Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdfsubOLD Structured version   Unicode version

Theorem dprdfsubOLD 17286
 Description: Take the difference of group sums over two families of elements of disjoint subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) Obsolete version of dprdfsub 17279 as of 14-Jul-2019. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
eldprdiOLD.0
eldprdiOLD.w
eldprdiOLD.1 DProd
eldprdiOLD.2
eldprdiOLD.3
dprdfsubOLD.b
Assertion
Ref Expression
dprdfsubOLD g g g
Distinct variable groups:   ,   ,   ,,   ,,   ,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   ()   ()   (,)   (,)   ()

Proof of Theorem dprdfsubOLD
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldprdiOLD.w . . . . . . . 8
2 eldprdiOLD.1 . . . . . . . 8 DProd
3 eldprdiOLD.2 . . . . . . . 8
4 eldprdiOLD.3 . . . . . . . 8
5 eqid 2457 . . . . . . . 8
61, 2, 3, 4, 5dprdffOLD 17270 . . . . . . 7
76ffvelrnda 6032 . . . . . 6
8 dprdfaddOLD.4 . . . . . . . 8
91, 2, 3, 8, 5dprdffOLD 17270 . . . . . . 7
109ffvelrnda 6032 . . . . . 6
11 eqid 2457 . . . . . . 7
12 eqid 2457 . . . . . . 7
13 dprdfsubOLD.b . . . . . . 7
145, 11, 12, 13grpsubval 16311 . . . . . 6
157, 10, 14syl2anc 661 . . . . 5
1615mpteq2dva 4543 . . . 4
17 reldmdprd 17246 . . . . . . . 8 DProd
1817brrelex2i 5050 . . . . . . 7 DProd
19 dmexg 6730 . . . . . . 7
202, 18, 193syl 20 . . . . . 6
213, 20eqeltrrd 2546 . . . . 5
226feqmptd 5926 . . . . 5
239feqmptd 5926 . . . . 5
2421, 7, 10, 22, 23offval2 6555 . . . 4
25 fvex 5882 . . . . . 6
2625a1i 11 . . . . 5
27 dprdgrp 17256 . . . . . . . . . 10 DProd
282, 27syl 16 . . . . . . . . 9
295, 12, 28grpinvf1o 16326 . . . . . . . 8
30 f1of 5822 . . . . . . . 8
3129, 30syl 16 . . . . . . 7
3231feqmptd 5926 . . . . . 6
33 fveq2 5872 . . . . . 6
3410, 23, 32, 33fmptco 6065 . . . . 5
3521, 7, 26, 22, 34offval2 6555 . . . 4
3616, 24, 353eqtr4d 2508 . . 3
37 eldprdiOLD.0 . . . . 5
3837, 1, 2, 3, 8, 12dprdfinvOLD 17284 . . . . . 6 g g
3938simpld 459 . . . . 5
4037, 1, 2, 3, 4, 39, 11dprdfaddOLD 17285 . . . 4 g g g
4140simpld 459 . . 3
4236, 41eqeltrd 2545 . 2
4336oveq2d 6312 . . 3 g g
4438simprd 463 . . . . 5 g g
4544oveq2d 6312 . . . 4 g g g g
4640simprd 463 . . . 4 g g g
475dprdssv 17274 . . . . . 6 DProd
4837, 1, 2, 3, 4eldprdiOLD 17283 . . . . . 6 g DProd
4947, 48sseldi 3497 . . . . 5 g
5037, 1, 2, 3, 8eldprdiOLD 17283 . . . . . 6 g DProd
5147, 50sseldi 3497 . . . . 5 g
525, 11, 12, 13grpsubval 16311 . . . . 5 g g g g g g
5349, 51, 52syl2anc 661 . . . 4 g g g g
5445, 46, 533eqtr4d 2508 . . 3 g g g
5543, 54eqtrd 2498 . 2 g g g
5642, 55jca 532 1 g g g
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1395   wcel 1819  crab 2811  cvv 3109   cdif 3468  csn 4032   class class class wbr 4456   cmpt 4515  ccnv 5007   cdm 5008  cima 5011   ccom 5012  wf 5590  wf1o 5593  cfv 5594  (class class class)co 6296   cof 6537  cixp 7488  cfn 7535  cbs 14735   cplusg 14803  c0g 14948   g cgsu 14949  cgrp 16271  cminusg 16272  csg 16273   DProd cdprd 17242 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-tpos 6973  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-oi 7953  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-seq 12111  df-hash 12409  df-ndx 14738  df-slot 14739  df-base 14740  df-sets 14741  df-ress 14742  df-plusg 14816  df-0g 14950  df-gsum 14951  df-mre 15094  df-mrc 15095  df-acs 15097  df-mgm 16090  df-sgrp 16129  df-mnd 16139  df-mhm 16184  df-submnd 16185  df-grp 16275  df-minusg 16276  df-sbg 16277  df-subg 16416  df-ghm 16483  df-gim 16525  df-cntz 16573  df-oppg 16599  df-cmn 17018  df-dprd 17244 This theorem is referenced by:  dprdfeq0OLD  17287  dprdf11OLD  17288
 Copyright terms: Public domain W3C validator