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Theorem dquartlem1 22926
Description: Lemma for dquart 22928. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dquart.b  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
dquart.c  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
dquart.x  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
dquart.s  |-  ( ph  ->  S  e.  CC )
dquart.m  |-  ( ph  ->  M  =  ( ( 2  x.  S ) ^ 2 ) )
dquart.m0  |-  ( ph  ->  M  =/=  0 )
dquart.i  |-  ( ph  ->  I  e.  CC )
dquart.i2  |-  ( ph  ->  ( I ^ 2 )  =  ( (
-u ( S ^
2 )  -  ( B  /  2 ) )  +  ( ( C  /  4 )  /  S ) ) )
Assertion
Ref Expression
dquartlem1  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  / 
2 ) )  +  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4
) )  /  S
) )  =  0  <-> 
( X  =  (
-u S  +  I
)  \/  X  =  ( -u S  -  I ) ) ) )

Proof of Theorem dquartlem1
StepHypRef Expression
1 dquart.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
21sqcld 12275 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X ^ 2 )  e.  CC )
3 dquart.m . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  =  ( ( 2  x.  S ) ^ 2 ) )
4 2cn 10605 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  CC
5 dquart.s . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S  e.  CC )
6 mulcl 9575 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  S  e.  CC )  ->  ( 2  x.  S
)  e.  CC )
74, 5, 6sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  S
)  e.  CC )
87sqcld 12275 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  S ) ^ 2 )  e.  CC )
93, 8eqeltrd 2555 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
10 dquart.b . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
119, 10addcld 9614 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M  +  B
)  e.  CC )
1211halfcld 10782 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( M  +  B )  /  2
)  e.  CC )
132, 12addcld 9614 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( X ^
2 )  +  ( ( M  +  B
)  /  2 ) )  e.  CC )
149halfcld 10782 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M  /  2
)  e.  CC )
1514, 1mulcld 9615 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( M  / 
2 )  x.  X
)  e.  CC )
16 dquart.c . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
17 4cn 10612 . . . . . . . . 9  |-  4  e.  CC
1817a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  4  e.  CC )
19 4ne0 10631 . . . . . . . . 9  |-  4  =/=  0
2019a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  4  =/=  0 )
2116, 18, 20divcld 10319 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( C  /  4
)  e.  CC )
2215, 21subcld 9929 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4 ) )  e.  CC )
23 dquart.m0 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  =/=  0 )
243, 23eqnetrrd 2761 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  S ) ^ 2 )  =/=  0 )
25 sqne0 12201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  S )  e.  CC  ->  (
( ( 2  x.  S ) ^ 2 )  =/=  0  <->  (
2  x.  S )  =/=  0 ) )
267, 25syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  S ) ^
2 )  =/=  0  <->  ( 2  x.  S )  =/=  0 ) )
2724, 26mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  S
)  =/=  0 )
28 mulne0b 10189 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  S  e.  CC )  ->  ( ( 2  =/=  0  /\  S  =/=  0 )  <->  ( 2  x.  S )  =/=  0 ) )
294, 5, 28sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 2  =/=  0  /\  S  =/=  0 )  <->  ( 2  x.  S )  =/=  0 ) )
3027, 29mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  =/=  0  /\  S  =/=  0
) )
3130simprd 463 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  =/=  0 )
