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Theorem dquart 23300
Description: Solve a depressed quartic equation. To eliminate  S, which is the square root of a solution  M to the resolvent cubic equation, apply cubic 23296 or one of its variants. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dquart.b  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
dquart.c  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
dquart.x  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
dquart.s  |-  ( ph  ->  S  e.  CC )
dquart.m  |-  ( ph  ->  M  =  ( ( 2  x.  S ) ^ 2 ) )
dquart.m0  |-  ( ph  ->  M  =/=  0 )
dquart.i  |-  ( ph  ->  I  e.  CC )
dquart.i2  |-  ( ph  ->  ( I ^ 2 )  =  ( (
-u ( S ^
2 )  -  ( B  /  2 ) )  +  ( ( C  /  4 )  /  S ) ) )
dquart.d  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
dquart.3  |-  ( ph  ->  ( ( ( M ^ 3 )  +  ( ( 2  x.  B )  x.  ( M ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( ( B ^
2 )  -  (
4  x.  D ) )  x.  M )  +  -u ( C ^
2 ) ) )  =  0 )
dquart.j  |-  ( ph  ->  J  e.  CC )
dquart.j2  |-  ( ph  ->  ( J ^ 2 )  =  ( (
-u ( S ^
2 )  -  ( B  /  2 ) )  -  ( ( C  /  4 )  /  S ) ) )
Assertion
Ref Expression
dquart  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( C  x.  X
)  +  D ) )  =  0  <->  (
( X  =  (
-u S  +  I
)  \/  X  =  ( -u S  -  I ) )  \/  ( X  =  ( S  +  J )  \/  X  =  ( S  -  J ) ) ) ) )

Proof of Theorem dquart
StepHypRef Expression
1 dquart.x . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
21sqcld 12210 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X ^ 2 )  e.  CC )
3 dquart.m . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  =  ( ( 2  x.  S ) ^ 2 ) )
4 2cn 10523 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  CC
5 dquart.s . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  S  e.  CC )
6 mulcl 9487 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  S  e.  CC )  ->  ( 2  x.  S
)  e.  CC )
74, 5, 6sylancr 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  S
)  e.  CC )
87sqcld 12210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  S ) ^ 2 )  e.  CC )
93, 8eqeltrd 2470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
10 dquart.b . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
119, 10addcld 9526 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M  +  B
)  e.  CC )
1211halfcld 10700 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( M  +  B )  /  2
)  e.  CC )
13 binom2 12185 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X ^ 2 )  e.  CC  /\  ( ( M  +  B )  /  2
)  e.  CC )  ->  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  / 
2 ) ) ^
2 )  =  ( ( ( ( X ^ 2 ) ^
2 )  +  ( 2  x.  ( ( X ^ 2 )  x.  ( ( M  +  B )  / 
2 ) ) ) )  +  ( ( ( M  +  B
)  /  2 ) ^ 2 ) ) )
142, 12, 13syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  /  2
) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( X ^
2 ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( X ^ 2 )  x.  ( ( M  +  B )  /  2
) ) ) )  +  ( ( ( M  +  B )  /  2 ) ^
2 ) ) )
15 2t2e4 10602 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
1615oveq2i 6207 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X ^ ( 2  x.  2 ) )  =  ( X ^ 4 )
17 2nn0 10729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  NN0
1817a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  2  e.  NN0 )
191, 18, 18expmuld 12215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( X ^ (
2  x.  2 ) )  =  ( ( X ^ 2 ) ^ 2 ) )
2016, 19syl5reqr 2438 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( X ^
2 ) ^ 2 )  =  ( X ^ 4 ) )
214a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
2221, 2, 12mul12d 9700 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( X ^ 2 )  x.  ( ( M  +  B )  /  2 ) ) )  =  ( ( X ^ 2 )  x.  ( 2  x.  ( ( M  +  B )  /  2
) ) ) )
23 2ne0 10545 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  =/=  0
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  2  =/=  0 )
2511, 21, 24divcan2d 10239 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( M  +  B
)  /  2 ) )  =  ( M  +  B ) )
2625oveq2d 6212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( X ^
2 )  x.  (
