MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdfidOLD Structured version   Unicode version

Theorem dprdfidOLD 16854
Description: The zero function is the only function that sums two zero in a direct product. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) Obsolete version of dprdfid 16847 as of 14-Jul-2019. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
eldprdiOLD.0  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
eldprdiOLD.w  |-  W  =  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin }
eldprdiOLD.1  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
eldprdiOLD.2  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
dprdfidOLD.3  |-  ( ph  ->  X  e.  I )
dprdfidOLD.4  |-  ( ph  ->  A  e.  ( S `
 X ) )
dprdfidOLD.f  |-  F  =  ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  ) )
Assertion
Ref Expression
dprdfidOLD  |-  ( ph  ->  ( F  e.  W  /\  ( G  gsumg  F )  =  A ) )
Distinct variable groups:    h, n, A    h, F    h, i, G, n    h, I, i, n    ph, n    .0. , h, n    S, h, i, n   
h, X, n
Allowed substitution hints:    ph( h, i)    A( i)    F( i, n)    W( h, i, n)    X( i)    .0. ( i)

Proof of Theorem dprdfidOLD
StepHypRef Expression
1 dprdfidOLD.f . . 3  |-  F  =  ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  ) )
2 eldprdiOLD.w . . . 4  |-  W  =  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin }
3 eldprdiOLD.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
4 eldprdiOLD.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
5 dprdfidOLD.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  ( S `
 X ) )
65ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  n  =  X )  ->  A  e.  ( S `  X
) )
7 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  n  =  X )  ->  n  =  X )
87fveq2d 5868 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  n  =  X )  ->  ( S `  n )  =  ( S `  X ) )
96, 8eleqtrrd 2558 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  n  =  X )  ->  A  e.  ( S `  n
) )
103, 4dprdf2 16831 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S : I --> (SubGrp `  G ) )
1110ffvelrnda 6019 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  ( S `  n )  e.  (SubGrp `  G )
)
12 eldprdiOLD.0 . . . . . . . 8  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
1312subg0cl 16004 . . . . . . 7  |-  ( ( S `  n )  e.  (SubGrp `  G
)  ->  .0.  e.  ( S `  n ) )
1411, 13syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  .0.  e.  ( S `  n
) )
1514adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  -.  n  =  X )  ->  .0.  e.  ( S `
 n ) )
169, 15ifclda 3971 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  )  e.  ( S `  n
) )
17 snfi 7593 . . . . 5  |-  { X }  e.  Fin
18 eldifsni 4153 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ( I  \  { X } )  ->  n  =/=  X )
1918adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( I  \  { X } ) )  ->  n  =/=  X )
20 ifnefalse 3951 . . . . . . 7  |-  ( n  =/=  X  ->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  )  =  .0.  )
2119, 20syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( I  \  { X } ) )  ->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  )  =  .0.  )
2221suppss2OLD 6512 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  )
) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  { X } )
23 ssfi 7737 . . . . 5  |-  ( ( { X }  e.  Fin  /\  ( `' ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  ) ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  C_  { X } )  ->  ( `' ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  ) ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
2417, 22, 23sylancr 663 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  )
) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin )
252, 3, 4, 16, 24dprdwdOLD 16841 . . 3  |-  ( ph  ->  ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  ) )  e.  W
)
261, 25syl5eqel 2559 . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  W )
27 eqid 2467 . . . 4  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
28 dprdgrp 16829 . . . . 5  |-  ( G dom DProd  S  ->  G  e. 
Grp )
29 grpmnd 15863 . . . . 5  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Mnd )
303, 28, 293syl 20 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
31 reldmdprd 16819 . . . . . . 7  |-  Rel  dom DProd
3231brrelex2i 5040 . . . . . 6  |-  ( G dom DProd  S  ->  S  e. 
_V )
33 dmexg 6712 . . . . . 6  |-  ( S  e.  _V  ->  dom  S  e.  _V )
343, 32, 333syl 20 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  S  e.  _V )
354, 34eqeltrrd 2556 . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
36 dprdfidOLD.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  I )
372, 3, 4, 26, 27dprdffOLD 16842 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : I --> ( Base `  G ) )
381cnveqi 5175 . . . . . 6  |-  `' F  =  `' ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  ) )
3938imaeq1i 5332 . . . . 5  |-  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  =  ( `' ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  ) ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )
4039, 22syl5eqss 3548 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  { X } )
4127, 12, 30, 35, 36, 37, 40gsumptOLD 16780 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  =  ( F `  X ) )
42 iftrue 3945 . . . . 5  |-  ( n  =  X  ->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  )  =  A )
4342, 1fvmptg 5946 . . . 4  |-  ( ( X  e.  I  /\  A  e.  ( S `  X ) )  -> 
( F `  X
)  =  A )
4436, 5, 43syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  X
)  =  A )
4541, 44eqtrd 2508 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  =  A )
4626, 45jca 532 1  |-  ( ph  ->  ( F  e.  W  /\  ( G  gsumg  F )  =  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   {crab 2818   _Vcvv 3113    \ cdif 3473    C_ wss 3476   ifcif 3939   {csn 4027   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   `'ccnv 4998   dom cdm 4999   "cima 5002   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   X_cixp 7466   Fincfn 7513   Basecbs 14486   0gc0g 14691    gsumg cgsu 14692   Mndcmnd 15722   Grpcgrp 15723  SubGrpcsubg 15990   DProd cdprd 16815
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-oi 7931  df-card 8316  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-seq 12072  df-hash 12370  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-0g 14693  df-gsum 14694  df-mre 14837  df-mrc 14838  df-acs 14840  df-mnd 15728  df-submnd 15778  df-grp 15858  df-mulg 15861  df-subg 15993  df-cntz 16150  df-cmn 16596  df-dprd 16817
This theorem is referenced by:  dprdfeq0OLD  16859
  Copyright terms: Public domain W3C validator