Theorem dquart 22251

Description: Solve a depressed quartic equation. To eliminate S, which is the square root of a solution M to the resolvent cubic equation, apply cubic 22247 or one of its variants. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dquart.b	|- ( ph -> B e. CC )
dquart.c	|- ( ph -> C e. CC )
dquart.x	|- ( ph -> X e. CC )
dquart.s	|- ( ph -> S e. CC )
dquart.m	|- ( ph -> M = ( ( 2 x. S ) ^ 2 ) )
dquart.m0	|- ( ph -> M =/= 0 )
dquart.i	|- ( ph -> I e. CC )
dquart.i2	|- ( ph -> ( I ^ 2 ) = ( ( -u ( S ^ 2 ) - ( B / 2 ) ) + ( ( C / 4 ) / S ) ) )
dquart.d	|- ( ph -> D e. CC )
dquart.3	|- ( ph -> ( ( ( M ^ 3 ) + ( ( 2 x. B ) x. ( M ^ 2 ) ) ) + ( ( ( ( B ^ 2 ) - ( 4 x. D ) ) x. M ) + -u ( C ^ 2 ) ) ) = 0 )
dquart.j	|- ( ph -> J e. CC )
dquart.j2	|- ( ph -> ( J ^ 2 ) = ( ( -u ( S ^ 2 ) - ( B / 2 ) ) - ( ( C / 4 ) / S ) ) )

Assertion

Ref	Expression
dquart	|- ( ph -> ( ( ( ( X ^ 4 ) + ( B x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( C x. X ) + D ) ) = 0 <-> ( ( X = ( -u S + I ) \/ X = ( -u S - I ) ) \/ ( X = ( S + J ) \/ X = ( S - J ) ) ) ) )

Proof of Theorem dquart

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dquart.x	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> X e. CC )
2	1	sqcld 12009	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( X ^ 2 ) e. CC )
3		dquart.m	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M = ( ( 2 x. S ) ^ 2 ) )
4		2cn 10395	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. CC
5		dquart.s	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> S e. CC )
6		mulcl 9369	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 e. CC /\ S e. CC ) -> ( 2 x. S ) e. CC )
7	4, 5, 6	sylancr 663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 2 x. S ) e. CC )
8	7	sqcld 12009	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( 2 x. S ) ^ 2 ) e. CC )
9	3, 8	eqeltrd 2517	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. CC )
10		dquart.b	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B e. CC )
11	9, 10	addcld 9408	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( M + B ) e. CC )
12	11	halfcld 10572	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( M + B ) / 2 ) e. CC )
13		binom2 11984	. . . . . . . 8 |- ( ( ( X ^ 2 ) e. CC /\ ( ( M + B ) / 2 ) e. CC ) -> ( ( ( X ^ 2 ) + ( ( M + B ) / 2 ) ) ^ 2 ) = ( ( ( ( X ^ 2 ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( X ^ 2 ) x. ( ( M + B ) / 2 ) ) ) ) + ( ( ( M + B ) / 2 ) ^ 2 ) ) )
14	2, 12, 13	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( X ^ 2 ) + ( ( M + B ) / 2 ) ) ^ 2 ) = ( ( ( ( X ^ 2 ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( X ^ 2 ) x. ( ( M + B ) / 2 ) ) ) ) + ( ( ( M + B ) / 2 ) ^ 2 ) ) )
15		2t2e4 10474	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 x. 2 ) = 4
16	15	oveq2i 6105	. . . . . . . . . . 11 |- ( X ^ ( 2 x. 2 ) ) = ( X ^ 4 )
17		2nn0 10599	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. NN0
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 2 e. NN0 )
19	1, 18, 18	expmuld 12014	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( X ^ ( 2 x. 2 ) ) = ( ( X ^ 2 ) ^ 2 ) )
20	16, 19	syl5reqr 2490	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( X ^ 2 ) ^ 2 ) = ( X ^ 4 ) )
21	4	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 2 e. CC )
22	21, 2, 12	mul12d 9581	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 2 x. ( ( X ^ 2 ) x. ( ( M + B ) / 2 ) ) ) = ( ( X ^ 2 ) x. ( 2 x. ( ( M + B ) / 2 ) ) ) )
23		2ne0 10417	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 =/= 0
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 2 =/= 0 )
25	11, 21, 24	divcan2d 10112	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 2 x. ( ( M + B ) / 2 ) ) = ( M + B ) )
26	25	oveq2d 6110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( X ^ 2 ) x. ( 2 x. ( ( M + B ) / 2 ) ) ) = ( ( X ^ 2 ) x. ( M + B ) ) )
27	2, 11	mulcomd 9410	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( X ^ 2 ) x. ( M + B ) ) = ( ( M + B ) x. ( X ^ 2 ) ) )