2  x.  ( ( M  +  B )  /  2 ) ) )  =  ( ( X ^ 2 )  x.  ( M  +  B ) ) )
272, 11mulcomd 9528 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( X ^
2 )  x.  ( M  +  B )
)  =  ( ( M  +  B )  x.  ( X ^
2 ) ) )
2826, 27eqtrd 2423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( X ^
2 )  x.  (
2  x.  ( ( M  +  B )  /  2 ) ) )  =  ( ( M  +  B )  x.  ( X ^
2 ) ) )
299, 10, 2adddird 9532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( M  +  B )  x.  ( X ^ 2 ) )  =  ( ( M  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) ) )
3022, 28, 293eqtrd 2427 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( X ^ 2 )  x.  ( ( M  +  B )  /  2 ) ) )  =  ( ( M  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) ) )
3120, 30oveq12d 6214 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 2 ) ^
2 )  +  ( 2  x.  ( ( X ^ 2 )  x.  ( ( M  +  B )  / 
2 ) ) ) )  =  ( ( X ^ 4 )  +  ( ( M  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) ) ) )
32 4nn0 10731 . . . . . . . . . . 11  |-  4  e.  NN0
33 expcl 12087 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  CC  /\  4  e.  NN0 )  -> 
( X ^ 4 )  e.  CC )
341, 32, 33sylancl 660 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X ^ 4 )  e.  CC )
359, 2mulcld 9527 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( M  x.  ( X ^ 2 ) )  e.  CC )
3610, 2mulcld 9527 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B  x.  ( X ^ 2 ) )  e.  CC )
3734, 35, 36add12d 9714 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( X ^
4 )  +  ( ( M  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( M  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) ) ) )
3831, 37eqtrd 2423 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 2 ) ^
2 )  +  ( 2  x.  ( ( X ^ 2 )  x.  ( ( M  +  B )  / 
2 ) ) ) )  =  ( ( M  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) ) ) )
3938oveq1d 6211 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X ^ 2 ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  (
( X ^ 2 )  x.  ( ( M  +  B )  /  2 ) ) ) )  +  ( ( ( M  +  B )  /  2
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( M  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( ( M  +  B )  /  2
) ^ 2 ) ) )
4034, 36addcld 9526 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( X ^
4 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  e.  CC )
4112sqcld 12210 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  +  B )  / 
2 ) ^ 2 )  e.  CC )
4235, 40, 41addassd 9529 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( ( X ^
4 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( ( M  +  B )  /  2
) ^ 2 ) )  =  ( ( M  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( M  +  B )  /  2
) ^ 2 ) ) ) )
4314, 39, 423eqtrd 2427 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  /  2
) ) ^ 2 )  =  ( ( M  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( M  +  B )  /  2
) ^ 2 ) ) ) )
449halfcld 10700 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( M  /  2
)  e.  CC )
4544, 1mulcld 9527 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( M  / 
2 )  x.  X
)  e.  CC )
46 dquart.c . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
47 4cn 10530 . . . . . . . . . . . . 13  |-  4  e.  CC
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  4  e.  CC )
49 4ne0 10549 . . . . . . . . . . . . 13  |-  4  =/=  0
5049a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  4  =/=  0 )
5146, 48, 50divcld 10237 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( C  /  4
)  e.  CC )
5245, 51subcld 9844 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4 ) )  e.  CC )
53 dquart.m0 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  M  =/=  0 )
543, 53eqnetrrd 2676 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  S ) ^ 2 )  =/=  0 )
55 sqne0 12137 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  x.  S )  e.  CC  ->  (
( ( 2  x.  S ) ^ 2 )  =/=  0  <->  (
2  x.  S )  =/=  0 ) )
567, 55syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  S ) ^
2 )  =/=  0  <->  ( 2  x.  S )  =/=  0 ) )
5754, 56mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  S
)  =/=  0 )
58 mulne0b 10107 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  S  e.  CC )  ->  ( ( 2  =/=  0  /\  S  =/=  0 )  <->  ( 2  x.  S )  =/=  0 ) )
594, 5, 58sylancr 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 2  =/=  0  /\  S  =/=  0 )  <->  ( 2  x.  S )  =/=  0 ) )
6057, 59mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2  =/=  0  /\  S  =/=  0
) )
6160simprd 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  =/=  0 )
6252, 5, 21, 61, 24divcan5d 10263 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4 ) ) )  /  ( 2  x.  S ) )  =  ( ( ( ( M  /  2
)  x.  X )  -  ( C  / 
4 ) )  /  S ) )
6321, 45, 51subdid 9930 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( ( M  / 
2 )  x.  X
)  -  ( C  /  4 ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( M  /  2 )  x.  X ) )  -  ( 2  x.  ( C  /  4
) ) ) )
6421, 44, 1mulassd 9530 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( M  /  2
) )  x.  X
)  =  ( 2  x.  ( ( M  /  2 )  x.  X ) ) )
659, 21, 24divcan2d 10239 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( M  /  2 ) )  =  M )
6665oveq1d 6211 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( M  /  2
) )  x.  X
)  =  ( M  x.  X ) )
6764, 66eqtr3d 2425 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( M  /  2
)  x.  X ) )  =  ( M  x.  X ) )
6821, 46, 48, 50divassd 10272 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  C )  /  4
)  =  ( 2  x.  ( C  / 
4 ) ) )
6915oveq2i 6207 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  x.  C )  /  ( 2  x.  2 ) )  =  ( ( 2  x.  C )  /  4
)
7046, 21, 21, 24, 24divcan5d 10263 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  C )  /  (
2  x.  2 ) )  =  ( C  /  2 ) )
7169, 70syl5eqr 2437 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  C )  /  4
)  =  ( C  /  2 ) )
7268, 71eqtr3d 2425 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( C  /  4 ) )  =  ( C  / 
2 ) )
7367, 72oveq12d 6214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( ( M  / 
2 )  x.  X
) )  -  (
2  x.  ( C  /  4 ) ) )  =  ( ( M  x.  X )  -  ( C  / 
2 ) ) )
7463, 73eqtrd 2423 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( ( M  / 
2 )  x.  X
)  -  ( C  /  4 ) ) )  =  ( ( M  x.  X )  -  ( C  / 
2 ) ) )
7574oveq1d 6211 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4 ) ) )  /  ( 2  x.  S ) )  =  ( ( ( M  x.  X )  -  ( C  / 
2 ) )  / 
( 2  x.  S
) ) )
7662, 75eqtr3d 2425 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4
) )  /  S
)  =  ( ( ( M  x.  X
)  -  ( C  /  2 ) )  /  ( 2  x.  S ) ) )
7776oveq1d 6211 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( M  /  2
)  x.  X )  -  ( C  / 
4 ) )  /  S ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( M  x.  X )  -  ( C  /  2 ) )  /  ( 2  x.  S ) ) ^
2 ) )
789, 1mulcld 9527 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M  x.  X
)  e.  CC )
7946halfcld 10700 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( C  /  2
)  e.  CC )
8078, 79subcld 9844 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  X )  -  ( C  /  2 ) )  e.  CC )
8180, 7, 57sqdivd 12225 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M  x.  X )  -  ( C  / 
2 ) )  / 
( 2  x.  S
) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( M  x.  X )  -  ( C  /  2 ) ) ^ 2 )  / 
( ( 2  x.  S ) ^ 2 ) ) )
829sqcld 12210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( M ^ 2 )  e.  CC )
8382, 2mulcld 9527 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( M ^
2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  e.  CC )
8478, 46mulcld 9527 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  X )  x.  C
)  e.  CC )
8583, 84subcld 9844 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( M ^ 2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  -  (
( M  x.  X
)  x.  C ) )  e.  CC )
8646sqcld 12210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  e.  CC )
8786, 48, 50divcld 10237 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( C ^
2 )  /  4
)  e.  CC )
8885, 87, 9, 53divdird 10275 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( M ^ 2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( M  x.  X )  x.  C ) )  +  ( ( C ^
2 )  /  4
) )  /  M
)  =  ( ( ( ( ( M ^ 2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  -  (
( M  x.  X