3222, 5, 31divcld 10319 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4
) )  /  S
)  e.  CC )
3313, 32addcld 9614 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  /  2
) )  +  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4 ) )  /  S ) )  e.  CC )
344a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
35 2ne0 10627 . . . . 5  |-  2  =/=  0
3635a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  2  =/=  0 )
3733, 34, 36diveq0ad 10329 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  /  2 ) )  +  ( ( ( ( M  /  2
)  x.  X )  -  ( C  / 
4 ) )  /  S ) )  / 
2 )  =  0  <-> 
( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  /  2
) )  +  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4 ) )  /  S ) )  =  0 ) )
382, 12, 32addassd 9617 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  /  2
) )  +  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4 ) )  /  S ) )  =  ( ( X ^ 2 )  +  ( ( ( M  +  B )  / 
2 )  +  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4 ) )  /  S ) ) ) )
3938oveq1d 6298 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  / 
2 ) )  +  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4
) )  /  S
) )  /  2
)  =  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( ( M  +  B
)  /  2 )  +  ( ( ( ( M  /  2
)  x.  X )  -  ( C  / 
4 ) )  /  S ) ) )  /  2 ) )
4012, 32addcld 9614 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  +  B )  / 
2 )  +  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4 ) )  /  S ) )  e.  CC )
412, 40, 34, 36divdird 10357 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( ( M  +  B )  / 
2 )  +  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4 ) )  /  S ) ) )  /  2 )  =  ( ( ( X ^ 2 )  /  2 )  +  ( ( ( ( M  +  B )  /  2 )  +  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4
) )  /  S
) )  /  2
) ) )
422, 34, 36divrec2d 10323 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( X ^
2 )  /  2
)  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( X ^
2 ) ) )
4315, 21, 5, 31divsubdird 10358 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4
) )  /  S
)  =  ( ( ( ( M  / 
2 )  x.  X
)  /  S )  -  ( ( C  /  4 )  /  S ) ) )
4414, 1, 5, 31div23d 10356 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  /  S
)  =  ( ( ( M  /  2
)  /  S )  x.  X ) )
455sqvald 12274 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( S ^ 2 )  =  ( S  x.  S ) )
4645oveq2d 6299 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( S ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( S  x.  S
) ) )
47 sqmul 12198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  S  e.  CC )  ->  ( ( 2  x.  S ) ^ 2 )  =  ( ( 2 ^ 2 )  x.  ( S ^
2 ) ) )
484, 5, 47sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  S ) ^ 2 )  =  ( ( 2 ^ 2 )  x.  ( S ^
2 ) ) )
494sqvali 12214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 2 ^ 2 )  =  ( 2  x.  2 )
5049oveq1i 6293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 2 ^ 2 )  x.  ( S ^
2 ) )  =  ( ( 2  x.  2 )  x.  ( S ^ 2 ) )
5148, 50syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  S ) ^ 2 )  =  ( ( 2  x.  2 )  x.  ( S ^
2 ) ) )
525sqcld 12275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( S ^ 2 )  e.  CC )
5334, 34, 52mulassd 9618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  2 )  x.  ( S ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( 2  x.  ( S ^ 2 ) ) ) )
543, 51, 533eqtrd 2512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  M  =  ( 2  x.  ( 2  x.  ( S ^ 2 ) ) ) )
5554oveq1d 6298 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( M  /  2
)  =  ( ( 2  x.  ( 2  x.  ( S ^
2 ) ) )  /  2 ) )
56 mulcl 9575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( S ^ 2 )  e.  CC )  -> 
( 2  x.  ( S ^ 2 ) )  e.  CC )
574, 52, 56sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( S ^ 2 ) )  e.  CC )
5857, 34, 36divcan3d 10324 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( 2  x.  ( S ^ 2 ) ) )  /  2 )  =  ( 2  x.  ( S ^ 2 ) ) )
5955, 58eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( M  /  2
)  =  ( 2  x.  ( S ^
2 ) ) )
6034, 5, 5mulassd 9618 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  S )  x.  S
)  =  ( 2  x.  ( S  x.  S ) ) )
6146, 59, 603eqtr4d 2518 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( M  /  2
)  =  ( ( 2  x.  S )  x.  S ) )
6261oveq1d 6298 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( M  / 
2 )  /  S
)  =  ( ( ( 2  x.  S
)  x.  S )  /  S ) )
637, 5, 31divcan4d 10325 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  S )  x.  S )  /  S
)  =  ( 2  x.  S ) )
6462, 63eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( M  / 
2 )  /  S
)  =  ( 2  x.  S ) )
6564oveq1d 6298 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  /  2 )  /  S )  x.  X
)  =  ( ( 2  x.  S )  x.  X ) )
6644, 65eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  /  S
)  =  ( ( 2  x.  S )  x.  X ) )
6766oveq1d 6298 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  /  S )  -  (
( C  /  4
)  /  S ) )  =  ( ( ( 2  x.  S
)  x.  X )  -  ( ( C  /  4 )  /  S ) ) )
6843, 67eqtrd 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4
) )  /  S
)  =  ( ( ( 2  x.  S
)  x.  X )  -  ( ( C  /  4 )  /  S ) ) )
6968oveq2d 6299 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  +  B )  / 
2 )  +  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4 ) )  /  S ) )  =  ( ( ( M  +  B )  /  2 )  +  ( ( ( 2  x.  S )  x.  X )  -  (
( C  /  4
)  /  S ) ) ) )
707, 1mulcld 9615 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  S )  x.  X
)  e.  CC )
7121, 5, 31divcld 10319 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( C  / 
4 )  /  S
)  e.  CC )
7212, 70, 71addsub12d 9952 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  +  B )  / 
2 )  +  ( ( ( 2  x.  S )  x.  X
)  -  ( ( C  /  4 )  /  S ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  S
)  x.  X )  +  ( ( ( M  +  B )  /  2 )  -  ( ( C  / 
4 )  /  S
) ) ) )
7369, 72eqtrd 2508 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  +  B )  / 
2 )  +  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4 ) )  /  S ) )  =  ( ( ( 2  x.  S )  x.  X )  +  ( ( ( M  +  B )  / 
2 )  -  (
( C  /  4
)  /  S ) ) ) )
7473oveq1d 6298 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M  +  B )  /  2 )  +  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4
) )  /  S
) )  /  2
)  =  ( ( ( ( 2  x.  S )  x.  X
)  +  ( ( ( M  +  B
)  /  2 )  -  ( ( C  /  4 )  /  S ) ) )  /  2 ) )
7512, 71subcld 9929 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  +  B )  / 
2 )  -  (
( C  /  4
)  /  S ) )  e.  CC )
7670, 75, 34, 36divdird 10357 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 2  x.  S )  x.  X )  +  ( ( ( M  +  B )  / 
2 )  -  (
( C  /  4
)  /  S ) ) )  /  2
)  =  ( ( ( ( 2  x.  S )  x.  X
)  /  2 )  +  ( ( ( ( M  +  B
)  /  2 )  -  ( ( C  /  4 )  /  S ) )  / 
2 ) ) )
7734, 5, 1mulassd 9618 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  S )  x.  X
)  =  ( 2  x.  ( S  x.  X ) ) )
7877oveq1d 6298 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  S )  x.  X )  /  2
)  =  ( ( 2  x.  ( S  x.  X ) )  /  2 ) )
795, 1mulcld 9615 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( S  x.  X
)  e.  CC )
8079, 34, 36divcan3d 10324 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( S  x.  X
) )  /  2
)  =  ( S  x.  X ) )
8178, 80eqtrd 2508 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  S )  x.  X )  /  2
