Theorem drsdirfi 15113

Description: Any finite number of elements in a directed set have a common upper bound. Here is where the non-emptiness constraint in df-drs 15104 first comes into play; without it we would need an additional constraint that X not be empty. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
drsbn0.b	|- B = ( Base ` K )
drsdirfi.l	|- .<_ = ( le ` K )

Assertion

Ref	Expression
drsdirfi	|- ( ( K e. Dirset /\ X C_ B /\ X e. Fin ) -> E. y e. B A. z e. X z .<_ y )

Distinct variable groups:   y, K, z   y, B, z   y, .<_ , z   y, X, z

Proof of Theorem drsdirfi

Dummy variables a b c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1 3382	. . . . . 6 |- ( a = (/) -> ( a C_ B <-> (/) C_ B ) )
2	1	anbi2d 703	. . . . 5 |- ( a = (/) -> ( ( K e. Dirset /\ a C_ B ) <-> ( K e. Dirset /\ (/) C_ B ) ) )
3		raleq 2922	. . . . . 6 |- ( a = (/) -> ( A. z e. a z .<_ y <-> A. z e. (/) z .<_ y ) )
4	3	rexbidv 2741	. . . . 5 |- ( a = (/) -> ( E. y e. B A. z e. a z .<_ y <-> E. y e. B A. z e. (/) z .<_ y ) )
5	2, 4	imbi12d 320	. . . 4 |- ( a = (/) -> ( ( ( K e. Dirset /\ a C_ B ) -> E. y e. B A. z e. a z .<_ y ) <-> ( ( K e. Dirset /\ (/) C_ B ) -> E. y e. B A. z e. (/) z .<_ y ) ) )
6		sseq1 3382	. . . . . 6 |- ( a = b -> ( a C_ B <-> b C_ B ) )
7	6	anbi2d 703	. . . . 5 |- ( a = b -> ( ( K e. Dirset /\ a C_ B ) <-> ( K e. Dirset /\ b C_ B ) ) )
8		raleq 2922	. . . . . 6 |- ( a = b -> ( A. z e. a z .<_ y <-> A. z e. b z .<_ y ) )
9	8	rexbidv 2741	. . . . 5 |- ( a = b -> ( E. y e. B A. z e. a z .<_ y <-> E. y e. B A. z e. b z .<_ y ) )
10	7, 9	imbi12d 320	. . . 4 |- ( a = b -> ( ( ( K e. Dirset /\ a C_ B ) -> E. y e. B A. z e. a z .<_ y ) <-> ( ( K e. Dirset /\ b C_ B ) -> E. y e. B A. z e. b z .<_ y ) ) )
11		sseq1 3382	. . . . . 6 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( a C_ B <-> ( b u. { c } ) C_ B ) )
12	11	anbi2d 703	. . . . 5 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( ( K e. Dirset /\ a C_ B ) <-> ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) ) )
13		raleq 2922	. . . . . 6 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( A. z e. a z .<_ y <-> A. z e. ( b u. { c } ) z .<_ y ) )
14	13	rexbidv 2741	. . . . 5 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( E. y e. B A. z e. a z .<_ y <-> E. y e. B A. z e. ( b u. { c } ) z .<_ y ) )
15	12, 14	imbi12d 320	. . . 4 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( ( ( K e. Dirset /\ a C_ B ) -> E. y e. B A. z e. a z .<_ y ) <-> ( ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) -> E. y e. B A. z e. ( b u. { c } ) z .<_ y ) ) )
16		sseq1 3382	. . . . . 6 |- ( a = X -> ( a C_ B <-> X C_ B ) )
17	16	anbi2d 703	. . . . 5 |- ( a = X -> ( ( K e. Dirset /\ a C_ B ) <-> ( K e. Dirset /\ X C_ B ) ) )
18		raleq 2922	. . . . . 6 |- ( a = X -> ( A. z e. a z .<_ y <-> A. z e. X z .<_ y ) )
19	18	rexbidv 2741	. . . . 5 |- ( a = X -> ( E. y e. B A. z e. a z .<_ y <-> E. y e. B A. z e. X z .<_ y ) )