)  x.  C ) )  /  M )  +  ( ( ( C ^ 2 )  /  4 )  /  M ) ) )
89 binom2sub 12187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  x.  X
)  e.  CC  /\  ( C  /  2
)  e.  CC )  ->  ( ( ( M  x.  X )  -  ( C  / 
2 ) ) ^
2 )  =  ( ( ( ( M  x.  X ) ^
2 )  -  (
2  x.  ( ( M  x.  X )  x.  ( C  / 
2 ) ) ) )  +  ( ( C  /  2 ) ^ 2 ) ) )
9078, 79, 89syl2anc 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  x.  X )  -  ( C  /  2
) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( M  x.  X ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( ( M  x.  X )  x.  ( C  /  2
) ) ) )  +  ( ( C  /  2 ) ^
2 ) ) )
919, 1sqmuld 12224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  X ) ^ 2 )  =  ( ( M ^ 2 )  x.  ( X ^
2 ) ) )
9221, 78, 79mul12d 9700 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( M  x.  X
)  x.  ( C  /  2 ) ) )  =  ( ( M  x.  X )  x.  ( 2  x.  ( C  /  2
) ) ) )
9346, 21, 24divcan2d 10239 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( C  /  2 ) )  =  C )
9493oveq2d 6212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  X )  x.  (
2  x.  ( C  /  2 ) ) )  =  ( ( M  x.  X )  x.  C ) )
9592, 94eqtrd 2423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( M  x.  X
)  x.  ( C  /  2 ) ) )  =  ( ( M  x.  X )  x.  C ) )
9691, 95oveq12d 6214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  x.  X ) ^
2 )  -  (
2  x.  ( ( M  x.  X )  x.  ( C  / 
2 ) ) ) )  =  ( ( ( M ^ 2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( M  x.  X )  x.  C ) ) )
9746, 21, 24sqdivd 12225 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( C  / 
2 ) ^ 2 )  =  ( ( C ^ 2 )  /  ( 2 ^ 2 ) ) )
98 sq2 12167 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2 ^ 2 )  =  4
9998oveq2i 6207 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C ^ 2 )  /  ( 2 ^ 2 ) )  =  ( ( C ^
2 )  /  4
)
10097, 99syl6eq 2439 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( C  / 
2 ) ^ 2 )  =  ( ( C ^ 2 )  /  4 ) )
10196, 100oveq12d 6214 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M  x.  X ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  (
( M  x.  X
)  x.  ( C  /  2 ) ) ) )  +  ( ( C  /  2
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( M ^
2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( M  x.  X )  x.  C ) )  +  ( ( C ^
2 )  /  4
) ) )
10290, 101eqtr2d 2424 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M ^ 2 )  x.  ( X ^
2 ) )  -  ( ( M  x.  X )  x.  C
) )  +  ( ( C ^ 2 )  /  4 ) )  =  ( ( ( M  x.  X
)  -  ( C  /  2 ) ) ^ 2 ) )
103102, 3oveq12d 6214 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( M ^ 2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( M  x.  X )  x.  C ) )  +  ( ( C ^
2 )  /  4
) )  /  M
)  =  ( ( ( ( M  x.  X )  -  ( C  /  2 ) ) ^ 2 )  / 
( ( 2  x.  S ) ^ 2 ) ) )
10483, 84, 9, 53divsubdird 10276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M ^ 2 )  x.  ( X ^
2 ) )  -  ( ( M  x.  X )  x.  C
) )  /  M
)  =  ( ( ( ( M ^
2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  /  M )  -  ( ( ( M  x.  X )  x.  C )  /  M
) ) )
10582, 2, 9, 53div23d 10274 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( M ^ 2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  /  M
)  =  ( ( ( M ^ 2 )  /  M )  x.  ( X ^
2 ) ) )
1069sqvald 12209 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( M ^ 2 )  =  ( M  x.  M ) )
107106oveq1d 6211 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( M ^
2 )  /  M
)  =  ( ( M  x.  M )  /  M ) )
1089, 9, 53divcan3d 10242 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  M )  /  M
)  =  M )
109107, 108eqtrd 2423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( M ^
2 )  /  M
)  =  M )
110109oveq1d 6211 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( M ^ 2 )  /  M )  x.  ( X ^ 2 ) )  =  ( M  x.  ( X ^ 2 ) ) )
111105, 110eqtrd 2423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( M ^ 2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  /  M
)  =  ( M  x.  ( X ^
2 ) ) )
1129, 1, 46mul32d 9701 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  X )  x.  C
)  =  ( ( M  x.  C )  x.  X ) )
1139, 46, 1mulassd 9530 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  C )  x.  X
)  =  ( M  x.  ( C  x.  X ) ) )
