MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdsubg Structured version   Unicode version

Theorem dprdsubg 17198
Description: The internal direct product of a family of subgroups is a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
dprdsubg  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( G DProd 
S )  e.  (SubGrp `  G ) )

Proof of Theorem dprdsubg
Dummy variables  f 
g  h  i  k  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2457 . . . 4  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
21dprdssv 17183 . . 3  |-  ( G DProd 
S )  C_  ( Base `  G )
32a1i 11 . 2  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( G DProd 
S )  C_  ( Base `  G ) )
4 eqid 2457 . . . 4  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
5 eqid 2457 . . . 4  |-  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) }  =  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) }
6 id 22 . . . 4  |-  ( G dom DProd  S  ->  G dom DProd  S )
7 eqidd 2458 . . . 4  |-  ( G dom DProd  S  ->  dom  S  =  dom  S )
8 fvex 5882 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  G )  e. 
_V
9 fnconstg 5779 . . . . . 6  |-  ( ( 0g `  G )  e.  _V  ->  ( dom  S  X.  { ( 0g `  G ) } )  Fn  dom  S )
108, 9mp1i 12 . . . . 5  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( dom 
S  X.  { ( 0g `  G ) } )  Fn  dom  S )
118fvconst2 6128 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  dom  S  -> 
( ( dom  S  X.  { ( 0g `  G ) } ) `
 k )  =  ( 0g `  G
) )
1211adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  k  e.  dom  S )  ->  ( ( dom 
S  X.  { ( 0g `  G ) } ) `  k
)  =  ( 0g
`  G ) )
13 dprdf 17166 . . . . . . . . 9  |-  ( G dom DProd  S  ->  S : dom  S --> (SubGrp `  G )
)
1413ffvelrnda 6032 . . . . . . . 8  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  k  e.  dom  S )  ->  ( S `  k )  e.  (SubGrp `  G ) )
154subg0cl 16336 . . . . . . . 8  |-  ( ( S `  k )  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( 0g `  G )  e.  ( S `  k ) )
1614, 15syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  k  e.  dom  S )  ->  ( 0g `  G )  e.  ( S `  k ) )
1712, 16eqeltrd 2545 . . . . . 6  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  k  e.  dom  S )  ->  ( ( dom 
S  X.  { ( 0g `  G ) } ) `  k
)  e.  ( S `
 k ) )
1817ralrimiva 2871 . . . . 5  |-  ( G dom DProd  S  ->  A. k  e.  dom  S ( ( dom  S  X.  {
( 0g `  G
) } ) `  k )  e.  ( S `  k ) )
19 df-nel 2655 . . . . . . . 8  |-  ( dom 
S  e/  _V  <->  -.  dom  S  e.  _V )
20 dprddomprc 17158 . . . . . . . 8  |-  ( dom 
S  e/  _V  ->  -.  G dom DProd  S )
2119, 20sylbir 213 . . . . . . 7  |-  ( -. 
dom  S  e.  _V  ->  -.  G dom DProd  S )
2221con4i 130 . . . . . 6  |-  ( G dom DProd  S  ->  dom  S  e.  _V )
238a1i 11 . . . . . 6  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( 0g
`  G )  e. 
_V )
2422, 23fczfsuppd 7865 . . . . 5  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( dom 
S  X.  { ( 0g `  G ) } ) finSupp  ( 0g
`  G ) )
255, 6, 7dprdw 17170 . . . . 5  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( ( dom  S  X.  {
( 0g `  G
) } )  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) }  <->  ( ( dom  S  X.  { ( 0g `  G ) } )  Fn  dom  S  /\  A. k  e. 
