MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdval0prc Structured version   Unicode version

Theorem dprdval0prc 17159
Description: The internal direct product of a family of subgroups indexed by a proper class is empty. (Contributed by AV, 13-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
dprdval0prc  |-  ( dom 
S  e/  _V  ->  ( G DProd  S )  =  (/) )

Proof of Theorem dprdval0prc
StepHypRef Expression
1 df-nel 2655 . . 3  |-  ( dom 
S  e/  _V  <->  -.  dom  S  e.  _V )
2 dmexg 6730 . . . 4  |-  ( S  e.  _V  ->  dom  S  e.  _V )
32con3i 135 . . 3  |-  ( -. 
dom  S  e.  _V  ->  -.  S  e.  _V )
41, 3sylbi 195 . 2  |-  ( dom 
S  e/  _V  ->  -.  S  e.  _V )
5 reldmdprd 17154 . . 3  |-  Rel  dom DProd
65ovprc2 6328 . 2  |-  ( -.  S  e.  _V  ->  ( G DProd  S )  =  (/) )
74, 6syl 16 1  |-  ( dom 
S  e/  _V  ->  ( G DProd  S )  =  (/) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    = wceq 1395    e. wcel 1819    e/ wnel 2653   _Vcvv 3109   (/)c0 3793   dom cdm 5008  (class class class)co 6296   DProd cdprd 17150
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-opab 4516  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-dm 5018  df-rn 5019  df-iota 5557  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-dprd 17152
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator