MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdfadd Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem dprdfadd 17731
Description: Take the sum of group sums over two families of elements of disjoint subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 14-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
eldprdi.0  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
eldprdi.w  |-  W  =  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp  .0.  }
eldprdi.1  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
eldprdi.2  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
eldprdi.3  |-  ( ph  ->  F  e.  W )
dprdfadd.4  |-  ( ph  ->  H  e.  W )
dprdfadd.b  |-  .+  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
dprdfadd  |-  ( ph  ->  ( ( F  oF  .+  H )  e.  W  /\  ( G 
gsumg  ( F  oF  .+  H ) )  =  ( ( G  gsumg  F ) 
.+  ( G  gsumg  H ) ) ) )
Distinct variable groups:    .+ , h    h, F    h, H    h, i, G    h, I, i    .0. , h    S, h, i
Allowed substitution hints:    ph( h, i)    .+ ( i)    F( i)    H( i)    W( h, i)    .0. ( i)

Proof of Theorem dprdfadd
Dummy variables  k  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldprdi.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
2 eldprdi.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
31, 2dprddomcld 17711 . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
4 eldprdi.w . . . . 5  |-  W  =  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp  .0.  }
5 eldprdi.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  W )
64, 1, 2, 5dprdfcl 17724 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( F `  x )  e.  ( S `  x
) )
7 dprdfadd.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  H  e.  W )
84, 1, 2, 7dprdfcl 17724 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( H `  x )  e.  ( S `  x
) )
9 eqid 2471 . . . . . 6  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
104, 1, 2, 5, 9dprdff 17723 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : I --> ( Base `  G ) )
1110feqmptd 5932 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  I  |->  ( F `
 x ) ) )
124, 1, 2, 7, 9dprdff 17723 . . . . 5  |-  ( ph  ->  H : I --> ( Base `  G ) )
1312feqmptd 5932 . . . 4  |-  ( ph  ->  H  =  ( x  e.  I  |->  ( H `
 x ) ) )
143, 6, 8, 11, 13offval2 6567 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  oF  .+  H )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( F `  x )  .+  ( H `  x )
) ) )
151, 2dprdf2 17717 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S : I --> (SubGrp `  G ) )
1615ffvelrnda 6037 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( S `  x )  e.  (SubGrp `  G )
)
17 dprdfadd.b . . . . . 6  |-  .+  =  ( +g  `  G )
1817subgcl 16905 . . . . 5  |-  ( ( ( S `  x
)  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( F `  x )  e.  ( S `  x
)  /\  ( H `  x )  e.  ( S `  x ) )  ->  ( ( F `  x )  .+  ( H `  x
) )  e.  ( S `  x ) )
1916, 6, 8, 18syl3anc 1292 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
( F `  x
)  .+  ( H `  x ) )  e.  ( S `  x
) )
204, 1, 2, 5dprdffsupp 17725 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F finSupp  .0.  )
214, 1, 2, 7dprdffsupp 17725 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  H finSupp  .0.  )
2220, 21fsuppunfi 7921 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( F supp  .0.  )  u.  ( H supp  .0.  ) )  e.  Fin )
23 ssun1 3588 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F supp 
.0.  )  C_  (
( F supp  .0.  )  u.  ( H supp  .0.  )
)
2423a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F supp  .0.  )  C_  ( ( F supp  .0.  )  u.  ( H supp  .0.  ) ) )
25 eldprdi.0 . . . . . . . . . . . 12  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
26 fvex 5889 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0g
`  G )  e. 
_V
2725, 26eqeltri 2545 . . . . . . . . . . 11  |-  .0.  e.  _V
2827a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  .0.  e.  _V )
2910, 24, 3, 28suppssr 6965 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( I  \  (
( F supp  .0.  )  u.  ( H supp  .0.  )
) ) )  -> 
( F `  x
)  =  .0.  )
30 ssun2 3589 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H supp 
.0.  )  C_  (
( F supp  .0.  )  u.  ( H supp  .0.  )
)
3130a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( H supp  .0.  )  C_  ( ( F supp  .0.  )  u.  ( H supp  .0.  ) ) )
3212, 31, 3, 28suppssr 6965 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( I  \  (
( F supp  .0.  )  u.  ( H supp  .0.  )
) ) )  -> 
( H `  x
)  =  .0.  )
3329, 32oveq12d 6326 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( I  \  (
( F supp  .0.  )  u.  ( H supp  .0.  )
) ) )  -> 
( ( F `  x )  .+  ( H `  x )
)  =  (  .0.  .+  .0.  ) )
34 dprdgrp 17715 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G dom DProd  S  ->  G  e. 
