Theorem dprdfid 16628

Description: A function mapping all but one arguments to zero sums to the value of this argument in a direct product. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 14-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
eldprdi.0	|- .0. = ( 0g ` G )
eldprdi.w	|- W = { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp .0. }
eldprdi.1	|- ( ph -> G dom DProd S )
eldprdi.2	|- ( ph -> dom S = I )
dprdfid.3	|- ( ph -> X e. I )
dprdfid.4	|- ( ph -> A e. ( S ` X ) )
dprdfid.f	|- F = ( n e. I |-> if ( n = X , A , .0. ) )

Assertion

Ref	Expression
dprdfid	|- ( ph -> ( F e. W /\ ( G gsumg F ) = A ) )

Distinct variable groups:   h, n, A   h, F   h, i, G, n   h, I, i, n   ph, n   .0. , h, n   S, h, i, n   h, X, n

Allowed substitution hints:   ph( h, i)   A( i)   F( i, n)   W( h, i, n)   X( i)   .0. ( i)

Proof of Theorem dprdfid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dprdfid.f	. . 3 |- F = ( n e. I |-> if ( n = X , A , .0. ) )
2		eldprdi.w	. . . 4 |- W = { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp .0. }
3		eldprdi.1	. . . 4 |- ( ph -> G dom DProd S )
4		eldprdi.2	. . . 4 |- ( ph -> dom S = I )
5		dprdfid.4	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. ( S ` X ) )
6	5	ad2antrr 725	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. I ) /\ n = X ) -> A e. ( S ` X ) )
7		simpr 461	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. I ) /\ n = X ) -> n = X )
8	7	fveq2d 5802	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. I ) /\ n = X ) -> ( S ` n ) = ( S ` X ) )
9	6, 8	eleqtrrd 2545	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. I ) /\ n = X ) -> A e. ( S ` n ) )
10	3, 4	dprdf2 16612	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S : I --> (SubGrp ` G ) )
11	10	ffvelrnda 5951	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> ( S ` n ) e. (SubGrp ` G ) )
12		eldprdi.0	. . . . . . . 8 |- .0. = ( 0g ` G )
13	12	subg0cl 15807	. . . . . . 7 |- ( ( S ` n ) e. (SubGrp ` G ) -> .0. e. ( S ` n ) )
14	11, 13	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> .0. e. ( S ` n ) )
15	14	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. I ) /\ -. n = X ) -> .0. e. ( S ` n ) )
16	9, 15	ifclda 3928	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> if ( n = X , A , .0. ) e. ( S ` n ) )
17	3, 4	dprddomcld 16604	. . . . 5 |- ( ph -> I e. _V )
18		fvex 5808	. . . . . . 7 |- ( 0g ` G ) e. _V
19	12, 18	eqeltri 2538	. . . . . 6 |- .0. e. _V
20	19	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> .0. e. _V )
21		eqid 2454	. . . . 5 |- ( n e. I |-> if ( n = X , A , .0. ) ) = ( n e. I |-> if ( n = X , A , .0. ) )
22	17, 20, 21	sniffsupp 7769	. . . 4 |- ( ph -> ( n e. I |-> if ( n = X , A , .0. ) ) finSupp .0. )
23	2, 3, 4, 16, 22	dprdwd 16616	. . 3 |- ( ph -> ( n e. I |-> if ( n = X , A , .0. ) ) e. W )
24	1, 23	syl5eqel 2546	. 2 |- ( ph -> F e. W )
25		eqid 2454	. . . 4 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
26		dprdgrp 16610	. . . . 5 |- ( G dom DProd S -> G e. Grp )
27		grpmnd 15668	. . . . 5 |- ( G e. Grp -> G e. Mnd )
28	3, 26, 27	3syl 20	. . . 4 |- ( ph -> G e. Mnd )
29		dprdfid.3	. . . 4 |- ( ph -> X e. I )
30	2, 3, 4, 24, 25	dprdff 16617	. . . 4 |- ( ph -> F : I --> ( Base ` G ) )
31	1	oveq1i 6209	. . . . 5 |- ( F supp .0. ) = ( ( n e. I |-> if ( n = X , A , .0. ) ) supp .0. )
32		eldifsni 4108	. . . . . . . 8 |- ( n e. ( I \ { X } ) -> n =/= X )
33	32	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( I \ { X } ) ) -> n =/= X )
34		ifnefalse 3908	. . . . . . 7 |- ( n =/= X -> if ( n = X , A , .0. ) = .0. )
35	33, 34	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( I \ { X } ) ) -> if ( n = X , A , .0. ) = .0. )
36	35, 17	suppss2 6832	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( n e. I |-> if ( n = X , A , .0. ) ) supp .0. ) C_ { X } )
37	31, 36	syl5eqss 3507	. . . 4 |- ( ph -> ( F supp .0. ) C_ { X } )
38	25, 12, 28, 17, 29, 30, 37	gsumpt 16575	. . 3 |- ( ph -> ( G gsumg F ) = ( F ` X ) )
39		iftrue 3904	. . . . 5 |- ( n = X -> if ( n = X , A , .0. ) = A )
40	39, 1	fvmptg 5880	. . . 4 |- ( ( X e. I /\ A e. ( S ` X ) ) -> ( F ` X ) = A )
41	29, 5, 40	syl2anc 661	. . 3 |- ( ph -> ( F ` X ) = A )
42	38, 41	eqtrd 2495	. 2 |- ( ph -> ( G gsumg F ) = A )
43	24, 42	jca 532	1 |- ( ph -> ( F e. W /\ ( G gsumg F ) = A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   =/= wne 2647   {crab 2802   _Vcvv 3076   \ cdif 3432   ifcif 3898   {csn 3984   class class class wbr 4399   |-> cmpt 4457   dom cdm 4947   ` cfv 5525  (class class class)co 6199   supp csupp 6799   X_cixp 7372   finSupp cfsupp 7730   Basecbs 14291   0gc0g 14496   gsum_g cgsu 14497   Mndcmnd 15527   Grpcgrp 15528  SubGrpcsubg 15793   DProd cdprd 16596

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4510  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-inf2 7957  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rmo 2806  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-int 4236  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-se 4787  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-isom 5534  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-om 6586  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-supp 6800  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-1o 7029  df-oadd 7033  df-er 7210  df-ixp 7373  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-fin 7423  df-fsupp 7731  df-oi 7834  df-card 8219  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-nn 10433  df-2 10490  df-n0 10690  df-z 10757  df-uz 10972  df-fz 11554  df-fzo 11665  df-seq 11923  df-hash 12220  df-ndx 14294  df-slot 14295  df-base 14296  df-sets 14297  df-ress 14298  df-plusg 14369  df-0g 14498  df-gsum 14499  df-mre 14642  df-mrc 14643  df-acs 14645  df-mnd 15533  df-submnd 15583  df-grp 15663  df-mulg 15666  df-subg 15796  df-cntz 15953  df-cmn 16399  df-dprd 16598

This theorem is referenced by:  dprdfeq0  16633  dprdub  16643  dpjrid  16682