Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdfeq0OLD Structured version   Unicode version

Theorem dprdfeq0OLD 17196
 Description: The zero function is the only function that sums two zero in a direct product. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) Obsolete version of dprdfeq0 17189 as of 14-Jul-2019. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
eldprdiOLD.0
eldprdiOLD.w
eldprdiOLD.1 DProd
eldprdiOLD.2
eldprdiOLD.3
Assertion
Ref Expression
dprdfeq0OLD g
Distinct variable groups:   ,,   ,,,   ,,,   ,   ,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,)   ()   (,,)   ()

Proof of Theorem dprdfeq0OLD
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldprdiOLD.w . . . . . . 7
2 eldprdiOLD.1 . . . . . . 7 DProd
3 eldprdiOLD.2 . . . . . . 7
4 eldprdiOLD.3 . . . . . . 7
5 eqid 2457 . . . . . . 7
61, 2, 3, 4, 5dprdffOLD 17179 . . . . . 6
76feqmptd 5926 . . . . 5
87adantr 465 . . . 4 g
91, 2, 3, 4dprdfclOLD 17180 . . . . . . . . 9
109adantlr 714 . . . . . . . 8 g
11 eldprdiOLD.0 . . . . . . . . . . . 12
122ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 g DProd
133ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 g
14 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14 g
15 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . 14
1611, 1, 12, 13, 14, 10, 15dprdfidOLD 17191 . . . . . . . . . . . . 13 g g
1716simpld 459 . . . . . . . . . . . 12 g
184ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 g
19 eqid 2457 . . . . . . . . . . . 12
2011, 1, 12, 13, 17, 18, 19dprdfsubOLD 17195 . . . . . . . . . . 11 g g g g
2120simprd 463 . . . . . . . . . 10 g g g g
22 reldmdprd 17155 . . . . . . . . . . . . . . . 16 DProd
2322brrelex2i 5050 . . . . . . . . . . . . . . 15 DProd
24 dmexg 6730 . . . . . . . . . . . . . . 15
252, 23, 243syl 20 . . . . . . . . . . . . . 14
263, 25eqeltrrd 2546 . . . . . . . . . . . . 13
2726ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 g
28 fvex 5882 . . . . . . . . . . . . . 14
29 fvex 5882 . . . . . . . . . . . . . . 15
3011, 29eqeltri 2541 . . . . . . . . . . . . . 14
3128, 30ifex 4013 . . . . . . . . . . . . 13
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 g
33 fvex 5882 . . . . . . . . . . . . 13
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 g
35 eqidd 2458 . . . . . . . . . . . 12 g
366ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 g
3736feqmptd 5926 . . . . . . . . . . . 12 g
3827, 32, 34, 35, 37offval2 6555 . . . . . . . . . . 11 g
3938oveq2d 6312 . . . . . . . . . 10 g g g
4016simprd 463 . . . . . . . . . . . 12 g g
41 simplr 755 . . . . . . . . . . . 12 g g
4240, 41oveq12d 6314 . . . . . . . . . . 11 g g g
43 dprdgrp 17165 . . . . . . . . . . . . 13 DProd
4412, 43syl 16 . . . . . . . . . . . 12 g
4536, 14ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . . . 12 g
465, 11, 19grpsubid1 16250 . . . . . . . . . . . 12
4744, 45, 46syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11 g
4842, 47eqtrd 2498 . . . . . . . . . 10 g g g
4921, 39, 483eqtr3d 2506 . . . . . . . . 9 g g
50 eqid 2457 . . . . . . . . . 10 Cntz Cntz
51 grpmnd 16189 . . . . . . . . . . . 12
522, 43, 513syl 20 . . . . . . . . . . 11
5352ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 g
545subgacs 16363 . . . . . . . . . . . . 13 SubGrp ACS
55 acsmre 15069 . . . . . . . . . . . . 13 SubGrp ACS SubGrp Moore
5644, 54, 553syl 20 . . . . . . . . . . . 12 g SubGrp Moore
57 imassrn 5358 . . . . . . . . . . . . . 14
582, 3dprdf2 17167 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 SubGrp
5958ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 g SubGrp
60 frn 5743 . . . . . . . . . . . . . . . 16 SubGrp SubGrp
6159, 60syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15 g SubGrp
62 mresspw 15009 . . . . . . . . . . . . . . . 16 SubGrp Moore SubGrp
6356, 62syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15 g SubGrp
6461, 63sstrd 3509 . . . . . . . . . . . . . 14 g
6557, 64syl5ss 3510 . . . . . . . . . . . . 13 g
66 sspwuni 4421 . . . . . . . . . . . . 13
6765, 66sylib 196 . . . . . . . . . . . 12 g
68 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . 13 mrClsSubGrp mrClsSubGrp
6968mrccl 15028 . . . . . . . . . . . 12 SubGrp Moore mrClsSubGrp SubGrp
7056, 67, 69syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11 g mrClsSubGrp SubGrp
71 subgsubm 16350 . . . . . . . . . . 11 mrClsSubGrp SubGrp mrClsSubGrp SubMnd
7270, 71syl 16 . . . . . . . . . 10 g mrClsSubGrp SubMnd
73 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . 13
