MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdspan Structured version   Unicode version

Theorem dprdspan 17187
Description: The direct product is the span of the union of the factors. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
dprdspan.k  |-  K  =  (mrCls `  (SubGrp `  G
) )
Assertion
Ref Expression
dprdspan  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( G DProd 
S )  =  ( K `  U. ran  S ) )

Proof of Theorem dprdspan
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . 3  |-  ( G dom DProd  S  ->  G dom DProd  S )
2 eqidd 2383 . . 3  |-  ( G dom DProd  S  ->  dom  S  =  dom  S )
3 dprdgrp 17151 . . . . 5  |-  ( G dom DProd  S  ->  G  e. 
Grp )
4 eqid 2382 . . . . . 6  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
54subgacs 16353 . . . . 5  |-  ( G  e.  Grp  ->  (SubGrp `  G )  e.  (ACS
`  ( Base `  G
) ) )
6 acsmre 15059 . . . . 5  |-  ( (SubGrp `  G )  e.  (ACS
`  ( Base `  G
) )  ->  (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  ( Base `  G
) ) )
73, 5, 63syl 20 . . . 4  |-  ( G dom DProd  S  ->  (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  ( Base `  G
) ) )
8 dprdf 17152 . . . . . . . 8  |-  ( G dom DProd  S  ->  S : dom  S --> (SubGrp `  G )
)
9 ffn 5639 . . . . . . . 8  |-  ( S : dom  S --> (SubGrp `  G )  ->  S  Fn  dom  S )
108, 9syl 16 . . . . . . 7  |-  ( G dom DProd  S  ->  S  Fn  dom  S )
11 fniunfv 6060 . . . . . . 7  |-  ( S  Fn  dom  S  ->  U_ k  e.  dom  S ( S `  k
)  =  U. ran  S )
1210, 11syl 16 . . . . . 6  |-  ( G dom DProd  S  ->  U_ k  e.  dom  S ( S `
 k )  = 
U. ran  S )
13 simpl 455 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  k  e.  dom  S )  ->  G dom DProd  S )
14 eqidd 2383 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  k  e.  dom  S )  ->  dom  S  =  dom  S )
15 simpr 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  k  e.  dom  S )  ->  k  e.  dom  S )
1613, 14, 15dprdub 17185 . . . . . . . 8  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  k  e.  dom  S )  ->  ( S `  k )  C_  ( G DProd  S ) )
1716ralrimiva 2796 . . . . . . 7  |-  ( G dom DProd  S  ->  A. k  e.  dom  S ( S `
 k )  C_  ( G DProd  S ) )
18 iunss 4284 . . . . . . 7  |-  ( U_ k  e.  dom  S ( S `  k ) 
C_  ( G DProd  S
)  <->  A. k  e.  dom  S ( S `  k
)  C_  ( G DProd  S ) )
1917, 18sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( G dom DProd  S  ->  U_ k  e.  dom  S ( S `
 k )  C_  ( G DProd  S ) )
2012, 19eqsstr3d 3452 . . . . 5  |-  ( G dom DProd  S  ->  U. ran  S 
C_  ( G DProd  S
) )
214dprdssv 17169 . . . . 5  |-  ( G DProd 
S )  C_  ( Base `  G )
2220, 21syl6ss 3429 . . . 4  |-  ( G dom DProd  S  ->  U. ran  S 
C_  ( Base `  G
) )
23 dprdspan.k . . . . 5  |-  K  =  (mrCls `  (SubGrp `  G
) )
2423mrccl 15018 . . . 4  |-  ( ( (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  ( Base `  G ) )  /\  U.
ran  S  C_  ( Base `  G ) )  -> 
( K `  U. ran  S )  e.  (SubGrp `  G ) )
257, 22, 24syl2anc 659 . . 3  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( K `
 U. ran  S
)  e.  (SubGrp `  G ) )
26 eqimss 3469 . . . . . . 7  |-  ( U_ k  e.  dom  S ( S `  k )  =  U. ran  S  ->  U_ k  e.  dom  S ( S `  k
)  C_  U. ran  S
)
2712, 26syl 16 . . . . . 6  |-  ( G dom DProd  S  ->  U_ k  e.  dom  S ( S `
 k )  C_  U.
ran  S )
28 iunss 4284 . . . . . 6  |-  ( U_ k  e.  dom  S ( S `  k ) 
C_  U. ran  S  <->  A. k  e.  dom  S ( S `
 k )  C_  U.
ran  S )
2927, 28sylib 196 . . . . 5  |-  ( G dom DProd  S  ->  A. k  e.  dom  S ( S `
 k )  C_  U.
ran  S )
3029r19.21bi 2751 . . . 4  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  k  e.  dom  S )  ->  ( S `  k )  C_  U. ran  S )
317, 23, 22mrcssidd 15032 . . . . 5  |-  ( G dom DProd  S  ->  U. ran  S 
C_  ( K `  U. ran  S ) )
3231adantr 463 . . . 4  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  k  e.  dom  S )  ->  U. ran  S  C_  ( K `  U. ran  S ) )
3330, 32sstrd 3427 . . 3  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  k  e.  dom  S )  ->  ( S `  k )  C_  ( K `  U. ran  S
) )
341, 2, 25, 33dprdlub 17186 . 2  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( G DProd 
S )  C_  ( K `  U. ran  S
) )
35 dprdsubg 17184 . . 3  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( G DProd 
S )  e.  (SubGrp `  G ) )
3623mrcsscl 15027 . . 3  |-  ( ( (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  ( Base `  G ) )  /\  U.
ran  S  C_  ( G DProd 
S )  /\  ( G DProd  S )  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( K `  U. ran  S )  C_  ( G DProd  S ) )
377, 20, 35, 36syl3anc 1226 . 2  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( K `
 U. ran  S
)  C_  ( G DProd  S ) )
3834, 37eqssd 3434 1  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( G DProd 
S )  =  ( K `  U. ran  S ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1826   A.wral 2732    C_ wss 3389   U.cuni 4163   U_ciun 4243   class class class wbr 4367   dom cdm 4913   ran crn 4914    Fn wfn 5491   -->wf 5492   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   Basecbs 14634  Moorecmre 14989  mrClscmrc 14990  ACScacs 14992   Grpcgrp 16170  SubGrpcsubg 16312   DProd cdprd 17137
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-inf2 7972  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-iin 4246  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-se 4753  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-isom 5505  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-of 6439  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-supp 6818  df-tpos 6873  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-oadd 7052  df-er 7229  df-map 7340  df-ixp 7389  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-fsupp 7745  df-oi 7850  df-card 8233  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-nn 10453  df-2 10511  df-n0 10713  df-z 10782  df-uz 11002  df-fz 11594  df-fzo 11718  df-seq 12011  df-hash 12308  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-sets 14640  df-ress 14641  df-plusg 14715  df-0g 14849  df-gsum 14850  df-mre 14993  df-mrc 14994  df-acs 14996  df-mgm 15989  df-sgrp 16028  df-mnd 16038  df-mhm 16083  df-submnd 16084  df-grp 16174  df-minusg 16175  df-sbg 16176  df-mulg 16177  df-subg 16315  df-ghm 16382  df-gim 16424  df-cntz 16472  df-oppg 16498  df-cmn 16917  df-dprd 17139
This theorem is referenced by:  dprdres  17188  dprdf1o  17192  subgdprd  17195  dprdsn  17196  dprd2dlem1  17203  dprd2da  17204  dprd2db  17205  dmdprdsplit2lem  17207
  Copyright terms: Public domain W3C validator