Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdfcntz Structured version   Unicode version

Theorem dprdfcntz 17369
 Description: A function on the elements of an internal direct product has pairwise commuting values. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 11-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dprdff.w finSupp
dprdff.1 DProd
dprdff.2
dprdff.3
dprdfcntz.z Cntz
Assertion
Ref Expression
dprdfcntz
Distinct variable groups:   ,   ,,   ,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   ()   (,)   (,)   ()   (,)

Proof of Theorem dprdfcntz
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dprdff.w . . . . 5 finSupp
2 dprdff.1 . . . . 5 DProd
3 dprdff.2 . . . . 5
4 dprdff.3 . . . . 5
5 eqid 2402 . . . . 5
61, 2, 3, 4, 5dprdff 17366 . . . 4
7 ffn 5714 . . . 4
86, 7syl 17 . . 3
96ffvelrnda 6009 . . . . 5
10 simpr 459 . . . . . . . . . 10
1110fveq2d 5853 . . . . . . . . 9
1210eqcomd 2410 . . . . . . . . . 10
1312fveq2d 5853 . . . . . . . . 9
1411, 13oveq12d 6296 . . . . . . . 8
152ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . 11 DProd
163ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . 11
17 simpllr 761 . . . . . . . . . . 11
18 simplr 754 . . . . . . . . . . 11
19 simpr 459 . . . . . . . . . . 11
20 dprdfcntz.z . . . . . . . . . . 11 Cntz
2115, 16, 17, 18, 19, 20dprdcntz 17361 . . . . . . . . . 10
221, 2, 3, 4dprdfcl 17367 . . . . . . . . . . 11
2322ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10
2421, 23sseldd 3443 . . . . . . . . 9
251, 2, 3, 4dprdfcl 17367 . . . . . . . . . . 11
2625adantlr 713 . . . . . . . . . 10
2726adantr 463 . . . . . . . . 9
28 eqid 2402 . . . . . . . . . 10
2928, 20cntzi 16691 . . . . . . . . 9
3024, 27, 29syl2anc 659 . . . . . . . 8
3114, 30pm2.61dane 2721 . . . . . . 7
3231ralrimiva 2818 . . . . . 6
338adantr 463 . . . . . . 7
34 oveq2 6286 . . . . . . . . 9
35 oveq1 6285 . . . . . . . . 9
3634, 35eqeq12d 2424 . . . . . . . 8
3736ralrn 6012 . . . . . . 7
3833, 37syl 17 . . . . . 6
3932, 38mpbird 232 . . . . 5
40 frn 5720 . . . . . . . 8
416, 40syl 17 . . . . . . 7
4241adantr 463 . . . . . 6
435, 28, 20elcntz 16684 . . . . . 6
4442, 43syl 17 . . . . 5
459, 39, 44mpbir2and 923 . . . 4
4645ralrimiva 2818 . . 3
47 ffnfv 6036 . . 3
488, 46, 47sylanbrc 662 . 2
49 frn 5720 . 2
5048, 49syl 17 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 367   wceq 1405   wcel 1842   wne 2598  wral 2754  crab 2758   wss 3414   class class class wbr 4395   cdm 4823   crn 4824   wfn 5564  wf 5565  cfv 5569  (class class class)co 6278  cixp 7507   finSupp cfsupp 7863  cbs 14841   cplusg 14909  Cntzccntz 16677   DProd cdprd 17344 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-ixp 7508  df-subg 16522  df-cntz 16679  df-dprd 17346 This theorem is referenced by:  dprdssv  17376  dprdfinv  17379  dprdfadd  17380  dprdfeq0  17382  dprdlub  17393  dmdprdsplitlem  17404  dpjidcl  17427
 Copyright terms: Public domain W3C validator