MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdlub Structured version   Unicode version

Theorem dprdlub 16875
Description: The direct product is smaller than any subgroup which contains the factors. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dprdlub.1  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
dprdlub.2  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
dprdlub.3  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubGrp `  G ) )
dprdlub.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  ( S `  k )  C_  T )
Assertion
Ref Expression
dprdlub  |-  ( ph  ->  ( G DProd  S ) 
C_  T )
Distinct variable groups:    k, G    k, I    ph, k    S, k    T, k

Proof of Theorem dprdlub
Dummy variables  f  h  i are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dprdlub.1 . . 3  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
2 dprdlub.2 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
3 eqid 2467 . . . 4  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
4 eqid 2467 . . . 4  |-  { h  e.  X_ i  e.  I 
( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) }  =  { h  e.  X_ i  e.  I 
( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) }
53, 4dprdval 16837 . . 3  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  dom  S  =  I )  ->  ( G DProd  S
)  =  ran  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I 
( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } 
|->  ( G  gsumg  f ) ) )
61, 2, 5syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( G DProd  S )  =  ran  ( f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I 
( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } 
|->  ( G  gsumg  f ) ) )
7 eqid 2467 . . . . 5  |-  (Cntz `  G )  =  (Cntz `  G )
81adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp 
( 0g `  G
) } )  ->  G dom DProd  S )
9 dprdgrp 16841 . . . . . 6  |-  ( G dom DProd  S  ->  G  e. 
Grp )
10 grpmnd 15872 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Mnd )
118, 9, 103syl 20 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp 
( 0g `  G
) } )  ->  G  e.  Mnd )
121, 2dprddomcld 16835 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
1312adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp 
( 0g `  G
) } )  ->  I  e.  _V )
14 dprdlub.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubGrp `  G ) )
1514adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp 
( 0g `  G
) } )  ->  T  e.  (SubGrp `  G
) )
16 subgsubm 16028 . . . . . 6  |-  ( T  e.  (SubGrp `  G
)  ->  T  e.  (SubMnd `  G ) )
1715, 16syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp 
( 0g `  G
) } )  ->  T  e.  (SubMnd `  G
) )
182adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp 
( 0g `  G
) } )  ->  dom  S  =  I )
19 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp 
( 0g `  G
) } )  -> 
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I 
( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } )
20 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
214, 8, 18, 19, 20dprdff 16848 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp 
( 0g `  G
) } )  -> 
f : I --> ( Base `  G ) )
22 ffn 5731 . . . . . . 7  |-  ( f : I --> ( Base `  G )  ->  f  Fn  I )
2321, 22syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp 
( 0g `  G
) } )  -> 
f  Fn  I )
24 dprdlub.4 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  ( S `  k )  C_  T )
2524adantlr 714 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } )  /\  k  e.  I
)  ->  ( S `  k )  C_  T
)
264, 8, 18, 19dprdfcl 16849 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } )  /\  k  e.  I
)  ->  ( f `  k )  e.  ( S `  k ) )
2725, 26sseldd 3505 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } )  /\  k  e.  I
)  ->  ( f `  k )  e.  T
)
2827ralrimiva 2878 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp 
( 0g `  G
) } )  ->  A. k  e.  I 
( f `  k
)  e.  T )
29 ffnfv 6047 . . . . . 6  |-  ( f : I --> T  <->  ( f  Fn  I  /\  A. k  e.  I  ( f `  k )  e.  T
) )
3023, 28, 29sylanbrc 664 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp 
( 0g `  G
) } )  -> 
f : I --> T )
314, 8, 18, 19, 7dprdfcntz 16851 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp 
( 0g `  G
) } )  ->  ran  f  C_  ( (Cntz `  G ) `  ran  f ) )
324, 8, 18, 19dprdffsupp 16850 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp 
( 0g `  G
) } )  -> 
f finSupp  ( 0g `  G
) )
333, 7, 11, 13, 17, 30, 31, 32gsumzsubmcl 16731 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp 
( 0g `  G
) } )  -> 
( G  gsumg  f )  e.  T
)
34 eqid 2467 . . . 4  |-  ( f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I 
( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } 
|->  ( G  gsumg  f ) )  =  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp 
( 0g `  G
) }  |->  ( G 
gsumg  f ) )
3533, 34fmptd 6045 . . 3  |-  ( ph  ->  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp 
( 0g `  G
) }  |->  ( G 
gsumg  f ) ) : { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } --> T )
36 frn 5737 . . 3  |-  ( ( f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I 
( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } 
|->  ( G  gsumg  f ) ) : { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } --> T  ->  ran  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp 
( 0g `  G
) }  |->  ( G 
gsumg  f ) )  C_  T )
3735, 36syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ran  ( f  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) }  |->  ( G  gsumg  f ) )  C_  T )
386, 37eqsstrd 3538 1  |-  ( ph  ->  ( G DProd  S ) 
C_  T )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   {crab 2818   _Vcvv 3113    C_ wss 3476   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   dom cdm 4999   ran crn 5000    Fn wfn 5583   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   X_cixp 7469   finSupp cfsupp 7829   Basecbs 14490   0gc0g 14695    gsumg cgsu 14696   Mndcmnd 15726   Grpcgrp 15727  SubMndcsubmnd 15785  SubGrpcsubg 16000  Cntzccntz 16158   DProd cdprd 16827
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7830  df-oi 7935  df-card 8320  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-seq 12076  df-hash 12374  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-0g 14697  df-gsum 14698  df-mnd 15732  df-submnd 15787  df-grp 15867  df-minusg 15868  df-subg 16003  df-cntz 16160  df-dprd 16829
This theorem is referenced by:  dprdspan  16876  dprdz  16879  dprdcntz2  16888  dprd2dlem1  16892  dprdsplit  16899  ablfac1eu  16926
  Copyright terms: Public domain W3C validator