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Theorem dquart 20646
Description: Solve a depressed quartic equation. To eliminate  S, which is the square root of a solution  M to the resolvent cubic equation, apply cubic 20642 or one of its variants. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dquart.b  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
dquart.c  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
dquart.x  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
dquart.s  |-  ( ph  ->  S  e.  CC )
dquart.m  |-  ( ph  ->  M  =  ( ( 2  x.  S ) ^ 2 ) )
dquart.m0  |-  ( ph  ->  M  =/=  0 )
dquart.i  |-  ( ph  ->  I  e.  CC )
dquart.i2  |-  ( ph  ->  ( I ^ 2 )  =  ( (
-u ( S ^
2 )  -  ( B  /  2 ) )  +  ( ( C  /  4 )  /  S ) ) )
dquart.d  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
dquart.3  |-  ( ph  ->  ( ( ( M ^ 3 )  +  ( ( 2  x.  B )  x.  ( M ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( ( B ^
2 )  -  (
4  x.  D ) )  x.  M )  +  -u ( C ^
2 ) ) )  =  0 )
dquart.j  |-  ( ph  ->  J  e.  CC )
dquart.j2  |-  ( ph  ->  ( J ^ 2 )  =  ( (
-u ( S ^
2 )  -  ( B  /  2 ) )  -  ( ( C  /  4 )  /  S ) ) )
Assertion
Ref Expression
dquart  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( C  x.  X
)  +  D ) )  =  0  <->  (
( X  =  (
-u S  +  I
)  \/  X  =  ( -u S  -  I ) )  \/  ( X  =  ( S  +  J )  \/  X  =  ( S  -  J ) ) ) ) )

Proof of Theorem dquart
StepHypRef Expression
1 dquart.x . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
21sqcld 11476 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X ^ 2 )  e.  CC )
3 dquart.m . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  =  ( ( 2  x.  S ) ^ 2 ) )
4 2cn 10026 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  CC
5 dquart.s . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  S  e.  CC )
6 mulcl 9030 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  S  e.  CC )  ->  ( 2  x.  S
)  e.  CC )
74, 5, 6sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  S
)  e.  CC )
87sqcld 11476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  S ) ^ 2 )  e.  CC )
93, 8eqeltrd 2478 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
10 dquart.b . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
119, 10addcld 9063 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M  +  B
)  e.  CC )
1211halfcld 10168 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( M  +  B )  /  2
)  e.  CC )
13 binom2 11451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X ^ 2 )  e.  CC  /\  ( ( M  +  B )  /  2
)  e.  CC )  ->  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  / 
2 ) ) ^
2 )  =  ( ( ( ( X ^ 2 ) ^
2 )  +  ( 2  x.  ( ( X ^ 2 )  x.  ( ( M  +  B )  / 
2 ) ) ) )  +  ( ( ( M  +  B
)  /  2 ) ^ 2 ) ) )
142, 12, 13syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  /  2
) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( X ^
2 ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( X ^ 2 )  x.  ( ( M  +  B )  /  2
) ) ) )  +  ( ( ( M  +  B )  /  2 ) ^
2 ) ) )
15 2t2e4 10083 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
1615oveq2i 6051 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X ^ ( 2  x.  2 ) )  =  ( X ^ 4 )
17 2nn0 10194 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  NN0
1817a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  2  e.  NN0 )
191, 18, 18expmuld 11481 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( X ^ (
2  x.  2 ) )  =  ( ( X ^ 2 ) ^ 2 ) )
2016, 19syl5reqr 2451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( X ^
2 ) ^ 2 )  =  ( X ^ 4 ) )
214a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
2221, 2, 12mul12d 9231 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( X ^ 2 )  x.  ( ( M  +  B )  /  2 ) ) )  =  ( ( X ^ 2 )  x.  ( 2  x.  ( ( M  +  B )  /  2
) ) ) )
23 2ne0 10039 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  =/=  0
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  2  =/=  0 )
2511, 21, 24divcan2d 9748 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( M  +  B
)  /  2 ) )  =  ( M  +  B ) )
2625oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( X ^
2 )  x.  (
