Theorem dprdssv 16839

Description: The internal direct product of a family of subgroups is a subset of the base. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
dprdssv.b	|- B = ( Base ` G )

Assertion

Ref	Expression
dprdssv	|- ( G DProd S ) C_ B

Proof of Theorem dprdssv

Dummy variables x f h i are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2460	. . . 4 |- dom S = dom S
2		eqid 2460	. . . . 5 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
3		eqid 2460	. . . . 5 |- { h e. X_ i e. dom S ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } = { h e. X_ i e. dom S ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) }
4	2, 3	eldprd 16819	. . . 4 |- ( dom S = dom S -> ( x e. ( G DProd S ) <-> ( G dom DProd S /\ E. f e. { h e. X_ i e. dom S ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } x = ( G gsumg f ) ) ) )
5	1, 4	ax-mp 5	. . 3 |- ( x e. ( G DProd S ) <-> ( G dom DProd S /\ E. f e. { h e. X_ i e. dom S ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } x = ( G gsumg f ) ) )
6		dprdssv.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` G )
7		eqid 2460	. . . . . . 7 |- (Cntz ` G ) = (Cntz ` G )
8		dprdgrp 16822	. . . . . . . . 9 |- ( G dom DProd S -> G e. Grp )
9		grpmnd 15856	. . . . . . . . 9 |- ( G e. Grp -> G e. Mnd )
10	8, 9	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( G dom DProd S -> G e. Mnd )
11	10	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( G dom DProd S /\ f e. { h e. X_ i e. dom S ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } ) -> G e. Mnd )
12		reldmdprd 16812	. . . . . . . . . 10 |- Rel dom DProd
13	12	brrelex2i 5033	. . . . . . . . 9 |- ( G dom DProd S -> S e. _V )
14		dmexg 6705	. . . . . . . . 9 |- ( S e. _V -> dom S e. _V )
15	13, 14	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( G dom DProd S -> dom S e. _V )
16	15	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( G dom DProd S /\ f e. { h e. X_ i e. dom S ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } ) -> dom S e. _V )
17		simpl 457	. . . . . . . 8 |- ( ( G dom DProd S /\ f e. { h e. X_ i e. dom S ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } ) -> G dom DProd S )
18		eqidd 2461	. . . . . . . 8 |- ( ( G dom DProd S /\ f e. { h e. X_ i e. dom S ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } ) -> dom S = dom S )
19		simpr 461	. . . . . . . 8 |- ( ( G dom DProd S /\ f e. { h e. X_ i e. dom S ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } ) -> f e. { h e. X_ i e. dom S ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } )
20	3, 17, 18, 19, 6	dprdff 16829	. . . . . . 7 |- ( ( G dom DProd S /\ f e. { h e. X_ i e. dom S ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } ) -> f : dom S --> B )
21	3, 17, 18, 19, 7	dprdfcntz 16832	. . . . . . 7 |- ( ( G dom DProd S /\ f e. { h e. X_ i e. dom S ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } ) -> ran f C_ ( (Cntz ` G ) ` ran f ) )
22	3, 17, 18, 19	dprdffsupp 16831	. . . . . . 7 |- ( ( G dom DProd S /\ f e. { h e. X_ i e. dom S ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } ) -> f finSupp ( 0g ` G ) )
23	6, 2, 7, 11, 16, 20, 21, 22	gsumzcl 16700	. . . . . 6 |- ( ( G dom DProd S /\ f e. { h e. X_ i e. dom S ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } ) -> ( G gsumg f ) e. B )
24		eleq1 2532	. . . . . 6 |- ( x = ( G gsumg f ) -> ( x e. B <-> ( G gsumg f ) e. B ) )
25	23, 24	syl5ibrcom 222	. . . . 5 |- ( ( G dom DProd S /\ f e. { h e. X_ i e. dom S ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } ) -> ( x = ( G gsumg f ) -> x e. B ) )
26	25	rexlimdva 2948	. . . 4 |- ( G dom DProd S -> ( E. f e. { h e. X_ i e. dom S ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } x = ( G gsumg f ) -> x e. B ) )
27	26	imp 429	. . 3 |- ( ( G dom DProd S /\ E. f e. { h e. X_ i e. dom S ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } x = ( G gsumg f ) ) -> x e. B )
28	5, 27	sylbi 195	. 2 |- ( x e. ( G DProd S ) -> x e. B )
29	28	ssriv 3501	1 |- ( G DProd S ) C_ B

Syntax hints:   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1374   e. wcel 1762   E.wrex 2808   {crab 2811   _Vcvv 3106   C_ wss 3469   class class class wbr 4440   dom cdm 4992   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   X_cixp 7459   finSupp cfsupp 7818   Basecbs 14479   0gc0g 14684   gsum_g cgsu 14685   Mndcmnd 15715   Grpcgrp 15716  Cntzccntz 16141   DProd cdprd 16808

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-supp 6892  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-ixp 7460  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-fsupp 7819  df-oi 7924  df-card 8309  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-seq 12064  df-hash 12361  df-0g 14686  df-gsum 14687  df-mnd 15721  df-grp 15851  df-subg 15986  df-cntz 16143  df-dprd 16810

This theorem is referenced by:  dprdfsub  16844  dprdf11  16846  dprdfsubOLD  16851  dprdf11OLD  16853  dprdsubg  16854  dprdspan  16857  dprdcntz2  16869  dprd2da  16874  dmdprdsplit2lem  16877  ablfac1c  16905  ablfac1eulem  16906  ablfac1eu  16907