114112, 113eqtrd 2423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  X )  x.  C
)  =  ( M  x.  ( C  x.  X ) ) )
115114oveq1d 6211 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  x.  X )  x.  C )  /  M
)  =  ( ( M  x.  ( C  x.  X ) )  /  M ) )
11646, 1mulcld 9527 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( C  x.  X
)  e.  CC )
117116, 9, 53divcan3d 10242 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  ( C  x.  X
) )  /  M
)  =  ( C  x.  X ) )
118115, 117eqtrd 2423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  x.  X )  x.  C )  /  M
)  =  ( C  x.  X ) )
119111, 118oveq12d 6214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M ^ 2 )  x.  ( X ^
2 ) )  /  M )  -  (
( ( M  x.  X )  x.  C
)  /  M ) )  =  ( ( M  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( C  x.  X ) ) )
120104, 119eqtrd 2423 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M ^ 2 )  x.  ( X ^
2 ) )  -  ( ( M  x.  X )  x.  C
) )  /  M
)  =  ( ( M  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( C  x.  X ) ) )
121120oveq1d 6211 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( M ^ 2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( M  x.  X )  x.  C ) )  /  M )  +  ( ( ( C ^
2 )  /  4
)  /  M ) )  =  ( ( ( M  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( C  x.  X ) )  +  ( ( ( C ^ 2 )  / 
4 )  /  M
) ) )
12287, 9, 53divcld 10237 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( C ^ 2 )  / 
4 )  /  M
)  e.  CC )
12335, 116, 122subsubd 9872 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( C  x.  X )  -  ( ( ( C ^ 2 )  /  4 )  /  M ) ) )  =  ( ( ( M  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( C  x.  X ) )  +  ( ( ( C ^ 2 )  / 
4 )  /  M
) ) )
124121, 123eqtr4d 2426 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( M ^ 2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( M  x.  X )  x.  C ) )  /  M )  +  ( ( ( C ^
2 )  /  4
)  /  M ) )  =  ( ( M  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( C  x.  X )  -  ( ( ( C ^ 2 )  / 
4 )  /  M
) ) ) )
12588, 103, 1243eqtr3d 2431 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M  x.  X )  -  ( C  / 
2 ) ) ^
2 )  /  (
( 2  x.  S
) ^ 2 ) )  =  ( ( M  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( C  x.  X )  -  ( ( ( C ^ 2 )  / 
4 )  /  M
) ) ) )
12677, 81, 1253eqtrd 2427 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( M  /  2
)  x.  X )  -  ( C  / 
4 ) )  /  S ) ^ 2 )  =  ( ( M  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( C  x.  X )  -  ( ( ( C ^ 2 )  / 
4 )  /  M
) ) ) )
12743, 126oveq12d 6214 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  / 
2 ) ) ^
2 )  -  (
( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4
) )  /  S
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( M  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( M  +  B )  /  2
) ^ 2 ) ) )  -  (
( M  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( C  x.  X )  -  ( ( ( C ^ 2 )  / 
4 )  /  M
) ) ) ) )
12840, 41addcld 9526 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( M  +  B
)  /  2 ) ^ 2 ) )  e.  CC )
129116, 122subcld 9844 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( C  x.  X )  -  (
( ( C ^
2 )  /  4
)  /  M ) )  e.  CC )
13035, 128, 129pnncand 9883 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( M  +  B
)  /  2 ) ^ 2 ) ) )  -  ( ( M  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( C  x.  X )  -  ( ( ( C ^ 2 )  / 
4 )  /  M
) ) ) )  =  ( ( ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^
2 ) ) )  +  ( ( ( M  +  B )  /  2 ) ^
2 ) )  +  ( ( C  x.  X )  -  (
( ( C ^
2 )  /  4
)  /  M ) ) ) )
131122negcld 9831 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
-u ( ( ( C ^ 2 )  /  4 )  /  M )  e.  CC )
13240, 41, 116, 131add4d 9716 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( M  +  B )  /  2
) ^ 2 ) )  +  ( ( C  x.  X )  +  -u ( ( ( C ^ 2 )  /  4 )  /  M ) ) )  =  ( ( ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^
2 ) ) )  +  ( C  x.  X ) )  +  ( ( ( ( M  +  B )  /  2 ) ^
2 )  +  -u ( ( ( C ^ 2 )  / 
4 )  /  M
) ) ) )
133116, 122negsubd 9850 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( C  x.  X )  +  -u ( ( ( C ^ 2 )  / 
