Theorem drsdirfi 15104

Description: Any finite number of elements in a directed set have a common upper bound. Here is where the non-emptiness constraint in df-drs 15095 first comes into play; without it we would need an additional constraint that X not be empty. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
drsbn0.b	|- B = ( Base ` K )
drsdirfi.l	|- .<_ = ( le ` K )

Assertion

Ref	Expression
drsdirfi	|- ( ( K e. Dirset /\ X C_ B /\ X e. Fin ) -> E. y e. B A. z e. X z .<_ y )

Distinct variable groups:   y, K, z   y, B, z   y, .<_ , z   y, X, z

Proof of Theorem drsdirfi

Dummy variables a b c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1 3374	. . . . . 6 |- ( a = (/) -> ( a C_ B <-> (/) C_ B ) )
2	1	anbi2d 698	. . . . 5 |- ( a = (/) -> ( ( K e. Dirset /\ a C_ B ) <-> ( K e. Dirset /\ (/) C_ B ) ) )
3		raleq 2915	. . . . . 6 |- ( a = (/) -> ( A. z e. a z .<_ y <-> A. z e. (/) z .<_ y ) )
4	3	rexbidv 2734	. . . . 5 |- ( a = (/) -> ( E. y e. B A. z e. a z .<_ y <-> E. y e. B A. z e. (/) z .<_ y ) )
5	2, 4	imbi12d 320	. . . 4 |- ( a = (/) -> ( ( ( K e. Dirset /\ a C_ B ) -> E. y e. B A. z e. a z .<_ y ) <-> ( ( K e. Dirset /\ (/) C_ B ) -> E. y e. B A. z e. (/) z .<_ y ) ) )
6		sseq1 3374	. . . . . 6 |- ( a = b -> ( a C_ B <-> b C_ B ) )
7	6	anbi2d 698	. . . . 5 |- ( a = b -> ( ( K e. Dirset /\ a C_ B ) <-> ( K e. Dirset /\ b C_ B ) ) )
8		raleq 2915	. . . . . 6 |- ( a = b -> ( A. z e. a z .<_ y <-> A. z e. b z .<_ y ) )
9	8	rexbidv 2734	. . . . 5 |- ( a = b -> ( E. y e. B A. z e. a z .<_ y <-> E. y e. B A. z e. b z .<_ y ) )
10	7, 9	imbi12d 320	. . . 4 |- ( a = b -> ( ( ( K e. Dirset /\ a C_ B ) -> E. y e. B A. z e. a z .<_ y ) <-> ( ( K e. Dirset /\ b C_ B ) -> E. y e. B A. z e. b z .<_ y ) ) )
11		sseq1 3374	. . . . . 6 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( a C_ B <-> ( b u. { c } ) C_ B ) )
12	11	anbi2d 698	. . . . 5 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( ( K e. Dirset /\ a C_ B ) <-> ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) ) )
13		raleq 2915	. . . . . 6 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( A. z e. a z .<_ y <-> A. z e. ( b u. { c } ) z .<_ y ) )
14	13	rexbidv 2734	. . . . 5 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( E. y e. B A. z e. a z .<_ y <-> E. y e. B A. z e. ( b u. { c } ) z .<_ y ) )
15	12, 14	imbi12d 320	. . . 4 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( ( ( K e. Dirset /\ a C_ B ) -> E. y e. B A. z e. a z .<_ y ) <-> ( ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) -> E. y e. B A. z e. ( b u. { c } ) z .<_ y ) ) )
16		sseq1 3374	. . . . . 6 |- ( a = X -> ( a C_ B <-> X C_ B ) )
17	16	anbi2d 698	. . . . 5 |- ( a = X -> ( ( K e. Dirset /\ a C_ B ) <-> ( K e. Dirset /\ X C_ B ) ) )
18		raleq 2915	. . . . . 6 |- ( a = X -> ( A. z e. a z .<_ y <-> A. z e. X z .<_ y ) )
19	18	rexbidv 2734	. . . . 5 |- ( a = X -> ( E. y e. B A. z e. a z .<_ y <-> E. y e. B A. z e. X z .<_ y ) )