Grp )
351, 34syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
369, 25grpidcl 16772 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  Grp  ->  .0.  e.  ( Base `  G
) )
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  .0.  e.  ( Base `  G ) )
389, 17, 25grplid 16774 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  .0.  e.  ( Base `  G
) )  ->  (  .0.  .+  .0.  )  =  .0.  )
3935, 37, 38syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (  .0.  .+  .0.  )  =  .0.  )
4039adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( I  \  (
( F supp  .0.  )  u.  ( H supp  .0.  )
) ) )  -> 
(  .0.  .+  .0.  )  =  .0.  )
4133, 40eqtrd 2505 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( I  \  (
( F supp  .0.  )  u.  ( H supp  .0.  )
) ) )  -> 
( ( F `  x )  .+  ( H `  x )
)  =  .0.  )
4241, 3suppss2 6968 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  I  |->  ( ( F `
 x )  .+  ( H `  x ) ) ) supp  .0.  )  C_  ( ( F supp  .0.  )  u.  ( H supp  .0.  ) ) )
43 ssfi 7810 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F supp  .0.  )  u.  ( H supp  .0.  ) )  e.  Fin  /\  ( ( x  e.  I  |->  ( ( F `
 x )  .+  ( H `  x ) ) ) supp  .0.  )  C_  ( ( F supp  .0.  )  u.  ( H supp  .0.  ) ) )  -> 
( ( x  e.  I  |->  ( ( F `
 x )  .+  ( H `  x ) ) ) supp  .0.  )  e.  Fin )
4422, 42, 43syl2anc 673 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  I  |->  ( ( F `
 x )  .+  ( H `  x ) ) ) supp  .0.  )  e.  Fin )
45 funmpt 5625 . . . . . . 7  |-  Fun  (
x  e.  I  |->  ( ( F `  x
)  .+  ( H `  x ) ) )
4645a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Fun  ( x  e.  I  |->  ( ( F `
 x )  .+  ( H `  x ) ) ) )
47 mptexg 6151 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  _V  ->  (
x  e.  I  |->  ( ( F `  x
)  .+  ( H `  x ) ) )  e.  _V )
483, 47syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  ( ( F `  x )  .+  ( H `  x )
) )  e.  _V )
49 funisfsupp 7906 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  ( x  e.  I  |->  ( ( F `
 x )  .+  ( H `  x ) ) )  /\  (
x  e.  I  |->  ( ( F `  x
)  .+  ( H `  x ) ) )  e.  _V  /\  .0.  e.  _V )  ->  (
( x  e.  I  |->  ( ( F `  x )  .+  ( H `  x )
) ) finSupp  .0.  <->  ( (
x  e.  I  |->  ( ( F `  x
)  .+  ( H `  x ) ) ) supp 
.0.  )  e.  Fin ) )
5046, 48, 28, 49syl3anc 1292 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  I  |->  ( ( F `
 x )  .+  ( H `  x ) ) ) finSupp  .0.  <->  ( (
x  e.  I  |->  ( ( F `  x
)  .+  ( H `  x ) ) ) supp 
.0.  )  e.  Fin ) )
5144, 50mpbird 240 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  ( ( F `  x )  .+  ( H `  x )
) ) finSupp  .0.  )
524, 1, 2, 19, 51dprdwd 17721 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  ( ( F `  x )  .+  ( H `  x )
) )  e.  W
)
5314, 52eqeltrd 2549 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  oF  .+  H )  e.  W )
54 eqid 2471 . . 3  |-  (Cntz `  G )  =  (Cntz `  G )
55 grpmnd 16756 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Mnd )
5635, 55syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
57 eqid 2471 . . 3  |-  ( ( F  u.  H ) supp 
.0.  )  =  ( ( F  u.  H
) supp  .0.  )
584, 1, 2, 5, 54dprdfcntz 17726 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  F  C_  (
(Cntz `  G ) `  ran  F ) )
594, 1, 2, 7, 54dprdfcntz 17726 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  H  C_  (
(Cntz `  G ) `  ran  H ) )
604, 1, 2, 53, 54dprdfcntz 17726 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  ( F  oF  .+  H )  C_  ( (Cntz `  G ) `  ran  ( F  oF  .+  H ) ) )
6156adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  ->  G  e.  Mnd )
62 vex 3034 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
6362a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  ->  x  e.  _V )
64 eldifi 3544 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( I  \  x )  ->  k  e.  I )
6564adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) )  -> 
k  e.  I )
66 ffvelrn 6035 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : I --> ( Base `  G )  /\  k  e.  I )  ->  ( F `  k )  e.  ( Base `  G
) )
6710, 65, 66syl2an 485 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  -> 
( F `  k
)  e.  ( Base `  G ) )
6867snssd 4108 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  ->  { ( F `  k ) }  C_  ( Base `  G )