dom  S ( ( dom  S  X.  {
( 0g `  G
) } ) `  k )  e.  ( S `  k )  /\  ( dom  S  X.  { ( 0g `  G ) } ) finSupp 
( 0g `  G
) ) ) )
2610, 18, 24, 25mpbir3and 1179 . . . 4  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( dom 
S  X.  { ( 0g `  G ) } )  e.  {
h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `
 i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } )
274, 5, 6, 7, 26eldprdi 17185 . . 3  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( G 
gsumg  ( dom  S  X.  {
( 0g `  G
) } ) )  e.  ( G DProd  S
) )
28 ne0i 3799 . . 3  |-  ( ( G  gsumg  ( dom  S  X.  { ( 0g `  G ) } ) )  e.  ( G DProd 
S )  ->  ( G DProd  S )  =/=  (/) )
2927, 28syl 16 . 2  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( G DProd 
S )  =/=  (/) )
30 eqid 2457 . . . . 5  |-  dom  S  =  dom  S
314, 5eldprd 17162 . . . . . . 7  |-  ( dom 
S  =  dom  S  ->  ( x  e.  ( G DProd  S )  <->  ( G dom DProd  S  /\  E. f  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } x  =  ( G  gsumg  f ) ) ) )
3231baibd 909 . . . . . 6  |-  ( ( dom  S  =  dom  S  /\  G dom DProd  S )  ->  ( x  e.  ( G DProd  S )  <->  E. f  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } x  =  ( G 
gsumg  f ) ) )
334, 5eldprd 17162 . . . . . . 7  |-  ( dom 
S  =  dom  S  ->  ( y  e.  ( G DProd  S )  <->  ( G dom DProd  S  /\  E. g  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } y  =  ( G  gsumg  g ) ) ) )
3433baibd 909 . . . . . 6  |-  ( ( dom  S  =  dom  S  /\  G dom DProd  S )  ->  ( y  e.  ( G DProd  S )  <->  E. g  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } y  =  ( G 
gsumg  g ) ) )
3532, 34anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( ( dom  S  =  dom  S  /\  G dom DProd  S )  ->  ( ( x  e.  ( G DProd  S
)  /\  y  e.  ( G DProd  S ) )  <-> 
( E. f  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } x  =  ( G  gsumg  f )  /\  E. g  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } y  =  ( G  gsumg  g ) ) ) )
3630, 35mpan 670 . . . 4  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( ( x  e.  ( G DProd 
S )  /\  y  e.  ( G DProd  S ) )  <->  ( E. f  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } x  =  ( G  gsumg  f )  /\  E. g  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } y  =  ( G  gsumg  g ) ) ) )
37 reeanv 3025 . . . . 5  |-  ( E. f  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } E. g  e.  {
h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `
 i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) }  (
x  =  ( G 
gsumg  f )  /\  y  =  ( G  gsumg  g ) )  <->  ( E. f  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } x  =  ( G  gsumg  f )  /\  E. g  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } y  =  ( G  gsumg  g ) ) )
38 simpl 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `
 i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) }  /\  g  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } ) )  ->  G dom DProd  S )
39 eqidd 2458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `
 i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) }  /\  g  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } ) )  ->  dom  S  =  dom  S )
40 simprl 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `
 i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) }  /\  g  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } ) )  ->  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } )
41 simprr 757 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `
 i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) }  /\  g  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } ) )  ->  g  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } )
42 eqid 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( -g `  G )  =  (
-g `  G )
434, 5, 38, 39, 40, 41, 42dprdfsub 17188 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `
 i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) }  /\  g  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } ) )  ->  (
( f  oF ( -g `  G
) g )  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) }  /\  ( G  gsumg  ( f  oF ( -g `  G
) g ) )  =  ( ( G 
gsumg  f ) ( -g `  G ) ( G 
gsumg  g ) ) ) )
4443simprd 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `
 i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) }  /\  g  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } ) )  ->  ( G  gsumg  ( f  oF ( -g `  G
) g ) )  =  ( ( G 
gsumg  f ) ( -g `  G ) ( G 
gsumg  g ) ) )
4543simpld 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `
 i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) }  /\  g  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } ) )  ->  (
