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Theorem drsdirfi 16170
Description: Any finite number of elements in a directed set have a common upper bound. Here is where the non-emptiness constraint in df-drs 16161 first comes into play; without it we would need an additional constraint that  X not be empty. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
drsbn0.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
drsdirfi.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
Assertion
Ref Expression
drsdirfi  |-  ( ( K  e. Dirset  /\  X  C_  B  /\  X  e.  Fin )  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  X  z  .<_  y )
Distinct variable groups:    y, K, z    y, B, z    y,  .<_ , z    y, X, z

Proof of Theorem drsdirfi
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseq1 3485 . . . . . 6  |-  ( a  =  (/)  ->  ( a 
C_  B  <->  (/)  C_  B
) )
21anbi2d 708 . . . . 5  |-  ( a  =  (/)  ->  ( ( K  e. Dirset  /\  a  C_  B )  <->  ( K  e. Dirset  /\  (/)  C_  B )
) )
3 raleq 3025 . . . . . 6  |-  ( a  =  (/)  ->  ( A. z  e.  a  z  .<_  y  <->  A. z  e.  (/)  z  .<_  y ) )
43rexbidv 2939 . . . . 5  |-  ( a  =  (/)  ->  ( E. y  e.  B  A. z  e.  a  z  .<_  y  <->  E. y  e.  B  A. z  e.  (/)  z  .<_  y ) )
52, 4imbi12d 321 . . . 4  |-  ( a  =  (/)  ->  ( ( ( K  e. Dirset  /\  a  C_  B )  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  a  z  .<_  y )  <->  ( ( K  e. Dirset  /\  (/)  C_  B )  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  (/)  z  .<_  y ) ) )
6 sseq1 3485 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  (
a  C_  B  <->  b  C_  B ) )
76anbi2d 708 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  (
( K  e. Dirset  /\  a  C_  B )  <->  ( K  e. Dirset  /\  b  C_  B
) ) )
8 raleq 3025 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  ( A. z  e.  a 
z  .<_  y  <->  A. z  e.  b  z  .<_  y ) )
98rexbidv 2939 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  ( E. y  e.  B  A. z  e.  a 
z  .<_  y  <->  E. y  e.  B  A. z  e.  b  z  .<_  y ) )
107, 9imbi12d 321 . . . 4  |-  ( a  =  b  ->  (
( ( K  e. Dirset  /\  a  C_  B )  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  a 
z  .<_  y )  <->  ( ( K  e. Dirset  /\  b  C_  B )  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  b  z  .<_  y ) ) )
11 sseq1 3485 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( a  C_  B 
<->  ( b  u.  {
c } )  C_  B ) )
1211anbi2d 708 . . . . 5  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( ( K  e. Dirset  /\  a  C_  B
)  <->  ( K  e. Dirset  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  B ) ) )
13 raleq 3025 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( A. z  e.  a  z  .<_  y  <->  A. z  e.  (
b  u.  { c } ) z  .<_  y ) )
1413rexbidv 2939 . . . . 5  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( E. y  e.  B  A. z  e.  a  z  .<_  y  <->  E. y  e.  B  A. z  e.  (
b  u.  { c } ) z  .<_  y ) )
1512, 14imbi12d 321 . . . 4  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( ( ( K  e. Dirset  /\  a  C_  B )  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  a  z  .<_  y )  <->  ( ( K  e. Dirset  /\  ( b  u. 
