Theorem dprdfid 15530

Description: The zero function is the only function that sums two zero in a direct product. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
eldprdi.0	|- .0. = ( 0g ` G )
eldprdi.w	|- W = { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | ( `' h " ( _V \ { .0. } ) ) e. Fin }
eldprdi.1	|- ( ph -> G dom DProd S )
eldprdi.2	|- ( ph -> dom S = I )
dprdfid.3	|- ( ph -> X e. I )
dprdfid.4	|- ( ph -> A e. ( S ` X ) )
dprdfid.f	|- F = ( n e. I |-> if ( n = X , A , .0. ) )

Assertion

Ref	Expression
dprdfid	|- ( ph -> ( F e. W /\ ( G gsumg F ) = A ) )

Distinct variable groups:   h, n, A   h, F   h, i, G, n   h, I, i, n   ph, n   .0. , h, n   S, h, i, n   h, X, n

Allowed substitution hints:   ph( h, i)   A( i)   F( i, n)   W( h, i, n)   X( i)   .0. ( i)

Proof of Theorem dprdfid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dprdfid.f	. . 3 |- F = ( n e. I |-> if ( n = X , A , .0. ) )
2		eldprdi.w	. . . 4 |- W = { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | ( `' h " ( _V \ { .0. } ) ) e. Fin }
3		eldprdi.1	. . . 4 |- ( ph -> G dom DProd S )
4		eldprdi.2	. . . 4 |- ( ph -> dom S = I )
5		dprdfid.4	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. ( S ` X ) )
6	5	ad2antrr 707	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. I ) /\ n = X ) -> A e. ( S ` X ) )
7		simpr 448	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. I ) /\ n = X ) -> n = X )
8	7	fveq2d 5691	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. I ) /\ n = X ) -> ( S ` n ) = ( S ` X ) )
9	6, 8	eleqtrrd 2481	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. I ) /\ n = X ) -> A e. ( S ` n ) )
10	3, 4	dprdf2 15520	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S : I --> (SubGrp ` G ) )
11	10	ffvelrnda 5829	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> ( S ` n ) e. (SubGrp ` G ) )
12		eldprdi.0	. . . . . . . 8 |- .0. = ( 0g ` G )
13	12	subg0cl 14907	. . . . . . 7 |- ( ( S ` n ) e. (SubGrp ` G ) -> .0. e. ( S ` n ) )
14	11, 13	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> .0. e. ( S ` n ) )
15	14	adantr 452	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. I ) /\ -. n = X ) -> .0. e. ( S ` n ) )
16	9, 15	ifclda 3726	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> if ( n = X , A , .0. ) e. ( S ` n ) )
17		snfi 7146	. . . . 5 |- { X } e. Fin
18		eldifsni 3888	. . . . . . . 8 |- ( n e. ( I \ { X } ) -> n =/= X )
19	18	adantl 453	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( I \ { X } ) ) -> n =/= X )
20		ifnefalse 3707	. . . . . . 7 |- ( n =/= X -> if ( n = X , A , .0. ) = .0. )
21	19, 20	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( I \ { X } ) ) -> if ( n = X , A , .0. ) = .0. )
22	21	suppss2 6259	. . . . 5 |- ( ph -> ( `' ( n e. I |-> if ( n = X , A , .0. ) ) " ( _V \ { .0. } ) ) C_ { X } )
23		ssfi 7288	. . . . 5 |- ( ( { X } e. Fin /\ ( `' ( n e. I |-> if ( n = X , A , .0. ) ) " ( _V \ { .0. } ) ) C_ { X } ) -> ( `' ( n e. I |-> if ( n = X , A , .0. ) ) " ( _V \ { .0. } ) ) e. Fin )
24	17, 22, 23	sylancr 645	. . . 4 |- ( ph -> ( `' ( n e. I |-> if ( n = X , A , .0. ) ) " ( _V \ { .0. } ) ) e. Fin )
25	2, 3, 4, 16, 24	dprdwd 15524	. . 3 |- ( ph -> ( n e. I |-> if ( n = X , A , .0. ) ) e. W )
26	1, 25	syl5eqel 2488	. 2 |- ( ph -> F e. W )
27		eqid 2404	. . . 4 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
28		dprdgrp 15518	. . . . 5 |- ( G dom DProd S -> G e. Grp )
29		grpmnd 14772	. . . . 5 |- ( G e. Grp -> G e. Mnd )
30	3, 28, 29	3syl 19	. . . 4 |- ( ph -> G e. Mnd )
31		reldmdprd 15513	. . . . . . 7 |- Rel dom DProd
32	31	brrelex2i 4878	. . . . . 6 |- ( G dom DProd S -> S e. _V )
33		dmexg 5089	. . . . . 6 |- ( S e. _V -> dom S e. _V )
34	3, 32, 33	3syl 19	. . . . 5 |- ( ph -> dom S e. _V )
35	4, 34	eqeltrrd 2479	. . . 4 |- ( ph -> I e. _V )
36		dprdfid.3	. . . 4 |- ( ph -> X e. I )
37	2, 3, 4, 26, 27	dprdff 15525	. . . 4 |- ( ph -> F : I --> ( Base ` G ) )
38	1	cnveqi 5006	. . . . . 6 |- `' F = `' ( n e. I |-> if ( n = X , A , .0. ) )
39	38	imaeq1i 5159	. . . . 5 |- ( `' F " ( _V \ { .0. } ) ) = ( `' ( n e. I |-> if ( n = X , A , .0. ) ) " ( _V \ { .0. } ) )
40	39, 22	syl5eqss 3352	. . . 4 |- ( ph -> ( `' F " ( _V \ { .0. } ) ) C_ { X } )
41	27, 12, 30, 35, 36, 37, 40	gsumpt 15500	. . 3 |- ( ph -> ( G gsumg F ) = ( F ` X ) )
42		iftrue 3705	. . . . 5 |- ( n = X -> if ( n = X , A , .0. ) = A )
43	42, 1	fvmptg 5763	. . . 4 |- ( ( X e. I /\ A e. ( S ` X ) ) -> ( F ` X ) = A )
44	36, 5, 43	syl2anc 643	. . 3 |- ( ph -> ( F ` X ) = A )
45	41, 44	eqtrd 2436	. 2 |- ( ph -> ( G gsumg F ) = A )
46	26, 45	jca 519	1 |- ( ph -> ( F e. W /\ ( G gsumg F ) = A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   =/= wne 2567   {crab 2670   _Vcvv 2916   \ cdif 3277   C_ wss 3280   ifcif 3699   {csn 3774   class class class wbr 4172   e. cmpt 4226   `'ccnv 4836   dom cdm 4837   "cima 4840   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   X_cixp 7022   Fincfn 7068   Basecbs 13424   0gc0g 13678   gsum_g cgsu 13679   Mndcmnd 14639   Grpcgrp 14640  SubGrpcsubg 14893   DProd cdprd 15509

This theorem is referenced by:  dprdfeq0  15535  dprdub  15538  dpjrid  15575

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-hash 11574  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-grp 14767  df-mulg 14770  df-subg 14896  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-dprd 15511