MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  drnginvrn0 Structured version   Unicode version

Theorem drnginvrn0 17226
Description: The multiplicative inverse in a division ring is nonzero. (recne0 10221 analog.) (Contributed by NM, 19-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
invrcl.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
invrcl.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
invrcl.i  |-  I  =  ( invr `  R
)
Assertion
Ref Expression
drnginvrn0  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  X  e.  B  /\  X  =/= 
.0.  )  ->  (
I `  X )  =/=  .0.  )

Proof of Theorem drnginvrn0
StepHypRef Expression
1 drngrng 17215 . . . . 5  |-  ( R  e.  DivRing  ->  R  e.  Ring )
2 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  (Unit `  R )  =  (Unit `  R )
3 invrcl.i . . . . . . 7  |-  I  =  ( invr `  R
)
42, 3unitinvcl 17136 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  (Unit `  R )
)  ->  ( I `  X )  e.  (Unit `  R ) )
54ex 434 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( X  e.  (Unit `  R
)  ->  ( I `  X )  e.  (Unit `  R ) ) )
61, 5syl 16 . . . 4  |-  ( R  e.  DivRing  ->  ( X  e.  (Unit `  R )  ->  ( I `  X
)  e.  (Unit `  R ) ) )
7 invrcl.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  R
)
8 invrcl.z . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
97, 2, 8drngunit 17213 . . . 4  |-  ( R  e.  DivRing  ->  ( X  e.  (Unit `  R )  <->  ( X  e.  B  /\  X  =/=  .0.  ) ) )
107, 2, 8drngunit 17213 . . . 4  |-  ( R  e.  DivRing  ->  ( ( I `
 X )  e.  (Unit `  R )  <->  ( ( I `  X
)  e.  B  /\  ( I `  X
)  =/=  .0.  )
) )
116, 9, 103imtr3d 267 . . 3  |-  ( R  e.  DivRing  ->  ( ( X  e.  B  /\  X  =/=  .0.  )  ->  (
( I `  X
)  e.  B  /\  ( I `  X
)  =/=  .0.  )
) )
12113impib 1194 . 2  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  X  e.  B  /\  X  =/= 
.0.  )  ->  (
( I `  X
)  e.  B  /\  ( I `  X
)  =/=  .0.  )
)
1312simprd 463 1  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  X  e.  B  /\  X  =/= 
.0.  )  ->  (
I `  X )  =/=  .0.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   ` cfv 5588   Basecbs 14493   0gc0g 14698   Ringcrg 17012  Unitcui 17101   invrcinvr 17133   DivRingcdr 17208
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-tpos 6956  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-er 7312  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-ndx 14496  df-slot 14497  df-base 14498  df-sets 14499  df-ress 14500  df-plusg 14571  df-mulr 14572  df-0g 14700  df-mnd 15735  df-grp 15871  df-minusg 15872  df-mgp 16956  df-ur 16968  df-rng 17014  df-oppr 17085  df-dvdsr 17103  df-unit 17104  df-invr 17134  df-drng 17210
This theorem is referenced by:  lspfixed  17586  tendoinvcl  36118  dochkr1  36492  lcfrlem31  36587  mapdpglem18  36703  mapdpglem22  36707  hgmapvvlem2  36941
  Copyright terms: Public domain W3C validator