MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  drngid2 Structured version   Unicode version

Theorem drngid2 17926
Description: Properties showing that an element  I is the identity element of a division ring. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
drngid2.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
drngid2.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
drngid2.o  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
drngid2.u  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
Assertion
Ref Expression
drngid2  |-  ( R  e.  DivRing  ->  ( ( I  e.  B  /\  I  =/=  .0.  /\  ( I 
.x.  I )  =  I )  <->  .1.  =  I ) )

Proof of Theorem drngid2
StepHypRef Expression
1 df-3an 984 . . . 4  |-  ( ( I  e.  B  /\  I  =/=  .0.  /\  (
I  .x.  I )  =  I )  <->  ( (
I  e.  B  /\  I  =/=  .0.  )  /\  ( I  .x.  I )  =  I ) )
2 eldifsn 4128 . . . . 5  |-  ( I  e.  ( B  \  {  .0.  } )  <->  ( I  e.  B  /\  I  =/= 
.0.  ) )
32anbi1i 699 . . . 4  |-  ( ( I  e.  ( B 
\  {  .0.  }
)  /\  ( I  .x.  I )  =  I )  <->  ( ( I  e.  B  /\  I  =/=  .0.  )  /\  (
I  .x.  I )  =  I ) )
41, 3bitr4i 255 . . 3  |-  ( ( I  e.  B  /\  I  =/=  .0.  /\  (
I  .x.  I )  =  I )  <->  ( I  e.  ( B  \  {  .0.  } )  /\  (
I  .x.  I )  =  I ) )
5 drngid2.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  R
)
6 drngid2.o . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
7 eqid 2429 . . . . 5  |-  ( (mulGrp `  R )s  ( B  \  {  .0.  } ) )  =  ( (mulGrp `  R )s  ( B  \  {  .0.  } ) )
85, 6, 7drngmgp 17922 . . . 4  |-  ( R  e.  DivRing  ->  ( (mulGrp `  R )s  ( B  \  {  .0.  } ) )  e.  Grp )
9 difss 3598 . . . . . 6  |-  ( B 
\  {  .0.  }
)  C_  B
10 eqid 2429 . . . . . . . 8  |-  (mulGrp `  R )  =  (mulGrp `  R )
1110, 5mgpbas 17664 . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  (mulGrp `  R ) )
127, 11ressbas2 15142 . . . . . 6  |-  ( ( B  \  {  .0.  } )  C_  B  ->  ( B  \  {  .0.  } )  =  ( Base `  ( (mulGrp `  R
)s  ( B  \  {  .0.  } ) ) ) )
139, 12ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( B 
\  {  .0.  }
)  =  ( Base `  ( (mulGrp `  R
)s  ( B  \  {  .0.  } ) ) )
14 fvex 5891 . . . . . . 7  |-  ( Base `  R )  e.  _V
155, 14eqeltri 2513 . . . . . 6  |-  B  e. 
_V
16 difexg 4573 . . . . . 6  |-  ( B  e.  _V  ->  ( B  \  {  .0.  }
)  e.  _V )
17 drngid2.t . . . . . . . 8  |-  .x.  =  ( .r `  R )
1810, 17mgpplusg 17662 . . . . . . 7  |-  .x.  =  ( +g  `  (mulGrp `  R ) )
197, 18ressplusg 15198 . . . . . 6  |-  ( ( B  \  {  .0.  } )  e.  _V  ->  .x.  =  ( +g  `  (
(mulGrp `  R )s  ( B  \  {  .0.  }
) ) ) )
2015, 16, 19mp2b 10 . . . . 5  |-  .x.  =  ( +g  `  ( (mulGrp `  R )s  ( B  \  {  .0.  } ) ) )
21 eqid 2429 . . . . 5  |-  ( 0g
`  ( (mulGrp `  R )s  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  =  ( 0g
`  ( (mulGrp `  R )s  ( B  \  {  .0.  } ) ) )
2213, 20, 21isgrpid2 16653 . . . 4  |-  ( ( (mulGrp `  R )s  ( B  \  {  .0.  }
) )  e.  Grp  ->  ( ( I  e.  ( B  \  {  .0.  } )  /\  (
I  .x.  I )  =  I )  <->  ( 0g `  ( (mulGrp `  R
)s  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  =  I ) )
238, 22syl 17 . . 3  |-  ( R  e.  DivRing  ->  ( ( I  e.  ( B  \  {  .0.  } )  /\  ( I  .x.  I )  =  I )  <->  ( 0g `  ( (mulGrp `  R
)s  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  =  I ) )
244, 23syl5bb 260 . 2  |-  ( R  e.  DivRing  ->  ( ( I  e.  B  /\  I  =/=  .0.  /\  ( I 
.x.  I )  =  I )  <->  ( 0g `  ( (mulGrp `  R
)s  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  =  I ) )
25 drngid2.u . . . 4  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
265, 6, 25, 7drngid 17924 . . 3  |-  ( R  e.  DivRing  ->  .1.  =  ( 0g `  ( (mulGrp `  R )s  ( B  \  {  .0.  } ) ) ) )
2726eqeq1d 2431 . 2  |-  ( R  e.  DivRing  ->  (  .1.  =  I 
<->  ( 0g `  (
(mulGrp `  R )s  ( B  \  {  .0.  }
) ) )  =  I ) )
2824, 27bitr4d 259 1  |-  ( R  e.  DivRing  ->  ( ( I  e.  B  /\  I  =/=  .0.  /\  ( I 
.x.  I )  =  I )  <->  .1.  =  I ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870    =/= wne 2625   _Vcvv 3087    \ cdif 3439    C_ wss 3442   {csn 4002   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   Basecbs 15084   ↾s cress 15085   +g cplusg 15152   .rcmulr 15153   0gc0g 15297   Grpcgrp 16620  mulGrpcmgp 17658   1rcur 17670   DivRingcdr 17910
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-tpos 6981  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-0g 15299  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-grp 16624  df-minusg 16625  df-mgp 17659  df-ur 17671  df-ring 17717  df-oppr 17786  df-dvdsr 17804  df-unit 17805  df-invr 17835  df-dvr 17846  df-drng 17912
This theorem is referenced by:  erng1r  34271  dvalveclem  34302
  Copyright terms: Public domain W3C validator