MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  drngid Structured version   Unicode version

Theorem drngid 16858
Description: A division ring's unit is the identity element of its multiplicative group. (Contributed by NM, 7-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
drngid.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
drngid.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
drngid.u  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
drngid.g  |-  G  =  ( (mulGrp `  R
)s  ( B  \  {  .0.  } ) )
Assertion
Ref Expression
drngid  |-  ( R  e.  DivRing  ->  .1.  =  ( 0g `  G ) )

Proof of Theorem drngid
StepHypRef Expression
1 drngrng 16851 . . 3  |-  ( R  e.  DivRing  ->  R  e.  Ring )
2 eqid 2443 . . . 4  |-  (Unit `  R )  =  (Unit `  R )
3 eqid 2443 . . . 4  |-  ( (mulGrp `  R )s  (Unit `  R )
)  =  ( (mulGrp `  R )s  (Unit `  R )
)
4 drngid.u . . . 4  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
52, 3, 4unitgrpid 16773 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  .1.  =  ( 0g `  ( (mulGrp `  R )s  (Unit `  R )
) ) )
61, 5syl 16 . 2  |-  ( R  e.  DivRing  ->  .1.  =  ( 0g `  ( (mulGrp `  R )s  (Unit `  R )
) ) )
7 drngid.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  R
)
8 drngid.z . . . . . . 7  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
97, 2, 8isdrng 16848 . . . . . 6  |-  ( R  e.  DivRing 
<->  ( R  e.  Ring  /\  (Unit `  R )  =  ( B  \  {  .0.  } ) ) )
109simprbi 464 . . . . 5  |-  ( R  e.  DivRing  ->  (Unit `  R
)  =  ( B 
\  {  .0.  }
) )
1110oveq2d 6119 . . . 4  |-  ( R  e.  DivRing  ->  ( (mulGrp `  R )s  (Unit `  R )
)  =  ( (mulGrp `  R )s  ( B  \  {  .0.  } ) ) )
12 drngid.g . . . 4  |-  G  =  ( (mulGrp `  R
)s  ( B  \  {  .0.  } ) )
1311, 12syl6eqr 2493 . . 3  |-  ( R  e.  DivRing  ->  ( (mulGrp `  R )s  (Unit `  R )
)  =  G )
1413fveq2d 5707 . 2  |-  ( R  e.  DivRing  ->  ( 0g `  ( (mulGrp `  R )s  (Unit `  R ) ) )  =  ( 0g `  G ) )
156, 14eqtrd 2475 1  |-  ( R  e.  DivRing  ->  .1.  =  ( 0g `  G ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756    \ cdif 3337   {csn 3889   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   Basecbs 14186   ↾s cress 14187   0gc0g 14390  mulGrpcmgp 16603   1rcur 16615   Ringcrg 16657  Unitcui 16743   DivRingcdr 16844
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-tpos 6757  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-er 7113  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-ndx 14189  df-slot 14190  df-base 14191  df-sets 14192  df-ress 14193  df-plusg 14263  df-mulr 14264  df-0g 14392  df-mnd 15427  df-grp 15557  df-mgp 16604  df-ur 16616  df-rng 16659  df-oppr 16727  df-dvdsr 16745  df-unit 16746  df-drng 16846
This theorem is referenced by:  drngid2  16860
  Copyright terms: Public domain W3C validator