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Theorem dquartlem2 22132
Description: Lemma for dquart 22133. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dquart.b  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
dquart.c  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
dquart.x  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
dquart.s  |-  ( ph  ->  S  e.  CC )
dquart.m  |-  ( ph  ->  M  =  ( ( 2  x.  S ) ^ 2 ) )
dquart.m0  |-  ( ph  ->  M  =/=  0 )
dquart.i  |-  ( ph  ->  I  e.  CC )
dquart.i2  |-  ( ph  ->  ( I ^ 2 )  =  ( (
-u ( S ^
2 )  -  ( B  /  2 ) )  +  ( ( C  /  4 )  /  S ) ) )
dquart.d  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
dquart.3  |-  ( ph  ->  ( ( ( M ^ 3 )  +  ( ( 2  x.  B )  x.  ( M ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( ( B ^
2 )  -  (
4  x.  D ) )  x.  M )  +  -u ( C ^
2 ) ) )  =  0 )
Assertion
Ref Expression
dquartlem2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M  +  B )  /  2 ) ^
2 )  -  (
( ( C ^
2 )  /  4
)  /  M ) )  =  D )

Proof of Theorem dquartlem2
StepHypRef Expression
1 dquart.m . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  =  ( ( 2  x.  S ) ^ 2 ) )
2 2cn 10380 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  CC
3 dquart.s . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  e.  CC )
4 mulcl 9354 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  S  e.  CC )  ->  ( 2  x.  S
)  e.  CC )
52, 3, 4sylancr 656 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  S
)  e.  CC )
65sqcld 11990 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  S ) ^ 2 )  e.  CC )
71, 6eqeltrd 2507 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
8 dquart.b . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
97, 8addcld 9393 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M  +  B
)  e.  CC )
102a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
11 2ne0 10402 . . . . . 6  |-  2  =/=  0
1211a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  2  =/=  0 )
139, 10, 12sqdivd 12005 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  +  B )  / 
2 ) ^ 2 )  =  ( ( ( M  +  B
) ^ 2 )  /  ( 2 ^ 2 ) ) )
14 sq2 11946 . . . . 5  |-  ( 2 ^ 2 )  =  4
1514oveq2i 6091 . . . 4  |-  ( ( ( M  +  B
) ^ 2 )  /  ( 2 ^ 2 ) )  =  ( ( ( M  +  B ) ^
2 )  /  4
)
1613, 15syl6eq 2481 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  +  B )  / 
2 ) ^ 2 )  =  ( ( ( M  +  B
) ^ 2 )  /  4 ) )
1716oveq1d 6095 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M  +  B )  /  2 ) ^
2 )  -  (
( ( C ^
2 )  /  4
)  /  M ) )  =  ( ( ( ( M  +  B ) ^ 2 )  /  4 )  -  ( ( ( C ^ 2 )  /  4 )  /  M ) ) )
189sqcld 11990 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( M  +  B ) ^ 2 )  e.  CC )
19 4cn 10387 . . . . . 6  |-  4  e.  CC
2019a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  4  e.  CC )
21 4ne0 10406 . . . . . 6  |-  4  =/=  0
2221a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  4  =/=  0 )
2318, 20, 22divcld 10095 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  +  B ) ^
2 )  /  4
)  e.  CC )
24 dquart.c . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
2524sqcld 11990 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  e.  CC )
2625, 20, 22divcld 10095 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( C ^
2 )  /  4
)  e.  CC )
27 dquart.m0 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  =/=  0 )
2826, 7, 27divcld 10095 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( C ^ 2 )  / 
4 )  /  M
)  e.  CC )
2923, 28subcld 9707 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M  +  B ) ^ 2 )  / 
4 )  -  (
( ( C ^
2 )  /  4
)  /  M ) )  e.  CC )
30 dquart.d . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
3123, 28, 7subdird 9789 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( M  +  B
) ^ 2 )  /  4 )  -  ( ( ( C ^ 2 )  / 
4 )  /  M
) )  x.  M
)  =  ( ( ( ( ( M  +  B ) ^
2 )  /  4
)  x.  M )  -  ( ( ( ( C ^ 2 )  /  4 )  /  M )  x.  M ) ) )
3218, 7, 20, 22div23d 10132 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M  +  B ) ^ 2 )  x.  M )  /  4