20	17, 19	imbi12d 320	. . . 4 |- ( a = X -> ( ( ( K e. Dirset /\ a C_ B ) -> E. y e. B A. z e. a z .<_ y ) <-> ( ( K e. Dirset /\ X C_ B ) -> E. y e. B A. z e. X z .<_ y ) ) )
21		drsbn0.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` K )
22	21	drsbn0 15103	. . . . . 6 |- ( K e. Dirset -> B =/= (/) )
23		ral0 3781	. . . . . . . . 9 |- A. z e. (/) z .<_ y
24	23	jctr 539	. . . . . . . 8 |- ( y e. B -> ( y e. B /\ A. z e. (/) z .<_ y ) )
25	24	eximi 1630	. . . . . . 7 |- ( E. y y e. B -> E. y ( y e. B /\ A. z e. (/) z .<_ y ) )
26		n0 3643	. . . . . . 7 |- ( B =/= (/) <-> E. y y e. B )
27		df-rex 2719	. . . . . . 7 |- ( E. y e. B A. z e. (/) z .<_ y <-> E. y ( y e. B /\ A. z e. (/) z .<_ y ) )
28	25, 26, 27	3imtr4i 266	. . . . . 6 |- ( B =/= (/) -> E. y e. B A. z e. (/) z .<_ y )
29	22, 28	syl 16	. . . . 5 |- ( K e. Dirset -> E. y e. B A. z e. (/) z .<_ y )
30	29	adantr 462	. . . 4 |- ( ( K e. Dirset /\ (/) C_ B ) -> E. y e. B A. z e. (/) z .<_ y )
31		ssun1 3516	. . . . . . . . 9 |- b C_ ( b u. { c } )
32		sstr 3361	. . . . . . . . 9 |- ( ( b C_ ( b u. { c } ) /\ ( b u. { c } ) C_ B ) -> b C_ B )
33	31, 32	mpan 665	. . . . . . . 8 |- ( ( b u. { c } ) C_ B -> b C_ B )
34	33	anim2i 566	. . . . . . 7 |- ( ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) -> ( K e. Dirset /\ b C_ B ) )
35		breq2 4293	. . . . . . . . . 10 |- ( y = a -> ( z .<_ y <-> z .<_ a ) )
36	35	ralbidv 2733	. . . . . . . . 9 |- ( y = a -> ( A. z e. b z .<_ y <-> A. z e. b z .<_ a ) )
37	36	cbvrexv 2946	. . . . . . . 8 |- ( E. y e. B A. z e. b z .<_ y <-> E. a e. B A. z e. b z .<_ a )
38		simpll 748	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) /\ ( a e. B /\ A. z e. b z .<_ a ) ) -> K e. Dirset )
39		simprl 750	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) /\ ( a e. B /\ A. z e. b z .<_ a ) ) -> a e. B )
40		ssun2 3517	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { c } C_ ( b u. { c } )
41		sstr 3361	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( { c } C_ ( b u. { c } ) /\ ( b u. { c } ) C_ B ) -> { c } C_ B )
42	40, 41	mpan 665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( b u. { c } ) C_ B -> { c } C_ B )
43		vex 2973	. . . . . . . . . . . . . 14 |- c e. _V
44	43	snss 3996	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( c e. B <-> { c } C_ B )
45	42, 44	sylibr 212	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( b u. { c } ) C_ B -> c e. B )
46	45	ad2antlr 721	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) /\ ( a e. B /\ A. z e. b z .<_ a ) ) -> c e. B )
47		drsdirfi.l	. . . . . . . . . . . 12 |- .<_ = ( le ` K )
48	21, 47	drsdir 15101	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. Dirset /\ a e. B /\ c e. B ) -> E. y e. B ( a .<_ y /\ c .<_ y ) )
49	38, 39, 46, 48	syl3anc 1213	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) /\ ( a e. B /\ A. z e. b z .<_ a ) ) -> E. y e. B ( a .<_ y /\ c .<_ y ) )
50		simplrr 755	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) /\ ( a e. B /\ A. z e. b z .<_ a ) ) /\ ( y e. B /\ ( a .<_ y /\ c .<_ y ) ) ) -> A. z e. b z .<_ a )
