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Theorem dquartlem2 23770
Description: Lemma for dquart 23771. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dquart.b  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
dquart.c  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
dquart.x  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
dquart.s  |-  ( ph  ->  S  e.  CC )
dquart.m  |-  ( ph  ->  M  =  ( ( 2  x.  S ) ^ 2 ) )
dquart.m0  |-  ( ph  ->  M  =/=  0 )
dquart.i  |-  ( ph  ->  I  e.  CC )
dquart.i2  |-  ( ph  ->  ( I ^ 2 )  =  ( (
-u ( S ^
2 )  -  ( B  /  2 ) )  +  ( ( C  /  4 )  /  S ) ) )
dquart.d  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
dquart.3  |-  ( ph  ->  ( ( ( M ^ 3 )  +  ( ( 2  x.  B )  x.  ( M ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( ( B ^
2 )  -  (
4  x.  D ) )  x.  M )  +  -u ( C ^
2 ) ) )  =  0 )
Assertion
Ref Expression
dquartlem2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M  +  B )  /  2 ) ^
2 )  -  (
( ( C ^
2 )  /  4
)  /  M ) )  =  D )

Proof of Theorem dquartlem2
StepHypRef Expression
1 dquart.m . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  =  ( ( 2  x.  S ) ^ 2 ) )
2 2cn 10682 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  CC
3 dquart.s . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  e.  CC )
4 mulcl 9625 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  S  e.  CC )  ->  ( 2  x.  S
)  e.  CC )
52, 3, 4sylancr 668 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  S
)  e.  CC )
65sqcld 12415 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  S ) ^ 2 )  e.  CC )
71, 6eqeltrd 2511 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
8 dquart.b . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
97, 8addcld 9664 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M  +  B
)  e.  CC )
102a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
11 2ne0 10704 . . . . . 6  |-  2  =/=  0
1211a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  2  =/=  0 )
139, 10, 12sqdivd 12430 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  +  B )  / 
2 ) ^ 2 )  =  ( ( ( M  +  B
) ^ 2 )  /  ( 2 ^ 2 ) ) )
14 sq2 12372 . . . . 5  |-  ( 2 ^ 2 )  =  4
1514oveq2i 6314 . . . 4  |-  ( ( ( M  +  B
) ^ 2 )  /  ( 2 ^ 2 ) )  =  ( ( ( M  +  B ) ^
2 )  /  4
)
1613, 15syl6eq 2480 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  +  B )  / 
2 ) ^ 2 )  =  ( ( ( M  +  B
) ^ 2 )  /  4 ) )
1716oveq1d 6318 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M  +  B )  /  2 ) ^
2 )  -  (
( ( C ^
2 )  /  4
)  /  M ) )  =  ( ( ( ( M  +  B ) ^ 2 )  /  4 )  -  ( ( ( C ^ 2 )  /  4 )  /  M ) ) )
189sqcld 12415 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( M  +  B ) ^ 2 )  e.  CC )
19 4cn 10689 . . . . . 6  |-  4  e.  CC
2019a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  4  e.  CC )
21 4ne0 10708 . . . . . 6  |-  4  =/=  0
2221a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  4  =/=  0 )
2318, 20, 22divcld 10385 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  +  B ) ^
2 )  /  4
)  e.  CC )
24 dquart.c . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
2524sqcld 12415 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  e.  CC )
2625, 20, 22divcld 10385 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( C ^
2 )  /  4
)  e.  CC )
27 dquart.m0 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  =/=  0 )
2826, 7, 27divcld 10385 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( C ^ 2 )  / 
4 )  /  M
)  e.  CC )
2923, 28subcld 9988 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M  +  B ) ^ 2 )  / 
4 )  -  (
( ( C ^
2 )  /  4
)  /  M ) )  e.  CC )
30 dquart.d . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
3123, 28, 7subdird 10077 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( M  +  B
) ^ 2 )  /  4 )  -  ( ( ( C ^ 2 )  / 
4 )  /  M
) )  x.  M
)  =  ( ( ( ( ( M  +  B ) ^
2 )  /  4
)  x.  M )  -  ( ( ( ( C ^ 2 )  /  4 )  /  M )  x.  M ) ) )
3218, 7, 20, 22div23d 10422 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M  +  B ) ^ 2 )  x.  M )  /  4
