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Theorem dquartlem1 22258
Description: Lemma for dquart 22260. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dquart.b  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
dquart.c  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
dquart.x  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
dquart.s  |-  ( ph  ->  S  e.  CC )
dquart.m  |-  ( ph  ->  M  =  ( ( 2  x.  S ) ^ 2 ) )
dquart.m0  |-  ( ph  ->  M  =/=  0 )
dquart.i  |-  ( ph  ->  I  e.  CC )
dquart.i2  |-  ( ph  ->  ( I ^ 2 )  =  ( (
-u ( S ^
2 )  -  ( B  /  2 ) )  +  ( ( C  /  4 )  /  S ) ) )
Assertion
Ref Expression
dquartlem1  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  / 
2 ) )  +  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4
) )  /  S
) )  =  0  <-> 
( X  =  (
-u S  +  I
)  \/  X  =  ( -u S  -  I ) ) ) )

Proof of Theorem dquartlem1
StepHypRef Expression
1 dquart.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
21sqcld 12018 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X ^ 2 )  e.  CC )
3 dquart.m . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  =  ( ( 2  x.  S ) ^ 2 ) )
4 2cn 10404 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  CC
5 dquart.s . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S  e.  CC )
6 mulcl 9378 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  S  e.  CC )  ->  ( 2  x.  S
)  e.  CC )
74, 5, 6sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  S
)  e.  CC )
87sqcld 12018 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  S ) ^ 2 )  e.  CC )
93, 8eqeltrd 2517 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
10 dquart.b . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
119, 10addcld 9417 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M  +  B
)  e.  CC )
1211halfcld 10581 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( M  +  B )  /  2
)  e.  CC )
132, 12addcld 9417 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( X ^
2 )  +  ( ( M  +  B
)  /  2 ) )  e.  CC )
149halfcld 10581 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M  /  2
)  e.  CC )
1514, 1mulcld 9418 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( M  / 
2 )  x.  X
)  e.  CC )
16 dquart.c . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
17 4cn 10411 . . . . . . . . 9  |-  4  e.  CC
1817a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  4  e.  CC )
19 4ne0 10430 . . . . . . . . 9  |-  4  =/=  0
2019a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  4  =/=  0 )
2116, 18, 20divcld 10119 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( C  /  4
)  e.  CC )
2215, 21subcld 9731 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4 ) )  e.  CC )
23 dquart.m0 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  =/=  0 )
243, 23eqnetrrd 2640 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  S ) ^ 2 )  =/=  0 )
25 sqne0 11944 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  S )  e.  CC  ->  (
( ( 2  x.  S ) ^ 2 )  =/=  0  <->  (
2  x.  S )  =/=  0 ) )
267, 25syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  S ) ^
2 )  =/=  0  <->  ( 2  x.  S )  =/=  0 ) )
2724, 26mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  S
)  =/=  0 )
28 mulne0b 9989 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  S  e.  CC )  ->  ( ( 2  =/=  0  /\  S  =/=  0 )  <->  ( 2  x.  S )  =/=  0 ) )
294, 5, 28sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 2  =/=  0  /\  S  =/=  0 )  <->  ( 2  x.  S )  =/=  0 ) )
3027, 29mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  =/=  0  /\  S  =/=  0
) )
3130simprd 463 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  =/=  0 )
3222, 5, 31divcld 10119 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4