51		drsprs 15102	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( K e. Dirset -> K e. Preset )
52	51	ad5antr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) /\ a e. B ) /\ ( y e. B /\ ( a .<_ y /\ c .<_ y ) ) ) /\ z e. b ) /\ z .<_ a ) -> K e. Preset )
53	33	ad2antlr 721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) /\ a e. B ) -> b C_ B )
54	53	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) /\ a e. B ) /\ ( y e. B /\ ( a .<_ y /\ c .<_ y ) ) ) -> b C_ B )
55	54	sselda 3353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) /\ a e. B ) /\ ( y e. B /\ ( a .<_ y /\ c .<_ y ) ) ) /\ z e. b ) -> z e. B )
56	55	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) /\ a e. B ) /\ ( y e. B /\ ( a .<_ y /\ c .<_ y ) ) ) /\ z e. b ) /\ z .<_ a ) -> z e. B )
57		simp-4r 761	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) /\ a e. B ) /\ ( y e. B /\ ( a .<_ y /\ c .<_ y ) ) ) /\ z e. b ) /\ z .<_ a ) -> a e. B )
58		simprl 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) /\ a e. B ) /\ ( y e. B /\ ( a .<_ y /\ c .<_ y ) ) ) -> y e. B )
59	58	ad2antrr 720	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) /\ a e. B ) /\ ( y e. B /\ ( a .<_ y /\ c .<_ y ) ) ) /\ z e. b ) /\ z .<_ a ) -> y e. B )
60		simpr 458	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) /\ a e. B ) /\ ( y e. B /\ ( a .<_ y /\ c .<_ y ) ) ) /\ z e. b ) /\ z .<_ a ) -> z .<_ a )
61		simprrl 758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) /\ a e. B ) /\ ( y e. B /\ ( a .<_ y /\ c .<_ y ) ) ) -> a .<_ y )
62	61	ad2antrr 720	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) /\ a e. B ) /\ ( y e. B /\ ( a .<_ y /\ c .<_ y ) ) ) /\ z e. b ) /\ z .<_ a ) -> a .<_ y )
63	21, 47	prstr 15099	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( K e. Preset /\ ( z e. B /\ a e. B /\ y e. B ) /\ ( z .<_ a /\ a .<_ y ) ) -> z .<_ y )
64	52, 56, 57, 59, 60, 62, 63	syl132anc 1231	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) /\ a e. B ) /\ ( y e. B /\ ( a .<_ y /\ c .<_ y ) ) ) /\ z e. b ) /\ z .<_ a ) -> z .<_ y )
65	64	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) /\ a e. B ) /\ ( y e. B /\ ( a .<_ y /\ c .<_ y ) ) ) /\ z e. b ) -> ( z .<_ a -> z .<_ y ) )
66	65	ralimdva 2792	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) /\ a e. B ) /\ ( y e. B /\ ( a .<_ y /\ c .<_ y ) ) ) -> ( A. z e. b z .<_ a -> A. z e. b z .<_ y ) )
67	66	adantlrr 715	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) /\ ( a e. B /\ A. z e. b z .<_ a ) ) /\ ( y e. B /\ ( a .<_ y /\ c .<_ y ) ) ) -> ( A. z e. b z .<_ a -> A. z e. b z .<_ y ) )
68	50, 67	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) /\ ( a e. B /\ A. z e. b z .<_ a ) ) /\ ( y e. B /\ ( a .<_ y /\ c .<_ y ) ) ) -> A. z e. b z .<_ y )
69		simprrr 759	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) /\ ( a e. B /\ A. z e. b z .<_ a ) ) /\ ( y e. B /\ ( a .<_ y /\ c .<_ y ) ) ) -> c .<_ y )
70		breq1 4292	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = c -> ( z .<_ y <-> c .<_ y ) )
