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Theorem dprdfadd 16635
Description: Take the sum of group sums over two families of elements of disjoint subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 14-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
eldprdi.0  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
eldprdi.w  |-  W  =  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp  .0.  }
eldprdi.1  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
eldprdi.2  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
eldprdi.3  |-  ( ph  ->  F  e.  W )
dprdfadd.4  |-  ( ph  ->  H  e.  W )
dprdfadd.b  |-  .+  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
dprdfadd  |-  ( ph  ->  ( ( F  oF  .+  H )  e.  W  /\  ( G 
gsumg  ( F  oF  .+  H ) )  =  ( ( G  gsumg  F ) 
.+  ( G  gsumg  H ) ) ) )
Distinct variable groups:    .+ , h    h, F    h, H    h, i, G    h, I, i    .0. , h    S, h, i
Allowed substitution hints:    ph( h, i)    .+ ( i)    F( i)    H( i)    W( h, i)    .0. ( i)

Proof of Theorem dprdfadd
Dummy variables  k  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldprdi.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
2 eldprdi.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
31, 2dprddomcld 16608 . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
4 eldprdi.w . . . . 5  |-  W  =  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp  .0.  }
5 eldprdi.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  W )
64, 1, 2, 5dprdfcl 16622 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( F `  x )  e.  ( S `  x
) )
7 dprdfadd.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  H  e.  W )
84, 1, 2, 7dprdfcl 16622 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( H `  x )  e.  ( S `  x
) )
9 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
104, 1, 2, 5, 9dprdff 16621 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : I --> ( Base `  G ) )
1110feqmptd 5856 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  I  |->  ( F `
 x ) ) )
124, 1, 2, 7, 9dprdff 16621 . . . . 5  |-  ( ph  ->  H : I --> ( Base `  G ) )
1312feqmptd 5856 . . . 4  |-  ( ph  ->  H  =  ( x  e.  I  |->  ( H `
 x ) ) )
143, 6, 8, 11, 13offval2 6449 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  oF  .+  H )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( F `  x )  .+  ( H `  x )
) ) )
151, 2dprdf2 16616 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S : I --> (SubGrp `  G ) )
1615ffvelrnda 5955 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( S `  x )  e.  (SubGrp `  G )
)
17 dprdfadd.b . . . . . 6  |-  .+  =  ( +g  `  G )
1817subgcl 15813 . . . . 5  |-  ( ( ( S `  x
)  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( F `  x )  e.  ( S `  x
)  /\  ( H `  x )  e.  ( S `  x ) )  ->  ( ( F `  x )  .+  ( H `  x
) )  e.  ( S `  x ) )
1916, 6, 8, 18syl3anc 1219 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
( F `  x
)  .+  ( H `  x ) )  e.  ( S `  x
) )
204, 1, 2, 5dprdffsupp 16623 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F finSupp  .0.  )
214, 1, 2, 7dprdffsupp 16623 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  H finSupp  .0.  )
2220, 21fsuppunfi 7754 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( F supp  .0.  )  u.  ( H supp  .0.  ) )  e.  Fin )
23 ssun1 3630 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F supp 
.0.  )  C_  (
( F supp  .0.  )  u.  ( H supp  .0.  )
)
2423a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F supp  .0.  )  C_  ( ( F supp  .0.  )  u.  ( H supp  .0.  ) ) )
25 eldprdi.0 . . . . . . . . . . . 12  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
26 fvex 5812 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0g
`  G )  e. 
_V
2725, 26eqeltri 2538 . . . . . . . . . . 11  |-  .0.  e.  _V
2827a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  .0.  e.  _V )
2910, 24, 3, 28suppssr 6833 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( I  \  (
( F supp  .0.  )  u.  ( H supp  .0.  )
) ) )  -> 
( F `  x
)  =  .0.  )
30 ssun2 3631 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H supp 
.0.  )  C_  (
( F supp  .0.  )  u.  ( H supp  .0.  )
)
3130a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( H supp  .0.  )  C_  ( ( F supp  .0.  )  u.  ( H supp  .0.  ) ) )
3212, 31, 3, 28suppssr 6833 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( I  \  (
( F supp  .0.  )  u.  ( H supp  .0.  )
) ) )  -> 
( H `  x
)  =  .0.  )
3329, 32oveq12d 6221 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( I  \  (
( F supp  .0.  )  u.  ( H supp  .0.  )
) ) )  -> 
( ( F `  x )  .+  ( H `  x )
)  =  (  .0.  .+  .0.  ) )
34 dprdgrp 16614 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G dom DProd  S  ->  G  e. 
