MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdssv Structured version   Unicode version

Theorem dprdssv 17183
Description: The internal direct product of a family of subgroups is a subset of the base. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
dprdssv.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
dprdssv  |-  ( G DProd 
S )  C_  B

Proof of Theorem dprdssv
Dummy variables  x  f  h  i are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2457 . . . 4  |-  dom  S  =  dom  S
2 eqid 2457 . . . . 5  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
3 eqid 2457 . . . . 5  |-  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) }  =  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) }
42, 3eldprd 17162 . . . 4  |-  ( dom 
S  =  dom  S  ->  ( x  e.  ( G DProd  S )  <->  ( G dom DProd  S  /\  E. f  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } x  =  ( G  gsumg  f ) ) ) )
51, 4ax-mp 5 . . 3  |-  ( x  e.  ( G DProd  S
)  <->  ( G dom DProd  S  /\  E. f  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } x  =  ( G  gsumg  f ) ) )
6 dprdssv.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  G
)
7 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  (Cntz `  G )  =  (Cntz `  G )
8 dprdgrp 17165 . . . . . . . . 9  |-  ( G dom DProd  S  ->  G  e. 
Grp )
9 grpmnd 16189 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Mnd )
108, 9syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( G dom DProd  S  ->  G  e. 
Mnd )
1110adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } )  ->  G  e.  Mnd )
12 reldmdprd 17155 . . . . . . . . . 10  |-  Rel  dom DProd
1312brrelex2i 5050 . . . . . . . . 9  |-  ( G dom DProd  S  ->  S  e. 
_V )
14 dmexg 6730 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  _V  ->  dom  S  e.  _V )
1513, 14syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( G dom DProd  S  ->  dom  S  e.  _V )
1615adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } )  ->  dom  S  e. 
_V )
17 simpl 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } )  ->  G dom DProd  S )
18 eqidd 2458 . . . . . . . 8  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } )  ->  dom  S  =  dom  S )
19 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } )  ->  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `
 i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } )
203, 17, 18, 19, 6dprdff 17173 . . . . . . 7  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } )  ->  f : dom  S --> B )
213, 17, 18, 19, 7dprdfcntz 17176 . . . . . . 7  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } )  ->  ran  f  C_  ( (Cntz `  G ) `  ran  f ) )
223, 17, 18, 19dprdffsupp 17175 . . . . . . 7  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } )  ->  f finSupp  ( 0g
`  G ) )
236, 2, 7, 11, 16, 20, 21, 22gsumzcl 17043 . . . . . 6  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } )  ->  ( G  gsumg  f )  e.  B )
24 eleq1 2529 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( G  gsumg  f )  ->  ( x  e.  B  <->  ( G  gsumg  f )  e.  B ) )
2523, 24syl5ibrcom 222 . . . . 5  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } )  ->  ( x  =  ( G  gsumg  f )  ->  x  e.  B
) )
2625rexlimdva 2949 . . . 4  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( E. f  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } x  =  ( G 
gsumg  f )  ->  x  e.  B ) )
2726imp 429 . . 3  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  E. f  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } x  =  ( G 
gsumg  f ) )  ->  x  e.  B )
285, 27sylbi 195 . 2  |-  ( x  e.  ( G DProd  S
)  ->  x  e.  B )
2928ssriv 3503 1  |-  ( G DProd 
S )  C_  B
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   E.wrex 2808   {crab 2811   _Vcvv 3109    C_ wss 3471   class class class wbr 4456   dom cdm 5008   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   X_cixp 7488   finSupp cfsupp 7847   Basecbs 14644   0gc0g 14857    gsumg cgsu 14858   Mndcmnd 16046   Grpcgrp 16180  Cntzccntz 16480   DProd cdprd 17151
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-oi 7953  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-seq 12111  df-hash 12409  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-grp 16184  df-subg 16325  df-cntz 16482  df-dprd 17153
This theorem is referenced by:  dprdfsub  17188  dprdf11  17190  dprdfsubOLD  17195  dprdf11OLD  17197  dprdsubg  17198  dprdspan  17201  dprdcntz2  17213  dprd2da  17218  dmdprdsplit2lem  17221  ablfac1c  17249  ablfac1eulem  17250  ablfac1eu  17251
  Copyright terms: Public domain W3C validator