{ c } ) 
C_  B )  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  (
b  u.  { c } ) z  .<_  y ) ) )
16 sseq1 3485 . . . . . 6  |-  ( a  =  X  ->  (
a  C_  B  <->  X  C_  B
) )
1716anbi2d 708 . . . . 5  |-  ( a  =  X  ->  (
( K  e. Dirset  /\  a  C_  B )  <->  ( K  e. Dirset  /\  X  C_  B
) ) )
18 raleq 3025 . . . . . 6  |-  ( a  =  X  ->  ( A. z  e.  a 
z  .<_  y  <->  A. z  e.  X  z  .<_  y ) )
1918rexbidv 2939 . . . . 5  |-  ( a  =  X  ->  ( E. y  e.  B  A. z  e.  a 
z  .<_  y  <->  E. y  e.  B  A. z  e.  X  z  .<_  y ) )
2017, 19imbi12d 321 . . . 4  |-  ( a  =  X  ->  (
( ( K  e. Dirset  /\  a  C_  B )  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  a 
z  .<_  y )  <->  ( ( K  e. Dirset  /\  X  C_  B )  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  X  z  .<_  y ) ) )
21 drsbn0.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  K
)
2221drsbn0 16169 . . . . . 6  |-  ( K  e. Dirset  ->  B  =/=  (/) )
23 ral0 3902 . . . . . . . . 9  |-  A. z  e.  (/)  z  .<_  y
2423jctr 544 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  B  ->  (
y  e.  B  /\  A. z  e.  (/)  z  .<_  y ) )
2524eximi 1702 . . . . . . 7  |-  ( E. y  y  e.  B  ->  E. y ( y  e.  B  /\  A. z  e.  (/)  z  .<_  y ) )
26 n0 3771 . . . . . . 7  |-  ( B  =/=  (/)  <->  E. y  y  e.  B )
27 df-rex 2781 . . . . . . 7  |-  ( E. y  e.  B  A. z  e.  (/)  z  .<_  y 
<->  E. y ( y  e.  B  /\  A. z  e.  (/)  z  .<_  y ) )
2825, 26, 273imtr4i 269 . . . . . 6  |-  ( B  =/=  (/)  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  (/)  z  .<_  y )
2922, 28syl 17 . . . . 5  |-  ( K  e. Dirset  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  (/)  z  .<_  y )
3029adantr 466 . . . 4  |-  ( ( K  e. Dirset  /\  (/)  C_  B
)  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  (/)  z  .<_  y )
31 ssun1 3629 . . . . . . . . 9  |-  b  C_  ( b  u.  {
c } )
32 sstr 3472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  C_  ( b  u.  { c } )  /\  ( b  u. 
{ c } ) 
C_  B )  -> 
b  C_  B )
3331, 32mpan 674 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  u.  { c } )  C_  B  ->  b  C_  B )
3433anim2i 571 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e. Dirset  /\  (
b  u.  { c } )  C_  B
)  ->  ( K  e. Dirset  /\  b  C_  B
) )
35 breq2 4424 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  a  ->  (
z  .<_  y  <->  z  .<_  a ) )
3635ralbidv 2864 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  a  ->  ( A. z  e.  b 
z  .<_  y  <->  A. z  e.  b  z  .<_  a ) )
3736cbvrexv 3056 . . . . . . . 8  |-  ( E. y  e.  B  A. z  e.  b  z  .<_  y  <->  E. a  e.  B  A. z  e.  b 
z  .<_  a )
38 simplrr 769 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e. Dirset  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  B )  /\  (
a  e.  B  /\  A. z  e.  b  z 
.<_  a ) )  /\  ( y  e.  B  /\  ( a  .<_  y  /\  c  .<_  y ) ) )  ->  A. z  e.  b  z  .<_  a )
39 drsprs 16168 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e. Dirset  ->  K  e.  Preset  )
4039ad5antr 738 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( K  e. Dirset  /\  (
b  u.  { c } )  C_  B
)  /\  a  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  ( a  .<_  y  /\  c  .<_  y ) ) )  /\  z  e.  b )  /\  z  .<_  a )  ->  K  e.  Preset  )
4133ad2antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( K  e. Dirset  /\  (
b  u.  { c } )  C_  B
)  /\  a  e.  B )  ->  b  C_  B )
4241adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( K  e. Dirset  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  B )  /\  a  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  ( a  .<_  y  /\  c  .<_  y ) ) )  ->  b  C_  B )
4342sselda 3464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( K  e. Dirset  /\  ( b  u. 
