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Theorem dprdfadd 16934
Description: Take the sum of group sums over two families of elements of disjoint subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 14-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
eldprdi.0  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
eldprdi.w  |-  W  =  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp  .0.  }
eldprdi.1  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
eldprdi.2  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
eldprdi.3  |-  ( ph  ->  F  e.  W )
dprdfadd.4  |-  ( ph  ->  H  e.  W )
dprdfadd.b  |-  .+  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
dprdfadd  |-  ( ph  ->  ( ( F  oF  .+  H )  e.  W  /\  ( G 
gsumg  ( F  oF  .+  H ) )  =  ( ( G  gsumg  F ) 
.+  ( G  gsumg  H ) ) ) )
Distinct variable groups:    .+ , h    h, F    h, H    h, i, G    h, I, i    .0. , h    S, h, i
Allowed substitution hints:    ph( h, i)    .+ ( i)    F( i)    H( i)    W( h, i)    .0. ( i)

Proof of Theorem dprdfadd
Dummy variables  k  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldprdi.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
2 eldprdi.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
31, 2dprddomcld 16906 . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
4 eldprdi.w . . . . 5  |-  W  =  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp  .0.  }
5 eldprdi.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  W )
64, 1, 2, 5dprdfcl 16921 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( F `  x )  e.  ( S `  x
) )
7 dprdfadd.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  H  e.  W )
84, 1, 2, 7dprdfcl 16921 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( H `  x )  e.  ( S `  x
) )
9 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
104, 1, 2, 5, 9dprdff 16920 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : I --> ( Base `  G ) )
1110feqmptd 5911 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  I  |->  ( F `
 x ) ) )
124, 1, 2, 7, 9dprdff 16920 . . . . 5  |-  ( ph  ->  H : I --> ( Base `  G ) )
1312feqmptd 5911 . . . 4  |-  ( ph  ->  H  =  ( x  e.  I  |->  ( H `
 x ) ) )
143, 6, 8, 11, 13offval2 6541 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  oF  .+  H )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( F `  x )  .+  ( H `  x )
) ) )
151, 2dprdf2 16914 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S : I --> (SubGrp `  G ) )
1615ffvelrnda 6016 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( S `  x )  e.  (SubGrp `  G )
)
17 dprdfadd.b . . . . . 6  |-  .+  =  ( +g  `  G )
1817subgcl 16085 . . . . 5  |-  ( ( ( S `  x
)  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( F `  x )  e.  ( S `  x
)  /\  ( H `  x )  e.  ( S `  x ) )  ->  ( ( F `  x )  .+  ( H `  x
) )  e.  ( S `  x ) )
1916, 6, 8, 18syl3anc 1229 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
( F `  x
)  .+  ( H `  x ) )  e.  ( S `  x
) )
204, 1, 2, 5dprdffsupp 16922 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F finSupp  .0.  )
214, 1, 2, 7dprdffsupp 16922 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  H finSupp  .0.  )
2220, 21fsuppunfi 7851 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( F supp  .0.  )  u.  ( H supp  .0.  ) )  e.  Fin )
23 ssun1 3652 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F supp 
.0.  )  C_  (
( F supp  .0.  )  u.  ( H supp  .0.  )
)
2423a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F supp  .0.  )  C_  ( ( F supp  .0.  )  u.  ( H supp  .0.  ) ) )
25 eldprdi.0 . . . . . . . . . . . 12  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
26 fvex 5866 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0g
`  G )  e. 
_V
2725, 26eqeltri 2527 . . . . . . . . . . 11  |-  .0.  e.  _V
2827a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  .0.  e.  _V )
2910, 24, 3, 28suppssr 6933 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( I  \  (
( F supp  .0.  )  u.  ( H supp  .0.  )
) ) )  -> 
( F `  x
)  =  .0.  )
30 ssun2 3653 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H supp 
.0.  )  C_  (
( F supp  .0.  )  u.  ( H supp  .0.  )
)
3130a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( H supp  .0.  )  C_  ( ( F supp  .0.  )  u.  ( H supp  .0.  ) ) )
3212, 31, 3, 28suppssr 6933 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( I  \  (
( F supp  .0.  )  u.  ( H supp  .0.  )
) ) )  -> 
( H `  x
)  =  .0.  )
3329, 32oveq12d 6299 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( I  \  (
( F supp  .0.  )  u.  ( H supp  .0.  )
) ) )  -> 
( ( F `  x )  .+  ( H `  x )
)  =  (  .0.  .+  .0.  ) )
34 dprdgrp 16912 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G dom DProd  S  ->  G  e. 
