MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdlub Structured version   Unicode version

Theorem dprdlub 17268
Description: The direct product is smaller than any subgroup which contains the factors. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dprdlub.1  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
dprdlub.2  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
dprdlub.3  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubGrp `  G ) )
dprdlub.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  ( S `  k )  C_  T )
Assertion
Ref Expression
dprdlub  |-  ( ph  ->  ( G DProd  S ) 
C_  T )
Distinct variable groups:    k, G    k, I    ph, k    S, k    T, k

Proof of Theorem dprdlub
Dummy variables  f  h  i are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dprdlub.1 . . 3  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
2 dprdlub.2 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
3 eqid 2454 . . . 4  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
4 eqid 2454 . . . 4  |-  { h  e.  X_ i  e.  I 
( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) }  =  { h  e.  X_ i  e.  I 
( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) }
53, 4dprdval 17229 . . 3  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  dom  S  =  I )  ->  ( G DProd  S
)  =  ran  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I 
( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } 
|->  ( G  gsumg  f ) ) )
61, 2, 5syl2anc 659 . 2  |-  ( ph  ->  ( G DProd  S )  =  ran  ( f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I 
( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } 
|->  ( G  gsumg  f ) ) )
7 eqid 2454 . . . . 5  |-  (Cntz `  G )  =  (Cntz `  G )
81adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp 
( 0g `  G
) } )  ->  G dom DProd  S )
9 dprdgrp 17233 . . . . . 6  |-  ( G dom DProd  S  ->  G  e. 
Grp )
10 grpmnd 16261 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Mnd )
118, 9, 103syl 20 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp 
( 0g `  G
) } )  ->  G  e.  Mnd )
121, 2dprddomcld 17227 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
1312adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp 
( 0g `  G
) } )  ->  I  e.  _V )
14 dprdlub.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubGrp `  G ) )
1514adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp 
( 0g `  G
) } )  ->  T  e.  (SubGrp `  G
) )
16 subgsubm 16422 . . . . . 6  |-  ( T  e.  (SubGrp `  G
)  ->  T  e.  (SubMnd `  G ) )
1715, 16syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp 
( 0g `  G
) } )  ->  T  e.  (SubMnd `  G
) )
182adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp 
( 0g `  G
) } )  ->  dom  S  =  I )
19 simpr 459 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp 
( 0g `  G
) } )  -> 
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I 
( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } )
20 eqid 2454 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
214, 8, 18, 19, 20dprdff 17241 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp 
( 0g `  G
) } )  -> 
f : I --> ( Base `  G ) )
22 ffn 5713 . . . . . . 7  |-  ( f : I --> ( Base `  G )  ->  f  Fn  I )
2321, 22syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp 
( 0g `  G
) } )  -> 
f  Fn  I )
24 dprdlub.4 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  ( S `  k )  C_  T )
2524adantlr 712 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } )  /\  k  e.  I
)  ->  ( S `  k )  C_  T
)
264, 8, 18, 19dprdfcl 17242 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } )  /\  k  e.  I
)  ->  ( f `  k )  e.  ( S `  k ) )
2725, 26sseldd 3490 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } )  /\  k  e.  I
)  ->  ( f `  k )  e.  T
)
2827ralrimiva 2868 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp 
( 0g `  G
) } )  ->  A. k  e.  I 
( f `  k
)  e.  T )
29 ffnfv 6033 . . . . . 6  |-  ( f : I --> T  <->  ( f  Fn  I  /\  A. k  e.  I  ( f `  k )  e.  T
) )
3023, 28, 29sylanbrc 662 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp 
( 0g `  G
) } )  -> 
f : I --> T )
314, 8, 18, 19, 7dprdfcntz 17244 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp 
( 0g `  G
) } )  ->  ran  f  C_  ( (Cntz `  G ) `  ran  f ) )
324, 8, 18, 19dprdffsupp 17243 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp 
( 0g `  G
) } )  -> 
f finSupp  ( 0g `  G
) )
333, 7, 11, 13, 17, 30, 31, 32gsumzsubmcl 17127 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp 
( 0g `  G
) } )  -> 
( G  gsumg  f )  e.  T
)
34 eqid 2454 . . . 4  |-  ( f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I 
( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } 
|->  ( G  gsumg  f ) )  =  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp 
( 0g `  G
) }  |->  ( G 
gsumg  f ) )
3533, 34fmptd 6031 . . 3  |-  ( ph  ->  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp 
( 0g `  G
) }  |->  ( G 
gsumg  f ) ) : { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } --> T )
36 frn 5719 . . 3  |-  ( ( f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I 
( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } 
|->  ( G  gsumg  f ) ) : { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) } --> T  ->  ran  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp 
( 0g `  G
) }  |->  ( G 
gsumg  f ) )  C_  T )
3735, 36syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ran  ( f  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp  ( 0g `  G ) }  |->  ( G  gsumg  f ) )  C_  T )
386, 37eqsstrd 3523 1  |-  ( ph  ->  ( G DProd  S ) 
C_  T )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804   {crab 2808   _Vcvv 3106    C_ wss 3461   class class class wbr 4439    |-> cmpt 4497   dom cdm 4988   ran crn 4989    Fn wfn 5565   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   X_cixp 7462   finSupp cfsupp 7821   Basecbs 14716   0gc0g 14929    gsumg cgsu 14930   Mndcmnd 16118  SubMndcsubmnd 16164   Grpcgrp 16252  SubGrpcsubg 16394  Cntzccntz 16552   DProd cdprd 17219
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-oi 7927  df-card 8311  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-seq 12090  df-hash 12388  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-0g 14931  df-gsum 14932  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-submnd 16166  df-grp 16256  df-minusg 16257  df-subg 16397  df-cntz 16554  df-dprd 17221
This theorem is referenced by:  dprdspan  17269  dprdz  17272  dprdcntz2  17281  dprd2dlem1  17285  dprdsplit  17292  ablfac1eu  17319
  Copyright terms: Public domain W3C validator