)  =  ( ( ( ( M  +  B ) ^ 2 )  /  4 )  x.  M ) )
3332eqcomd 2431 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M  +  B ) ^ 2 )  / 
4 )  x.  M
)  =  ( ( ( ( M  +  B ) ^ 2 )  x.  M )  /  4 ) )
3426, 7, 27divcan1d 10386 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( C ^ 2 )  /  4 )  /  M )  x.  M
)  =  ( ( C ^ 2 )  /  4 ) )
3533, 34oveq12d 6321 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( M  +  B
) ^ 2 )  /  4 )  x.  M )  -  (
( ( ( C ^ 2 )  / 
4 )  /  M
)  x.  M ) )  =  ( ( ( ( ( M  +  B ) ^
2 )  x.  M
)  /  4 )  -  ( ( C ^ 2 )  / 
4 ) ) )
36 binom2 12390 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( M  +  B ) ^ 2 )  =  ( ( ( M ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( M  x.  B ) ) )  +  ( B ^
2 ) ) )
377, 8, 36syl2anc 666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( M  +  B ) ^ 2 )  =  ( ( ( M ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( M  x.  B ) ) )  +  ( B ^
2 ) ) )
3837oveq1d 6318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  +  B ) ^
2 )  x.  M
)  =  ( ( ( ( M ^
2 )  +  ( 2  x.  ( M  x.  B ) ) )  +  ( B ^ 2 ) )  x.  M ) )
397sqcld 12415 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( M ^ 2 )  e.  CC )
407, 8mulcld 9665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( M  x.  B
)  e.  CC )
41 mulcl 9625 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( M  x.  B
)  e.  CC )  ->  ( 2  x.  ( M  x.  B
) )  e.  CC )
422, 40, 41sylancr 668 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( M  x.  B )
)  e.  CC )
4339, 42addcld 9664 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( M ^
2 )  +  ( 2  x.  ( M  x.  B ) ) )  e.  CC )
448sqcld 12415 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( B ^ 2 )  e.  CC )
4543, 44, 7adddird 9670 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( M  x.  B
) ) )  +  ( B ^ 2 ) )  x.  M
)  =  ( ( ( ( M ^
2 )  +  ( 2  x.  ( M  x.  B ) ) )  x.  M )  +  ( ( B ^ 2 )  x.  M ) ) )
4639, 42, 7adddird 9670 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( M ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( M  x.  B )
) )  x.  M
)  =  ( ( ( M ^ 2 )  x.  M )  +  ( ( 2  x.  ( M  x.  B ) )  x.  M ) ) )
47 df-3 10671 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  3  =  ( 2  +  1 )
4847oveq2i 6314 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M ^ 3 )  =  ( M ^ (
2  +  1 ) )
49 2nn0 10888 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  NN0
50 expp1 12280 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  CC  /\  2  e.  NN0 )  -> 
( M ^ (
2  +  1 ) )  =  ( ( M ^ 2 )  x.  M ) )
517, 49, 50sylancl 667 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( M ^ (
2  +  1 ) )  =  ( ( M ^ 2 )  x.  M ) )
5248, 51syl5req 2477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( M ^
2 )  x.  M
)  =  ( M ^ 3 ) )
53 mulcl 9625 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 2  x.  B
)  e.  CC )
542, 8, 53sylancr 668 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  B
)  e.  CC )
5554, 7, 7mulassd 9668 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  B )  x.  M )  x.  M
)  =  ( ( 2  x.  B )  x.  ( M  x.  M ) ) )
5610, 7, 8mulassd 9668 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  M )  x.  B
)  =  ( 2  x.  ( M  x.  B ) ) )
5710, 7, 8mul32d 9845 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  M )  x.  B
)  =  ( ( 2  x.  B )  x.  M ) )
5856, 57eqtr3d 2466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( M  x.  B )
)  =  ( ( 2  x.  B )  x.  M ) )
5958oveq1d 6318 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( M  x.  B
) )  x.  M
)  =  ( ( ( 2  x.  B
)  x.  M )  x.  M ) )
607sqvald 12414 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( M ^ 2 )  =  ( M  x.  M ) )
6160oveq2d 6319 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  B )  x.  ( M ^ 2 ) )  =  ( ( 2  x.  B )  x.  ( M  x.  M
) ) )
6255, 59, 613eqtr4d 2474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( M  x.  B
) )  x.  M
)  =  ( ( 2  x.  B )  x.  ( M ^
2 ) ) )