Grp )
351, 34syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
369, 25grpidcl 15688 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  Grp  ->  .0.  e.  ( Base `  G
) )
3735, 36syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  .0.  e.  ( Base `  G ) )
389, 17, 25grplid 15690 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  .0.  e.  ( Base `  G
) )  ->  (  .0.  .+  .0.  )  =  .0.  )
3935, 37, 38syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (  .0.  .+  .0.  )  =  .0.  )
4039adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( I  \  (
( F supp  .0.  )  u.  ( H supp  .0.  )
) ) )  -> 
(  .0.  .+  .0.  )  =  .0.  )
4133, 40eqtrd 2495 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( I  \  (
( F supp  .0.  )  u.  ( H supp  .0.  )
) ) )  -> 
( ( F `  x )  .+  ( H `  x )
)  =  .0.  )
4241, 3suppss2 6836 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  I  |->  ( ( F `
 x )  .+  ( H `  x ) ) ) supp  .0.  )  C_  ( ( F supp  .0.  )  u.  ( H supp  .0.  ) ) )
43 ssfi 7647 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F supp  .0.  )  u.  ( H supp  .0.  ) )  e.  Fin  /\  ( ( x  e.  I  |->  ( ( F `
 x )  .+  ( H `  x ) ) ) supp  .0.  )  C_  ( ( F supp  .0.  )  u.  ( H supp  .0.  ) ) )  -> 
( ( x  e.  I  |->  ( ( F `
 x )  .+  ( H `  x ) ) ) supp  .0.  )  e.  Fin )
4422, 42, 43syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  I  |->  ( ( F `
 x )  .+  ( H `  x ) ) ) supp  .0.  )  e.  Fin )
45 funmpt 5565 . . . . . . 7  |-  Fun  (
x  e.  I  |->  ( ( F `  x
)  .+  ( H `  x ) ) )
4645a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Fun  ( x  e.  I  |->  ( ( F `
 x )  .+  ( H `  x ) ) ) )
47 mptexg 6059 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  _V  ->  (
x  e.  I  |->  ( ( F `  x
)  .+  ( H `  x ) ) )  e.  _V )
483, 47syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  ( ( F `  x )  .+  ( H `  x )
) )  e.  _V )
49 funisfsupp 7739 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  ( x  e.  I  |->  ( ( F `
 x )  .+  ( H `  x ) ) )  /\  (
x  e.  I  |->  ( ( F `  x
)  .+  ( H `  x ) ) )  e.  _V  /\  .0.  e.  _V )  ->  (
( x  e.  I  |->  ( ( F `  x )  .+  ( H `  x )
) ) finSupp  .0.  <->  ( (
x  e.  I  |->  ( ( F `  x
)  .+  ( H `  x ) ) ) supp 
.0.  )  e.  Fin ) )
5046, 48, 28, 49syl3anc 1219 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  I  |->  ( ( F `
 x )  .+  ( H `  x ) ) ) finSupp  .0.  <->  ( (
x  e.  I  |->  ( ( F `  x
)  .+  ( H `  x ) ) ) supp 
.0.  )  e.  Fin ) )
5144, 50mpbird 232 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  ( ( F `  x )  .+  ( H `  x )
) ) finSupp  .0.  )
524, 1, 2, 19, 51dprdwd 16620 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  ( ( F `  x )  .+  ( H `  x )
) )  e.  W
)
5314, 52eqeltrd 2542 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  oF  .+  H )  e.  W )
54 eqid 2454 . . 3  |-  (Cntz `  G )  =  (Cntz `  G )
55 grpmnd 15672 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Mnd )
5635, 55syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
57 eqid 2454 . . 3  |-  ( ( F  u.  H ) supp 
.0.  )  =  ( ( F  u.  H
) supp  .0.  )
584, 1, 2, 5, 54dprdfcntz 16624 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  F  C_  (
(Cntz `  G ) `  ran  F ) )
594, 1, 2, 7, 54dprdfcntz 16624 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  H  C_  (
(Cntz `  G ) `  ran  H ) )
604, 1, 2, 53, 54dprdfcntz 16624 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  ( F  oF  .+  H )  C_  ( (Cntz `  G ) `  ran  ( F  oF  .+  H ) ) )
6156adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  ->  G  e.  Mnd )
62 vex 3081 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
6362a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  ->  x  e.  _V )
64 eldifi 3589 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( I  \  x )  ->  k  e.  I )
6564adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) )  -> 
k  e.  I )
66 ffvelrn 5953 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : I --> ( Base `  G )  /\  k  e.  I )  ->  ( F `  k )  e.  ( Base `  G
) )
6710, 65, 66syl2an 477 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  -> 
( F `  k
)  e.  ( Base `  G ) )
6867snssd 4129 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  ->  { ( F `  k ) }  C_  ( Base `  G )
)
699, 54cntzsubm 15975 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  { ( F `  k
) }  C_  ( Base `  G ) )  ->  ( (Cntz `  G ) `  {
( F `  k