)  =  ( S  x.  X ) )
8252negcld 9916 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  -> 
-u ( S ^
2 )  e.  CC )
8310halfcld 10782 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( B  /  2
)  e.  CC )
8482, 83subcld 9929 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( -u ( S ^ 2 )  -  ( B  /  2
) )  e.  CC )
8552, 84, 71subsub4d 9960 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( S ^ 2 )  -  ( -u ( S ^
2 )  -  ( B  /  2 ) ) )  -  ( ( C  /  4 )  /  S ) )  =  ( ( S ^ 2 )  -  ( ( -u ( S ^ 2 )  -  ( B  /  2
) )  +  ( ( C  /  4
)  /  S ) ) ) )
869, 10, 34, 36divdird 10357 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( M  +  B )  /  2
)  =  ( ( M  /  2 )  +  ( B  / 
2 ) ) )
87522timesd 10780 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( S ^ 2 ) )  =  ( ( S ^ 2 )  +  ( S ^ 2 ) ) )
8859, 87eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( M  /  2
)  =  ( ( S ^ 2 )  +  ( S ^
2 ) ) )
8988oveq1d 6298 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( M  / 
2 )  +  ( B  /  2 ) )  =  ( ( ( S ^ 2 )  +  ( S ^ 2 ) )  +  ( B  / 
2 ) ) )
9086, 89eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( M  +  B )  /  2
)  =  ( ( ( S ^ 2 )  +  ( S ^ 2 ) )  +  ( B  / 
2 ) ) )
9152, 52, 83addassd 9617 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( S ^ 2 )  +  ( S ^ 2 ) )  +  ( B  /  2 ) )  =  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( S ^ 2 )  +  ( B  /  2
) ) ) )
9252, 83addcld 9614 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( S ^
2 )  +  ( B  /  2 ) )  e.  CC )
9352, 92subnegd 9936 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( S ^
2 )  -  -u (
( S ^ 2 )  +  ( B  /  2 ) ) )  =  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( S ^ 2 )  +  ( B  /  2
) ) ) )
9452, 83negdi2d 9943 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  -> 
-u ( ( S ^ 2 )  +  ( B  /  2
) )  =  (
-u ( S ^
2 )  -  ( B  /  2 ) ) )
9594oveq2d 6299 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( S ^
2 )  -  -u (
( S ^ 2 )  +  ( B  /  2 ) ) )  =  ( ( S ^ 2 )  -  ( -u ( S ^ 2 )  -  ( B  /  2
) ) ) )
9693, 95eqtr3d 2510 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( S ^
2 )  +  ( ( S ^ 2 )  +  ( B  /  2 ) ) )  =  ( ( S ^ 2 )  -  ( -u ( S ^ 2 )  -  ( B  /  2
) ) ) )
9790, 91, 963eqtrd 2512 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( M  +  B )  /  2
)  =  ( ( S ^ 2 )  -  ( -u ( S ^ 2 )  -  ( B  /  2
) ) ) )
9897oveq1d 6298 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  +  B )  / 
2 )  -  (
( C  /  4
)  /  S ) )  =  ( ( ( S ^ 2 )  -  ( -u ( S ^ 2 )  -  ( B  / 
2 ) ) )  -  ( ( C  /  4 )  /  S ) ) )
99 dquart.i2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( I ^ 2 )  =  ( (
-u ( S ^
2 )  -  ( B  /  2 ) )  +  ( ( C  /  4 )  /  S ) ) )
10099oveq2d 6299 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( S ^
2 )  -  (
I ^ 2 ) )  =  ( ( S ^ 2 )  -  ( ( -u ( S ^ 2 )  -  ( B  / 
2 ) )  +  ( ( C  / 
4 )  /  S
) ) ) )
10185, 98, 1003eqtr4d 2518 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  +  B )  / 
2 )  -  (
( C  /  4
)  /  S ) )  =  ( ( S ^ 2 )  -  ( I ^
2 ) ) )
102101oveq1d 6298 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M  +  B )  /  2 )  -  ( ( C  / 
4 )  /  S
) )  /  2
)  =  ( ( ( S ^ 2 )  -  ( I ^ 2 ) )  /  2 ) )
10381, 102oveq12d 6301 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 2  x.  S )  x.  X )  / 
2 )  +  ( ( ( ( M  +  B )  / 
2 )  -  (
( C  /  4
)  /  S ) )  /  2 ) )  =  ( ( S  x.  X )  +  ( ( ( S ^ 2 )  -  ( I ^
2 ) )  / 
2 ) ) )
10474, 76, 1033eqtrd 2512 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M  +  B )  /  2 )  +  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4
) )  /  S
) )  /  2
