Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdfeq0OLD Structured version   Unicode version

Theorem dprdfeq0OLD 16856
 Description: The zero function is the only function that sums two zero in a direct product. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) Obsolete version of dprdfeq0 16849 as of 14-Jul-2019. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
eldprdiOLD.0
eldprdiOLD.w
eldprdiOLD.1 DProd
eldprdiOLD.2
eldprdiOLD.3
Assertion
Ref Expression
dprdfeq0OLD g
Distinct variable groups:   ,,   ,,,   ,,,   ,   ,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,)   ()   (,,)   ()

Proof of Theorem dprdfeq0OLD
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldprdiOLD.w . . . . . . 7
2 eldprdiOLD.1 . . . . . . 7 DProd
3 eldprdiOLD.2 . . . . . . 7
4 eldprdiOLD.3 . . . . . . 7
5 eqid 2467 . . . . . . 7
61, 2, 3, 4, 5dprdffOLD 16839 . . . . . 6
76feqmptd 5918 . . . . 5
87adantr 465 . . . 4 g
91, 2, 3, 4dprdfclOLD 16840 . . . . . . . . 9
109adantlr 714 . . . . . . . 8 g
11 eldprdiOLD.0 . . . . . . . . . . . 12
122ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 g DProd
133ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 g
14 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14 g
15 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . 14
1611, 1, 12, 13, 14, 10, 15dprdfidOLD 16851 . . . . . . . . . . . . 13 g g
1716simpld 459 . . . . . . . . . . . 12 g
184ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 g
19 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12
2011, 1, 12, 13, 17, 18, 19dprdfsubOLD 16855 . . . . . . . . . . 11 g g g g
2120simprd 463 . . . . . . . . . 10 g g g g
22 reldmdprd 16816 . . . . . . . . . . . . . . . 16 DProd
2322brrelex2i 5040 . . . . . . . . . . . . . . 15 DProd
24 dmexg 6712 . . . . . . . . . . . . . . 15
252, 23, 243syl 20 . . . . . . . . . . . . . 14
263, 25eqeltrrd 2556 . . . . . . . . . . . . 13
2726ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 g
28 fvex 5874 . . . . . . . . . . . . . 14
29 fvex 5874 . . . . . . . . . . . . . . 15
3011, 29eqeltri 2551 . . . . . . . . . . . . . 14
3128, 30ifex 4008 . . . . . . . . . . . . 13
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 g
33 fvex 5874 . . . . . . . . . . . . 13
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 g
35 eqidd 2468 . . . . . . . . . . . 12 g
366ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 g
3736feqmptd 5918 . . . . . . . . . . . 12 g
3827, 32, 34, 35, 37offval2 6538 . . . . . . . . . . 11 g
3938oveq2d 6298 . . . . . . . . . 10 g g g
4016simprd 463 . . . . . . . . . . . 12 g g
41 simplr 754 . . . . . . . . . . . 12 g g
4240, 41oveq12d 6300 . . . . . . . . . . 11 g g g
43 dprdgrp 16826 . . . . . . . . . . . . 13 DProd
4412, 43syl 16 . . . . . . . . . . . 12 g
4536, 14ffvelrnd 6020 . . . . . . . . . . . 12 g
465, 11, 19grpsubid1 15921 . . . . . . . . . . . 12
4744, 45, 46syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11 g
4842, 47eqtrd 2508 . . . . . . . . . 10 g g g
4921, 39, 483eqtr3d 2516 . . . . . . . . 9 g g
50 eqid 2467 . . . . . . . . . 10 Cntz Cntz
51 grpmnd 15860 . . . . . . . . . . . 12
522, 43, 513syl 20 . . . . . . . . . . 11
5352ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 g
545subgacs 16028 . . . . . . . . . . . . 13 SubGrp ACS
55 acsmre 14900 . . . . . . . . . . . . 13 SubGrp ACS SubGrp Moore
5644, 54, 553syl 20 . . . . . . . . . . . 12 g SubGrp Moore
57 imassrn 5346 . . . . . . . . . . . . . 14
582, 3dprdf2 16828 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 SubGrp
5958ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 g SubGrp
60 frn 5735 . . . . . . . . . . . . . . . 16 SubGrp SubGrp
6159, 60syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15 g SubGrp
62 mresspw 14840 . . . . . . . . . . . . . . . 16 SubGrp Moore SubGrp
6356, 62syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15 g SubGrp
6461, 63sstrd 3514 . . . . . . . . . . . . . 14 g
6557, 64syl5ss 3515 . . . . . . . . . . . . 13 g
66 sspwuni 4411 . . . . . . . . . . . . 13
6765, 66sylib 196 . . . . . . . . . . . 12 g
68 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . 13 mrClsSubGrp mrClsSubGrp
6968mrccl 14859 . . . . . . . . . . . 12 SubGrp Moore mrClsSubGrp SubGrp
7056, 67, 69syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11 g mrClsSubGrp SubGrp
71 subgsubm 16015 . . . . . . . . . . 11 mrClsSubGrp SubGrp mrClsSubGrp SubMnd
7270, 71syl 16 . . . . . . . . . 10 g mrClsSubGrp SubMnd
73 oveq1 6289 . . . . . . . . . . . . 13
7473eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . 12 mrClsSubGrp mrClsSubGrp
