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Theorem dprdfadd 16874
Description: Take the sum of group sums over two families of elements of disjoint subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 14-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
eldprdi.0  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
eldprdi.w  |-  W  =  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp  .0.  }
eldprdi.1  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
eldprdi.2  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
eldprdi.3  |-  ( ph  ->  F  e.  W )
dprdfadd.4  |-  ( ph  ->  H  e.  W )
dprdfadd.b  |-  .+  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
dprdfadd  |-  ( ph  ->  ( ( F  oF  .+  H )  e.  W  /\  ( G 
gsumg  ( F  oF  .+  H ) )  =  ( ( G  gsumg  F ) 
.+  ( G  gsumg  H ) ) ) )
Distinct variable groups:    .+ , h    h, F    h, H    h, i, G    h, I, i    .0. , h    S, h, i
Allowed substitution hints:    ph( h, i)    .+ ( i)    F( i)    H( i)    W( h, i)    .0. ( i)

Proof of Theorem dprdfadd
Dummy variables  k  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldprdi.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
2 eldprdi.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
31, 2dprddomcld 16847 . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
4 eldprdi.w . . . . 5  |-  W  =  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp  .0.  }
5 eldprdi.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  W )
64, 1, 2, 5dprdfcl 16861 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( F `  x )  e.  ( S `  x
) )
7 dprdfadd.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  H  e.  W )
84, 1, 2, 7dprdfcl 16861 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( H `  x )  e.  ( S `  x
) )
9 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
104, 1, 2, 5, 9dprdff 16860 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : I --> ( Base `  G ) )
1110feqmptd 5921 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  I  |->  ( F `
 x ) ) )
124, 1, 2, 7, 9dprdff 16860 . . . . 5  |-  ( ph  ->  H : I --> ( Base `  G ) )
1312feqmptd 5921 . . . 4  |-  ( ph  ->  H  =  ( x  e.  I  |->  ( H `
 x ) ) )
143, 6, 8, 11, 13offval2 6541 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  oF  .+  H )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( F `  x )  .+  ( H `  x )
) ) )
151, 2dprdf2 16855 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S : I --> (SubGrp `  G ) )
1615ffvelrnda 6022 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( S `  x )  e.  (SubGrp `  G )
)
17 dprdfadd.b . . . . . 6  |-  .+  =  ( +g  `  G )
1817subgcl 16025 . . . . 5  |-  ( ( ( S `  x
)  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( F `  x )  e.  ( S `  x
)  /\  ( H `  x )  e.  ( S `  x ) )  ->  ( ( F `  x )  .+  ( H `  x
) )  e.  ( S `  x ) )
1916, 6, 8, 18syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
( F `  x
)  .+  ( H `  x ) )  e.  ( S `  x
) )
204, 1, 2, 5dprdffsupp 16862 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F finSupp  .0.  )
214, 1, 2, 7dprdffsupp 16862 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  H finSupp  .0.  )
2220, 21fsuppunfi 7850 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( F supp  .0.  )  u.  ( H supp  .0.  ) )  e.  Fin )
23 ssun1 3667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F supp 
.0.  )  C_  (
( F supp  .0.  )  u.  ( H supp  .0.  )
)
2423a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F supp  .0.  )  C_  ( ( F supp  .0.  )  u.  ( H supp  .0.  ) ) )
25 eldprdi.0 . . . . . . . . . . . 12  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
26 fvex 5876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0g
`  G )  e. 
_V
2725, 26eqeltri 2551 . . . . . . . . . . 11  |-  .0.  e.  _V
2827a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  .0.  e.  _V )
2910, 24, 3, 28suppssr 6932 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( I  \  (
( F supp  .0.  )  u.  ( H supp  .0.  )
) ) )  -> 
( F `  x
)  =  .0.  )
30 ssun2 3668 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H supp 
.0.  )  C_  (
( F supp  .0.  )  u.  ( H supp  .0.  )
)
3130a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( H supp  .0.  )  C_  ( ( F supp  .0.  )  u.  ( H supp  .0.  ) ) )
3212, 31, 3, 28suppssr 6932 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( I  \  (
( F supp  .0.  )  u.  ( H supp  .0.  )
) ) )  -> 
( H `  x
)  =  .0.  )
3329, 32oveq12d 6303 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( I  \  (
( F supp  .0.  )  u.  ( H supp  .0.  )
) ) )  -> 
( ( F `  x )  .+  ( H `  x )
)  =  (  .0.  .+  .0.  ) )
34 dprdgrp 16853 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G dom DProd  S  ->  G  e. 