)  =  ( ( ( ( M  +  B ) ^ 2 )  /  4 )  x.  M ) )
3332eqcomd 2438 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M  +  B ) ^ 2 )  / 
4 )  x.  M
)  =  ( ( ( ( M  +  B ) ^ 2 )  x.  M )  /  4 ) )
3426, 7, 27divcan1d 10096 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( C ^ 2 )  /  4 )  /  M )  x.  M
)  =  ( ( C ^ 2 )  /  4 ) )
3533, 34oveq12d 6098 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( M  +  B
) ^ 2 )  /  4 )  x.  M )  -  (
( ( ( C ^ 2 )  / 
4 )  /  M
)  x.  M ) )  =  ( ( ( ( ( M  +  B ) ^
2 )  x.  M
)  /  4 )  -  ( ( C ^ 2 )  / 
4 ) ) )
36 binom2 11965 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( M  +  B ) ^ 2 )  =  ( ( ( M ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( M  x.  B ) ) )  +  ( B ^
2 ) ) )
377, 8, 36syl2anc 654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( M  +  B ) ^ 2 )  =  ( ( ( M ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( M  x.  B ) ) )  +  ( B ^
2 ) ) )
3837oveq1d 6095 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  +  B ) ^
2 )  x.  M
)  =  ( ( ( ( M ^
2 )  +  ( 2  x.  ( M  x.  B ) ) )  +  ( B ^ 2 ) )  x.  M ) )
397sqcld 11990 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( M ^ 2 )  e.  CC )
407, 8mulcld 9394 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( M  x.  B
)  e.  CC )
41 mulcl 9354 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( M  x.  B
)  e.  CC )  ->  ( 2  x.  ( M  x.  B
) )  e.  CC )
422, 40, 41sylancr 656 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( M  x.  B )
)  e.  CC )
4339, 42addcld 9393 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( M ^
2 )  +  ( 2  x.  ( M  x.  B ) ) )  e.  CC )
448sqcld 11990 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( B ^ 2 )  e.  CC )
4543, 44, 7adddird 9399 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( M  x.  B
) ) )  +  ( B ^ 2 ) )  x.  M
)  =  ( ( ( ( M ^
2 )  +  ( 2  x.  ( M  x.  B ) ) )  x.  M )  +  ( ( B ^ 2 )  x.  M ) ) )
4639, 42, 7adddird 9399 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( M ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( M  x.  B )
) )  x.  M
)  =  ( ( ( M ^ 2 )  x.  M )  +  ( ( 2  x.  ( M  x.  B ) )  x.  M ) ) )
47 df-3 10369 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  3  =  ( 2  +  1 )
4847oveq2i 6091 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M ^ 3 )  =  ( M ^ (
2  +  1 ) )
49 2nn0 10584 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  NN0
50 expp1 11856 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  CC  /\  2  e.  NN0 )  -> 
( M ^ (
2  +  1 ) )  =  ( ( M ^ 2 )  x.  M ) )
517, 49, 50sylancl 655 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( M ^ (
2  +  1 ) )  =  ( ( M ^ 2 )  x.  M ) )
5248, 51syl5req 2478 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( M ^
2 )  x.  M
)  =  ( M ^ 3 ) )
53 mulcl 9354 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 2  x.  B
)  e.  CC )
542, 8, 53sylancr 656 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  B
)  e.  CC )
5554, 7, 7mulassd 9397 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  B )  x.  M )  x.  M
)  =  ( ( 2  x.  B )  x.  ( M  x.  M ) ) )
5610, 7, 8mulassd 9397 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  M )  x.  B
)  =  ( 2  x.  ( M  x.  B ) ) )
5710, 7, 8mul32d 9567 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  M )  x.  B
)  =  ( ( 2  x.  B )  x.  M ) )
5856, 57eqtr3d 2467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( M  x.  B )
)  =  ( ( 2  x.  B )  x.  M ) )
5958oveq1d 6095 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( M  x.  B
) )  x.  M
)  =  ( ( ( 2  x.  B
)  x.  M )  x.  M ) )
607sqvald 11989 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( M ^ 2 )  =  ( M  x.  M ) )
6160oveq2d 6096 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  B )  x.  ( M ^ 2 ) )  =  ( ( 2  x.  B )  x.  ( M  x.  M
) ) )
6255, 59, 613eqtr4d 2475 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( M  x.  B
) )  x.  M
)  =  ( ( 2  x.  B )  x.  ( M ^
