Theorem dprdssv 17661

Description: The internal direct product of a family of subgroups is a subset of the base. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
dprdssv.b	|- B = ( Base ` G )

Assertion

Ref	Expression
dprdssv	|- ( G DProd S ) C_ B

Proof of Theorem dprdssv

Dummy variables x f h i are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2453	. . . 4 |- dom S = dom S
2		eqid 2453	. . . . 5 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
3		eqid 2453	. . . . 5 |- { h e. X_ i e. dom S ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } = { h e. X_ i e. dom S ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) }
4	2, 3	eldprd 17648	. . . 4 |- ( dom S = dom S -> ( x e. ( G DProd S ) <-> ( G dom DProd S /\ E. f e. { h e. X_ i e. dom S ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } x = ( G gsumg f ) ) ) )
5	1, 4	ax-mp 5	. . 3 |- ( x e. ( G DProd S ) <-> ( G dom DProd S /\ E. f e. { h e. X_ i e. dom S ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } x = ( G gsumg f ) ) )
6		dprdssv.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` G )
7		eqid 2453	. . . . . . 7 |- (Cntz ` G ) = (Cntz ` G )
8		dprdgrp 17649	. . . . . . . . 9 |- ( G dom DProd S -> G e. Grp )
9		grpmnd 16690	. . . . . . . . 9 |- ( G e. Grp -> G e. Mnd )
10	8, 9	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( G dom DProd S -> G e. Mnd )
11	10	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( G dom DProd S /\ f e. { h e. X_ i e. dom S ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } ) -> G e. Mnd )
12		reldmdprd 17641	. . . . . . . . . 10 |- Rel dom DProd
13	12	brrelex2i 4879	. . . . . . . . 9 |- ( G dom DProd S -> S e. _V )
14		dmexg 6729	. . . . . . . . 9 |- ( S e. _V -> dom S e. _V )
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( G dom DProd S -> dom S e. _V )
16	15	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( G dom DProd S /\ f e. { h e. X_ i e. dom S ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } ) -> dom S e. _V )
17		simpl 459	. . . . . . . 8 |- ( ( G dom DProd S /\ f e. { h e. X_ i e. dom S ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } ) -> G dom DProd S )
18		eqidd 2454	. . . . . . . 8 |- ( ( G dom DProd S /\ f e. { h e. X_ i e. dom S ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } ) -> dom S = dom S )
19		simpr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( G dom DProd S /\ f e. { h e. X_ i e. dom S ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } ) -> f e. { h e. X_ i e. dom S ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } )
20	3, 17, 18, 19, 6	dprdff 17657	. . . . . . 7 |- ( ( G dom DProd S /\ f e. { h e. X_ i e. dom S ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } ) -> f : dom S --> B )
21	3, 17, 18, 19, 7	dprdfcntz 17660	. . . . . . 7 |- ( ( G dom DProd S /\ f e. { h e. X_ i e. dom S ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } ) -> ran f C_ ( (Cntz ` G ) ` ran f ) )
22	3, 17, 18, 19	dprdffsupp 17659	. . . . . . 7 |- ( ( G dom DProd S /\ f e. { h e. X_ i e. dom S ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } ) -> f finSupp ( 0g ` G ) )
23	6, 2, 7, 11, 16, 20, 21, 22	gsumzcl 17557	. . . . . 6 |- ( ( G dom DProd S /\ f e. { h e. X_ i e. dom S ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } ) -> ( G gsumg f ) e. B )
24		eleq1 2519	. . . . . 6 |- ( x = ( G gsumg f ) -> ( x e. B <-> ( G gsumg f ) e. B ) )
25	23, 24	syl5ibrcom 226	. . . . 5 |- ( ( G dom DProd S /\ f e. { h e. X_ i e. dom S ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } ) -> ( x = ( G gsumg f ) -> x e. B ) )
26	25	rexlimdva 2881	. . . 4 |- ( G dom DProd S -> ( E. f e. { h e. X_ i e. dom S ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } x = ( G gsumg f ) -> x e. B ) )
27	26	imp 431	. . 3 |- ( ( G dom DProd S /\ E. f e. { h e. X_ i e. dom S ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } x = ( G gsumg f ) ) -> x e. B )
28	5, 27	sylbi 199	. 2 |- ( x e. ( G DProd S ) -> x e. B )
29	28	ssriv 3438	1 |- ( G DProd S ) C_ B

Syntax hints:   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1446   e. wcel 1889   E.wrex 2740   {crab 2743   _Vcvv 3047   C_ wss 3406   class class class wbr 4405   dom cdm 4837   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   X_cixp 7527   finSupp cfsupp 7888   Basecbs 15133   0gc0g 15350   gsum_g cgsu 15351   Mndcmnd 16547   Grpcgrp 16681  Cntzccntz 16981   DProd cdprd 17637

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-isom 5594  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-supp 6920  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-ixp 7528  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fsupp 7889  df-oi 8030  df-card 8378  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-nn 10617  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-seq 12221  df-hash 12523  df-0g 15352  df-gsum 15353  df-mgm 16500  df-sgrp 16539  df-mnd 16549  df-grp 16685  df-subg 16826  df-cntz 16983  df-dprd 17639

This theorem is referenced by:  dprdfsub  17666  dprdf11  17668  dprdsubg  17669  dprdspan  17672  dprdcntz2  17683  dprd2da  17687  dmdprdsplit2lem  17690  ablfac1c  17716  ablfac1eulem  17717  ablfac1eu  17718