MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdgrp Structured version   Unicode version

Theorem dprdgrp 16612
Description: Reverse closure for the internal direct product. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
dprdgrp  |-  ( G dom DProd  S  ->  G  e. 
Grp )

Proof of Theorem dprdgrp
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reldmdprd 16602 . . . . . 6  |-  Rel  dom DProd
21brrelex2i 4989 . . . . 5  |-  ( G dom DProd  S  ->  S  e. 
_V )
3 dmexg 6620 . . . . 5  |-  ( S  e.  _V  ->  dom  S  e.  _V )
42, 3syl 16 . . . 4  |-  ( G dom DProd  S  ->  dom  S  e.  _V )
5 eqid 2454 . . . 4  |-  dom  S  =  dom  S
6 eqid 2454 . . . . 5  |-  (Cntz `  G )  =  (Cntz `  G )
7 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
8 eqid 2454 . . . . 5  |-  (mrCls `  (SubGrp `  G ) )  =  (mrCls `  (SubGrp `  G ) )
96, 7, 8dmdprd 16603 . . . 4  |-  ( ( dom  S  e.  _V  /\ 
dom  S  =  dom  S )  ->  ( G dom DProd  S  <->  ( G  e. 
Grp  /\  S : dom  S --> (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  dom  S ( A. y  e.  ( dom  S  \  { x } ) ( S `  x
)  C_  ( (Cntz `  G ) `  ( S `  y )
)  /\  ( ( S `  x )  i^i  ( (mrCls `  (SubGrp `  G ) ) `  U. ( S " ( dom  S  \  { x } ) ) ) )  =  { ( 0g `  G ) } ) ) ) )
104, 5, 9sylancl 662 . . 3  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( G dom DProd  S  <->  ( G  e. 
Grp  /\  S : dom  S --> (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  dom  S ( A. y  e.  ( dom  S  \  { x } ) ( S `  x
)  C_  ( (Cntz `  G ) `  ( S `  y )
)  /\  ( ( S `  x )  i^i  ( (mrCls `  (SubGrp `  G ) ) `  U. ( S " ( dom  S  \  { x } ) ) ) )  =  { ( 0g `  G ) } ) ) ) )
1110ibi 241 . 2  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( G  e.  Grp  /\  S : dom  S --> (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  dom  S ( A. y  e.  ( dom  S  \  {
x } ) ( S `  x ) 
C_  ( (Cntz `  G ) `  ( S `  y )
)  /\  ( ( S `  x )  i^i  ( (mrCls `  (SubGrp `  G ) ) `  U. ( S " ( dom  S  \  { x } ) ) ) )  =  { ( 0g `  G ) } ) ) )
1211simp1d 1000 1  |-  ( G dom DProd  S  ->  G  e. 
Grp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2799   _Vcvv 3078    \ cdif 3434    i^i cin 3436    C_ wss 3437   {csn 3986   U.cuni 4200   class class class wbr 4401   dom cdm 4949   "cima 4952   -->wf 5523   ` cfv 5527   0gc0g 14498  mrClscmrc 14641   Grpcgrp 15530  SubGrpcsubg 15795  Cntzccntz 15953   DProd cdprd 16598
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-op 3993  df-uni 4201  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-id 4745  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-ixp 7375  df-dprd 16600
This theorem is referenced by:  dprdssv  16629  dprdfid  16630  dprdfinv  16632  dprdfadd  16633  dprdfsub  16634  dprdfeq0  16635  dprdf11  16636  dprdfidOLD  16637  dprdfinvOLD  16639  dprdfaddOLD  16640  dprdfsubOLD  16641  dprdfeq0OLD  16642  dprdf11OLD  16643  dprdsubg  16644  dprdlub  16646  dprdspan  16647  dprdres  16648  dprdss  16649  dprdf1o  16652  dmdprdsplitlem  16657  dmdprdsplitlemOLD  16658  dprdcntz2  16659  dprddisj2  16660  dprddisj2OLD  16661  dprd2dlem1  16663  dprd2da  16664  dmdprdsplit2lem  16667  dmdprdsplit2  16668  dpjfval  16677  dpjidcl  16680  dpjidclOLD  16687
  Copyright terms: Public domain W3C validator