MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdsubg Structured version   Unicode version

Theorem dprdsubg 16646
Description: The internal direct product of a family of subgroups is a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
dprdsubg  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( G DProd 
S )  e.  (SubGrp `  G ) )

Proof of Theorem dprdsubg
Dummy variables  f 
g  h  i  k  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2454 . . . 4  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
21dprdssv 16631 . . 3  |-  ( G DProd 
S )  C_  ( Base `  G )
32a1i 11 . 2  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( G DProd 
S )  C_  ( Base `  G ) )
4 eqid 2454 . . . 4  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
5 eqid 2454 . . . 4  |-  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) }  =  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) }
6 id 22 . . . 4  |-  ( G dom DProd  S  ->  G dom DProd  S )
7 eqidd 2455 . . . 4  |-  ( G dom DProd  S  ->  dom  S  =  dom  S )
8 fvex 5812 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  G )  e. 
_V
9 fnconstg 5709 . . . . . 6  |-  ( ( 0g `  G )  e.  _V  ->  ( dom  S  X.  { ( 0g `  G ) } )  Fn  dom  S )
108, 9mp1i 12 . . . . 5  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( dom 
S  X.  { ( 0g `  G ) } )  Fn  dom  S )
118fvconst2 6045 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  dom  S  -> 
( ( dom  S  X.  { ( 0g `  G ) } ) `
 k )  =  ( 0g `  G
) )
1211adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  k  e.  dom  S )  ->  ( ( dom 
S  X.  { ( 0g `  G ) } ) `  k
)  =  ( 0g
`  G ) )
13 dprdf 16615 . . . . . . . . 9  |-  ( G dom DProd  S  ->  S : dom  S --> (SubGrp `  G )
)
1413ffvelrnda 5955 . . . . . . . 8  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  k  e.  dom  S )  ->  ( S `  k )  e.  (SubGrp `  G ) )
154subg0cl 15811 . . . . . . . 8  |-  ( ( S `  k )  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( 0g `  G )  e.  ( S `  k ) )
1614, 15syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  k  e.  dom  S )  ->  ( 0g `  G )  e.  ( S `  k ) )
1712, 16eqeltrd 2542 . . . . . 6  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  k  e.  dom  S )  ->  ( ( dom 
S  X.  { ( 0g `  G ) } ) `  k
)  e.  ( S `
 k ) )
1817ralrimiva 2830 . . . . 5  |-  ( G dom DProd  S  ->  A. k  e.  dom  S ( ( dom  S  X.  {
( 0g `  G
) } ) `  k )  e.  ( S `  k ) )
19 df-nel 2651 . . . . . . . 8  |-  ( dom 
S  e/  _V  <->  -.  dom  S  e.  _V )
20 dprddomprc 16607 . . . . . . . 8  |-  ( dom 
S  e/  _V  ->  -.  G dom DProd  S )
2119, 20sylbir 213 . . . . . . 7  |-  ( -. 
dom  S  e.  _V  ->  -.  G dom DProd  S )
2221con4i 130 . . . . . 6  |-  ( G dom DProd  S  ->  dom  S  e.  _V )
238a1i 11 . . . . . 6  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( 0g
`  G )  e. 
_V )
2422, 23fczfsuppd 7752 . . . . 5  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( dom 
S  X.  { ( 0g `  G ) } ) finSupp  ( 0g
`  G ) )
255, 6, 7dprdw 16619 . . . . 5  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( ( dom  S  X.  {
( 0g `  G
) } )  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) }  <->  ( ( dom  S  X.  { ( 0g `  G ) } )  Fn  dom  S  /\  A. k  e. 
