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Theorem drsdirfi 15442
Description: Any finite number of elements in a directed set have a common upper bound. Here is where the non-emptiness constraint in df-drs 15433 first comes into play; without it we would need an additional constraint that  X not be empty. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
drsbn0.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
drsdirfi.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
Assertion
Ref Expression
drsdirfi  |-  ( ( K  e. Dirset  /\  X  C_  B  /\  X  e.  Fin )  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  X  z  .<_  y )
Distinct variable groups:    y, K, z    y, B, z    y,  .<_ , z    y, X, z

Proof of Theorem drsdirfi
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseq1 3530 . . . . . 6  |-  ( a  =  (/)  ->  ( a 
C_  B  <->  (/)  C_  B
) )
21anbi2d 703 . . . . 5  |-  ( a  =  (/)  ->  ( ( K  e. Dirset  /\  a  C_  B )  <->  ( K  e. Dirset  /\  (/)  C_  B )
) )
3 raleq 3063 . . . . . 6  |-  ( a  =  (/)  ->  ( A. z  e.  a  z  .<_  y  <->  A. z  e.  (/)  z  .<_  y ) )
43rexbidv 2978 . . . . 5  |-  ( a  =  (/)  ->  ( E. y  e.  B  A. z  e.  a  z  .<_  y  <->  E. y  e.  B  A. z  e.  (/)  z  .<_  y ) )
52, 4imbi12d 320 . . . 4  |-  ( a  =  (/)  ->  ( ( ( K  e. Dirset  /\  a  C_  B )  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  a  z  .<_  y )  <->  ( ( K  e. Dirset  /\  (/)  C_  B )  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  (/)  z  .<_  y ) ) )
6 sseq1 3530 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  (
a  C_  B  <->  b  C_  B ) )
76anbi2d 703 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  (
( K  e. Dirset  /\  a  C_  B )  <->  ( K  e. Dirset  /\  b  C_  B
) ) )
8 raleq 3063 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  ( A. z  e.  a 
z  .<_  y  <->  A. z  e.  b  z  .<_  y ) )
98rexbidv 2978 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  ( E. y  e.  B  A. z  e.  a 
z  .<_  y  <->  E. y  e.  B  A. z  e.  b  z  .<_  y ) )
107, 9imbi12d 320 . . . 4  |-  ( a  =  b  ->  (
( ( K  e. Dirset  /\  a  C_  B )  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  a 
z  .<_  y )  <->  ( ( K  e. Dirset  /\  b  C_  B )  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  b  z  .<_  y ) ) )
11 sseq1 3530 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( a  C_  B 
<->  ( b  u.  {
c } )  C_  B ) )
1211anbi2d 703 . . . . 5  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( ( K  e. Dirset  /\  a  C_  B
)  <->  ( K  e. Dirset  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  B ) ) )
13 raleq 3063 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( A. z  e.  a  z  .<_  y  <->  A. z  e.  (
b  u.  { c } ) z  .<_  y ) )
1413rexbidv 2978 . . . . 5  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( E. y  e.  B  A. z  e.  a  z  .<_  y  <->  E. y  e.  B  A. z  e.  (
b  u.  { c } ) z  .<_  y ) )
1512, 14imbi12d 320 . . . 4  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( ( ( K  e. Dirset  /\  a  C_  B )  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  a  z  .<_  y )  <->  ( ( K  e. Dirset  /\  ( b  u. 