71	43, 70	ralsn 3912	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. z e. { c } z .<_ y <-> c .<_ y )
72	69, 71	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) /\ ( a e. B /\ A. z e. b z .<_ a ) ) /\ ( y e. B /\ ( a .<_ y /\ c .<_ y ) ) ) -> A. z e. { c } z .<_ y )
73		ralun 3535	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A. z e. b z .<_ y /\ A. z e. { c } z .<_ y ) -> A. z e. ( b u. { c } ) z .<_ y )
74	68, 72, 73	syl2anc 656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) /\ ( a e. B /\ A. z e. b z .<_ a ) ) /\ ( y e. B /\ ( a .<_ y /\ c .<_ y ) ) ) -> A. z e. ( b u. { c } ) z .<_ y )
75	74	expr 612	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) /\ ( a e. B /\ A. z e. b z .<_ a ) ) /\ y e. B ) -> ( ( a .<_ y /\ c .<_ y ) -> A. z e. ( b u. { c } ) z .<_ y ) )
76	75	reximdva 2826	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) /\ ( a e. B /\ A. z e. b z .<_ a ) ) -> ( E. y e. B ( a .<_ y /\ c .<_ y ) -> E. y e. B A. z e. ( b u. { c } ) z .<_ y ) )
77	49, 76	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) /\ ( a e. B /\ A. z e. b z .<_ a ) ) -> E. y e. B A. z e. ( b u. { c } ) z .<_ y )
78	77	rexlimdvaa 2840	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) -> ( E. a e. B A. z e. b z .<_ a -> E. y e. B A. z e. ( b u. { c } ) z .<_ y ) )
79	37, 78	syl5bi 217	. . . . . . 7 |- ( ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) -> ( E. y e. B A. z e. b z .<_ y -> E. y e. B A. z e. ( b u. { c } ) z .<_ y ) )
80	34, 79	embantd 54	. . . . . 6 |- ( ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) -> ( ( ( K e. Dirset /\ b C_ B ) -> E. y e. B A. z e. b z .<_ y ) -> E. y e. B A. z e. ( b u. { c } ) z .<_ y ) )
81	80	com12 31	. . . . 5 |- ( ( ( K e. Dirset /\ b C_ B ) -> E. y e. B A. z e. b z .<_ y ) -> ( ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) -> E. y e. B A. z e. ( b u. { c } ) z .<_ y ) )
82	81	a1i 11	. . . 4 |- ( b e. Fin -> ( ( ( K e. Dirset /\ b C_ B ) -> E. y e. B A. z e. b z .<_ y ) -> ( ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) -> E. y e. B A. z e. ( b u. { c } ) z .<_ y ) ) )
83	5, 10, 15, 20, 30, 82	findcard2 7548	. . 3 |- ( X e. Fin -> ( ( K e. Dirset /\ X C_ B ) -> E. y e. B A. z e. X z .<_ y ) )
84	83	com12 31	. 2 |- ( ( K e. Dirset /\ X C_ B ) -> ( X e. Fin -> E. y e. B A. z e. X z .<_ y ) )
85	84	3impia 1179	1 |- ( ( K e. Dirset /\ X C_ B /\ X e. Fin ) -> E. y e. B A. z e. X z .<_ y )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 960   = wceq 1364   E.wex 1591   e. wcel 1761   =/= wne 2604   A.wral 2713   E.wrex 2714   u. cun 3323   C_ wss 3325   (/)c0 3634   {csn 3874   class class class wbr 4289   ` cfv 5415   Fincfn 7306   Basecbs 14170   lecple 14241   Preset cpreset 15092  Dirsetcdrs 15093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-br 4290  df-opab 4348  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-om 6476  df-1o 6916  df-er 7097  df-en 7307  df-fin 7310  df-preset 15094  df-drs 15095

This theorem is referenced by:  isdrs2  15105  ipodrsfi  15329