)
699, 54cntzsubm 17067 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  { ( F `  k
) }  C_  ( Base `  G ) )  ->  ( (Cntz `  G ) `  {
( F `  k
) } )  e.  (SubMnd `  G )
)
7061, 68, 69syl2anc 673 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  -> 
( (Cntz `  G
) `  { ( F `  k ) } )  e.  (SubMnd `  G ) )
7112adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  ->  H : I --> ( Base `  G ) )
72 ffn 5739 . . . . . . . . . 10  |-  ( H : I --> ( Base `  G )  ->  H  Fn  I )
7371, 72syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  ->  H  Fn  I )
74 simprl 772 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  ->  x  C_  I )
75 fnssres 5699 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H  Fn  I  /\  x  C_  I )  -> 
( H  |`  x
)  Fn  x )
7673, 74, 75syl2anc 673 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  -> 
( H  |`  x
)  Fn  x )
77 fvres 5893 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  x  ->  (
( H  |`  x
) `  y )  =  ( H `  y ) )
7877adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  ( ( H  |`  x ) `  y )  =  ( H `  y ) )
791ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  G dom DProd  S )
802ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  dom  S  =  I )
8179, 80dprdf2 17717 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  S :
I --> (SubGrp `  G )
)
8265ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  k  e.  I )
8381, 82ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  ( S `  k )  e.  (SubGrp `  G ) )
849subgss 16896 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S `  k )  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( S `  k )  C_  ( Base `  G ) )
8583, 84syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  ( S `  k )  C_  ( Base `  G ) )
865ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  F  e.  W )
874, 79, 80, 86dprdfcl 17724 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  /\  k  e.  I )  ->  ( F `  k )  e.  ( S `  k
) )
8882, 87mpdan 681 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  ( F `  k )  e.  ( S `  k ) )
8988snssd 4108 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  { ( F `  k ) }  C_  ( S `  k ) )
909, 54cntz2ss 17064 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S `  k
)  C_  ( Base `  G )  /\  {
( F `  k
) }  C_  ( S `  k )
)  ->  ( (Cntz `  G ) `  ( S `  k )
)  C_  ( (Cntz `  G ) `  {
( F `  k
) } ) )
9185, 89, 90syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  ( (Cntz `  G ) `  ( S `  k )
)  C_  ( (Cntz `  G ) `  {
( F `  k
) } ) )
9274sselda 3418 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  y  e.  I )
93 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  y  e.  x )
94 simplrr 779 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  k  e.  ( I  \  x
) )
9594eldifbd 3403 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  -.  k  e.  x )
96 nelne2 2740 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  x  /\  -.  k  e.  x
)  ->  y  =/=  k )
9793, 95, 96syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  y  =/=  k )
9879, 80, 92, 82, 97, 54dprdcntz 17718 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  ( S `  y )  C_  (
(Cntz `  G ) `  ( S `  k
) ) )
997ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  H  e.  W )
1004, 79, 80, 99dprdfcl 17724 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  /\  y  e.  I )  ->  ( H `  y )  e.  ( S `  y
) )
10192, 100mpdan 681 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  ( H `  y )  e.  ( S `  y ) )
10298, 101sseldd 3419 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  ( H `  y )  e.  ( (Cntz `  G ) `  ( S `  k
) ) )
10391, 102sseldd 3419 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  ( H `  y )  e.  ( (Cntz `  G ) `  { ( F `  k ) } ) )
10478, 103eqeltrd 2549 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  ( ( H  |`  x ) `  y )  e.  ( (Cntz `  G ) `  { ( F `  k ) } ) )
105104ralrimiva 2809 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  ->  A. y  e.  x  ( ( H  |`  x ) `  y
)  e.  ( (Cntz `  G ) `  {
( F `  k
) } ) )
106 ffnfv 6064 . . . . . . . 8  |-  ( ( H  |`  x ) : x --> ( (Cntz `  G ) `  {
( F `  k