28	26, 27	eqtrd 2475	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( X ^ 2 ) x. ( 2 x. ( ( M + B ) / 2 ) ) ) = ( ( M + B ) x. ( X ^ 2 ) ) )
29	9, 10, 2	adddird 9414	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( M + B ) x. ( X ^ 2 ) ) = ( ( M x. ( X ^ 2 ) ) + ( B x. ( X ^ 2 ) ) ) )
30	22, 28, 29	3eqtrd 2479	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 x. ( ( X ^ 2 ) x. ( ( M + B ) / 2 ) ) ) = ( ( M x. ( X ^ 2 ) ) + ( B x. ( X ^ 2 ) ) ) )
31	20, 30	oveq12d 6112	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( X ^ 2 ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( X ^ 2 ) x. ( ( M + B ) / 2 ) ) ) ) = ( ( X ^ 4 ) + ( ( M x. ( X ^ 2 ) ) + ( B x. ( X ^ 2 ) ) ) ) )
32		4nn0 10601	. . . . . . . . . . 11 |- 4 e. NN0
33		expcl 11886	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. CC /\ 4 e. NN0 ) -> ( X ^ 4 ) e. CC )
34	1, 32, 33	sylancl 662	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( X ^ 4 ) e. CC )
35	9, 2	mulcld 9409	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( M x. ( X ^ 2 ) ) e. CC )
36	10, 2	mulcld 9409	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( B x. ( X ^ 2 ) ) e. CC )
37	34, 35, 36	add12d 9594	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( X ^ 4 ) + ( ( M x. ( X ^ 2 ) ) + ( B x. ( X ^ 2 ) ) ) ) = ( ( M x. ( X ^ 2 ) ) + ( ( X ^ 4 ) + ( B x. ( X ^ 2 ) ) ) ) )
38	31, 37	eqtrd 2475	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( X ^ 2 ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( X ^ 2 ) x. ( ( M + B ) / 2 ) ) ) ) = ( ( M x. ( X ^ 2 ) ) + ( ( X ^ 4 ) + ( B x. ( X ^ 2 ) ) ) ) )
39	38	oveq1d 6109	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( ( X ^ 2 ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( X ^ 2 ) x. ( ( M + B ) / 2 ) ) ) ) + ( ( ( M + B ) / 2 ) ^ 2 ) ) = ( ( ( M x. ( X ^ 2 ) ) + ( ( X ^ 4 ) + ( B x. ( X ^ 2 ) ) ) ) + ( ( ( M + B ) / 2 ) ^ 2 ) ) )
40	34, 36	addcld 9408	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( X ^ 4 ) + ( B x. ( X ^ 2 ) ) ) e. CC )
41	12	sqcld 12009	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( M + B ) / 2 ) ^ 2 ) e. CC )
42	35, 40, 41	addassd 9411	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( M x. ( X ^ 2 ) ) + ( ( X ^ 4 ) + ( B x. ( X ^ 2 ) ) ) ) + ( ( ( M + B ) / 2 ) ^ 2 ) ) = ( ( M x. ( X ^ 2 ) ) + ( ( ( X ^ 4 ) + ( B x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( ( M + B ) / 2 ) ^ 2 ) ) ) )
43	14, 39, 42	3eqtrd 2479	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( X ^ 2 ) + ( ( M + B ) / 2 ) ) ^ 2 ) = ( ( M x. ( X ^ 2 ) ) + ( ( ( X ^ 4 ) + ( B x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( ( M + B ) / 2 ) ^ 2 ) ) ) )
44	9	halfcld 10572	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( M / 2 ) e. CC )
45	44, 1	mulcld 9409	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( M / 2 ) x. X ) e. CC )
46		dquart.c	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> C e. CC )
47		4cn 10402	. . . . . . . . . . . . 13 |- 4 e. CC
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 4 e. CC )
49		4ne0 10421	. . . . . . . . . . . . 13 |- 4 =/= 0
50	49	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 4 =/= 0 )
51	46, 48, 50	divcld 10110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( C / 4 ) e. CC )
52	45, 51	subcld 9722	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( M / 2 ) x. X ) - ( C / 4 ) ) e. CC )
53		dquart.m0	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> M =/= 0 )
54	3, 53	eqnetrrd 2631	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( 2 x. S ) ^ 2 ) =/= 0 )
55		sqne0 11935	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2 x. S ) e. CC -> ( ( ( 2 x. S ) ^ 2 ) =/= 0 <-> ( 2 x. S ) =/= 0 ) )
56	7, 55	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. S ) ^ 2 ) =/= 0 <-> ( 2 x. S ) =/= 0 ) )
57	54, 56	mpbid 210	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 2 x. S ) =/= 0 )
58		mulne0b 9980	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 e. CC /\ S e. CC ) -> ( ( 2 =/= 0 /\ S =/= 0 ) <-> ( 2 x. S ) =/= 0 ) )
