Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdfinvOLD Structured version   Unicode version

Theorem dprdfinvOLD 17284
 Description: Take the inverse of a group sum over a family of elements of disjoint subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) Obsolete version of dprdfinv 17277 as of 14-Jul-2019. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
eldprdiOLD.0
eldprdiOLD.w
eldprdiOLD.1 DProd
eldprdiOLD.2
eldprdiOLD.3
dprdfinvOLD.b
Assertion
Ref Expression
dprdfinvOLD g g
Distinct variable groups:   ,   ,,   ,,   ,   ,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   ()   ()   (,)   ()

Proof of Theorem dprdfinvOLD
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldprdiOLD.1 . . . . . 6 DProd
2 dprdgrp 17256 . . . . . 6 DProd
31, 2syl 16 . . . . 5
4 eqid 2457 . . . . . 6
5 dprdfinvOLD.b . . . . . 6
64, 5grpinvf 16312 . . . . 5
73, 6syl 16 . . . 4
8 eldprdiOLD.w . . . . 5
9 eldprdiOLD.2 . . . . 5
10 eldprdiOLD.3 . . . . 5
118, 1, 9, 10, 4dprdffOLD 17270 . . . 4
12 fcompt 6068 . . . 4
137, 11, 12syl2anc 661 . . 3
141, 9dprdf2 17258 . . . . . 6 SubGrp
1514ffvelrnda 6032 . . . . 5 SubGrp
168, 1, 9, 10dprdfclOLD 17271 . . . . 5
175subginvcl 16428 . . . . 5 SubGrp
1815, 16, 17syl2anc 661 . . . 4
198, 1, 9, 10dprdffiOLD 17272 . . . . 5
20 ssid 3518 . . . . . . . . . 10
2120a1i 11 . . . . . . . . 9
2211, 21suppssrOLD 6022 . . . . . . . 8
2322fveq2d 5876 . . . . . . 7
24 eldprdiOLD.0 . . . . . . . . . 10
2524, 5grpinvid 16319 . . . . . . . . 9
263, 25syl 16 . . . . . . . 8
2726adantr 465 . . . . . . 7
2823, 27eqtrd 2498 . . . . . 6
2928suppss2OLD 6529 . . . . 5
30 ssfi 7759 . . . . 5
3119, 29, 30syl2anc 661 . . . 4
328, 1, 9, 18, 31dprdwdOLD 17269 . . 3
3313, 32eqeltrd 2545 . 2
34 eqid 2457 . . 3 Cntz Cntz
35 reldmdprd 17246 . . . . . 6 DProd
3635brrelex2i 5050 . . . . 5 DProd
37 dmexg 6730 . . . . 5
381, 36, 373syl 20 . . . 4
399, 38eqeltrrd 2546 . . 3
408, 1, 9, 10, 34dprdfcntzOLD 17273 . . 3 Cntz
414, 24, 34, 5, 3, 39, 11, 40, 19gsumzinvOLD 17188 . 2 g g
4233, 41jca 532 1 g g
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1395   wcel 1819  crab 2811  cvv 3109   cdif 3468   wss 3471  csn 4032   class class class wbr 4456   cmpt 4515  ccnv 5007   cdm 5008  cima 5011   ccom 5012  wf 5590  cfv 5594  (class class class)co 6296  cixp 7488  cfn 7535  cbs 14735  c0g 14948   g cgsu 14949  cgrp 16271  cminusg 16272  SubGrpcsubg 16413  Cntzccntz 16571   DProd cdprd 17242 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-tpos 6973  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-oi 7953  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-seq 12111  df-hash 12409  df-ndx 14738  df-slot 14739  df-base 14740  df-sets 14741  df-ress 14742  df-plusg 14816  df-0g 14950  df-gsum 14951  df-mre 15094  df-mrc 15095  df-acs 15097  df-mgm 16090  df-sgrp 16129  df-mnd 16139  df-mhm 16184  df-submnd 16185  df-grp 16275  df-minusg 16276  df-subg 16416  df-ghm 16483  df-gim 16525  df-cntz 16573  df-oppg 16599  df-cmn 17018  df-dprd 17244 This theorem is referenced by:  dprdfsubOLD  17286
 Copyright terms: Public domain W3C validator