2  x.  ( ( M  +  B )  /  2 ) ) )  =  ( ( X ^ 2 )  x.  ( M  +  B ) ) )
272, 11mulcomd 9065 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( X ^
2 )  x.  ( M  +  B )
)  =  ( ( M  +  B )  x.  ( X ^
2 ) ) )
2826, 27eqtrd 2436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( X ^
2 )  x.  (
2  x.  ( ( M  +  B )  /  2 ) ) )  =  ( ( M  +  B )  x.  ( X ^
2 ) ) )
299, 10, 2adddird 9069 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( M  +  B )  x.  ( X ^ 2 ) )  =  ( ( M  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) ) )
3022, 28, 293eqtrd 2440 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( X ^ 2 )  x.  ( ( M  +  B )  /  2 ) ) )  =  ( ( M  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) ) )
3120, 30oveq12d 6058 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 2 ) ^
2 )  +  ( 2  x.  ( ( X ^ 2 )  x.  ( ( M  +  B )  / 
2 ) ) ) )  =  ( ( X ^ 4 )  +  ( ( M  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) ) ) )
32 4nn0 10196 . . . . . . . . . . 11  |-  4  e.  NN0
33 expcl 11354 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  CC  /\  4  e.  NN0 )  -> 
( X ^ 4 )  e.  CC )
341, 32, 33sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X ^ 4 )  e.  CC )
359, 2mulcld 9064 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( M  x.  ( X ^ 2 ) )  e.  CC )
3610, 2mulcld 9064 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B  x.  ( X ^ 2 ) )  e.  CC )
3734, 35, 36add12d 9243 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( X ^
4 )  +  ( ( M  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( M  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) ) ) )
3831, 37eqtrd 2436 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 2 ) ^
2 )  +  ( 2  x.  ( ( X ^ 2 )  x.  ( ( M  +  B )  / 
2 ) ) ) )  =  ( ( M  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) ) ) )
3938oveq1d 6055 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X ^ 2 ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  (
( X ^ 2 )  x.  ( ( M  +  B )  /  2 ) ) ) )  +  ( ( ( M  +  B )  /  2
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( M  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( ( M  +  B )  /  2
) ^ 2 ) ) )
4034, 36addcld 9063 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( X ^
4 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  e.  CC )
4112sqcld 11476 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  +  B )  / 
2 ) ^ 2 )  e.  CC )
4235, 40, 41addassd 9066 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( ( X ^
4 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( ( M  +  B )  /  2
) ^ 2 ) )  =  ( ( M  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( M  +  B )  /  2
) ^ 2 ) ) ) )
4314, 39, 423eqtrd 2440 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  /  2
) ) ^ 2 )  =  ( ( M  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( M  +  B )  /  2
) ^ 2 ) ) ) )
449halfcld 10168 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( M  /  2
)  e.  CC )
4544, 1mulcld 9064 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( M  / 
2 )  x.  X
)  e.  CC )
46 dquart.c . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
47 4cn 10030 . . . . . . . . . . . . 13  |-  4  e.  CC
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  4  e.  CC )
49 4nn 10091 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  4  e.  NN
5049nnne0i 9990 . . . . . . . . . . . . 13  |-  4  =/=  0
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  4  =/=  0 )
5246, 48, 51divcld 9746 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( C  /  4
)  e.  CC )
5345, 52subcld 9367 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4 ) )  e.  CC )
54 dquart.m0 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  M  =/=  0 )
553, 54eqnetrrd 2587 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  S ) ^ 2 )  =/=  0 )
56 sqne0 11403 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  x.  S )  e.  CC  ->  (
( ( 2  x.  S ) ^ 2 )  =/=  0  <->  (
2  x.  S )  =/=  0 ) )
577, 56syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  S ) ^
2 )  =/=  0  <->  ( 2  x.  S )  =/=  0 ) )
5855, 57mpbid 202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  S
)  =/=  0 )
59 mulne0b 9619 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  S  e.  CC )  ->  ( ( 2  =/=  0  /\  S  =/=  0 )  <->  ( 2  x.  S )  =/=  0 ) )
604, 5, 59sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 2  =/=  0  /\  S  =/=  0 )  <->  ( 2  x.  S )  =/=  0 ) )
6158, 60mpbird 224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2  =/=  0  /\  S  =/=  0
) )
6261simprd 450 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  =/=  0 )
6353, 5, 21, 62, 24divcan5d 9772 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4 ) ) )  /  ( 2  x.  S ) )  =  ( ( ( ( M  /  2
)  x.  X )  -  ( C  / 
4 ) )  /  S ) )
6421, 45, 52subdid 9445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( ( M  / 
2 )  x.  X
)  -  ( C  /  4 ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( M  /  2 )  x.  X ) )  -  ( 2  x.  ( C  /  4
) ) ) )
6521, 44, 1mulassd 9067 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( M  /  2
) )  x.  X
)  =  ( 2  x.  ( ( M  /  2 )  x.  X ) ) )
669, 21, 24divcan2d 9748 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( M  /  2 ) )  =  M )
6766oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( M  /  2
) )  x.  X
)  =  ( M  x.  X ) )
6865, 67eqtr3d 2438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( M  /  2
)  x.  X ) )  =  ( M  x.  X ) )
6921, 46, 48, 51divassd 9781 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  C )  /  4
)  =  ( 2  x.  ( C  / 
4 ) ) )
7015oveq2i 6051 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  x.  C )  /  ( 2  x.  2 ) )  =  ( ( 2  x.  C )  /  4
)
7146, 21, 21, 24, 24divcan5d 9772 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  C )  /  (
2  x.  2 ) )  =  ( C  /  2 ) )
7270, 71syl5eqr 2450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  C )  /  4
)  =  ( C  /  2 ) )
7369, 72eqtr3d 2438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( C  /  4 ) )  =  ( C  / 
2 ) )
7468, 73oveq12d 6058 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( ( M  / 
2 )  x.  X
) )  -  (
2  x.  ( C  /  4 ) ) )  =  ( ( M  x.  X )  -  ( C  / 
2 ) ) )
7564, 74eqtrd 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( ( M  / 
2 )  x.  X
)  -  ( C  /  4 ) ) )  =  ( ( M  x.  X )  -  ( C  / 
2 ) ) )
7675oveq1d 6055 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4 ) ) )  /  ( 2  x.  S ) )  =  ( ( ( M  x.  X )  -  ( C  / 
2 ) )  / 
( 2  x.  S
) ) )
7763, 76eqtr3d 2438 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4
) )  /  S
)  =  ( ( ( M  x.  X
)  -  ( C  /  2 ) )  /  ( 2  x.  S ) ) )
7877oveq1d 6055 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( M  /  2
)  x.  X )  -  ( C  / 
4 ) )  /  S ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( M  x.  X )  -  ( C  /  2 ) )  /  ( 2  x.  S ) ) ^
2 ) )
799, 1mulcld 9064 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M  x.  X
)  e.  CC )
8046halfcld 10168 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( C  /  2
)  e.  CC )
8179, 80subcld 9367 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  X )  -  ( C  /  2 ) )  e.  CC )
8281, 7, 58sqdivd 11491 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M  x.  X )  -  ( C  / 
2 ) )  / 
( 2  x.  S
) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( M  x.  X )  -  ( C  /  2 ) ) ^ 2 )  / 
( ( 2  x.  S ) ^ 2 ) ) )
839sqcld 11476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( M ^ 2 )  e.  CC )
8483, 2mulcld 9064 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( M ^
2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  e.  CC )
8579, 46mulcld 9064 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  X )  x.  C
)  e.  CC )
8684, 85subcld 9367 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( M ^ 2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  -  (
( M  x.  X
)  x.  C ) )  e.  CC )
8746sqcld 11476 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  e.  CC )
8887, 48, 51divcld 9746 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( C ^
2 )  /  4
)  e.  CC )
8986, 88, 9, 54divdird 9784 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( M ^ 2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( M  x.  X )  x.  C ) )  +  ( ( C ^
2 )  /  4
) )  /  M