dom  S ( ( dom  S  X.  {
( 0g `  G
) } ) `  k )  e.  ( S `  k )  /\  ( dom  S  X.  { ( 0g `  G ) } ) finSupp 
( 0g `  G
) ) ) )
2610, 18, 24, 25mpbir3and 1171 . . . 4  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( dom 
S  X.  { ( 0g `  G ) } )  e.  {
h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `
 i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } )
274, 5, 6, 7, 26eldprdi 16633 . . 3  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( G 
gsumg  ( dom  S  X.  {
( 0g `  G
) } ) )  e.  ( G DProd  S
) )
28 ne0i 3754 . . 3  |-  ( ( G  gsumg  ( dom  S  X.  { ( 0g `  G ) } ) )  e.  ( G DProd 
S )  ->  ( G DProd  S )  =/=  (/) )
2927, 28syl 16 . 2  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( G DProd 
S )  =/=  (/) )
30 eqid 2454 . . . . 5  |-  dom  S  =  dom  S
314, 5eldprd 16611 . . . . . . 7  |-  ( dom 
S  =  dom  S  ->  ( x  e.  ( G DProd  S )  <->  ( G dom DProd  S  /\  E. f  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } x  =  ( G  gsumg  f ) ) ) )
3231baibd 900 . . . . . 6  |-  ( ( dom  S  =  dom  S  /\  G dom DProd  S )  ->  ( x  e.  ( G DProd  S )  <->  E. f  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } x  =  ( G 
gsumg  f ) ) )
334, 5eldprd 16611 . . . . . . 7  |-  ( dom 
S  =  dom  S  ->  ( y  e.  ( G DProd  S )  <->  ( G dom DProd  S  /\  E. g  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } y  =  ( G  gsumg  g ) ) ) )
3433baibd 900 . . . . . 6  |-  ( ( dom  S  =  dom  S  /\  G dom DProd  S )  ->  ( y  e.  ( G DProd  S )  <->  E. g  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } y  =  ( G 
gsumg  g ) ) )
3532, 34anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( ( dom  S  =  dom  S  /\  G dom DProd  S )  ->  ( ( x  e.  ( G DProd  S
)  /\  y  e.  ( G DProd  S ) )  <-> 
( E. f  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } x  =  ( G  gsumg  f )  /\  E. g  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } y  =  ( G  gsumg  g ) ) ) )
3630, 35mpan 670 . . . 4  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( ( x  e.  ( G DProd 
S )  /\  y  e.  ( G DProd  S ) )  <->  ( E. f  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } x  =  ( G  gsumg  f )  /\  E. g  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } y  =  ( G  gsumg  g ) ) ) )
37 reeanv 2994 . . . . 5  |-  ( E. f  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } E. g  e.  {
h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `
 i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) }  (
x  =  ( G 
gsumg  f )  /\  y  =  ( G  gsumg  g ) )  <->  ( E. f  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } x  =  ( G  gsumg  f )  /\  E. g  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } y  =  ( G  gsumg  g ) ) )
38 simpl 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `
 i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) }  /\  g  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } ) )  ->  G dom DProd  S )
39 eqidd 2455 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `
 i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) }  /\  g  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } ) )  ->  dom  S  =  dom  S )
40 simprl 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `
 i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) }  /\  g  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } ) )  ->  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } )
41 simprr 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `
 i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) }  /\  g  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } ) )  ->  g  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } )
42 eqid 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( -g `  G )  =  (
-g `  G )
434, 5, 38, 39, 40, 41, 42dprdfsub 16636 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `
 i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) }  /\  g  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } ) )  ->  (
( f  oF ( -g `  G
) g )  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) }  /\  ( G  gsumg  ( f  oF ( -g `  G
) g ) )  =  ( ( G 
gsumg  f ) ( -g `  G ) ( G 
gsumg  g ) ) ) )
4443simprd 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `
 i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) }  /\  g  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } ) )  ->  ( G  gsumg  ( f  oF ( -g `  G
) g ) )  =  ( ( G 
gsumg  f ) ( -g `  G ) ( G 
gsumg  g ) ) )
4543simpld 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `
 i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) }  /\  g  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } ) )  ->  (
f  oF (
-g `  G )
g )  e.  {
h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `
 i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } )
464, 5, 38, 39, 45eldprdi 16633 . . . . . . . 8  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `
 i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) }  /\  g  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } ) )  ->  ( G  gsumg  ( f  oF ( -g `  G
) g ) )  e.  ( G DProd  S
) )
4744, 46eqeltrrd 2543 . . . . . . 7  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `
 i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) }  /\  g  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } ) )  ->  (
( G  gsumg  f ) ( -g `  G ) ( G 
gsumg  g ) )  e.  ( G DProd  S ) )
48 oveq12 6212 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  ( G 
gsumg  f )  /\  y  =  ( G  gsumg  g ) )  ->  ( x
( -g `  G ) y )  =  ( ( G  gsumg  f ) ( -g `  G ) ( G 
gsumg  g ) ) )
4948eleq1d 2523 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  ( G 
gsumg  f )  /\  y  =  ( G  gsumg  g ) )  ->  ( (
x ( -g `  G
) y )  e.  ( G DProd  S )  <-> 
( ( G  gsumg  f ) ( -g `  G
) ( G  gsumg  g ) )  e.  ( G DProd 
S ) ) )
5047, 49syl5ibrcom 222 . . . . . 6  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `
 i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) }  /\  g  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } ) )  ->  (
( x  =  ( G  gsumg  f )  /\  y  =  ( G  gsumg  g ) )  ->  ( x
( -g `  G ) y )  e.  ( G DProd  S ) ) )
5150rexlimdvva 2954 . . . . 5  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( E. f  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } E. g  e.  {
h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `
 i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) }  (
x  =  ( G 
gsumg  f )  /\  y  =  ( G  gsumg  g ) )  ->  ( x
( -g `  G ) y )  e.  ( G DProd  S ) ) )
5237, 51syl5bir 218 . . . 4  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( ( E. f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `
 i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } x  =  ( G  gsumg  f )  /\  E. g  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } y  =  ( G  gsumg  g ) )  ->  ( x
( -g `  G ) y )  e.  ( G DProd  S ) ) )
5336, 52sylbid 215 . . 3  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( ( x  e.  ( G DProd 
S )  /\  y  e.  ( G DProd  S ) )  ->  ( x
( -g `  G ) y )  e.  ( G DProd  S ) ) )
5453ralrimivv 2913 . 2  |-  ( G dom DProd  S  ->  A. x  e.  ( G DProd  S ) A. y  e.  ( G DProd  S ) ( x ( -g `  G
) y )  e.  ( G DProd  S ) )
55 dprdgrp 16614 . . 3  |-  ( G dom DProd  S  ->  G  e. 
Grp )
561, 42issubg4 15822 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( G DProd  S )  e.  (SubGrp `  G )  <->  ( ( G DProd  S ) 
C_  ( Base `  G
)  /\  ( G DProd  S )  =/=  (/)  /\  A. x  e.  ( G DProd  S ) A. y  e.  ( G DProd  S ) ( x ( -g `  G ) y )  e.  ( G DProd  S
) ) ) )
5755, 56syl 16 . 2  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( ( G DProd  S )  e.  (SubGrp `  G )  <->  ( ( G DProd  S ) 
C_  ( Base `  G
)  /\  ( G DProd  S )  =/=  (/)  /\  A. x  e.  ( G DProd  S ) A. y  e.  ( G DProd  S ) ( x ( -g `  G ) y )  e.  ( G DProd  S
) ) ) )
583, 29, 54, 57mpbir3and 1171 1  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( G DProd 
S )  e.  (SubGrp `  G ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648    e/ wnel 2649   A.wral 2799   E.wrex 2800   {crab 2803   _Vcvv 3078    C_ wss 3439   (/)c0 3748   {csn 3988   class class class wbr 4403    X. cxp 4949   dom cdm 4951    Fn wfn 5524   ` cfv 5529  (class class class)co 6203    oFcof 6431   X_cixp 7376   finSupp cfsupp 7734   Basecbs 14295   0gc0g 14500    gsumg cgsu 14501   Grpcgrp 15532   -gcsg 15535  SubGrpcsubg 15797   DProd cdprd 16600
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-iin 4285  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-of 6433  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-supp 6804  df-tpos 6858  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-ixp 7377  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-fsupp 7735  df-oi 7838  df-card 8223  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-nn 10437  df-2 10494  df-n0 10694  df-z 10761  df-uz 10976  df-fz 11558  df-fzo 11669  df-seq 11927  df-hash 12224  df-ndx 14298  df-slot 14299  df-base 14300  df-sets 14301  df-ress 14302  df-plusg 14373  df-0g 14502  df-gsum 14503  df-mre 14646  df-mrc 14647  df-acs 14649  df-mnd 15537  df-mhm 15586  df-submnd 15587  df-grp 15667  df-minusg 15668  df-sbg 15669  df-subg 15800  df-ghm 15867  df-gim 15909  df-cntz 15957  df-oppg 15983  df-cmn 16403  df-dprd 16602
This theorem is referenced by:  dprdspan  16649  dprdz  16652  dprdcntz2  16661  dprddisj2  16662  dprddisj2OLD  16663  dprd2da  16666  dmdprdsplit2lem  16669  dmdprdsplit2  16670  dprdsplit  16672  dpjf  16681  dpjidcl  16682  dpjlid  16685  dpjghm  16687  dpjidclOLD  16689  ablfac1c  16697  ablfac1eulem  16698  ablfac1eu  16699  pgpfaclem1  16707
  Copyright terms: Public domain W3C validator