) )  /  S
)  e.  CC )
3313, 32addcld 9417 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  /  2
) )  +  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4 ) )  /  S ) )  e.  CC )
344a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
35 2ne0 10426 . . . . 5  |-  2  =/=  0
3635a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  2  =/=  0 )
3733, 34, 36diveq0ad 10129 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  /  2 ) )  +  ( ( ( ( M  /  2
)  x.  X )  -  ( C  / 
4 ) )  /  S ) )  / 
2 )  =  0  <-> 
( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  /  2
) )  +  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4 ) )  /  S ) )  =  0 ) )
382, 12, 32addassd 9420 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  /  2
) )  +  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4 ) )  /  S ) )  =  ( ( X ^ 2 )  +  ( ( ( M  +  B )  / 
2 )  +  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4 ) )  /  S ) ) ) )
3938oveq1d 6118 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  / 
2 ) )  +  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4
) )  /  S
) )  /  2
)  =  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( ( M  +  B
)  /  2 )  +  ( ( ( ( M  /  2
)  x.  X )  -  ( C  / 
4 ) )  /  S ) ) )  /  2 ) )
4012, 32addcld 9417 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  +  B )  / 
2 )  +  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4 ) )  /  S ) )  e.  CC )
412, 40, 34, 36divdird 10157 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( ( M  +  B )  / 
2 )  +  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4 ) )  /  S ) ) )  /  2 )  =  ( ( ( X ^ 2 )  /  2 )  +  ( ( ( ( M  +  B )  /  2 )  +  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4
) )  /  S
) )  /  2
) ) )
422, 34, 36divrec2d 10123 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( X ^
2 )  /  2
)  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( X ^
2 ) ) )
4315, 21, 5, 31divsubdird 10158 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4
) )  /  S
)  =  ( ( ( ( M  / 
2 )  x.  X
)  /  S )  -  ( ( C  /  4 )  /  S ) ) )
4414, 1, 5, 31div23d 10156 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  /  S
)  =  ( ( ( M  /  2
)  /  S )  x.  X ) )
455sqvald 12017 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( S ^ 2 )  =  ( S  x.  S ) )
4645oveq2d 6119 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( S ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( S  x.  S
) ) )
47 sqmul 11941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  S  e.  CC )  ->  ( ( 2  x.  S ) ^ 2 )  =  ( ( 2 ^ 2 )  x.  ( S ^
2 ) ) )
484, 5, 47sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  S ) ^ 2 )  =  ( ( 2 ^ 2 )  x.  ( S ^
2 ) ) )
494sqvali 11957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 2 ^ 2 )  =  ( 2  x.  2 )
5049oveq1i 6113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 2 ^ 2 )  x.  ( S ^
2 ) )  =  ( ( 2  x.  2 )  x.  ( S ^ 2 ) )
5148, 50syl6eq 2491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  S ) ^ 2 )  =  ( ( 2  x.  2 )  x.  ( S ^
2 ) ) )
525sqcld 12018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( S ^ 2 )  e.  CC )
5334, 34, 52mulassd 9421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  2 )  x.  ( S ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( 2  x.  ( S ^ 2 ) ) ) )
543, 51, 533eqtrd 2479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  M  =  ( 2  x.  ( 2  x.  ( S ^ 2 ) ) ) )
5554oveq1d 6118 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( M  /  2
)  =  ( ( 2  x.  ( 2  x.  ( S ^
2 ) ) )  /  2 ) )
56 mulcl 9378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( S ^ 2 )  e.  CC )  -> 
( 2  x.  ( S ^ 2 ) )  e.  CC )