Grp )
351, 34syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
369, 25grpidcl 15952 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  Grp  ->  .0.  e.  ( Base `  G
) )
3735, 36syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  .0.  e.  ( Base `  G ) )
389, 17, 25grplid 15954 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  .0.  e.  ( Base `  G
) )  ->  (  .0.  .+  .0.  )  =  .0.  )
3935, 37, 38syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (  .0.  .+  .0.  )  =  .0.  )
4039adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( I  \  (
( F supp  .0.  )  u.  ( H supp  .0.  )
) ) )  -> 
(  .0.  .+  .0.  )  =  .0.  )
4133, 40eqtrd 2484 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( I  \  (
( F supp  .0.  )  u.  ( H supp  .0.  )
) ) )  -> 
( ( F `  x )  .+  ( H `  x )
)  =  .0.  )
4241, 3suppss2 6936 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  I  |->  ( ( F `
 x )  .+  ( H `  x ) ) ) supp  .0.  )  C_  ( ( F supp  .0.  )  u.  ( H supp  .0.  ) ) )
43 ssfi 7742 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F supp  .0.  )  u.  ( H supp  .0.  ) )  e.  Fin  /\  ( ( x  e.  I  |->  ( ( F `
 x )  .+  ( H `  x ) ) ) supp  .0.  )  C_  ( ( F supp  .0.  )  u.  ( H supp  .0.  ) ) )  -> 
( ( x  e.  I  |->  ( ( F `
 x )  .+  ( H `  x ) ) ) supp  .0.  )  e.  Fin )
4422, 42, 43syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  I  |->  ( ( F `
 x )  .+  ( H `  x ) ) ) supp  .0.  )  e.  Fin )
45 funmpt 5614 . . . . . . 7  |-  Fun  (
x  e.  I  |->  ( ( F `  x
)  .+  ( H `  x ) ) )
4645a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Fun  ( x  e.  I  |->  ( ( F `
 x )  .+  ( H `  x ) ) ) )
47 mptexg 6127 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  _V  ->  (
x  e.  I  |->  ( ( F `  x
)  .+  ( H `  x ) ) )  e.  _V )
483, 47syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  ( ( F `  x )  .+  ( H `  x )
) )  e.  _V )
49 funisfsupp 7836 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  ( x  e.  I  |->  ( ( F `
 x )  .+  ( H `  x ) ) )  /\  (
x  e.  I  |->  ( ( F `  x
)  .+  ( H `  x ) ) )  e.  _V  /\  .0.  e.  _V )  ->  (
( x  e.  I  |->  ( ( F `  x )  .+  ( H `  x )
) ) finSupp  .0.  <->  ( (
x  e.  I  |->  ( ( F `  x
)  .+  ( H `  x ) ) ) supp 
.0.  )  e.  Fin ) )
5046, 48, 28, 49syl3anc 1229 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  I  |->  ( ( F `
 x )  .+  ( H `  x ) ) ) finSupp  .0.  <->  ( (
x  e.  I  |->  ( ( F `  x
)  .+  ( H `  x ) ) ) supp 
.0.  )  e.  Fin ) )
5144, 50mpbird 232 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  ( ( F `  x )  .+  ( H `  x )
) ) finSupp  .0.  )
524, 1, 2, 19, 51dprdwd 16918 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  ( ( F `  x )  .+  ( H `  x )
) )  e.  W
)
5314, 52eqeltrd 2531 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  oF  .+  H )  e.  W )
54 eqid 2443 . . 3  |-  (Cntz `  G )  =  (Cntz `  G )
55 grpmnd 15936 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Mnd )
5635, 55syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
57 eqid 2443 . . 3  |-  ( ( F  u.  H ) supp 
.0.  )  =  ( ( F  u.  H
) supp  .0.  )
584, 1, 2, 5, 54dprdfcntz 16923 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  F  C_  (
(Cntz `  G ) `  ran  F ) )
594, 1, 2, 7, 54dprdfcntz 16923 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  H  C_  (
(Cntz `  G ) `  ran  H ) )
604, 1, 2, 53, 54dprdfcntz 16923 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  ( F  oF  .+  H )  C_  ( (Cntz `  G ) `  ran  ( F  oF  .+  H ) ) )
6156adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  ->  G  e.  Mnd )
62 vex 3098 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
6362a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  ->  x  e.  _V )
64 eldifi 3611 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( I  \  x )  ->  k  e.  I )
6564adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) )  -> 
k  e.  I )
66 ffvelrn 6014 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : I --> ( Base `  G )  /\  k  e.  I )  ->  ( F `  k )  e.  ( Base `  G
) )
6710, 65, 66syl2an 477 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  -> 
( F `  k
)  e.  ( Base `  G ) )
6867snssd 4160 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  ->  { ( F `  k ) }  C_  ( Base `  G )
)
