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Theorem dprdfadd 17594
Description: Take the sum of group sums over two families of elements of disjoint subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 14-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
eldprdi.0  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
eldprdi.w  |-  W  =  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp  .0.  }
eldprdi.1  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
eldprdi.2  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
eldprdi.3  |-  ( ph  ->  F  e.  W )
dprdfadd.4  |-  ( ph  ->  H  e.  W )
dprdfadd.b  |-  .+  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
dprdfadd  |-  ( ph  ->  ( ( F  oF  .+  H )  e.  W  /\  ( G 
gsumg  ( F  oF  .+  H ) )  =  ( ( G  gsumg  F ) 
.+  ( G  gsumg  H ) ) ) )
Distinct variable groups:    .+ , h    h, F    h, H    h, i, G    h, I, i    .0. , h    S, h, i
Allowed substitution hints:    ph( h, i)    .+ ( i)    F( i)    H( i)    W( h, i)    .0. ( i)

Proof of Theorem dprdfadd
Dummy variables  k  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldprdi.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
2 eldprdi.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
31, 2dprddomcld 17574 . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
4 eldprdi.w . . . . 5  |-  W  =  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp  .0.  }
5 eldprdi.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  W )
64, 1, 2, 5dprdfcl 17587 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( F `  x )  e.  ( S `  x
) )
7 dprdfadd.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  H  e.  W )
84, 1, 2, 7dprdfcl 17587 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( H `  x )  e.  ( S `  x
) )
9 eqid 2420 . . . . . 6  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
104, 1, 2, 5, 9dprdff 17586 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : I --> ( Base `  G ) )
1110feqmptd 5925 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  I  |->  ( F `
 x ) ) )
124, 1, 2, 7, 9dprdff 17586 . . . . 5  |-  ( ph  ->  H : I --> ( Base `  G ) )
1312feqmptd 5925 . . . 4  |-  ( ph  ->  H  =  ( x  e.  I  |->  ( H `
 x ) ) )
143, 6, 8, 11, 13offval2 6553 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  oF  .+  H )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( F `  x )  .+  ( H `  x )
) ) )
151, 2dprdf2 17580 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S : I --> (SubGrp `  G ) )
1615ffvelrnda 6028 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( S `  x )  e.  (SubGrp `  G )
)
17 dprdfadd.b . . . . . 6  |-  .+  =  ( +g  `  G )
1817subgcl 16779 . . . . 5  |-  ( ( ( S `  x
)  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( F `  x )  e.  ( S `  x
)  /\  ( H `  x )  e.  ( S `  x ) )  ->  ( ( F `  x )  .+  ( H `  x
) )  e.  ( S `  x ) )
1916, 6, 8, 18syl3anc 1264 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
( F `  x
)  .+  ( H `  x ) )  e.  ( S `  x
) )
204, 1, 2, 5dprdffsupp 17588 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F finSupp  .0.  )
214, 1, 2, 7dprdffsupp 17588 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  H finSupp  .0.  )
2220, 21fsuppunfi 7900 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( F supp  .0.  )  u.  ( H supp  .0.  ) )  e.  Fin )
23 ssun1 3626 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F supp 
.0.  )  C_  (
( F supp  .0.  )  u.  ( H supp  .0.  )
)
2423a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F supp  .0.  )  C_  ( ( F supp  .0.  )  u.  ( H supp  .0.  ) ) )
25 eldprdi.0 . . . . . . . . . . . 12  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
26 fvex 5882 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0g
`  G )  e. 