)  =  ( ( ( ( ( M ^ 2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  -  (
( M  x.  X
)  x.  C ) )  /  M )  +  ( ( ( C ^ 2 )  /  4 )  /  M ) ) )
90 binom2sub 11453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  x.  X
)  e.  CC  /\  ( C  /  2
)  e.  CC )  ->  ( ( ( M  x.  X )  -  ( C  / 
2 ) ) ^
2 )  =  ( ( ( ( M  x.  X ) ^
2 )  -  (
2  x.  ( ( M  x.  X )  x.  ( C  / 
2 ) ) ) )  +  ( ( C  /  2 ) ^ 2 ) ) )
9179, 80, 90syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  x.  X )  -  ( C  /  2
) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( M  x.  X ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( ( M  x.  X )  x.  ( C  /  2
) ) ) )  +  ( ( C  /  2 ) ^
2 ) ) )
929, 1sqmuld 11490 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  X ) ^ 2 )  =  ( ( M ^ 2 )  x.  ( X ^
2 ) ) )
9321, 79, 80mul12d 9231 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( M  x.  X
)  x.  ( C  /  2 ) ) )  =  ( ( M  x.  X )  x.  ( 2  x.  ( C  /  2
) ) ) )
9446, 21, 24divcan2d 9748 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( C  /  2 ) )  =  C )
9594oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  X )  x.  (
2  x.  ( C  /  2 ) ) )  =  ( ( M  x.  X )  x.  C ) )
9693, 95eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( M  x.  X
)  x.  ( C  /  2 ) ) )  =  ( ( M  x.  X )  x.  C ) )
9792, 96oveq12d 6058 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  x.  X ) ^
2 )  -  (
2  x.  ( ( M  x.  X )  x.  ( C  / 
2 ) ) ) )  =  ( ( ( M ^ 2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( M  x.  X )  x.  C ) ) )
9846, 21, 24sqdivd 11491 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( C  / 
2 ) ^ 2 )  =  ( ( C ^ 2 )  /  ( 2 ^ 2 ) ) )
99 sq2 11432 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2 ^ 2 )  =  4
10099oveq2i 6051 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C ^ 2 )  /  ( 2 ^ 2 ) )  =  ( ( C ^
2 )  /  4
)
10198, 100syl6eq 2452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( C  / 
2 ) ^ 2 )  =  ( ( C ^ 2 )  /  4 ) )
10297, 101oveq12d 6058 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M  x.  X ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  (
( M  x.  X
)  x.  ( C  /  2 ) ) ) )  +  ( ( C  /  2
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( M ^
2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( M  x.  X )  x.  C ) )  +  ( ( C ^
2 )  /  4
) ) )
10391, 102eqtr2d 2437 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M ^ 2 )  x.  ( X ^
2 ) )  -  ( ( M  x.  X )  x.  C
) )  +  ( ( C ^ 2 )  /  4 ) )  =  ( ( ( M  x.  X
)  -  ( C  /  2 ) ) ^ 2 ) )
104103, 3oveq12d 6058 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( M ^ 2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( M  x.  X )  x.  C ) )  +  ( ( C ^
2 )  /  4
) )  /  M
)  =  ( ( ( ( M  x.  X )  -  ( C  /  2 ) ) ^ 2 )  / 
( ( 2  x.  S ) ^ 2 ) ) )
10584, 85, 9, 54divsubdird 9785 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M ^ 2 )  x.  ( X ^
2 ) )  -  ( ( M  x.  X )  x.  C
) )  /  M
)  =  ( ( ( ( M ^
2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  /  M )  -  ( ( ( M  x.  X )  x.  C )  /  M
) ) )
10683, 2, 9, 54div23d 9783 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( M ^ 2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  /  M
)  =  ( ( ( M ^ 2 )  /  M )  x.  ( X ^
2 ) ) )
1079sqvald 11475 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( M ^ 2 )  =  ( M  x.  M ) )
108107oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( M ^
2 )  /  M
)  =  ( ( M  x.  M )  /  M ) )
1099, 9, 54divcan3d 9751 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  M )  /  M
)  =  M )
110108, 109eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( M ^
2 )  /  M
)  =  M )
111110oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( M ^ 2 )  /  M )  x.  ( X ^ 2 ) )  =  ( M  x.  ( X ^ 2 ) ) )
112106, 111eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( M ^ 2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  /  M
)  =  ( M  x.  ( X ^
2 ) ) )
1139, 1, 46mul32d 9232 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  X )  x.  C
)  =  ( ( M  x.  C )  x.  X ) )
1149, 46, 1mulassd 9067 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  C )  x.  X
