MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdfidOLD Structured version   Unicode version

Theorem dprdfidOLD 16935
Description: The zero function is the only function that sums two zero in a direct product. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) Obsolete version of dprdfid 16928 as of 14-Jul-2019. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
eldprdiOLD.0  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
eldprdiOLD.w  |-  W  =  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin }
eldprdiOLD.1  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
eldprdiOLD.2  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
dprdfidOLD.3  |-  ( ph  ->  X  e.  I )
dprdfidOLD.4  |-  ( ph  ->  A  e.  ( S `
 X ) )
dprdfidOLD.f  |-  F  =  ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  ) )
Assertion
Ref Expression
dprdfidOLD  |-  ( ph  ->  ( F  e.  W  /\  ( G  gsumg  F )  =  A ) )
Distinct variable groups:    h, n, A    h, F    h, i, G, n    h, I, i, n    ph, n    .0. , h, n    S, h, i, n   
h, X, n
Allowed substitution hints:    ph( h, i)    A( i)    F( i, n)    W( h, i, n)    X( i)    .0. ( i)

Proof of Theorem dprdfidOLD
StepHypRef Expression
1 dprdfidOLD.f . . 3  |-  F  =  ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  ) )
2 eldprdiOLD.w . . . 4  |-  W  =  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin }
3 eldprdiOLD.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
4 eldprdiOLD.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
5 dprdfidOLD.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  ( S `
 X ) )
65ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  n  =  X )  ->  A  e.  ( S `  X
) )
7 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  n  =  X )  ->  n  =  X )
87fveq2d 5857 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  n  =  X )  ->  ( S `  n )  =  ( S `  X ) )
96, 8eleqtrrd 2532 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  n  =  X )  ->  A  e.  ( S `  n
) )
103, 4dprdf2 16911 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S : I --> (SubGrp `  G ) )
1110ffvelrnda 6013 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  ( S `  n )  e.  (SubGrp `  G )
)
12 eldprdiOLD.0 . . . . . . . 8  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
1312subg0cl 16080 . . . . . . 7  |-  ( ( S `  n )  e.  (SubGrp `  G
)  ->  .0.  e.  ( S `  n ) )
1411, 13syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  .0.  e.  ( S `  n
) )
1514adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  -.  n  =  X )  ->  .0.  e.  ( S `
 n ) )
169, 15ifclda 3955 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  )  e.  ( S `  n
) )
17 snfi 7595 . . . . 5  |-  { X }  e.  Fin
18 eldifsni 4138 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ( I  \  { X } )  ->  n  =/=  X )
1918adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( I  \  { X } ) )  ->  n  =/=  X )
20 ifnefalse 3935 . . . . . . 7  |-  ( n  =/=  X  ->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  )  =  .0.  )
2119, 20syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( I  \  { X } ) )  ->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  )  =  .0.  )
2221suppss2OLD 6512 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  )
) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  { X } )
23 ssfi 7739 . . . . 5  |-  ( ( { X }  e.  Fin  /\  ( `' ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  ) ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  C_  { X } )  ->  ( `' ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  ) ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
2417, 22, 23sylancr 663 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  )
) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin )
252, 3, 4, 16, 24dprdwdOLD 16922 . . 3  |-  ( ph  ->  ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  ) )  e.  W
)
261, 25syl5eqel 2533 . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  W )
27 eqid 2441 . . . 4  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
28 dprdgrp 16909 . . . . 5  |-  ( G dom DProd  S  ->  G  e. 
Grp )
29 grpmnd 15933 . . . . 5  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Mnd )
303, 28, 293syl 20 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
31 reldmdprd 16899 . . . . . . 7  |-  Rel  dom DProd
3231brrelex2i 5028 . . . . . 6  |-  ( G dom DProd  S  ->  S  e. 