Grp )
351, 34syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
369, 25grpidcl 15892 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  Grp  ->  .0.  e.  ( Base `  G
) )
3735, 36syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  .0.  e.  ( Base `  G ) )
389, 17, 25grplid 15894 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  .0.  e.  ( Base `  G
) )  ->  (  .0.  .+  .0.  )  =  .0.  )
3935, 37, 38syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (  .0.  .+  .0.  )  =  .0.  )
4039adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( I  \  (
( F supp  .0.  )  u.  ( H supp  .0.  )
) ) )  -> 
(  .0.  .+  .0.  )  =  .0.  )
4133, 40eqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( I  \  (
( F supp  .0.  )  u.  ( H supp  .0.  )
) ) )  -> 
( ( F `  x )  .+  ( H `  x )
)  =  .0.  )
4241, 3suppss2 6935 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  I  |->  ( ( F `
 x )  .+  ( H `  x ) ) ) supp  .0.  )  C_  ( ( F supp  .0.  )  u.  ( H supp  .0.  ) ) )
43 ssfi 7741 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F supp  .0.  )  u.  ( H supp  .0.  ) )  e.  Fin  /\  ( ( x  e.  I  |->  ( ( F `
 x )  .+  ( H `  x ) ) ) supp  .0.  )  C_  ( ( F supp  .0.  )  u.  ( H supp  .0.  ) ) )  -> 
( ( x  e.  I  |->  ( ( F `
 x )  .+  ( H `  x ) ) ) supp  .0.  )  e.  Fin )
4422, 42, 43syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  I  |->  ( ( F `
 x )  .+  ( H `  x ) ) ) supp  .0.  )  e.  Fin )
45 funmpt 5624 . . . . . . 7  |-  Fun  (
x  e.  I  |->  ( ( F `  x
)  .+  ( H `  x ) ) )
4645a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Fun  ( x  e.  I  |->  ( ( F `
 x )  .+  ( H `  x ) ) ) )
47 mptexg 6131 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  _V  ->  (
x  e.  I  |->  ( ( F `  x
)  .+  ( H `  x ) ) )  e.  _V )
483, 47syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  ( ( F `  x )  .+  ( H `  x )
) )  e.  _V )
49 funisfsupp 7835 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  ( x  e.  I  |->  ( ( F `
 x )  .+  ( H `  x ) ) )  /\  (
x  e.  I  |->  ( ( F `  x
)  .+  ( H `  x ) ) )  e.  _V  /\  .0.  e.  _V )  ->  (
( x  e.  I  |->  ( ( F `  x )  .+  ( H `  x )
) ) finSupp  .0.  <->  ( (
x  e.  I  |->  ( ( F `  x
)  .+  ( H `  x ) ) ) supp 
.0.  )  e.  Fin ) )
5046, 48, 28, 49syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  I  |->  ( ( F `
 x )  .+  ( H `  x ) ) ) finSupp  .0.  <->  ( (
x  e.  I  |->  ( ( F `  x
)  .+  ( H `  x ) ) ) supp 
.0.  )  e.  Fin ) )
5144, 50mpbird 232 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  ( ( F `  x )  .+  ( H `  x )
) ) finSupp  .0.  )
524, 1, 2, 19, 51dprdwd 16859 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  ( ( F `  x )  .+  ( H `  x )
) )  e.  W
)
5314, 52eqeltrd 2555 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  oF  .+  H )  e.  W )
54 eqid 2467 . . 3  |-  (Cntz `  G )  =  (Cntz `  G )
55 grpmnd 15876 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Mnd )
5635, 55syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
57 eqid 2467 . . 3  |-  ( ( F  u.  H ) supp 
.0.  )  =  ( ( F  u.  H
) supp  .0.  )
584, 1, 2, 5, 54dprdfcntz 16863 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  F  C_  (
(Cntz `  G ) `  ran  F ) )
594, 1, 2, 7, 54dprdfcntz 16863 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  H  C_  (
(Cntz `  G ) `  ran  H ) )
604, 1, 2, 53, 54dprdfcntz 16863 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  ( F  oF  .+  H )  C_  ( (Cntz `  G ) `  ran  ( F  oF  .+  H ) ) )
6156adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  ->  G  e.  Mnd )
62 vex 3116 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
6362a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  ->  x  e.  _V )
64 eldifi 3626 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( I  \  x )  ->  k  e.  I )
6564adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) )  -> 
k  e.  I )
66 ffvelrn 6020 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : I --> ( Base `  G )  /\  k  e.  I )  ->  ( F `  k )  e.  ( Base `  G
) )
6710, 65, 66syl2an 477 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  -> 
( F `  k
)  e.  ( Base `  G ) )
6867snssd 4172 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  ->  { ( F `  k ) }  C_  ( Base `  G )
)
699, 54cntzsubm 16187 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  { ( F `  k
) }  C_  ( Base `  G ) )  ->  ( (Cntz `  G ) `  {
( F `  k
) } )  e.  (SubMnd `  G )