_V
2725, 26eqeltri 2504 . . . . . . . . . . 11  |-  .0.  e.  _V
2827a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  .0.  e.  _V )
2910, 24, 3, 28suppssr 6948 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( I  \  (
( F supp  .0.  )  u.  ( H supp  .0.  )
) ) )  -> 
( F `  x
)  =  .0.  )
30 ssun2 3627 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H supp 
.0.  )  C_  (
( F supp  .0.  )  u.  ( H supp  .0.  )
)
3130a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( H supp  .0.  )  C_  ( ( F supp  .0.  )  u.  ( H supp  .0.  ) ) )
3212, 31, 3, 28suppssr 6948 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( I  \  (
( F supp  .0.  )  u.  ( H supp  .0.  )
) ) )  -> 
( H `  x
)  =  .0.  )
3329, 32oveq12d 6314 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( I  \  (
( F supp  .0.  )  u.  ( H supp  .0.  )
) ) )  -> 
( ( F `  x )  .+  ( H `  x )
)  =  (  .0.  .+  .0.  ) )
34 dprdgrp 17578 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G dom DProd  S  ->  G  e. 
Grp )
351, 34syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
369, 25grpidcl 16646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  Grp  ->  .0.  e.  ( Base `  G
) )
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  .0.  e.  ( Base `  G ) )
389, 17, 25grplid 16648 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  .0.  e.  ( Base `  G
) )  ->  (  .0.  .+  .0.  )  =  .0.  )
3935, 37, 38syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (  .0.  .+  .0.  )  =  .0.  )
4039adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( I  \  (
( F supp  .0.  )  u.  ( H supp  .0.  )
) ) )  -> 
(  .0.  .+  .0.  )  =  .0.  )
4133, 40eqtrd 2461 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( I  \  (
( F supp  .0.  )  u.  ( H supp  .0.  )
) ) )  -> 
( ( F `  x )  .+  ( H `  x )
)  =  .0.  )
4241, 3suppss2 6951 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  I  |->  ( ( F `
 x )  .+  ( H `  x ) ) ) supp  .0.  )  C_  ( ( F supp  .0.  )  u.  ( H supp  .0.  ) ) )
43 ssfi 7789 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F supp  .0.  )  u.  ( H supp  .0.  ) )  e.  Fin  /\  ( ( x  e.  I  |->  ( ( F `
 x )  .+  ( H `  x ) ) ) supp  .0.  )  C_  ( ( F supp  .0.  )  u.  ( H supp  .0.  ) ) )  -> 
( ( x  e.  I  |->  ( ( F `
 x )  .+  ( H `  x ) ) ) supp  .0.  )  e.  Fin )
4422, 42, 43syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  I  |->  ( ( F `
 x )  .+  ( H `  x ) ) ) supp  .0.  )  e.  Fin )
45 funmpt 5628 . . . . . . 7  |-  Fun  (
x  e.  I  |->  ( ( F `  x
)  .+  ( H `  x ) ) )
4645a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Fun  ( x  e.  I  |->  ( ( F `
 x )  .+  ( H `  x ) ) ) )
47 mptexg 6141 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  _V  ->  (
x  e.  I  |->  ( ( F `  x
)  .+  ( H `  x ) ) )  e.  _V )
483, 47syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  ( ( F `  x )  .+  ( H `  x )
) )  e.  _V )
49 funisfsupp 7885 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  ( x  e.  I  |->  ( ( F `
 x )  .+  ( H `  x ) ) )  /\  (
x  e.  I  |->  ( ( F `  x
)  .+  ( H `  x ) ) )  e.  _V  /\  .0.  e.  _V )  ->  (
( x  e.  I  |->  ( ( F `  x )  .+  ( H `  x )
) ) finSupp  .0.  <->  ( (
x  e.  I  |->  ( ( F `  x
)  .+  ( H `  x ) ) ) supp 
.0.  )  e.  Fin ) )
5046, 48, 28, 49syl3anc 1264 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  I  |->  ( ( F `
 x )  .+  ( H `  x ) ) ) finSupp  .0.  <->  ( (
x  e.  I  |->  ( ( F `  x
)  .+  ( H `  x ) ) ) supp 
.0.  )  e.  Fin ) )
5144, 50mpbird 235 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  ( ( F `  x )  .+  ( H `  x )