699, 54cntzsubm 16247 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  { ( F `  k
) }  C_  ( Base `  G ) )  ->  ( (Cntz `  G ) `  {
( F `  k
) } )  e.  (SubMnd `  G )
)
7061, 68, 69syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  -> 
( (Cntz `  G
) `  { ( F `  k ) } )  e.  (SubMnd `  G ) )
7112adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  ->  H : I --> ( Base `  G ) )
72 ffn 5721 . . . . . . . . . 10  |-  ( H : I --> ( Base `  G )  ->  H  Fn  I )
7371, 72syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  ->  H  Fn  I )
74 simprl 756 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  ->  x  C_  I )
75 fnssres 5684 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H  Fn  I  /\  x  C_  I )  -> 
( H  |`  x
)  Fn  x )
7673, 74, 75syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  -> 
( H  |`  x
)  Fn  x )
77 fvres 5870 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  x  ->  (
( H  |`  x
) `  y )  =  ( H `  y ) )
7877adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  ( ( H  |`  x ) `  y )  =  ( H `  y ) )
791ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  G dom DProd  S )
802ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  dom  S  =  I )
8179, 80dprdf2 16914 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  S :
I --> (SubGrp `  G )
)
8265ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  k  e.  I )
8381, 82ffvelrnd 6017 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  ( S `  k )  e.  (SubGrp `  G ) )
849subgss 16076 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S `  k )  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( S `  k )  C_  ( Base `  G ) )
8583, 84syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  ( S `  k )  C_  ( Base `  G ) )
865ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  F  e.  W )
874, 79, 80, 86dprdfcl 16921 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  /\  k  e.  I )  ->  ( F `  k )  e.  ( S `  k
) )
8882, 87mpdan 668 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  ( F `  k )  e.  ( S `  k ) )
8988snssd 4160 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  { ( F `  k ) }  C_  ( S `  k ) )
909, 54cntz2ss 16244 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S `  k
)  C_  ( Base `  G )  /\  {
( F `  k
) }  C_  ( S `  k )
)  ->  ( (Cntz `  G ) `  ( S `  k )
)  C_  ( (Cntz `  G ) `  {
( F `  k
) } ) )
9185, 89, 90syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  ( (Cntz `  G ) `  ( S `  k )
)  C_  ( (Cntz `  G ) `  {
( F `  k
) } ) )
9274sselda 3489 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  y  e.  I )
93 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  y  e.  x )
94 simplrr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  k  e.  ( I  \  x
) )
9594eldifbd 3474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  -.  k  e.  x )
96 nelne2 2773 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  x  /\  -.  k  e.  x
)  ->  y  =/=  k )
9793, 95, 96syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  y  =/=  k )
9879, 80, 92, 82, 97, 54dprdcntz 16915 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  ( S `  y )  C_  (
(Cntz `  G ) `  ( S `  k
) ) )
997ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  H  e.  W )
1004, 79, 80, 99dprdfcl 16921 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  /\  y  e.  I )  ->  ( H `  y )  e.  ( S `  y
) )
10192, 100mpdan 668 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  ( H `  y )  e.  ( S `  y ) )
10298, 101sseldd 3490 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  ( H `  y )  e.  ( (Cntz `  G ) `  ( S `  k
) ) )
10391, 102sseldd 3490 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  ( H `  y )  e.  ( (Cntz `  G ) `  { ( F `  k ) } ) )
10478, 103eqeltrd 2531 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  ( ( H  |`  x ) `  y )  e.  ( (Cntz `  G ) `  { ( F `  k ) } ) )
105104ralrimiva 2857 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  ->  A. y  e.  x  ( ( H  |`  x ) `  y
)  e.  ( (Cntz `  G ) `  {
( F `  k
) } ) )
106 ffnfv 6042 . . . . . . . 8  |-  ( ( H  |`  x ) : x --> ( (Cntz `  G ) `  {
( F `  k
) } )  <->  ( ( H  |`  x )  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( ( H  |`  x ) `  y )  e.  ( (Cntz `  G ) `  { ( F `  k ) } ) ) )
10776, 105, 106sylanbrc 664 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  -> 
