MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdssv Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem dprdssv 17661
Description: The internal direct product of a family of subgroups is a subset of the base. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
dprdssv.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
dprdssv  |-  ( G DProd 
S )  C_  B

Proof of Theorem dprdssv
Dummy variables  x  f  h  i are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2453 . . . 4  |-  dom  S  =  dom  S
2 eqid 2453 . . . . 5  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
3 eqid 2453 . . . . 5  |-  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) }  =  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) }
42, 3eldprd 17648 . . . 4  |-  ( dom 
S  =  dom  S  ->  ( x  e.  ( G DProd  S )  <->  ( G dom DProd  S  /\  E. f  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } x  =  ( G  gsumg  f ) ) ) )
51, 4ax-mp 5 . . 3  |-  ( x  e.  ( G DProd  S
)  <->  ( G dom DProd  S  /\  E. f  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } x  =  ( G  gsumg  f ) ) )
6 dprdssv.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  G
)
7 eqid 2453 . . . . . . 7  |-  (Cntz `  G )  =  (Cntz `  G )
8 dprdgrp 17649 . . . . . . . . 9  |-  ( G dom DProd  S  ->  G  e. 
Grp )
9 grpmnd 16690 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Mnd )
108, 9syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( G dom DProd  S  ->  G  e. 
Mnd )
1110adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } )  ->  G  e.  Mnd )
12 reldmdprd 17641 . . . . . . . . . 10  |-  Rel  dom DProd
1312brrelex2i 4879 . . . . . . . . 9  |-  ( G dom DProd  S  ->  S  e. 
_V )
14 dmexg 6729 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  _V  ->  dom  S  e.  _V )
1513, 14syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( G dom DProd  S  ->  dom  S  e.  _V )
1615adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } )  ->  dom  S  e. 
_V )
17 simpl 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } )  ->  G dom DProd  S )
18 eqidd 2454 . . . . . . . 8  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } )  ->  dom  S  =  dom  S )
19 simpr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } )  ->  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `
 i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } )
203, 17, 18, 19, 6dprdff 17657 . . . . . . 7  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } )  ->  f : dom  S --> B )
213, 17, 18, 19, 7dprdfcntz 17660 . . . . . . 7  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } )  ->  ran  f  C_  ( (Cntz `  G ) `  ran  f ) )
223, 17, 18, 19dprdffsupp 17659 . . . . . . 7  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } )  ->  f finSupp  ( 0g
`  G ) )
236, 2, 7, 11, 16, 20, 21, 22gsumzcl 17557 . . . . . 6  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } )  ->  ( G  gsumg  f )  e.  B )
24 eleq1 2519 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( G  gsumg  f )  ->  ( x  e.  B  <->  ( G  gsumg  f )  e.  B ) )
2523, 24syl5ibrcom 226 . . . . 5  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } )  ->  ( x  =  ( G  gsumg  f )  ->  x  e.  B
) )
2625rexlimdva 2881 . . . 4  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( E. f  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } x  =  ( G 
gsumg  f )  ->  x  e.  B ) )
2726imp 431 . . 3  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  E. f  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } x  =  ( G 
gsumg  f ) )  ->  x  e.  B )
285, 27sylbi 199 . 2  |-  ( x  e.  ( G DProd  S
)  ->  x  e.  B )
2928ssriv 3438 1  |-  ( G DProd 
S )  C_  B
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1446    e. wcel 1889   E.wrex 2740   {crab 2743   _Vcvv 3047    C_ wss 3406   class class class wbr 4405   dom cdm 4837   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   X_cixp 7527   finSupp cfsupp 7888   Basecbs 15133   0gc0g 15350    gsumg cgsu 15351   Mndcmnd 16547   Grpcgrp 16681  Cntzccntz 16981   DProd cdprd 17637
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-isom 5594  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-supp 6920  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-ixp 7528  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fsupp 7889  df-oi 8030  df-card 8378  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-nn 10617  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-seq 12221  df-hash 12523  df-0g 15352  df-gsum 15353  df-mgm 16500  df-sgrp 16539  df-mnd 16549  df-grp 16685  df-subg 16826  df-cntz 16983  df-dprd 17639
This theorem is referenced by:  dprdfsub  17666  dprdf11  17668  dprdsubg  17669  dprdspan  17672  dprdcntz2  17683  dprd2da  17687  dmdprdsplit2lem  17690  ablfac1c  17716  ablfac1eulem  17717  ablfac1eu  17718
  Copyright terms: Public domain W3C validator