MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  drnglpir Structured version   Unicode version

Theorem drnglpir 17459
Description: Division rings are principal ideal. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
drnglpir  |-  ( R  e.  DivRing  ->  R  e. LPIR )

Proof of Theorem drnglpir
StepHypRef Expression
1 drngrng 16963 . 2  |-  ( R  e.  DivRing  ->  R  e.  Ring )
2 eqid 2454 . . . 4  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
3 eqid 2454 . . . 4  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
4 eqid 2454 . . . 4  |-  (LIdeal `  R )  =  (LIdeal `  R )
52, 3, 4drngnidl 17435 . . 3  |-  ( R  e.  DivRing  ->  (LIdeal `  R )  =  { { ( 0g
`  R ) } ,  ( Base `  R
) } )
6 eqid 2454 . . . . . 6  |-  (LPIdeal `  R
)  =  (LPIdeal `  R
)
76, 3lpi0 17453 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  { ( 0g `  R ) }  e.  (LPIdeal `  R
) )
86, 2lpi1 17454 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( Base `  R )  e.  (LPIdeal `  R ) )
9 snex 4642 . . . . . . 7  |-  { ( 0g `  R ) }  e.  _V
10 fvex 5810 . . . . . . 7  |-  ( Base `  R )  e.  _V
119, 10prss 4136 . . . . . 6  |-  ( ( { ( 0g `  R ) }  e.  (LPIdeal `  R )  /\  ( Base `  R )  e.  (LPIdeal `  R )
)  <->  { { ( 0g
`  R ) } ,  ( Base `  R
) }  C_  (LPIdeal `  R ) )
1211bicomi 202 . . . . 5  |-  ( { { ( 0g `  R ) } , 
( Base `  R ) }  C_  (LPIdeal `  R
)  <->  ( { ( 0g `  R ) }  e.  (LPIdeal `  R
)  /\  ( Base `  R )  e.  (LPIdeal `  R ) ) )
137, 8, 12sylanbrc 664 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  { {
( 0g `  R
) } ,  (
Base `  R ) }  C_  (LPIdeal `  R
) )
141, 13syl 16 . . 3  |-  ( R  e.  DivRing  ->  { { ( 0g `  R ) } ,  ( Base `  R ) }  C_  (LPIdeal `  R ) )
155, 14eqsstrd 3499 . 2  |-  ( R  e.  DivRing  ->  (LIdeal `  R )  C_  (LPIdeal `  R )
)
166, 4islpir2 17457 . 2  |-  ( R  e. LPIR 
<->  ( R  e.  Ring  /\  (LIdeal `  R )  C_  (LPIdeal `  R )
) )
171, 15, 16sylanbrc 664 1  |-  ( R  e.  DivRing  ->  R  e. LPIR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1758    C_ wss 3437   {csn 3986   {cpr 3988   ` cfv 5527   Basecbs 14293   0gc0g 14498   Ringcrg 16769   DivRingcdr 16956  LIdealclidl 17375  LPIdealclpidl 17447  LPIRclpir 17448
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-tpos 6856  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-er 7212  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-nn 10435  df-2 10492  df-3 10493  df-4 10494  df-5 10495  df-6 10496  df-7 10497  df-8 10498  df-ndx 14296  df-slot 14297  df-base 14298  df-sets 14299  df-ress 14300  df-plusg 14371  df-mulr 14372  df-sca 14374  df-vsca 14375  df-ip 14376  df-0g 14500  df-mnd 15535  df-grp 15665  df-minusg 15666  df-sbg 15667  df-subg 15798  df-mgp 16715  df-ur 16727  df-rng 16771  df-oppr 16839  df-dvdsr 16857  df-unit 16858  df-invr 16888  df-drng 16958  df-subrg 16987  df-lmod 17074  df-lss 17138  df-lsp 17177  df-sra 17377  df-rgmod 17378  df-lidl 17379  df-rsp 17380  df-lpidl 17449  df-lpir 17450
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator