MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdub Structured version   Unicode version

Theorem dprdub 16654
Description: Each factor is a subset of the internal direct product. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dprdub.1  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
dprdub.2  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
dprdub.3  |-  ( ph  ->  X  e.  I )
Assertion
Ref Expression
dprdub  |-  ( ph  ->  ( S `  X
)  C_  ( G DProd  S ) )

Proof of Theorem dprdub
Dummy variables  h  i  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
2 eqid 2454 . . . . . 6  |-  { h  e.  X_ i  e.  I 
( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) }  =  { h  e.  X_ i  e.  I 
( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) }
3 dprdub.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
43adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( S `  X ) )  ->  G dom DProd  S )
5 dprdub.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
65adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( S `  X ) )  ->  dom  S  =  I )
7 dprdub.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  I )
87adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( S `  X ) )  ->  X  e.  I )
9 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( S `  X ) )  ->  x  e.  ( S `  X ) )
10 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  x ,  ( 0g `  G ) ) )  =  ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  x ,  ( 0g `  G ) ) )
111, 2, 4, 6, 8, 9, 10dprdfid 16639 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( S `  X ) )  ->  ( (
n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  x ,  ( 0g `  G ) ) )  e.  {
h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp 
( 0g `  G
) }  /\  ( G  gsumg  ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  x ,  ( 0g `  G
) ) ) )  =  x ) )
1211simprd 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( S `  X ) )  ->  ( G  gsumg  ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  x ,  ( 0g `  G ) ) ) )  =  x )
1311simpld 459 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( S `  X ) )  ->  ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  x ,  ( 0g `  G ) ) )  e.  { h  e.  X_ i  e.  I 
( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } )
141, 2, 4, 6, 13eldprdi 16640 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( S `  X ) )  ->  ( G  gsumg  ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  x ,  ( 0g `  G ) ) ) )  e.  ( G DProd  S ) )
1512, 14eqeltrrd 2543 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( S `  X ) )  ->  x  e.  ( G DProd  S ) )
1615ex 434 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( S `  X )  ->  x  e.  ( G DProd  S ) ) )
1716ssrdv 3473 1  |-  ( ph  ->  ( S `  X
)  C_  ( G DProd  S ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   {crab 2803    C_ wss 3439   ifcif 3902   class class class wbr 4403    |-> cmpt 4461   dom cdm 4951   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   X_cixp 7376   finSupp cfsupp 7734   0gc0g 14501    gsumg cgsu 14502   DProd cdprd 16607
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-inf2 7962  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-iin 4285  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-supp 6804  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-ixp 7377  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-fsupp 7735  df-oi 7839  df-card 8224  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-nn 10438  df-2 10495  df-n0 10695  df-z 10762  df-uz 10977  df-fz 11559  df-fzo 11670  df-seq 11928  df-hash 12225  df-ndx 14299  df-slot 14300  df-base 14301  df-sets 14302  df-ress 14303  df-plusg 14374  df-0g 14503  df-gsum 14504  df-mre 14647  df-mrc 14648  df-acs 14650  df-mnd 15538  df-submnd 15588  df-grp 15668  df-mulg 15671  df-subg 15801  df-cntz 15958  df-cmn 16404  df-dprd 16609
This theorem is referenced by:  dprdspan  16656  dprd2dlem2  16671  dprd2da  16673  dmdprdsplit2lem  16676  dprdsplit  16679  dpjrid  16693  ablfac1c  16704
  Copyright terms: Public domain W3C validator