{ c } ) 
C_  B )  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  (
b  u.  { c } ) z  .<_  y ) ) )
16 sseq1 3530 . . . . . 6  |-  ( a  =  X  ->  (
a  C_  B  <->  X  C_  B
) )
1716anbi2d 703 . . . . 5  |-  ( a  =  X  ->  (
( K  e. Dirset  /\  a  C_  B )  <->  ( K  e. Dirset  /\  X  C_  B
) ) )
18 raleq 3063 . . . . . 6  |-  ( a  =  X  ->  ( A. z  e.  a 
z  .<_  y  <->  A. z  e.  X  z  .<_  y ) )
1918rexbidv 2978 . . . . 5  |-  ( a  =  X  ->  ( E. y  e.  B  A. z  e.  a 
z  .<_  y  <->  E. y  e.  B  A. z  e.  X  z  .<_  y ) )
2017, 19imbi12d 320 . . . 4  |-  ( a  =  X  ->  (
( ( K  e. Dirset  /\  a  C_  B )  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  a 
z  .<_  y )  <->  ( ( K  e. Dirset  /\  X  C_  B )  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  X  z  .<_  y ) ) )
21 drsbn0.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  K
)
2221drsbn0 15441 . . . . . 6  |-  ( K  e. Dirset  ->  B  =/=  (/) )
23 ral0 3938 . . . . . . . . 9  |-  A. z  e.  (/)  z  .<_  y
2423jctr 542 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  B  ->  (
y  e.  B  /\  A. z  e.  (/)  z  .<_  y ) )
2524eximi 1635 . . . . . . 7  |-  ( E. y  y  e.  B  ->  E. y ( y  e.  B  /\  A. z  e.  (/)  z  .<_  y ) )
26 n0 3799 . . . . . . 7  |-  ( B  =/=  (/)  <->  E. y  y  e.  B )
27 df-rex 2823 . . . . . . 7  |-  ( E. y  e.  B  A. z  e.  (/)  z  .<_  y 
<->  E. y ( y  e.  B  /\  A. z  e.  (/)  z  .<_  y ) )
2825, 26, 273imtr4i 266 . . . . . 6  |-  ( B  =/=  (/)  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  (/)  z  .<_  y )
2922, 28syl 16 . . . . 5  |-  ( K  e. Dirset  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  (/)  z  .<_  y )
3029adantr 465 . . . 4  |-  ( ( K  e. Dirset  /\  (/)  C_  B
)  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  (/)  z  .<_  y )
31 ssun1 3672 . . . . . . . . 9  |-  b  C_  ( b  u.  {
c } )
32 sstr 3517 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  C_  ( b  u.  { c } )  /\  ( b  u. 
{ c } ) 
C_  B )  -> 
b  C_  B )
3331, 32mpan 670 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  u.  { c } )  C_  B  ->  b  C_  B )
3433anim2i 569 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e. Dirset  /\  (
b  u.  { c } )  C_  B
)  ->  ( K  e. Dirset  /\  b  C_  B
) )
35 breq2 4457 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  a  ->  (
z  .<_  y  <->  z  .<_  a ) )
3635ralbidv 2906 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  a  ->  ( A. z  e.  b 
z  .<_  y  <->  A. z  e.  b  z  .<_  a ) )
3736cbvrexv 3094 . . . . . . . 8  |-  ( E. y  e.  B  A. z  e.  b  z  .<_  y  <->  E. a  e.  B  A. z  e.  b 
z  .<_  a )
38 simpll 753 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e. Dirset  /\  (
b  u.  { c } )  C_  B
)  /\  ( a  e.  B  /\  A. z  e.  b  z  .<_  a ) )  ->  K  e. Dirset )
39 simprl 755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e. Dirset  /\  (
b  u.  { c } )  C_  B
)  /\  ( a  e.  B  /\  A. z  e.  b  z  .<_  a ) )  ->  a  e.  B )
40 ssun2 3673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { c }  C_  ( b  u.  { c } )
41 sstr 3517 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( { c }  C_  ( b  u.  {
c } )  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  B )  ->  { c }  C_  B )
4240, 41mpan 670 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  u.  { c } )  C_  B  ->  { c }  C_  B )
43 vex 3121 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  c  e. 
_V
4443snss 4157 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  e.  B  <->  { c }  C_  B )
4542, 44sylibr 212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  u.  { c } )  C_  B  ->  c  e.  B )
4645ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e. Dirset  /\  (
b  u.  { c } )  C_  B
)  /\  ( a  e.  B  /\  A. z  e.  b  z  .<_  a ) )  ->  c  e.  B )
47 drsdirfi.l . . . . . . . . . . . 12  |-  .<_  =  ( le `  K )
4821, 47drsdir 15439 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e. Dirset  /\  a  e.  B  /\  c  e.  B )  ->  E. y  e.  B  ( a  .<_  y  /\  c  .<_  y ) )
4938, 39, 46, 48syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e. Dirset  /\  (
b  u.  { c } )  C_  B
)  /\  ( a  e.  B  /\  A. z  e.  b  z  .<_  a ) )  ->  E. y  e.  B  ( a  .<_  y  /\  c  .<_  y ) )
50 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e. Dirset  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  B )  /\  (
a  e.  B  /\  A. z  e.  b  z 
.<_  a ) )  /\  ( y  e.  B  /\  ( a  .<_  y  /\  c  .<_  y ) ) )  ->  A. z  e.  b  z  .<_  a )
51 drsprs 15440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( K  e. Dirset  ->  K  e.  Preset  )
5251ad5antr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( K  e. Dirset  /\  (
b  u.  { c } )  C_  B
)  /\  a  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  ( a  .<_  y  /\  c  .<_  y ) ) )  /\  z  e.  b )  /\  z  .<_  a )  ->  K  e.  Preset  )
5333ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( K  e. Dirset  /\  (
b  u.  { c } )  C_  B
)  /\  a  e.  B )  ->  b  C_  B )
5453adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( K  e. Dirset  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  B )  /\  a  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  ( a  .<_  y  /\  c  .<_  y ) ) )  ->  b  C_  B )
5554sselda 3509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( K  e. Dirset  /\  ( b  u. 
