MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdspan Structured version   Unicode version

Theorem dprdspan 16859
Description: The direct product is the span of the union of the factors. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
dprdspan.k  |-  K  =  (mrCls `  (SubGrp `  G
) )
Assertion
Ref Expression
dprdspan  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( G DProd 
S )  =  ( K `  U. ran  S ) )

Proof of Theorem dprdspan
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . 3  |-  ( G dom DProd  S  ->  G dom DProd  S )
2 eqidd 2463 . . 3  |-  ( G dom DProd  S  ->  dom  S  =  dom  S )
3 dprdgrp 16824 . . . . 5  |-  ( G dom DProd  S  ->  G  e. 
Grp )
4 eqid 2462 . . . . . 6  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
54subgacs 16026 . . . . 5  |-  ( G  e.  Grp  ->  (SubGrp `  G )  e.  (ACS
`  ( Base `  G
) ) )
6 acsmre 14898 . . . . 5  |-  ( (SubGrp `  G )  e.  (ACS
`  ( Base `  G
) )  ->  (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  ( Base `  G
) ) )
73, 5, 63syl 20 . . . 4  |-  ( G dom DProd  S  ->  (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  ( Base `  G
) ) )
8 dprdf 16825 . . . . . . . 8  |-  ( G dom DProd  S  ->  S : dom  S --> (SubGrp `  G )
)
9 ffn 5724 . . . . . . . 8  |-  ( S : dom  S --> (SubGrp `  G )  ->  S  Fn  dom  S )
108, 9syl 16 . . . . . . 7  |-  ( G dom DProd  S  ->  S  Fn  dom  S )
11 fniunfv 6140 . . . . . . 7  |-  ( S  Fn  dom  S  ->  U_ k  e.  dom  S ( S `  k
)  =  U. ran  S )
1210, 11syl 16 . . . . . 6  |-  ( G dom DProd  S  ->  U_ k  e.  dom  S ( S `
 k )  = 
U. ran  S )
13 simpl 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  k  e.  dom  S )  ->  G dom DProd  S )
14 eqidd 2463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  k  e.  dom  S )  ->  dom  S  =  dom  S )
15 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  k  e.  dom  S )  ->  k  e.  dom  S )
1613, 14, 15dprdub 16857 . . . . . . . 8  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  k  e.  dom  S )  ->  ( S `  k )  C_  ( G DProd  S ) )
1716ralrimiva 2873 . . . . . . 7  |-  ( G dom DProd  S  ->  A. k  e.  dom  S ( S `
 k )  C_  ( G DProd  S ) )
18 iunss 4361 . . . . . . 7  |-  ( U_ k  e.  dom  S ( S `  k ) 
C_  ( G DProd  S
)  <->  A. k  e.  dom  S ( S `  k
)  C_  ( G DProd  S ) )
1917, 18sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( G dom DProd  S  ->  U_ k  e.  dom  S ( S `
 k )  C_  ( G DProd  S ) )
2012, 19eqsstr3d 3534 . . . . 5  |-  ( G dom DProd  S  ->  U. ran  S 
C_  ( G DProd  S
) )
214dprdssv 16841 . . . . 5  |-  ( G DProd 
S )  C_  ( Base `  G )
2220, 21syl6ss 3511 . . . 4  |-  ( G dom DProd  S  ->  U. ran  S 
C_  ( Base `  G
) )
23 dprdspan.k . . . . 5  |-  K  =  (mrCls `  (SubGrp `  G
) )
2423mrccl 14857 . . . 4  |-  ( ( (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  ( Base `  G ) )  /\  U.
ran  S  C_  ( Base `  G ) )  -> 
( K `  U. ran  S )  e.  (SubGrp `  G ) )
257, 22, 24syl2anc 661 . . 3  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( K `
 U. ran  S
)  e.  (SubGrp `  G ) )
26 eqimss 3551 . . . . . . 7  |-  ( U_ k  e.  dom  S ( S `  k )  =  U. ran  S  ->  U_ k  e.  dom  S ( S `  k
)  C_  U. ran  S
)
2712, 26syl 16 . . . . . 6  |-  ( G dom DProd  S  ->  U_ k  e.  dom  S ( S `
 k )  C_  U.
ran  S )
28 iunss 4361 . . . . . 6  |-  ( U_ k  e.  dom  S ( S `  k ) 
C_  U. ran  S  <->  A. k  e.  dom  S ( S `
 k )  C_  U.
ran  S )
2927, 28sylib 196 . . . . 5  |-  ( G dom DProd  S  ->  A. k  e.  dom  S ( S `
 k )  C_  U.
ran  S )
3029r19.21bi 2828 . . . 4  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  k  e.  dom  S )  ->  ( S `  k )  C_  U. ran  S )
317, 23, 22mrcssidd 14871 . . . . 5  |-  ( G dom DProd  S  ->  U. ran  S 
C_  ( K `  U. ran  S ) )
3231adantr 465 . . . 4  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  k  e.  dom  S )  ->  U. ran  S  C_  ( K `  U. ran  S ) )
3330, 32sstrd 3509 . . 3  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  k  e.  dom  S )  ->  ( S `  k )  C_  ( K `  U. ran  S
) )
341, 2, 25, 33dprdlub 16858 . 2  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( G DProd 
S )  C_  ( K `  U. ran  S
) )
35 dprdsubg 16856 . . 3  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( G DProd 
S )  e.  (SubGrp `  G ) )
3623mrcsscl 14866 . . 3  |-  ( ( (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  ( Base `  G ) )  /\  U.
ran  S  C_  ( G DProd 
S )  /\  ( G DProd  S )  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( K `  U. ran  S )  C_  ( G DProd  S ) )
377, 20, 35, 36syl3anc 1223 . 2  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( K `
 U. ran  S
)  C_  ( G DProd  S ) )
3834, 37eqssd 3516 1  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( G DProd 
S )  =  ( K `  U. ran  S ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2809    C_ wss 3471   U.cuni 4240   U_ciun 4320   class class class wbr 4442   dom cdm 4994   ran crn 4995    Fn wfn 5576   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   Basecbs 14481  Moorecmre 14828  mrClscmrc 14829  ACScacs 14831   Grpcgrp 15718  SubGrpcsubg 15985   DProd cdprd 16810
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-inf2 8049  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-iin 4323  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-se 4834  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6517  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-supp 6894  df-tpos 6947  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-ixp 7462  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-fsupp 7821  df-oi 7926  df-card 8311  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10528  df-2 10585  df-n0 10787  df-z 10856  df-uz 11074  df-fz 11664  df-fzo 11784  df-seq 12066  df-hash 12363  df-ndx 14484  df-slot 14485  df-base 14486  df-sets 14487  df-ress 14488  df-plusg 14559  df-0g 14688  df-gsum 14689  df-mre 14832  df-mrc 14833  df-acs 14835  df-mnd 15723  df-mhm 15772  df-submnd 15773  df-grp 15853  df-minusg 15854  df-sbg 15855  df-mulg 15856  df-subg 15988  df-ghm 16055  df-gim 16097  df-cntz 16145  df-oppg 16171  df-cmn 16591  df-dprd 16812
This theorem is referenced by:  dprdres  16860  dprdf1o  16864  subgdprd  16867  dprdsn  16868  dprd2dlem1  16875  dprd2da  16876  dprd2db  16877  dmdprdsplit2lem  16879
  Copyright terms: Public domain W3C validator