Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdfadd Structured version   Unicode version

 Description: Take the sum of group sums over two families of elements of disjoint subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 14-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
eldprdi.0
eldprdi.w finSupp
eldprdi.1 DProd
eldprdi.2
eldprdi.3
Assertion
Ref Expression
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,,   ,,   ,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   ()   ()   ()   (,)   ()

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldprdi.1 . . . . 5 DProd
2 eldprdi.2 . . . . 5
31, 2dprddomcld 16847 . . . 4
4 eldprdi.w . . . . 5 finSupp
5 eldprdi.3 . . . . 5
64, 1, 2, 5dprdfcl 16861 . . . 4
7 dprdfadd.4 . . . . 5
84, 1, 2, 7dprdfcl 16861 . . . 4
9 eqid 2467 . . . . . 6
104, 1, 2, 5, 9dprdff 16860 . . . . 5
1110feqmptd 5921 . . . 4
124, 1, 2, 7, 9dprdff 16860 . . . . 5
1312feqmptd 5921 . . . 4
143, 6, 8, 11, 13offval2 6541 . . 3
151, 2dprdf2 16855 . . . . . 6 SubGrp
1615ffvelrnda 6022 . . . . 5 SubGrp
17 dprdfadd.b . . . . . 6
1817subgcl 16025 . . . . 5 SubGrp
1916, 6, 8, 18syl3anc 1228 . . . 4
204, 1, 2, 5dprdffsupp 16862 . . . . . . 7 finSupp
214, 1, 2, 7dprdffsupp 16862 . . . . . . 7 finSupp
2220, 21fsuppunfi 7850 . . . . . 6 supp supp
23 ssun1 3667 . . . . . . . . . . 11 supp supp supp
2423a1i 11 . . . . . . . . . 10 supp supp supp
25 eldprdi.0 . . . . . . . . . . . 12
26 fvex 5876 . . . . . . . . . . . 12
2725, 26eqeltri 2551 . . . . . . . . . . 11
2827a1i 11 . . . . . . . . . 10
2910, 24, 3, 28suppssr 6932 . . . . . . . . 9 supp supp
30 ssun2 3668 . . . . . . . . . . 11 supp supp supp
3130a1i 11 . . . . . . . . . 10 supp supp supp
3212, 31, 3, 28suppssr 6932 . . . . . . . . 9 supp supp
3329, 32oveq12d 6303 . . . . . . . 8 supp supp
34 dprdgrp 16853 . . . . . . . . . . 11 DProd
351, 34syl 16 . . . . . . . . . 10
369, 25grpidcl 15892 . . . . . . . . . . 11
3735, 36syl 16 . . . . . . . . . 10
389, 17, 25grplid 15894 . . . . . . . . . 10
3935, 37, 38syl2anc 661 . . . . . . . . 9
4039adantr 465 . . . . . . . 8 supp supp
4133, 40eqtrd 2508 . . . . . . 7 supp supp
4241, 3suppss2 6935 . . . . . 6 supp supp supp
43 ssfi 7741 . . . . . 6 supp supp supp supp supp supp
4422, 42, 43syl2anc 661 . . . . 5 supp
45 funmpt 5624 . . . . . . 7
4645a1i 11 . . . . . 6
47 mptexg 6131 . . . . . . 7
483, 47syl 16 . . . . . 6
49 funisfsupp 7835 . . . . . 6 finSupp supp
5046, 48, 28, 49syl3anc 1228 . . . . 5 finSupp supp
5144, 50mpbird 232 . . . 4 finSupp
524, 1, 2, 19, 51dprdwd 16859 . . 3
5314, 52eqeltrd 2555 . 2
54 eqid 2467 . . 3 Cntz Cntz
55 grpmnd 15876 . . . 4
5635, 55syl 16 . . 3
57 eqid 2467 . . 3 supp supp
584, 1, 2, 5, 54dprdfcntz 16863 . . 3 Cntz
594, 1, 2, 7, 54dprdfcntz 16863 . . 3 Cntz
604, 1, 2, 53, 54dprdfcntz 16863 . . 3 Cntz
6156adantr 465 . . . . . . 7
62 vex 3116 . . . . . . . 8
6362a1i 11 . . . . . . 7
64 eldifi 3626 . . . . . . . . . . 11
6564adantl 466 . . . . . . . . . 10
66 ffvelrn 6020 . . . . . . . . . 10
6710, 65, 66syl2an 477 . . . . . . . . 9
6867snssd 4172 . . . . . . . 8
699, 54cntzsubm 16187 . . . . . . . 8 Cntz SubMnd
7061, 68, 69syl2anc 661 . . . . . . 7 Cntz SubMnd
7112adantr 465 . . . . . . . . . 10
72 ffn 5731 . . . . . . . . . 10
7371, 72syl 16 . . . . . . . . 9
74 simprl 755 . . . . . . . . 9
75 fnssres 5694 . . . . . . . . 9
7673, 74, 75syl2anc 661 . . . . . . . 8
77 fvres 5880 . . . . . . . . . . 11
7877adantl 466 . . . . . . . . . 10
791ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 DProd
802ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15
