Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdfadd Structured version   Visualization version   Unicode version

 Description: Take the sum of group sums over two families of elements of disjoint subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 14-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
eldprdi.0
eldprdi.w finSupp
eldprdi.1 DProd
eldprdi.2
eldprdi.3
Assertion
Ref Expression
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,,   ,,   ,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   ()   ()   ()   (,)   ()

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldprdi.1 . . . . 5 DProd
2 eldprdi.2 . . . . 5
31, 2dprddomcld 17711 . . . 4
4 eldprdi.w . . . . 5 finSupp
5 eldprdi.3 . . . . 5
64, 1, 2, 5dprdfcl 17724 . . . 4
7 dprdfadd.4 . . . . 5
84, 1, 2, 7dprdfcl 17724 . . . 4
9 eqid 2471 . . . . . 6
104, 1, 2, 5, 9dprdff 17723 . . . . 5
1110feqmptd 5932 . . . 4
124, 1, 2, 7, 9dprdff 17723 . . . . 5
1312feqmptd 5932 . . . 4
143, 6, 8, 11, 13offval2 6567 . . 3
151, 2dprdf2 17717 . . . . . 6 SubGrp
1615ffvelrnda 6037 . . . . 5 SubGrp
17 dprdfadd.b . . . . . 6
1817subgcl 16905 . . . . 5 SubGrp
1916, 6, 8, 18syl3anc 1292 . . . 4
204, 1, 2, 5dprdffsupp 17725 . . . . . . 7 finSupp
214, 1, 2, 7dprdffsupp 17725 . . . . . . 7 finSupp
2220, 21fsuppunfi 7921 . . . . . 6 supp supp
23 ssun1 3588 . . . . . . . . . . 11 supp supp supp
2423a1i 11 . . . . . . . . . 10 supp supp supp
25 eldprdi.0 . . . . . . . . . . . 12
26 fvex 5889 . . . . . . . . . . . 12
2725, 26eqeltri 2545 . . . . . . . . . . 11
2827a1i 11 . . . . . . . . . 10
2910, 24, 3, 28suppssr 6965 . . . . . . . . 9 supp supp
30 ssun2 3589 . . . . . . . . . . 11 supp supp supp
3130a1i 11 . . . . . . . . . 10 supp supp supp
3212, 31, 3, 28suppssr 6965 . . . . . . . . 9 supp supp
3329, 32oveq12d 6326 . . . . . . . 8 supp supp
34 dprdgrp 17715 . . . . . . . . . . 11 DProd
351, 34syl 17 . . . . . . . . . 10
369, 25grpidcl 16772 . . . . . . . . . . 11
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . 10
389, 17, 25grplid 16774 . . . . . . . . . 10
3935, 37, 38syl2anc 673 . . . . . . . . 9
4039adantr 472 . . . . . . . 8 supp supp
4133, 40eqtrd 2505 . . . . . . 7 supp supp
4241, 3suppss2 6968 . . . . . 6 supp supp supp
43 ssfi 7810 . . . . . 6 supp supp supp supp supp supp
4422, 42, 43syl2anc 673 . . . . 5 supp
45 funmpt 5625 . . . . . . 7
4645a1i 11 . . . . . 6
47 mptexg 6151 . . . . . . 7
483, 47syl 17 . . . . . 6
49 funisfsupp 7906 . . . . . 6 finSupp supp
5046, 48, 28, 49syl3anc 1292 . . . . 5 finSupp supp
5144, 50mpbird 240 . . . 4 finSupp
524, 1, 2, 19, 51dprdwd 17721 . . 3
5314, 52eqeltrd 2549 . 2
54 eqid 2471 . . 3 Cntz Cntz
55 grpmnd 16756 . . . 4
5635, 55syl 17 . . 3
57 eqid 2471 . . 3 supp supp
584, 1, 2, 5, 54dprdfcntz 17726 . . 3 Cntz
594, 1, 2, 7, 54dprdfcntz 17726 . . 3 Cntz
604, 1, 2, 53, 54dprdfcntz 17726 . . 3 Cntz
6156adantr 472 . . . . . . 7
62 vex 3034 . . . . . . . 8
6362a1i 11 . . . . . . 7
64 eldifi 3544 . . . . . . . . . . 11
6564adantl 473 . . . . . . . . . 10
66 ffvelrn 6035 . . . . . . . . . 10
6710, 65, 66syl2an 485 . . . . . . . . 9
6867snssd 4108 . . . . . . . 8
699, 54cntzsubm 17067 . . . . . . . 8 Cntz SubMnd
7061, 68, 69syl2anc 673 . . . . . . 7 Cntz SubMnd
7112adantr 472 . . . . . . . . . 10
72 ffn 5739 . . . . . . . . . 10
7371, 72syl 17 . . . . . . . . 9
74 simprl 772 . . . . . . . . 9
75 fnssres 5699 . . . . . . . . 9
7673, 74, 75syl2anc 673 . . . . . . . 8
