MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdub Structured version   Unicode version

Theorem dprdub 16946
Description: Each factor is a subset of the internal direct product. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dprdub.1  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
dprdub.2  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
dprdub.3  |-  ( ph  ->  X  e.  I )
Assertion
Ref Expression
dprdub  |-  ( ph  ->  ( S `  X
)  C_  ( G DProd  S ) )

Proof of Theorem dprdub
Dummy variables  h  i  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
2 eqid 2443 . . . . . 6  |-  { h  e.  X_ i  e.  I 
( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) }  =  { h  e.  X_ i  e.  I 
( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) }
3 dprdub.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
43adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( S `  X ) )  ->  G dom DProd  S )
5 dprdub.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
65adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( S `  X ) )  ->  dom  S  =  I )
7 dprdub.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  I )
87adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( S `  X ) )  ->  X  e.  I )
9 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( S `  X ) )  ->  x  e.  ( S `  X ) )
10 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  x ,  ( 0g `  G ) ) )  =  ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  x ,  ( 0g `  G ) ) )
111, 2, 4, 6, 8, 9, 10dprdfid 16931 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( S `  X ) )  ->  ( (
n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  x ,  ( 0g `  G ) ) )  e.  {
h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp 
( 0g `  G
) }  /\  ( G  gsumg  ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  x ,  ( 0g `  G
) ) ) )  =  x ) )
1211simprd 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( S `  X ) )  ->  ( G  gsumg  ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  x ,  ( 0g `  G ) ) ) )  =  x )
1311simpld 459 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( S `  X ) )  ->  ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  x ,  ( 0g `  G ) ) )  e.  { h  e.  X_ i  e.  I 
( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } )
141, 2, 4, 6, 13eldprdi 16932 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( S `  X ) )  ->  ( G  gsumg  ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  x ,  ( 0g `  G ) ) ) )  e.  ( G DProd  S ) )
1512, 14eqeltrrd 2532 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( S `  X ) )  ->  x  e.  ( G DProd  S ) )
1615ex 434 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( S `  X )  ->  x  e.  ( G DProd  S ) ) )
1716ssrdv 3495 1  |-  ( ph  ->  ( S `  X
)  C_  ( G DProd  S ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804   {crab 2797    C_ wss 3461   ifcif 3926   class class class wbr 4437    |-> cmpt 4495   dom cdm 4989   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   X_cixp 7471   finSupp cfsupp 7831   0gc0g 14714    gsumg cgsu 14715   DProd cdprd 16898
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-oi 7938  df-card 8323  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10543  df-2 10600  df-n0 10802  df-z 10871  df-uz 11091  df-fz 11682  df-fzo 11804  df-seq 12087  df-hash 12385  df-ndx 14512  df-slot 14513  df-base 14514  df-sets 14515  df-ress 14516  df-plusg 14587  df-0g 14716  df-gsum 14717  df-mre 14860  df-mrc 14861  df-acs 14863  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15841  df-grp 15931  df-mulg 15934  df-subg 16072  df-cntz 16229  df-cmn 16674  df-dprd 16900
This theorem is referenced by:  dprdspan  16948  dprd2dlem2  16963  dprd2da  16965  dmdprdsplit2lem  16968  dprdsplit  16971  dpjrid  16985  ablfac1c  16996
  Copyright terms: Public domain W3C validator