574, 52, 56sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( S ^ 2 ) )  e.  CC )
5857, 34, 36divcan3d 10124 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( 2  x.  ( S ^ 2 ) ) )  /  2 )  =  ( 2  x.  ( S ^ 2 ) ) )
5955, 58eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( M  /  2
)  =  ( 2  x.  ( S ^
2 ) ) )
6034, 5, 5mulassd 9421 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  S )  x.  S
)  =  ( 2  x.  ( S  x.  S ) ) )
6146, 59, 603eqtr4d 2485 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( M  /  2
)  =  ( ( 2  x.  S )  x.  S ) )
6261oveq1d 6118 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( M  / 
2 )  /  S
)  =  ( ( ( 2  x.  S
)  x.  S )  /  S ) )
637, 5, 31divcan4d 10125 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  S )  x.  S )  /  S
)  =  ( 2  x.  S ) )
6462, 63eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( M  / 
2 )  /  S
)  =  ( 2  x.  S ) )
6564oveq1d 6118 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  /  2 )  /  S )  x.  X
)  =  ( ( 2  x.  S )  x.  X ) )
6644, 65eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  /  S
)  =  ( ( 2  x.  S )  x.  X ) )
6766oveq1d 6118 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  /  S )  -  (
( C  /  4
)  /  S ) )  =  ( ( ( 2  x.  S
)  x.  X )  -  ( ( C  /  4 )  /  S ) ) )
6843, 67eqtrd 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4
) )  /  S
)  =  ( ( ( 2  x.  S
)  x.  X )  -  ( ( C  /  4 )  /  S ) ) )
6968oveq2d 6119 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  +  B )  / 
2 )  +  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4 ) )  /  S ) )  =  ( ( ( M  +  B )  /  2 )  +  ( ( ( 2  x.  S )  x.  X )  -  (
( C  /  4
)  /  S ) ) ) )
707, 1mulcld 9418 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  S )  x.  X
)  e.  CC )
7121, 5, 31divcld 10119 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( C  / 
4 )  /  S
)  e.  CC )
7212, 70, 71addsub12d 9754 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  +  B )  / 
2 )  +  ( ( ( 2  x.  S )  x.  X
)  -  ( ( C  /  4 )  /  S ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  S
)  x.  X )  +  ( ( ( M  +  B )  /  2 )  -  ( ( C  / 
4 )  /  S
) ) ) )
7369, 72eqtrd 2475 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  +  B )  / 
2 )  +  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4 ) )  /  S ) )  =  ( ( ( 2  x.  S )  x.  X )  +  ( ( ( M  +  B )  / 
2 )  -  (
( C  /  4
)  /  S ) ) ) )
7473oveq1d 6118 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M  +  B )  /  2 )  +  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4
) )  /  S
) )  /  2
)  =  ( ( ( ( 2  x.  S )  x.  X
)  +  ( ( ( M  +  B
)  /  2 )  -  ( ( C  /  4 )  /  S ) ) )  /  2 ) )
7512, 71subcld 9731 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  +  B )  / 
2 )  -  (
( C  /  4
)  /  S ) )  e.  CC )
7670, 75, 34, 36divdird 10157 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 2  x.  S )  x.  X )  +  ( ( ( M  +  B )  / 
2 )  -  (
( C  /  4
)  /  S ) ) )  /  2
)  =  ( ( ( ( 2  x.  S )  x.  X
)  /  2 )  +  ( ( ( ( M  +  B
)  /  2 )  -  ( ( C  /  4 )  /  S ) )  / 
2 ) ) )
7734, 5, 1mulassd 9421 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  S )  x.  X
)  =  ( 2  x.  ( S  x.  X ) ) )
7877oveq1d 6118 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  S )  x.  X )  /  2
)  =  ( ( 2  x.  ( S  x.  X ) )  /  2 ) )
795, 1mulcld 9418 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( S  x.  X
)  e.  CC )
8079, 34, 36divcan3d 10124 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( S  x.  X
) )  /  2
)  =  ( S  x.  X ) )
8178, 80eqtrd 2475 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  S )  x.  X )  /  2
)  =  ( S  x.  X ) )