4 )  /  M
) )  =  ( ( C  x.  X
)  -  ( ( ( C ^ 2 )  /  4 )  /  M ) ) )
134133oveq2d 6212 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( M  +  B )  /  2
) ^ 2 ) )  +  ( ( C  x.  X )  +  -u ( ( ( C ^ 2 )  /  4 )  /  M ) ) )  =  ( ( ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^
2 ) ) )  +  ( ( ( M  +  B )  /  2 ) ^
2 ) )  +  ( ( C  x.  X )  -  (
( ( C ^
2 )  /  4
)  /  M ) ) ) )
13541, 122negsubd 9850 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M  +  B )  /  2 ) ^
2 )  +  -u ( ( ( C ^ 2 )  / 
4 )  /  M
) )  =  ( ( ( ( M  +  B )  / 
2 ) ^ 2 )  -  ( ( ( C ^ 2 )  /  4 )  /  M ) ) )
136 dquart.i . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  I  e.  CC )
137 dquart.i2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( I ^ 2 )  =  ( (
-u ( S ^
2 )  -  ( B  /  2 ) )  +  ( ( C  /  4 )  /  S ) ) )
138 dquart.d . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
139 dquart.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( M ^ 3 )  +  ( ( 2  x.  B )  x.  ( M ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( ( B ^
2 )  -  (
4  x.  D ) )  x.  M )  +  -u ( C ^
2 ) ) )  =  0 )
14010, 46, 1, 5, 3, 53, 136, 137, 138, 139dquartlem2 23299 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M  +  B )  /  2 ) ^
2 )  -  (
( ( C ^
2 )  /  4
)  /  M ) )  =  D )
141135, 140eqtrd 2423 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M  +  B )  /  2 ) ^
2 )  +  -u ( ( ( C ^ 2 )  / 
4 )  /  M
) )  =  D )
142141oveq2d 6212 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( C  x.  X ) )  +  ( ( ( ( M  +  B )  /  2
) ^ 2 )  +  -u ( ( ( C ^ 2 )  /  4 )  /  M ) ) )  =  ( ( ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^
2 ) ) )  +  ( C  x.  X ) )  +  D ) )
14340, 116, 138addassd 9529 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( C  x.  X ) )  +  D )  =  ( ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( C  x.  X
)  +  D ) ) )
144142, 143eqtrd 2423 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( C  x.  X ) )  +  ( ( ( ( M  +  B )  /  2
) ^ 2 )  +  -u ( ( ( C ^ 2 )  /  4 )  /  M ) ) )  =  ( ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( C  x.  X
)  +  D ) ) )
145132, 134, 1443eqtr3d 2431 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( M  +  B )  /  2
) ^ 2 ) )  +  ( ( C  x.  X )  -  ( ( ( C ^ 2 )  /  4 )  /  M ) ) )  =  ( ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( C  x.  X
)  +  D ) ) )
146127, 130, 1453eqtrd 2427 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  / 
2 ) ) ^
2 )  -  (
( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4
) )  /  S
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^
2 ) ) )  +  ( ( C  x.  X )  +  D ) ) )
1472, 12addcld 9526 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( X ^
2 )  +  ( ( M  +  B
)  /  2 ) )  e.  CC )
14852, 5, 61divcld 10237 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4
) )  /  S
)  e.  CC )
149 subsq 12178 . . . . 5  |-  ( ( ( ( X ^
2 )  +  ( ( M  +  B
)  /  2 ) )  e.  CC  /\  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4
) )  /  S
)  e.  CC )  ->  ( ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  /  2 ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( ( ( M  /  2
)  x.  X )  -  ( C  / 
4 ) )  /  S ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  /  2
) )  +  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4 ) )  /  S ) )  x.  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  / 
2 ) )  -  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4
) )  /  S
) ) ) )
150147, 148, 149syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  / 
2 ) ) ^
2 )  -  (
( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4
) )  /  S
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( X ^
2 )  +  ( ( M  +  B
)  /  2 ) )  +  ( ( ( ( M  / 
2 )  x.  X
)  -  ( C  /  4 ) )  /  S ) )  x.  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  / 
2 ) )  -  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4
) )  /  S
) ) ) )
151146, 150eqtr3d 2425 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( C  x.  X )  +  D ) )  =  ( ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  /  2 ) )  +  ( ( ( ( M  /  2
)  x.  X )  -  ( C  / 