f  oF (
-g `  G )
g )  e.  {
h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `
 i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } )
464, 5, 38, 39, 45eldprdi 17185 . . . . . . . 8  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `
 i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) }  /\  g  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } ) )  ->  ( G  gsumg  ( f  oF ( -g `  G
) g ) )  e.  ( G DProd  S
) )
4744, 46eqeltrrd 2546 . . . . . . 7  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `
 i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) }  /\  g  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } ) )  ->  (
( G  gsumg  f ) ( -g `  G ) ( G 
gsumg  g ) )  e.  ( G DProd  S ) )
48 oveq12 6305 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  ( G 
gsumg  f )  /\  y  =  ( G  gsumg  g ) )  ->  ( x
( -g `  G ) y )  =  ( ( G  gsumg  f ) ( -g `  G ) ( G 
gsumg  g ) ) )
4948eleq1d 2526 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  ( G 
gsumg  f )  /\  y  =  ( G  gsumg  g ) )  ->  ( (
x ( -g `  G
) y )  e.  ( G DProd  S )  <-> 
( ( G  gsumg  f ) ( -g `  G
) ( G  gsumg  g ) )  e.  ( G DProd 
S ) ) )
5047, 49syl5ibrcom 222 . . . . . 6  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `
 i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) }  /\  g  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } ) )  ->  (
( x  =  ( G  gsumg  f )  /\  y  =  ( G  gsumg  g ) )  ->  ( x
( -g `  G ) y )  e.  ( G DProd  S ) ) )
5150rexlimdvva 2956 . . . . 5  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( E. f  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } E. g  e.  {
h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `
 i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) }  (
x  =  ( G 
gsumg  f )  /\  y  =  ( G  gsumg  g ) )  ->  ( x
( -g `  G ) y )  e.  ( G DProd  S ) ) )
5237, 51syl5bir 218 . . . 4  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( ( E. f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `
 i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } x  =  ( G  gsumg  f )  /\  E. g  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } y  =  ( G  gsumg  g ) )  ->  ( x
( -g `  G ) y )  e.  ( G DProd  S ) ) )
5336, 52sylbid 215 . . 3  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( ( x  e.  ( G DProd 
S )  /\  y  e.  ( G DProd  S ) )  ->  ( x
( -g `  G ) y )  e.  ( G DProd  S ) ) )
5453ralrimivv 2877 . 2  |-  ( G dom DProd  S  ->  A. x  e.  ( G DProd  S ) A. y  e.  ( G DProd  S ) ( x ( -g `  G
) y )  e.  ( G DProd  S ) )
55 dprdgrp 17165 . . 3  |-  ( G dom DProd  S  ->  G  e. 
Grp )
561, 42issubg4 16347 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( G DProd  S )  e.  (SubGrp `  G )  <->  ( ( G DProd  S ) 
C_  ( Base `  G
)  /\  ( G DProd  S )  =/=  (/)  /\  A. x  e.  ( G DProd  S ) A. y  e.  ( G DProd  S ) ( x ( -g `  G ) y )  e.  ( G DProd  S
) ) ) )
5755, 56syl 16 . 2  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( ( G DProd  S )  e.  (SubGrp `  G )  <->  ( ( G DProd  S ) 
C_  ( Base `  G
)  /\  ( G DProd  S )  =/=  (/)  /\  A. x  e.  ( G DProd  S ) A. y  e.  ( G DProd  S ) ( x ( -g `  G ) y )  e.  ( G DProd  S
) ) ) )
583, 29, 54, 57mpbir3and 1179 1  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( G DProd 
S )  e.  (SubGrp `  G ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652    e/ wnel 2653   A.wral 2807   E.wrex 2808   {crab 2811   _Vcvv 3109    C_ wss 3471   (/)c0 3793   {csn 4032   class class class wbr 4456    X. cxp 5006   dom cdm 5008    Fn wfn 5589   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    oFcof 6537   X_cixp 7488   finSupp cfsupp 7847   Basecbs 14644   0gc0g 14857    gsumg cgsu 14858   Grpcgrp 16180   -gcsg 16182  SubGrpcsubg 16322   DProd cdprd 17151
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-tpos 6973  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-oi 7953  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-seq 12111  df-hash 12409  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-mhm 16093  df-submnd 16094  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-sbg 16186  df-subg 16325  df-ghm 16392  df-gim 16434  df-cntz 16482  df-oppg 16508  df-cmn 16927  df-dprd 17153
This theorem is referenced by:  dprdspan  17201  dprdz  17204  dprdcntz2  17213  dprddisj2  17214  dprddisj2OLD  17215  dprd2da  17218  dmdprdsplit2lem  17221  dmdprdsplit2  17222  dprdsplit  17224  dpjf  17233  dpjidcl  17234  dpjlid  17237  dpjghm  17239  dpjidclOLD  17241  ablfac1c  17249  ablfac1eulem  17250  ablfac1eu  17251  pgpfaclem1  17259
  Copyright terms: Public domain W3C validator