Theorem dprdfid 16859

Description: A function mapping all but one arguments to zero sums to the value of this argument in a direct product. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 14-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
eldprdi.0	|- .0. = ( 0g ` G )
eldprdi.w	|- W = { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp .0. }
eldprdi.1	|- ( ph -> G dom DProd S )
eldprdi.2	|- ( ph -> dom S = I )
dprdfid.3	|- ( ph -> X e. I )
dprdfid.4	|- ( ph -> A e. ( S ` X ) )
dprdfid.f	|- F = ( n e. I |-> if ( n = X , A , .0. ) )

Assertion

Ref	Expression
dprdfid	|- ( ph -> ( F e. W /\ ( G gsumg F ) = A ) )

Distinct variable groups:   h, n, A   h, F   h, i, G, n   h, I, i, n   ph, n   .0. , h, n   S, h, i, n   h, X, n

Allowed substitution hints:   ph( h, i)   A( i)   F( i, n)   W( h, i, n)   X( i)   .0. ( i)

Proof of Theorem dprdfid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dprdfid.f	. . 3 |- F = ( n e. I |-> if ( n = X , A , .0. ) )
2		eldprdi.w	. . . 4 |- W = { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp .0. }
3		eldprdi.1	. . . 4 |- ( ph -> G dom DProd S )
4		eldprdi.2	. . . 4 |- ( ph -> dom S = I )
5		dprdfid.4	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. ( S ` X ) )
6	5	ad2antrr 725	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. I ) /\ n = X ) -> A e. ( S ` X ) )
7		simpr 461	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. I ) /\ n = X ) -> n = X )
8	7	fveq2d 5870	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. I ) /\ n = X ) -> ( S ` n ) = ( S ` X ) )
9	6, 8	eleqtrrd 2558	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. I ) /\ n = X ) -> A e. ( S ` n ) )
10	3, 4	dprdf2 16843	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S : I --> (SubGrp ` G ) )
11	10	ffvelrnda 6021	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> ( S ` n ) e. (SubGrp ` G ) )
12		eldprdi.0	. . . . . . . 8 |- .0. = ( 0g ` G )
13	12	subg0cl 16014	. . . . . . 7 |- ( ( S ` n ) e. (SubGrp ` G ) -> .0. e. ( S ` n ) )
14	11, 13	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> .0. e. ( S ` n ) )
15	14	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. I ) /\ -. n = X ) -> .0. e. ( S ` n ) )
16	9, 15	ifclda 3971	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> if ( n = X , A , .0. ) e. ( S ` n ) )
17	3, 4	dprddomcld 16835	. . . . 5 |- ( ph -> I e. _V )
18		fvex 5876	. . . . . . 7 |- ( 0g ` G ) e. _V
19	12, 18	eqeltri 2551	. . . . . 6 |- .0. e. _V
20	19	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> .0. e. _V )
21		eqid 2467	. . . . 5 |- ( n e. I |-> if ( n = X , A , .0. ) ) = ( n e. I |-> if ( n = X , A , .0. ) )
22	17, 20, 21	sniffsupp 7869	. . . 4 |- ( ph -> ( n e. I |-> if ( n = X , A , .0. ) ) finSupp .0. )
23	2, 3, 4, 16, 22	dprdwd 16847	. . 3 |- ( ph -> ( n e. I |-> if ( n = X , A , .0. ) ) e. W )
24	1, 23	syl5eqel 2559	. 2 |- ( ph -> F e. W )
25		eqid 2467	. . . 4 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
26		dprdgrp 16841	. . . . 5 |- ( G dom DProd S -> G e. Grp )
27		grpmnd 15872	. . . . 5 |- ( G e. Grp -> G e. Mnd )
28	3, 26, 27	3syl 20	. . . 4 |- ( ph -> G e. Mnd )
29		dprdfid.3	. . . 4 |- ( ph -> X e. I )
30	2, 3, 4, 24, 25	dprdff 16848	. . . 4 |- ( ph -> F : I --> ( Base ` G ) )
31	1	oveq1i 6294	. . . . 5 |- ( F supp .0. ) = ( ( n e. I |-> if ( n = X , A , .0. ) ) supp .0. )
32		eldifsni 4153	. . . . . . . 8 |- ( n e. ( I \ { X } ) -> n =/= X )
33	32	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( I \ { X } ) ) -> n =/= X )
34		ifnefalse 3951	. . . . . . 7 |- ( n =/= X -> if ( n = X , A , .0. ) = .0. )
35	33, 34	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( I \ { X } ) ) -> if ( n = X , A , .0. ) = .0. )
36	35, 17	suppss2 6934	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( n e. I |-> if ( n = X , A , .0. ) ) supp .0. ) C_ { X } )
37	31, 36	syl5eqss 3548	. . . 4 |- ( ph -> ( F supp .0. ) C_ { X } )
38	25, 12, 28, 17, 29, 30, 37	gsumpt 16791	. . 3 |- ( ph -> ( G gsumg F ) = ( F ` X ) )
39		iftrue 3945	. . . . 5 |- ( n = X -> if ( n = X , A , .0. ) = A )
40	39, 1	fvmptg 5948	. . . 4 |- ( ( X e. I /\ A e. ( S ` X ) ) -> ( F ` X ) = A )
41	29, 5, 40	syl2anc 661	. . 3 |- ( ph -> ( F ` X ) = A )
42	38, 41	eqtrd 2508	. 2 |- ( ph -> ( G gsumg F ) = A )
43	24, 42	jca 532	1 |- ( ph -> ( F e. W /\ ( G gsumg F ) = A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   {crab 2818   _Vcvv 3113   \ cdif 3473   ifcif 3939   {csn 4027   class class class wbr 4447   |-> cmpt 4505   dom cdm 4999   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   supp csupp 6901   X_cixp 7469   finSupp cfsupp 7829   Basecbs 14490   0gc0g 14695   gsum_g cgsu 14696   Mndcmnd 15726   Grpcgrp 15727  SubGrpcsubg 16000   DProd cdprd 16827

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7830  df-oi 7935  df-card 8320  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-seq 12076  df-hash 12374  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-0g 14697  df-gsum 14698  df-mre 14841  df-mrc 14842  df-acs 14844  df-mnd 15732  df-submnd 15787  df-grp 15867  df-mulg 15870  df-subg 16003  df-cntz 16160  df-cmn 16606  df-dprd 16829

This theorem is referenced by:  dprdfeq0  16864  dprdub  16874  dpjrid  16913