) ) finSupp  .0.  )
524, 1, 2, 19, 51dprdwd 17584 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  ( ( F `  x )  .+  ( H `  x )
) )  e.  W
)
5314, 52eqeltrd 2508 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  oF  .+  H )  e.  W )
54 eqid 2420 . . 3  |-  (Cntz `  G )  =  (Cntz `  G )
55 grpmnd 16630 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Mnd )
5635, 55syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
57 eqid 2420 . . 3  |-  ( ( F  u.  H ) supp 
.0.  )  =  ( ( F  u.  H
) supp  .0.  )
584, 1, 2, 5, 54dprdfcntz 17589 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  F  C_  (
(Cntz `  G ) `  ran  F ) )
594, 1, 2, 7, 54dprdfcntz 17589 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  H  C_  (
(Cntz `  G ) `  ran  H ) )
604, 1, 2, 53, 54dprdfcntz 17589 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  ( F  oF  .+  H )  C_  ( (Cntz `  G ) `  ran  ( F  oF  .+  H ) ) )
6156adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  ->  G  e.  Mnd )
62 vex 3081 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
6362a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  ->  x  e.  _V )
64 eldifi 3584 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( I  \  x )  ->  k  e.  I )
6564adantl 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) )  -> 
k  e.  I )
66 ffvelrn 6026 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : I --> ( Base `  G )  /\  k  e.  I )  ->  ( F `  k )  e.  ( Base `  G
) )
6710, 65, 66syl2an 479 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  -> 
( F `  k
)  e.  ( Base `  G ) )
6867snssd 4139 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  ->  { ( F `  k ) }  C_  ( Base `  G )
)
699, 54cntzsubm 16941 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  { ( F `  k
) }  C_  ( Base `  G ) )  ->  ( (Cntz `  G ) `  {
( F `  k
) } )  e.  (SubMnd `  G )
)
7061, 68, 69syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  -> 
( (Cntz `  G
) `  { ( F `  k ) } )  e.  (SubMnd `  G ) )
7112adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  ->  H : I --> ( Base `  G ) )
72 ffn 5737 . . . . . . . . . 10  |-  ( H : I --> ( Base `  G )  ->  H  Fn  I )
7371, 72syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  ->  H  Fn  I )
74 simprl 762 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  ->  x  C_  I )
75 fnssres 5698 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H  Fn  I  /\  x  C_  I )  -> 
( H  |`  x
)  Fn  x )
7673, 74, 75syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  -> 
( H  |`  x
)  Fn  x )
77 fvres 5886 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  x  ->  (
( H  |`  x
) `  y )  =  ( H `  y ) )
7877adantl 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  ( ( H  |`  x ) `  y )  =  ( H `  y ) )
791ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  G dom DProd  S )
802ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  dom  S  =  I )
8179, 80dprdf2 17580 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  S :
I --> (SubGrp `  G )
)
8265ad2antlr 731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  k  e.  I )
8381, 82ffvelrnd 6029 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  ( S `  k )  e.  (SubGrp `  G ) )
849subgss 16770 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S `  k )  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( S `  k )  C_  ( Base `  G ) )
8583, 84syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  ( S `  k )  C_  ( Base `  G ) )
865ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  F  e.  W )
