MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdfid Structured version   Unicode version

Theorem dprdfid 16628
Description: A function mapping all but one arguments to zero sums to the value of this argument in a direct product. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 14-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
eldprdi.0  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
eldprdi.w  |-  W  =  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp  .0.  }
eldprdi.1  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
eldprdi.2  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
dprdfid.3  |-  ( ph  ->  X  e.  I )
dprdfid.4  |-  ( ph  ->  A  e.  ( S `
 X ) )
dprdfid.f  |-  F  =  ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  ) )
Assertion
Ref Expression
dprdfid  |-  ( ph  ->  ( F  e.  W  /\  ( G  gsumg  F )  =  A ) )
Distinct variable groups:    h, n, A    h, F    h, i, G, n    h, I, i, n    ph, n    .0. , h, n    S, h, i, n   
h, X, n
Allowed substitution hints:    ph( h, i)    A( i)    F( i, n)    W( h, i, n)    X( i)    .0. ( i)

Proof of Theorem dprdfid
StepHypRef Expression
1 dprdfid.f . . 3  |-  F  =  ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  ) )
2 eldprdi.w . . . 4  |-  W  =  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp  .0.  }
3 eldprdi.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
4 eldprdi.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
5 dprdfid.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  ( S `
 X ) )
65ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  n  =  X )  ->  A  e.  ( S `  X
) )
7 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  n  =  X )  ->  n  =  X )
87fveq2d 5802 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  n  =  X )  ->  ( S `  n )  =  ( S `  X ) )
96, 8eleqtrrd 2545 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  n  =  X )  ->  A  e.  ( S `  n
) )
103, 4dprdf2 16612 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S : I --> (SubGrp `  G ) )
1110ffvelrnda 5951 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  ( S `  n )  e.  (SubGrp `  G )
)
12 eldprdi.0 . . . . . . . 8  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
1312subg0cl 15807 . . . . . . 7  |-  ( ( S `  n )  e.  (SubGrp `  G
)  ->  .0.  e.  ( S `  n ) )
1411, 13syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  .0.  e.  ( S `  n
) )
1514adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  -.  n  =  X )  ->  .0.  e.  ( S `
 n ) )
169, 15ifclda 3928 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  )  e.  ( S `  n
) )
173, 4dprddomcld 16604 . . . . 5  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
18 fvex 5808 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  G )  e. 
_V
1912, 18eqeltri 2538 . . . . . 6  |-  .0.  e.  _V
2019a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  .0.  e.  _V )
21 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  )
)  =  ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  )
)
2217, 20, 21sniffsupp 7769 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  ) ) finSupp  .0.  )
232, 3, 4, 16, 22dprdwd 16616 . . 3  |-  ( ph  ->  ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  ) )  e.  W
)
241, 23syl5eqel 2546 . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  W )
25 eqid 2454 . . . 4  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
26 dprdgrp 16610 . . . . 5  |-  ( G dom DProd  S  ->  G  e. 
Grp )
27 grpmnd 15668 . . . . 5  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Mnd )
283, 26, 273syl 20 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
29 dprdfid.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  I )
302, 3, 4, 24, 25dprdff 16617 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : I --> ( Base `  G ) )
311oveq1i 6209 . . . . 5  |-  ( F supp 
.0.  )  =  ( ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  ) ) supp  .0.  )
32 eldifsni 4108 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ( I  \  { X } )  ->  n  =/=  X )
3332adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( I  \  { X } ) )  ->  n  =/=  X )
34 ifnefalse 3908 . . . . . . 7  |-  ( n  =/=  X  ->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  )  =  .0.  )
3533, 34syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( I  \  { X } ) )  ->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  )  =  .0.  )
3635, 17suppss2 6832 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  ) ) supp  .0.  )  C_  { X }
)
3731, 36syl5eqss 3507 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F supp  .0.  )  C_ 
{ X } )
3825, 12, 28, 17, 29, 30, 37gsumpt 16575 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  =  ( F `  X ) )
39 iftrue 3904 . . . . 5  |-  ( n  =  X  ->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  )  =  A )
4039, 1fvmptg 5880 . . . 4  |-  ( ( X  e.  I  /\  A  e.  ( S `  X ) )  -> 
( F `  X
)  =  A )
4129, 5, 40syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  X
)  =  A )
4238, 41eqtrd 2495 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  =  A )
4324, 42jca 532 1  |-  ( ph  ->  ( F  e.  W  /\  ( G  gsumg  F )  =  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2647   {crab 2802   _Vcvv 3076    \ cdif 3432   ifcif 3898   {csn 3984   class class class wbr 4399    |-> cmpt 4457   dom cdm 4947   ` cfv 5525  (class class class)co 6199   supp csupp 6799   X_cixp 7372   finSupp cfsupp 7730   Basecbs 14291   0gc0g 14496    gsumg cgsu 14497   Mndcmnd 15527   Grpcgrp 15528  SubGrpcsubg 15793   DProd cdprd 16596
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4510  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-inf2 7957  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rmo 2806  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-int 4236  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-se 4787  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-isom 5534  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-om 6586  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-supp 6800  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-1o 7029  df-oadd 7033  df-er 7210  df-ixp 7373  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-fin 7423  df-fsupp 7731  df-oi 7834  df-card 8219  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-nn 10433  df-2 10490  df-n0 10690  df-z 10757  df-uz 10972  df-fz 11554  df-fzo 11665  df-seq 11923  df-hash 12220  df-ndx 14294  df-slot 14295  df-base 14296  df-sets 14297  df-ress 14298  df-plusg 14369  df-0g 14498  df-gsum 14499  df-mre 14642  df-mrc 14643  df-acs 14645  df-mnd 15533  df-submnd 15583  df-grp 15663  df-mulg 15666  df-subg 15796  df-cntz 15953  df-cmn 16399  df-dprd 16598
This theorem is referenced by:  dprdfeq0  16633  dprdub  16643  dpjrid  16682
  Copyright terms: Public domain W3C validator