Theorem dprdfid 17585

Description: A function mapping all but one arguments to zero sums to the value of this argument in a direct product. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 14-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
eldprdi.0	|- .0. = ( 0g ` G )
eldprdi.w	|- W = { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp .0. }
eldprdi.1	|- ( ph -> G dom DProd S )
eldprdi.2	|- ( ph -> dom S = I )
dprdfid.3	|- ( ph -> X e. I )
dprdfid.4	|- ( ph -> A e. ( S ` X ) )
dprdfid.f	|- F = ( n e. I |-> if ( n = X , A , .0. ) )

Assertion

Ref	Expression
dprdfid	|- ( ph -> ( F e. W /\ ( G gsumg F ) = A ) )

Distinct variable groups:   h, n, A   h, F   h, i, G, n   h, I, i, n   ph, n   .0. , h, n   S, h, i, n   h, X, n

Allowed substitution hints:   ph( h, i)   A( i)   F( i, n)   W( h, i, n)   X( i)   .0. ( i)

Proof of Theorem dprdfid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dprdfid.f	. . 3 |- F = ( n e. I |-> if ( n = X , A , .0. ) )
2		eldprdi.w	. . . 4 |- W = { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp .0. }
3		eldprdi.1	. . . 4 |- ( ph -> G dom DProd S )
4		eldprdi.2	. . . 4 |- ( ph -> dom S = I )
5		dprdfid.4	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. ( S ` X ) )
6	5	ad2antrr 730	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. I ) /\ n = X ) -> A e. ( S ` X ) )
7		simpr 462	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. I ) /\ n = X ) -> n = X )
8	7	fveq2d 5885	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. I ) /\ n = X ) -> ( S ` n ) = ( S ` X ) )
9	6, 8	eleqtrrd 2520	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. I ) /\ n = X ) -> A e. ( S ` n ) )
10	3, 4	dprdf2 17574	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S : I --> (SubGrp ` G ) )
11	10	ffvelrnda 6037	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> ( S ` n ) e. (SubGrp ` G ) )
12		eldprdi.0	. . . . . . . 8 |- .0. = ( 0g ` G )
13	12	subg0cl 16776	. . . . . . 7 |- ( ( S ` n ) e. (SubGrp ` G ) -> .0. e. ( S ` n ) )
14	11, 13	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> .0. e. ( S ` n ) )
15	14	adantr 466	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. I ) /\ -. n = X ) -> .0. e. ( S ` n ) )
16	9, 15	ifclda 3947	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> if ( n = X , A , .0. ) e. ( S ` n ) )
17	3, 4	dprddomcld 17568	. . . . 5 |- ( ph -> I e. _V )
18		fvex 5891	. . . . . . 7 |- ( 0g ` G ) e. _V
19	12, 18	eqeltri 2513	. . . . . 6 |- .0. e. _V
20	19	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> .0. e. _V )
21		eqid 2429	. . . . 5 |- ( n e. I |-> if ( n = X , A , .0. ) ) = ( n e. I |-> if ( n = X , A , .0. ) )
22	17, 20, 21	sniffsupp 7929	. . . 4 |- ( ph -> ( n e. I |-> if ( n = X , A , .0. ) ) finSupp .0. )
23	2, 3, 4, 16, 22	dprdwd 17578	. . 3 |- ( ph -> ( n e. I |-> if ( n = X , A , .0. ) ) e. W )
24	1, 23	syl5eqel 2521	. 2 |- ( ph -> F e. W )
25		eqid 2429	. . . 4 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
26		dprdgrp 17572	. . . . 5 |- ( G dom DProd S -> G e. Grp )
27		grpmnd 16629	. . . . 5 |- ( G e. Grp -> G e. Mnd )
28	3, 26, 27	3syl 18	. . . 4 |- ( ph -> G e. Mnd )
29		dprdfid.3	. . . 4 |- ( ph -> X e. I )
30	2, 3, 4, 24, 25	dprdff 17580	. . . 4 |- ( ph -> F : I --> ( Base ` G ) )
31	1	oveq1i 6315	. . . . 5 |- ( F supp .0. ) = ( ( n e. I |-> if ( n = X , A , .0. ) ) supp .0. )
32		eldifsni 4129	. . . . . . . 8 |- ( n e. ( I \ { X } ) -> n =/= X )
33	32	adantl 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( I \ { X } ) ) -> n =/= X )
34		ifnefalse 3927	. . . . . . 7 |- ( n =/= X -> if ( n = X , A , .0. ) = .0. )
35	33, 34	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( I \ { X } ) ) -> if ( n = X , A , .0. ) = .0. )
36	35, 17	suppss2 6960	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( n e. I |-> if ( n = X , A , .0. ) ) supp .0. ) C_ { X } )
37	31, 36	syl5eqss 3514	. . . 4 |- ( ph -> ( F supp .0. ) C_ { X } )
38	25, 12, 28, 17, 29, 30, 37	gsumpt 17529	. . 3 |- ( ph -> ( G gsumg F ) = ( F ` X ) )
39		iftrue 3921	. . . . 5 |- ( n = X -> if ( n = X , A , .0. ) = A )
40	39, 1	fvmptg 5962	. . . 4 |- ( ( X e. I /\ A e. ( S ` X ) ) -> ( F ` X ) = A )
41	29, 5, 40	syl2anc 665	. . 3 |- ( ph -> ( F ` X ) = A )
42	38, 41	eqtrd 2470	. 2 |- ( ph -> ( G gsumg F ) = A )
43	24, 42	jca 534	1 |- ( ph -> ( F e. W /\ ( G gsumg F ) = A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 370   = wceq 1437   e. wcel 1870   =/= wne 2625   {crab 2786   _Vcvv 3087   \ cdif 3439   ifcif 3915   {csn 4002   class class class wbr 4426   |-> cmpt 4484   dom cdm 4854   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   supp csupp 6925   X_cixp 7530   finSupp cfsupp 7889   Basecbs 15084   0gc0g 15297   gsum_g cgsu 15298   Mndcmnd 16486   Grpcgrp 16620  SubGrpcsubg 16762   DProd cdprd 17560

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-oi 8025  df-card 8372  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-seq 12211  df-hash 12513  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-mre 15443  df-mrc 15444  df-acs 15446  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-submnd 16534  df-grp 16624  df-mulg 16627  df-subg 16765  df-cntz 16922  df-cmn 17367  df-dprd 17562

This theorem is referenced by:  dprdfeq0  17590  dprdub  17593  dpjrid  17630