874, 79, 80, 86dprdfcl 17587 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  /\  k  e.  I )  ->  ( F `  k )  e.  ( S `  k
) )
8882, 87mpdan 672 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  ( F `  k )  e.  ( S `  k ) )
8988snssd 4139 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  { ( F `  k ) }  C_  ( S `  k ) )
909, 54cntz2ss 16938 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S `  k
)  C_  ( Base `  G )  /\  {
( F `  k
) }  C_  ( S `  k )
)  ->  ( (Cntz `  G ) `  ( S `  k )
)  C_  ( (Cntz `  G ) `  {
( F `  k
) } ) )
9185, 89, 90syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  ( (Cntz `  G ) `  ( S `  k )
)  C_  ( (Cntz `  G ) `  {
( F `  k
) } ) )
9274sselda 3461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  y  e.  I )
93 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  y  e.  x )
94 simplrr 769 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  k  e.  ( I  \  x
) )
9594eldifbd 3446 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  -.  k  e.  x )
96 nelne2 2752 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  x  /\  -.  k  e.  x
)  ->  y  =/=  k )
9793, 95, 96syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  y  =/=  k )
9879, 80, 92, 82, 97, 54dprdcntz 17581 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  ( S `  y )  C_  (
(Cntz `  G ) `  ( S `  k
) ) )
997ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  H  e.  W )
1004, 79, 80, 99dprdfcl 17587 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  /\  y  e.  I )  ->  ( H `  y )  e.  ( S `  y
) )
10192, 100mpdan 672 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  ( H `  y )  e.  ( S `  y ) )
10298, 101sseldd 3462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  ( H `  y )  e.  ( (Cntz `  G ) `  ( S `  k
) ) )
10391, 102sseldd 3462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  ( H `  y )  e.  ( (Cntz `  G ) `  { ( F `  k ) } ) )
10478, 103eqeltrd 2508 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  ( ( H  |`  x ) `  y )  e.  ( (Cntz `  G ) `  { ( F `  k ) } ) )
105104ralrimiva 2837 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  ->  A. y  e.  x  ( ( H  |`  x ) `  y
)  e.  ( (Cntz `  G ) `  {
( F `  k
) } ) )
106 ffnfv 6055 . . . . . . . 8  |-  ( ( H  |`  x ) : x --> ( (Cntz `  G ) `  {
( F `  k
) } )  <->  ( ( H  |`  x )  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( ( H  |`  x ) `  y )  e.  ( (Cntz `  G ) `  { ( F `  k ) } ) ) )
10776, 105, 106sylanbrc 668 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  -> 
( H  |`  x
) : x --> ( (Cntz `  G ) `  {
( F `  k
) } ) )
108 resss 5139 . . . . . . . . . 10  |-  ( H  |`  x )  C_  H
109 rnss 5074 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H  |`  x )  C_  H  ->  ran  ( H  |`  x )  C_  ran  H )
110108, 109ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ran  ( H  |`  x )  C_  ran  H
11154cntzidss 16943 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ran  H  C_  (
(Cntz `  G ) `  ran  H )  /\  ran  ( H  |`  x
)  C_  ran  H )  ->  ran  ( H  |`  x )  C_  (
(Cntz `  G ) `  ran  ( H  |`  x ) ) )
11259, 110, 111sylancl 666 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ran  ( H  |`  x )  C_  (
(Cntz `  G ) `  ran  ( H  |`  x ) ) )
113112adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  ->  ran  ( H  |`  x
)  C_  ( (Cntz `  G ) `  ran  ( H  |`  x ) ) )
11421, 28fsuppres 7905 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( H  |`  x
) finSupp  .0.  )
115114adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  -> 
( H  |`  x
) finSupp  .0.  )
11625, 54, 61, 63, 70, 107, 113, 115gsumzsubmcl 17492 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  -> 