2 ) ) )
6352, 62oveq12d 6098 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( M ^ 2 )  x.  M )  +  ( ( 2  x.  ( M  x.  B )
)  x.  M ) )  =  ( ( M ^ 3 )  +  ( ( 2  x.  B )  x.  ( M ^ 2 ) ) ) )
6446, 63eqtrd 2465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( M ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( M  x.  B )
) )  x.  M
)  =  ( ( M ^ 3 )  +  ( ( 2  x.  B )  x.  ( M ^ 2 ) ) ) )
6564oveq1d 6095 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( M  x.  B
) ) )  x.  M )  +  ( ( B ^ 2 )  x.  M ) )  =  ( ( ( M ^ 3 )  +  ( ( 2  x.  B )  x.  ( M ^
2 ) ) )  +  ( ( B ^ 2 )  x.  M ) ) )
6638, 45, 653eqtrd 2469 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  +  B ) ^
2 )  x.  M
)  =  ( ( ( M ^ 3 )  +  ( ( 2  x.  B )  x.  ( M ^
2 ) ) )  +  ( ( B ^ 2 )  x.  M ) ) )
6766oveq1d 6095 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M  +  B ) ^ 2 )  x.  M )  -  (
( 4  x.  D
)  x.  M ) )  =  ( ( ( ( M ^
3 )  +  ( ( 2  x.  B
)  x.  ( M ^ 2 ) ) )  +  ( ( B ^ 2 )  x.  M ) )  -  ( ( 4  x.  D )  x.  M ) ) )
68 3nn0 10585 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  e.  NN0
69 expcl 11867 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  CC  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( M ^ 3 )  e.  CC )
707, 68, 69sylancl 655 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( M ^ 3 )  e.  CC )
7154, 39mulcld 9394 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  B )  x.  ( M ^ 2 ) )  e.  CC )
7270, 71addcld 9393 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( M ^
3 )  +  ( ( 2  x.  B
)  x.  ( M ^ 2 ) ) )  e.  CC )
7344, 7mulcld 9394 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( B ^
2 )  x.  M
)  e.  CC )
74 mulcl 9354 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 4  e.  CC  /\  D  e.  CC )  ->  ( 4  x.  D
)  e.  CC )
7519, 30, 74sylancr 656 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  D
)  e.  CC )
7675, 7mulcld 9394 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 4  x.  D )  x.  M
)  e.  CC )
7772, 73, 76addsubassd 9727 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M ^ 3 )  +  ( ( 2  x.  B )  x.  ( M ^ 2 ) ) )  +  ( ( B ^
2 )  x.  M
) )  -  (
( 4  x.  D
)  x.  M ) )  =  ( ( ( M ^ 3 )  +  ( ( 2  x.  B )  x.  ( M ^
2 ) ) )  +  ( ( ( B ^ 2 )  x.  M )  -  ( ( 4  x.  D )  x.  M
) ) ) )
7844, 75, 7subdird 9789 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  D
) )  x.  M
)  =  ( ( ( B ^ 2 )  x.  M )  -  ( ( 4  x.  D )  x.  M ) ) )
7978oveq2d 6096 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( M ^ 3 )  +  ( ( 2  x.  B )  x.  ( M ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  D ) )  x.  M ) )  =  ( ( ( M ^ 3 )  +  ( ( 2  x.  B )  x.  ( M ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( B ^ 2 )  x.  M )  -  (
( 4  x.  D
)  x.  M ) ) ) )
8077, 79eqtr4d 2468 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M ^ 3 )  +  ( ( 2  x.  B )  x.  ( M ^ 2 ) ) )  +  ( ( B ^
2 )  x.  M
) )  -  (
( 4  x.  D
)  x.  M ) )  =  ( ( ( M ^ 3 )  +  ( ( 2  x.  B )  x.  ( M ^
2 ) ) )  +  ( ( ( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  D ) )  x.  M ) ) )
8144, 75subcld 9707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( B ^
2 )  -  (
4  x.  D ) )  e.  CC )
8281, 7mulcld 9394 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  D
) )  x.  M
)  e.  CC )
8372, 82addcld 9393 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( M ^ 3 )  +  ( ( 2  x.  B )  x.  ( M ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  D ) )  x.  M ) )  e.  CC )
8425negcld 9694 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  -> 
-u ( C ^
2 )  e.  CC )
8572, 82, 84addassd 9396 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M ^ 3 )  +  ( ( 2  x.  B )  x.  ( M ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  D
) )  x.  M
) )  +  -u ( C ^ 2 ) )  =  ( ( ( M ^ 3 )  +  ( ( 2  x.  B )  x.  ( M ^
2 ) ) )  +  ( ( ( ( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  D ) )  x.  M )  + 
-u ( C ^
2 ) ) ) )