)  =  ( ( S  x.  X )  +  ( ( ( S ^ 2 )  -  ( I ^
2 ) )  / 
2 ) ) )
10542, 104oveq12d 6301 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 2 )  / 
2 )  +  ( ( ( ( M  +  B )  / 
2 )  +  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4 ) )  /  S ) )  /  2 ) )  =  ( ( ( 1  /  2 )  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( ( S  x.  X )  +  ( ( ( S ^
2 )  -  (
I ^ 2 ) )  /  2 ) ) ) )
10639, 41, 1053eqtrd 2512 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  / 
2 ) )  +  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4
) )  /  S
) )  /  2
)  =  ( ( ( 1  /  2
)  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( ( S  x.  X )  +  ( ( ( S ^ 2 )  -  ( I ^ 2 ) )  /  2
) ) ) )
107106eqeq1d 2469 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  /  2 ) )  +  ( ( ( ( M  /  2
)  x.  X )  -  ( C  / 
4 ) )  /  S ) )  / 
2 )  =  0  <-> 
( ( ( 1  /  2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( ( S  x.  X
)  +  ( ( ( S ^ 2 )  -  ( I ^ 2 ) )  /  2 ) ) )  =  0 ) )
10837, 107bitr3d 255 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  / 
2 ) )  +  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4
) )  /  S
) )  =  0  <-> 
( ( ( 1  /  2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( ( S  x.  X
)  +  ( ( ( S ^ 2 )  -  ( I ^ 2 ) )  /  2 ) ) )  =  0 ) )
109 ax-1cn 9549 . . . 4  |-  1  e.  CC
110 halfcl 10763 . . . 4  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
1  /  2 )  e.  CC )
111109, 110mp1i 12 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  e.  CC )
112 ax-1ne0 9560 . . . . 5  |-  1  =/=  0
113109, 4, 112, 35divne0i 10291 . . . 4  |-  ( 1  /  2 )  =/=  0
114113a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  =/=  0 )
115 dquart.i . . . . . 6  |-  ( ph  ->  I  e.  CC )
116115sqcld 12275 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( I ^ 2 )  e.  CC )
11752, 116subcld 9929 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( S ^
2 )  -  (
I ^ 2 ) )  e.  CC )
118117halfcld 10782 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( S ^ 2 )  -  ( I ^ 2 ) )  /  2
)  e.  CC )
119109a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
120 2cnne0 10749 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
121120a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )
122 divmuldiv 10243 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  e.  CC  /\  ( ( S ^
2 )  -  (
I ^ 2 ) )  e.  CC )  /\  ( ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  (
2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) ) )  ->  ( (
1  /  2 )  x.  ( ( ( S ^ 2 )  -  ( I ^
2 ) )  / 
2 ) )  =  ( ( 1  x.  ( ( S ^
2 )  -  (
I ^ 2 ) ) )  /  (
2  x.  2 ) ) )
123119, 117, 121, 121, 122syl22anc 1229 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 )  x.  (
( ( S ^
2 )  -  (
I ^ 2 ) )  /  2 ) )  =  ( ( 1  x.  ( ( S ^ 2 )  -  ( I ^
2 ) ) )  /  ( 2  x.  2 ) ) )
124117mulid2d 9613 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  (
( S ^ 2 )  -  ( I ^ 2 ) ) )  =  ( ( S ^ 2 )  -  ( I ^
2 ) ) )
125 2t2e4 10684 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
126125a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  2 )  =  4 )
127124, 126oveq12d 6301 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 1  x.  ( ( S ^
2 )  -  (
I ^ 2 ) ) )  /  (
2  x.  2 ) )  =  ( ( ( S ^ 2 )  -  ( I ^ 2 ) )  /  4 ) )
128123, 127eqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 )  x.  (
( ( S ^
2 )  -  (
I ^ 2 ) )  /  2 ) )  =  ( ( ( S ^ 2 )  -  ( I ^ 2 ) )  /  4 ) )
129128oveq2d 6299 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  (
( 1  /  2
)  x.  ( ( ( S ^ 2 )  -  ( I ^ 2 ) )  /  2 ) ) )  =  ( 4  x.  ( ( ( S ^ 2 )  -  ( I ^
2 ) )  / 
4 ) ) )