59	4, 5, 58	sylancr 663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( 2 =/= 0 /\ S =/= 0 ) <-> ( 2 x. S ) =/= 0 ) )
60	57, 59	mpbird 232	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 2 =/= 0 /\ S =/= 0 ) )
61	60	simprd 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> S =/= 0 )
62	52, 5, 21, 61, 24	divcan5d 10136	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( ( ( M / 2 ) x. X ) - ( C / 4 ) ) ) / ( 2 x. S ) ) = ( ( ( ( M / 2 ) x. X ) - ( C / 4 ) ) / S ) )
63	21, 45, 51	subdid 9803	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 2 x. ( ( ( M / 2 ) x. X ) - ( C / 4 ) ) ) = ( ( 2 x. ( ( M / 2 ) x. X ) ) - ( 2 x. ( C / 4 ) ) ) )
64	21, 44, 1	mulassd 9412	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( M / 2 ) ) x. X ) = ( 2 x. ( ( M / 2 ) x. X ) ) )
65	9, 21, 24	divcan2d 10112	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 2 x. ( M / 2 ) ) = M )
66	65	oveq1d 6109	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( M / 2 ) ) x. X ) = ( M x. X ) )
67	64, 66	eqtr3d 2477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 2 x. ( ( M / 2 ) x. X ) ) = ( M x. X ) )
68	21, 46, 48, 50	divassd 10145	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( 2 x. C ) / 4 ) = ( 2 x. ( C / 4 ) ) )
69	15	oveq2i 6105	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2 x. C ) / ( 2 x. 2 ) ) = ( ( 2 x. C ) / 4 )
70	46, 21, 21, 24, 24	divcan5d 10136	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( 2 x. C ) / ( 2 x. 2 ) ) = ( C / 2 ) )
71	69, 70	syl5eqr 2489	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( 2 x. C ) / 4 ) = ( C / 2 ) )
72	68, 71	eqtr3d 2477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 2 x. ( C / 4 ) ) = ( C / 2 ) )
73	67, 72	oveq12d 6112	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( ( M / 2 ) x. X ) ) - ( 2 x. ( C / 4 ) ) ) = ( ( M x. X ) - ( C / 2 ) ) )
74	63, 73	eqtrd 2475	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 x. ( ( ( M / 2 ) x. X ) - ( C / 4 ) ) ) = ( ( M x. X ) - ( C / 2 ) ) )
75	74	oveq1d 6109	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( ( ( M / 2 ) x. X ) - ( C / 4 ) ) ) / ( 2 x. S ) ) = ( ( ( M x. X ) - ( C / 2 ) ) / ( 2 x. S ) ) )
76	62, 75	eqtr3d 2477	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( ( M / 2 ) x. X ) - ( C / 4 ) ) / S ) = ( ( ( M x. X ) - ( C / 2 ) ) / ( 2 x. S ) ) )
77	76	oveq1d 6109	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( ( ( M / 2 ) x. X ) - ( C / 4 ) ) / S ) ^ 2 ) = ( ( ( ( M x. X ) - ( C / 2 ) ) / ( 2 x. S ) ) ^ 2 ) )
78	9, 1	mulcld 9409	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( M x. X ) e. CC )
79	46	halfcld 10572	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( C / 2 ) e. CC )
80	78, 79	subcld 9722	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( M x. X ) - ( C / 2 ) ) e. CC )
81	80, 7, 57	sqdivd 12024	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( ( M x. X ) - ( C / 2 ) ) / ( 2 x. S ) ) ^ 2 ) = ( ( ( ( M x. X ) - ( C / 2 ) ) ^ 2 ) / ( ( 2 x. S ) ^ 2 ) ) )
82	9	sqcld 12009	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( M ^ 2 ) e. CC )
83	82, 2	mulcld 9409	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( M ^ 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) e. CC )
84	78, 46	mulcld 9409	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( M x. X ) x. C ) e. CC )
85	83, 84	subcld 9722	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( M ^ 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) - ( ( M x. X ) x. C ) ) e. CC )
86	46	sqcld 12009	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( C ^ 2 ) e. CC )
87	86, 48, 50	divcld 10110	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( C ^ 2 ) / 4 ) e. CC )
88	85, 87, 9, 53	divdird 10148	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) - ( ( M x. X ) x. C ) ) + ( ( C ^ 2 ) / 4 ) ) / M ) = ( ( ( ( ( M ^ 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) - ( ( M x. X ) x. C ) ) / M ) + ( ( ( C ^ 2 ) / 4 ) / M ) ) )