7473eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . 12 mrClsSubGrp mrClsSubGrp
75 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . 13
7675eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . 12 mrClsSubGrp mrClsSubGrp
77 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15 g
7877fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . 14 g
7978oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . 13 g
805, 11, 19grpsubid 16249 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8144, 45, 80syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15 g
8211subg0cl 16336 . . . . . . . . . . . . . . . 16 mrClsSubGrp SubGrp mrClsSubGrp
8370, 82syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15 g mrClsSubGrp
8481, 83eqeltrd 2545 . . . . . . . . . . . . . 14 g mrClsSubGrp
8584ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 g mrClsSubGrp
8679, 85eqeltrd 2545 . . . . . . . . . . . 12 g mrClsSubGrp
8770ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 g mrClsSubGrp SubGrp
8887, 82syl 16 . . . . . . . . . . . . 13 g mrClsSubGrp
8956, 68, 67mrcssidd 15042 . . . . . . . . . . . . . . 15 g mrClsSubGrp
9089ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 g mrClsSubGrp
911, 12, 13, 18dprdfclOLD 17180 . . . . . . . . . . . . . . . 16 g
9291adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15 g
93 ffn 5737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 SubGrp
9459, 93syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 g
9594ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 g
96 difssd 3628 . . . . . . . . . . . . . . . 16 g
97 df-ne 2654 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
98 eldifsn 4157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9998biimpri 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10097, 99sylan2br 476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
101100adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . 16 g
102 fnfvima 6151 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10395, 96, 101, 102syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . 15 g
104 elunii 4256 . . . . . . . . . . . . . . 15
10592, 103, 104syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14 g
10690, 105sseldd 3500 . . . . . . . . . . . . 13 g mrClsSubGrp
10719subgsubcl 16339 . . . . . . . . . . . . 13 mrClsSubGrp SubGrp mrClsSubGrp mrClsSubGrp mrClsSubGrp
10887, 88, 106, 107syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12 g mrClsSubGrp
10974, 76, 86, 108ifbothda 3979 . . . . . . . . . . 11 g mrClsSubGrp
110 eqid 2457 . . . . . . . . . . 11
111109, 110fmptd 6056 . . . . . . . . . 10 g mrClsSubGrp
11220simpld 459 . . . . . . . . . . . 12 g
11338, 112eqeltrrd 2546 . . . . . . . . . . 11 g
1141, 12, 13, 113, 50dprdfcntzOLD 17182 . . . . . . . . . 10 g Cntz
1151, 12, 13, 113dprdffiOLD 17181 . . . . . . . . . 10 g
11611, 50, 53, 27, 72, 111, 114, 115gsumzsubmclOLD 17056 . . . . . . . . 9 g g mrClsSubGrp
11749, 116eqeltrrd 2546 . . . . . . . 8 g mrClsSubGrp
11810, 117elind 3684 . . . . . . 7 g mrClsSubGrp
11912, 13, 14, 11, 68dprddisj 17169 . . . . . . 7 g mrClsSubGrp
120118, 119eleqtrd 2547 . . . . . 6 g
121 elsni 4057 . . . . . 6
122120, 121syl 16 . . . . 5 g
123122mpteq2dva 4543 . . . 4 g
1248, 123eqtrd 2498 . . 3 g
125124ex 434 . 2 g
12611gsumz 16132 . . . 4 g
12752, 26, 126syl2anc 661 . . 3 g
128 oveq2 6304 . . . 4 g g
129128eqeq1d 2459 . . 3 g g
130127, 129syl5ibrcom 222 . 2 g
131125, 130impbid 191 1 g
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1395   wcel 1819   wne 2652  crab 2811  cvv 3109   cdif 3468   cin 3470   wss 3471  cif 3944  cpw 4015  csn 4032  cuni 4251   class class class wbr 4456   cmpt 4515  ccnv 5007   cdm 5008   crn 5009  cima 5011   wfn 5589  wf 5590  cfv 5594  (class class class)co 6296   cof 6537  cixp 7488  cfn 7535  cbs 14644  c0g 14857   g cgsu 14858  Moorecmre 14999  mrClscmrc 15000  ACScacs 15002  cmnd 16046  SubMndcsubmnd 16092  cgrp 16180  csg 16182  SubGrpcsubg 16322  Cntzccntz 16480   DProd cdprd 17151 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-tpos 6973  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-oi 7953  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-seq 12111  df-hash 12409  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-mhm 16093  df-submnd 16094  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-sbg 16186  df-mulg 16187  df-subg 16325  df-ghm 16392  df-gim 16434  df-cntz 16482  df-oppg 16508  df-cmn 16927  df-dprd 17153 This theorem is referenced by:  dprdf11OLD  17197
 Copyright terms: Public domain W3C validator