130117, 18, 20divcan2d 10321 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  (
( ( S ^
2 )  -  (
I ^ 2 ) )  /  4 ) )  =  ( ( S ^ 2 )  -  ( I ^
2 ) ) )
131129, 130eqtrd 2508 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  (
( 1  /  2
)  x.  ( ( ( S ^ 2 )  -  ( I ^ 2 ) )  /  2 ) ) )  =  ( ( S ^ 2 )  -  ( I ^
2 ) ) )
132131oveq2d 6299 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( S ^
2 )  -  (
4  x.  ( ( 1  /  2 )  x.  ( ( ( S ^ 2 )  -  ( I ^
2 ) )  / 
2 ) ) ) )  =  ( ( S ^ 2 )  -  ( ( S ^ 2 )  -  ( I ^ 2 ) ) ) )
13352, 116nncand 9934 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( S ^
2 )  -  (
( S ^ 2 )  -  ( I ^ 2 ) ) )  =  ( I ^ 2 ) )
134132, 133eqtr2d 2509 . . 3  |-  ( ph  ->  ( I ^ 2 )  =  ( ( S ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( ( 1  / 
2 )  x.  (
( ( S ^
2 )  -  (
I ^ 2 ) )  /  2 ) ) ) ) )
135111, 114, 5, 118, 1, 115, 134quad2 22914 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 1  /  2 )  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( ( S  x.  X )  +  ( ( ( S ^
2 )  -  (
I ^ 2 ) )  /  2 ) ) )  =  0  <-> 
( X  =  ( ( -u S  +  I )  /  (
2  x.  ( 1  /  2 ) ) )  \/  X  =  ( ( -u S  -  I )  /  (
2  x.  ( 1  /  2 ) ) ) ) ) )
1364, 35recidi 10274 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) )  =  1
137136oveq2i 6294 . . . . 5  |-  ( (
-u S  +  I
)  /  ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) ) )  =  ( ( -u S  +  I )  /  1 )
1385negcld 9916 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
-u S  e.  CC )
139138, 115addcld 9614 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( -u S  +  I )  e.  CC )
140139div1d 10311 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( -u S  +  I )  /  1
)  =  ( -u S  +  I )
)
141137, 140syl5eq 2520 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( -u S  +  I )  /  (
2  x.  ( 1  /  2 ) ) )  =  ( -u S  +  I )
)
142141eqeq2d 2481 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  =  ( ( -u S  +  I )  /  (
2  x.  ( 1  /  2 ) ) )  <->  X  =  ( -u S  +  I ) ) )
143136oveq2i 6294 . . . . 5  |-  ( (
-u S  -  I
)  /  ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) ) )  =  ( ( -u S  -  I )  /  1 )
144138, 115subcld 9929 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( -u S  -  I )  e.  CC )
145144div1d 10311 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( -u S  -  I )  /  1
)  =  ( -u S  -  I )
)
146143, 145syl5eq 2520 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( -u S  -  I )  /  (
2  x.  ( 1  /  2 ) ) )  =  ( -u S  -  I )
)
147146eqeq2d 2481 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  =  ( ( -u S  -  I )  /  (
2  x.  ( 1  /  2 ) ) )  <->  X  =  ( -u S  -  I ) ) )
148142, 147orbi12d 709 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( X  =  ( ( -u S  +  I )  /  (
2  x.  ( 1  /  2 ) ) )  \/  X  =  ( ( -u S  -  I )  /  (
2  x.  ( 1  /  2 ) ) ) )  <->  ( X  =  ( -u S  +  I )  \/  X  =  ( -u S  -  I ) ) ) )
149108, 135, 1483bitrd 279 1  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  / 
2 ) )  +  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4
) )  /  S
) )  =  0  <-> 
( X  =  (
-u S  +  I
)  \/  X  =  ( -u S  -  I ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662  (class class class)co 6283   CCcc 9489   0cc0 9491   1c1 9492    + caddc 9494    x. cmul 9496    - cmin 9804   -ucneg 9805    / cdiv 10205   2c2 10584   4c4 10586   ^cexp 12133
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-om 6680  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-div 10206  df-nn 10536  df-2 10593  df-3 10594  df-4 10595  df-n0 10795  df-z 10864  df-uz 11082  df-seq 12075  df-exp 12134
This theorem is referenced by:  dquart  22928
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