89		binom2sub 11986	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M x. X ) e. CC /\ ( C / 2 ) e. CC ) -> ( ( ( M x. X ) - ( C / 2 ) ) ^ 2 ) = ( ( ( ( M x. X ) ^ 2 ) - ( 2 x. ( ( M x. X ) x. ( C / 2 ) ) ) ) + ( ( C / 2 ) ^ 2 ) ) )
90	78, 79, 89	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( M x. X ) - ( C / 2 ) ) ^ 2 ) = ( ( ( ( M x. X ) ^ 2 ) - ( 2 x. ( ( M x. X ) x. ( C / 2 ) ) ) ) + ( ( C / 2 ) ^ 2 ) ) )
91	9, 1	sqmuld 12023	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( M x. X ) ^ 2 ) = ( ( M ^ 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) )
92	21, 78, 79	mul12d 9581	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 2 x. ( ( M x. X ) x. ( C / 2 ) ) ) = ( ( M x. X ) x. ( 2 x. ( C / 2 ) ) ) )
93	46, 21, 24	divcan2d 10112	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 2 x. ( C / 2 ) ) = C )
94	93	oveq2d 6110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( M x. X ) x. ( 2 x. ( C / 2 ) ) ) = ( ( M x. X ) x. C ) )
95	92, 94	eqtrd 2475	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 2 x. ( ( M x. X ) x. ( C / 2 ) ) ) = ( ( M x. X ) x. C ) )
96	91, 95	oveq12d 6112	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( M x. X ) ^ 2 ) - ( 2 x. ( ( M x. X ) x. ( C / 2 ) ) ) ) = ( ( ( M ^ 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) - ( ( M x. X ) x. C ) ) )
97	46, 21, 24	sqdivd 12024	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( C / 2 ) ^ 2 ) = ( ( C ^ 2 ) / ( 2 ^ 2 ) ) )
98		sq2 11965	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 2 ^ 2 ) = 4
99	98	oveq2i 6105	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C ^ 2 ) / ( 2 ^ 2 ) ) = ( ( C ^ 2 ) / 4 )
100	97, 99	syl6eq 2491	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( C / 2 ) ^ 2 ) = ( ( C ^ 2 ) / 4 ) )
101	96, 100	oveq12d 6112	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( ( M x. X ) ^ 2 ) - ( 2 x. ( ( M x. X ) x. ( C / 2 ) ) ) ) + ( ( C / 2 ) ^ 2 ) ) = ( ( ( ( M ^ 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) - ( ( M x. X ) x. C ) ) + ( ( C ^ 2 ) / 4 ) ) )
102	90, 101	eqtr2d 2476	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( ( M ^ 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) - ( ( M x. X ) x. C ) ) + ( ( C ^ 2 ) / 4 ) ) = ( ( ( M x. X ) - ( C / 2 ) ) ^ 2 ) )
103	102, 3	oveq12d 6112	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) - ( ( M x. X ) x. C ) ) + ( ( C ^ 2 ) / 4 ) ) / M ) = ( ( ( ( M x. X ) - ( C / 2 ) ) ^ 2 ) / ( ( 2 x. S ) ^ 2 ) ) )
104	83, 84, 9, 53	divsubdird 10149	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( ( M ^ 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) - ( ( M x. X ) x. C ) ) / M ) = ( ( ( ( M ^ 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) / M ) - ( ( ( M x. X ) x. C ) / M ) ) )
105	82, 2, 9, 53	div23d 10147	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( M ^ 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) / M ) = ( ( ( M ^ 2 ) / M ) x. ( X ^ 2 ) ) )
106	9	sqvald 12008	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( M ^ 2 ) = ( M x. M ) )
107	106	oveq1d 6109	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( M ^ 2 ) / M ) = ( ( M x. M ) / M ) )
108	9, 9, 53	divcan3d 10115	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( M x. M ) / M ) = M )
109	107, 108	eqtrd 2475	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( M ^ 2 ) / M ) = M )
110	109	oveq1d 6109	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( M ^ 2 ) / M ) x. ( X ^ 2 ) ) = ( M x. ( X ^ 2 ) ) )
111	105, 110	eqtrd 2475	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( M ^ 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) / M ) = ( M x. ( X ^ 2 ) ) )
112	9, 1, 46	mul32d 9582	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( M x. X ) x. C ) = ( ( M x. C ) x. X ) )
113	9, 46, 1	mulassd 9412	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( M x. C ) x. X ) = ( M x. ( C x. X ) ) )
114	112, 113	eqtrd 2475	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( M x. X ) x. C ) = ( M x. ( C x. X ) ) )
