MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdfidOLD Structured version   Unicode version

Theorem dprdfidOLD 17177
Description: The zero function is the only function that sums two zero in a direct product. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) Obsolete version of dprdfid 17170 as of 14-Jul-2019. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
eldprdiOLD.0  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
eldprdiOLD.w  |-  W  =  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin }
eldprdiOLD.1  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
eldprdiOLD.2  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
dprdfidOLD.3  |-  ( ph  ->  X  e.  I )
dprdfidOLD.4  |-  ( ph  ->  A  e.  ( S `
 X ) )
dprdfidOLD.f  |-  F  =  ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  ) )
Assertion
Ref Expression
dprdfidOLD  |-  ( ph  ->  ( F  e.  W  /\  ( G  gsumg  F )  =  A ) )
Distinct variable groups:    h, n, A    h, F    h, i, G, n    h, I, i, n    ph, n    .0. , h, n    S, h, i, n   
h, X, n
Allowed substitution hints:    ph( h, i)    A( i)    F( i, n)    W( h, i, n)    X( i)    .0. ( i)

Proof of Theorem dprdfidOLD
StepHypRef Expression
1 dprdfidOLD.f . . 3  |-  F  =  ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  ) )
2 eldprdiOLD.w . . . 4  |-  W  =  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin }
3 eldprdiOLD.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
4 eldprdiOLD.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
5 dprdfidOLD.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  ( S `
 X ) )
65ad2antrr 723 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  n  =  X )  ->  A  e.  ( S `  X
) )
7 simpr 459 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  n  =  X )  ->  n  =  X )
87fveq2d 5778 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  n  =  X )  ->  ( S `  n )  =  ( S `  X ) )
96, 8eleqtrrd 2473 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  n  =  X )  ->  A  e.  ( S `  n
) )
103, 4dprdf2 17153 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S : I --> (SubGrp `  G ) )
1110ffvelrnda 5933 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  ( S `  n )  e.  (SubGrp `  G )
)
12 eldprdiOLD.0 . . . . . . . 8  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
1312subg0cl 16326 . . . . . . 7  |-  ( ( S `  n )  e.  (SubGrp `  G
)  ->  .0.  e.  ( S `  n ) )
1411, 13syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  .0.  e.  ( S `  n
) )
1514adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  -.  n  =  X )  ->  .0.  e.  ( S `
 n ) )
169, 15ifclda 3889 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  )  e.  ( S `  n
) )
17 snfi 7515 . . . . 5  |-  { X }  e.  Fin
18 eldifsni 4070 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ( I  \  { X } )  ->  n  =/=  X )
1918adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( I  \  { X } ) )  ->  n  =/=  X )
20 ifnefalse 3869 . . . . . . 7  |-  ( n  =/=  X  ->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  )  =  .0.  )
2119, 20syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( I  \  { X } ) )  ->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  )  =  .0.  )
2221suppss2OLD 6429 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  )
) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  { X } )
23 ssfi 7656 . . . . 5  |-  ( ( { X }  e.  Fin  /\  ( `' ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  ) ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  C_  { X } )  ->  ( `' ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  ) ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
2417, 22, 23sylancr 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  )
) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin )
252, 3, 4, 16, 24dprdwdOLD 17164 . . 3  |-  ( ph  ->  ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  ) )  e.  W
)
261, 25syl5eqel 2474 . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  W )
27 eqid 2382 . . . 4  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
28 dprdgrp 17151 . . . . 5  |-  ( G dom DProd  S  ->  G  e. 
Grp )
29 grpmnd 16179 . . . . 5  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Mnd )
303, 28, 293syl 20 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
31 reldmdprd 17141 . . . . . . 7  |-  Rel  dom DProd
3231brrelex2i 4955 . . . . . 6  |-  ( G dom DProd  S  ->  S  e. 
_V )
33 dmexg 6630 . . . . . 6  |-  ( S  e.  _V  ->  dom  S  e.  _V )
343, 32, 333syl 20 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  S  e.  _V )
354, 34eqeltrrd 2471 . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
36 dprdfidOLD.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  I )
372, 3, 4, 26, 27dprdffOLD 17165 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : I --> ( Base `  G ) )
381cnveqi 5090 . . . . . 6  |-  `' F  =  `' ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  ) )
3938imaeq1i 5246 . . . . 5  |-  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  =  ( `' ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  ) ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )
4039, 22syl5eqss 3461 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  { X } )
4127, 12, 30, 35, 36, 37, 40gsumptOLD 17103 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  =  ( F `  X ) )
42 iftrue 3863 . . . . 5  |-  ( n  =  X  ->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  )  =  A )
4342, 1fvmptg 5855 . . . 4  |-  ( ( X  e.  I  /\  A  e.  ( S `  X ) )  -> 
( F `  X
)  =  A )
4436, 5, 43syl2anc 659 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  X
)  =  A )
4541, 44eqtrd 2423 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  =  A )
4626, 45jca 530 1  |-  ( ph  ->  ( F  e.  W  /\  ( G  gsumg  F )  =  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1826    =/= wne 2577   {crab 2736   _Vcvv 3034    \ cdif 3386    C_ wss 3389   ifcif 3857   {csn 3944   class class class wbr 4367    |-> cmpt 4425   `'ccnv 4912   dom cdm 4913   "cima 4916   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   X_cixp 7388   Fincfn 7435   Basecbs 14634   0gc0g 14847    gsumg cgsu 14848   Mndcmnd 16036   Grpcgrp 16170  SubGrpcsubg 16312   DProd cdprd 17137
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-inf2 7972  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-iin 4246  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-se 4753  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-isom 5505  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-supp 6818  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-oadd 7052  df-er 7229  df-ixp 7389  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-oi 7850  df-card 8233  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-nn 10453  df-2 10511  df-n0 10713  df-z 10782  df-uz 11002  df-fz 11594  df-fzo 11718  df-seq 12011  df-hash 12308  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-sets 14640  df-ress 14641  df-plusg 14715  df-0g 14849  df-gsum 14850  df-mre 14993  df-mrc 14994  df-acs 14996  df-mgm 15989  df-sgrp 16028  df-mnd 16038  df-submnd 16084  df-grp 16174  df-mulg 16177  df-subg 16315  df-cntz 16472  df-cmn 16917  df-dprd 17139
This theorem is referenced by:  dprdfeq0OLD  17182
  Copyright terms: Public domain W3C validator