MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdgrp Structured version   Unicode version

Theorem dprdgrp 17164
Description: Reverse closure for the internal direct product. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
dprdgrp  |-  ( G dom DProd  S  ->  G  e. 
Grp )

Proof of Theorem dprdgrp
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reldmdprd 17154 . . . . . 6  |-  Rel  dom DProd
21brrelex2i 5050 . . . . 5  |-  ( G dom DProd  S  ->  S  e. 
_V )
3 dmexg 6730 . . . . 5  |-  ( S  e.  _V  ->  dom  S  e.  _V )
42, 3syl 16 . . . 4  |-  ( G dom DProd  S  ->  dom  S  e.  _V )
5 eqid 2457 . . . 4  |-  dom  S  =  dom  S
6 eqid 2457 . . . . 5  |-  (Cntz `  G )  =  (Cntz `  G )
7 eqid 2457 . . . . 5  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
8 eqid 2457 . . . . 5  |-  (mrCls `  (SubGrp `  G ) )  =  (mrCls `  (SubGrp `  G ) )
96, 7, 8dmdprd 17155 . . . 4  |-  ( ( dom  S  e.  _V  /\ 
dom  S  =  dom  S )  ->  ( G dom DProd  S  <->  ( G  e. 
Grp  /\  S : dom  S --> (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  dom  S ( A. y  e.  ( dom  S  \  { x } ) ( S `  x
)  C_  ( (Cntz `  G ) `  ( S `  y )
)  /\  ( ( S `  x )  i^i  ( (mrCls `  (SubGrp `  G ) ) `  U. ( S " ( dom  S  \  { x } ) ) ) )  =  { ( 0g `  G ) } ) ) ) )
104, 5, 9sylancl 662 . . 3  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( G dom DProd  S  <->  ( G  e. 
Grp  /\  S : dom  S --> (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  dom  S ( A. y  e.  ( dom  S  \  { x } ) ( S `  x
)  C_  ( (Cntz `  G ) `  ( S `  y )
)  /\  ( ( S `  x )  i^i  ( (mrCls `  (SubGrp `  G ) ) `  U. ( S " ( dom  S  \  { x } ) ) ) )  =  { ( 0g `  G ) } ) ) ) )
1110ibi 241 . 2  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( G  e.  Grp  /\  S : dom  S --> (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  dom  S ( A. y  e.  ( dom  S  \  {
x } ) ( S `  x ) 
C_  ( (Cntz `  G ) `  ( S `  y )
)  /\  ( ( S `  x )  i^i  ( (mrCls `  (SubGrp `  G ) ) `  U. ( S " ( dom  S  \  { x } ) ) ) )  =  { ( 0g `  G ) } ) ) )
1211simp1d 1008 1  |-  ( G dom DProd  S  ->  G  e. 
Grp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   _Vcvv 3109    \ cdif 3468    i^i cin 3470    C_ wss 3471   {csn 4032   U.cuni 4251   class class class wbr 4456   dom cdm 5008   "cima 5011   -->wf 5590   ` cfv 5594   0gc0g 14856  mrClscmrc 14999   Grpcgrp 16179  SubGrpcsubg 16321  Cntzccntz 16479   DProd cdprd 17150
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-ixp 7489  df-dprd 17152
This theorem is referenced by:  dprdssv  17182  dprdfid  17183  dprdfinv  17185  dprdfadd  17186  dprdfsub  17187  dprdfeq0  17188  dprdf11  17189  dprdfidOLD  17190  dprdfinvOLD  17192  dprdfaddOLD  17193  dprdfsubOLD  17194  dprdfeq0OLD  17195  dprdf11OLD  17196  dprdsubg  17197  dprdlub  17199  dprdspan  17200  dprdres  17201  dprdss  17202  dprdf1o  17205  dmdprdsplitlem  17210  dmdprdsplitlemOLD  17211  dprdcntz2  17212  dprddisj2  17213  dprddisj2OLD  17214  dprd2dlem1  17216  dprd2da  17217  dmdprdsplit2lem  17220  dmdprdsplit2  17221  dpjfval  17230  dpjidcl  17233  dpjidclOLD  17240
  Copyright terms: Public domain W3C validator