{ c } ) 
C_  B )  /\  a  e.  B )  /\  ( y  e.  B  /\  ( a  .<_  y  /\  c  .<_  y ) ) )  /\  z  e.  b )  ->  z  e.  B )
4443adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( K  e. Dirset  /\  (
b  u.  { c } )  C_  B
)  /\  a  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  ( a  .<_  y  /\  c  .<_  y ) ) )  /\  z  e.  b )  /\  z  .<_  a )  ->  z  e.  B )
45 simp-4r 775 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( K  e. Dirset  /\  (
b  u.  { c } )  C_  B
)  /\  a  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  ( a  .<_  y  /\  c  .<_  y ) ) )  /\  z  e.  b )  /\  z  .<_  a )  ->  a  e.  B )
46 simprl 762 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( K  e. Dirset  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  B )  /\  a  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  ( a  .<_  y  /\  c  .<_  y ) ) )  ->  y  e.  B )
4746ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( K  e. Dirset  /\  (
b  u.  { c } )  C_  B
)  /\  a  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  ( a  .<_  y  /\  c  .<_  y ) ) )  /\  z  e.  b )  /\  z  .<_  a )  ->  y  e.  B )
48 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( K  e. Dirset  /\  (
b  u.  { c } )  C_  B
)  /\  a  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  ( a  .<_  y  /\  c  .<_  y ) ) )  /\  z  e.  b )  /\  z  .<_  a )  ->  z  .<_  a )
49 simprrl 772 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( K  e. Dirset  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  B )  /\  a  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  ( a  .<_  y  /\  c  .<_  y ) ) )  ->  a  .<_  y )
5049ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( K  e. Dirset  /\  (
b  u.  { c } )  C_  B
)  /\  a  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  ( a  .<_  y  /\  c  .<_  y ) ) )  /\  z  e.  b )  /\  z  .<_  a )  ->  a  .<_  y )
51 drsdirfi.l . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  .<_  =  ( le `  K )
5221, 51prstr 16165 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  (
z  e.  B  /\  a  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( z  .<_  a  /\  a  .<_  y ) )  ->  z  .<_  y )
5340, 44, 45, 47, 48, 50, 52syl132anc 1282 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( K  e. Dirset  /\  (
b  u.  { c } )  C_  B
)  /\  a  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  ( a  .<_  y  /\  c  .<_  y ) ) )  /\  z  e.  b )  /\  z  .<_  a )  ->  z  .<_  y )
5453ex 435 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( K  e. Dirset  /\  ( b  u. 
{ c } ) 
C_  B )  /\  a  e.  B )  /\  ( y  e.  B  /\  ( a  .<_  y  /\  c  .<_  y ) ) )  /\  z  e.  b )  ->  (
z  .<_  a  ->  z  .<_  y ) )
5554ralimdva 2833 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e. Dirset  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  B )  /\  a  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  ( a  .<_  y  /\  c  .<_  y ) ) )  ->  ( A. z  e.  b  z  .<_  a  ->  A. z  e.  b  z  .<_  y ) )
5655adantlrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e. Dirset  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  B )  /\  (
a  e.  B  /\  A. z  e.  b  z 
.<_  a ) )  /\  ( y  e.  B  /\  ( a  .<_  y  /\  c  .<_  y ) ) )  ->  ( A. z  e.  b  z  .<_  a  ->  A. z  e.  b  z  .<_  y ) )
5738, 56mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e. Dirset  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  B )  /\  (
a  e.  B  /\  A. z  e.  b  z 
.<_  a ) )  /\  ( y  e.  B  /\  ( a  .<_  y  /\  c  .<_  y ) ) )  ->  A. z  e.  b  z  .<_  y )
58 simprrr 773 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e. Dirset  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  B )  /\  (
a  e.  B  /\  A. z  e.  b  z 
.<_  a ) )  /\  ( y  e.  B  /\  ( a  .<_  y  /\  c  .<_  y ) ) )  ->  c  .<_  y )
59 vex 3084 . . . . . . . . . . . . 13  |-  c  e. 