8252negcld 9718 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  -> 
-u ( S ^
2 )  e.  CC )
8310halfcld 10581 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( B  /  2
)  e.  CC )
8482, 83subcld 9731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( -u ( S ^ 2 )  -  ( B  /  2
) )  e.  CC )
8552, 84, 71subsub4d 9762 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( S ^ 2 )  -  ( -u ( S ^
2 )  -  ( B  /  2 ) ) )  -  ( ( C  /  4 )  /  S ) )  =  ( ( S ^ 2 )  -  ( ( -u ( S ^ 2 )  -  ( B  /  2
) )  +  ( ( C  /  4
)  /  S ) ) ) )
869, 10, 34, 36divdird 10157 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( M  +  B )  /  2
)  =  ( ( M  /  2 )  +  ( B  / 
2 ) ) )
87522timesd 10579 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( S ^ 2 ) )  =  ( ( S ^ 2 )  +  ( S ^ 2 ) ) )
8859, 87eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( M  /  2
)  =  ( ( S ^ 2 )  +  ( S ^
2 ) ) )
8988oveq1d 6118 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( M  / 
2 )  +  ( B  /  2 ) )  =  ( ( ( S ^ 2 )  +  ( S ^ 2 ) )  +  ( B  / 
2 ) ) )
9086, 89eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( M  +  B )  /  2
)  =  ( ( ( S ^ 2 )  +  ( S ^ 2 ) )  +  ( B  / 
2 ) ) )
9152, 52, 83addassd 9420 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( S ^ 2 )  +  ( S ^ 2 ) )  +  ( B  /  2 ) )  =  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( S ^ 2 )  +  ( B  /  2
) ) ) )
9252, 83addcld 9417 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( S ^
2 )  +  ( B  /  2 ) )  e.  CC )
9352, 92subnegd 9738 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( S ^
2 )  -  -u (
( S ^ 2 )  +  ( B  /  2 ) ) )  =  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( S ^ 2 )  +  ( B  /  2
) ) ) )
9452, 83negdi2d 9745 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  -> 
-u ( ( S ^ 2 )  +  ( B  /  2
) )  =  (
-u ( S ^
2 )  -  ( B  /  2 ) ) )
9594oveq2d 6119 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( S ^
2 )  -  -u (
( S ^ 2 )  +  ( B  /  2 ) ) )  =  ( ( S ^ 2 )  -  ( -u ( S ^ 2 )  -  ( B  /  2
) ) ) )
9693, 95eqtr3d 2477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( S ^
2 )  +  ( ( S ^ 2 )  +  ( B  /  2 ) ) )  =  ( ( S ^ 2 )  -  ( -u ( S ^ 2 )  -  ( B  /  2
) ) ) )
9790, 91, 963eqtrd 2479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( M  +  B )  /  2
)  =  ( ( S ^ 2 )  -  ( -u ( S ^ 2 )  -  ( B  /  2
) ) ) )
9897oveq1d 6118 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  +  B )  / 
2 )  -  (
( C  /  4
)  /  S ) )  =  ( ( ( S ^ 2 )  -  ( -u ( S ^ 2 )  -  ( B  / 
2 ) ) )  -  ( ( C  /  4 )  /  S ) ) )
99 dquart.i2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( I ^ 2 )  =  ( (
-u ( S ^
2 )  -  ( B  /  2 ) )  +  ( ( C  /  4 )  /  S ) ) )
10099oveq2d 6119 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( S ^
2 )  -  (
I ^ 2 ) )  =  ( ( S ^ 2 )  -  ( ( -u ( S ^ 2 )  -  ( B  / 
2 ) )  +  ( ( C  / 
4 )  /  S
) ) ) )
10185, 98, 1003eqtr4d 2485 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  +  B )  / 
2 )  -  (
( C  /  4
)  /  S ) )  =  ( ( S ^ 2 )  -  ( I ^
2 ) ) )
102101oveq1d 6118 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M  +  B )  /  2 )  -  ( ( C  / 
4 )  /  S
) )  /  2
)  =  ( ( ( S ^ 2 )  -  ( I ^ 2 ) )  /  2 ) )
10381, 102oveq12d 6121 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 2  x.  S )  x.  X )  / 
2 )  +  ( ( ( ( M  +  B )  / 
2 )  -  (
( C  /  4
)  /  S ) )  /  2 ) )  =  ( ( S  x.  X )  +  ( ( ( S ^ 2 )  -  ( I ^
2 ) )  / 
2 ) ) )
10474, 76, 1033eqtrd 2479 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M  +  B )  /  2 )  +  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4
) )  /  S
) )  /  2
)  =  ( ( S  x.  X )  +  ( ( ( S ^ 2 )  -  ( I ^
2 ) )  / 
2 ) ) )