( G  gsumg  ( H  |`  x
) )  e.  ( (Cntz `  G ) `  { ( F `  k ) } ) )
117116snssd 4139 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  ->  { ( G  gsumg  ( H  |`  x ) ) } 
C_  ( (Cntz `  G ) `  {
( F `  k
) } ) )
11871, 74fssresd 5758 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  -> 
( H  |`  x
) : x --> ( Base `  G ) )
1199, 25, 54, 61, 63, 118, 113, 115gsumzcl 17486 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  -> 
( G  gsumg  ( H  |`  x
) )  e.  (
Base `  G )
)
120119snssd 4139 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  ->  { ( G  gsumg  ( H  |`  x ) ) } 
C_  ( Base `  G
) )
1219, 54cntzrec 16939 . . . . . 6  |-  ( ( { ( G  gsumg  ( H  |`  x ) ) } 
C_  ( Base `  G
)  /\  { ( F `  k ) }  C_  ( Base `  G
) )  ->  ( { ( G  gsumg  ( H  |`  x ) ) } 
C_  ( (Cntz `  G ) `  {
( F `  k
) } )  <->  { ( F `  k ) }  C_  ( (Cntz `  G ) `  {
( G  gsumg  ( H  |`  x
) ) } ) ) )
122120, 68, 121syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  -> 
( { ( G 
gsumg  ( H  |`  x ) ) }  C_  (
(Cntz `  G ) `  { ( F `  k ) } )  <->  { ( F `  k ) }  C_  ( (Cntz `  G ) `  { ( G  gsumg  ( H  |`  x ) ) } ) ) )
123117, 122mpbid 213 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  ->  { ( F `  k ) }  C_  ( (Cntz `  G ) `  { ( G  gsumg  ( H  |`  x ) ) } ) )
124 fvex 5882 . . . . 5  |-  ( F `
 k )  e. 
_V
125124snss 4118 . . . 4  |-  ( ( F `  k )  e.  ( (Cntz `  G ) `  {
( G  gsumg  ( H  |`  x
) ) } )  <->  { ( F `  k ) }  C_  ( (Cntz `  G ) `  { ( G  gsumg  ( H  |`  x ) ) } ) )
126123, 125sylibr 215 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  -> 
( F `  k
)  e.  ( (Cntz `  G ) `  {
( G  gsumg  ( H  |`  x
) ) } ) )
1279, 25, 17, 54, 56, 3, 20, 21, 57, 10, 12, 58, 59, 60, 126gsumzaddlem 17495 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( F  oF  .+  H ) )  =  ( ( G 
gsumg  F )  .+  ( G  gsumg  H ) ) )
12853, 127jca 534 1  |-  ( ph  ->  ( ( F  oF  .+  H )  e.  W  /\  ( G 
gsumg  ( F  oF  .+  H ) )  =  ( ( G  gsumg  F ) 
.+  ( G  gsumg  H ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1867    =/= wne 2616   A.wral 2773   {crab 2777   _Vcvv 3078    \ cdif 3430    u. cun 3431    C_ wss 3433   {csn 3993   class class class wbr 4417    |-> cmpt 4475   dom cdm 4845   ran crn 4846    |` cres 4847   Fun wfun 5586    Fn wfn 5587   -->wf 5588   ` cfv 5592  (class class class)co 6296    oFcof 6534   supp csupp 6916   X_cixp 7521   Fincfn 7568   finSupp cfsupp 7880   Basecbs 15081   +g cplusg 15150   0gc0g 15298    gsumg cgsu 15299   Mndcmnd 16487  SubMndcsubmnd 16533   Grpcgrp 16621  SubGrpcsubg 16763  Cntzccntz 16921   DProd cdprd 17566
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-se 4805  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-isom 5601  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6536  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-supp 6917  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-oadd 7185  df-er 7362  df-ixp 7522  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-fin 7572  df-fsupp 7881  df-oi 8016  df-card 8363  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-nn 10599  df-2 10657  df-n0 10859  df-z 10927  df-uz 11149  df-fz 11772  df-fzo 11903  df-seq 12200  df-hash 12502  df-ndx 15084  df-slot 15085  df-base 15086  df-sets 15087  df-ress 15088  df-plusg 15163  df-0g 15300  df-gsum 15301  df-mgm 16440  df-sgrp 16479  df-mnd 16489  df-submnd 16535  df-grp 16625  df-subg 16766  df-cntz 16923  df-dprd 17568
This theorem is referenced by:  dprdfsub  17595
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