_V
60 breq1 4423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  c  ->  (
z  .<_  y  <->  c  .<_  y ) )
6159, 60ralsn 4035 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. z  e.  { c } z  .<_  y  <->  c  .<_  y )
6258, 61sylibr 215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e. Dirset  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  B )  /\  (
a  e.  B  /\  A. z  e.  b  z 
.<_  a ) )  /\  ( y  e.  B  /\  ( a  .<_  y  /\  c  .<_  y ) ) )  ->  A. z  e.  { c } z 
.<_  y )
63 ralun 3648 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. z  e.  b  z  .<_  y  /\  A. z  e.  { c } z  .<_  y )  ->  A. z  e.  ( b  u.  { c } ) z  .<_  y )
6457, 62, 63syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e. Dirset  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  B )  /\  (
a  e.  B  /\  A. z  e.  b  z 
.<_  a ) )  /\  ( y  e.  B  /\  ( a  .<_  y  /\  c  .<_  y ) ) )  ->  A. z  e.  ( b  u.  {
c } ) z 
.<_  y )
65 simpll 758 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e. Dirset  /\  (
b  u.  { c } )  C_  B
)  /\  ( a  e.  B  /\  A. z  e.  b  z  .<_  a ) )  ->  K  e. Dirset )
66 simprl 762 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e. Dirset  /\  (
b  u.  { c } )  C_  B
)  /\  ( a  e.  B  /\  A. z  e.  b  z  .<_  a ) )  ->  a  e.  B )
67 ssun2 3630 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { c }  C_  ( b  u.  { c } )
68 sstr 3472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( { c }  C_  ( b  u.  {
c } )  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  B )  ->  { c }  C_  B )
6967, 68mpan 674 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  u.  { c } )  C_  B  ->  { c }  C_  B )
7059snss 4121 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  e.  B  <->  { c }  C_  B )
7169, 70sylibr 215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  u.  { c } )  C_  B  ->  c  e.  B )
7271ad2antlr 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e. Dirset  /\  (
b  u.  { c } )  C_  B
)  /\  ( a  e.  B  /\  A. z  e.  b  z  .<_  a ) )  ->  c  e.  B )
7321, 51drsdir 16167 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e. Dirset  /\  a  e.  B  /\  c  e.  B )  ->  E. y  e.  B  ( a  .<_  y  /\  c  .<_  y ) )
7465, 66, 72, 73syl3anc 1264 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e. Dirset  /\  (
b  u.  { c } )  C_  B
)  /\  ( a  e.  B  /\  A. z  e.  b  z  .<_  a ) )  ->  E. y  e.  B  ( a  .<_  y  /\  c  .<_  y ) )
7564, 74reximddv 2901 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e. Dirset  /\  (
b  u.  { c } )  C_  B
)  /\  ( a  e.  B  /\  A. z  e.  b  z  .<_  a ) )  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  ( b  u.  {
c } ) z 
.<_  y )
7675rexlimdvaa 2918 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e. Dirset  /\  (
b  u.  { c } )  C_  B
)  ->  ( E. a  e.  B  A. z  e.  b  z  .<_  a  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  ( b  u.  {
c } ) z 
.<_  y ) )
7737, 76syl5bi 220 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e. Dirset  /\  (
b  u.  { c } )  C_  B
)  ->  ( E. y  e.  B  A. z  e.  b  z  .<_  y  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  ( b  u.  {
c } ) z 
.<_  y ) )
7834, 77embantd 56 . . . . . 6  |-  ( ( K  e. Dirset  /\  (
b  u.  { c } )  C_  B
)  ->  ( (
( K  e. Dirset  /\  b  C_  B )  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  b  z  .<_  y )  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  ( b  u.  {
c } ) z 
.<_  y ) )
7978com12 32 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e. Dirset  /\  b  C_  B )  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  b  z  .<_  y )  ->  ( ( K  e. Dirset  /\  ( b  u.  { c } )  C_  B )  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  (
b  u.  { c } ) z  .<_  y ) )
8079a1i 11 . . . 4  |-  ( b  e.  Fin  ->  (
( ( K  e. Dirset  /\  b  C_  B )  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  b 
z  .<_  y )  -> 
( ( K  e. Dirset  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  B )  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  ( b  u.  {
c } ) z 
.<_  y ) ) )
815, 10, 15, 20, 30, 80findcard2 7813 . . 3  |-  ( X  e.  Fin  ->  (
( K  e. Dirset  /\  X  C_  B )  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  X  z  .<_  y ) )
8281com12 32 . 2  |-  ( ( K  e. Dirset  /\  X  C_  B )  ->  ( X  e.  Fin  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  X  z  .<_  y ) )
83823impia 1202 1  |-  ( ( K  e. Dirset  /\  X  C_  B  /\  X  e.  Fin )  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  X  z  .<_  y )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437   E.wex 1659    e. wcel 1868    =/= wne 2618   A.wral 2775   E.wrex 2776    u. cun 3434    C_ wss 3436   (/)c0 3761   {csn 3996   class class class wbr 4420   ` cfv 5597   Fincfn 7573   Basecbs 15108   lecple 15184    Preset cpreset 16158  Dirsetcdrs 16159
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-ral 2780  df-rex 2781  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-br 4421  df-opab 4480  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-om 6703  df-1o 7186  df-er 7367  df-en 7574  df-fin 7577  df-preset 16160  df-drs 16161
This theorem is referenced by:  isdrs2  16171  ipodrsfi  16396
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