{ c } ) 
C_  B )  /\  a  e.  B )  /\  ( y  e.  B  /\  ( a  .<_  y  /\  c  .<_  y ) ) )  /\  z  e.  b )  ->  z  e.  B )
5655adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( K  e. Dirset  /\  (
b  u.  { c } )  C_  B
)  /\  a  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  ( a  .<_  y  /\  c  .<_  y ) ) )  /\  z  e.  b )  /\  z  .<_  a )  ->  z  e.  B )
57 simp-4r 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( K  e. Dirset  /\  (
b  u.  { c } )  C_  B
)  /\  a  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  ( a  .<_  y  /\  c  .<_  y ) ) )  /\  z  e.  b )  /\  z  .<_  a )  ->  a  e.  B )
58 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( K  e. Dirset  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  B )  /\  a  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  ( a  .<_  y  /\  c  .<_  y ) ) )  ->  y  e.  B )
5958ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( K  e. Dirset  /\  (
b  u.  { c } )  C_  B
)  /\  a  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  ( a  .<_  y  /\  c  .<_  y ) ) )  /\  z  e.  b )  /\  z  .<_  a )  ->  y  e.  B )
60 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( K  e. Dirset  /\  (
b  u.  { c } )  C_  B
)  /\  a  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  ( a  .<_  y  /\  c  .<_  y ) ) )  /\  z  e.  b )  /\  z  .<_  a )  ->  z  .<_  a )
61 simprrl 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( K  e. Dirset  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  B )  /\  a  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  ( a  .<_  y  /\  c  .<_  y ) ) )  ->  a  .<_  y )
6261ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( K  e. Dirset  /\  (
b  u.  { c } )  C_  B
)  /\  a  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  ( a  .<_  y  /\  c  .<_  y ) ) )  /\  z  e.  b )  /\  z  .<_  a )  ->  a  .<_  y )
6321, 47prstr 15437 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  (
z  e.  B  /\  a  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( z  .<_  a  /\  a  .<_  y ) )  ->  z  .<_  y )
6452, 56, 57, 59, 60, 62, 63syl132anc 1246 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( K  e. Dirset  /\  (
b  u.  { c } )  C_  B
)  /\  a  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  ( a  .<_  y  /\  c  .<_  y ) ) )  /\  z  e.  b )  /\  z  .<_  a )  ->  z  .<_  y )
6564ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( K  e. Dirset  /\  ( b  u. 
{ c } ) 
C_  B )  /\  a  e.  B )  /\  ( y  e.  B  /\  ( a  .<_  y  /\  c  .<_  y ) ) )  /\  z  e.  b )  ->  (
z  .<_  a  ->  z  .<_  y ) )
6665ralimdva 2875 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e. Dirset  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  B )  /\  a  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  ( a  .<_  y  /\  c  .<_  y ) ) )  ->  ( A. z  e.  b  z  .<_  a  ->  A. z  e.  b  z  .<_  y ) )
6766adantlrr 720 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e. Dirset  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  B )  /\  (
a  e.  B  /\  A. z  e.  b  z 
.<_  a ) )  /\  ( y  e.  B  /\  ( a  .<_  y  /\  c  .<_  y ) ) )  ->  ( A. z  e.  b  z  .<_  a  ->  A. z  e.  b  z  .<_  y ) )
6850, 67mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e. Dirset  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  B )  /\  (
a  e.  B  /\  A. z  e.  b  z 
.<_  a ) )  /\  ( y  e.  B  /\  ( a  .<_  y  /\  c  .<_  y ) ) )  ->  A. z  e.  b  z  .<_  y )
69 simprrr 764 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e. Dirset  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  B )  /\  (
a  e.  B  /\  A. z  e.  b  z 
.<_  a ) )  /\  ( y  e.  B  /\  ( a  .<_  y  /\  c  .<_  y ) ) )  ->  c  .<_  y )
70 breq1 4456 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  c  ->  (
z  .<_  y  <->  c  .<_  y ) )
7143, 70ralsn 4072 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. z  e.  { c } z  .<_  y  <->  c  .<_  y )
7269, 71sylibr 212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e. Dirset  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  B )  /\  (
a  e.  B  /\  A. z  e.  b  z 
.<_  a ) )  /\  ( y  e.  B  /\  ( a  .<_  y  /\  c  .<_  y ) ) )  ->  A. z  e.  { c } z 
.<_  y )
73 ralun 3691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. z  e.  b  z  .<_  y  /\  A. z  e.  { c } z  .<_  y )  ->  A. z  e.  ( b  u.  { c } ) z  .<_  y )
7468, 72, 73syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e. Dirset  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  B )  /\  (
a  e.  B  /\  A. z  e.  b  z 
.<_  a ) )  /\  ( y  e.  B  /\  ( a  .<_  y  /\  c  .<_  y ) ) )  ->  A. z  e.  ( b  u.  {
c } ) z 
.<_  y )
7574expr 615 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e. Dirset  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  B )  /\  (
a  e.  B  /\  A. z  e.  b  z 
.<_  a ) )  /\  y  e.  B )  ->  ( ( a  .<_  y  /\  c  .<_  y )  ->  A. z  e.  ( b  u.  { c } ) z  .<_  y ) )
7675reximdva 2942 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e. Dirset  /\  (
b  u.  { c } )  C_  B
)  /\  ( a  e.  B  /\  A. z  e.  b  z  .<_  a ) )  ->  ( E. y  e.  B  ( a  .<_  y  /\  c  .<_  y )  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  (
b  u.  { c } ) z  .<_  y ) )
7749, 76mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e. Dirset  /\  (
b  u.  { c } )  C_  B
)  /\  ( a  e.  B  /\  A. z  e.  b  z  .<_  a ) )  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  ( b  u.  {
c } ) z 
.<_  y )
7877rexlimdvaa 2960 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e. Dirset  /\  (
b  u.  { c } )  C_  B
)  ->  ( E. a  e.  B  A. z  e.  b  z  .<_  a  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  ( b  u.  {
c } ) z 
.<_  y ) )
7937, 78syl5bi 217 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e. Dirset  /\  (
b  u.  { c } )  C_  B
)  ->  ( E. y  e.  B  A. z  e.  b  z  .<_  y  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  ( b  u.  {
c } ) z 
.<_  y ) )
8034, 79embantd 54 . . . . . 6  |-  ( ( K  e. Dirset  /\  (
b  u.  { c } )  C_  B
)  ->  ( (
( K  e. Dirset  /\  b  C_  B )  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  b  z  .<_  y )  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  ( b  u.  {
c } ) z 
.<_  y ) )
8180com12 31 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e. Dirset  /\  b  C_  B )  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  b  z  .<_  y )  ->  ( ( K  e. Dirset  /\  ( b  u.  { c } )  C_  B )  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  (
b  u.  { c } ) z  .<_  y ) )
8281a1i 11 . . . 4  |-  ( b  e.  Fin  ->  (
( ( K  e. Dirset  /\  b  C_  B )  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  b 
z  .<_  y )  -> 
( ( K  e. Dirset  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  B )  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  ( b  u.  {
c } ) z 
.<_  y ) ) )
835, 10, 15, 20, 30, 82findcard2 7772 . . 3  |-  ( X  e.  Fin  ->  (
( K  e. Dirset  /\  X  C_  B )  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  X  z  .<_  y ) )
8483com12 31 . 2  |-  ( ( K  e. Dirset  /\  X  C_  B )  ->  ( X  e.  Fin  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  X  z  .<_  y ) )
85843impia 1193 1  |-  ( ( K  e. Dirset  /\  X  C_  B  /\  X  e.  Fin )  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  X  z  .<_  y )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2817   E.wrex 2818    u. cun 3479    C_ wss 3481   (/)c0 3790   {csn 4033   class class class wbr 4453   ` cfv 5594   Fincfn 7528   Basecbs 14507   lecple 14579    Preset cpreset 15430  Dirsetcdrs 15431
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-opab 4512  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-om 6696  df-1o 7142  df-er 7323  df-en 7529  df-fin 7532  df-preset 15432  df-drs 15433
This theorem is referenced by:  isdrs2  15443  ipodrsfi  15667
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