MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdub Structured version   Unicode version

Theorem dprdub 16921
Description: Each factor is a subset of the internal direct product. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dprdub.1  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
dprdub.2  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
dprdub.3  |-  ( ph  ->  X  e.  I )
Assertion
Ref Expression
dprdub  |-  ( ph  ->  ( S `  X
)  C_  ( G DProd  S ) )

Proof of Theorem dprdub
Dummy variables  h  i  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
2 eqid 2467 . . . . . 6  |-  { h  e.  X_ i  e.  I 
( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) }  =  { h  e.  X_ i  e.  I 
( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) }
3 dprdub.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
43adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( S `  X ) )  ->  G dom DProd  S )
5 dprdub.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
65adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( S `  X ) )  ->  dom  S  =  I )
7 dprdub.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  I )
87adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( S `  X ) )  ->  X  e.  I )
9 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( S `  X ) )  ->  x  e.  ( S `  X ) )
10 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  x ,  ( 0g `  G ) ) )  =  ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  x ,  ( 0g `  G ) ) )
111, 2, 4, 6, 8, 9, 10dprdfid 16906 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( S `  X ) )  ->  ( (
n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  x ,  ( 0g `  G ) ) )  e.  {
h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp 
( 0g `  G
) }  /\  ( G  gsumg  ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  x ,  ( 0g `  G
) ) ) )  =  x ) )
1211simprd 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( S `  X ) )  ->  ( G  gsumg  ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  x ,  ( 0g `  G ) ) ) )  =  x )
1311simpld 459 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( S `  X ) )  ->  ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  x ,  ( 0g `  G ) ) )  e.  { h  e.  X_ i  e.  I 
( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } )
141, 2, 4, 6, 13eldprdi 16907 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( S `  X ) )  ->  ( G  gsumg  ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  x ,  ( 0g `  G ) ) ) )  e.  ( G DProd  S ) )
1512, 14eqeltrrd 2556 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( S `  X ) )  ->  x  e.  ( G DProd  S ) )
1615ex 434 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( S `  X )  ->  x  e.  ( G DProd  S ) ) )
1716ssrdv 3515 1  |-  ( ph  ->  ( S `  X
)  C_  ( G DProd  S ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   {crab 2821    C_ wss 3481   ifcif 3944   class class class wbr 4452    |-> cmpt 4510   dom cdm 5004   ` cfv 5593  (class class class)co 6294   X_cixp 7479   finSupp cfsupp 7839   0gc0g 14707    gsumg cgsu 14708   DProd cdprd 16874
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586  ax-inf2 8068  ax-cnex 9558  ax-resscn 9559  ax-1cn 9560  ax-icn 9561  ax-addcl 9562  ax-addrcl 9563  ax-mulcl 9564  ax-mulrcl 9565  ax-mulcom 9566  ax-addass 9567  ax-mulass 9568  ax-distr 9569  ax-i2m1 9570  ax-1ne0 9571  ax-1rid 9572  ax-rnegex 9573  ax-rrecex 9574  ax-cnre 9575  ax-pre-lttri 9576  ax-pre-lttrn 9577  ax-pre-ltadd 9578  ax-pre-mulgt0 9579
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4251  df-int 4288  df-iun 4332  df-iin 4333  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6255  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-om 6695  df-1st 6794  df-2nd 6795  df-supp 6912  df-recs 7052  df-rdg 7086  df-1o 7140  df-oadd 7144  df-er 7321  df-ixp 7480  df-en 7527  df-dom 7528  df-sdom 7529  df-fin 7530  df-fsupp 7840  df-oi 7945  df-card 8330  df-pnf 9640  df-mnf 9641  df-xr 9642  df-ltxr 9643  df-le 9644  df-sub 9817  df-neg 9818  df-nn 10547  df-2 10604  df-n0 10806  df-z 10875  df-uz 11093  df-fz 11683  df-fzo 11803  df-seq 12086  df-hash 12384  df-ndx 14505  df-slot 14506  df-base 14507  df-sets 14508  df-ress 14509  df-plusg 14580  df-0g 14709  df-gsum 14710  df-mre 14853  df-mrc 14854  df-acs 14856  df-mgm 15741  df-sgrp 15764  df-mnd 15774  df-submnd 15820  df-grp 15906  df-mulg 15909  df-subg 16047  df-cntz 16204  df-cmn 16650  df-dprd 16876
This theorem is referenced by:  dprdspan  16923  dprd2dlem2  16938  dprd2da  16940  dmdprdsplit2lem  16943  dprdsplit  16946  dpjrid  16960  ablfac1c  16971
  Copyright terms: Public domain W3C validator