8179, 80dprdf2 16855 . . . . . . . . . . . . . 14 SubGrp
8265ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14
8381, 82ffvelrnd 6023 . . . . . . . . . . . . 13 SubGrp
849subgss 16016 . . . . . . . . . . . . 13 SubGrp
8583, 84syl 16 . . . . . . . . . . . 12
865ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15
874, 79, 80, 86dprdfcl 16861 . . . . . . . . . . . . . 14
8882, 87mpdan 668 . . . . . . . . . . . . 13
8988snssd 4172 . . . . . . . . . . . 12
909, 54cntz2ss 16184 . . . . . . . . . . . 12 Cntz Cntz
9185, 89, 90syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11 Cntz Cntz
9274sselda 3504 . . . . . . . . . . . . 13
93 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14
94 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . . . 15
9594eldifbd 3489 . . . . . . . . . . . . . 14
96 nelne2 2797 . . . . . . . . . . . . . 14
9793, 95, 96syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13
9879, 80, 92, 82, 97, 54dprdcntz 16856 . . . . . . . . . . . 12 Cntz
997ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14
1004, 79, 80, 99dprdfcl 16861 . . . . . . . . . . . . 13
10192, 100mpdan 668 . . . . . . . . . . . 12
10298, 101sseldd 3505 . . . . . . . . . . 11 Cntz
10391, 102sseldd 3505 . . . . . . . . . 10 Cntz
10478, 103eqeltrd 2555 . . . . . . . . 9 Cntz
105104ralrimiva 2878 . . . . . . . 8 Cntz
106 ffnfv 6048 . . . . . . . 8 Cntz Cntz
10776, 105, 106sylanbrc 664 . . . . . . 7 Cntz
108 resss 5297 . . . . . . . . . 10
109 rnss 5231 . . . . . . . . . 10
110108, 109ax-mp 5 . . . . . . . . 9
11154cntzidss 16189 . . . . . . . . 9 Cntz Cntz
11259, 110, 111sylancl 662 . . . . . . . 8 Cntz
113112adantr 465 . . . . . . 7 Cntz
11421, 28fsuppres 7855 . . . . . . . 8 finSupp
115114adantr 465 . . . . . . 7 finSupp
11625, 54, 61, 63, 70, 107, 113, 115gsumzsubmcl 16743 . . . . . 6 g Cntz
117116snssd 4172 . . . . 5 g Cntz
118 fssres 5751 . . . . . . . . 9
11971, 74, 118syl2anc 661 . . . . . . . 8
1209, 25, 54, 61, 63, 119, 113, 115gsumzcl 16731 . . . . . . 7 g
121120snssd 4172 . . . . . 6 g
1229, 54cntzrec 16185 . . . . . 6 g g Cntz Cntz g
123121, 68, 122syl2anc 661 . . . . 5 g Cntz Cntz g
124117, 123mpbid 210 . . . 4 Cntz g
125 fvex 5876 . . . . 5
126125snss 4151 . . . 4 Cntz g Cntz g
127124, 126sylibr 212 . . 3 Cntz g
1289, 25, 17, 54, 56, 3, 20, 21, 57, 10, 12, 58, 59, 60, 127gsumzaddlem 16749 . 2 g g g
12953, 128jca 532 1 g g g
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1379   wcel 1767   wne 2662  wral 2814  crab 2818  cvv 3113   cdif 3473   cun 3474   wss 3476  csn 4027   class class class wbr 4447   cmpt 4505   cdm 4999   crn 5000   cres 5001   wfun 5582   wfn 5583  wf 5584  cfv 5588  (class class class)co 6285   cof 6523   supp csupp 6902  cixp 7470  cfn 7517   finSupp cfsupp 7830  cbs 14493   cplusg 14558  c0g 14698   g cgsu 14699  cmnd 15729  cgrp 15730  SubMndcsubmnd 15788  SubGrpcsubg 16009  Cntzccntz 16167   DProd cdprd 16839 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6903  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-oadd 7135  df-er 7312  df-ixp 7471  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-fsupp 7831  df-oi 7936  df-card 8321  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-nn 10538  df-2 10595  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-fz 11674  df-fzo 11794  df-seq 12077  df-hash 12375  df-ndx 14496  df-slot 14497  df-base 14498  df-sets 14499  df-ress 14500  df-plusg 14571  df-0g 14700  df-gsum 14701  df-mnd 15735  df-submnd 15790  df-grp 15871  df-subg 16012  df-cntz 16169  df-dprd 16841 This theorem is referenced by:  dprdfsub  16875
 Copyright terms: Public domain W3C validator