6352, 62oveq12d 6321 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( M ^ 2 )  x.  M )  +  ( ( 2  x.  ( M  x.  B )
)  x.  M ) )  =  ( ( M ^ 3 )  +  ( ( 2  x.  B )  x.  ( M ^ 2 ) ) ) )
6446, 63eqtrd 2464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( M ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( M  x.  B )
) )  x.  M
)  =  ( ( M ^ 3 )  +  ( ( 2  x.  B )  x.  ( M ^ 2 ) ) ) )
6564oveq1d 6318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( M  x.  B
) ) )  x.  M )  +  ( ( B ^ 2 )  x.  M ) )  =  ( ( ( M ^ 3 )  +  ( ( 2  x.  B )  x.  ( M ^
2 ) ) )  +  ( ( B ^ 2 )  x.  M ) ) )
6638, 45, 653eqtrd 2468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  +  B ) ^
2 )  x.  M
)  =  ( ( ( M ^ 3 )  +  ( ( 2  x.  B )  x.  ( M ^
2 ) ) )  +  ( ( B ^ 2 )  x.  M ) ) )
6766oveq1d 6318 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M  +  B ) ^ 2 )  x.  M )  -  (
( 4  x.  D
)  x.  M ) )  =  ( ( ( ( M ^
3 )  +  ( ( 2  x.  B
)  x.  ( M ^ 2 ) ) )  +  ( ( B ^ 2 )  x.  M ) )  -  ( ( 4  x.  D )  x.  M ) ) )
68 3nn0 10889 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  e.  NN0
69 expcl 12291 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  CC  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( M ^ 3 )  e.  CC )
707, 68, 69sylancl 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( M ^ 3 )  e.  CC )
7154, 39mulcld 9665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  B )  x.  ( M ^ 2 ) )  e.  CC )
7270, 71addcld 9664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( M ^
3 )  +  ( ( 2  x.  B
)  x.  ( M ^ 2 ) ) )  e.  CC )
7344, 7mulcld 9665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( B ^
2 )  x.  M
)  e.  CC )
74 mulcl 9625 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 4  e.  CC  /\  D  e.  CC )  ->  ( 4  x.  D
)  e.  CC )
7519, 30, 74sylancr 668 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  D
)  e.  CC )
7675, 7mulcld 9665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 4  x.  D )  x.  M
)  e.  CC )
7772, 73, 76addsubassd 10008 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M ^ 3 )  +  ( ( 2  x.  B )  x.  ( M ^ 2 ) ) )  +  ( ( B ^
2 )  x.  M
) )  -  (
( 4  x.  D
)  x.  M ) )  =  ( ( ( M ^ 3 )  +  ( ( 2  x.  B )  x.  ( M ^
2 ) ) )  +  ( ( ( B ^ 2 )  x.  M )  -  ( ( 4  x.  D )  x.  M
) ) ) )
7844, 75, 7subdird 10077 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  D
) )  x.  M
)  =  ( ( ( B ^ 2 )  x.  M )  -  ( ( 4  x.  D )  x.  M ) ) )
7978oveq2d 6319 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( M ^ 3 )  +  ( ( 2  x.  B )  x.  ( M ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  D ) )  x.  M ) )  =  ( ( ( M ^ 3 )  +  ( ( 2  x.  B )  x.  ( M ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( B ^ 2 )  x.  M )  -  (
( 4  x.  D
)  x.  M ) ) ) )
8077, 79eqtr4d 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M ^ 3 )  +  ( ( 2  x.  B )  x.  ( M ^ 2 ) ) )  +  ( ( B ^
2 )  x.  M
) )  -  (
( 4  x.  D
)  x.  M ) )  =  ( ( ( M ^ 3 )  +  ( ( 2  x.  B )  x.  ( M ^
2 ) ) )  +  ( ( ( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  D ) )  x.  M ) ) )
8144, 75subcld 9988 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( B ^
2 )  -  (
4  x.  D ) )  e.  CC )
8281, 7mulcld 9665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  D
) )  x.  M
)  e.  CC )
8372, 82addcld 9664 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( M ^ 3 )  +  ( ( 2  x.  B )  x.  ( M ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  D ) )  x.  M ) )  e.  CC )
8425negcld 9975 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  -> 
-u ( C ^
2 )  e.  CC )
8572, 82, 84addassd 9667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M ^ 3 )  +  ( ( 2  x.  B )  x.  ( M ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  D
) )  x.  M
) )  +  -u ( C ^ 2 ) )  =  ( ( ( M ^ 3 )  +  ( ( 2  x.  B )  x.  ( M ^
2 ) ) )  +  ( ( ( ( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  D ) )  x.  M )  + 
-u ( C ^
2 ) ) ) )
8683, 25negsubd 9994 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M ^ 3 )  +  ( ( 2  x.  B )  x.  ( M ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  D