) } )  e.  (SubMnd `  G )
)
7061, 68, 69syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  -> 
( (Cntz `  G
) `  { ( F `  k ) } )  e.  (SubMnd `  G ) )
7112adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  ->  H : I --> ( Base `  G ) )
72 ffn 5670 . . . . . . . . . 10  |-  ( H : I --> ( Base `  G )  ->  H  Fn  I )
7371, 72syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  ->  H  Fn  I )
74 simprl 755 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  ->  x  C_  I )
75 fnssres 5635 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H  Fn  I  /\  x  C_  I )  -> 
( H  |`  x
)  Fn  x )
7673, 74, 75syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  -> 
( H  |`  x
)  Fn  x )
77 fvres 5816 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  x  ->  (
( H  |`  x
) `  y )  =  ( H `  y ) )
7877adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  ( ( H  |`  x ) `  y )  =  ( H `  y ) )
791ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  G dom DProd  S )
802ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  dom  S  =  I )
8179, 80dprdf2 16616 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  S :
I --> (SubGrp `  G )
)
8265ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  k  e.  I )
8381, 82ffvelrnd 5956 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  ( S `  k )  e.  (SubGrp `  G ) )
849subgss 15804 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S `  k )  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( S `  k )  C_  ( Base `  G ) )
8583, 84syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  ( S `  k )  C_  ( Base `  G ) )
865ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  F  e.  W )
874, 79, 80, 86dprdfcl 16622 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  /\  k  e.  I )  ->  ( F `  k )  e.  ( S `  k
) )
8882, 87mpdan 668 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  ( F `  k )  e.  ( S `  k ) )
8988snssd 4129 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  { ( F `  k ) }  C_  ( S `  k ) )
909, 54cntz2ss 15972 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S `  k
)  C_  ( Base `  G )  /\  {
( F `  k
) }  C_  ( S `  k )
)  ->  ( (Cntz `  G ) `  ( S `  k )
)  C_  ( (Cntz `  G ) `  {
( F `  k
) } ) )
9185, 89, 90syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  ( (Cntz `  G ) `  ( S `  k )
)  C_  ( (Cntz `  G ) `  {
( F `  k
) } ) )
9274sselda 3467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  y  e.  I )
93 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  y  e.  x )
94 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  k  e.  ( I  \  x
) )
9594eldifbd 3452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  -.  k  e.  x )
96 nelne2 2782 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  x  /\  -.  k  e.  x
)  ->  y  =/=  k )
9793, 95, 96syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  y  =/=  k )
9879, 80, 92, 82, 97, 54dprdcntz 16617 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  ( S `  y )  C_  (
(Cntz `  G ) `  ( S `  k
) ) )
997ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  H  e.  W )
1004, 79, 80, 99dprdfcl 16622 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  /\  y  e.  I )  ->  ( H `  y )  e.  ( S `  y
) )
10192, 100mpdan 668 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  ( H `  y )  e.  ( S `  y ) )
10298, 101sseldd 3468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  ( H `  y )  e.  ( (Cntz `  G ) `  ( S `  k
) ) )
10391, 102sseldd 3468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  ( H `  y )  e.  ( (Cntz `  G ) `  { ( F `  k ) } ) )
10478, 103eqeltrd 2542 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  ( ( H  |`  x ) `  y )  e.  ( (Cntz `  G ) `  { ( F `  k ) } ) )
105104ralrimiva 2830 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  ->  A. y  e.  x  ( ( H  |`  x ) `  y
)  e.  ( (Cntz `  G ) `  {
( F `  k
) } ) )
106 ffnfv 5981 . . . . . . . 8  |-  ( ( H  |`  x ) : x --> ( (Cntz `  G ) `  {
( F `  k
) } )  <->  ( ( H  |`  x )  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( ( H  |`  x ) `  y )  e.  ( (Cntz `  G ) `  { ( F `  k ) } ) ) )
10776, 105, 106sylanbrc 664 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  -> 
( H  |`  x
) : x --> ( (Cntz `  G ) `  {
( F `  k
) } ) )
108 resss 5245 . . . . . . . . . 10  |-  ( H  |`  x )  C_  H
109 rnss 5179 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H  |`  x )  C_  H  ->  ran  ( H  |`  x )  C_  ran  H )