20	17, 19	imbi12d 320	. . . 4 |- ( a = X -> ( ( ( K e. Dirset /\ a C_ B ) -> E. y e. B A. z e. a z .<_ y ) <-> ( ( K e. Dirset /\ X C_ B ) -> E. y e. B A. z e. X z .<_ y ) ) )
21		drsbn0.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` K )
22	21	drsbn0 15112	. . . . . 6 |- ( K e. Dirset -> B =/= (/) )
23		ral0 3789	. . . . . . . . 9 |- A. z e. (/) z .<_ y
24	23	jctr 542	. . . . . . . 8 |- ( y e. B -> ( y e. B /\ A. z e. (/) z .<_ y ) )
25	24	eximi 1625	. . . . . . 7 |- ( E. y y e. B -> E. y ( y e. B /\ A. z e. (/) z .<_ y ) )
26		n0 3651	. . . . . . 7 |- ( B =/= (/) <-> E. y y e. B )
27		df-rex 2726	. . . . . . 7 |- ( E. y e. B A. z e. (/) z .<_ y <-> E. y ( y e. B /\ A. z e. (/) z .<_ y ) )
28	25, 26, 27	3imtr4i 266	. . . . . 6 |- ( B =/= (/) -> E. y e. B A. z e. (/) z .<_ y )
29	22, 28	syl 16	. . . . 5 |- ( K e. Dirset -> E. y e. B A. z e. (/) z .<_ y )
30	29	adantr 465	. . . 4 |- ( ( K e. Dirset /\ (/) C_ B ) -> E. y e. B A. z e. (/) z .<_ y )
31		ssun1 3524	. . . . . . . . 9 |- b C_ ( b u. { c } )
32		sstr 3369	. . . . . . . . 9 |- ( ( b C_ ( b u. { c } ) /\ ( b u. { c } ) C_ B ) -> b C_ B )
33	31, 32	mpan 670	. . . . . . . 8 |- ( ( b u. { c } ) C_ B -> b C_ B )
34	33	anim2i 569	. . . . . . 7 |- ( ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) -> ( K e. Dirset /\ b C_ B ) )
35		breq2 4301	. . . . . . . . . 10 |- ( y = a -> ( z .<_ y <-> z .<_ a ) )
36	35	ralbidv 2740	. . . . . . . . 9 |- ( y = a -> ( A. z e. b z .<_ y <-> A. z e. b z .<_ a ) )
37	36	cbvrexv 2953	. . . . . . . 8 |- ( E. y e. B A. z e. b z .<_ y <-> E. a e. B A. z e. b z .<_ a )
38		simpll 753	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) /\ ( a e. B /\ A. z e. b z .<_ a ) ) -> K e. Dirset )
39		simprl 755	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) /\ ( a e. B /\ A. z e. b z .<_ a ) ) -> a e. B )
40		ssun2 3525	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { c } C_ ( b u. { c } )
41		sstr 3369	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( { c } C_ ( b u. { c } ) /\ ( b u. { c } ) C_ B ) -> { c } C_ B )
42	40, 41	mpan 670	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( b u. { c } ) C_ B -> { c } C_ B )
43		vex 2980	. . . . . . . . . . . . . 14 |- c e. _V
44	43	snss 4004	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( c e. B <-> { c } C_ B )
45	42, 44	sylibr 212	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( b u. { c } ) C_ B -> c e. B )
46	45	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) /\ ( a e. B /\ A. z e. b z .<_ a ) ) -> c e. B )
47		drsdirfi.l	. . . . . . . . . . . 12 |- .<_ = ( le ` K )
48	21, 47	drsdir 15110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. Dirset /\ a e. B /\ c e. B ) -> E. y e. B ( a .<_ y /\ c .<_ y ) )
49	38, 39, 46, 48	syl3anc 1218	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) /\ ( a e. B /\ A. z e. b z .<_ a ) ) -> E. y e. B ( a .<_ y /\ c .<_ y ) )
50		simplrr 760	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) /\ ( a e. B /\ A. z e. b z .<_ a ) ) /\ ( y e. B /\ ( a .<_ y /\ c .<_ y ) ) ) -> A. z e. b z .<_ a )