10542, 104oveq12d 6121 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 2 )  / 
2 )  +  ( ( ( ( M  +  B )  / 
2 )  +  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4 ) )  /  S ) )  /  2 ) )  =  ( ( ( 1  /  2 )  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( ( S  x.  X )  +  ( ( ( S ^
2 )  -  (
I ^ 2 ) )  /  2 ) ) ) )
10639, 41, 1053eqtrd 2479 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  / 
2 ) )  +  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4
) )  /  S
) )  /  2
)  =  ( ( ( 1  /  2
)  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( ( S  x.  X )  +  ( ( ( S ^ 2 )  -  ( I ^ 2 ) )  /  2
) ) ) )
107106eqeq1d 2451 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  /  2 ) )  +  ( ( ( ( M  /  2
)  x.  X )  -  ( C  / 
4 ) )  /  S ) )  / 
2 )  =  0  <-> 
( ( ( 1  /  2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( ( S  x.  X
)  +  ( ( ( S ^ 2 )  -  ( I ^ 2 ) )  /  2 ) ) )  =  0 ) )
10837, 107bitr3d 255 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  / 
2 ) )  +  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4
) )  /  S
) )  =  0  <-> 
( ( ( 1  /  2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( ( S  x.  X
)  +  ( ( ( S ^ 2 )  -  ( I ^ 2 ) )  /  2 ) ) )  =  0 ) )
109 ax-1cn 9352 . . . 4  |-  1  e.  CC
110 halfcl 10562 . . . 4  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
1  /  2 )  e.  CC )
111109, 110mp1i 12 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  e.  CC )
112 ax-1ne0 9363 . . . . 5  |-  1  =/=  0
113109, 4, 112, 35divne0i 10091 . . . 4  |-  ( 1  /  2 )  =/=  0
114113a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  =/=  0 )
115 dquart.i . . . . . 6  |-  ( ph  ->  I  e.  CC )
116115sqcld 12018 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( I ^ 2 )  e.  CC )
11752, 116subcld 9731 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( S ^
2 )  -  (
I ^ 2 ) )  e.  CC )
118117halfcld 10581 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( S ^ 2 )  -  ( I ^ 2 ) )  /  2
)  e.  CC )
119109a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
120 2cnne0 10548 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
121120a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )
122 divmuldiv 10043 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  e.  CC  /\  ( ( S ^
2 )  -  (
I ^ 2 ) )  e.  CC )  /\  ( ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  (
2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) ) )  ->  ( (
1  /  2 )  x.  ( ( ( S ^ 2 )  -  ( I ^
2 ) )  / 
2 ) )  =  ( ( 1  x.  ( ( S ^
2 )  -  (
I ^ 2 ) ) )  /  (
2  x.  2 ) ) )
123119, 117, 121, 121, 122syl22anc 1219 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 )  x.  (
( ( S ^
2 )  -  (
I ^ 2 ) )  /  2 ) )  =  ( ( 1  x.  ( ( S ^ 2 )  -  ( I ^
2 ) ) )  /  ( 2  x.  2 ) ) )
124117mulid2d 9416 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  (
( S ^ 2 )  -  ( I ^ 2 ) ) )  =  ( ( S ^ 2 )  -  ( I ^
2 ) ) )
125 2t2e4 10483 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
126125a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  2 )  =  4 )
127124, 126oveq12d 6121 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 1  x.  ( ( S ^
2 )  -  (
I ^ 2 ) ) )  /  (
2  x.  2 ) )  =  ( ( ( S ^ 2 )  -  ( I ^ 2 ) )  /  4 ) )
128123, 127eqtrd 2475 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 )  x.  (
( ( S ^
2 )  -  (
I ^ 2 ) )  /  2 ) )  =  ( ( ( S ^ 2 )  -  ( I ^ 2 ) )  /  4 ) )
129128oveq2d 6119 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  (
( 1  /  2
)  x.  ( ( ( S ^ 2 )  -  ( I ^ 2 ) )  /  2 ) ) )  =  ( 4  x.  ( ( ( S ^ 2 )  -  ( I ^
2 ) )  / 
4 ) ) )
130117, 18, 20divcan2d 10121 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  (
( ( S ^
