MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdgrp Structured version   Unicode version

Theorem dprdgrp 17637
Description: Reverse closure for the internal direct product. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
dprdgrp  |-  ( G dom DProd  S  ->  G  e. 
Grp )

Proof of Theorem dprdgrp
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reldmdprd 17629 . . . . . 6  |-  Rel  dom DProd
21brrelex2i 4895 . . . . 5  |-  ( G dom DProd  S  ->  S  e. 
_V )
3 dmexg 6739 . . . . 5  |-  ( S  e.  _V  ->  dom  S  e.  _V )
42, 3syl 17 . . . 4  |-  ( G dom DProd  S  ->  dom  S  e.  _V )
5 eqid 2422 . . . 4  |-  dom  S  =  dom  S
6 eqid 2422 . . . . 5  |-  (Cntz `  G )  =  (Cntz `  G )
7 eqid 2422 . . . . 5  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
8 eqid 2422 . . . . 5  |-  (mrCls `  (SubGrp `  G ) )  =  (mrCls `  (SubGrp `  G ) )
96, 7, 8dmdprd 17630 . . . 4  |-  ( ( dom  S  e.  _V  /\ 
dom  S  =  dom  S )  ->  ( G dom DProd  S  <->  ( G  e. 
Grp  /\  S : dom  S --> (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  dom  S ( A. y  e.  ( dom  S  \  { x } ) ( S `  x
)  C_  ( (Cntz `  G ) `  ( S `  y )
)  /\  ( ( S `  x )  i^i  ( (mrCls `  (SubGrp `  G ) ) `  U. ( S " ( dom  S  \  { x } ) ) ) )  =  { ( 0g `  G ) } ) ) ) )
104, 5, 9sylancl 666 . . 3  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( G dom DProd  S  <->  ( G  e. 
Grp  /\  S : dom  S --> (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  dom  S ( A. y  e.  ( dom  S  \  { x } ) ( S `  x
)  C_  ( (Cntz `  G ) `  ( S `  y )
)  /\  ( ( S `  x )  i^i  ( (mrCls `  (SubGrp `  G ) ) `  U. ( S " ( dom  S  \  { x } ) ) ) )  =  { ( 0g `  G ) } ) ) ) )
1110ibi 244 . 2  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( G  e.  Grp  /\  S : dom  S --> (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  dom  S ( A. y  e.  ( dom  S  \  {
x } ) ( S `  x ) 
C_  ( (Cntz `  G ) `  ( S `  y )
)  /\  ( ( S `  x )  i^i  ( (mrCls `  (SubGrp `  G ) ) `  U. ( S " ( dom  S  \  { x } ) ) ) )  =  { ( 0g `  G ) } ) ) )
1211simp1d 1017 1  |-  ( G dom DProd  S  ->  G  e. 
Grp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872   A.wral 2771   _Vcvv 3080    \ cdif 3433    i^i cin 3435    C_ wss 3436   {csn 3998   U.cuni 4219   class class class wbr 4423   dom cdm 4853   "cima 4856   -->wf 5597   ` cfv 5601   0gc0g 15338  mrClscmrc 15489   Grpcgrp 16669  SubGrpcsubg 16811  Cntzccntz 16969   DProd cdprd 17625
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6598
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-op 4005  df-uni 4220  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-id 4768  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-oprab 6310  df-mpt2 6311  df-1st 6808  df-2nd 6809  df-ixp 7535  df-dprd 17627
This theorem is referenced by:  dprdssv  17649  dprdfid  17650  dprdfinv  17652  dprdfadd  17653  dprdfsub  17654  dprdfeq0  17655  dprdf11  17656  dprdsubg  17657  dprdlub  17659  dprdspan  17660  dprdres  17661  dprdss  17662  dprdf1o  17665  dmdprdsplitlem  17670  dprdcntz2  17671  dprddisj2  17672  dprd2dlem1  17674  dprd2da  17675  dmdprdsplit2lem  17678  dmdprdsplit2  17679  dpjfval  17688  dpjidcl  17691
  Copyright terms: Public domain W3C validator