51		drsprs 15111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( K e. Dirset -> K e. Preset )
52	51	ad5antr 733	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) /\ a e. B ) /\ ( y e. B /\ ( a .<_ y /\ c .<_ y ) ) ) /\ z e. b ) /\ z .<_ a ) -> K e. Preset )
53	33	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) /\ a e. B ) -> b C_ B )
54	53	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) /\ a e. B ) /\ ( y e. B /\ ( a .<_ y /\ c .<_ y ) ) ) -> b C_ B )
55	54	sselda 3361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) /\ a e. B ) /\ ( y e. B /\ ( a .<_ y /\ c .<_ y ) ) ) /\ z e. b ) -> z e. B )
56	55	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) /\ a e. B ) /\ ( y e. B /\ ( a .<_ y /\ c .<_ y ) ) ) /\ z e. b ) /\ z .<_ a ) -> z e. B )
57		simp-4r 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) /\ a e. B ) /\ ( y e. B /\ ( a .<_ y /\ c .<_ y ) ) ) /\ z e. b ) /\ z .<_ a ) -> a e. B )
58		simprl 755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) /\ a e. B ) /\ ( y e. B /\ ( a .<_ y /\ c .<_ y ) ) ) -> y e. B )
59	58	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) /\ a e. B ) /\ ( y e. B /\ ( a .<_ y /\ c .<_ y ) ) ) /\ z e. b ) /\ z .<_ a ) -> y e. B )
60		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) /\ a e. B ) /\ ( y e. B /\ ( a .<_ y /\ c .<_ y ) ) ) /\ z e. b ) /\ z .<_ a ) -> z .<_ a )
61		simprrl 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) /\ a e. B ) /\ ( y e. B /\ ( a .<_ y /\ c .<_ y ) ) ) -> a .<_ y )
62	61	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) /\ a e. B ) /\ ( y e. B /\ ( a .<_ y /\ c .<_ y ) ) ) /\ z e. b ) /\ z .<_ a ) -> a .<_ y )
63	21, 47	prstr 15108	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( K e. Preset /\ ( z e. B /\ a e. B /\ y e. B ) /\ ( z .<_ a /\ a .<_ y ) ) -> z .<_ y )
64	52, 56, 57, 59, 60, 62, 63	syl132anc 1236	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) /\ a e. B ) /\ ( y e. B /\ ( a .<_ y /\ c .<_ y ) ) ) /\ z e. b ) /\ z .<_ a ) -> z .<_ y )
65	64	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) /\ a e. B ) /\ ( y e. B /\ ( a .<_ y /\ c .<_ y ) ) ) /\ z e. b ) -> ( z .<_ a -> z .<_ y ) )
66	65	ralimdva 2799	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) /\ a e. B ) /\ ( y e. B /\ ( a .<_ y /\ c .<_ y ) ) ) -> ( A. z e. b z .<_ a -> A. z e. b z .<_ y ) )
67	66	adantlrr 720	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) /\ ( a e. B /\ A. z e. b z .<_ a ) ) /\ ( y e. B /\ ( a .<_ y /\ c .<_ y ) ) ) -> ( A. z e. b z .<_ a -> A. z e. b z .<_ y ) )
68	50, 67	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) /\ ( a e. B /\ A. z e. b z .<_ a ) ) /\ ( y e. B /\ ( a .<_ y /\ c .<_ y ) ) ) -> A. z e. b z .<_ y )
69		simprrr 764	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) /\ ( a e. B /\ A. z e. b z .<_ a ) ) /\ ( y e. B /\ ( a .<_ y /\ c .<_ y ) ) ) -> c .<_ y )
70		breq1 4300	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = c -> ( z .<_ y <-> c .<_ y ) )
