MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdsubg Structured version   Unicode version

Theorem dprdsubg 16943
Description: The internal direct product of a family of subgroups is a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
dprdsubg  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( G DProd 
S )  e.  (SubGrp `  G ) )

Proof of Theorem dprdsubg
Dummy variables  f 
g  h  i  k  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . . 4  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
21dprdssv 16928 . . 3  |-  ( G DProd 
S )  C_  ( Base `  G )
32a1i 11 . 2  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( G DProd 
S )  C_  ( Base `  G ) )
4 eqid 2467 . . . 4  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
5 eqid 2467 . . . 4  |-  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) }  =  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) }
6 id 22 . . . 4  |-  ( G dom DProd  S  ->  G dom DProd  S )
7 eqidd 2468 . . . 4  |-  ( G dom DProd  S  ->  dom  S  =  dom  S )
8 fvex 5882 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  G )  e. 
_V
9 fnconstg 5779 . . . . . 6  |-  ( ( 0g `  G )  e.  _V  ->  ( dom  S  X.  { ( 0g `  G ) } )  Fn  dom  S )
108, 9mp1i 12 . . . . 5  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( dom 
S  X.  { ( 0g `  G ) } )  Fn  dom  S )
118fvconst2 6127 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  dom  S  -> 
( ( dom  S  X.  { ( 0g `  G ) } ) `
 k )  =  ( 0g `  G
) )
1211adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  k  e.  dom  S )  ->  ( ( dom 
S  X.  { ( 0g `  G ) } ) `  k
)  =  ( 0g
`  G ) )
13 dprdf 16912 . . . . . . . . 9  |-  ( G dom DProd  S  ->  S : dom  S --> (SubGrp `  G )
)
1413ffvelrnda 6032 . . . . . . . 8  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  k  e.  dom  S )  ->  ( S `  k )  e.  (SubGrp `  G ) )
154subg0cl 16081 . . . . . . . 8  |-  ( ( S `  k )  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( 0g `  G )  e.  ( S `  k ) )
1614, 15syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  k  e.  dom  S )  ->  ( 0g `  G )  e.  ( S `  k ) )
1712, 16eqeltrd 2555 . . . . . 6  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  k  e.  dom  S )  ->  ( ( dom 
S  X.  { ( 0g `  G ) } ) `  k
)  e.  ( S `
 k ) )
1817ralrimiva 2881 . . . . 5  |-  ( G dom DProd  S  ->  A. k  e.  dom  S ( ( dom  S  X.  {
( 0g `  G
) } ) `  k )  e.  ( S `  k ) )
19 df-nel 2665 . . . . . . . 8  |-  ( dom 
S  e/  _V  <->  -.  dom  S  e.  _V )
20 dprddomprc 16904 . . . . . . . 8  |-  ( dom 
S  e/  _V  ->  -.  G dom DProd  S )
2119, 20sylbir 213 . . . . . . 7  |-  ( -. 
dom  S  e.  _V  ->  -.  G dom DProd  S )
2221con4i 130 . . . . . 6  |-  ( G dom DProd  S  ->  dom  S  e.  _V )
238a1i 11 . . . . . 6  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( 0g
`  G )  e. 
_V )
2422, 23fczfsuppd 7859 . . . . 5  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( dom 
S  X.  { ( 0g `  G ) } ) finSupp  ( 0g
`  G ) )
255, 6, 7dprdw 16916 . . . . 5  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( ( dom  S  X.  {
( 0g `  G
) } )  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) }  <->  ( ( dom  S  X.  { ( 0g `  G ) } )  Fn  dom  S  /\  A. k  e. 
dom  S ( ( dom  S  X.  {
( 0g `  G
) } ) `  k )  e.  ( S `  k )  /\  ( dom  S  X.  { ( 0g `  G ) } ) finSupp 
( 0g `  G
) ) ) )
2610, 18, 24, 25mpbir3and 1179 . . . 4  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( dom 
S  X.  { ( 0g `  G ) } )  e.  {
h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `
 i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } )
274, 5, 6, 7, 26eldprdi 16930 . . 3  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( G 
gsumg  ( dom  S  X.  {
( 0g `  G
) } ) )  e.  ( G DProd  S
) )
28 ne0i 3796 . . 3  |-  ( ( G  gsumg  ( dom  S  X.  { ( 0g `  G ) } ) )  e.  ( G DProd 
S )  ->  ( G DProd  S )  =/=  (/) )
2927, 28syl 16 . 2  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( G DProd 
S )  =/=  (/) )
30 eqid 2467 . . . . 5  |-  dom  S  =  dom  S
314, 5eldprd 16908 . . . . . . 7  |-  ( dom 
S  =  dom  S  ->  ( x  e.  ( G DProd  S )  <->  ( G dom DProd  S  /\  E. f  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } x  =  ( G  gsumg  f ) ) ) )
3231baibd 907 . . . . . 6  |-  ( ( dom  S  =  dom  S  /\  G dom DProd  S )  ->  ( x  e.  ( G DProd  S )  <->  E. f  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } x  =  ( G 
gsumg  f ) ) )
334, 5eldprd 16908 . . . . . . 7  |-  ( dom 
S  =  dom  S  ->  ( y  e.  ( G DProd  S )  <->  ( G dom DProd  S  /\  E. g  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } y  =  ( G  gsumg  g ) ) ) )
3433baibd 907 . . . . . 6  |-  ( ( dom  S  =  dom  S  /\  G dom DProd  S )  ->  ( y  e.  ( G DProd  S )  <->  E. g  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } y  =  ( G 
gsumg  g ) ) )
3532, 34anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( ( dom  S  =  dom  S  /\  G dom DProd  S )  ->  ( ( x  e.  ( G DProd  S
)  /\  y  e.  ( G DProd  S ) )  <-> 
( E. f  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } x  =  ( G  gsumg  f )  /\  E. g  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } y  =  ( G  gsumg  g ) ) ) )
3630, 35mpan 670 . . . 4  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( ( x  e.  ( G DProd 
S )  /\  y  e.  ( G DProd  S ) )  <->  ( E. f  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } x  =  ( G  gsumg  f )  /\  E. g  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } y  =  ( G  gsumg  g ) ) ) )
37 reeanv 3034 . . . . 5  |-  ( E. f  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } E. g  e.  {
h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `
 i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) }  (
x  =  ( G 
gsumg  f )  /\  y  =  ( G  gsumg  g ) )  <->  ( E. f  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } x  =  ( G  gsumg  f )  /\  E. g  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } y  =  ( G  gsumg  g ) ) )
38 simpl 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `
 i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) }  /\  g  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } ) )  ->  G dom DProd  S )
39 eqidd 2468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `
 i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) }  /\  g  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } ) )  ->  dom  S  =  dom  S )
40 simprl 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `
 i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) }  /\  g  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } ) )  ->  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } )
41 simprr 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `
 i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) }  /\  g  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } ) )  ->  g  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } )
42 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( -g `  G )  =  (
-g `  G )
434, 5, 38, 39, 40, 41, 42dprdfsub 16933 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `
 i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) }  /\  g  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } ) )  ->  (
( f  oF ( -g `  G
) g )  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) }  /\  ( G  gsumg  ( f  oF ( -g `  G
) g ) )  =  ( ( G 
gsumg  f ) ( -g `  G ) ( G 
gsumg  g ) ) ) )
4443simprd 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `
 i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) }  /\  g  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } ) )  ->  ( G  gsumg  ( f  oF ( -g `  G
) g ) )  =  ( ( G 
gsumg  f ) ( -g `  G ) ( G 
gsumg  g ) ) )
4543simpld 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `
 i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) }  /\  g  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } ) )  ->  (
f  oF (
-g `  G )
g )  e.  {
h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `
 i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } )
464, 5, 38, 39, 45eldprdi 16930 . . . . . . . 8  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `
 i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) }  /\  g  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } ) )  ->  ( G  gsumg  ( f  oF ( -g `  G
) g ) )  e.  ( G DProd  S
) )
4744, 46eqeltrrd 2556 . . . . . . 7  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `
 i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) }  /\  g  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } ) )  ->  (
( G  gsumg  f ) ( -g `  G ) ( G 
gsumg  g ) )  e.  ( G DProd  S ) )
48 oveq12 6304 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  ( G 
gsumg  f )  /\  y  =  ( G  gsumg  g ) )  ->  ( x
( -g `  G ) y )  =  ( ( G  gsumg  f ) ( -g `  G ) ( G 
gsumg  g ) ) )
4948eleq1d 2536 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  ( G 
gsumg  f )  /\  y  =  ( G  gsumg  g ) )  ->  ( (
x ( -g `  G
) y )  e.  ( G DProd  S )  <-> 
( ( G  gsumg  f ) ( -g `  G
) ( G  gsumg  g ) )  e.  ( G DProd 
S ) ) )
5047, 49syl5ibrcom 222 . . . . . 6  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `
 i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) }  /\  g  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } ) )  ->  (
( x  =  ( G  gsumg  f )  /\  y  =  ( G  gsumg  g ) )  ->  ( x
( -g `  G ) y )  e.  ( G DProd  S ) ) )
5150rexlimdvva 2966 . . . . 5  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( E. f  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } E. g  e.  {
h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `
 i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) }  (
x  =  ( G 
gsumg  f )  /\  y  =  ( G  gsumg  g ) )  ->  ( x
( -g `  G ) y )  e.  ( G DProd  S ) ) )
5237, 51syl5bir 218 . . . 4  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( ( E. f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `
 i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } x  =  ( G  gsumg  f )  /\  E. g  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } y  =  ( G  gsumg  g ) )  ->  ( x
( -g `  G ) y )  e.  ( G DProd  S ) ) )
5336, 52sylbid 215 . . 3  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( ( x  e.  ( G DProd 
S )  /\  y  e.  ( G DProd  S ) )  ->  ( x
( -g `  G ) y )  e.  ( G DProd  S ) ) )
5453ralrimivv 2887 . 2  |-  ( G dom DProd  S  ->  A. x  e.  ( G DProd  S ) A. y  e.  ( G DProd  S ) ( x ( -g `  G
) y )  e.  ( G DProd  S ) )
55 dprdgrp 16911 . . 3  |-  ( G dom DProd  S  ->  G  e. 
Grp )
561, 42issubg4 16092 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( G DProd  S )  e.  (SubGrp `  G )  <->  ( ( G DProd  S ) 
C_  ( Base `  G
)  /\  ( G DProd  S )  =/=  (/)  /\  A. x  e.  ( G DProd  S ) A. y  e.  ( G DProd  S ) ( x ( -g `  G ) y )  e.  ( G DProd  S
) ) ) )
5755, 56syl 16 . 2  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( ( G DProd  S )  e.  (SubGrp `  G )  <->  ( ( G DProd  S ) 
C_  ( Base `  G
)  /\  ( G DProd  S )  =/=  (/)  /\  A. x  e.  ( G DProd  S ) A. y  e.  ( G DProd  S ) ( x ( -g `  G ) y )  e.  ( G DProd  S
) ) ) )
583, 29, 54, 57mpbir3and 1179 1  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( G DProd 
S )  e.  (SubGrp `  G ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662    e/ wnel 2663   A.wral 2817   E.wrex 2818   {crab 2821   _Vcvv 3118    C_ wss 3481   (/)c0 3790   {csn 4033   class class class wbr 4453    X. cxp 5003   dom cdm 5005    Fn wfn 5589   ` cfv 5594  (class class class)co 6295    oFcof 6533   X_cixp 7481   finSupp cfsupp 7841   Basecbs 14507   0gc0g 14712    gsumg cgsu 14713   Grpcgrp 15925   -gcsg 15927  SubGrpcsubg 16067   DProd cdprd 16897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-tpos 6967  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-oi 7947  df-card 8332  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-seq 12088  df-hash 12386  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-mhm 15839  df-submnd 15840  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-sbg 15931  df-subg 16070  df-ghm 16137  df-gim 16179  df-cntz 16227  df-oppg 16253  df-cmn 16673  df-dprd 16899
This theorem is referenced by:  dprdspan  16946  dprdz  16949  dprdcntz2  16958  dprddisj2  16959  dprddisj2OLD  16960  dprd2da  16963  dmdprdsplit2lem  16966  dmdprdsplit2  16967  dprdsplit  16969  dpjf  16978  dpjidcl  16979  dpjlid  16982  dpjghm  16984  dpjidclOLD  16986  ablfac1c  16994  ablfac1eulem  16995  ablfac1eu  16996  pgpfaclem1  17004
  Copyright terms: Public domain W3C validator