)  =  ( M  x.  ( C  x.  X ) ) )
115113, 114eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  X )  x.  C
)  =  ( M  x.  ( C  x.  X ) ) )
116115oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  x.  X )  x.  C )  /  M
)  =  ( ( M  x.  ( C  x.  X ) )  /  M ) )
11746, 1mulcld 9064 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( C  x.  X
)  e.  CC )
118117, 9, 54divcan3d 9751 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  ( C  x.  X
) )  /  M
)  =  ( C  x.  X ) )
119116, 118eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  x.  X )  x.  C )  /  M
)  =  ( C  x.  X ) )
120112, 119oveq12d 6058 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M ^ 2 )  x.  ( X ^
2 ) )  /  M )  -  (
( ( M  x.  X )  x.  C
)  /  M ) )  =  ( ( M  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( C  x.  X ) ) )
121105, 120eqtrd 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M ^ 2 )  x.  ( X ^
2 ) )  -  ( ( M  x.  X )  x.  C
) )  /  M
)  =  ( ( M  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( C  x.  X ) ) )
122121oveq1d 6055 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( M ^ 2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( M  x.  X )  x.  C ) )  /  M )  +  ( ( ( C ^
2 )  /  4
)  /  M ) )  =  ( ( ( M  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( C  x.  X ) )  +  ( ( ( C ^ 2 )  / 
4 )  /  M
) ) )
12388, 9, 54divcld 9746 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( C ^ 2 )  / 
4 )  /  M
)  e.  CC )
12435, 117, 123subsubd 9395 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( C  x.  X )  -  ( ( ( C ^ 2 )  /  4 )  /  M ) ) )  =  ( ( ( M  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( C  x.  X ) )  +  ( ( ( C ^ 2 )  / 
4 )  /  M
) ) )
125122, 124eqtr4d 2439 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( M ^ 2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( M  x.  X )  x.  C ) )  /  M )  +  ( ( ( C ^
2 )  /  4
)  /  M ) )  =  ( ( M  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( C  x.  X )  -  ( ( ( C ^ 2 )  / 
4 )  /  M
) ) ) )
12689, 104, 1253eqtr3d 2444 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M  x.  X )  -  ( C  / 
2 ) ) ^
2 )  /  (
( 2  x.  S
) ^ 2 ) )  =  ( ( M  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( C  x.  X )  -  ( ( ( C ^ 2 )  / 
4 )  /  M
) ) ) )
12778, 82, 1263eqtrd 2440 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( M  /  2
)  x.  X )  -  ( C  / 
4 ) )  /  S ) ^ 2 )  =  ( ( M  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( C  x.  X )  -  ( ( ( C ^ 2 )  / 
4 )  /  M
) ) ) )
12843, 127oveq12d 6058 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  / 
2 ) ) ^
2 )  -  (
( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4
) )  /  S
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( M  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( M  +  B )  /  2
) ^ 2 ) ) )  -  (
( M  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( C  x.  X )  -  ( ( ( C ^ 2 )  / 
4 )  /  M
) ) ) ) )
12940, 41addcld 9063 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( M  +  B
)  /  2 ) ^ 2 ) )  e.  CC )
130117, 123subcld 9367 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( C  x.  X )  -  (
( ( C ^
2 )  /  4
)  /  M ) )  e.  CC )
13135, 129, 130pnncand 9406 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( M  +  B
)  /  2 ) ^ 2 ) ) )  -  ( ( M  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( C  x.  X )  -  ( ( ( C ^ 2 )  / 
4 )  /  M
) ) ) )  =  ( ( ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^
2 ) ) )  +  ( ( ( M  +  B )  /  2 ) ^
2 ) )  +  ( ( C  x.  X )  -  (
( ( C ^
2 )  /  4
)  /  M ) ) ) )
132123negcld 9354 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
-u ( ( ( C ^ 2 )  /  4 )  /  M )  e.  CC )
13340, 41, 117, 132add4d 9245 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( M  +  B )  /  2
) ^ 2 ) )  +  ( ( C  x.  X )  +  -u ( ( ( C ^ 2 )  /  4 )  /  M ) ) )  =  ( ( ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^
2 ) ) )  +  ( C  x.  X ) )  +  ( ( ( ( M  +  B )  /  2 ) ^
2 )  +  -u ( ( ( C ^ 2 )  / 
4 )  /  M
) ) ) )
134117, 123negsubd 9373 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( C  x.  X )  +  -u ( ( ( C ^ 2 )  / 
