MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdval0prc Structured version   Unicode version

Theorem dprdval0prc 16906
Description: The internal direct product of a family of subgroups indexed by a proper class is empty. (Contributed by AV, 13-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
dprdval0prc  |-  ( dom 
S  e/  _V  ->  ( G DProd  S )  =  (/) )

Proof of Theorem dprdval0prc
StepHypRef Expression
1 df-nel 2665 . . 3  |-  ( dom 
S  e/  _V  <->  -.  dom  S  e.  _V )
2 dmexg 6726 . . . 4  |-  ( S  e.  _V  ->  dom  S  e.  _V )
32con3i 135 . . 3  |-  ( -. 
dom  S  e.  _V  ->  -.  S  e.  _V )
41, 3sylbi 195 . 2  |-  ( dom 
S  e/  _V  ->  -.  S  e.  _V )
5 reldmdprd 16901 . . 3  |-  Rel  dom DProd
65ovprc2 6324 . 2  |-  ( -.  S  e.  _V  ->  ( G DProd  S )  =  (/) )
74, 6syl 16 1  |-  ( dom 
S  e/  _V  ->  ( G DProd  S )  =  (/) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767    e/ wnel 2663   _Vcvv 3118   (/)c0 3790   dom cdm 5005  (class class class)co 6295   DProd cdprd 16897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-opab 4512  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-dm 5015  df-rn 5016  df-iota 5557  df-fv 5602  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-dprd 16899
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator