MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdssv Structured version   Unicode version

Theorem dprdssv 16839
Description: The internal direct product of a family of subgroups is a subset of the base. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
dprdssv.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
dprdssv  |-  ( G DProd 
S )  C_  B

Proof of Theorem dprdssv
Dummy variables  x  f  h  i are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2460 . . . 4  |-  dom  S  =  dom  S
2 eqid 2460 . . . . 5  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
3 eqid 2460 . . . . 5  |-  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) }  =  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) }
42, 3eldprd 16819 . . . 4  |-  ( dom 
S  =  dom  S  ->  ( x  e.  ( G DProd  S )  <->  ( G dom DProd  S  /\  E. f  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } x  =  ( G  gsumg  f ) ) ) )
51, 4ax-mp 5 . . 3  |-  ( x  e.  ( G DProd  S
)  <->  ( G dom DProd  S  /\  E. f  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } x  =  ( G  gsumg  f ) ) )
6 dprdssv.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  G
)
7 eqid 2460 . . . . . . 7  |-  (Cntz `  G )  =  (Cntz `  G )
8 dprdgrp 16822 . . . . . . . . 9  |-  ( G dom DProd  S  ->  G  e. 
Grp )
9 grpmnd 15856 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Mnd )
108, 9syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( G dom DProd  S  ->  G  e. 
Mnd )
1110adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } )  ->  G  e.  Mnd )
12 reldmdprd 16812 . . . . . . . . . 10  |-  Rel  dom DProd
1312brrelex2i 5033 . . . . . . . . 9  |-  ( G dom DProd  S  ->  S  e. 
_V )
14 dmexg 6705 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  _V  ->  dom  S  e.  _V )
1513, 14syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( G dom DProd  S  ->  dom  S  e.  _V )
1615adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } )  ->  dom  S  e. 
_V )
17 simpl 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } )  ->  G dom DProd  S )
18 eqidd 2461 . . . . . . . 8  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } )  ->  dom  S  =  dom  S )
19 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } )  ->  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `
 i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } )
203, 17, 18, 19, 6dprdff 16829 . . . . . . 7  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } )  ->  f : dom  S --> B )
213, 17, 18, 19, 7dprdfcntz 16832 . . . . . . 7  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } )  ->  ran  f  C_  ( (Cntz `  G ) `  ran  f ) )
223, 17, 18, 19dprdffsupp 16831 . . . . . . 7  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } )  ->  f finSupp  ( 0g
`  G ) )
236, 2, 7, 11, 16, 20, 21, 22gsumzcl 16700 . . . . . 6  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } )  ->  ( G  gsumg  f )  e.  B )
24 eleq1 2532 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( G  gsumg  f )  ->  ( x  e.  B  <->  ( G  gsumg  f )  e.  B ) )
2523, 24syl5ibrcom 222 . . . . 5  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } )  ->  ( x  =  ( G  gsumg  f )  ->  x  e.  B
) )
2625rexlimdva 2948 . . . 4  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( E. f  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } x  =  ( G 
gsumg  f )  ->  x  e.  B ) )
2726imp 429 . . 3  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  E. f  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } x  =  ( G 
gsumg  f ) )  ->  x  e.  B )
285, 27sylbi 195 . 2  |-  ( x  e.  ( G DProd  S
)  ->  x  e.  B )
2928ssriv 3501 1  |-  ( G DProd 
S )  C_  B
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   E.wrex 2808   {crab 2811   _Vcvv 3106    C_ wss 3469   class class class wbr 4440   dom cdm 4992   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   X_cixp 7459   finSupp cfsupp 7818   Basecbs 14479   0gc0g 14684    gsumg cgsu 14685   Mndcmnd 15715   Grpcgrp 15716  Cntzccntz 16141   DProd cdprd 16808
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-supp 6892  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-ixp 7460  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-fsupp 7819  df-oi 7924  df-card 8309  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-seq 12064  df-hash 12361  df-0g 14686  df-gsum 14687  df-mnd 15721  df-grp 15851  df-subg 15986  df-cntz 16143  df-dprd 16810
This theorem is referenced by:  dprdfsub  16844  dprdf11  16846  dprdfsubOLD  16851  dprdf11OLD  16853  dprdsubg  16854  dprdspan  16857  dprdcntz2  16869  dprd2da  16874  dmdprdsplit2lem  16877  ablfac1c  16905  ablfac1eulem  16906  ablfac1eu  16907
  Copyright terms: Public domain W3C validator