4 ) )  /  S ) )  x.  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  /  2
) )  -  (
( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4 ) )  /  S ) ) ) )
152151eqeq1d 2384 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( C  x.  X
)  +  D ) )  =  0  <->  (
( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  /  2
) )  +  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4 ) )  /  S ) )  x.  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  / 
2 ) )  -  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4
) )  /  S
) ) )  =  0 ) )
153147, 148addcld 9526 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  /  2
) )  +  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4 ) )  /  S ) )  e.  CC )
154147, 148subcld 9844 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  /  2
) )  -  (
( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4 ) )  /  S ) )  e.  CC )
155153, 154mul0ord 10116 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  /  2 ) )  +  ( ( ( ( M  /  2
)  x.  X )  -  ( C  / 
4 ) )  /  S ) )  x.  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  /  2
) )  -  (
( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4 ) )  /  S ) ) )  =  0  <->  (
( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  /  2
) )  +  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4 ) )  /  S ) )  =  0  \/  (
( ( X ^
2 )  +  ( ( M  +  B
)  /  2 ) )  -  ( ( ( ( M  / 
2 )  x.  X
)  -  ( C  /  4 ) )  /  S ) )  =  0 ) ) )
15610, 46, 1, 5, 3, 53, 136, 137dquartlem1 23298 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  / 
2 ) )  +  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4
) )  /  S
) )  =  0  <-> 
( X  =  (
-u S  +  I
)  \/  X  =  ( -u S  -  I ) ) ) )
1575negcld 9831 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
-u S  e.  CC )
158 sqneg 12131 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  x.  S )  e.  CC  ->  ( -u ( 2  x.  S
) ^ 2 )  =  ( ( 2  x.  S ) ^
2 ) )
1597, 158syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( -u ( 2  x.  S ) ^
2 )  =  ( ( 2  x.  S
) ^ 2 ) )
1603, 159eqtr4d 2426 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  =  ( -u ( 2  x.  S
) ^ 2 ) )
161 mulneg2 9912 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  S  e.  CC )  ->  ( 2  x.  -u S
)  =  -u (
2  x.  S ) )
1624, 5, 161sylancr 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  -u S
)  =  -u (
2  x.  S ) )
163162oveq1d 6211 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  -u S ) ^ 2 )  =  ( -u ( 2  x.  S
) ^ 2 ) )
164160, 163eqtr4d 2426 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  =  ( ( 2  x.  -u S
) ^ 2 ) )
165 dquart.j . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  CC )
166 dquart.j2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( J ^ 2 )  =  ( (
-u ( S ^
2 )  -  ( B  /  2 ) )  -  ( ( C  /  4 )  /  S ) ) )
1675sqcld 12210 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( S ^ 2 )  e.  CC )
168167negcld 9831 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
-u ( S ^
2 )  e.  CC )
16910halfcld 10700 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  /  2
)  e.  CC )
170168, 169subcld 9844 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( -u ( S ^ 2 )  -  ( B  /  2
) )  e.  CC )
17151, 5, 61divcld 10237 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( C  / 
4 )  /  S
)  e.  CC )
172170, 171negsubd 9850 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( -u ( S ^ 2 )  -  ( B  /  2
) )  +  -u ( ( C  / 
4 )  /  S
) )  =  ( ( -u ( S ^ 2 )  -  ( B  /  2
) )  -  (
( C  /  4
)  /  S ) ) )
173 sqneg 12131 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  CC  ->  ( -u S ^ 2 )  =  ( S ^
2 ) )
1745, 173syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( -u S ^
2 )  =  ( S ^ 2 ) )
175174eqcomd 2390 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( S ^ 2 )  =  ( -u S ^ 2 ) )
176175negeqd 9727 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
-u ( S ^
2 )  =  -u ( -u S ^ 2 ) )
177176oveq1d 6211 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( -u ( S ^ 2 )  -  ( B  /  2
) )  =  (
-u ( -u S ^ 2 )  -  ( B  /  2
) ) )
17851, 5, 61divneg2d 10251 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