115	114	oveq1d 6109	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( M x. X ) x. C ) / M ) = ( ( M x. ( C x. X ) ) / M ) )
116	46, 1	mulcld 9409	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( C x. X ) e. CC )
117	116, 9, 53	divcan3d 10115	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( M x. ( C x. X ) ) / M ) = ( C x. X ) )
118	115, 117	eqtrd 2475	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( M x. X ) x. C ) / M ) = ( C x. X ) )
119	111, 118	oveq12d 6112	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( ( M ^ 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) / M ) - ( ( ( M x. X ) x. C ) / M ) ) = ( ( M x. ( X ^ 2 ) ) - ( C x. X ) ) )
120	104, 119	eqtrd 2475	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( ( M ^ 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) - ( ( M x. X ) x. C ) ) / M ) = ( ( M x. ( X ^ 2 ) ) - ( C x. X ) ) )
121	120	oveq1d 6109	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) - ( ( M x. X ) x. C ) ) / M ) + ( ( ( C ^ 2 ) / 4 ) / M ) ) = ( ( ( M x. ( X ^ 2 ) ) - ( C x. X ) ) + ( ( ( C ^ 2 ) / 4 ) / M ) ) )
122	87, 9, 53	divcld 10110	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( C ^ 2 ) / 4 ) / M ) e. CC )
123	35, 116, 122	subsubd 9750	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( M x. ( X ^ 2 ) ) - ( ( C x. X ) - ( ( ( C ^ 2 ) / 4 ) / M ) ) ) = ( ( ( M x. ( X ^ 2 ) ) - ( C x. X ) ) + ( ( ( C ^ 2 ) / 4 ) / M ) ) )
124	121, 123	eqtr4d 2478	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) - ( ( M x. X ) x. C ) ) / M ) + ( ( ( C ^ 2 ) / 4 ) / M ) ) = ( ( M x. ( X ^ 2 ) ) - ( ( C x. X ) - ( ( ( C ^ 2 ) / 4 ) / M ) ) ) )
125	88, 103, 124	3eqtr3d 2483	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( ( M x. X ) - ( C / 2 ) ) ^ 2 ) / ( ( 2 x. S ) ^ 2 ) ) = ( ( M x. ( X ^ 2 ) ) - ( ( C x. X ) - ( ( ( C ^ 2 ) / 4 ) / M ) ) ) )
126	77, 81, 125	3eqtrd 2479	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( ( M / 2 ) x. X ) - ( C / 4 ) ) / S ) ^ 2 ) = ( ( M x. ( X ^ 2 ) ) - ( ( C x. X ) - ( ( ( C ^ 2 ) / 4 ) / M ) ) ) )
127	43, 126	oveq12d 6112	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( X ^ 2 ) + ( ( M + B ) / 2 ) ) ^ 2 ) - ( ( ( ( ( M / 2 ) x. X ) - ( C / 4 ) ) / S ) ^ 2 ) ) = ( ( ( M x. ( X ^ 2 ) ) + ( ( ( X ^ 4 ) + ( B x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( ( M + B ) / 2 ) ^ 2 ) ) ) - ( ( M x. ( X ^ 2 ) ) - ( ( C x. X ) - ( ( ( C ^ 2 ) / 4 ) / M ) ) ) ) )
128	40, 41	addcld 9408	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( X ^ 4 ) + ( B x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( ( M + B ) / 2 ) ^ 2 ) ) e. CC )
129	116, 122	subcld 9722	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( C x. X ) - ( ( ( C ^ 2 ) / 4 ) / M ) ) e. CC )
130	35, 128, 129	pnncand 9761	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( M x. ( X ^ 2 ) ) + ( ( ( X ^ 4 ) + ( B x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( ( M + B ) / 2 ) ^ 2 ) ) ) - ( ( M x. ( X ^ 2 ) ) - ( ( C x. X ) - ( ( ( C ^ 2 ) / 4 ) / M ) ) ) ) = ( ( ( ( X ^ 4 ) + ( B x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( ( M + B ) / 2 ) ^ 2 ) ) + ( ( C x. X ) - ( ( ( C ^ 2 ) / 4 ) / M ) ) ) )
131	122	negcld 9709	. . . . . . 7 |- ( ph -> -u ( ( ( C ^ 2 ) / 4 ) / M ) e. CC )
132	40, 41, 116, 131	add4d 9596	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( X ^ 4 ) + ( B x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( ( M + B ) / 2 ) ^ 2 ) ) + ( ( C x. X ) + -u ( ( ( C ^ 2 ) / 4 ) / M ) ) ) = ( ( ( ( X ^ 4 ) + ( B x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( C x. X ) ) + ( ( ( ( M + B ) / 2 ) ^ 2 ) + -u ( ( ( C ^ 2 ) / 4 ) / M ) ) ) )
133	116, 122	negsubd 9728	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( C x. X ) + -u ( ( ( C ^ 2 ) / 4 ) / M ) ) = ( ( C x. X ) - ( ( ( C ^ 2 ) / 4 ) / M ) ) )
134	133	oveq2d 6110	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( X ^ 4 ) + ( B x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( ( M + B ) / 2 ) ^ 2 ) ) + ( ( C x. X ) + -u ( ( ( C ^ 2 ) / 4 ) / M ) ) ) = ( ( ( ( X ^ 4 ) + ( B x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( ( M + B ) / 2 ) ^ 2 ) ) + ( ( C x. X ) - ( ( ( C ^ 2 ) / 4 ) / M ) ) ) )
135	41, 122	negsubd 9728	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( ( M + B ) / 2 ) ^ 2 ) + -u ( ( ( C ^ 2 ) / 4 ) / M ) ) = ( ( ( ( M + B ) / 2 ) ^ 2 ) - ( ( ( C ^ 2 ) / 4 ) / M ) ) )
136		dquart.i	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> I e. CC )
137		dquart.i2	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( I ^ 2 ) = ( ( -u ( S ^ 2 ) - ( B / 2 ) ) + ( ( C / 4 ) / S ) ) )
138		dquart.d	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> D e. CC )
139		dquart.3	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( M ^ 3 ) + ( ( 2 x. B ) x. ( M ^ 2 ) ) ) + ( ( ( ( B ^ 2 ) - ( 4 x. D ) ) x. M ) + -u ( C ^ 2 ) ) ) = 0 )
140	10, 46, 1, 5, 3, 53, 136, 137, 138, 139	dquartlem2 22250	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( ( M + B ) / 2 ) ^ 2 ) - ( ( ( C ^ 2 ) / 4 ) / M ) ) = D )
141	135, 140	eqtrd 2475	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( ( M + B ) / 2 ) ^ 2 ) + -u ( ( ( C ^ 2 ) / 4 ) / M ) ) = D )
142	141	oveq2d 6110	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( ( X ^ 4 ) + ( B x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( C x. X ) ) + ( ( ( ( M + B ) / 2 ) ^ 2 ) + -u ( ( ( C ^ 2 ) / 4 ) / M ) ) ) = ( ( ( ( X ^ 4 ) + ( B x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( C x. X ) ) + D ) )
143	40, 116, 138	addassd 9411	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( ( X ^ 4 ) + ( B x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( C x. X ) ) + D ) = ( ( ( X ^ 4 ) + ( B x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( C x. X ) + D ) ) )
144	142, 143	eqtrd 2475	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( X ^ 4 ) + ( B x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( C x. X ) ) + ( ( ( ( M + B ) / 2 ) ^ 2 ) + -u ( ( ( C ^ 2 ) / 4 ) / M ) ) ) = ( ( ( X ^ 4 ) + ( B x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( C x. X ) + D ) ) )
145	132, 134, 144	3eqtr3d 2483	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( X ^ 4 ) + ( B x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( ( M + B ) / 2 ) ^ 2 ) ) + ( ( C x. X ) - ( ( ( C ^ 2 ) / 4 ) / M ) ) ) = ( ( ( X ^ 4 ) + ( B x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( C x. X ) + D ) ) )
146	127, 130, 145	3eqtrd 2479	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( X ^ 2 ) + ( ( M + B ) / 2 ) ) ^ 2 ) - ( ( ( ( ( M / 2 ) x. X ) - ( C / 4 ) ) / S ) ^ 2 ) ) = ( ( ( X ^ 4 ) + ( B x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( C x. X ) + D ) ) )
147	2, 12	addcld 9408	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( X ^ 2 ) + ( ( M + B ) / 2 ) ) e. CC )
148	52, 5, 61	divcld 10110	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( M / 2 ) x. X ) - ( C / 4 ) ) / S ) e. CC )
149		subsq 11976	. . . . 5 |- ( ( ( ( X ^ 2 ) + ( ( M + B ) / 2 ) ) e. CC /\ ( ( ( ( M / 2 ) x. X ) - ( C / 4 ) ) / S ) e. CC ) -> ( ( ( ( X ^ 2 ) + ( ( M + B ) / 2 ) ) ^ 2 ) - ( ( ( ( ( M / 2 ) x. X ) - ( C / 4 ) ) / S ) ^ 2 ) ) = ( ( ( ( X ^ 2 ) + ( ( M + B ) / 2 ) ) + ( ( ( ( M / 2 ) x. X ) - ( C / 4 ) ) / S ) ) x. ( ( ( X ^ 2 ) + ( ( M + B ) / 2 ) ) - ( ( ( ( M / 2 ) x. X ) - ( C / 4 ) ) / S ) ) ) )
150	147, 148, 149	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( X ^ 2 ) + ( ( M + B ) / 2 ) ) ^ 2 ) - ( ( ( ( ( M / 2 ) x. X ) - ( C / 4 ) ) / S ) ^ 2 ) ) = ( ( ( ( X ^ 2 ) + ( ( M + B ) / 2 ) ) + ( ( ( ( M / 2 ) x. X ) - ( C / 4 ) ) / S ) ) x. ( ( ( X ^ 2 ) + ( ( M + B ) / 2 ) ) - ( ( ( ( M / 2 ) x. X ) - ( C / 4 ) ) / S ) ) ) )
151	146, 150	eqtr3d 2477	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( X ^ 4 ) + ( B x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( C x. X ) + D ) ) = ( ( ( ( X ^ 2 ) + ( ( M + B ) / 2 ) ) + ( ( ( ( M / 2 ) x. X ) - ( C / 4 ) ) / S ) ) x. ( ( ( X ^ 2 ) + ( ( M + B ) / 2 ) ) - ( ( ( ( M / 2 ) x. X ) - ( C / 4 ) ) / S ) ) ) )