110108, 109ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ran  ( H  |`  x )  C_  ran  H
11154cntzidss 15977 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ran  H  C_  (
(Cntz `  G ) `  ran  H )  /\  ran  ( H  |`  x
)  C_  ran  H )  ->  ran  ( H  |`  x )  C_  (
(Cntz `  G ) `  ran  ( H  |`  x ) ) )
11259, 110, 111sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ran  ( H  |`  x )  C_  (
(Cntz `  G ) `  ran  ( H  |`  x ) ) )
113112adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  ->  ran  ( H  |`  x
)  C_  ( (Cntz `  G ) `  ran  ( H  |`  x ) ) )
11421, 28fsuppres 7759 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( H  |`  x
) finSupp  .0.  )
115114adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  -> 
( H  |`  x
) finSupp  .0.  )
11625, 54, 61, 63, 70, 107, 113, 115gsumzsubmcl 16526 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  -> 
( G  gsumg  ( H  |`  x
) )  e.  ( (Cntz `  G ) `  { ( F `  k ) } ) )
117116snssd 4129 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  ->  { ( G  gsumg  ( H  |`  x ) ) } 
C_  ( (Cntz `  G ) `  {
( F `  k
) } ) )
118 fssres 5689 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H : I --> ( Base `  G )  /\  x  C_  I )  ->  ( H  |`  x ) : x --> ( Base `  G
) )
11971, 74, 118syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  -> 
( H  |`  x
) : x --> ( Base `  G ) )
1209, 25, 54, 61, 63, 119, 113, 115gsumzcl 16514 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  -> 
( G  gsumg  ( H  |`  x
) )  e.  (
Base `  G )
)
121120snssd 4129 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  ->  { ( G  gsumg  ( H  |`  x ) ) } 
C_  ( Base `  G
) )
1229, 54cntzrec 15973 . . . . . 6  |-  ( ( { ( G  gsumg  ( H  |`  x ) ) } 
C_  ( Base `  G
)  /\  { ( F `  k ) }  C_  ( Base `  G
) )  ->  ( { ( G  gsumg  ( H  |`  x ) ) } 
C_  ( (Cntz `  G ) `  {
( F `  k
) } )  <->  { ( F `  k ) }  C_  ( (Cntz `  G ) `  {
( G  gsumg  ( H  |`  x
) ) } ) ) )
123121, 68, 122syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  -> 
( { ( G 
gsumg  ( H  |`  x ) ) }  C_  (
(Cntz `  G ) `  { ( F `  k ) } )  <->  { ( F `  k ) }  C_  ( (Cntz `  G ) `  { ( G  gsumg  ( H  |`  x ) ) } ) ) )
124117, 123mpbid 210 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  ->  { ( F `  k ) }  C_  ( (Cntz `  G ) `  { ( G  gsumg  ( H  |`  x ) ) } ) )
125 fvex 5812 . . . . 5  |-  ( F `
 k )  e. 
_V
126125snss 4110 . . . 4  |-  ( ( F `  k )  e.  ( (Cntz `  G ) `  {
( G  gsumg  ( H  |`  x
) ) } )  <->  { ( F `  k ) }  C_  ( (Cntz `  G ) `  { ( G  gsumg  ( H  |`  x ) ) } ) )
127124, 126sylibr 212 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  -> 
( F `  k
)  e.  ( (Cntz `  G ) `  {
( G  gsumg  ( H  |`  x
) ) } ) )
1289, 25, 17, 54, 56, 3, 20, 21, 57, 10, 12, 58, 59, 60, 127gsumzaddlem 16532 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( F  oF  .+  H ) )  =  ( ( G 
gsumg  F )  .+  ( G  gsumg  H ) ) )
12953, 128jca 532 1  |-  ( ph  ->  ( ( F  oF  .+  H )  e.  W  /\  ( G 
gsumg  ( F  oF  .+  H ) )  =  ( ( G  gsumg  F ) 
.+  ( G  gsumg  H ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648   A.wral 2799   {crab 2803   _Vcvv 3078    \ cdif 3436    u. cun 3437    C_ wss 3439   {csn 3988   class class class wbr 4403    |-> cmpt 4461   dom cdm 4951   ran crn 4952    |` cres 4953   Fun wfun 5523    Fn wfn 5524   -->wf 5525   ` cfv 5529  (class class class)co 6203    oFcof 6431   supp csupp 6803   X_cixp 7376   Fincfn 7423   finSupp cfsupp 7734   Basecbs 14295   +g cplusg 14360   0gc0g 14500    gsumg cgsu 14501   Mndcmnd 15531   Grpcgrp 15532  SubMndcsubmnd 15585  SubGrpcsubg 15797  Cntzccntz 15955   DProd cdprd 16600
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-of 6433  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-supp 6804  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-ixp 7377  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-fsupp 7735  df-oi 7838  df-card 8223  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-nn 10437  df-2 10494  df-n0 10694  df-z 10761  df-uz 10976  df-fz 11558  df-fzo 11669  df-seq 11927  df-hash 12224  df-ndx 14298  df-slot 14299  df-base 14300  df-sets 14301  df-ress 14302  df-plusg 14373  df-0g 14502  df-gsum 14503  df-mnd 15537  df-submnd 15587  df-grp 15667  df-subg 15800  df-cntz 15957  df-dprd 16602
This theorem is referenced by:  dprdfsub  16636
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