) )  x.  M
) )  +  -u ( C ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( M ^
3 )  +  ( ( 2  x.  B
)  x.  ( M ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  D ) )  x.  M ) )  -  ( C ^
2 ) ) )
87 dquart.3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( M ^ 3 )  +  ( ( 2  x.  B )  x.  ( M ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( ( B ^
2 )  -  (
4  x.  D ) )  x.  M )  +  -u ( C ^
2 ) ) )  =  0 )
8885, 86, 873eqtr3d 2472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M ^ 3 )  +  ( ( 2  x.  B )  x.  ( M ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  D
) )  x.  M
) )  -  ( C ^ 2 ) )  =  0 )
8983, 25, 88subeq0d 9996 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( M ^ 3 )  +  ( ( 2  x.  B )  x.  ( M ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  D ) )  x.  M ) )  =  ( C ^
2 ) )
9067, 80, 893eqtrd 2468 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M  +  B ) ^ 2 )  x.  M )  -  (
( 4  x.  D
)  x.  M ) )  =  ( C ^ 2 ) )
9118, 7mulcld 9665 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  +  B ) ^
2 )  x.  M
)  e.  CC )
92 subsub23 9882 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( M  +  B ) ^
2 )  x.  M
)  e.  CC  /\  ( ( 4  x.  D )  x.  M
)  e.  CC  /\  ( C ^ 2 )  e.  CC )  -> 
( ( ( ( ( M  +  B
) ^ 2 )  x.  M )  -  ( ( 4  x.  D )  x.  M
) )  =  ( C ^ 2 )  <-> 
( ( ( ( M  +  B ) ^ 2 )  x.  M )  -  ( C ^ 2 ) )  =  ( ( 4  x.  D )  x.  M ) ) )
9391, 76, 25, 92syl3anc 1265 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( M  +  B
) ^ 2 )  x.  M )  -  ( ( 4  x.  D )  x.  M
) )  =  ( C ^ 2 )  <-> 
( ( ( ( M  +  B ) ^ 2 )  x.  M )  -  ( C ^ 2 ) )  =  ( ( 4  x.  D )  x.  M ) ) )
9490, 93mpbid 214 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M  +  B ) ^ 2 )  x.  M )  -  ( C ^ 2 ) )  =  ( ( 4  x.  D )  x.  M ) )
9520, 30, 7mulassd 9668 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 4  x.  D )  x.  M
)  =  ( 4  x.  ( D  x.  M ) ) )
9694, 95eqtrd 2464 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M  +  B ) ^ 2 )  x.  M )  -  ( C ^ 2 ) )  =  ( 4  x.  ( D  x.  M
) ) )
9796oveq1d 6318 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( M  +  B
) ^ 2 )  x.  M )  -  ( C ^ 2 ) )  /  4 )  =  ( ( 4  x.  ( D  x.  M ) )  / 
4 ) )
9891, 25, 20, 22divsubdird 10424 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( M  +  B
) ^ 2 )  x.  M )  -  ( C ^ 2 ) )  /  4 )  =  ( ( ( ( ( M  +  B ) ^ 2 )  x.  M )  /  4 )  -  ( ( C ^
2 )  /  4
) ) )
9930, 7mulcld 9665 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( D  x.  M
)  e.  CC )
10099, 20, 22divcan3d 10390 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 4  x.  ( D  x.  M
) )  /  4
)  =  ( D  x.  M ) )
10197, 98, 1003eqtr3d 2472 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( M  +  B
) ^ 2 )  x.  M )  / 
4 )  -  (
( C ^ 2 )  /  4 ) )  =  ( D  x.  M ) )
10231, 35, 1013eqtrd 2468 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( M  +  B
) ^ 2 )  /  4 )  -  ( ( ( C ^ 2 )  / 
4 )  /  M
) )  x.  M
)  =  ( D  x.  M ) )
10329, 30, 7, 27, 102mulcan2ad 10250 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M  +  B ) ^ 2 )  / 
4 )  -  (
( ( C ^
2 )  /  4
)  /  M ) )  =  D )
10417, 103eqtrd 2464 1  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M  +  B )  /  2 ) ^
2 )  -  (
( ( C ^
2 )  /  4
)  /  M ) )  =  D )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    = wceq 1438    e. wcel 1869    =/= wne 2619  (class class class)co 6303   CCcc 9539   0cc0 9541   1c1 9542    + caddc 9544    x. cmul 9546    - cmin 9862   -ucneg 9863    / cdiv 10271   2c2 10661   3c3 10662   4c4 10663   NN0cn0 10871   ^cexp 12273
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-2nd 6806  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-er 7369  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-div 10272  df-nn 10612  df-2 10670  df-3 10671  df-4 10672  df-n0 10872  df-z 10940  df-uz 11162  df-seq 12215  df-exp 12274
This theorem is referenced by:  dquart  23771
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