) } )  <->  ( ( H  |`  x )  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( ( H  |`  x ) `  y )  e.  ( (Cntz `  G ) `  { ( F `  k ) } ) ) )
10776, 105, 106sylanbrc 677 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  -> 
( H  |`  x
) : x --> ( (Cntz `  G ) `  {
( F `  k
) } ) )
108 resss 5134 . . . . . . . . . 10  |-  ( H  |`  x )  C_  H
109 rnss 5069 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H  |`  x )  C_  H  ->  ran  ( H  |`  x )  C_  ran  H )
110108, 109ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ran  ( H  |`  x )  C_  ran  H
11154cntzidss 17069 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ran  H  C_  (
(Cntz `  G ) `  ran  H )  /\  ran  ( H  |`  x
)  C_  ran  H )  ->  ran  ( H  |`  x )  C_  (
(Cntz `  G ) `  ran  ( H  |`  x ) ) )
11259, 110, 111sylancl 675 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ran  ( H  |`  x )  C_  (
(Cntz `  G ) `  ran  ( H  |`  x ) ) )
113112adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  ->  ran  ( H  |`  x
)  C_  ( (Cntz `  G ) `  ran  ( H  |`  x ) ) )
11421, 28fsuppres 7926 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( H  |`  x
) finSupp  .0.  )
115114adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  -> 
( H  |`  x
) finSupp  .0.  )
11625, 54, 61, 63, 70, 107, 113, 115gsumzsubmcl 17629 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  -> 
( G  gsumg  ( H  |`  x
) )  e.  ( (Cntz `  G ) `  { ( F `  k ) } ) )
117116snssd 4108 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  ->  { ( G  gsumg  ( H  |`  x ) ) } 
C_  ( (Cntz `  G ) `  {
( F `  k
) } ) )
11871, 74fssresd 5762 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  -> 
( H  |`  x
) : x --> ( Base `  G ) )
1199, 25, 54, 61, 63, 118, 113, 115gsumzcl 17623 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  -> 
( G  gsumg  ( H  |`  x
) )  e.  (
Base `  G )
)
120119snssd 4108 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  ->  { ( G  gsumg  ( H  |`  x ) ) } 
C_  ( Base `  G
) )
1219, 54cntzrec 17065 . . . . . 6  |-  ( ( { ( G  gsumg  ( H  |`  x ) ) } 
C_  ( Base `  G
)  /\  { ( F `  k ) }  C_  ( Base `  G
) )  ->  ( { ( G  gsumg  ( H  |`  x ) ) } 
C_  ( (Cntz `  G ) `  {
( F `  k
) } )  <->  { ( F `  k ) }  C_  ( (Cntz `  G ) `  {
( G  gsumg  ( H  |`  x
) ) } ) ) )
122120, 68, 121syl2anc 673 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  -> 
( { ( G 
gsumg  ( H  |`  x ) ) }  C_  (
(Cntz `  G ) `  { ( F `  k ) } )  <->  { ( F `  k ) }  C_  ( (Cntz `  G ) `  { ( G  gsumg  ( H  |`  x ) ) } ) ) )
123117, 122mpbid 215 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  ->  { ( F `  k ) }  C_  ( (Cntz `  G ) `  { ( G  gsumg  ( H  |`  x ) ) } ) )
124 fvex 5889 . . . . 5  |-  ( F `
 k )  e. 
_V
125124snss 4087 . . . 4  |-  ( ( F `  k )  e.  ( (Cntz `  G ) `  {
( G  gsumg  ( H  |`  x
) ) } )  <->  { ( F `  k ) }  C_  ( (Cntz `  G ) `  { ( G  gsumg  ( H  |`  x ) ) } ) )
126123, 125sylibr 217 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  -> 
( F `  k
)  e.  ( (Cntz `  G ) `  {
( G  gsumg  ( H  |`  x
) ) } ) )
1279, 25, 17, 54, 56, 3, 20, 21, 57, 10, 12, 58, 59, 60, 126gsumzaddlem 17632 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( F  oF  .+  H ) )  =  ( ( G 
gsumg  F )  .+  ( G  gsumg  H ) ) )
12853, 127jca 541 1  |-  ( ph  ->  ( ( F  oF  .+  H )  e.  W  /\  ( G 
gsumg  ( F  oF  .+  H ) )  =  ( ( G  gsumg  F ) 
.+  ( G  gsumg  H ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   {crab 2760   _Vcvv 3031    \ cdif 3387    u. cun 3388    C_ wss 3390   {csn 3959   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   dom cdm 4839   ran crn 4840    |` cres 4841   Fun wfun 5583    Fn wfn 5584   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    oFcof 6548   supp csupp 6933   X_cixp 7540   Fincfn 7587   finSupp cfsupp 7901   Basecbs 15199   +g cplusg 15268   0gc0g 15416    gsumg cgsu 15417   Mndcmnd 16613  SubMndcsubmnd 16659   Grpcgrp 16747  SubGrpcsubg 16889  Cntzccntz 17047   DProd cdprd 17703
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-hash 12554  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-grp 16751  df-subg 16892  df-cntz 17049  df-dprd 17705
This theorem is referenced by:  dprdfsub  17732
  Copyright terms: Public domain W3C validator