8683, 25negsubd 9713 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M ^ 3 )  +  ( ( 2  x.  B )  x.  ( M ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  D
) )  x.  M
) )  +  -u ( C ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( M ^
3 )  +  ( ( 2  x.  B
)  x.  ( M ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  D ) )  x.  M ) )  -  ( C ^
2 ) ) )
87 dquart.3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( M ^ 3 )  +  ( ( 2  x.  B )  x.  ( M ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( ( B ^
2 )  -  (
4  x.  D ) )  x.  M )  +  -u ( C ^
2 ) ) )  =  0 )
8885, 86, 873eqtr3d 2473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M ^ 3 )  +  ( ( 2  x.  B )  x.  ( M ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  D
) )  x.  M
) )  -  ( C ^ 2 ) )  =  0 )
8983, 25, 88subeq0d 9715 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( M ^ 3 )  +  ( ( 2  x.  B )  x.  ( M ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  D ) )  x.  M ) )  =  ( C ^
2 ) )
9067, 80, 893eqtrd 2469 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M  +  B ) ^ 2 )  x.  M )  -  (
( 4  x.  D
)  x.  M ) )  =  ( C ^ 2 ) )
9118, 7mulcld 9394 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  +  B ) ^
2 )  x.  M
)  e.  CC )
92 subsub23 9603 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( M  +  B ) ^
2 )  x.  M
)  e.  CC  /\  ( ( 4  x.  D )  x.  M
)  e.  CC  /\  ( C ^ 2 )  e.  CC )  -> 
( ( ( ( ( M  +  B
) ^ 2 )  x.  M )  -  ( ( 4  x.  D )  x.  M
) )  =  ( C ^ 2 )  <-> 
( ( ( ( M  +  B ) ^ 2 )  x.  M )  -  ( C ^ 2 ) )  =  ( ( 4  x.  D )  x.  M ) ) )
9391, 76, 25, 92syl3anc 1211 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( M  +  B
) ^ 2 )  x.  M )  -  ( ( 4  x.  D )  x.  M
) )  =  ( C ^ 2 )  <-> 
( ( ( ( M  +  B ) ^ 2 )  x.  M )  -  ( C ^ 2 ) )  =  ( ( 4  x.  D )  x.  M ) ) )
9490, 93mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M  +  B ) ^ 2 )  x.  M )  -  ( C ^ 2 ) )  =  ( ( 4  x.  D )  x.  M ) )
9520, 30, 7mulassd 9397 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 4  x.  D )  x.  M
)  =  ( 4  x.  ( D  x.  M ) ) )
9694, 95eqtrd 2465 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M  +  B ) ^ 2 )  x.  M )  -  ( C ^ 2 ) )  =  ( 4  x.  ( D  x.  M
) ) )
9796oveq1d 6095 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( M  +  B
) ^ 2 )  x.  M )  -  ( C ^ 2 ) )  /  4 )  =  ( ( 4  x.  ( D  x.  M ) )  / 
4 ) )
9891, 25, 20, 22divsubdird 10134 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( M  +  B
) ^ 2 )  x.  M )  -  ( C ^ 2 ) )  /  4 )  =  ( ( ( ( ( M  +  B ) ^ 2 )  x.  M )  /  4 )  -  ( ( C ^
2 )  /  4
) ) )
9930, 7mulcld 9394 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( D  x.  M
)  e.  CC )
10099, 20, 22divcan3d 10100 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 4  x.  ( D  x.  M
) )  /  4
)  =  ( D  x.  M ) )
10197, 98, 1003eqtr3d 2473 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( M  +  B
) ^ 2 )  x.  M )  / 
4 )  -  (
( C ^ 2 )  /  4 ) )  =  ( D  x.  M ) )
10231, 35, 1013eqtrd 2469 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( M  +  B
) ^ 2 )  /  4 )  -  ( ( ( C ^ 2 )  / 
4 )  /  M
) )  x.  M
)  =  ( D  x.  M ) )
10329, 30, 7, 27, 102mulcan2ad 9960 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M  +  B ) ^ 2 )  / 
4 )  -  (
( ( C ^
2 )  /  4
)  /  M ) )  =  D )
10417, 103eqtrd 2465 1  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M  +  B )  /  2 ) ^
2 )  -  (
( ( C ^
2 )  /  4
)  /  M ) )  =  D )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1362    e. wcel 1755    =/= wne 2596  (class class class)co 6080   CCcc 9268   0cc0 9270   1c1 9271    + caddc 9273    x. cmul 9275    - cmin 9583   -ucneg 9584    / cdiv 9981   2c2 10359   3c3 10360   4c4 10361   NN0cn0 10567   ^cexp 11849
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-div 9982  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-4 10370  df-n0 10568  df-z 10635  df-uz 10850  df-seq 11791  df-exp 11850
This theorem is referenced by:  dquart  22133
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