-u ( ( C  /  4 )  /  S )  =  ( ( C  /  4
)  /  -u S
) )
179177, 178oveq12d 6214 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( -u ( S ^ 2 )  -  ( B  /  2
) )  +  -u ( ( C  / 
4 )  /  S
) )  =  ( ( -u ( -u S ^ 2 )  -  ( B  /  2
) )  +  ( ( C  /  4
)  /  -u S
) ) )
180166, 172, 1793eqtr2d 2429 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( J ^ 2 )  =  ( (
-u ( -u S ^ 2 )  -  ( B  /  2
) )  +  ( ( C  /  4
)  /  -u S
) ) )
18110, 46, 1, 157, 164, 53, 165, 180dquartlem1 23298 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  / 
2 ) )  +  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4
) )  /  -u S
) )  =  0  <-> 
( X  =  (
-u -u S  +  J
)  \/  X  =  ( -u -u S  -  J ) ) ) )
18252, 5, 61divneg2d 10251 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
-u ( ( ( ( M  /  2
)  x.  X )  -  ( C  / 
4 ) )  /  S )  =  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4 ) )  /  -u S ) )
183182oveq2d 6212 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  /  2
) )  +  -u ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4
) )  /  S
) )  =  ( ( ( X ^
2 )  +  ( ( M  +  B
)  /  2 ) )  +  ( ( ( ( M  / 
2 )  x.  X
)  -  ( C  /  4 ) )  /  -u S ) ) )
184147, 148negsubd 9850 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  /  2
) )  +  -u ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4
) )  /  S
) )  =  ( ( ( X ^
2 )  +  ( ( M  +  B
)  /  2 ) )  -  ( ( ( ( M  / 
2 )  x.  X
)  -  ( C  /  4 ) )  /  S ) ) )
185183, 184eqtr3d 2425 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  /  2
) )  +  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4 ) )  /  -u S ) )  =  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  / 
2 ) )  -  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4
) )  /  S
) ) )
186185eqeq1d 2384 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  / 
2 ) )  +  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4
) )  /  -u S
) )  =  0  <-> 
( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  /  2
) )  -  (
( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4 ) )  /  S ) )  =  0 ) )
1875negnegd 9835 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
-u -u S  =  S )
188187oveq1d 6211 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( -u -u S  +  J )  =  ( S  +  J ) )
189188eqeq2d 2396 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  =  (
-u -u S  +  J
)  <->  X  =  ( S  +  J )
) )
190187oveq1d 6211 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( -u -u S  -  J )  =  ( S  -  J ) )
191190eqeq2d 2396 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  =  (
-u -u S  -  J
)  <->  X  =  ( S  -  J )
) )
192189, 191orbi12d 707 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( X  =  ( -u -u S  +  J )  \/  X  =  ( -u -u S  -  J ) )  <->  ( X  =  ( S  +  J )  \/  X  =  ( S  -  J ) ) ) )
193181, 186, 1923bitr3d 283 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  / 
2 ) )  -  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4
) )  /  S
) )  =  0  <-> 
( X  =  ( S  +  J )  \/  X  =  ( S  -  J ) ) ) )
194156, 193orbi12d 707 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  /  2 ) )  +  ( ( ( ( M  /  2
)  x.  X )  -  ( C  / 
4 ) )  /  S ) )  =  0  \/  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  /  2 ) )  -  ( ( ( ( M  /  2
)  x.  X )  -  ( C  / 
4 ) )  /  S ) )  =  0 )  <->  ( ( X  =  ( -u S  +  I )  \/  X  =  ( -u S  -  I ) )  \/  ( X  =  ( S  +  J )  \/  X  =  ( S  -  J ) ) ) ) )
195152, 155, 1943bitrd 279 1  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( C  x.  X
)  +  D ) )  =  0  <->  (
( X  =  (
-u S  +  I
)  \/  X  =  ( -u S  -  I ) )  \/  ( X  =  ( S  +  J )  \/  X  =  ( S  -  J ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1826    =/= wne 2577  (class class class)co 6196   CCcc 9401   0cc0 9403    + caddc 9406    x. cmul 9408    - cmin 9718   -ucneg 9719    / cdiv 10123   2c2 10502   3c3 10503   4c4 10504   NN0cn0 10712   ^cexp 12069
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-er 7229  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-4 10513  df-n0 10713  df-z 10782  df-uz 11002  df-seq 12011  df-exp 12070
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