Theorem dprdfid 17699

Description: A function mapping all but one arguments to zero sums to the value of this argument in a direct product. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 14-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
eldprdi.0	|- .0. = ( 0g ` G )
eldprdi.w	|- W = { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp .0. }
eldprdi.1	|- ( ph -> G dom DProd S )
eldprdi.2	|- ( ph -> dom S = I )
dprdfid.3	|- ( ph -> X e. I )
dprdfid.4	|- ( ph -> A e. ( S ` X ) )
dprdfid.f	|- F = ( n e. I |-> if ( n = X , A , .0. ) )

Assertion

Ref	Expression
dprdfid	|- ( ph -> ( F e. W /\ ( G gsumg F ) = A ) )

Distinct variable groups:   h, n, A   h, F   h, i, G, n   h, I, i, n   ph, n   .0. , h, n   S, h, i, n   h, X, n

Allowed substitution hints:   ph( h, i)   A( i)   F( i, n)   W( h, i, n)   X( i)   .0. ( i)

Proof of Theorem dprdfid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dprdfid.f	. . 3 |- F = ( n e. I |-> if ( n = X , A , .0. ) )
2		eldprdi.w	. . . 4 |- W = { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp .0. }
3		eldprdi.1	. . . 4 |- ( ph -> G dom DProd S )
4		eldprdi.2	. . . 4 |- ( ph -> dom S = I )
5		dprdfid.4	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. ( S ` X ) )
6	5	ad2antrr 737	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. I ) /\ n = X ) -> A e. ( S ` X ) )
7		simpr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. I ) /\ n = X ) -> n = X )
8	7	fveq2d 5892	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. I ) /\ n = X ) -> ( S ` n ) = ( S ` X ) )
9	6, 8	eleqtrrd 2543	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. I ) /\ n = X ) -> A e. ( S ` n ) )
10	3, 4	dprdf2 17688	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S : I --> (SubGrp ` G ) )
11	10	ffvelrnda 6045	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> ( S ` n ) e. (SubGrp ` G ) )
12		eldprdi.0	. . . . . . . 8 |- .0. = ( 0g ` G )
13	12	subg0cl 16874	. . . . . . 7 |- ( ( S ` n ) e. (SubGrp ` G ) -> .0. e. ( S ` n ) )
14	11, 13	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> .0. e. ( S ` n ) )
15	14	adantr 471	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. I ) /\ -. n = X ) -> .0. e. ( S ` n ) )
16	9, 15	ifclda 3925	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> if ( n = X , A , .0. ) e. ( S ` n ) )
17	3, 4	dprddomcld 17682	. . . . 5 |- ( ph -> I e. _V )
18		fvex 5898	. . . . . . 7 |- ( 0g ` G ) e. _V
19	12, 18	eqeltri 2536	. . . . . 6 |- .0. e. _V
20	19	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> .0. e. _V )
21		eqid 2462	. . . . 5 |- ( n e. I |-> if ( n = X , A , .0. ) ) = ( n e. I |-> if ( n = X , A , .0. ) )
22	17, 20, 21	sniffsupp 7949	. . . 4 |- ( ph -> ( n e. I |-> if ( n = X , A , .0. ) ) finSupp .0. )
23	2, 3, 4, 16, 22	dprdwd 17692	. . 3 |- ( ph -> ( n e. I |-> if ( n = X , A , .0. ) ) e. W )
24	1, 23	syl5eqel 2544	. 2 |- ( ph -> F e. W )
25		eqid 2462	. . . 4 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
26		dprdgrp 17686	. . . . 5 |- ( G dom DProd S -> G e. Grp )
27		grpmnd 16727	. . . . 5 |- ( G e. Grp -> G e. Mnd )
28	3, 26, 27	3syl 18	. . . 4 |- ( ph -> G e. Mnd )
29		dprdfid.3	. . . 4 |- ( ph -> X e. I )
30	2, 3, 4, 24, 25	dprdff 17694	. . . 4 |- ( ph -> F : I --> ( Base ` G ) )
31	1	oveq1i 6325	. . . . 5 |- ( F supp .0. ) = ( ( n e. I |-> if ( n = X , A , .0. ) ) supp .0. )
32		eldifsni 4111	. . . . . . . 8 |- ( n e. ( I \ { X } ) -> n =/= X )
33	32	adantl 472	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( I \ { X } ) ) -> n =/= X )
34		ifnefalse 3905	. . . . . . 7 |- ( n =/= X -> if ( n = X , A , .0. ) = .0. )
35	33, 34	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( I \ { X } ) ) -> if ( n = X , A , .0. ) = .0. )
36	35, 17	suppss2 6976	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( n e. I |-> if ( n = X , A , .0. ) ) supp .0. ) C_ { X } )
37	31, 36	syl5eqss 3488	. . . 4 |- ( ph -> ( F supp .0. ) C_ { X } )
38	25, 12, 28, 17, 29, 30, 37	gsumpt 17643	. . 3 |- ( ph -> ( G gsumg F ) = ( F ` X ) )
39		iftrue 3899	. . . . 5 |- ( n = X -> if ( n = X , A , .0. ) = A )
40	39, 1	fvmptg 5969	. . . 4 |- ( ( X e. I /\ A e. ( S ` X ) ) -> ( F ` X ) = A )
41	29, 5, 40	syl2anc 671	. . 3 |- ( ph -> ( F ` X ) = A )
42	38, 41	eqtrd 2496	. 2 |- ( ph -> ( G gsumg F ) = A )
43	24, 42	jca 539	1 |- ( ph -> ( F e. W /\ ( G gsumg F ) = A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 375   = wceq 1455   e. wcel 1898   =/= wne 2633   {crab 2753   _Vcvv 3057   \ cdif 3413   ifcif 3893   {csn 3980   class class class wbr 4416   |-> cmpt 4475   dom cdm 4853   ` cfv 5601  (class class class)co 6315   supp csupp 6941   X_cixp 7548   finSupp cfsupp 7909   Basecbs 15170   0gc0g 15387   gsum_g cgsu 15388   Mndcmnd 16584   Grpcgrp 16718  SubGrpcsubg 16860   DProd cdprd 17674

