Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdssv Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem dprdssv 17661
 Description: The internal direct product of a family of subgroups is a subset of the base. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
dprdssv.b
Assertion
Ref Expression
dprdssv DProd

Proof of Theorem dprdssv
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2453 . . . 4
2 eqid 2453 . . . . 5
3 eqid 2453 . . . . 5 finSupp finSupp
42, 3eldprd 17648 . . . 4 DProd DProd finSupp g
51, 4ax-mp 5 . . 3 DProd DProd finSupp g
6 dprdssv.b . . . . . . 7
7 eqid 2453 . . . . . . 7 Cntz Cntz
8 dprdgrp 17649 . . . . . . . . 9 DProd
9 grpmnd 16690 . . . . . . . . 9
108, 9syl 17 . . . . . . . 8 DProd
1110adantr 467 . . . . . . 7 DProd finSupp
12 reldmdprd 17641 . . . . . . . . . 10 DProd
1312brrelex2i 4879 . . . . . . . . 9 DProd
14 dmexg 6729 . . . . . . . . 9
1513, 14syl 17 . . . . . . . 8 DProd
1615adantr 467 . . . . . . 7 DProd finSupp
17 simpl 459 . . . . . . . 8 DProd finSupp DProd
18 eqidd 2454 . . . . . . . 8 DProd finSupp
19 simpr 463 . . . . . . . 8 DProd finSupp finSupp
203, 17, 18, 19, 6dprdff 17657 . . . . . . 7 DProd finSupp
213, 17, 18, 19, 7dprdfcntz 17660 . . . . . . 7 DProd finSupp Cntz
223, 17, 18, 19dprdffsupp 17659 . . . . . . 7 DProd finSupp finSupp
236, 2, 7, 11, 16, 20, 21, 22gsumzcl 17557 . . . . . 6 DProd finSupp g
24 eleq1 2519 . . . . . 6 g g
2523, 24syl5ibrcom 226 . . . . 5 DProd finSupp g
2625rexlimdva 2881 . . . 4 DProd finSupp g
2726imp 431 . . 3 DProd finSupp g
285, 27sylbi 199 . 2 DProd
2928ssriv 3438 1 DProd
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wb 188   wa 371   wceq 1446   wcel 1889  wrex 2740  crab 2743  cvv 3047   wss 3406   class class class wbr 4405   cdm 4837  cfv 5585  (class class class)co 6295  cixp 7527   finSupp cfsupp 7888  cbs 15133  c0g 15350   g cgsu 15351  cmnd 16547  cgrp 16681  Cntzccntz 16981   DProd cdprd 17637 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-isom 5594  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-supp 6920  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-ixp 7528  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fsupp 7889  df-oi 8030  df-card 8378  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-nn 10617  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-seq 12221  df-hash 12523  df-0g 15352  df-gsum 15353  df-mgm 16500  df-sgrp 16539  df-mnd 16549  df-grp 16685  df-subg 16826  df-cntz 16983  df-dprd 17639 This theorem is referenced by:  dprdfsub  17666  dprdf11  17668  dprdsubg  17669  dprdspan  17672  dprdcntz2  17683  dprd2da  17687  dmdprdsplit2lem  17690  ablfac1c  17716  ablfac1eulem  17717  ablfac1eu  17718
 Copyright terms: Public domain W3C validator