Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdfsub Structured version   Unicode version

Theorem dprdfsub 17589
 Description: Take the difference of group sums over two families of elements of disjoint subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 14-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
eldprdi.0
eldprdi.w finSupp
eldprdi.1 DProd
eldprdi.2
eldprdi.3
dprdfsub.b
Assertion
Ref Expression
dprdfsub g g g
Distinct variable groups:   ,   ,   ,,   ,,   ,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   ()   ()   (,)   (,)   ()

Proof of Theorem dprdfsub
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldprdi.w . . . . . . . 8 finSupp
2 eldprdi.1 . . . . . . . 8 DProd
3 eldprdi.2 . . . . . . . 8
4 eldprdi.3 . . . . . . . 8
5 eqid 2429 . . . . . . . 8
61, 2, 3, 4, 5dprdff 17580 . . . . . . 7
76ffvelrnda 6037 . . . . . 6
8 dprdfadd.4 . . . . . . . 8
91, 2, 3, 8, 5dprdff 17580 . . . . . . 7
109ffvelrnda 6037 . . . . . 6
11 eqid 2429 . . . . . . 7
12 eqid 2429 . . . . . . 7
13 dprdfsub.b . . . . . . 7
145, 11, 12, 13grpsubval 16660 . . . . . 6
157, 10, 14syl2anc 665 . . . . 5
1615mpteq2dva 4512 . . . 4
172, 3dprddomcld 17568 . . . . 5
186feqmptd 5934 . . . . 5
199feqmptd 5934 . . . . 5
2017, 7, 10, 18, 19offval2 6562 . . . 4
21 fvex 5891 . . . . . 6
2221a1i 11 . . . . 5
23 dprdgrp 17572 . . . . . . . . . 10 DProd
242, 23syl 17 . . . . . . . . 9
255, 12, 24grpinvf1o 16675 . . . . . . . 8
26 f1of 5831 . . . . . . . 8
2725, 26syl 17 . . . . . . 7
2827feqmptd 5934 . . . . . 6
29 fveq2 5881 . . . . . 6
3010, 19, 28, 29fmptco 6071 . . . . 5
3117, 7, 22, 18, 30offval2 6562 . . . 4
3216, 20, 313eqtr4d 2480 . . 3
33 eldprdi.0 . . . . 5
3433, 1, 2, 3, 8, 12dprdfinv 17587 . . . . . 6 g g
3534simpld 460 . . . . 5
3633, 1, 2, 3, 4, 35, 11dprdfadd 17588 . . . 4 g g g
3736simpld 460 . . 3
3832, 37eqeltrd 2517 . 2
3932oveq2d 6321 . . 3 g g
4034simprd 464 . . . . 5 g g
4140oveq2d 6321 . . . 4 g g g g
4236simprd 464 . . . 4 g g g
435dprdssv 17584 . . . . . 6 DProd
4433, 1, 2, 3, 4eldprdi 17586 . . . . . 6 g DProd
4543, 44sseldi 3468 . . . . 5 g
4633, 1, 2, 3, 8eldprdi 17586 . . . . . 6 g DProd
4743, 46sseldi 3468 . . . . 5 g
485, 11, 12, 13grpsubval 16660 . . . . 5 g g g g g g
4945, 47, 48syl2anc 665 . . . 4 g g g g
5041, 42, 493eqtr4d 2480 . . 3 g g g
5139, 50eqtrd 2470 . 2 g g g
5238, 51jca 534 1 g g g
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 370   wceq 1437   wcel 1870  crab 2786  cvv 3087   class class class wbr 4426   cmpt 4484   cdm 4854   ccom 4858  wf 5597  wf1o 5600  cfv 5601  (class class class)co 6305   cof 6543  cixp 7530   finSupp cfsupp 7889  cbs 15084   cplusg 15152  c0g 15297   g cgsu 15298  cgrp 16620  cminusg 16621  csg 16622   DProd cdprd 17560 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-tpos 6981  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-oi 8025  df-card 8372  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-seq 12211  df-hash 12513  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-mre 15443  df-mrc 15444  df-acs 15446  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-mhm 16533  df-submnd 16534  df-grp 16624  df-minusg 16625  df-sbg 16626  df-subg 16765  df-ghm 16832  df-gim 16874  df-cntz 16922  df-oppg 16948  df-cmn 17367  df-dprd 17562 This theorem is referenced by:  dprdfeq0  17590  dprdf11  17591  dprdsubg  17592
 Copyright terms: Public domain W3C validator