MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdfid Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem dprdfid 17699
Description: A function mapping all but one arguments to zero sums to the value of this argument in a direct product. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 14-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
eldprdi.0  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
eldprdi.w  |-  W  =  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp  .0.  }
eldprdi.1  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
eldprdi.2  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
dprdfid.3  |-  ( ph  ->  X  e.  I )
dprdfid.4  |-  ( ph  ->  A  e.  ( S `
 X ) )
dprdfid.f  |-  F  =  ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  ) )
Assertion
Ref Expression
dprdfid  |-  ( ph  ->  ( F  e.  W  /\  ( G  gsumg  F )  =  A ) )
Distinct variable groups:    h, n, A    h, F    h, i, G, n    h, I, i, n    ph, n    .0. , h, n    S, h, i, n   
h, X, n
Allowed substitution hints:    ph( h, i)    A( i)    F( i, n)    W( h, i, n)    X( i)    .0. ( i)

Proof of Theorem dprdfid
StepHypRef Expression
1 dprdfid.f . . 3  |-  F  =  ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  ) )
2 eldprdi.w . . . 4  |-  W  =  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp  .0.  }
3 eldprdi.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
4 eldprdi.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
5 dprdfid.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  ( S `
 X ) )
65ad2antrr 737 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  n  =  X )  ->  A  e.  ( S `  X
) )
7 simpr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  n  =  X )  ->  n  =  X )
87fveq2d 5892 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  n  =  X )  ->  ( S `  n )  =  ( S `  X ) )
96, 8eleqtrrd 2543 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  n  =  X )  ->  A  e.  ( S `  n
) )
103, 4dprdf2 17688 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S : I --> (SubGrp `  G ) )
1110ffvelrnda 6045 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  ( S `  n )  e.  (SubGrp `  G )
)
12 eldprdi.0 . . . . . . . 8  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
1312subg0cl 16874 . . . . . . 7  |-  ( ( S `  n )  e.  (SubGrp `  G
)  ->  .0.  e.  ( S `  n ) )
1411, 13syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  .0.  e.  ( S `  n
) )
1514adantr 471 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  -.  n  =  X )  ->  .0.  e.  ( S `
 n ) )
169, 15ifclda 3925 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  )  e.  ( S `  n
) )
173, 4dprddomcld 17682 . . . . 5  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
18 fvex 5898 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  G )  e. 
_V
1912, 18eqeltri 2536 . . . . . 6  |-  .0.  e.  _V
2019a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  .0.  e.  _V )
21 eqid 2462 . . . . 5  |-  ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  )
)  =  ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  )
)
2217, 20, 21sniffsupp 7949 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  ) ) finSupp  .0.  )
232, 3, 4, 16, 22dprdwd 17692 . . 3  |-  ( ph  ->  ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  ) )  e.  W
)
241, 23syl5eqel 2544 . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  W )
25 eqid 2462 . . . 4  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
26 dprdgrp 17686 . . . . 5  |-  ( G dom DProd  S  ->  G  e. 
Grp )
27 grpmnd 16727 . . . . 5  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Mnd )
283, 26, 273syl 18 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
29 dprdfid.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  I )
302, 3, 4, 24, 25dprdff 17694 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : I --> ( Base `  G ) )
311oveq1i 6325 . . . . 5  |-  ( F supp 
.0.  )  =  ( ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  ) ) supp  .0.  )
32 eldifsni 4111 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ( I  \  { X } )  ->  n  =/=  X )
3332adantl 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( I  \  { X } ) )  ->  n  =/=  X )
34 ifnefalse 3905 . . . . . . 7  |-  ( n  =/=  X  ->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  )  =  .0.  )
3533, 34syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( I  \  { X } ) )  ->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  )  =  .0.  )
3635, 17suppss2 6976 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  ) ) supp  .0.  )  C_  { X }
)
3731, 36syl5eqss 3488 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F supp  .0.  )  C_ 
{ X } )
3825, 12, 28, 17, 29, 30, 37gsumpt 17643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  =  ( F `  X ) )
39 iftrue 3899 . . . . 5  |-  ( n  =  X  ->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  )  =  A )
4039, 1fvmptg 5969 . . . 4  |-  ( ( X  e.  I  /\  A  e.  ( S `  X ) )  -> 
( F `  X
)  =  A )
4129, 5, 40syl2anc 671 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  X
)  =  A )
4238, 41eqtrd 2496 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  =  A )
4324, 42jca 539 1  |-  ( ph  ->  ( F  e.  W  /\  ( G  gsumg  F )  =  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 375    = wceq 1455    e. wcel 1898    =/= wne 2633   {crab 2753   _Vcvv 3057    \ cdif 3413   ifcif 3893   {csn 3980   class class class wbr 4416    |-> cmpt 4475   dom cdm 4853   ` cfv 5601  (class class class)co 6315   supp csupp 6941   X_cixp 7548   finSupp cfsupp 7909   Basecbs 15170   0gc0g 15387    gsumg cgsu 15388   Mndcmnd 16584   Grpcgrp 16718  SubGrpcsubg 16860   DProd cdprd 17674
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610  ax-inf2 8172  ax-cnex 9621  ax-resscn 9622  ax-1cn 9623  ax-icn 9624  ax-addcl 9625  ax-addrcl 9626  ax-mulcl 9627  ax-mulrcl 9628  ax-mulcom 9629  ax-addass 9630  ax-mulass 9631  ax-distr 9632  ax-i2m1 9633  ax-1ne0 9634  ax-1rid 9635  ax-rnegex 9636  ax-rrecex 9637  ax-cnre 9638  ax-pre-lttri 9639  ax-pre-lttrn 9640  ax-pre-ltadd 9641  ax-pre-mulgt0 9642
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-iin 4295  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-om 6720  df-1st 6820  df-2nd 6821  df-supp 6942  df-wrecs 7054  df-recs 7116  df-rdg 7154  df-1o 7208  df-oadd 7212  df-er 7389  df-ixp 7549  df-en 7596  df-dom 7597  df-sdom 7598  df-fin 7599  df-fsupp 7910  df-oi 8051  df-card 8399  df-pnf 9703  df-mnf 9704  df-xr 9705  df-ltxr 9706  df-le 9707  df-sub 9888  df-neg 9889  df-nn 10638  df-2 10696  df-n0 10899  df-z 10967  df-uz 11189  df-fz 11814  df-fzo 11947  df-seq 12246  df-hash 12548  df-ndx 15173  df-slot 15174  df-base 15175  df-sets 15176  df-ress 15177  df-plusg 15252  df-0g 15389  df-gsum 15390  df-mre 15541  df-mrc 15542  df-acs 15544  df-mgm 16537  df-sgrp 16576  df-mnd 16586  df-submnd 16632  df-grp 16722  df-mulg 16725  df-subg 16863  df-cntz 17020  df-cmn 17481  df-dprd 17676
This theorem is referenced by:  dprdfeq0  17704  dprdub  17707  dpjrid  17744
  Copyright terms: Public domain W3C validator