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610  ax-inf2 8172  ax-cnex 9621  ax-resscn 9622  ax-1cn 9623  ax-icn 9624  ax-addcl 9625  ax-addrcl 9626  ax-mulcl 9627  ax-mulrcl 9628  ax-mulcom 9629  ax-addass 9630  ax-mulass 9631  ax-distr 9632  ax-i2m1 9633  ax-1ne0 9634  ax-1rid 9635  ax-rnegex 9636  ax-rrecex 9637  ax-cnre 9638  ax-pre-lttri 9639  ax-pre-lttrn 9640  ax-pre-ltadd 9641  ax-pre-mulgt0 9642

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-iin 4295  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-om 6720  df-1st 6820  df-2nd 6821  df-supp 6942  df-wrecs 7054  df-recs 7116  df-rdg 7154  df-1o 7208  df-oadd 7212  df-er 7389  df-ixp 7549  df-en 7596  df-dom 7597  df-sdom 7598  df-fin 7599  df-fsupp 7910  df-oi 8051  df-card 8399  df-pnf 9703  df-mnf 9704  df-xr 9705  df-ltxr 9706  df-le 9707  df-sub 9888  df-neg 9889  df-nn 10638  df-2 10696  df-n0 10899  df-z 10967  df-uz 11189  df-fz 11814  df-fzo 11947  df-seq 12246  df-hash 12548  df-ndx 15173  df-slot 15174  df-base 15175  df-sets 15176  df-ress 15177  df-plusg 15252  df-0g 15389  df-gsum 15390  df-mre 15541  df-mrc 15542  df-acs 15544  df-mgm 16537  df-sgrp 16576  df-mnd 16586  df-submnd 16632  df-grp 16722  df-mulg 16725  df-subg 16863  df-cntz 17020  df-cmn 17481  df-dprd 17676

This theorem is referenced by:  dprdfeq0  17704  dprdub  17707  dpjrid  17744