4 )  /  M
) )  =  ( ( C  x.  X
)  -  ( ( ( C ^ 2 )  /  4 )  /  M ) ) )
135134oveq2d 6056 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( M  +  B )  /  2
) ^ 2 ) )  +  ( ( C  x.  X )  +  -u ( ( ( C ^ 2 )  /  4 )  /  M ) ) )  =  ( ( ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^
2 ) ) )  +  ( ( ( M  +  B )  /  2 ) ^
2 ) )  +  ( ( C  x.  X )  -  (
( ( C ^
2 )  /  4
)  /  M ) ) ) )
13641, 123negsubd 9373 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M  +  B )  /  2 ) ^
2 )  +  -u ( ( ( C ^ 2 )  / 
4 )  /  M
) )  =  ( ( ( ( M  +  B )  / 
2 ) ^ 2 )  -  ( ( ( C ^ 2 )  /  4 )  /  M ) ) )
137 dquart.i . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  I  e.  CC )
138 dquart.i2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( I ^ 2 )  =  ( (
-u ( S ^
2 )  -  ( B  /  2 ) )  +  ( ( C  /  4 )  /  S ) ) )
139 dquart.d . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
140 dquart.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( M ^ 3 )  +  ( ( 2  x.  B )  x.  ( M ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( ( B ^
2 )  -  (
4  x.  D ) )  x.  M )  +  -u ( C ^
2 ) ) )  =  0 )
14110, 46, 1, 5, 3, 54, 137, 138, 139, 140dquartlem2 20645 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M  +  B )  /  2 ) ^
2 )  -  (
( ( C ^
2 )  /  4
)  /  M ) )  =  D )
142136, 141eqtrd 2436 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M  +  B )  /  2 ) ^
2 )  +  -u ( ( ( C ^ 2 )  / 
4 )  /  M
) )  =  D )
143142oveq2d 6056 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( C  x.  X ) )  +  ( ( ( ( M  +  B )  /  2
) ^ 2 )  +  -u ( ( ( C ^ 2 )  /  4 )  /  M ) ) )  =  ( ( ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^
2 ) ) )  +  ( C  x.  X ) )  +  D ) )
14440, 117, 139addassd 9066 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( C  x.  X ) )  +  D )  =  ( ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( C  x.  X
)  +  D ) ) )
145143, 144eqtrd 2436 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( C  x.  X ) )  +  ( ( ( ( M  +  B )  /  2
) ^ 2 )  +  -u ( ( ( C ^ 2 )  /  4 )  /  M ) ) )  =  ( ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( C  x.  X
)  +  D ) ) )
146133, 135, 1453eqtr3d 2444 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( M  +  B )  /  2
) ^ 2 ) )  +  ( ( C  x.  X )  -  ( ( ( C ^ 2 )  /  4 )  /  M ) ) )  =  ( ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( C  x.  X
)  +  D ) ) )
147128, 131, 1463eqtrd 2440 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  / 
2 ) ) ^
2 )  -  (
( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4
) )  /  S
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^
2 ) ) )  +  ( ( C  x.  X )  +  D ) ) )
1482, 12addcld 9063 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( X ^
2 )  +  ( ( M  +  B
)  /  2 ) )  e.  CC )
14953, 5, 62divcld 9746 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4
) )  /  S
)  e.  CC )
150 subsq 11443 . . . . 5  |-  ( ( ( ( X ^
2 )  +  ( ( M  +  B
)  /  2 ) )  e.  CC  /\  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4
) )  /  S
)  e.  CC )  ->  ( ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  /  2 ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( ( ( M  /  2
)  x.  X )  -  ( C  / 
4 ) )  /  S ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  /  2
) )  +  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4 ) )  /  S ) )  x.  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  / 
2 ) )  -  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4
) )  /  S
) ) ) )
151148, 149, 150syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  / 
2 ) ) ^
2 )  -  (
( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4
) )  /  S
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( X ^
2 )  +  ( ( M  +  B
)  /  2 ) )  +  ( ( ( ( M  / 
2 )  x.  X
)  -  ( C  /  4 ) )  /  S ) )  x.  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  / 
2 ) )  -  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4
) )  /  S
) ) ) )
152147, 151eqtr3d 2438 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( C  x.  X )  +  D ) )  =  ( ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  /  2 ) )  +  ( ( ( ( M  /  2
