MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdfid Structured version   Unicode version

Theorem dprdfid 16495
Description: A function mapping all but one arguments to zero sums to the value of this argument in a direct product. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 14-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
eldprdi.0  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
eldprdi.w  |-  W  =  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp  .0.  }
eldprdi.1  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
eldprdi.2  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
dprdfid.3  |-  ( ph  ->  X  e.  I )
dprdfid.4  |-  ( ph  ->  A  e.  ( S `
 X ) )
dprdfid.f  |-  F  =  ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  ) )
Assertion
Ref Expression
dprdfid  |-  ( ph  ->  ( F  e.  W  /\  ( G  gsumg  F )  =  A ) )
Distinct variable groups:    h, n, A    h, F    h, i, G, n    h, I, i, n    ph, n    .0. , h, n    S, h, i, n   
h, X, n
Allowed substitution hints:    ph( h, i)    A( i)    F( i, n)    W( h, i, n)    X( i)    .0. ( i)

Proof of Theorem dprdfid
StepHypRef Expression
1 dprdfid.f . . 3  |-  F  =  ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  ) )
2 eldprdi.w . . . 4  |-  W  =  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp  .0.  }
3 eldprdi.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
4 eldprdi.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
5 dprdfid.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  ( S `
 X ) )
65ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  n  =  X )  ->  A  e.  ( S `  X
) )
7 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  n  =  X )  ->  n  =  X )
87fveq2d 5690 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  n  =  X )  ->  ( S `  n )  =  ( S `  X ) )
96, 8eleqtrrd 2515 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  n  =  X )  ->  A  e.  ( S `  n
) )
103, 4dprdf2 16479 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S : I --> (SubGrp `  G ) )
1110ffvelrnda 5838 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  ( S `  n )  e.  (SubGrp `  G )
)
12 eldprdi.0 . . . . . . . 8  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
1312subg0cl 15680 . . . . . . 7  |-  ( ( S `  n )  e.  (SubGrp `  G
)  ->  .0.  e.  ( S `  n ) )
1411, 13syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  .0.  e.  ( S `  n
) )
1514adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  -.  n  =  X )  ->  .0.  e.  ( S `
 n ) )
169, 15ifclda 3816 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  )  e.  ( S `  n
) )
173, 4dprddomcld 16471 . . . . 5  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
18 fvex 5696 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  G )  e. 
_V
1912, 18eqeltri 2508 . . . . . 6  |-  .0.  e.  _V
2019a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  .0.  e.  _V )
21 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  )
)  =  ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  )
)
2217, 20, 21sniffsupp 7651 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  ) ) finSupp  .0.  )
232, 3, 4, 16, 22dprdwd 16483 . . 3  |-  ( ph  ->  ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  ) )  e.  W
)
241, 23syl5eqel 2522 . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  W )
25 eqid 2438 . . . 4  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
26 dprdgrp 16477 . . . . 5  |-  ( G dom DProd  S  ->  G  e. 
Grp )
27 grpmnd 15541 . . . . 5  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Mnd )
283, 26, 273syl 20 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
29 dprdfid.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  I )
302, 3, 4, 24, 25dprdff 16484 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : I --> ( Base `  G ) )
311oveq1i 6096 . . . . 5  |-  ( F supp 
.0.  )  =  ( ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  ) ) supp  .0.  )
32 eldifsni 3996 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ( I  \  { X } )  ->  n  =/=  X )
3332adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( I  \  { X } ) )  ->  n  =/=  X )
34 ifnefalse 3796 . . . . . . 7  |-  ( n  =/=  X  ->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  )  =  .0.  )
3533, 34syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( I  \  { X } ) )  ->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  )  =  .0.  )
3635, 17suppss2 6718 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  ) ) supp  .0.  )  C_  { X }
)
3731, 36syl5eqss 3395 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F supp  .0.  )  C_ 
{ X } )
3825, 12, 28, 17, 29, 30, 37gsumpt 16443 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  =  ( F `  X ) )
39 iftrue 3792 . . . . 5  |-  ( n  =  X  ->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  )  =  A )
4039, 1fvmptg 5767 . . . 4  |-  ( ( X  e.  I  /\  A  e.  ( S `  X ) )  -> 
( F `  X
)  =  A )
4129, 5, 40syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  X
)  =  A )
4238, 41eqtrd 2470 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  =  A )
4324, 42jca 532 1  |-  ( ph  ->  ( F  e.  W  /\  ( G  gsumg  F )  =  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2601   {crab 2714   _Vcvv 2967    \ cdif 3320   ifcif 3786   {csn 3872   class class class wbr 4287    e. cmpt 4345   dom cdm 4835   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   supp csupp 6685   X_cixp 7255   finSupp cfsupp 7612   Basecbs 14166   0gc0g 14370    gsumg cgsu 14371   Mndcmnd 15401   Grpcgrp 15402  SubGrpcsubg 15666   DProd cdprd 16463
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-oi 7716  df-card 8101  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-2 10372  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-seq 11799  df-hash 12096  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-0g 14372  df-gsum 14373  df-mre 14516  df-mrc 14517  df-acs 14519  df-mnd 15407  df-submnd 15457  df-grp 15536  df-mulg 15539  df-subg 15669  df-cntz 15826  df-cmn 16270  df-dprd 16465
This theorem is referenced by:  dprdfeq0  16500  dprdub  16510  dpjrid  16549
  Copyright terms: Public domain W3C validator