)
7061, 68, 69syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  -> 
( (Cntz `  G
) `  { ( F `  k ) } )  e.  (SubMnd `  G ) )
7112adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  ->  H : I --> ( Base `  G ) )
72 ffn 5731 . . . . . . . . . 10  |-  ( H : I --> ( Base `  G )  ->  H  Fn  I )
7371, 72syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  ->  H  Fn  I )
74 simprl 755 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  ->  x  C_  I )
75 fnssres 5694 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H  Fn  I  /\  x  C_  I )  -> 
( H  |`  x
)  Fn  x )
7673, 74, 75syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  -> 
( H  |`  x
)  Fn  x )
77 fvres 5880 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  x  ->  (
( H  |`  x
) `  y )  =  ( H `  y ) )
7877adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  ( ( H  |`  x ) `  y )  =  ( H `  y ) )
791ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  G dom DProd  S )
802ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  dom  S  =  I )
8179, 80dprdf2 16855 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  S :
I --> (SubGrp `  G )
)
8265ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  k  e.  I )
8381, 82ffvelrnd 6023 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  ( S `  k )  e.  (SubGrp `  G ) )
849subgss 16016 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S `  k )  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( S `  k )  C_  ( Base `  G ) )
8583, 84syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  ( S `  k )  C_  ( Base `  G ) )
865ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  F  e.  W )
874, 79, 80, 86dprdfcl 16861 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  /\  k  e.  I )  ->  ( F `  k )  e.  ( S `  k
) )
8882, 87mpdan 668 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  ( F `  k )  e.  ( S `  k ) )
8988snssd 4172 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  { ( F `  k ) }  C_  ( S `  k ) )
909, 54cntz2ss 16184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S `  k
)  C_  ( Base `  G )  /\  {
( F `  k
) }  C_  ( S `  k )
)  ->  ( (Cntz `  G ) `  ( S `  k )
)  C_  ( (Cntz `  G ) `  {
( F `  k
) } ) )
9185, 89, 90syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  ( (Cntz `  G ) `  ( S `  k )
)  C_  ( (Cntz `  G ) `  {
( F `  k
) } ) )
9274sselda 3504 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  y  e.  I )
93 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  y  e.  x )
94 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  k  e.  ( I  \  x
) )
9594eldifbd 3489 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  -.  k  e.  x )
96 nelne2 2797 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  x  /\  -.  k  e.  x
)  ->  y  =/=  k )
9793, 95, 96syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  y  =/=  k )
9879, 80, 92, 82, 97, 54dprdcntz 16856 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  ( S `  y )  C_  (
(Cntz `  G ) `  ( S `  k
) ) )
997ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  H  e.  W )
1004, 79, 80, 99dprdfcl 16861 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  /\  y  e.  I )  ->  ( H `  y )  e.  ( S `  y
) )
10192, 100mpdan 668 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  ( H `  y )  e.  ( S `  y ) )
10298, 101sseldd 3505 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  ( H `  y )  e.  ( (Cntz `  G ) `  ( S `  k
) ) )
10391, 102sseldd 3505 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  ( H `  y )  e.  ( (Cntz `  G ) `  { ( F `  k ) } ) )
10478, 103eqeltrd 2555 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x ) ) )  /\  y  e.  x
)  ->  ( ( H  |`  x ) `  y )  e.  ( (Cntz `  G ) `  { ( F `  k ) } ) )
105104ralrimiva 2878 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  ->  A. y  e.  x  ( ( H  |`  x ) `  y
)  e.  ( (Cntz `  G ) `  {
( F `  k
) } ) )
106 ffnfv 6048 . . . . . . . 8  |-  ( ( H  |`  x ) : x --> ( (Cntz `  G ) `  {
( F `  k
) } )  <->  ( ( H  |`  x )  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( ( H  |`  x ) `  y )  e.  ( (Cntz `  G ) `  { ( F `  k ) } ) ) )
10776, 105, 106sylanbrc 664 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  -> 
( H  |`  x
) : x --> ( (Cntz `  G ) `  {
( F `  k
) } ) )
108 resss 5297 . . . . . . . . . 10  |-  ( H  |`  x )  C_  H
109 rnss 5231 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H  |`  x )  C_  H  ->  ran  ( H  |`  x )  C_  ran  H )