77 fvres 5893 . . . . . . . . . . 11
7877adantl 473 . . . . . . . . . 10
791ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . 15 DProd
802ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . 15
8179, 80dprdf2 17717 . . . . . . . . . . . . . 14 SubGrp
8265ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . 14
8381, 82ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . 13 SubGrp
849subgss 16896 . . . . . . . . . . . . 13 SubGrp
8583, 84syl 17 . . . . . . . . . . . 12
865ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . 15
874, 79, 80, 86dprdfcl 17724 . . . . . . . . . . . . . 14
8882, 87mpdan 681 . . . . . . . . . . . . 13
8988snssd 4108 . . . . . . . . . . . 12
909, 54cntz2ss 17064 . . . . . . . . . . . 12 Cntz Cntz
9185, 89, 90syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11 Cntz Cntz
9274sselda 3418 . . . . . . . . . . . . 13
93 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . 14
94 simplrr 779 . . . . . . . . . . . . . . 15
9594eldifbd 3403 . . . . . . . . . . . . . 14
96 nelne2 2740 . . . . . . . . . . . . . 14
9793, 95, 96syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13
9879, 80, 92, 82, 97, 54dprdcntz 17718 . . . . . . . . . . . 12 Cntz
997ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14
1004, 79, 80, 99dprdfcl 17724 . . . . . . . . . . . . 13
10192, 100mpdan 681 . . . . . . . . . . . 12
10298, 101sseldd 3419 . . . . . . . . . . 11 Cntz
10391, 102sseldd 3419 . . . . . . . . . 10 Cntz
10478, 103eqeltrd 2549 . . . . . . . . 9 Cntz
105104ralrimiva 2809 . . . . . . . 8 Cntz
106 ffnfv 6064 . . . . . . . 8 Cntz Cntz
10776, 105, 106sylanbrc 677 . . . . . . 7 Cntz
108 resss 5134 . . . . . . . . . 10
109 rnss 5069 . . . . . . . . . 10
110108, 109ax-mp 5 . . . . . . . . 9
11154cntzidss 17069 . . . . . . . . 9 Cntz Cntz
11259, 110, 111sylancl 675 . . . . . . . 8 Cntz
113112adantr 472 . . . . . . 7 Cntz
11421, 28fsuppres 7926 . . . . . . . 8 finSupp
115114adantr 472 . . . . . . 7 finSupp
11625, 54, 61, 63, 70, 107, 113, 115gsumzsubmcl 17629 . . . . . 6 g Cntz
117116snssd 4108 . . . . 5 g Cntz
11871, 74fssresd 5762 . . . . . . . 8
1199, 25, 54, 61, 63, 118, 113, 115gsumzcl 17623 . . . . . . 7 g
120119snssd 4108 . . . . . 6 g
1219, 54cntzrec 17065 . . . . . 6 g g Cntz Cntz g
122120, 68, 121syl2anc 673 . . . . 5 g Cntz Cntz g
123117, 122mpbid 215 . . . 4 Cntz g
124 fvex 5889 . . . . 5
125124snss 4087 . . . 4 Cntz g Cntz g
126123, 125sylibr 217 . . 3 Cntz g
1279, 25, 17, 54, 56, 3, 20, 21, 57, 10, 12, 58, 59, 60, 126gsumzaddlem 17632 . 2 g g g
12853, 127jca 541 1 g g g
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 189   wa 376   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  wral 2756  crab 2760  cvv 3031   cdif 3387   cun 3388   wss 3390  csn 3959   class class class wbr 4395   cmpt 4454   cdm 4839   crn 4840   cres 4841   wfun 5583   wfn 5584  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308   cof 6548   supp csupp 6933  cixp 7540  cfn 7587   finSupp cfsupp 7901  cbs 15199   cplusg 15268  c0g 15416   g cgsu 15417  cmnd 16613  SubMndcsubmnd 16659  cgrp 16747  SubGrpcsubg 16889  Cntzccntz 17047   DProd cdprd 17703 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-hash 12554  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-grp 16751  df-subg 16892  df-cntz 17049  df-dprd 17705 This theorem is referenced by:  dprdfsub  17732
 Copyright terms: Public domain W3C validator