75 oveq1 6289 . . . . . . . . . . . . 13
7675eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . 12 mrClsSubGrp mrClsSubGrp
77 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15 g
7877fveq2d 5868 . . . . . . . . . . . . . 14 g
7978oveq2d 6298 . . . . . . . . . . . . 13 g
805, 11, 19grpsubid 15920 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8144, 45, 80syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15 g
8211subg0cl 16001 . . . . . . . . . . . . . . . 16 mrClsSubGrp SubGrp mrClsSubGrp
8370, 82syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15 g mrClsSubGrp
8481, 83eqeltrd 2555 . . . . . . . . . . . . . 14 g mrClsSubGrp
8584ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 g mrClsSubGrp
8679, 85eqeltrd 2555 . . . . . . . . . . . 12 g mrClsSubGrp
8770ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 g mrClsSubGrp SubGrp
8887, 82syl 16 . . . . . . . . . . . . 13 g mrClsSubGrp
8956, 68, 67mrcssidd 14873 . . . . . . . . . . . . . . 15 g mrClsSubGrp
9089ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 g mrClsSubGrp
911, 12, 13, 18dprdfclOLD 16840 . . . . . . . . . . . . . . . 16 g
9291adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15 g
93 ffn 5729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 SubGrp
9459, 93syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 g
9594ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 g
96 difssd 3632 . . . . . . . . . . . . . . . 16 g
97 df-ne 2664 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
98 eldifsn 4152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9998biimpri 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10097, 99sylan2br 476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
101100adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . 16 g
102 fnfvima 6136 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10395, 96, 101, 102syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . 15 g
104 elunii 4250 . . . . . . . . . . . . . . 15
10592, 103, 104syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14 g
10690, 105sseldd 3505 . . . . . . . . . . . . 13 g mrClsSubGrp
10719subgsubcl 16004 . . . . . . . . . . . . 13 mrClsSubGrp SubGrp mrClsSubGrp mrClsSubGrp mrClsSubGrp
10887, 88, 106, 107syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12 g mrClsSubGrp
10974, 76, 86, 108ifbothda 3974 . . . . . . . . . . 11 g mrClsSubGrp
110 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11
111109, 110fmptd 6043 . . . . . . . . . 10 g mrClsSubGrp
11220simpld 459 . . . . . . . . . . . 12 g
11338, 112eqeltrrd 2556 . . . . . . . . . . 11 g
1141, 12, 13, 113, 50dprdfcntzOLD 16842 . . . . . . . . . 10 g Cntz
1151, 12, 13, 113dprdffiOLD 16841 . . . . . . . . . 10 g
11611, 50, 53, 27, 72, 111, 114, 115gsumzsubmclOLD 16717 . . . . . . . . 9 g g mrClsSubGrp
11749, 116eqeltrrd 2556 . . . . . . . 8 g mrClsSubGrp
11810, 117elind 3688 . . . . . . 7 g mrClsSubGrp
11912, 13, 14, 11, 68dprddisj 16830 . . . . . . 7 g mrClsSubGrp
120118, 119eleqtrd 2557 . . . . . 6 g
121 elsni 4052 . . . . . 6
122120, 121syl 16 . . . . 5 g
123122mpteq2dva 4533 . . . 4 g
1248, 123eqtrd 2508 . . 3 g
125124ex 434 . 2 g
12611gsumz 15821 . . . 4 g
12752, 26, 126syl2anc 661 . . 3 g
128 oveq2 6290 . . . 4 g g
129128eqeq1d 2469 . . 3 g g
130127, 129syl5ibrcom 222 . 2 g
131125, 130impbid 191 1 g
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1379   wcel 1767   wne 2662  crab 2818  cvv 3113   cdif 3473   cin 3475   wss 3476  cif 3939  cpw 4010  csn 4027  cuni 4245   class class class wbr 4447   cmpt 4505  ccnv 4998   cdm 4999   crn 5000  cima 5002   wfn 5581  wf 5582  cfv 5586  (class class class)co 6282   cof 6520  cixp 7466  cfn 7513  cbs 14483  c0g 14688   g cgsu 14689  Moorecmre 14830  mrClscmrc 14831  ACScacs 14833  cmnd 15719  cgrp 15720  csg 15723  SubMndcsubmnd 15773  SubGrpcsubg 15987  Cntzccntz 16145   DProd cdprd 16812 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-tpos 6952  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-oi 7931  df-card 8316  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-seq 12071  df-hash 12368  df-ndx 14486  df-slot 14487  df-base 14488  df-sets 14489  df-ress 14490  df-plusg 14561  df-0g 14690  df-gsum 14691  df-mre 14834  df-mrc 14835  df-acs 14837  df-mnd 15725  df-mhm 15774  df-submnd 15775  df-grp 15855  df-minusg 15856  df-sbg 15857  df-mulg 15858  df-subg 15990  df-ghm 16057  df-gim 16099  df-cntz 16147  df-oppg 16173  df-cmn 16593  df-dprd 16814 This theorem is referenced by:  dprdf11OLD  16857
 Copyright terms: Public domain W3C validator