Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdval Structured version   Unicode version

Theorem dprdval 17352
 Description: The value of the internal direct product operation, which is a function mapping the (infinite, but finitely supported) cartesian product of subgroups (which mutually commute and have trivial intersections) to its (group) sum . (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 11-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dprdval.0
dprdval.w finSupp
Assertion
Ref Expression
dprdval DProd DProd g
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,,)

Proof of Theorem dprdval
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 455 . 2 DProd DProd
2 reldmdprd 17346 . . . . . 6 DProd
32brrelex2i 4864 . . . . 5 DProd
43adantr 463 . . . 4 DProd
52brrelexi 4863 . . . . . 6 DProd
6 breq1 4397 . . . . . . . 8 DProd DProd
7 oveq1 6284 . . . . . . . . 9 DProd DProd
8 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . . 14
9 dprdval.0 . . . . . . . . . . . . . 14
108, 9syl6eqr 2461 . . . . . . . . . . . . 13
1110breq2d 4406 . . . . . . . . . . . 12 finSupp finSupp
1211rabbidv 3050 . . . . . . . . . . 11 finSupp finSupp
13 oveq1 6284 . . . . . . . . . . 11 g g
1412, 13mpteq12dv 4472 . . . . . . . . . 10 finSupp g finSupp g
1514rneqd 5050 . . . . . . . . 9 finSupp g finSupp g
167, 15eqeq12d 2424 . . . . . . . 8 DProd finSupp g DProd finSupp g
176, 16imbi12d 318 . . . . . . 7 DProd DProd finSupp g DProd DProd finSupp g
18 df-br 4395 . . . . . . . . 9 DProd DProd
19 fvex 5858 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2019rgenw 2764 . . . . . . . . . . . . . . . 16
21 ixpexg 7530 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2220, 21ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15
2322mptrabex 6124 . . . . . . . . . . . . . 14 finSupp g
2423rnex 6717 . . . . . . . . . . . . 13 finSupp g
2524rgen2w 2765 . . . . . . . . . . . 12 SubGrp Cntz mrClsSubGrp finSupp g
26 df-dprd 17344 . . . . . . . . . . . . 13 DProd SubGrp Cntz mrClsSubGrp finSupp g
2726fmpt2x 6849 . . . . . . . . . . . 12 SubGrp Cntz mrClsSubGrp finSupp g DProd SubGrp Cntz mrClsSubGrp
2825, 27mpbi 208 . . . . . . . . . . 11 DProd SubGrp Cntz mrClsSubGrp
2928fdmi 5718 . . . . . . . . . 10 DProd SubGrp Cntz mrClsSubGrp
3029eleq2i 2480 . . . . . . . . 9 DProd SubGrp Cntz mrClsSubGrp
31 opeliunxp 4874 . . . . . . . . 9 SubGrp Cntz mrClsSubGrp SubGrp Cntz mrClsSubGrp
3218, 30, 313bitri 271 . . . . . . . 8 DProd SubGrp Cntz mrClsSubGrp
3326ovmpt4g 6405 . . . . . . . . 9 SubGrp Cntz mrClsSubGrp finSupp g DProd finSupp g
3424, 33mp3an3 1315 . . . . . . . 8 SubGrp Cntz mrClsSubGrp DProd finSupp g
3532, 34sylbi 195 . . . . . . 7 DProd DProd finSupp g
3617, 35vtoclg 3116 . . . . . 6 DProd DProd finSupp g
375, 36mpcom 34 . . . . 5 DProd DProd finSupp g
3837sbcth 3291 . . . 4 DProd DProd finSupp g
394, 38syl 17 . . 3 DProd DProd DProd finSupp g
40 simpr 459 . . . . . 6 DProd
4140breq2d 4406 . . . . 5 DProd DProd DProd
4240oveq2d 6293 . . . . . 6 DProd DProd DProd
4340dmeqd 5025 . . . . . . . . . . . . 13 DProd
44 simplr 754 . . . . . . . . . . . . 13 DProd
4543, 44eqtrd 2443 . . . . . . . . . . . 12 DProd
4645ixpeq1d 7518 . . . . . . . . . . 11 DProd
4740fveq1d 5850 . . . . . . . . . . . 12 DProd
4847ixpeq2dv 7522 . . . . . . . . . . 11 DProd
4946, 48eqtrd 2443 . . . . . . . . . 10 DProd
50 biidd 237 . . . . . . . . . 10 DProd finSupp finSupp
5149, 50rabeqbidv 3053 . . . . . . . . 9 DProd finSupp finSupp
52 dprdval.w . . . . . . . . 9 finSupp
5351, 52syl6eqr 2461 . . . . . . . 8 DProd finSupp
54 eqidd 2403 . . . . . . . 8 DProd g g
5553, 54mpteq12dv 4472 . . . . . . 7 DProd finSupp g g
5655rneqd 5050 . . . . . 6 DProd finSupp g g
5742, 56eqeq12d 2424 . . . . 5 DProd DProd finSupp g DProd g
5841, 57imbi12d 318 . . . 4 DProd DProd DProd finSupp g DProd DProd g
594, 58sbcied 3313 . . 3 DProd DProd DProd finSupp g DProd DProd g
6039, 59mpbid 210 . 2 DProd DProd DProd g
611, 60mpd 15 1 DProd DProd g
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 367   wceq 1405   wcel 1842  cab 2387  wral 2753  crab 2757  cvv 3058  wsbc 3276   cdif 3410   cin 3412   wss 3413  csn 3971  cop 3977  cuni 4190  ciun 4270   class class class wbr 4394   cmpt 4452   cxp 4820   cdm 4822   crn 4823  cima 4825  wf 5564  cfv 5568  (class class class)co 6277  cixp 7506   finSupp cfsupp 7862  c0g 15052   g cgsu 15053  mrClscmrc 15195  cgrp 16375  SubGrpcsubg 16517  Cntzccntz 16675   DProd cdprd 17342 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-ixp 7507  df-dprd 17344 This theorem is referenced by:  eldprd  17353  dprdlub  17391
 Copyright terms: Public domain W3C validator