152	151	eqeq1d 2451	. 2 |- ( ph -> ( ( ( ( X ^ 4 ) + ( B x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( C x. X ) + D ) ) = 0 <-> ( ( ( ( X ^ 2 ) + ( ( M + B ) / 2 ) ) + ( ( ( ( M / 2 ) x. X ) - ( C / 4 ) ) / S ) ) x. ( ( ( X ^ 2 ) + ( ( M + B ) / 2 ) ) - ( ( ( ( M / 2 ) x. X ) - ( C / 4 ) ) / S ) ) ) = 0 ) )
153	147, 148	addcld 9408	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( X ^ 2 ) + ( ( M + B ) / 2 ) ) + ( ( ( ( M / 2 ) x. X ) - ( C / 4 ) ) / S ) ) e. CC )
154	147, 148	subcld 9722	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( X ^ 2 ) + ( ( M + B ) / 2 ) ) - ( ( ( ( M / 2 ) x. X ) - ( C / 4 ) ) / S ) ) e. CC )
155	153, 154	mul0ord 9989	. 2 |- ( ph -> ( ( ( ( ( X ^ 2 ) + ( ( M + B ) / 2 ) ) + ( ( ( ( M / 2 ) x. X ) - ( C / 4 ) ) / S ) ) x. ( ( ( X ^ 2 ) + ( ( M + B ) / 2 ) ) - ( ( ( ( M / 2 ) x. X ) - ( C / 4 ) ) / S ) ) ) = 0 <-> ( ( ( ( X ^ 2 ) + ( ( M + B ) / 2 ) ) + ( ( ( ( M / 2 ) x. X ) - ( C / 4 ) ) / S ) ) = 0 \/ ( ( ( X ^ 2 ) + ( ( M + B ) / 2 ) ) - ( ( ( ( M / 2 ) x. X ) - ( C / 4 ) ) / S ) ) = 0 ) ) )
156	10, 46, 1, 5, 3, 53, 136, 137	dquartlem1 22249	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ( X ^ 2 ) + ( ( M + B ) / 2 ) ) + ( ( ( ( M / 2 ) x. X ) - ( C / 4 ) ) / S ) ) = 0 <-> ( X = ( -u S + I ) \/ X = ( -u S - I ) ) ) )
157	5	negcld 9709	. . . . 5 |- ( ph -> -u S e. CC )
158		sqneg 11929	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 x. S ) e. CC -> ( -u ( 2 x. S ) ^ 2 ) = ( ( 2 x. S ) ^ 2 ) )
159	7, 158	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( -u ( 2 x. S ) ^ 2 ) = ( ( 2 x. S ) ^ 2 ) )
160	3, 159	eqtr4d 2478	. . . . . 6 |- ( ph -> M = ( -u ( 2 x. S ) ^ 2 ) )
161		mulneg2 9785	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. CC /\ S e. CC ) -> ( 2 x. -u S ) = -u ( 2 x. S ) )
162	4, 5, 161	sylancr 663	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 2 x. -u S ) = -u ( 2 x. S ) )
163	162	oveq1d 6109	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 2 x. -u S ) ^ 2 ) = ( -u ( 2 x. S ) ^ 2 ) )
164	160, 163	eqtr4d 2478	. . . . 5 |- ( ph -> M = ( ( 2 x. -u S ) ^ 2 ) )
165		dquart.j	. . . . 5 |- ( ph -> J e. CC )
166		dquart.j2	. . . . . 6 |- ( ph -> ( J ^ 2 ) = ( ( -u ( S ^ 2 ) - ( B / 2 ) ) - ( ( C / 4 ) / S ) ) )
167	5	sqcld 12009	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( S ^ 2 ) e. CC )
168	167	negcld 9709	. . . . . . . 8 |- ( ph -> -u ( S ^ 2 ) e. CC )
169	10	halfcld 10572	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( B / 2 ) e. CC )
170	168, 169	subcld 9722	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( -u ( S ^ 2 ) - ( B / 2 ) ) e. CC )
171	51, 5, 61	divcld 10110	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( C / 4 ) / S ) e. CC )
172	170, 171	negsubd 9728	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( -u ( S ^ 2 ) - ( B / 2 ) ) + -u ( ( C / 4 ) / S ) ) = ( ( -u ( S ^ 2 ) - ( B / 2 ) ) - ( ( C / 4 ) / S ) ) )
173		sqneg 11929	. . . . . . . . . . 11 |- ( S e. CC -> ( -u S ^ 2 ) = ( S ^ 2 ) )
174	5, 173	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( -u S ^ 2 ) = ( S ^ 2 ) )
175	174	eqcomd 2448	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( S ^ 2 ) = ( -u S ^ 2 ) )
176	175	negeqd 9607	. . . . . . . 8 |- ( ph -> -u ( S ^ 2 ) = -u ( -u S ^ 2 ) )
177	176	oveq1d 6109	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( -u ( S ^ 2 ) - ( B / 2 ) ) = ( -u ( -u S ^ 2 ) - ( B / 2 ) ) )
178	51, 5, 61	divneg2d 10124	. . . . . . 7 |- ( ph -> -u ( ( C / 4 ) / S ) = ( ( C / 4 ) / -u S ) )
179	177, 178	oveq12d 6112	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( -u ( S ^ 2 ) - ( B / 2 ) ) + -u ( ( C / 4 ) / S ) ) = ( ( -u ( -u S ^ 2 ) - ( B / 2 ) ) + ( ( C / 4 ) / -u S ) ) )
180	166, 172, 179	3eqtr2d 2481	. . . . 5 |- ( ph -> ( J ^ 2 ) = ( ( -u ( -u S ^ 2 ) - ( B / 2 ) ) + ( ( C / 4 ) / -u S ) ) )
181	10, 46, 1, 157, 164, 53, 165, 180	dquartlem1 22249	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( X ^ 2 ) + ( ( M + B ) / 2 ) ) + ( ( ( ( M / 2 ) x. X ) - ( C / 4 ) ) / -u S ) ) = 0 <-> ( X = ( -u -u S + J ) \/ X = ( -u -u S - J ) ) ) )
