Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdfinv Structured version   Unicode version

Theorem dprdfinv 17587
 Description: Take the inverse of a group sum over a family of elements of disjoint subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 14-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
eldprdi.0
eldprdi.w finSupp
eldprdi.1 DProd
eldprdi.2
eldprdi.3
dprdfinv.b
Assertion
Ref Expression
dprdfinv g g
Distinct variable groups:   ,   ,,   ,,   ,   ,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   ()   ()   (,)   ()

Proof of Theorem dprdfinv
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldprdi.1 . . . . . 6 DProd
2 dprdgrp 17572 . . . . . 6 DProd
31, 2syl 17 . . . . 5
4 eqid 2429 . . . . . 6
5 dprdfinv.b . . . . . 6
64, 5grpinvf 16661 . . . . 5
73, 6syl 17 . . . 4
8 eldprdi.w . . . . 5 finSupp
9 eldprdi.2 . . . . 5
10 eldprdi.3 . . . . 5
118, 1, 9, 10, 4dprdff 17580 . . . 4
12 fcompt 6074 . . . 4
137, 11, 12syl2anc 665 . . 3
141, 9dprdf2 17574 . . . . . 6 SubGrp
1514ffvelrnda 6037 . . . . 5 SubGrp
168, 1, 9, 10dprdfcl 17581 . . . . 5
175subginvcl 16777 . . . . 5 SubGrp
1815, 16, 17syl2anc 665 . . . 4
191, 9dprddomcld 17568 . . . . . 6
20 mptexg 6150 . . . . . 6
2119, 20syl 17 . . . . 5
22 funmpt 5637 . . . . . 6
2322a1i 11 . . . . 5
248, 1, 9, 10dprdffsupp 17582 . . . . 5 finSupp
25 ssid 3489 . . . . . . . . . 10 supp supp
2625a1i 11 . . . . . . . . 9 supp supp
27 eldprdi.0 . . . . . . . . . . 11
28 fvex 5891 . . . . . . . . . . 11
2927, 28eqeltri 2513 . . . . . . . . . 10
3029a1i 11 . . . . . . . . 9
3111, 26, 19, 30suppssr 6957 . . . . . . . 8 supp
3231fveq2d 5885 . . . . . . 7 supp
3327, 5grpinvid 16668 . . . . . . . . 9
343, 33syl 17 . . . . . . . 8
3534adantr 466 . . . . . . 7 supp
3632, 35eqtrd 2470 . . . . . 6 supp
3736, 19suppss2 6960 . . . . 5 supp supp
38 fsuppsssupp 7905 . . . . 5 finSupp supp supp finSupp
3921, 23, 24, 37, 38syl22anc 1265 . . . 4 finSupp
408, 1, 9, 18, 39dprdwd 17578 . . 3
4113, 40eqeltrd 2517 . 2
42 eqid 2429 . . 3 Cntz Cntz
438, 1, 9, 10, 42dprdfcntz 17583 . . 3 Cntz
444, 27, 42, 5, 3, 19, 11, 43, 24gsumzinv 17513 . 2 g g
4541, 44jca 534 1 g g
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 370   wceq 1437   wcel 1870  crab 2786  cvv 3087   cdif 3439   wss 3442   class class class wbr 4426   cmpt 4484   cdm 4854   ccom 4858   wfun 5595  wf 5597  cfv 5601  (class class class)co 6305   supp csupp 6925  cixp 7530   finSupp cfsupp 7889  cbs 15084  c0g 15297   g cgsu 15298  cgrp 16620  cminusg 16621  SubGrpcsubg 16762  Cntzccntz 16920   DProd cdprd 17560 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-tpos 6981  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-oi 8025  df-card 8372  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-seq 12211  df-hash 12513  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-mre 15443  df-mrc 15444  df-acs 15446  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-mhm 16533  df-submnd 16534  df-grp 16624  df-minusg 16625  df-subg 16765  df-ghm 16832  df-gim 16874  df-cntz 16922  df-oppg 16948  df-cmn 17367  df-dprd 17562 This theorem is referenced by:  dprdfsub  17589
 Copyright terms: Public domain W3C validator