)  x.  X )  -  ( C  / 
4 ) )  /  S ) )  x.  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  /  2
) )  -  (
( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4 ) )  /  S ) ) ) )
153152eqeq1d 2412 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( C  x.  X
)  +  D ) )  =  0  <->  (
( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  /  2
) )  +  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4 ) )  /  S ) )  x.  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  / 
2 ) )  -  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4
) )  /  S
) ) )  =  0 ) )
154148, 149addcld 9063 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  /  2
) )  +  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4 ) )  /  S ) )  e.  CC )
155148, 149subcld 9367 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  /  2
) )  -  (
( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4 ) )  /  S ) )  e.  CC )
156154, 155mul0ord 9628 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  /  2 ) )  +  ( ( ( ( M  /  2
)  x.  X )  -  ( C  / 
4 ) )  /  S ) )  x.  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  /  2
) )  -  (
( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4 ) )  /  S ) ) )  =  0  <->  (
( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  /  2
) )  +  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4 ) )  /  S ) )  =  0  \/  (
( ( X ^
2 )  +  ( ( M  +  B
)  /  2 ) )  -  ( ( ( ( M  / 
2 )  x.  X
)  -  ( C  /  4 ) )  /  S ) )  =  0 ) ) )
15710, 46, 1, 5, 3, 54, 137, 138dquartlem1 20644 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  / 
2 ) )  +  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4
) )  /  S
) )  =  0  <-> 
( X  =  (
-u S  +  I
)  \/  X  =  ( -u S  -  I ) ) ) )
1585negcld 9354 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
-u S  e.  CC )
159 sqneg 11397 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  x.  S )  e.  CC  ->  ( -u ( 2  x.  S
) ^ 2 )  =  ( ( 2  x.  S ) ^
2 ) )
1607, 159syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( -u ( 2  x.  S ) ^
2 )  =  ( ( 2  x.  S
) ^ 2 ) )
1613, 160eqtr4d 2439 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  =  ( -u ( 2  x.  S
) ^ 2 ) )
162 mulneg2 9427 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  S  e.  CC )  ->  ( 2  x.  -u S
)  =  -u (
2  x.  S ) )
1634, 5, 162sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  -u S
)  =  -u (
2  x.  S ) )
164163oveq1d 6055 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  -u S ) ^ 2 )  =  ( -u ( 2  x.  S
) ^ 2 ) )
165161, 164eqtr4d 2439 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  =  ( ( 2  x.  -u S
) ^ 2 ) )
166 dquart.j . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  CC )
167 dquart.j2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( J ^ 2 )  =  ( (
-u ( S ^
2 )  -  ( B  /  2 ) )  -  ( ( C  /  4 )  /  S ) ) )
1685sqcld 11476 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( S ^ 2 )  e.  CC )
169168negcld 9354 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
-u ( S ^
2 )  e.  CC )
17010halfcld 10168 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  /  2
)  e.  CC )
171169, 170subcld 9367 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( -u ( S ^ 2 )  -  ( B  /  2
) )  e.  CC )
17252, 5, 62divcld 9746 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( C  / 
4 )  /  S
)  e.  CC )
173171, 172negsubd 9373 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( -u ( S ^ 2 )  -  ( B  /  2
) )  +  -u ( ( C  / 
4 )  /  S
) )  =  ( ( -u ( S ^ 2 )  -  ( B  /  2
) )  -  (
( C  /  4
)  /  S ) ) )
174 sqneg 11397 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  CC  ->  ( -u S ^ 2 )  =  ( S ^
2 ) )
1755, 174syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( -u S ^
2 )  =  ( S ^ 2 ) )
176175eqcomd 2409 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( S ^ 2 )  =  ( -u S ^ 2 ) )
177176negeqd 9256 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
-u ( S ^
2 )  =  -u ( -u S ^ 2 ) )
178177oveq1d 6055 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( -u ( S ^ 2 )  -  ( B  /  2
) )  =  (
-u ( -u S ^ 2 )  -  ( B  /  2
) ) )