2 )  -  (
I ^ 2 ) )  /  4 ) )  =  ( ( S ^ 2 )  -  ( I ^
2 ) ) )
131129, 130eqtrd 2475 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  (
( 1  /  2
)  x.  ( ( ( S ^ 2 )  -  ( I ^ 2 ) )  /  2 ) ) )  =  ( ( S ^ 2 )  -  ( I ^
2 ) ) )
132131oveq2d 6119 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( S ^
2 )  -  (
4  x.  ( ( 1  /  2 )  x.  ( ( ( S ^ 2 )  -  ( I ^
2 ) )  / 
2 ) ) ) )  =  ( ( S ^ 2 )  -  ( ( S ^ 2 )  -  ( I ^ 2 ) ) ) )
13352, 116nncand 9736 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( S ^
2 )  -  (
( S ^ 2 )  -  ( I ^ 2 ) ) )  =  ( I ^ 2 ) )
134132, 133eqtr2d 2476 . . 3  |-  ( ph  ->  ( I ^ 2 )  =  ( ( S ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( ( 1  / 
2 )  x.  (
( ( S ^
2 )  -  (
I ^ 2 ) )  /  2 ) ) ) ) )
135111, 114, 5, 118, 1, 115, 134quad2 22246 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 1  /  2 )  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( ( S  x.  X )  +  ( ( ( S ^
2 )  -  (
I ^ 2 ) )  /  2 ) ) )  =  0  <-> 
( X  =  ( ( -u S  +  I )  /  (
2  x.  ( 1  /  2 ) ) )  \/  X  =  ( ( -u S  -  I )  /  (
2  x.  ( 1  /  2 ) ) ) ) ) )
1364, 35recidi 10074 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) )  =  1
137136oveq2i 6114 . . . . 5  |-  ( (
-u S  +  I
)  /  ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) ) )  =  ( ( -u S  +  I )  /  1 )
1385negcld 9718 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
-u S  e.  CC )
139138, 115addcld 9417 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( -u S  +  I )  e.  CC )
140139div1d 10111 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( -u S  +  I )  /  1
)  =  ( -u S  +  I )
)
141137, 140syl5eq 2487 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( -u S  +  I )  /  (
2  x.  ( 1  /  2 ) ) )  =  ( -u S  +  I )
)
142141eqeq2d 2454 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  =  ( ( -u S  +  I )  /  (
2  x.  ( 1  /  2 ) ) )  <->  X  =  ( -u S  +  I ) ) )
143136oveq2i 6114 . . . . 5  |-  ( (
-u S  -  I
)  /  ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) ) )  =  ( ( -u S  -  I )  /  1 )
144138, 115subcld 9731 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( -u S  -  I )  e.  CC )
145144div1d 10111 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( -u S  -  I )  /  1
)  =  ( -u S  -  I )
)
146143, 145syl5eq 2487 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( -u S  -  I )  /  (
2  x.  ( 1  /  2 ) ) )  =  ( -u S  -  I )
)
147146eqeq2d 2454 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  =  ( ( -u S  -  I )  /  (
2  x.  ( 1  /  2 ) ) )  <->  X  =  ( -u S  -  I ) ) )
148142, 147orbi12d 709 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( X  =  ( ( -u S  +  I )  /  (
2  x.  ( 1  /  2 ) ) )  \/  X  =  ( ( -u S  -  I )  /  (
2  x.  ( 1  /  2 ) ) ) )  <->  ( X  =  ( -u S  +  I )  \/  X  =  ( -u S  -  I ) ) ) )
149108, 135, 1483bitrd 279 1  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  / 
2 ) )  +  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4
) )  /  S
) )  =  0  <-> 
( X  =  (
-u S  +  I
)  \/  X  =  ( -u S  -  I ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2618  (class class class)co 6103   CCcc 9292   0cc0 9294   1c1 9295    + caddc 9297    x. cmul 9299    - cmin 9607   -ucneg 9608    / cdiv 10005   2c2 10383   4c4 10385   ^cexp 11877
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-2nd 6590  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-er 7113  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-div 10006  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-4 10394  df-n0 10592  df-z 10659  df-uz 10874  df-seq 11819  df-exp 11878
This theorem is referenced by:  dquart  22260
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