( H  |`  x
) : x --> ( (Cntz `  G ) `  {
( F `  k
) } ) )
108 resss 5287 . . . . . . . . . 10  |-  ( H  |`  x )  C_  H
109 rnss 5221 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H  |`  x )  C_  H  ->  ran  ( H  |`  x )  C_  ran  H )
110108, 109ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ran  ( H  |`  x )  C_  ran  H
11154cntzidss 16249 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ran  H  C_  (
(Cntz `  G ) `  ran  H )  /\  ran  ( H  |`  x
)  C_  ran  H )  ->  ran  ( H  |`  x )  C_  (
(Cntz `  G ) `  ran  ( H  |`  x ) ) )
11259, 110, 111sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ran  ( H  |`  x )  C_  (
(Cntz `  G ) `  ran  ( H  |`  x ) ) )
113112adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  ->  ran  ( H  |`  x
)  C_  ( (Cntz `  G ) `  ran  ( H  |`  x ) ) )
11421, 28fsuppres 7856 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( H  |`  x
) finSupp  .0.  )
115114adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  -> 
( H  |`  x
) finSupp  .0.  )
11625, 54, 61, 63, 70, 107, 113, 115gsumzsubmcl 16802 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  -> 
( G  gsumg  ( H  |`  x
) )  e.  ( (Cntz `  G ) `  { ( F `  k ) } ) )
117116snssd 4160 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  ->  { ( G  gsumg  ( H  |`  x ) ) } 
C_  ( (Cntz `  G ) `  {
( F `  k
) } ) )
11871, 74fssresd 5742 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  -> 
( H  |`  x
) : x --> ( Base `  G ) )
1199, 25, 54, 61, 63, 118, 113, 115gsumzcl 16790 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  -> 
( G  gsumg  ( H  |`  x
) )  e.  (
Base `  G )
)
120119snssd 4160 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  ->  { ( G  gsumg  ( H  |`  x ) ) } 
C_  ( Base `  G
) )
1219, 54cntzrec 16245 . . . . . 6  |-  ( ( { ( G  gsumg  ( H  |`  x ) ) } 
C_  ( Base `  G
)  /\  { ( F `  k ) }  C_  ( Base `  G
) )  ->  ( { ( G  gsumg  ( H  |`  x ) ) } 
C_  ( (Cntz `  G ) `  {
( F `  k
) } )  <->  { ( F `  k ) }  C_  ( (Cntz `  G ) `  {
( G  gsumg  ( H  |`  x
) ) } ) ) )
122120, 68, 121syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  -> 
( { ( G 
gsumg  ( H  |`  x ) ) }  C_  (
(Cntz `  G ) `  { ( F `  k ) } )  <->  { ( F `  k ) }  C_  ( (Cntz `  G ) `  { ( G  gsumg  ( H  |`  x ) ) } ) ) )
123117, 122mpbid 210 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  ->  { ( F `  k ) }  C_  ( (Cntz `  G ) `  { ( G  gsumg  ( H  |`  x ) ) } ) )
124 fvex 5866 . . . . 5  |-  ( F `
 k )  e. 
_V
125124snss 4139 . . . 4  |-  ( ( F `  k )  e.  ( (Cntz `  G ) `  {
( G  gsumg  ( H  |`  x
) ) } )  <->  { ( F `  k ) }  C_  ( (Cntz `  G ) `  { ( G  gsumg  ( H  |`  x ) ) } ) )
126123, 125sylibr 212 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  -> 
( F `  k
)  e.  ( (Cntz `  G ) `  {
( G  gsumg  ( H  |`  x
) ) } ) )
1279, 25, 17, 54, 56, 3, 20, 21, 57, 10, 12, 58, 59, 60, 126gsumzaddlem 16808 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( F  oF  .+  H ) )  =  ( ( G 
gsumg  F )  .+  ( G  gsumg  H ) ) )
12853, 127jca 532 1  |-  ( ph  ->  ( ( F  oF  .+  H )  e.  W  /\  ( G 
gsumg  ( F  oF  .+  H ) )  =  ( ( G  gsumg  F ) 
.+  ( G  gsumg  H ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638   A.wral 2793   {crab 2797   _Vcvv 3095    \ cdif 3458    u. cun 3459    C_ wss 3461   {csn 4014   class class class wbr 4437    |-> cmpt 4495   dom cdm 4989   ran crn 4990    |` cres 4991   Fun wfun 5572    Fn wfn 5573   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281    oFcof 6523   supp csupp 6903   X_cixp 7471   Fincfn 7518   finSupp cfsupp 7831   Basecbs 14509   +g cplusg 14574   0gc0g 14714    gsumg cgsu 14715   Mndcmnd 15793  SubMndcsubmnd 15839   Grpcgrp 15927  SubGrpcsubg 16069  Cntzccntz 16227   DProd cdprd 16898
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-oi 7938  df-card 8323  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10543  df-2 10600  df-n0 10802  df-z 10871  df-uz 11091  df-fz 11682  df-fzo 11804  df-seq 12087  df-hash 12385  df-ndx 14512  df-slot 14513  df-base 14514  df-sets 14515  df-ress 14516  df-plusg 14587  df-0g 14716  df-gsum 14717  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15841  df-grp 15931  df-subg 16072  df-cntz 16229  df-dprd 16900
This theorem is referenced by:  dprdfsub  16935
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