MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  drngid2 Structured version   Unicode version

Theorem drngid2 17260
Description: Properties showing that an element  I is the identity element of a division ring. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
drngid2.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
drngid2.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
drngid2.o  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
drngid2.u  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
Assertion
Ref Expression
drngid2  |-  ( R  e.  DivRing  ->  ( ( I  e.  B  /\  I  =/=  .0.  /\  ( I 
.x.  I )  =  I )  <->  .1.  =  I ) )

Proof of Theorem drngid2
StepHypRef Expression
1 df-3an 975 . . . 4  |-  ( ( I  e.  B  /\  I  =/=  .0.  /\  (
I  .x.  I )  =  I )  <->  ( (
I  e.  B  /\  I  =/=  .0.  )  /\  ( I  .x.  I )  =  I ) )
2 eldifsn 4157 . . . . 5  |-  ( I  e.  ( B  \  {  .0.  } )  <->  ( I  e.  B  /\  I  =/= 
.0.  ) )
32anbi1i 695 . . . 4  |-  ( ( I  e.  ( B 
\  {  .0.  }
)  /\  ( I  .x.  I )  =  I )  <->  ( ( I  e.  B  /\  I  =/=  .0.  )  /\  (
I  .x.  I )  =  I ) )
41, 3bitr4i 252 . . 3  |-  ( ( I  e.  B  /\  I  =/=  .0.  /\  (
I  .x.  I )  =  I )  <->  ( I  e.  ( B  \  {  .0.  } )  /\  (
I  .x.  I )  =  I ) )
5 drngid2.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  R
)
6 drngid2.o . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
7 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( (mulGrp `  R )s  ( B  \  {  .0.  } ) )  =  ( (mulGrp `  R )s  ( B  \  {  .0.  } ) )
85, 6, 7drngmgp 17256 . . . 4  |-  ( R  e.  DivRing  ->  ( (mulGrp `  R )s  ( B  \  {  .0.  } ) )  e.  Grp )
9 difss 3636 . . . . . 6  |-  ( B 
\  {  .0.  }
)  C_  B
10 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  (mulGrp `  R )  =  (mulGrp `  R )
1110, 5mgpbas 16996 . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  (mulGrp `  R ) )
127, 11ressbas2 14558 . . . . . 6  |-  ( ( B  \  {  .0.  } )  C_  B  ->  ( B  \  {  .0.  } )  =  ( Base `  ( (mulGrp `  R
)s  ( B  \  {  .0.  } ) ) ) )
139, 12ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( B 
\  {  .0.  }
)  =  ( Base `  ( (mulGrp `  R
)s  ( B  \  {  .0.  } ) ) )
14 fvex 5881 . . . . . . 7  |-  ( Base `  R )  e.  _V
155, 14eqeltri 2551 . . . . . 6  |-  B  e. 
_V
16 difexg 4600 . . . . . 6  |-  ( B  e.  _V  ->  ( B  \  {  .0.  }
)  e.  _V )
17 drngid2.t . . . . . . . 8  |-  .x.  =  ( .r `  R )
1810, 17mgpplusg 16994 . . . . . . 7  |-  .x.  =  ( +g  `  (mulGrp `  R ) )
197, 18ressplusg 14609 . . . . . 6  |-  ( ( B  \  {  .0.  } )  e.  _V  ->  .x.  =  ( +g  `  (
(mulGrp `  R )s  ( B  \  {  .0.  }
) ) ) )
2015, 16, 19mp2b 10 . . . . 5  |-  .x.  =  ( +g  `  ( (mulGrp `  R )s  ( B  \  {  .0.  } ) ) )
21 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( 0g
`  ( (mulGrp `  R )s  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  =  ( 0g
`  ( (mulGrp `  R )s  ( B  \  {  .0.  } ) ) )
2213, 20, 21isgrpid2 15935 . . . 4  |-  ( ( (mulGrp `  R )s  ( B  \  {  .0.  }
) )  e.  Grp  ->  ( ( I  e.  ( B  \  {  .0.  } )  /\  (
I  .x.  I )  =  I )  <->  ( 0g `  ( (mulGrp `  R
)s  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  =  I ) )
238, 22syl 16 . . 3  |-  ( R  e.  DivRing  ->  ( ( I  e.  ( B  \  {  .0.  } )  /\  ( I  .x.  I )  =  I )  <->  ( 0g `  ( (mulGrp `  R
)s  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  =  I ) )
244, 23syl5bb 257 . 2  |-  ( R  e.  DivRing  ->  ( ( I  e.  B  /\  I  =/=  .0.  /\  ( I 
.x.  I )  =  I )  <->  ( 0g `  ( (mulGrp `  R
)s  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  =  I ) )
25 drngid2.u . . . 4  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
265, 6, 25, 7drngid 17258 . . 3  |-  ( R  e.  DivRing  ->  .1.  =  ( 0g `  ( (mulGrp `  R )s  ( B  \  {  .0.  } ) ) ) )
2726eqeq1d 2469 . 2  |-  ( R  e.  DivRing  ->  (  .1.  =  I 
<->  ( 0g `  (
(mulGrp `  R )s  ( B  \  {  .0.  }
) ) )  =  I ) )
2824, 27bitr4d 256 1  |-  ( R  e.  DivRing  ->  ( ( I  e.  B  /\  I  =/=  .0.  /\  ( I 
.x.  I )  =  I )  <->  .1.  =  I ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   _Vcvv 3118    \ cdif 3478    C_ wss 3481   {csn 4032   ` cfv 5593  (class class class)co 6294   Basecbs 14502   ↾s cress 14503   +g cplusg 14567   .rcmulr 14568   0gc0g 14707   Grpcgrp 15902  mulGrpcmgp 16990   1rcur 17002   DivRingcdr 17244
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586  ax-cnex 9558  ax-resscn 9559  ax-1cn 9560  ax-icn 9561  ax-addcl 9562  ax-addrcl 9563  ax-mulcl 9564  ax-mulrcl 9565  ax-mulcom 9566  ax-addass 9567  ax-mulass 9568  ax-distr 9569  ax-i2m1 9570  ax-1ne0 9571  ax-1rid 9572  ax-rnegex 9573  ax-rrecex 9574  ax-cnre 9575  ax-pre-lttri 9576  ax-pre-lttrn 9577  ax-pre-ltadd 9578  ax-pre-mulgt0 9579
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4251  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6255  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-om 6695  df-1st 6794  df-2nd 6795  df-tpos 6965  df-recs 7052  df-rdg 7086  df-er 7321  df-en 7527  df-dom 7528  df-sdom 7529  df-pnf 9640  df-mnf 9641  df-xr 9642  df-ltxr 9643  df-le 9644  df-sub 9817  df-neg 9818  df-nn 10547  df-2 10604  df-3 10605  df-ndx 14505  df-slot 14506  df-base 14507  df-sets 14508  df-ress 14509  df-plusg 14580  df-mulr 14581  df-0g 14709  df-mgm 15741  df-sgrp 15764  df-mnd 15774  df-grp 15906  df-minusg 15907  df-mgp 16991  df-ur 17003  df-ring 17049  df-oppr 17121  df-dvdsr 17139  df-unit 17140  df-invr 17170  df-dvr 17181  df-drng 17246
This theorem is referenced by:  erng1r  36084  dvalveclem  36115
  Copyright terms: Public domain W3C validator