ a ) ) /\ ( y e. B /\ ( a .<_ y /\ c .<_ y ) ) ) -> ( A. z e. b z .<_ a -> A. z e. b z .<_ y ) )
57	38, 56	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) /\ ( a e. B /\ A. z e. b z .<_ a ) ) /\ ( y e. B /\ ( a .<_ y /\ c .<_ y ) ) ) -> A. z e. b z .<_ y )
58		simprrr 773	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) /\ ( a e. B /\ A. z e. b z .<_ a ) ) /\ ( y e. B /\ ( a .<_ y /\ c .<_ y ) ) ) -> c .<_ y )
59		vex 3084	. . . . . . . . . . . . 13 |- c e. _V
60		breq1 4423	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = c -> ( z .<_ y <-> c .<_ y ) )
61	59, 60	ralsn 4035	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. z e. { c } z .<_ y <-> c .<_ y )
62	58, 61	sylibr 215	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) /\ ( a e. B /\ A. z e. b z .<_ a ) ) /\ ( y e. B /\ ( a .<_ y /\ c .<_ y ) ) ) -> A. z e. { c } z .<_ y )
63		ralun 3648	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. z e. b z .<_ y /\ A. z e. { c } z .<_ y ) -> A. z e. ( b u. { c } ) z .<_ y )
64	57, 62, 63	syl2anc 665	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) /\ ( a e. B /\ A. z e. b z .<_ a ) ) /\ ( y e. B /\ ( a .<_ y /\ c .<_ y ) ) ) -> A. z e. ( b u. { c } ) z .<_ y )
65		simpll 758	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) /\ ( a e. B /\ A. z e. b z .<_ a ) ) -> K e. Dirset )
66		simprl 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) /\ ( a e. B /\ A. z e. b z .<_ a ) ) -> a e. B )
67		ssun2 3630	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { c } C_ ( b u. { c } )
68		sstr 3472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( { c } C_ ( b u. { c } ) /\ ( b u. { c } ) C_ B ) -> { c } C_ B )
69	67, 68	mpan 674	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( b u. { c } ) C_ B -> { c } C_ B )
70	59	snss 4121	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( c e. B <-> { c } C_ B )
71	69, 70	sylibr 215	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( b u. { c } ) C_ B -> c e. B )
72	71	ad2antlr 731	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) /\ ( a e. B /\ A. z e. b z .<_ a ) ) -> c e. B )
73	21, 51	drsdir 16167	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. Dirset /\ a e. B /\ c e. B ) -> E. y e. B ( a .<_ y /\ c .<_ y ) )
74	65, 66, 72, 73	syl3anc 1264	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) /\ ( a e. B /\ A. z e. b z .<_ a ) ) -> E. y e. B ( a .<_ y /\ c .<_ y ) )
75	64, 74	reximddv 2901	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) /\ ( a e. B /\ A. z e. b z .<_ a ) ) -> E. y e. B A. z e. ( b u. { c } ) z .<_ y )
76	75	rexlimdvaa 2918	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) -> ( E. a e. B A. z e. b z .<_ a -> E. y e. B A. z e. ( b u. { c } ) z .<_ y ) )
77	37, 76	syl5bi 220	. . . . . . 7 |- ( ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) -> ( E. y e. B A. z e. b z .<_ y -> E. y e. B A. z e. ( b u. { c } ) z .<_ y ) )
78	34, 77	embantd 56	. . . . . 6 |- ( ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) -> ( ( ( K e. Dirset /\ b C_ B ) -> E. y e. B A. z e. b z .<_ y ) -> E. y e. B A. z e. ( b u. { c } ) z .<_ y ) )
79	78	com12 32	. . . . 5 |- ( ( ( K e. Dirset /\ b C_ B ) -> E. y e. B A. z e. b z .<_ y ) -> ( ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) -> E. y e. B A. z e. ( b u. { c } ) z .<_ y ) )
80	79	a1i 11	. . . 4 |- ( b e. Fin -> ( ( ( K e. Dirset /\ b C_ B ) -> E. y e. B A. z e. b z .<_ y ) -> ( ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) -> E. y e. B A. z e. ( b u. { c } ) z .<_ y ) ) )
81	5, 10, 15, 20, 30, 80	findcard2 7813	. . 3 |- ( X e. Fin -> ( ( K e. Dirset /\ X C_ B ) -> E. y e. B A. z e. X z .<_ y ) )
82	81	com12 32	. 2 |- ( ( K e. Dirset /\ X C_ B ) -> ( X e. Fin -> E. y e. B A. z e. X z .<_ y ) )
83	82	3impia 1202	1 |- ( ( K e. Dirset /\ X C_ B /\ X e. Fin ) -> E. y e. B A. z e. X z .<_ y )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 370   /\ w3a 982   = wceq 1437   E.wex 1659   e. wcel 1868   =/= wne 2618   A.wral 2775   E.wrex 2776   u. cun 3434   C_ wss 3436   (/)c0 3761   {csn 3996   class class class wbr 4420   ` cfv 5597   Fincfn 7573   Basecbs 15108   lecple 15184   Preset cpreset 16158  Dirsetcdrs 16159

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-ral 2780  df-rex 2781  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-br 4421  df-opab 4480  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-om 6703  df-1o 7186  df-er 7367  df-en 7574  df-fin 7577  df-preset 16160  df-drs 16161

This theorem is referenced by:  isdrs2  16171  ipodrsfi  16396