Theorem dprdssv 17183

Description: The internal direct product of a family of subgroups is a subset of the base. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
dprdssv.b	|- B = ( Base ` G )

Assertion

Ref	Expression
dprdssv	|- ( G DProd S ) C_ B

Proof of Theorem dprdssv

Dummy variables x f h i are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2457	. . . 4 |- dom S = dom S
2		eqid 2457	. . . . 5 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
3		eqid 2457	. . . . 5 |- { h e. X_ i e. dom S ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } = { h e. X_ i e. dom S ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) }
4	2, 3	eldprd 17162	. . . 4 |- ( dom S = dom S -> ( x e. ( G DProd S ) <-> ( G dom DProd S /\ E. f e. { h e. X_ i e. dom S ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } x = ( G gsumg f ) ) ) )
5	1, 4	ax-mp 5	. . 3 |- ( x e. ( G DProd S ) <-> ( G dom DProd S /\ E. f e. { h e. X_ i e. dom S ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } x = ( G gsumg f ) ) )
6		dprdssv.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` G )
7		eqid 2457	. . . . . . 7 |- (Cntz ` G ) = (Cntz ` G )
8		dprdgrp 17165	. . . . . . . . 9 |- ( G dom DProd S -> G e. Grp )
9		grpmnd 16189	. . . . . . . . 9 |- ( G e. Grp -> G e. Mnd )
10	8, 9	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( G dom DProd S -> G e. Mnd )
11	10	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( G dom DProd S /\ f e. { h e. X_ i e. dom S ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } ) -> G e. Mnd )
12		reldmdprd 17155	. . . . . . . . . 10 |- Rel dom DProd
13	12	brrelex2i 5050	. . . . . . . . 9 |- ( G dom DProd S -> S e. _V )
14		dmexg 6730	. . . . . . . . 9 |- ( S e. _V -> dom S e. _V )
15	13, 14	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( G dom DProd S -> dom S e. _V )
16	15	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( G dom DProd S /\ f e. { h e. X_ i e. dom S ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } ) -> dom S e. _V )
17		simpl 457	. . . . . . . 8 |- ( ( G dom DProd S /\ f e. { h e. X_ i e. dom S ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } ) -> G dom DProd S )
18		eqidd 2458	. . . . . . . 8 |- ( ( G dom DProd S /\ f e. { h e. X_ i e. dom S ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } ) -> dom S = dom S )
19		simpr 461	. . . . . . . 8 |- ( ( G dom DProd S /\ f e. { h e. X_ i e. dom S ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } ) -> f e. { h e. X_ i e. dom S ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } )
20	3, 17, 18, 19, 6	dprdff 17173	. . . . . . 7 |- ( ( G dom DProd S /\ f e. { h e. X_ i e. dom S ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } ) -> f : dom S --> B )
21	3, 17, 18, 19, 7	dprdfcntz 17176	. . . . . . 7 |- ( ( G dom DProd S /\ f e. { h e. X_ i e. dom S ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } ) -> ran f C_ ( (Cntz ` G ) ` ran f ) )
22	3, 17, 18, 19	dprdffsupp 17175	. . . . . . 7 |- ( ( G dom DProd S /\ f e. { h e. X_ i e. dom S ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } ) -> f finSupp ( 0g ` G ) )
23	6, 2, 7, 11, 16, 20, 21, 22	gsumzcl 17043	. . . . . 6 |- ( ( G dom DProd S /\ f e. { h e. X_ i e. dom S ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } ) -> ( G gsumg f ) e. B )
24		eleq1 2529	. . . . . 6 |- ( x = ( G gsumg f ) -> ( x e. B <-> ( G gsumg f ) e. B ) )
25	23, 24	syl5ibrcom 222	. . . . 5 |- ( ( G dom DProd S /\ f e. { h e. X_ i e. dom S ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } ) -> ( x = ( G gsumg f ) -> x e. B ) )
26	25	rexlimdva 2949	. . . 4 |- ( G dom DProd S -> ( E. f e. { h e. X_ i e. dom S ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } x = ( G gsumg f ) -> x e. B ) )
27	26	imp 429	. . 3 |- ( ( G dom DProd S /\ E. f e. { h e. X_ i e. dom S ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } x = ( G gsumg f ) ) -> x e. B )
28	5, 27	sylbi 195	. 2 |- ( x e. ( G DProd S ) -> x e. B )
29	28	ssriv 3503	1 |- ( G DProd S ) C_ B

Syntax hints:   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1395   e. wcel 1819   E.wrex 2808   {crab 2811   _Vcvv 3109   C_ wss 3471   class class class wbr 4456   dom cdm 5008   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   X_cixp 7488   finSupp cfsupp 7847   Basecbs 14644   0gc0g 14857   gsum_g cgsu 14858   Mndcmnd 16046   Grpcgrp 16180  Cntzccntz 16480   DProd cdprd 17151

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-oi 7953  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-seq 12111  df-hash 12409  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-grp 16184  df-subg 16325  df-cntz 16482  df-dprd 17153

This theorem is referenced by:  dprdfsub  17188  dprdf11  17190  dprdfsubOLD  17195  dprdf11OLD  17197  dprdsubg  17198  dprdspan  17201  dprdcntz2  17213  dprd2da  17218  dmdprdsplit2lem  17221  ablfac1c  17249  ablfac1eulem  17250  ablfac1eu  17251