Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  drngoi Structured version   Unicode version

Theorem drngoi 25232
 Description: The properties of a division ring. (Contributed by NM, 4-Apr-2009.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
drngi.1
drngi.2
drngi.3
drngi.4 GId
Assertion
Ref Expression
drngoi

Proof of Theorem drngoi
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opeq1 4219 . . . . . 6
21eleq1d 2536 . . . . 5
3 id 22 . . . . . . . . . . . 12
4 drngi.1 . . . . . . . . . . . 12
53, 4syl6eqr 2526 . . . . . . . . . . 11
65rneqd 5236 . . . . . . . . . 10
7 drngi.3 . . . . . . . . . 10
86, 7syl6eqr 2526 . . . . . . . . 9
95fveq2d 5876 . . . . . . . . . . 11 GId GId
10 drngi.4 . . . . . . . . . . 11 GId
119, 10syl6eqr 2526 . . . . . . . . . 10 GId
1211sneqd 4045 . . . . . . . . 9 GId
138, 12difeq12d 3628 . . . . . . . 8 GId
14 xpeq2 5020 . . . . . . . . 9 GId GId GId GId
15 xpeq1 5019 . . . . . . . . 9 GId GId
1614, 15eqtrd 2508 . . . . . . . 8 GId GId GId
1713, 16syl 16 . . . . . . 7 GId GId
1817reseq2d 5279 . . . . . 6 GId GId
1918eleq1d 2536 . . . . 5 GId GId
202, 19anbi12d 710 . . . 4 GId GId
21 opeq2 4220 . . . . . . 7
2221eleq1d 2536 . . . . . 6
2322anbi1d 704 . . . . 5
24 id 22 . . . . . . . . 9
25 drngi.2 . . . . . . . . 9
2624, 25syl6reqr 2527 . . . . . . . 8
2726reseq1d 5278 . . . . . . 7
2827eleq1d 2536 . . . . . 6
2928anbi2d 703 . . . . 5
3023, 29bitr4d 256 . . . 4
3120, 30elopabi 6856 . . 3 GId GId
32 df-drngo 25231 . . 3 GId GId
3331, 32eleq2s 2575 . 2
3432relopabi 5134 . . . . 5
35 1st2nd 6841 . . . . 5
3634, 35mpan 670 . . . 4
3736eleq1d 2536 . . 3
3837anbi1d 704 . 2
3933, 38mpbird 232 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1379   wcel 1767   cdif 3478  csn 4033  cop 4039  copab 4510   cxp 5003   crn 5006   cres 5007   wrel 5010  cfv 5594  c1st 6793  c2nd 6794  cgr 25011  GIdcgi 25012  crngo 25200  cdrng 25230 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fv 5602  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-drngo 25231 This theorem is referenced by:  dvrunz  25258  fldcrng  30328
 Copyright terms: Public domain W3C validator