182	52, 5, 61	divneg2d 10124	. . . . . . 7 |- ( ph -> -u ( ( ( ( M / 2 ) x. X ) - ( C / 4 ) ) / S ) = ( ( ( ( M / 2 ) x. X ) - ( C / 4 ) ) / -u S ) )
183	182	oveq2d 6110	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( X ^ 2 ) + ( ( M + B ) / 2 ) ) + -u ( ( ( ( M / 2 ) x. X ) - ( C / 4 ) ) / S ) ) = ( ( ( X ^ 2 ) + ( ( M + B ) / 2 ) ) + ( ( ( ( M / 2 ) x. X ) - ( C / 4 ) ) / -u S ) ) )
184	147, 148	negsubd 9728	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( X ^ 2 ) + ( ( M + B ) / 2 ) ) + -u ( ( ( ( M / 2 ) x. X ) - ( C / 4 ) ) / S ) ) = ( ( ( X ^ 2 ) + ( ( M + B ) / 2 ) ) - ( ( ( ( M / 2 ) x. X ) - ( C / 4 ) ) / S ) ) )
185	183, 184	eqtr3d 2477	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( X ^ 2 ) + ( ( M + B ) / 2 ) ) + ( ( ( ( M / 2 ) x. X ) - ( C / 4 ) ) / -u S ) ) = ( ( ( X ^ 2 ) + ( ( M + B ) / 2 ) ) - ( ( ( ( M / 2 ) x. X ) - ( C / 4 ) ) / S ) ) )
186	185	eqeq1d 2451	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( X ^ 2 ) + ( ( M + B ) / 2 ) ) + ( ( ( ( M / 2 ) x. X ) - ( C / 4 ) ) / -u S ) ) = 0 <-> ( ( ( X ^ 2 ) + ( ( M + B ) / 2 ) ) - ( ( ( ( M / 2 ) x. X ) - ( C / 4 ) ) / S ) ) = 0 ) )
187	5	negnegd 9713	. . . . . . 7 |- ( ph -> -u -u S = S )
188	187	oveq1d 6109	. . . . . 6 |- ( ph -> ( -u -u S + J ) = ( S + J ) )
189	188	eqeq2d 2454	. . . . 5 |- ( ph -> ( X = ( -u -u S + J ) <-> X = ( S + J ) ) )
190	187	oveq1d 6109	. . . . . 6 |- ( ph -> ( -u -u S - J ) = ( S - J ) )
191	190	eqeq2d 2454	. . . . 5 |- ( ph -> ( X = ( -u -u S - J ) <-> X = ( S - J ) ) )
192	189, 191	orbi12d 709	. . . 4 |- ( ph -> ( ( X = ( -u -u S + J ) \/ X = ( -u -u S - J ) ) <-> ( X = ( S + J ) \/ X = ( S - J ) ) ) )
193	181, 186, 192	3bitr3d 283	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ( X ^ 2 ) + ( ( M + B ) / 2 ) ) - ( ( ( ( M / 2 ) x. X ) - ( C / 4 ) ) / S ) ) = 0 <-> ( X = ( S + J ) \/ X = ( S - J ) ) ) )
194	156, 193	orbi12d 709	. 2 |- ( ph -> ( ( ( ( ( X ^ 2 ) + ( ( M + B ) / 2 ) ) + ( ( ( ( M / 2 ) x. X ) - ( C / 4 ) ) / S ) ) = 0 \/ ( ( ( X ^ 2 ) + ( ( M + B ) / 2 ) ) - ( ( ( ( M / 2 ) x. X ) - ( C / 4 ) ) / S ) ) = 0 ) <-> ( ( X = ( -u S + I ) \/ X = ( -u S - I ) ) \/ ( X = ( S + J ) \/ X = ( S - J ) ) ) ) )
195	152, 155, 194	3bitrd 279	1 |- ( ph -> ( ( ( ( X ^ 4 ) + ( B x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( C x. X ) + D ) ) = 0 <-> ( ( X = ( -u S + I ) \/ X = ( -u S - I ) ) \/ ( X = ( S + J ) \/ X = ( S - J ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   =/= wne 2609  (class class class)co 6094   CCcc 9283   0cc0 9285   + caddc 9288   x. cmul 9290   - cmin 9598   -ucneg 9599   / cdiv 9996   2c2 10374   3c3 10375   4c4 10376   NN0cn0 10582   ^cexp 11868

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375  ax-cnex 9341  ax-resscn 9342  ax-1cn 9343  ax-icn 9344  ax-addcl 9345  ax-addrcl 9346  ax-mulcl 9347  ax-mulrcl 9348  ax-mulcom 9349  ax-addass 9350  ax-mulass 9351  ax-distr 9352  ax-i2m1 9353  ax-1ne0 9354  ax-1rid 9355  ax-rnegex 9356  ax-rrecex 9357  ax-cnre 9358  ax-pre-lttri 9359  ax-pre-lttrn 9360  ax-pre-ltadd 9361  ax-pre-mulgt0 9362

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-nel 2612  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rmo 2726  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-pss 3347  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-tp 3885  df-op 3887  df-uni 4095  df-iun 4176  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-tr 4389  df-eprel 4635  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-fr 4682  df-we 4684  df-ord 4725  df-on 4726  df-lim 4727  df-suc 4728  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-riota 6055  df-ov 6097  df-oprab 6098  df-mpt2 6099  df-om 6480  df-2nd 6581  df-recs 6835  df-rdg 6869  df-er 7104  df-en 7314  df-dom 7315  df-sdom 7316  df-pnf 9423  df-mnf 9424  df-xr 9425  df-ltxr 9426  df-le 9427  df-sub 9600  df-neg 9601  df-div 9997  df-nn 10326  df-2 10383  df-3 10384  df-4 10385  df-n0 10583  df-z 10650  df-uz 10865  df-seq 11810  df-exp 11869

This theorem is referenced by:  quart  22259