71	43, 70	ralsn 3920	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. z e. { c } z .<_ y <-> c .<_ y )
72	69, 71	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) /\ ( a e. B /\ A. z e. b z .<_ a ) ) /\ ( y e. B /\ ( a .<_ y /\ c .<_ y ) ) ) -> A. z e. { c } z .<_ y )
73		ralun 3543	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A. z e. b z .<_ y /\ A. z e. { c } z .<_ y ) -> A. z e. ( b u. { c } ) z .<_ y )
74	68, 72, 73	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) /\ ( a e. B /\ A. z e. b z .<_ a ) ) /\ ( y e. B /\ ( a .<_ y /\ c .<_ y ) ) ) -> A. z e. ( b u. { c } ) z .<_ y )
75	74	expr 615	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) /\ ( a e. B /\ A. z e. b z .<_ a ) ) /\ y e. B ) -> ( ( a .<_ y /\ c .<_ y ) -> A. z e. ( b u. { c } ) z .<_ y ) )
76	75	reximdva 2833	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) /\ ( a e. B /\ A. z e. b z .<_ a ) ) -> ( E. y e. B ( a .<_ y /\ c .<_ y ) -> E. y e. B A. z e. ( b u. { c } ) z .<_ y ) )
77	49, 76	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) /\ ( a e. B /\ A. z e. b z .<_ a ) ) -> E. y e. B A. z e. ( b u. { c } ) z .<_ y )
78	77	rexlimdvaa 2847	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) -> ( E. a e. B A. z e. b z .<_ a -> E. y e. B A. z e. ( b u. { c } ) z .<_ y ) )
79	37, 78	syl5bi 217	. . . . . . 7 |- ( ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) -> ( E. y e. B A. z e. b z .<_ y -> E. y e. B A. z e. ( b u. { c } ) z .<_ y ) )
80	34, 79	embantd 54	. . . . . 6 |- ( ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) -> ( ( ( K e. Dirset /\ b C_ B ) -> E. y e. B A. z e. b z .<_ y ) -> E. y e. B A. z e. ( b u. { c } ) z .<_ y ) )
81	80	com12 31	. . . . 5 |- ( ( ( K e. Dirset /\ b C_ B ) -> E. y e. B A. z e. b z .<_ y ) -> ( ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) -> E. y e. B A. z e. ( b u. { c } ) z .<_ y ) )
82	81	a1i 11	. . . 4 |- ( b e. Fin -> ( ( ( K e. Dirset /\ b C_ B ) -> E. y e. B A. z e. b z .<_ y ) -> ( ( K e. Dirset /\ ( b u. { c } ) C_ B ) -> E. y e. B A. z e. ( b u. { c } ) z .<_ y ) ) )
83	5, 10, 15, 20, 30, 82	findcard2 7557	. . 3 |- ( X e. Fin -> ( ( K e. Dirset /\ X C_ B ) -> E. y e. B A. z e. X z .<_ y ) )
84	83	com12 31	. 2 |- ( ( K e. Dirset /\ X C_ B ) -> ( X e. Fin -> E. y e. B A. z e. X z .<_ y ) )
85	84	3impia 1184	1 |- ( ( K e. Dirset /\ X C_ B /\ X e. Fin ) -> E. y e. B A. z e. X z .<_ y )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   E.wex 1586   e. wcel 1756   =/= wne 2611   A.wral 2720   E.wrex 2721   u. cun 3331   C_ wss 3333   (/)c0 3642   {csn 3882   class class class wbr 4297   ` cfv 5423   Fincfn 7315   Basecbs 14179   lecple 14250   Preset cpreset 15101  Dirsetcdrs 15102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-br 4298  df-opab 4356  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-om 6482  df-1o 6925  df-er 7106  df-en 7316  df-fin 7319  df-preset 15103  df-drs 15104

This theorem is referenced by:  isdrs2  15114  ipodrsfi  15338