17952, 5, 62divneg2d 9760 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
-u ( ( C  /  4 )  /  S )  =  ( ( C  /  4
)  /  -u S
) )
180178, 179oveq12d 6058 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( -u ( S ^ 2 )  -  ( B  /  2
) )  +  -u ( ( C  / 
4 )  /  S
) )  =  ( ( -u ( -u S ^ 2 )  -  ( B  /  2
) )  +  ( ( C  /  4
)  /  -u S
) ) )
181167, 173, 1803eqtr2d 2442 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( J ^ 2 )  =  ( (
-u ( -u S ^ 2 )  -  ( B  /  2
) )  +  ( ( C  /  4
)  /  -u S
) ) )
18210, 46, 1, 158, 165, 54, 166, 181dquartlem1 20644 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  / 
2 ) )  +  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4
) )  /  -u S
) )  =  0  <-> 
( X  =  (
-u -u S  +  J
)  \/  X  =  ( -u -u S  -  J ) ) ) )
18353, 5, 62divneg2d 9760 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
-u ( ( ( ( M  /  2
)  x.  X )  -  ( C  / 
4 ) )  /  S )  =  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4 ) )  /  -u S ) )
184183oveq2d 6056 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  /  2
) )  +  -u ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4
) )  /  S
) )  =  ( ( ( X ^
2 )  +  ( ( M  +  B
)  /  2 ) )  +  ( ( ( ( M  / 
2 )  x.  X
)  -  ( C  /  4 ) )  /  -u S ) ) )
185148, 149negsubd 9373 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  /  2
) )  +  -u ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4
) )  /  S
) )  =  ( ( ( X ^
2 )  +  ( ( M  +  B
)  /  2 ) )  -  ( ( ( ( M  / 
2 )  x.  X
)  -  ( C  /  4 ) )  /  S ) ) )
186184, 185eqtr3d 2438 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  /  2
) )  +  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4 ) )  /  -u S ) )  =  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  / 
2 ) )  -  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4
) )  /  S
) ) )
187186eqeq1d 2412 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  / 
2 ) )  +  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4
) )  /  -u S
) )  =  0  <-> 
( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  /  2
) )  -  (
( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4 ) )  /  S ) )  =  0 ) )
1885negnegd 9358 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
-u -u S  =  S )
189188oveq1d 6055 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( -u -u S  +  J )  =  ( S  +  J ) )
190189eqeq2d 2415 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  =  (
-u -u S  +  J
)  <->  X  =  ( S  +  J )
) )
191188oveq1d 6055 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( -u -u S  -  J )  =  ( S  -  J ) )
192191eqeq2d 2415 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  =  (
-u -u S  -  J
)  <->  X  =  ( S  -  J )
) )
193190, 192orbi12d 691 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( X  =  ( -u -u S  +  J )  \/  X  =  ( -u -u S  -  J ) )  <->  ( X  =  ( S  +  J )  \/  X  =  ( S  -  J ) ) ) )
194182, 187, 1933bitr3d 275 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  / 
2 ) )  -  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4
) )  /  S
) )  =  0  <-> 
( X  =  ( S  +  J )  \/  X  =  ( S  -  J ) ) ) )
195157, 194orbi12d 691 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  /  2 ) )  +  ( ( ( ( M  /  2
)  x.  X )  -  ( C  / 
4 ) )  /  S ) )  =  0  \/  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  /  2 ) )  -  ( ( ( ( M  /  2
)  x.  X )  -  ( C  / 
4 ) )  /  S ) )  =  0 )  <->  ( ( X  =  ( -u S  +  I )  \/  X  =  ( -u S  -  I ) )  \/  ( X  =  ( S  +  J )  \/  X  =  ( S  -  J ) ) ) ) )
196153, 156, 1953bitrd 271 1  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( C  x.  X
)  +  D ) )  =  0  <->  (
( X  =  (
-u S  +  I
)  \/  X  =  ( -u S  -  I ) )  \/  ( X  =  ( S  +  J )  \/  X  =  ( S  -  J ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567  (class class class)co 6040   CCcc 8944   0cc0 8946    + caddc 8949    x. cmul 8951    - cmin 9247   -ucneg 9248    / cdiv 9633   2c2 10005   3c3 10006   4c4 10007   NN0cn0 10177   ^cexp 11337
This theorem is referenced by:  quart  20654
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-seq 11279  df-exp 11338
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