_V )
33 dmexg 6713 . . . . . 6  |-  ( S  e.  _V  ->  dom  S  e.  _V )
343, 32, 333syl 20 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  S  e.  _V )
354, 34eqeltrrd 2530 . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
36 dprdfidOLD.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  I )
372, 3, 4, 26, 27dprdffOLD 16923 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : I --> ( Base `  G ) )
381cnveqi 5164 . . . . . 6  |-  `' F  =  `' ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  ) )
3938imaeq1i 5321 . . . . 5  |-  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  =  ( `' ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  ) ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )
4039, 22syl5eqss 3531 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  { X } )
4127, 12, 30, 35, 36, 37, 40gsumptOLD 16860 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  =  ( F `  X ) )
42 iftrue 3929 . . . . 5  |-  ( n  =  X  ->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  )  =  A )
4342, 1fvmptg 5936 . . . 4  |-  ( ( X  e.  I  /\  A  e.  ( S `  X ) )  -> 
( F `  X
)  =  A )
4436, 5, 43syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  X
)  =  A )
4541, 44eqtrd 2482 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  =  A )
4626, 45jca 532 1  |-  ( ph  ->  ( F  e.  W  /\  ( G  gsumg  F )  =  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1381    e. wcel 1802    =/= wne 2636   {crab 2795   _Vcvv 3093    \ cdif 3456    C_ wss 3459   ifcif 3923   {csn 4011   class class class wbr 4434    |-> cmpt 4492   `'ccnv 4985   dom cdm 4986   "cima 4989   ` cfv 5575  (class class class)co 6278   X_cixp 7468   Fincfn 7515   Basecbs 14506   0gc0g 14711    gsumg cgsu 14712   Mndcmnd 15790   Grpcgrp 15924  SubGrpcsubg 16066   DProd cdprd 16895
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4545  ax-sep 4555  ax-nul 4563  ax-pow 4612  ax-pr 4673  ax-un 6574  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3419  df-dif 3462  df-un 3464  df-in 3466  df-ss 3473  df-pss 3475  df-nul 3769  df-if 3924  df-pw 3996  df-sn 4012  df-pr 4014  df-tp 4016  df-op 4018  df-uni 4232  df-int 4269  df-iun 4314  df-iin 4315  df-br 4435  df-opab 4493  df-mpt 4494  df-tr 4528  df-eprel 4778  df-id 4782  df-po 4787  df-so 4788  df-fr 4825  df-se 4826  df-we 4827  df-ord 4868  df-on 4869  df-lim 4870  df-suc 4871  df-xp 4992  df-rel 4993  df-cnv 4994  df-co 4995  df-dm 4996  df-rn 4997  df-res 4998  df-ima 4999  df-iota 5538  df-fun 5577  df-fn 5578  df-f 5579  df-f1 5580  df-fo 5581  df-f1o 5582  df-fv 5583  df-isom 5584  df-riota 6239  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6683  df-1st 6782  df-2nd 6783  df-supp 6901  df-recs 7041  df-rdg 7075  df-1o 7129  df-oadd 7133  df-er 7310  df-ixp 7469  df-en 7516  df-dom 7517  df-sdom 7518  df-fin 7519  df-oi 7935  df-card 8320  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9809  df-neg 9810  df-nn 10540  df-2 10597  df-n0 10799  df-z 10868  df-uz 11088  df-fz 11679  df-fzo 11801  df-seq 12084  df-hash 12382  df-ndx 14509  df-slot 14510  df-base 14511  df-sets 14512  df-ress 14513  df-plusg 14584  df-0g 14713  df-gsum 14714  df-mre 14857  df-mrc 14858  df-acs 14860  df-mgm 15743  df-sgrp 15782  df-mnd 15792  df-submnd 15838  df-grp 15928  df-mulg 15931  df-subg 16069  df-cntz 16226  df-cmn 16671  df-dprd 16897
This theorem is referenced by:  dprdfeq0OLD  16940
  Copyright terms: Public domain W3C validator