110108, 109ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ran  ( H  |`  x )  C_  ran  H
11154cntzidss 16189 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ran  H  C_  (
(Cntz `  G ) `  ran  H )  /\  ran  ( H  |`  x
)  C_  ran  H )  ->  ran  ( H  |`  x )  C_  (
(Cntz `  G ) `  ran  ( H  |`  x ) ) )
11259, 110, 111sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ran  ( H  |`  x )  C_  (
(Cntz `  G ) `  ran  ( H  |`  x ) ) )
113112adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  ->  ran  ( H  |`  x
)  C_  ( (Cntz `  G ) `  ran  ( H  |`  x ) ) )
11421, 28fsuppres 7855 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( H  |`  x
) finSupp  .0.  )
115114adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  -> 
( H  |`  x
) finSupp  .0.  )
11625, 54, 61, 63, 70, 107, 113, 115gsumzsubmcl 16743 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  -> 
( G  gsumg  ( H  |`  x
) )  e.  ( (Cntz `  G ) `  { ( F `  k ) } ) )
117116snssd 4172 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  ->  { ( G  gsumg  ( H  |`  x ) ) } 
C_  ( (Cntz `  G ) `  {
( F `  k
) } ) )
118 fssres 5751 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H : I --> ( Base `  G )  /\  x  C_  I )  ->  ( H  |`  x ) : x --> ( Base `  G
) )
11971, 74, 118syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  -> 
( H  |`  x
) : x --> ( Base `  G ) )
1209, 25, 54, 61, 63, 119, 113, 115gsumzcl 16731 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  -> 
( G  gsumg  ( H  |`  x
) )  e.  (
Base `  G )
)
121120snssd 4172 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  ->  { ( G  gsumg  ( H  |`  x ) ) } 
C_  ( Base `  G
) )
1229, 54cntzrec 16185 . . . . . 6  |-  ( ( { ( G  gsumg  ( H  |`  x ) ) } 
C_  ( Base `  G
)  /\  { ( F `  k ) }  C_  ( Base `  G
) )  ->  ( { ( G  gsumg  ( H  |`  x ) ) } 
C_  ( (Cntz `  G ) `  {
( F `  k
) } )  <->  { ( F `  k ) }  C_  ( (Cntz `  G ) `  {
( G  gsumg  ( H  |`  x
) ) } ) ) )
123121, 68, 122syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  -> 
( { ( G 
gsumg  ( H  |`  x ) ) }  C_  (
(Cntz `  G ) `  { ( F `  k ) } )  <->  { ( F `  k ) }  C_  ( (Cntz `  G ) `  { ( G  gsumg  ( H  |`  x ) ) } ) ) )
124117, 123mpbid 210 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  ->  { ( F `  k ) }  C_  ( (Cntz `  G ) `  { ( G  gsumg  ( H  |`  x ) ) } ) )
125 fvex 5876 . . . . 5  |-  ( F `
 k )  e. 
_V
126125snss 4151 . . . 4  |-  ( ( F `  k )  e.  ( (Cntz `  G ) `  {
( G  gsumg  ( H  |`  x
) ) } )  <->  { ( F `  k ) }  C_  ( (Cntz `  G ) `  { ( G  gsumg  ( H  |`  x ) ) } ) )
127124, 126sylibr 212 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  I  /\  k  e.  ( I  \  x
) ) )  -> 
( F `  k
)  e.  ( (Cntz `  G ) `  {
( G  gsumg  ( H  |`  x
) ) } ) )
1289, 25, 17, 54, 56, 3, 20, 21, 57, 10, 12, 58, 59, 60, 127gsumzaddlem 16749 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( F  oF  .+  H ) )  =  ( ( G 
gsumg  F )  .+  ( G  gsumg  H ) ) )
12953, 128jca 532 1  |-  ( ph  ->  ( ( F  oF  .+  H )  e.  W  /\  ( G 
gsumg  ( F  oF  .+  H ) )  =  ( ( G  gsumg  F ) 
.+  ( G  gsumg  H ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   {crab 2818   _Vcvv 3113    \ cdif 3473    u. cun 3474    C_ wss 3476   {csn 4027   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   dom cdm 4999   ran crn 5000    |` cres 5001   Fun wfun 5582    Fn wfn 5583   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6285    oFcof 6523   supp csupp 6902   X_cixp 7470   Fincfn 7517   finSupp cfsupp 7830   Basecbs 14493   +g cplusg 14558   0gc0g 14698    gsumg cgsu 14699   Mndcmnd 15729   Grpcgrp 15730  SubMndcsubmnd 15788  SubGrpcsubg 16009  Cntzccntz 16167   DProd cdprd 16839
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6903  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-oadd 7135  df-er 7312  df-ixp 7471  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-fsupp 7831  df-oi 7936  df-card 8321  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-nn 10538  df-2 10595  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-fz 11674  df-fzo 11794  df-seq 12077  df-hash 12375  df-ndx 14496  df-slot 14497  df-base 14498  df-sets 14499  df-ress 14500  df-plusg 14571  df-0g 14700  df-gsum 14701  df-mnd 15735  df-submnd 15790  df-grp 15871  df-subg 16012  df-cntz 16169  df-dprd 16841
This theorem is referenced by:  dprdfsub  16875
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